解三角形-几何图形

解三角形2
1．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．
（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．
2．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅱ）求角B的大小；
（Ⅱ）点D为边AB上的一点，记∠BDC=θ，若＜θ＜π，CD=2，，a=，求sinθ与b的值．
3．如图，已知△ABC中，D为BC上一点，∠DAC=，cos∠BDA=﹣，AC=4．
（I）求AD的长；
（II）若△ABD的面积为14，求AB的长．
4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．
（Ⅱ）求角C的大小；
（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．
5．如图，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120°．
（Ⅱ）若c=1，求△ABC面积的最大值；
（Ⅱ）若a=2b，求tanA．
6．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．
（1）求角B的大小；
（2）若A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值．
7．如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．
（I）求道路BE的长度；
（Ⅱ）求道路AB，AE长度之和的最大值．
1.解：（Ⅱ）在△ABC中，根据正弦定理，有．
因为，所以．
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，所以∠ADC=120°． (3)
于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，所以∠B=60°．…（6分）
（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，．
于是，，．…（9分）
在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，
即，得x=2．故DC=2．…（12分）
2.解：（Ⅱ）∵，∴可得：，
∵sinC＞0，∴=tanB=，∵0＜B＜π，∴B=…4分
（Ⅱ）在△BCD中，∵=，
∴=，∴sinθ=，…8分∵θ为钝角，∴∠ADC为锐角，
∴cos∠ADC=cos（π﹣θ）==，
∴在△ADC中，由余弦定理，可得：
b===…12分
3.解：（I）∵，∴，…（1分）
==，…（4分）由正弦定理得，即，得AD=7；…（6分）
（II），得BD=5，…（8分）
由余弦定理得，∴
4.解：（Ⅱ）△ABC中，，由正弦定理得，，
∴，又c＜b，∴；…（6分）
（Ⅱ）如图所示，设BC=x，则AB=5﹣x，在△ABC中，由余弦定理得
，求得，即，所以，…（8分）
在△ABC中，由正弦定理得，∴，…（10分）
∴△ACD的面积为=．…（12分）
5.解：（Ⅱ）由余弦定理得a2+b2﹣2abcos120°=1，…（2分）
a2+b2+ab=1≥2ab+ab=3ab，当且仅当a=b时取等号；解得，…（4分）
故，即f（x）面积的最大值为．…（6分）
（Ⅱ）因为a=2b，由正弦定理得sinA=2sinB，…（8分）
又C=120°，故A+B=60°，∴，…（10分）
∴，∴．…（12分）
6.解：（1）∵在△ABC中，a=b（sinC+cosC）．
∴有sinA=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），
∴cosBsinC=sinBsinC，sinC＞0，则cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴则．
（2）在△BCD中，BD=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，
又∵，则△ABC为等腰直角三角形，，
又∵，∴，
当时，四边形ABCD的面积最大值，最大值为．
7.解：（I）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BD2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD=1+1﹣2×1×1×（﹣）=3，∴BD=，∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD==30°，又∵∠CDE=120°，∴∠BDE=90°，
∴在Rt△BDE中，BE===2．…5分
（Ⅱ）设∠ABE=α，∵∠BAE=60°，∴∠AEB=120°﹣α，
在△ABE中，由正弦定理，可得：，
∵=4，∴AB=4sin（120°﹣α），AE=4sinα，
∴AB+AE=4sin（120°﹣α）+4sinα=4（）+4sinα
=2cosα+6sinα=4sin（α+30°），∵0°＜α＜120°，∴30°＜α+30°＜150°，
∴当α+30°=90°，即α=60°时，AB+AE取得最大值4km，即道路AB，AE长度之和的最大值为4km． (13)
分。