曲线积分与曲面积分备课教案
西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分备课讲稿
西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分第十章 曲线积分与曲面积分第一节 第一类曲线积分1.设xOy 平面内有一分布着质量的曲线弧L ,在点(,)x y 处它的线密度为(,)x y ρ,用对弧长的曲线积分表示： （1）这曲线弧L 的长度_______S =; （2）这曲线弧L 的质量_______M =;（3）这曲线弧L 的重心坐标：___x =;___y =; （4）这曲线弧L 对x 轴,y 轴及原点的转动惯量____x I =;____y I =;0____I =.解 （1）d LS s =⎰;（2）(,)d LM x y s μ=⎰;（3）(,)d (,)d LLx x y s x x y s μμ=⎰⎰, (,)d (,)d LLy x y s y x y sμμ=⎰⎰, （4）2(,)d x LI y x y s μ=⎰, 2(,)d y LI x x y s μ=⎰, 220()(,)d LI x y x y s μ=+⎰2.（1）设L 为椭圆22143x y +=,其周长为a ,求⎰+L s y x d )43(22. （2）设L 为圆周2264x y +=,求⎰+Ls y x d 22.解 （1）L ：22143x y +=,即223412x y +=, 从而 ⎰+Ls y x d )43(22=⎰Ls d 12=⎰Ls d 12=12a .（2）L ：2264x y +=, 从而⎰+Ls y x d 22=⎰Ls 8d =⎰Ls d 8=8π28⋅⋅=128π.3.计算22()d Lx y s +⎰,其中L 是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形. 解 如图10.1所示,1L ：0y =,x 从02→,2L ：0x =,y 从01→, 3L ：22x y =-,y 从01→,d s y y ==. 从而22()d Lx y s +⎰=122()d L x y s +⎰+222()d L x y s +⎰+322()d L x y s +⎰=21122220d d [(22)]d x x y y y y y +-+⎰⎰=12081(485)d 33y y y +-+=3+4.计算s ⎰,其中L 为曲线222x y x +=.解1 L 的参数方程为 L ：1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩ 02πθ≤≤. 计算出d d s θ=,于是s ⎰=20θ⎰=2π02cos d 2θθ⎰2u θ=π4cos d u u ⎰=π208cos d u u ⎰=8.解2 在极坐标系下,L :2cos ,r θ= ππ22θ-≤≤.计算出d s θ==2d θ,于是s ⎰=222cos 2d ππθθ-⋅⎰=208cos d πθθ⎰=8.5.求空间曲线e cos t x t -=,e sin t y t -=,e (0)t z t -=<<+∞的弧长. 解d s t =td t t -, 从而e d t s t +∞-==.6.有一铁丝成半圆形cos x a t =,sin y a t =,0t π≤≤,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.图 10.1解 d s t =t =d a t . d Lm s ρ=⎰=d Ly s ⎰=π0sin d a t a t ⋅⎰=π20sin d a t t ⎰=22a .7.计算22()d Lx y z s +-⎰,其中L 为球面222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线.解 由于222x y z a ++=与0x y z ++=对x ,y ,z 都具有轮换对称性,故 2d Lx s ⎰=2d Ly s ⎰=2d Lz s ⎰,d Lx s ⎰=d Ly s ⎰=d Lz s ⎰.于是2d L x s ⎰=2221(d d d )3LL L x s y s z s ++⎰⎰⎰ =2221()d 3Lx y z s ++⎰=2d 3La s ⎰=22π3a a ⋅=32π3a . 其中d Ls ⎰为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩的周长,显然平面0x y z ++=过球面2222x y z a ++=的球心(0,0,0)O ,所以L 为该球面上的大圆,即半径为a ,故周长为2a π.又因为()d Ly z s -⎰=d d LLy s z s -⎰⎰=0,所以22()d Lx y z s +-⎰=32π3a .第二节 第二类曲线积分1.计算⎰+--+L yx y y x x y x 22d )(d )(,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）.解 L :cos ,sin x a t y a t ==,t 由0到2π, 从而I =⎰+--+L yx yy x x y x 22d )(d )(=20[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]d t t t t t t t π+---⎰=20d t π-⎰=2π-.2.计算22()d Lx y x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.解 I =22()d Lx y x -⎰=2240()d x x x -⎰=5615-. 3.计算(2)d d La y x x y -+⎰,其中L 为摆线(sin )x a t t =-,(1cos )y a t =-上对应t 从0到π2的一段弧（图10.2）. 解 I =(2)d d La y x x y -+⎰=20{[2(1cos )](1cos )(sin )sin }d a a t a t a t t a t t π---+-⎰=220sin d a t t t π⎰=22πa -.4.计算22[1()sin ]d [()sin ]d Lxy y x x x xy y y ++++⎰,其中L 为上半椭圆221(0)x xy y y ++=≥,从点(1,0)-到点(1,0)的一段弧.解 由221x xy y ++=可得221xy y x +=-,221x xy y +=-,代入积分式,得22[1()sin ]d [()sin ]d Lxy y x x x xy y y ++++⎰=22[1(1)sin ]d (1)sin d Lx x x y y y +-+-⎰ =1221[1(1)sin ]d (1)sin d x x x y y y -+-+-⎰⎰=2.5.计算222d d d x x y y z z Γ++⎰,其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.解 Γ的点向式方程为：111123x y z ---==,从而Γ得参数方程为 1x t =+,12y t =+,13z t =+,t 由0到1. I =12220[(1)2(12)3(13)]d t t t t +++++⎰=111333000111(1)(12)(13)333t t t +++++=32.图 10.26.计算⎰Γ+-z y y x d d d ,其中Γ为有向闭折线ABCA ,这里的A ,B ,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).解 如图10.3,AB :1x y =-,0z =,y 由0到1. d d d ABx y y z -+⎰=12d y -⎰=2-;BC :1y z =-,0x =,z 由0到1; d d d BCx y y z -+⎰=1(2)d z z -⎰=32; CA :1z x =-,0y =,x 由0到1; d d d CAx y y z -+⎰=1d x ⎰=1,故 I =()d d d AB BC CA x y y z ++-+⎰⎰⎰=3212-++=12.7.有一质量为m 的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力f 的作用,设该质点沿螺旋线:cos L x t =,sin y t =,z t =从点π(0,1,)2A 移动到点(1,0,0)B 移动到点,求重力与力f的合力所作的功.解 依据题意,力f =x y z ---i j k ,故质点所受的合力 ()mg x y z mg =-=---+F f k i j k 在螺旋线L 上,起点A 对应于π2t =,终点B 对应于0t =,即π:02t →. 因此,力F 所作的功d d ()d LW x x y y z mg z =---+⎰=0π2[cos (sin )sin cos ()]d t t t t t mg t ----+⎰=π20()d t mg t +⎰=2ππ82mg +.第三节 格林公式1.设xOy 平面上闭曲线L 所围成的闭区域为D ,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来.图 10.3(1) d d Dx y ⎰⎰ (a) ⎰-Lx y y x d d(2) 2d d Dx y ⎰⎰ (b)⎰-L y x x x d d 21(3)d d Dx y -⎰⎰ (c)⎰-L x y y x d d 212.利用曲线积分计算星形线3cos x a t =,3sin y a t =所围成图形的面积.解 如图10.4，因为33cos sin x a tx a t ⎧=⎨=⎩ t 由0到2π. 从而S =d Dσ⎰⎰=⎰-L x y y x d d 21=2π323201[cos 3sin cos sin (3cos sin )]d 2a t a t t a t a t t t ⋅--⎰=2π22203sin cos d 2a t t t ⎰=2π2203sin 2d 8a t t ⎰=2π2031cos 4d 82t a t -⎰=23π8a .3.证明2322(6)d (63)d Lxy y x x y xy y -+-⎰只与L 的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰.解 236P xy y =-,2263Q x y xy =-,2123P Qxy y y x∂∂=-=∂∂,所以积分与路径无关, 故(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰=34212(248)d (549)d x x y y y -+-⎰⎰=2323412[128][273]x x y y -+-=80156236+=. 或者 (3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰图 10.4=(3,4)2232(1,2)(6d 6d )(d 3d )xy x x y y y x xy y +-+⎰=(3,4)223(1,2)d(3)x y xy -⎰=223(3,4)(1,2)[3]x y xy -=236. 4.