湖南省五市十校2016-2017学年高二数学下学期期末联考试题 理
2016-2017学年湖南省五市十校教研教改共同体高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年湖南省五市十校教研教改共同体高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z＝i（i为虚数单位），则z2017的共轭复数是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i2．（5分）一个命题的四种形式的命题中真命题的个数可能取值是（）A．0或2B．0或4C．2或4D．0或2 或4 3．（5分）的值为（）A．B．πC．D．14．（5分）已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x2017，y2017）满足线性回归方程＝x+，则“（x0，y0）满足线性回归方程＝x+”是“x0＝，y0＝“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若函数f（x）＝在x＝l处取得极值，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．36．（5分）如果P，P2，…P n是抛物线C＝y2＝8x上的点，它们的横坐标依次为：x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n＝2017，|P1F|+|P2F|+…+|P n F|＝（）A．n+2017B．n+4034C．2n+2017D．2n+40347．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a7+a13＝24，则S13＝（）A．52B．78C．104D．2088．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m的最大值为（）A．4B．16C．9D．39．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，cos（A+B）＝，则c＝（）A．B．C．3D．10．（5分）用数字0，l，2，3，4，5六个数字可以组成无重复的三位数的个数为（）A．216B．100C．120D．18011．（5分）图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．16B．C．D．12．（5分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”的两数之和，表中最后一行仅是一个数，则这个数为（）A．2018×22016B．2018×22015C．2017×22016D．2017×22015二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）有人发现多看手机容易让人性格变冷漠，如表是一个调查机构对此现象的调查结果：K2＝，则大约有的把握认为多看手机与人变冷漠有关系．附表：14．（5分）曲线y＝x3+x﹣a在点P0处的切线平行于直线y＝4x，则点P0的横坐标是．15．（5分）二项式（ax﹣）9，的展开式中x的系数为84，则a＝．16．（5分）直角坐标平面内两点M，N满足条件：①M，N都在函数y＝f（x）的图象上；②M，N关于原点对称，则对称点（M，N）是函数y＝f（x）的一个“好朋友点组”（点组（M，N）与（N，M）看作同一个“好朋友点组”）．则下列函数中，恰有两个“好朋友点组”的函数是．（填空写所有正确选项的序号）①y＝②y＝③y＝④y＝．三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知{a n}是公比不等于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3＝3，S3＝9（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，若，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[110，130）中的学生数为ξ，求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中的概率；②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1丄底面ABC，AC＝BC＝2，AB＝2，CC1＝4，M是棱CC1上一点（1）求证：BC⊥AM（2）若二面角A﹣MB1﹣C的大小为，求CM的长度．20．（12分）已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣1，0），点A，B分别是椭圆C的右顶点与上顶点，直线l：y＝kx（k＞0）与椭圆相交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF的面积取最大值时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+m﹣x3，g（x）＝ln（x+1）﹣x3+2（1）若曲线：y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为e，求实数m的值；（2）当m≥l时，证明：f（x）＞g（x）[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求椭圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．[选修4一5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣l|+|x﹣a|（1）当a＝2时，求f（x）≤3的解集（2）当x∈[l，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年湖南省五市十校教研教改共同体高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：∵z＝i，∴z2017 ＝i2017＝（i4）504•i＝i，∴z2017的共轭复数是﹣i．故选：D．2．【解答】解：一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，互为逆否命题的命题有2对，根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，∴这四个命题中真命题个数为0、2或4，故选：D．3．【解答】解：＝﹣cos x＝﹣cosπ+cos＝1．故选：D．4．【解答】解：由回归直线方程的性质知，回归方程必过样本中心点（，），则必有＝x0＝，＝y0＝”，反之样本中心点（，），一定在回归直线上，则“（x0，y0）满足线性回归方程＝x+”是“x0＝，y0＝”的充要条件，故选：C．5．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f′（x）＝，∵函数f（x）＝在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝＝0，解得a＝3．故选：D．6．【解答】解：：∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝8x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，x1+x2+…+x n＝2017，∴|P1F|+|P2F|+…+|P n F|＝（x1+2）+（x2+2）+…+（x n+2）＝x1+x2+…+x n+2n＝2n+2017．故选：C．7．