曲线积分与曲面积分备课教案

第十章曲线积分与曲面积分

一、教学目标及基本要求：

1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2、会计算两类曲线积分

3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。

5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。

6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。

二、教学内容及学时分配：

第一节对弧长的曲线积分2学时

第二节对坐标的曲线积分2学时

第三节格林公式及其应用4学时

第四节对面积的曲面积分2学时

第五节对坐标的曲面积分2学时

第六节高斯公式通量与散度2学时

第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时

三、教学内容的重点及难点：

1、二类曲线积分的概念及其计算方法

2、二类曲面积分的概念及其计算方法

3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式

4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。

5、两类曲线积分的关系和区别

6、两类曲面积分的关系和区别

7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用

五、思考题与习题

第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5

第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数）

第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7

第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8

第五节习题10-5 167页：3（单数）、4

第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数）

第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4

第一节对弧长的曲线积分

一、内容要点

由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。

1、引例：求曲线形构件的质量

最后举例巩固计算方法的掌握。

2、s z y x f d ),,(⎰Γ

为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲

线上，即),,(z y x 必须满足对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。

若是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(⎰Γ

3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线的长s=s d ⎰Γ

2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(⎰Γ

=;

质心坐标为),,(z y x ，其中M

ds z y x zf z M

ds z y x yf y M

ds

z y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰Γ

Γ

Γ

=

=

=;

对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=⎰

Γ

4、第一类曲线积分的计算方法：

若空间曲线参数方程为：⎪⎩

⎪

⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，

s z y x f d ),,(⎰Γ

=

⎰β

α

))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。

例1 计算⎰

Γ

ds z y x )(222++，其中：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t

解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰

Γ

ds z y x )(2

22++)3

82(22)1(3

2

20

πππ

+=+=⎰

dt t

例2

⎰Γds y ||，其中为球面2222

=++z y x

与平面y x =的交线；

解 的参数方程为t z t y x sin 2,cos ===，π20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，根据对称性得到⎰

L

ds y ||=24d cos 2

42

0=⎰t t π

例3 计算⎰

Γ

ds z y x )(2

2

2

++，其中⎪⎩⎪⎨

⎧==+1

2

22z a y x )0(>a 解 :⎪⎩

⎪

⎨⎧===1sin cos z t a y t

a x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222

⎰Γds z y x )(222++)1(2)1(2220

+=+=⎰

a a adt a ππ

或解：被积函数222z y x ++中的点),,(z y x 位于曲线上，即),,(z y x 必须满足对应的方程 ，所以12222+=++a z y x ，⎰

Γ

ds z y x )(222++=⎰

Γ

ds a )1(2+=⎰+=+Γ)1(2)

1(2

2a

a ds a π

二、教学要求和注意点

1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质

2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法

3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。

第二节 对坐标的曲线积分

一、内容要点