计算e (1cos )d e (sin )d x x LI y x y y y =-+-⎰,其中L 为从(0,0)O 到(,0)A π的正弦曲线sin y x =. 解 如图10.5所示,由格林公式 I =e (1cos )d e (sin )d x x Ly x y y y -+-⎰=y y y x y x x AO AOL d )(sin e d )cos 1(e )(-+--⎰⎰+=(e )d d 0x Dy x y ---⎰⎰=πsin 0e d d x x x y y ⎰⎰=π201e sin d 2x x x ⎰=π01e (1cos 2)d 4xx x -⎰ =ππ0011e d e cos 2d 44x x x x x -⎰⎰=ππ11(e 1)(e 1)420---=π1(e 1)5-. 其中π0e cos 2d x x x ⎰=π0cos 2de x x ⎰=ππ00e cos 2|e dcos 2x x x x -⎰=πe 12sin 2d x e x x π-+⎰=ππ0e 12sin 2de x x -+⎰=πππ00e 12e sin 2|2e dsin 2x x x x -+-⎰=ππ0e 14e cos2d x x x --⎰.移项解之,得 ππ01e cos 2d (e 1)5x x x =-⎰.注意 本题易犯两个错误： （1）I =y y y x y x x AO AOL d )(sin e d )cos 1(e )(-+--⎰⎰+=(e )d d x Dy x y -⎰⎰.产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂DL y Q x P y x yPx Q d d d d )(,图 10.5其中C 是D 的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线L AO +是D 的取负向的边界曲线,所以二重积分()d d DQ Px y x y∂∂-∂∂⎰⎰前面必须添加负号. （2）计算定积分π0e cos 2d x x x ⎰是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法d d u v uv v u =-⎰⎰时,每次选取函数()u x ,不注意必须是同类函数（如选三角函数作为()u x 就一直选三角函数,如选e x 作为()u x 就一直选e x ）,结果就出现了恒等式d d u v u v =⎰⎰,即前进一步又倒退一步,致使积不出来.5. 已知()x ϕ'连续,且(0)(1)0ϕϕ==,(0,0)A ,(1,1)B ,计算⎰-'+-=AMBx x y y x y y I d ]1e )([d ]e )([ϕϕ其中AMB 是以AB 线段为直径的上半圆周.解 如图10.6所示⎰-'+-=AMBx x y y x y y I d ]1e )([d ]e )([ϕϕ =⎰⎰+-'+--BAAMB BA x x y y x y y d ]1e )([d ]e )(][[ϕϕ=d d [()e ]d [()e 1]d x x ABDx y y y x y y ϕϕ'-+-+-⎰⎰⎰=10π[(()())e (1)]d 4x x x x x ϕϕ'-++-+⎰=111000π()e d ()e d (1)d 4x x x x x x x x ϕϕ'-++-+⎰⎰⎰=1100π3()e d e d ()42x x x x x ϕϕ-++-⎰⎰=111000π3()e d e ()|()e d 42x x xx x x x x ϕϕϕ--++-⎰⎰ =π342--=π3()42-+.本题需注意两点：（1）同上题一样,使用格林公式时要注意边界曲线的方向,本题因是负向,故二重积分前必须添上负号;图 10.6（2）因()x ϕ是抽象函数,不可能直接将11()e d ()e d x x x x x x ϕϕ'+⎰⎰积出来,请不要先急于积分,先用分布积分法将10()e d x x x ϕ'⎰表示为11100e d ()e ()|()e d x x xx x x x ϕϕϕ=-⎰⎰,则两项抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考,从中 发现解题技巧.6.证明22()d ()d x y x x y yx y-+++在右半平面(0)x >内为某一函数(,)u x y 的全微分,并求出一个这样的函数(,)u x y .解 22x y P x y -=+,22x yQ x y +=+,由于222222()P y xy x Q y x y x ∂--∂==∂+∂,所以 22()d ()d x y x x y yx y-+++ 为某一函数(,)u x y 的全微分.取定点0(1,0)M ,对于右半平面上任一点(,)M x y ,令 (,)u x y =(,)22(1,0)()d ()d x y x y x x y yx y -+++⎰=222100d d 0x y x x y x y x x y -++++⎰⎰ =22221001d d d x y y x yx y y xx y x y ++++⎰⎰⎰ =221ln arctan ln()ln 2y x x y x x +++- =221arctanln()2y x y x ++. 7.已知曲线积分⎰-++Ly x x x y d )9(d )1(33,其中L 为圆周222()x a y a -+=(0)a >,取逆时针方向,求a 的值,使得对应曲线积分的值最大.解 显然31P y =+,39Q x x =-在区域:D 222()x a y a -+≤内有一阶连续的偏导数,由格林公式 ()I a =⎰+Ly Q x P d d =()d d DQ Px y x y ∂∂-∂∂⎰⎰=22(933)d d Dx y x y --⎰⎰ =229d d 3()d d DDx y x y x y -+⎰⎰⎰⎰=2cos 232029π3d d a a r r πθπθ--⎰⎰=244229π34cos d a a ππθθ--⎰=24420924cos d a aππθθ-⎰=2431π9π24422a a -⋅⋅⋅=2499ππ2a a -.2()18π(1)I a a a '=-,令()0I a '=,解得1a =（依题意设0a >，故将0a =和1a =-舍去）,因为1a =是()I a 在(0,)+∞内唯一的驻点,且()18π54πI a ''=-=36π0-<,故()I a 在1a =处取得最大值,因此1a =,即当积分路径为22(1)1x y -+=时,对应曲线积分 的值最大.8.求⎰+---Ly x yx x y 22)1(d )1(d ,其中（1）L 为圆周2220x y y +-=的正向;（2）L 为椭圆22480x y x +-=的正向. 解 令22(,)(1)y P x y x y =-+,22(1)(,)(1)x Q x y x y--=-+,则当22(1)0x y -+≠时,有22222(1)[(1)]Q x y Px x y y∂--∂==∂-+∂, 记L 所围成的闭区域为D ,（1）L :2220x y y +-=,即22(1)1x y +-=, 此时(1,0)D ∉,（如图10.7(a)所示）.由于Q Px y∂∂=∂∂,由格林公式, 0)1(d )1(d 22=+---⎰L y x y x x y . 图 10.7(a) 图 10.7(b)（2）L :22480x y x +-=,即22(1)14y x -+=,此时(1,0)D ∈,以(1,0)为圆心,以充分小的0ε>为半径作圆周1cos :sin x C y εθεθ-=⎧⎨=⎩,θ由0到2π,取逆时针方向（如图10.7(b)所示）.记L 和C 所围成的闭区域为1D ,对复连通区域1D 应用格林公式,得 0)1(d )1(d 22=+---⎰-+C L y x yx x y ,从而I =⎰+---Ly x y x x y 22)1(d )1(d =⎰+---C yx yx x y 22)1(d )1(d =2π2sin (sin )cos cos d εθεθεθεθθε--⋅⎰ =2π0d θ-⎰=2π-.注意 （2）中由于点(1,0)位于L 所围成的闭区域D 内,需用复连通域上的格林公式,以避开(1,0)点,考虑到被积函数的分母为22(1)x y -+,故取圆周1cos :sin x C y εθεθ-=⎧⎨=⎩,有同学不考虑“洞”,即点(1,0),直接用格林公式,得到0)1(d )1(d 22=+---⎰Lyx yx x y 是错误的. 9.求[e sin ()]d (e cos )d x x LI y b x y x y ax y =-++-⎰,其中a 、b 为正常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y (0,0)O 的弧.解 添加从点(0,0)O 沿0y =到点(2,0)A a 的有向直线段1L ,则⎰⎰-++---++-=+11d )cose (d )](sin e [d )cos e (d )](sin e [L x x L L x x yax y x y x b y y ax y x y x b y I =20[(e cos )(e cos )]d d d a x xDy a y b x y bx x -----⎰⎰⎰=20()d d d a Db a x y b x -+⎰⎰⎰=22π()(2)22bb a a a -+=23ππ(2)22a b a +-.第四节 第一类曲面积分1.设有一分布着质量的曲面∑,在点(,,)x y z 处它的面密度为(,,)x y z ρ.用曲面积分表示：（1）这曲面∑的面积A =______; （2）这曲面∑的质量M =______;（3）这曲面∑的重心坐标为x =______,y =______,z =______; （4）这曲面∑对于x 轴,y 轴,z 轴及原点的转动惯量x I =__,y I =__,z I =______,0I =______.解 （1）A =d S ∑⎰⎰.（2）M =(,,)d x y z S μ∑⎰⎰.（3）x =(,,)d (,,)d x x y z Sx y z Sμμ∑∑⎰⎰⎰⎰,y =(,,)d (,,)d y x y z Sx y z Sμμ∑∑⎰⎰⎰⎰,z =(,,)d (,,)d z x y z Sx y z Sμμ∑∑⎰⎰⎰⎰.（4）x I =22()(,,)d y z x y z S μ∑+⎰⎰, y I =22()(,,)d x z x y z S μ∑+⎰⎰,z I =22()(,,)d x y x y z S μ∑+⎰⎰, 0I =222()(,,)d x y z x y z S μ∑++⎰⎰.2.计算4(2)d 3z x y S ∑++⎰⎰,其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分. 解 如图10.8所示，∑:1234x y z ++=,2zx ∂=-∂,43z y ∂=-∂d d S x y =d x y , 在积分曲面上,被积函数423z x y ++=4()4234x y z++=, 303:202xy y xD x ⎧≤≤-⎪⎨⎪≤≤⎩,图 10.8从而4(2)d 3z x y S ∑++⎰⎰=614d d 3xyD x y ⋅⎰⎰ =461d d xy D x y ⎰⎰=46133⋅=461. 3.