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a7+a13＝24，由a1+a13＝2a7，可得3a7＝24，即a7＝8，则S13＝×13（a1+a13）＝13×8＝104．故选：C．8．【解答】解：不等式恒成立⇒的最小值，∵a＞0，b＞0，＝10+≥10+＝16，当且仅当，即a＝b时取等号．∴m≤16，即m的最大值为16．故选：B．9．【解答】解：∵cos（A+B）＝，∴﹣cos C＝，即cos C＝﹣．∴c2＝22+22﹣2×2×2×（﹣）＝10，解得c＝．故选：A．10．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、对于百位数字，可以在l，2，3，4，5五个数字中任选1个，则百位有5种方法，②、对于十位、个位数字，在其余的5个数字中任选2个，安排在十位、个位即可，有A52＝20种情况，则一共可以组成5×20＝100个无重复的三位数；故选：B．11．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC＝×2×4＝4，∴V D﹣ABC＝＝；故选：C．12．【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，则M＝（1+2017）•22015＝2018×22015故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：根据2×2列联表，计算K2＝≈7.822＞6.635，所以有99%的把握认为多看手机与人变冷漠有关系．故答案为：99%．14．【解答】解：设P0点的坐标为（m，f（m）），由f（x）＝x3+x﹣a，得到f′（x）＝3x2+1，由曲线在P0点处的切线平行于直线y＝4x，得到切线方程的斜率为4，即f′（m）＝3m2+1＝4，解得m＝1或m＝﹣1，当m＝1时，f（1）＝2﹣a；当m＝﹣1时，f（﹣1）＝﹣a，则P0点的坐标为（1，2﹣a）或（﹣1，﹣a）．切点的横坐标为：±1．故答案为：±1．15．【解答】解：二项式（ax﹣）9展开式的通项公式为T r+1＝•（ax）9﹣r•＝••a9﹣r•，令9﹣r＝1，解得r＝6；∴展开式中x的系数为••a3＝84，解得a＝9．故答案为：9．16．【解答】解：①函数y＝﹣x﹣1，（x＜0）关于原点对称的函数为﹣y＝x﹣1，即y＝﹣x+1，在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数只有一个，所以函数f（x）的“好朋友点组”有1个，不满足条件．②函数y＝﹣ln|x|（x＜0）关于原点对称的函数为﹣y＝﹣ln|﹣x|，即y＝ln|x|，在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有2个，所以函数f（x）的“好朋友点组”有2个，满足条件．③函数y＝﹣x2﹣4x，（x＜0）关于原点对称的函数为﹣y＝﹣x2+4x，即y＝x2﹣4x，在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有2个，所以函数f（x）的“好朋友点组”有2个，满足条件．④函数y＝e﹣x，（x＜0）关于原点对称的函数为﹣y＝e x，即y＝﹣e x，在x＞0上作出两个函数的图象如图，，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有0个，所以函数f（x）的“好朋友点组”有0个，不满足条件．故答案为：②③．三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，q≠1，化为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）解得，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．【解答】解：（1）本次月考数学学科的平均分为＝；（2）由表知，成绩落在[110，130）中的概率为P＝，①设A表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中”，则，所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中的概率为；②ξ的可能取值为0，1，2，3；且，，，；∴ξ的分布列为数学期望为．（或，则．19．【解答】证明：（1）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1丄底面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，∵AC＝BC＝2，AB＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，∵CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵AM⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AM．解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设CM＝t，则A（2，0，0），M（0，0，t），B1（0，2，4），C（0，0，0），＝（2，0，﹣t），＝（0，2，4﹣t），＝（0，0，﹣t），设平面MAB1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝t，得＝（t，t﹣4，2），平面MB1C的法向量＝（1，0，0），∵二面角A﹣MB1﹣C的大小为，∴cos＝＝，解得t＝．∴CM＝．20．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a＝2b，且椭圆过（﹣1，0），则b＝1，a＝2，∴椭圆的标准方程为；（2）设E（，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，直线AB的方程：整理得：（k2+4）x2＝4，…（5分）故x1＝﹣x2＝．①…（6分）又点E，F到直线AB的距离分别为h1＝＝， (7)h2＝＝，丨AB丨＝，…（8分）∴四边形AEBF的面积为S＝丨AB丨（h1+h2）＝××＝，…（10分）＝2＝2＝2≤2＝2，当k＝，（k＞0），即当k＝2时，上式取等号．∴当四边形AEBF面积的最大值时，k的值为2．（12分）21．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x+m﹣x3的导数为f′（x）＝e x+m﹣3x2，在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e m＝e，解得m＝1；（2）证明：m≥l时，f（x）＞g（x）即为e x+m＞ln（x+1）+2．由y＝e x﹣x﹣1的导数为y′＝e x﹣1，当x＞0时，y′＞0，函数递增；当x＜0时，y′＜0，函数递减．即有x＝0处取得极小值，也为最小值0．即有e x≥x+1，则e x+m≥x+m+1，由h（x）＝x+m+1﹣ln（x+1）﹣2＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，h′（x）＝1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．即有x＝0处取得最小值，且为m﹣1，当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，即x+m+1≥ln（x+1）+2，则有f（x）＞g（x）成立．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）曲线C：（a为参数），化为普通方程为：，由，得ρcosθ﹣ρsinθ＝﹣2，所以直线l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0．（5分）（2）直线l1的参数方程为（t为参数），代入，化简得：，得t1t2＝﹣1，∴|MA|•|MB|＝|t1t2|＝1．（10分）[选修4一5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）根据题意，当a＝2时，f（x）＝|2x﹣l|+|x﹣2|，则f（x）≤3即|2x﹣l|+|x﹣2|≤3⇔或或，解可得：0≤x≤2，即不等式的解集为[0，2]．（2）当x∈[l，2]时，f（x）＝|2x﹣l|+|x﹣a|＝2x﹣1+|x﹣a|，若f（x）≤3恒成立，即2x﹣1+|x﹣a|≤3恒成立，则有|x﹣a|≤4﹣2x，则有2x﹣4≤a﹣x≤4﹣2x，即3x﹣4≤a≤4﹣x恒成立，又由x∈[l，2]，则3x﹣4的最大值为6﹣4＝2，4﹣x的最小值为4﹣2＝2，即有a＝2故a的值为2．。