计算⎰⎰∑+S y x d )(22,其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 解 如图10.9所示,1∑:22z x y =+,22zxx y∂=∂+,22z yx y∂=∂+,22d 1()()d d z z S x y x y∂∂=++∂∂=2d d x y ,22:1xy D x y +≤. 2∑:1z =,d d d S x y =,22:1xy D x y +≤,⎰⎰∑+S y x d )(22=122222()d ()d x y S x y S ∑∑+++⎰⎰⎰⎰ =2π12π1220d ρ2ρd ρd ρρd ρθθ+⎰⎰⎰⎰=11330022πρd ρ2πρd ρ+⎰⎰=π(21)2+.4.计算I =()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中∑为锥面22z x y =+被柱面222x y ax+=所截成的部分(0)a >.解 因为积分曲面∑关于zOx 坐标面（即0y =平面）对称,xy yz +()y x z =+是关于y 的奇函数,所以I =()d d y x z S zx S ∑∑++⎰⎰⎰⎰＝0d zx S ∑+⎰⎰此外,在∑上,22z x y =+,d 2d d S x y =,且∑在xOy 面上的投影为22:2xy D x y ax +≤,因此图 10.9I ＝d zx S ∑⎰⎰＝22d x x y S ∑+⎰⎰＝222d d xyD x x y x y +⎰⎰＝π2cos 32π022d cos d a r r θθθ-⎰⎰＝452082cos d aπθθ⎰＝4428253a ⋅⋅＝4642a ． 5.计算d S ∑⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xOy 面上方的部分.解 如图10.10所示,222()z x y =-+,2zx x∂=-∂,2z y y ∂=-∂,22d 1()()d d z z S x y x y∂∂=++∂∂=22144d d x y x y ++, 22:2xy D x y +≤, d S ∑⎰⎰=22144d d xyD x y x y ++⎰⎰=2π220d 14ρρd ρθ+⎰⎰=12222012π(14ρ)d(14ρ)8++⋅⎰=2223π2(14ρ)|43⋅+=13π3.6.计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分.解 ∑在xOy 面上的投影为圆域：2222:xy D x y a h +≤-, d S =222222221()()d d x y x y a x ya x y--++----=222d d x y a x y--,故 ()d x y z S ∑++⎰⎰=222222()d d xyD x y a x y x y a x y++--⋅--⎰⎰图 10.10由积分区域的对称性可得：d xyD x x y ⎰⎰=0，d xyD y x y ⎰⎰=0,又积分区域xy D 的面积为22π()a h -,故()d x y z S ∑++⎰⎰=d d xyD a x y ⎰⎰=22π()a a h -.7.求柱面220x y ax +-=在球面2222x y z a ++=内部的部分的表面积(0)a >. 解 由对称性,所求面积A 为其位于第一卦限部分面积的4倍,即4d A S ∑=⎰⎰,其中曲面∑为y =,求得面积元素d d S x z =d x z ,由22z x y ax⎧⎪=⎨+=⎪⎩,消去y ,得z 由此得∑在zOx 坐标面上的投影为::0xz D z ≤≤0x a ≤≤, 因此,曲面∑的面积 4d A S ∑=⎰⎰=4d xzD x z ⎰⎰=02d aa x ⎰⎰=02a a x ⎰=02a a x ⎰=24a . 8.设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,)P x y z S ∈,π为S 在点P 处的切平面,(,,)f x y z 为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求d (,,)SzS f x y z ⎰⎰解 设(,,)X Y Z 为π上任意一点,则π的方程为122xX yY zZ ++=,从而知 (,,)f x y z =12222()44x y z -++,由z =有z x ∂∂,z y∂∂d Sd x yd x y ,从而d (,,)Sz S f x y z ⎰⎰=221(4)d d 4Dx y x y --⎰⎰=2π2001d ρ)ρd ρ4θ-⎰⎰=3π2.第五节 第二类曲面积分1.当∑是xOy 面内的一个闭区域D 时,(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分的关系为（1）(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=____d d D x y ⎰⎰,（2）(,,)d R x y z S ∑⎰⎰=____d d Dx y ⎰⎰.解 （1）(,,0)f x y , （2）(,,0)R x y ±.注意 因第一类曲面积分与所给曲面的侧无关,所以(1)中应填(,,0)f x y ;而第二类曲面积分与曲面的侧有关,所以(2)中应填(,,0)R x y ±,有个别同学常疏忽这一点,只填(,,0)R x y ,这是不对的.2.计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为半球面z =.解 记1∑:x =取前侧,2∑:x =,1∑与2∑在yoz 面的投影区域相同,记为yz D . 2d d x y z ∑⎰⎰=12d d x y z ∑⎰⎰+22d d x y z ∑⎰⎰=222222()d d ()d d yzyzD D a y z y z a y z y z -----⎰⎰⎰⎰=0.同理 2d d y z x ∑⎰⎰=0,而 2d d z x y ∑⎰⎰=222222()d d x y a a x y x y +≤--⎰⎰=2220d (ρ)ρd ρaa πθ-⎰⎰=4π2a . 从而I =222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰=2d d x y z ∑⎰⎰+2d d y z x ∑⎰⎰+2d d z x y ∑⎰⎰=0+0+4π2a =4π2a .注意 常见的错误是：2d d x y z ∑⎰⎰=12d d x y z ∑⎰⎰+22d d x y z ∑⎰⎰=2222()d d yzD a y z y z --⎰⎰或 2d d y z x ∑⎰⎰=2222()d d zxD a x z z x --⎰⎰.产生错误的原因是忽视了将第二类曲面积分化为二重积分时,应根据积分曲面的侧选择二重积分前的正、负号.(,,)d d f x y z x y ∑⎰⎰=[,,(,)]d d xyD f x y z x y x y ±⎰⎰,(,,)d d g x y z y z ∑⎰⎰=[(,),,]d d yzD g x y z y z y z ±⎰⎰,(,,)d d R x y z z x ∑⎰⎰=[,(,),]d d zxD R x y z x z z x ±⎰⎰.将第二类曲面积分化为二重积分时,究竟什么时候二重积分前面写正号,什么时候写负号,这与所给曲面的侧有关.切记：上侧取正,下侧取负; 前侧取正,后侧取负; 右侧取正,左侧取负;3.计算⎰⎰∑y x xz d d ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 如图10.11所示,1234∑=∑+∑+∑+∑,其中1234,,,∑∑∑∑各自对应于四面体的一个表面,可表示为1∑:0z = 下侧; 2∑:0y = 左侧;3∑:0x = 后侧; 4∑:1x y z ++= 上侧.由于1∑在0z =平面上,故在1∑上的曲面积分为0;同理,在2∑,3∑上的曲面积分也都为0,所以,⎰⎰∑y x xz d d =4d d xz x y ∑⎰⎰ 由4∑得方程得1z x y =--,4∑在xoy 面上的投影域为:01xy D y x ≤≤-,01x ≤≤, 于是⎰⎰∑y x xz d d =4d d xz x y ∑⎰⎰=4(1)d d x x y x y ∑--⎰⎰=(1)d d xyD x x y x y --⎰⎰=110d (1)d x x x x y y ---⎰⎰=124. 4.计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z R ++=的外侧.解 由题设,∑的单位法向量 n =(cos ,cos ,cos )αβγ,2,2)x y z =1(,,)x y z R. 由两类曲面积分的关系,可得d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰=(cos cos cos )d x y z S αβγ∑++⎰⎰=2221()d x y z S R ∑++⎰⎰=21d R S R ∑⎰⎰ =d R S ∑⎰⎰几何意义24πR R ⋅=34πR .5.计算I =y x z h x z y g z y x f d d )(d d )(d )d (++⎰⎰∑,其中,,f g h 为连续函数,∑为平行六面体:0,0,0x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤表面的外侧.解 ⎰⎰∑y x z h d d )(=()d d (0)d d xyxyD D h c x y h x y -⎰⎰⎰⎰=[()(0)]ab h c h -,⎰⎰∑x z y g d d )(=()d d (0)d d xzxzD D g b z x g z x -⎰⎰⎰⎰=[()(0)]ac g b g -,图 10.11⎰⎰∑z y x f d d )(=()d d (0)d d yzyzD D f a y z f y z -⎰⎰⎰⎰=[()(0)]bc f a f -,从而 I =()(0)()(0)()(0)[]f a f g b g h c h abc a b c---++. 注意 本题易犯的错误是利用高斯公式来解,题目中仅告诉我们,,,f g h 为连续函数,又如何对,,f g h 求导呢?6.计算[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++⎰⎰,其中(,,)f x y z 为连续函数,∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧.解 平面1x y z -+=的法线向量为n ={1,1,1}-,方向余弦为cos α=cos β=cos γ=, 则I =[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++⎰⎰=[()cos (2)cos ()cos ]d f x f y f z S αβγ∑+++++⎰⎰=[((2)((f x f y f z S ∑+++++⎰⎰()d x y z S ∑-+=1d 3S ∑⎰⎰d xyD x yd xy x y ⎰⎰=d d xyD x y ⎰⎰=12.第六节 高斯公式 通量与散度1.设计y x xy z x z zx y z y yz x d d )(d d )(d )d (222-+-+-⎰⎰∑,其中∑为平面0x =,0,0,,,y z x a y a z a =====所围成的立体的表面的外侧. 解 由高斯公式,I =y x xy z x z zx y z y yz x d d )(d d )(d )d (222-+-+-⎰⎰∑=(222)d x y z v Ω++⎰⎰⎰=2()d x y z v Ω++⎰⎰⎰设该正方体的形心坐标为(,,)x y z ,则2a x y z ===, 而 d d d x v x vx vvΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,d y vy vΩ=⎰⎰⎰,d z vz vΩ=⎰⎰⎰,所以 d ,x v xv Ω=⎰⎰⎰ d ,y v yv Ω=⎰⎰⎰ d ,z v zv Ω=⎰⎰⎰.从而 I =2()x y z v ++=31112()222a a a a ++=43a .本题巧妙地利用了重心坐标公式,将利用高斯公式后得到的三重积分()d x y z v Ω++⎰⎰⎰的计算转化为计算()x y z v ++,从而使问题得到解决.2.计算24d d d d 2d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰,其中∑是球面2222x y z a ++=外侧的上半部分(0)a >.解 补充平面2221:0()z x y a ∑=+≤取下侧,I =y x yz x z y z y xz d d 2d d d d 4)(211+--⎰⎰⎰⎰∑+∑∑=(422)d 0z y y v Ω-+-⎰⎰⎰=4d z v Ω⎰⎰⎰=2π04d ρd ρd az θ⎰⎰⎰=22ρρ8πρd ρ2aa -⋅⎰=4πa . 注意 易犯的错误是（1）I =24d d d d 2d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰=(422)d z y y v Ω-+⎰⎰⎰=4zdv Ω⎰⎰⎰=…产生错误的原因是,没有注意到∑仅是球面的上半部分,∑并非封闭曲面,不能直接用高斯公式.尽管本题中沿曲面1∑的积分：124d d d d 2d d 0xz y z y z x yz x y ∑-+=⎰⎰,致使题目答案未受任何影响,但对不封闭的曲面直接用高斯公式,显然是不对的.（2）有同学在补充平面2221:0()z x y a ∑=+≤时,不写取什么侧,这也不妥.3.计算y x z x z yxf x z y )y x f(y d d d d )(1d d 1++⎰⎰∑,其中()f u 具有一阶连续导数,∑为柱面222()()()2ax a y a -+-=及平面0,1(0)z z a ==>所围成立体的表面外侧.解 利用高斯公式,有I =y x z x z y xf x z y )y x f(y d d d d )(1d d 1++⎰⎰∑=2211[()()1]d x xf f v y y y y Ω''-+⎰⎰⎰=d v Ω⎰⎰⎰ =2π()12a ⋅⋅=2π4a .4.计算y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑,其中∑为球面2222x y z a ++=的内侧.解 y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑=2223()d x y z v Ω-++⎰⎰⎰=2ππ403d sin d ρd ρaθϕϕ-⎰⎰⎰=512π5a -. 注意 易犯的错误是y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑=2223()d x y z v Ω++⎰⎰⎰=23d a v Ω⎰⎰⎰=2343π3a a ⋅=54πa .这里有两个错误：(1) 不注意高斯公式使用的条件：∑应是空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 本题所给的闭曲面是球面的内侧. 因此在将闭曲面上的曲面积分y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑化成三重积分2223()x y z dv Ω++⎰⎰⎰时,前面必须写上负号.(2) 将曲面积分与三重积分的计算法混为一谈. 计算三重积分222()d x y z v Ω++⎰⎰⎰时,因为Ω为球体：2222x y z a ++≤,因此不能将三重积分中的被积函数222x y z ++用2a 代入,这种做法是常犯的错误. 只有计算曲面积分时,才能将曲面方程代入被积函数.5.计算322d d 2d d 3d d I x y z xz z x y z x y ∑=++⎰⎰,其中积分曲面∑为抛物面z =22(01)x y z +≤≤的上侧.解 令221:1(1)z x y ∑=+≤,取下侧,则1∑+∑构成封闭曲面,取内侧. 于是y x y x z xz z y x d zd 3d d 2d d 2231++⎰⎰∑+∑=()d P Q Rv x y zΩ∂∂∂-++∂∂∂⎰⎰⎰ =223()d d d x y x y z Ω-+⎰⎰⎰=221223d d ()d xyx yD x y x y z +-+⎰⎰⎰=22π112003d d d r r r r z θ-⎰⎰⎰=13206π(1)d r r r --⎰=π2-.由于1∑在平面1z =上,1∑在,zOx yOz 坐标面上的投影为直线段,故d d z x =d d y z =0,1∑在xOy 坐标面上的投影域为22:1xy D x y +≤,于是322d d 2d d 3d d x y z xz z x y z x y ∑++⎰⎰=123d d y x y ∑⎰⎰=23d d xyD y x y -⎰⎰ =212203d ρρsin d ρπθθ-⋅⎰⎰=212303sin d ρd ρπθθ-⎰⎰=3π4-. 所以11322322d d 2d d 3d d d d 2d d 3d d I x y z xz z x y z x y x y z xz z x y z x y ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰=π3π()24---=π4.6.计算⎰⎰∑++S z y x d )cos cos cos (222γβα,其中∑是由222x y z +=及z h =(0)h >所围成的闭曲面的外侧,cos ,cos ,cos αβγ是此曲面的外法线的方向余弦.解 ∑在xOy 平面上的投影区域为：222x y h +≤. I =⎰⎰∑++S z y x d )cos cos cos (222γβα=⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d 222=(222)d x y z v Ω++⎰⎰⎰=2d d )d xyh D x y x y z z ++⎰⎰=2()d d 2d d d xyxyh h D D x y x y z x y z ++⎰⎰⎰⎰=222()2()(d 2d d 2xy xyD D h x y x y h x y x y -+++⎰⎰⎰⎰=2π2π22202(cos sin )d (ρ)ρd ρd (ρ)ρd ρh hh h θθθθ+-+-⎰⎰⎰⎰=23002π(ρρ)d ρhh +-⎰=442π[]24h h -=4π2h .7.已知向量场22xz x y y z =i +j +k A ,求A 的散度以及A 穿过∑流向∑指定侧的通量,其中∑为2222,1z x y x y =++=以及三个坐标面在第一卦限所围立体全表面的外侧.解 令22,,P xz Q x y R y z ===,则A 的散度 22div P Q RA z x y x y z∂∂∂=++=++∂∂∂. 通量⎰⎰∑⋅=ΦS d n A =div d v Ω⎰⎰⎰A =22()d z x y v Ω++⎰⎰⎰=22220d d ()d xyx y D x y z x y z +++⎰⎰⎰22(:1,0,0)xy D x y x y +≤≥≥=2223()d d 2xyD x y x y +⎰⎰=142003d d 2r r r πθ⋅⎰⎰=π31226⋅⋅=π8.第七节 斯托克斯公式 环量与旋度1.利用斯托克斯公式计算⎰Γ++z x y z x y d d d ,这里Γ为曲线2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩从x 轴正向看去,Γ为逆时针方向.解 平面0x y z ++=的上侧法线的方向余弦为cos cos cos αβγ===设∑为平面0x y z ++=上由圆周Γ所围成的面域,取上侧,相应的单位法向量. 于是⎰Γ++z x y z x y d d d =cos cos cos d S x y z yzxαβγ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰=(cos cos cos )d S αβγ∑-++⎰⎰=d S ∑=2a .2.求向量场(sin )(-cos )z y z x y +A =i -j 的旋度.解 rot sin cos 0x y z z y z x y∂∂∂∂∂∂+-+ijk A ==+i j . 3.求平面向量场22()2x y xy -A =i +j 沿闭曲线L 的环流量,其中L 是0x =,,0,x a y y b ===所围成的正向回路.解 环向量 ⎰+-Ly xy x y x d 2d )(22=4d d xyD y x y ⎰⎰=004d d a bx y y ⎰⎰=22ab .4.利用斯托克斯公式计算⎰Lz xyz d ,其中Γ是用平面y z =截球面22x y +21z +=所得的截痕,若逆z 轴正向看去,取逆时针的方向.解 由斯托克斯公式⎰Lz xyz d =d d d d d d 00y z z x x yx y z xyz∂∂∂∂∂∂=d d d d xz y z yz z x ∑-⎰⎰, 其中∑是平面y z =上以圆Γ为边界的平面,其侧与Γ的正向符合右手规则.显然,∑在yoz 坐标面上的投影为一线段,所以d d 0xz y z ∑=⎰⎰.∑在xoz 坐标面上的投影为一椭圆域22:21D x z +≤,且∑的法向量与y 轴成钝角, 从而2d d d d Dyz z x z z x ∑-=⎰⎰⎰⎰=2d z z x ⎰⎰=π22204sin cos d zt t t ⎰π2420(sin sin )d t t t -1π31π2()22422⋅-⋅⋅=π16.第十章 曲线积分与曲面积分（总习题）1.填空.（1）设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()d Lx y s +⎰的值是π;（2）向量场22(,,)ln(1)z x y z xy ye x z =+++u i j k 在点(1,1,0)P 处的散度div 2=u .（3）设L 为取正向的圆周229x y +=,则曲线积分⎰-+-Lyx x x y xy d )4(d )22(2的值是18π-.解 （1）22()d L x y s +⎰=d L s ⎰=12π12⋅⋅=π.（2）div u =P Q R x y z ∂∂∂++∂∂∂=222e 1Z zy x z++⋅+, 从而 2(1,1,0)22div |e |21z P xzy z=++=+u . （3）⎰-+-Ly x x x y xy d )4(d )22(2=(2422)d d Dx x x y --+⎰⎰=2d d Dx y -⎰⎰=22π3-⋅⋅=18π-.2.计算⎰++ABCDA yx yx d d ,ABCDA 是以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --位顶点的正方形正向边界. 解 法1 ⎰⎰+=++=ABCDA ABCDAy x y x yx I d d d d (00)d d 0Dx y =-=⎰⎰.此法是先将正方形的边界1x y +=代入被积函数后,再用格林公式求解. 法2 因 :1,AB x y += :1,BC y x -= :1,CD x y --=:1DA x y -=. 从而d d ()ABBCCDDAx yI x y+=++++⎰⎰⎰⎰ =()d d ABBCCDDAx y ++++⎰⎰⎰⎰=010111(11)d (11)d (11)d (11)d x x x x ---+++-++⎰⎰⎰⎰=112d 2d x x -+⎰⎰=0.法2是分段分别计算,比较一下还是法1简便.但切记不可直接对⎰++ABCDA yx y x d d 用格林公式.请同学们动脑筋想一下,这是为什么？3.计算⎰-+-+-=ABz xy z y zx y x yz x I d )(d )(d )(222,B A 为螺线cos x ϕ=,y =sin ϕ,z ϕ=由点(1,0,0)到点(1,0,2π)的弧段.解 ⎰-+-+-=ABz xy z y zx y x yz x I d )(d )(d )(222=22220[(cos sin )(sin )(sin cos )cos (sin cos )]d πϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ--+-+-⎰=22222222000cos dcos cos2d sin dsin d sin dsin πππππϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-++-⎰⎰⎰⎰⎰=33322π2π2π2π0000cos sin sin |0|||3332ϕϕϕϕ-++-=31000(2π)03-++-=38π3.4.设B A为连接点(1,2)A 与(2,3)B 的某曲线弧,又设B A与直线段AB 所包围图形的面积等于k ,计算曲线积分y x x x x y B A d )1(d 2⎰-+ .(直线段AB 与曲线弧B A 除点,A B 外无其它交点,曲线弧B A不与y 轴相交,且自身不相交).解 2(,)y P x y x =, 1(,)Q x y x x=-,则 221111Q P x y x x∂∂-=+-=∂∂, 直线段:1BA y x =+,x 由2到1,记B A与BA 所围成的闭区域为D ,由于要用到格林公式,所以要分两种情况讨论：B A取逆时针方向（如图10.12(a)） （1）y x x x x y I B A d )1(d 2⎰-+==y xx x x y BA AB BA d )1(d )(2-+-⎰⎰+ =21d d d ()d BA Dy x y x x y x x -+-⎰⎰⎰=12211()d x k x x x x +-+-⎰=1221()d k x x x-+⎰=2k +. （2）B A取顺时针方向（如图10.12（b ）所示）.y x x x x y I B A d )1(d 2⎰-+==y xx x x y BA AB BA d )1(d )(2-+-⎰⎰+ 图 10.12=21d d d ()d BADy x y x x y x x--+-⎰⎰⎰=1221()d k x x x--+⎰=2k -+. 注意 常见错误是不讨论B A是取逆时针方向,还是取顺时针方向,就直接利用了格林公式,这是不对的.5.计算曲线积分⎰++-L yx yx x y 22d d . （1）L 是圆周22(1)(1)1x y -+-=的正向; （2）L 是曲线1x y +=的正向.解 22(,)y P x y x y -=+, 22(,)x Q x y x y=+,当220x y +≠时, 22222()P y x Qy x y x∂-∂==∂+∂, 记曲线L 所围成的闭区域为D .（1） 如图10.13（a ）所示,此时(0,0),(,),(,)D P x y Q x y ∉在L 所围成的闭区域D 内有一阶连续偏导数,由格林公式： ⎰⎰⎰==++-=L Dy x y x yx x y I 0d d 0d d 22.c（2）如图10.13（b ）所示,此时(0,0),(,),(,)D P x y Q x y ∈在L 所围成的闭区域D 上有不连续点(0,0),以(0,0)为圆心,以充分小0ε>的为半径作圆周:cos ,sin ,02πC x y εθεθθ==≤≤,图 10.13C 取逆时针方向,记L 和C 所围成的闭区域为1D ,对复连通域1D 应用格林公式,有0d d 22=++-⎰-+C L yx yx x y 从而⎰++-L y x y x x y 22d d =⎰++-C y x y x x y 22d d=2π2sin (sin )cos cos d εθεθεθεθθε--+⋅⎰=20d πθ⎰=2π.6.计算曲线积分⎰+-Cy x xy y x 224d d ,其中C 是(1,0)以为中心,(1)R R ≠为半径的圆周,逆时针方向. 解 22(,)4y P x y x y -=+, 22(,)4xQ x y x y=+, 当2240x y +≠时,22224P y x Qy x y x∂-∂==∂+∂,C 所围成的闭区域记为D ,(0,0)究竟在不在以为(1,0)中心,R 为半径的圆内,要分两种情况讨论： （1）1R <时,(0,0)D ∉（图10-14(a)）,则⎰=+-Cyx xy y x 04d d 22; （2）1R >时,(0,0)D ∈,作足够小的椭圆cos :2sin x L y εθεθ=⎧⎨=⎩,02πθ≤≤,L 取逆时针方向（图10.14(b)）（a ）1R <（b ）1R >图 10.14于是由格林公式,有04d d 22=+-⎰-+L C y x x y y x , 从而 ⎰+-C y x x y y x 224d d =⎰+-L y x x y y x 224d d =2π22220cos 2cos )2sin (sin )d 4cos 4sin εθεθεθεθθεθεθ--+⎰=2π01d 2θ⎰=π. 注意 易犯错误是不分1,1R R <>两种情况讨论,未注意闭曲线L 所围成的闭区域D 内有无“洞”,即D 是否为“单连通域”？7.设曲线积分2d ()d Lxy x y x y ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0ϕ=,计算(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰的值.解 2(,)P x y xy =,(,)()Q x y y x ϕ=,因曲线积分与路径无关,P Q y x ∂∂=∂∂, 22(),()2,()xy y x x x x x C ϕϕϕ''===+,由(0)0ϕ=,则0C =,从而2()x x ϕ=.(1,1)2(0,0)d ()d I xy x y x y ϕ=+⎰=(1,1)22(0,0)d d xy x x y y +⎰=10d y y ⎰=12. 8.质点P 沿着以AB 为直径的圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 的作用,F 的大小等于点P 到原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于2π,求变力F 对质点P 所做的功. 解 圆弧AB 的方程为22(2)(3)2x y -+-=,其参数方程为23x t y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩, 3π(π)44t -≤≤ y x =-+i j F ，所以434()d d )sin )cos ]d L W y x x y t t t t t ππ-=-+=++⎰⎰2(π1)=-.9.计算⎰⎰∑+S y x d )(22,其中∑为球面2222x y z a ++=.解 :∑2222x y z a ++=对,,x y z 具有轮换对称性,所以⎰⎰∑S x d 2=⎰⎰∑S yd 2=⎰⎰∑S z d 2, 于是⎰⎰∑+S y x d )(22=⎰⎰∑++S z y x d )(32222=⎰⎰∑S a d 322224284π33a a a ⋅=几何意义. 10.计算⎰⎰∑+-+++=y x z yz zf x z y yz yf z y x I d d ])([d d ])([d d 333,其中f 有一阶连续导数,而∑为球面2222x y z Rz ++=的内侧((0)R >.解 令333,(),()P x Q yf yz y R zf yz z ==+=-+,则2223,()()3,()()3P Q R x f yz yzf yz y f yz yzf yz z x y z∂∂∂''==++=--+∂∂∂. 注意到∑取内侧,运用高斯公式,得I =222()d 3()d d d P Q R v x y z x y z y x z ΩΩ∂∂∂-++=-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =22cos 2220003d d sin d R r r r ππϕθϕϕ-⋅⎰⎰⎰=55206πsin 32cos d 5R πϕϕϕ-⋅⎰=65206πcos 32|56R πϕ⋅⋅=532π5R -. 11.计算d d (1)d d SI y z x z x y =-++⎰⎰,其中S 是圆柱面224x y +=被平面x z +=2和2z =所截出部分的外侧.解 法1 设121,,,,S S S D Ω如图10.15所示,1:2;S x z += 2:0S z =d d (1)d d SI y z x z x y =-++⎰⎰=y x z x z y S S S S S d d )1(d d ][2112++---⎰⎰⎰⎰⎰⎰++ =1122(11)d d d (1)d d (1)d d S S S S V y z x z dxdy y z x z x y Ω-+---+---+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=110(1)d d d d S S z x y x y -+-⎰⎰⎰⎰=11(21)d d d d D D x x y x y --++⎰⎰⎰⎰图 10.15。
高等数学下册(第11章)曲线积分与曲面积分教案
L
L1
L2
二．对弧长曲线积分的计算法
定理 设 f (x, y) 在平面曲线 L 上连续 L 的参数方程为 x (t), y (t) ( t ) 其中(t) 、
(t) 在[, ]上具有一阶连续导数 且2 (t) 2 (t) 0 ，则曲线积分 f (x, y)ds 存在 且有 L
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt ( ) .
高等数学教学教案
第 11 章 曲线积分与曲面积分
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第 11 章 第 1 节 对弧长的曲线积分 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 对弧长的曲线积分的计算方法
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课 黑板多媒体结合 对弧长的曲线积分的计算方法
参考教材 同济七版《高等数学》下册
性质 3（路径可加性) 如果把有向曲线弧 L 分成 L1 和 L2 则
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy.
L
L1
L2
二．对坐标的曲线积分的计算方法
3
定理 设 P(x, y) , Q(x, y) 是定义在光滑有向曲线 L : x (t), y (t) 上的连续函数 当参数 t 单调地由
c
（3）若空间曲线 L 的方程为 x (t), y (t), z (t) ( t ) ，则
f (x, y, z)ds
f ((t), (t),(t))
2(t) 2(t) 2(t)dt .
L
（4）对弧长的曲线积分的计算方法可以写成：“一定、二代、三替换、下限必定小上限”.“一定”是指确定
性质 1（线性性） 设， 为任意常数 则 [f (x, y) g(x, y)]ds f (x, y)ds g(x, y)ds .
第十一章_曲线积分与曲面积分习_[1]...
![第十一章_曲线积分与曲面积分习_[1]...](https://img.taocdn.com/s3/m/4a5f6f64a98271fe910ef967.png)
S
xdydz z 2dxdy 例12 计算曲面积分 2 2 2 , 其中S是由曲面 x y z S
4 a3 . 3
2 3
0 ( x 2 y 2 z 2 )ds
( x2 z 2 )ds
L关于xOz轴平面对称, y是L上关于y 的奇函数
2 1 2 2 2 ( x y z )ds ( x y z)ds 3 3
4 a3 3
(二) 曲线面积分的计算法 1. 基本方法 第一类( 对面积 ) 曲面积分 第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
第一类: 始终非负 (2) 积分元素投影 第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面 P, Q, R以及它们的一阶偏导数不连续的情 况下,考虑通过投影化为二重积分处理.
z
2 1
1
2z dxdydz 4dxdy dxdy 2 2 zdz dxdy 4 dxdy dxdy 1 2 2 x2+y24
1 2
+ +
1 2
Dz
2
x
O
n
y
1+2
2 z
1
2
所以
BA
(x2y)dx+(y 2x)dy x2 dx
2 3 a . 3
a
a
例4 计算曲线积分 , 其中 且取正向 . y 2 2 Q y x P 1 2 2 L 2 解 当 x +y 0 时 , x ( x y 2 )2 y D x 在D内作圆周l: x2+y2=1, 取逆时针方向, l O D1 2 由格林公式, 有
曲线积分与曲面积分重点总结+例题教学文稿
曲线积分与曲面积分重点总结+例题第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法。
3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3. 第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1.两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段, ∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n (∆s i 也表示弧长);任取(ξi , ηi )∈∆s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )∆s i ;整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ∆≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }→0, 则整个物质曲线的质量为i i i ni s M ∆==→∑),(lim 10ηξμλ. 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义 设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.，将L 任意分成n 个弧段: ∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n , 并用∆s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段∆s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i ni s f ∆=∑),(1ηξ; 令λ=max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L),(⎰, 即 i i i n i L s f ds y x f ∆==→∑⎰),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性: 当f (x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds y x f L ),(⎰是存在的. 以后我们总假定f (x , y )在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L),(⎰μ的值, 其中μ(x , y )为线密度.对弧长的曲线积分的推广: i i i i n i s f ds z y x f ∆==→Γ∑⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2, 则规定 ds y x f ds y x f ds y x f L L L L ),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+. 闭曲线积分: 如果L 是闭曲线, 那么函数f (x , y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作 ds y x f L),(⎰. 对弧长的曲线积分的性质:性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c LL L ),(),()],(),([2121⎰⎰⎰+=+; 性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L L L ),(),(),(21⎰⎰⎰+=;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5性质3设在L 上f (x , y )≤g (x , y ), 则⎰⎰≤LL ds y x g ds y x f ),(),(. 特别地, 有⎰⎰≤LL ds y x f ds y x f |),(||),(| 二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x , y ), 则曲线形构件L 的质量为 ⎰Lds y x f ),(. 另一方面, 若曲线L 的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β),则质量元素为 dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψϕψϕ'+'=,曲线的质量为 ⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()()]( ),([22. 即 ⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L )()()]( ),([),(22. 定理 设f (x , y )在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β),其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有一阶连续导数, 且ϕ'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分ds y x f L ),(⎰存在, 且 dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψϕψϕβα'+'=⎰⎰(α<β).仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β.讨论:(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), 则ds y x f L),(⎰=? 提示: L 的参数方程为x =x , y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), dx x x x f ds y x f ba L ⎰⎰'+=)(1)](,[),(2ψψ. (2)若曲线L 的方程为x =ϕ(y )(c ≤y ≤d ), 则ds y x f L),(⎰=? 提示: L 的参数方程为x =ϕ(y ), y =y (c ≤y ≤d ), dy y y y f ds y x f dc L ⎰⎰+'=1)(]),([),(2ϕϕ. (3)若曲Γ的方程为x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )(α≤t ≤β),则ds z y x f ),,(⎰Γ=? 提示: dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψϕωψϕβα'+'+'=⎰⎰Γ. 例1 计算ds y L ⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧. 解 曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此 ⎰⎰'+=10222)(1dx x x ds y L ⎰+=10241dx x x )155(121-=. 例2 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为μ=1).解 取坐标系如图所示, 则⎰=Lds y I 2. 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ (-α≤θ<α).仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7于是 ⎰=L ds y I 2⎰-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin ⎰-=ααθθd R 23sin =R 3(α-sin α cos α). 例3 计算曲线积分ds z y x )(222++⎰Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解 在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=,于是 ds z y x )(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a )43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤:(1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。
曲线积分和曲面积分的计算
第21章 曲线积分和曲面积分的计算教学目的：教学重点和难点：§1 第一类曲线积分的计算设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为()()()()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩则()()()(),,,,Tlt f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰⎰。
特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a xb ≤≤，那么有((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰。
例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。
求22()lx y ds +⎰。
例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分lyds ⎰。
例：计算积分2lx ds ⎰，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。
例：求()lI x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积（1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。
(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。
则该曲面块的面积为 xyS σ=。
（2）若曲面的方程为 ()()(),,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222v v vG x y z =++， 则该曲面块的面积为 S d u d v ∑=。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)教学内容
L( AB) 是直线时，则 L ( AB)
可能采用两类不同的曲线积分的
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q( x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
QP
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L( AB )
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k , k ) xk
f ( k , k , k ) yk
f ( k , k , k ) zk ]
k1
其中 (T ) 表示分割曲线 L( AB ) 的分法 T 的细度，即 n 段的最大弧长， ( k , k ) 是第 k 段弧
上的任意一点。
物理意义 ：第二类曲线积分表示变力 F 沿曲线 L 所作的功， 被积函数 P ( x, y), Q (x, y) 或
(P cos
L ( AB )
F ds
L ( AB )
dQy ds Q cos
dzR d s ds R cos )d s
其中 cos ,cos ,cos 是曲线 AB 上的点的切线的方向余弦，且
dx cos ds,d y cos ds,d z cos ds
一般地，积分曲线的方向余弦是变量。但是，当积分曲线
注 5 计算第二类曲线积分，不论积分曲线是平面曲线还是空间曲线，都有两个方法： （ 1）平面曲线积分：将曲线积分转化为 定积分或重积分 ；
（ 2）空间曲线积分：将曲线积分转化为 定积分或曲面积分 。
例 5 计算
y2dx
L
x2dy ，其中 L 为上半椭圆：
x2 a2
曲线积分与曲面积分备课教案
曲线积分与曲面积分备课教案第一章：曲线积分概述1.1 曲线积分的概念引入曲线积分的基本概念，理解曲线积分的重要性。
解释曲线积分的定义，通过图形和实例进行说明。
1.2 曲线积分的计算方法介绍常用的曲线积分计算方法，如参数法、极坐标法等。
讲解如何选择合适的计算方法，并通过实例进行演示。
第二章：曲线积分的应用2.1 曲线长度引入曲线长度的概念，并解释其与曲线积分的关系。
学习计算曲线长度的方法，并通过实例进行练习。
2.2 曲线围成的面积介绍曲线围成面积的概念，并解释其与曲线积分的关系。
学习计算曲线围成面积的方法，并通过实例进行练习。
第三章：曲面积分概述3.1 曲面积分的概念引入曲面积分的概念，理解曲面积分的重要性。
解释曲面积分的定义，通过图形和实例进行说明。
3.2 曲面积分的计算方法介绍常用的曲面积分计算方法，如参数法、极坐标法等。
讲解如何选择合适的计算方法，并通过实例进行演示。
第四章：曲面积分的应用4.1 曲面的面积引入曲面面积的概念，并解释其与曲面积分的关系。
学习计算曲面面积的方法，并通过实例进行练习。
4.2 曲面的体积介绍曲面体积的概念，并解释其与曲面积分的关系。
学习计算曲面体积的方法，并通过实例进行练习。
第五章：曲线积分与曲面积分的进一步应用5.1 曲线积分与曲面积分的联系与区别探讨曲线积分与曲面积分的联系与区别，加深对两种积分概念的理解。
通过实例说明两种积分的应用场景和计算方法的不同。
5.2 曲线积分与曲面积分的综合应用引入实际应用问题，综合运用曲线积分和曲面积分进行解决。
通过实例讲解如何将实际问题转化为曲线积分或曲面积分问题，并进行计算和分析。
第六章：曲线积分与曲面积分的定积分形式6.1 曲线积分的定积分形式引入曲线积分的定积分形式，解释其与不定积分的关系。
学习如何从曲线积分的定积分形式进行计算，并通过实例进行演示。
6.2 曲面积分的定积分形式介绍曲面积分的定积分形式，解释其与不定积分的关系。
高等数学下册(第11章)曲线积分与曲面积分教案
第 11 章 曲线积分与曲面积分
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第 11 章 第 1 节 对弧长的曲线积分 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 对弧长的曲线积分的计算方法
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课 黑板多媒体结合 对弧长的曲线积分的计算方法
参考教材 同济七版《高等数学》下册
个点 A、B 以及区域 D 内从点 A 到点 B 的任意两条光滑曲线 L1 、 L2
等式
Pdx Qdy
L1
Pdx Qdy 恒成
L2
立 则称曲线积分 L PdxQdy 在 D 内与路径无关 否则说与路径有关.
定理 设区域 D 是一个单连通域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分
P0 A, P1, P2 ,, Pn B ，得到 n 个有向小弧段 Pi1Pi (i 1, 2, n) ，设 xi xi xi1 ， yi yi yi1 ，
n
n
(i ,i ) 为 Li 上任意一点
为各小弧段长度的最大值，如果极限 lim[ 0
i 1
P(i ,i )xi
i 1
Q(i ,i )yi ]
性质 1（线性性） 设， 为任意常数 则 [f (x, y) g(x, y)]ds f (x, y)ds g(x, y)ds .
L
L
L
性质 2（可加性） 若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 和 L2 则
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds .
（1） y x ； （2） y x2 ；
4
（3）有向折线 OMA ，其中 M 的坐标为 (1, 0) .
高等数学电子教案第11章 曲线积分与曲面积分
第二类曲线积分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形。
第二类曲线积分的物理意义：当质点受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)作用，在xoy平面内+=
]
Pdx Qdy k
P(x,y)及Q(x,y)在G 内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价：内积分与路径无关；,(,)x y x
y
=∂∂）存在可微函数u(x,y)且当上述四个等价命题之一成立时有：L 1与L 所围成区域内计算二重积分，又要有利用所围成区域满足格林公式条件。
若L 为闭区线，但连续偏导数，则可采用“挖洞’法来利用格林公式。
，亦称它为第一型曲面积分。
其物理意义是面密度，∑叫做积分曲面
{
2
x,y 的曲面积分，记作
在∑上对坐标x,z 的曲面
)()i
i xz S ζ(,,)R x y z dxdy 其物理意义是单位时间内流向∑指定侧的流体的流量。
,)(,,y z i Q x y z +∑⎰⎰缩成点P 时，极限v ∆∑∆存在，x =+∂∂比计算对坐标的曲面积分容易；利用两类曲面积分之间的关系，有时可把对面积的曲面积分县转化为对坐标的曲面积分，然后应用高斯公式。
的曲线积分L A Γ=
⎰，则环流量可写成：
三、旋度 简单说，旋度是环流量对面积的变化率。
设有矢量场(,,)(,,A P x y z i Q x y z =+数，则旋度为：
......................i k
x y P Q R
∂∂∂=∂∂。
第十四章 曲线积分和曲面积分
14-1 第一类曲线积分与第一类曲面积分
4
〖教学目的和要求〗掌握第一类曲线积分与第一类曲面积分的概念与计算方法
〖教学重点〗第一类曲线积分与第一类曲面积分的概念与计算方法
〖教学难点〗第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算
〖教学过程〗 1. 第一类曲线积分的背景
简单曲线： Rn 中以 A 点为起点， B 点为终点的连续不自相交的曲线段称为 Rn 中的简单曲线。如果
f
(x,
y,
z)
在曲
∫ ∫ ∑ 线 C 上 的 第 一 类 曲 线 积 分 , 记 作 f (x, y, z)ds , 即 f (x, y, z)ds = lim
C
C
λ →0
n k =1
f
(xk ,
yk , zk
)∆s
,其中
f (x, y, z) 称为被积函数, C 为积分路径.
∫ 由此定义,前面所讨论的曲线质量可以表示为: M = f (x, y, z)ds . C
《数学分析》教案----曲线积分,曲面积分与场论
华中科技大学数学系汤燕斌
第十四章 曲线积分与曲面积分
26+4
〖教学内容〗本章主要讲述曲线积分和曲面积分的概念和计算。曲线积分与曲面积分之间的联系，曲线积分 和路径的无关性及场论初步。 〖教学要求〗掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握 Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出 Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式统一形式上的意义，对 场论知识有一个初步的了解。 〖教学安排〗 §1.第一类曲线积分与第一类曲面积分 §2.第二类曲线积分与第二类曲面积分 §3.Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式 §4.微分形式的外微分 §5.场论初步 〖教学重点〗（1）理解两类曲线积分的概念，掌握两类曲线积分的计算公式，了解它们之间联系；（2）理解 第一类曲面积分概念，掌握计算公式（直角坐标、参数式），会求曲面面积；（3）理解第二类曲面积分的概念， 掌握计算公式（直角坐标）。 （4）掌握各型积分之间的关系，曲线积分与路径无关的条件；（4）了解梯度、 散度、旋度的概念及其物理意义。
曲线积分与曲面积分高等数学下册国家级课程教案
曲线积分与曲面积分——高等数学下册国家级精品课程教案教案章节：一、曲线积分的基本概念及计算二、曲面积分的基本概念及计算三、曲线积分的应用四、曲面积分的应用五、曲线积分与曲面积分的对称性一、曲线积分的基本概念及计算1.1 教学目标让学生掌握曲线积分的基本概念，理解曲线积分的计算方法，并能熟练运用到实际问题中。
1.2 教学内容1. 曲线积分的基本概念曲线积分的定义曲线的参数方程曲线积分的几何意义2. 曲线积分的计算方法微分法参数法极坐标法1.3 教学方法采用讲解与练习相结合的方式，让学生在理解曲线积分基本概念的基础上，通过实际例题掌握曲线积分的计算方法。
1.4 教学练习a) 圆周x^2 + y^2 = 1b) 直线y = xa) 圆周x^2 + y^2 = 1，单位圆周上的积分b) 直线y = x，从原点到点(1,1) 的积分二、曲面积分的基本概念及计算2.1 教学目标让学生掌握曲面积分的基本概念，理解曲面积分的计算方法，并能熟练运用到实际问题中。
2.2 教学内容1. 曲面积分的基本概念曲面积分的定义曲面的参数方程曲面积分的几何意义2. 曲面积分的计算方法微分法参数法极坐标法2.3 教学方法采用讲解与练习相结合的方式，让学生在理解曲面积分基本概念的基础上，通过实际例题掌握曲面积分的计算方法。
2.4 教学练习a) 球面x^2 + y^2 + z^2 = 1b) 平面z = x + ya) 球面x^2 + y^2 + z^2 = 1，单位球面上的积分b) 平面z = x + y，在第一象限内的积分三、曲线积分的应用3.1 教学目标让学生掌握曲线积分的应用，能够运用曲线积分解决实际问题。
3.2 教学内容1. 曲线积分的应用领域曲线长度曲线围成的面积曲线围成的曲线长度2. 实际问题举例3.3 教学方法通过讲解实际问题，让学生了解曲线积分在解决实际问题中的应用。
3.4 教学练习a) 圆周x^2 + y^2 = 1b) 直线y = x，从原点到点(1,1)a) 圆周x^2 + y^2 = 1b) 直线y = x，从原点到点(1,1)四、曲面积分的应用4.1 教学目标让学生掌握曲面积分的应用，能够运用曲面积分解决实际问题。
曲线积分与曲面积分20182
曲线积分与曲面积分20182第十章曲线积分与曲面积分一、基本内容要求1．理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、面积分表达一些几何量和物理量；2．掌握线、面积分的计算法；3．知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系；4．掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分；5．掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少；6．掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。
二、选择1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds eomy x ?+22不相等的积分是：（） A)dx ex212? B)dy ey212?C)dt e t ?2D)dr e r212．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I=+-Lxdy ydx 等于（）A)0 B)-1 C)2 D)-23．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L+)2(化为定积分的正确结果是：（） A)dt t t R )sin 2(cos 02+?-πB)dt t t R)sin 2(cos 02+?πC)dt t t R )cos 2sin (02+-?-π D) dt t t R )cos 2sin (2322+-?ππ4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向，则-+-Ldy y x dx y x )2()3(等于：（）A) -8 B) 0 C) 8 D) 205．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)，则曲线积分I=dx y AEB3等于：（）A) 0 B)dx y BE32C) dx y EB32D) dx y EA32三、填空1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有ds yP x Q x Rz P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[(γβα??-??+??-??+??-∑=。
曲线积分教学设计
曲线积分教学设计曲线积分教学设计一、教学背景1.教材分析：本课程是高等数学中曲线积分的内容，主要涉及曲线积分的概念、定义和性质，曲线积分的计算和应用等内容。
2.学生分析：本课程的学生主要是高中学生，他们具有充分的数学基础知识，而且有一定的抽象思维能力与联系实际的能力，能够理解和掌握曲线积分知识。
三、教学目标1. 知识目标：（1）掌握曲线积分的概念、定义和性质；（2）掌握曲线积分的计算方法；（3）掌握曲线积分的应用。
2.能力目标：（1）培养学生的抽象思维能力与联系实际的能力；（2）培养学生的求解能力和分析能力；（3）培养学生的创新思维能力；（4）培养学生的合作沟通能力。
四、教学重点、难点1. 教学重点：（1）正确理解曲线积分的含义；（2）掌握曲线积分计算的方法；（3）学会利用曲线积分解决实际问题。
2.教学难点：（1）曲线积分的理论推导；（2）计算时对函数的理解；（3）实际问题的求解。
五、教学方法1. 教学方法：（1）以提问引导的方法，引导学生分析问题，培养学生在掌握知识的同时，养成良好的学习习惯；（2）采用案例分析法，让学生从实际问题出发，逐步解决问题，培养学生的实际分析能力，以及培养其他形式的表达能力；（3）采用“紧凑课堂”教学模式，培养学生的自主学习能力和效率；（4）采用“师生协作”模式，教师作为中心，指导学生学习，学生作为参与者，共同完成教学过程，培养学生的合作沟通能力。
2. 方法工具：利用网络媒体、数学软件和投影仪等。
六、教学步骤教学步骤教学内容教学方法探究一：曲线积分1. 认识曲线积分，了解曲线积分的概念和定义2. 掌握曲线积分的性质以提问引导的方法，案例分析法，师生协作模式探究二：曲线积分的计算1. 掌握曲线积分的计算方法2. 学习解决曲线积分的实际问题“紧凑课堂”教学模式，师生协作模式七、评价方式本次教学活动采取多种形式来进行综合评价，评价重点为学生的知识掌握程度、能力运用程度，以及书面报告。
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第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2、会计算两类曲线积分3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。
4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。
5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。
6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。
二、教学内容及学时分配：第一节对弧长的曲线积分2学时第二节对坐标的曲线积分2学时第三节格林公式及其应用4学时第四节对面积的曲面积分2学时第五节对坐标的曲面积分2学时第六节高斯公式通量与散度2学时第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时三、教学内容的重点及难点：1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。
5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用五、思考题与习题第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数）第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8第五节习题10-5 167页：3（单数）、4第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数）第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4第一节对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。
1、引例：求曲线形构件的质量最后举例巩固计算方法的掌握。
2、s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线上，即),,(z y x 必须满足对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。
若是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(⎰Γ3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mdsz y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=⎰Γ4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。
例1 计算⎰Γds z y x )(222++，其中：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰Γds z y x )(222++)382(22)1(3220πππ+=+=⎰dt t例2⎰Γds y ||，其中为球面2222=++z y x与平面y x =的交线；解 的参数方程为t z t y x sin 2,cos ===，π20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，根据对称性得到⎰Lds y ||=24d cos 2420=⎰t t π例3 计算⎰Γds z y x )(222++，其中⎪⎩⎪⎨⎧==+1222z a y x )0(>a 解 :⎪⎩⎪⎨⎧===1sin cos z t a y ta x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222⎰Γds z y x )(222++)1(2)1(2220+=+=⎰a a adt a ππ或解：被积函数222z y x ++中的点),,(z y x 位于曲线上，即),,(z y x 必须满足对应的方程 ，所以12222+=++a z y x ，⎰Γds z y x )(222++=⎰Γds a )1(2+=⎰+=+Γ)1(2)1(22aa ds a π二、教学要求和注意点1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。
第二节 对坐标的曲线积分一、内容要点引例：变力沿曲线所作的功由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例巩固计算方法的掌握。
一、⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(为第二类曲线积分，其中是一条定向曲线，)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F =为向量值函数，=r d ),,(dz dy dx 为定向弧长元素（有向曲线元）若曲线的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，则切向量))('),('),('(t z t y t x =τ ，单位切向量)cos ,cos ,(cos γβατ=e弧长元素=dt t z t y t x 222)(')(')('++定向弧长元素=r d),,(dz dy dx =))(',)(',)('(dt t z dt t y dt t x dt t z t y t x ))('),('),('(= ds t z t y t x t z t z t y t x t y t z t y t x t x ))(')(')(')(,)(')(')(')(',)(')(')(')('(222222222++'++++==ds e ds τγβα=)cos ,cos ,(cos⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=∙⎰ΓF =∙⎰ΓF ds e τ=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds t z t y t x t z z y x R t y z y x Q t x z y x P ⎰Γ++'+'+'222)(')(')(')(),,()(),,()(),,(上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。
例 1 把第二类曲线积分⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(化成第一类曲线积分，其中为从点)0,0,0(到点)1,22,22(的直线段。
解 方向向量)1,22,22(，其方向余弦22cos ,21cos ,21cos ===γβα， 原式=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++2),,(2),,(),,(例2.把第二类曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成第一类曲线积分，其中为从点)0,0(沿上半圆周x y x 222=+到点解 的参数方程为10:22→⎪⎩⎪⎨⎧-==x xx y xx ，切向量)','(y x =τ)21,1(2xx x --=其方向余弦22cos x x -=α，x -=1cos β，⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=ds y x Q y x P L ⎰+]cos ),(cos ),([βα=ds y x Q x y x P x x L ⎰-+-)],()1(),(2[2。
二、第二类曲线积分的应用：若一质点从点A 沿光滑曲线（或分断光滑曲线）移动到点B ，在移动过程中，这质点受到力k z y x R j z y x Q i z y x P F),,(),,(),,(++=，则该力所作的功W=∙⎰ΓF=⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(三、第二类曲线积分的计算方法：1、若空间定向曲线的参数方程b a t t z z t y y t x x →⎪⎩⎪⎨⎧===:)()()(，则⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=⎰++ba dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P )]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([2、若平面定向曲线的参数方程：b a t t y y t x x →⎩⎨⎧==:)()(，则⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+badt t y t y t x Q t x t y t x P )]('))(),(()('))(),(([例 1 计算⎰Γ-+ydz zdy dx x 2，其中为曲线θθθsin ,cos ,a z a y k x ===上从0=θ到πθ=的一段弧。
解 ⎰Γ-+ydz zdy dx x 2=θθθθπd a a k ]cos sin [0222223⎰--=ππ2333a k -。
例2计算曲线积分⎰-+-+-cz y x y z x x y z d )(d )(d )(，其中是曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+2122z y x y x 从轴正向看去，取顺时针方向 分析 先写出曲线的参数方程，可令θcos =x ，θsin =y ，则θθsin cos 2+-=z ，为参数，由题设，的起点、终点对应的参数值分别为和0；在代入计算公式。