中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析
2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题理
湖北省孝感市七校教学联盟2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设则“”是“”的Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2、下列各式的运算结果为纯虚数的是A．B．C．D．3、已知命题；命题若,则．下列命题为真命题的是A．B．C．D．4、椭圆的离心率是A．B．C．D．5、已知直线的方向向量，平面的法向量，若，，则直线与平面的位置关系是A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．直线在平面内或直线与平面平行6、已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为A．B．C．D．7、函数在上的最大值和最小值分别为8、若是正整数的值为A．B．C．D．9、设函数的图象与轴相交于点，则曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．10、已知，则的值为A．B． C． D．11、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A．乙可以知道两人的成绩B．丁可能知道两人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩12、已知函数的导函数满足，则对都有A ． B．C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、在数列中，()，猜想这个数列的通项公式是．14、函数的单调减区间是．15、已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为．16、设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记．当为锐角时，的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）（Ⅰ）求函数的导数；（Ⅱ）求．18、（本小题满分12分）。
(全优试卷)湖南省五市十校教研教改共同体高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
“五市十校教研教改共同体”2015-2016高二第二学期期末考试数学（理科）时量：120分钟 总分150分考试学校：沅江一中、箴言中学、桃江一中、宁乡一中、雷锋学校、东山学校、南方中学、 岳阳市第十四中学、岳阳市第十五中学、南县一中等第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．复数12ii-+ (i 是虚数单位)的虚部是( ) A ．13 B ．13i C ． －15 D ．－15iA ．(0，1)B ．[0，1)C ．(1，2)D ．[1，2)3．设数列{}n a 是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则1a =（ ） A ．1 B ． 4 C ．7 D ．1或74．将函数()2cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为( )A ．0x =B ．6x π=C ．4x π=D ．2x π=5．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的体积为( )A ．8010π+B ．8020π+C ．9214π+D ．12010π+6．已知函数2()sin 2cos f x x x x x =+，(2,2)x ππ∈-，则其导函数'()f x 的图象大致是（ ）A B C D7．给出下列三个命题：①“若2230x x +-≠，则3x ≠-”为假命题； ② 若p q ∨为真命题，则p ,q 均为真命题；③ 命题:,30xp x R ∀∈>，则00:,30x p x R ⌝∃∈≤．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．38．定义在R 上的奇函数()f x 满足()(4)f x f x =-，且在[)0,2上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）A ．0(1)(5)f f <-<B ．(1)(5)0f f -<<C ．(5)(1)0f f <-<D ．(1)0(5)f f -<< 9．阅读右图所示程序框图，若输入2017n =，则输出的S 值是（ ） A ．20164033B ． 20174035 C ．40324033 D ． 4034403510．点P 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>在第一象限的某点，1F 、2F 为双曲线的焦点．若P 在以12F F 为直径的圆上且满足213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25 C．4D ．210 11．如图，设区域{}()|0101D x y x y =≤≤≤≤，，，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y =2y x =所围成阴影区域内的概率是（ ）A ．16 B ． 13 C ．12 D ． 2312．在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(2,0)B ，(8,0)M ，(0,8)N ，若5AP BP =，12()()()33OQ t OM t ON t =-++为实数，则||PQ 的最小值是（ ）A．3 B．3 C．1 D ． 5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．数列{}n a 的前n 项和记为()11,3,21n n n S a a S n +==≥，则n S =__________． 14．某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有 种不同参加方案（用数字作答）．15．若实数x ，y 满足约束条件4210440y xx y x y ≤-⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则46y z x +=-的最大值是 ．16．将三项式()21nx x ++展开，当0,1,2,3,n =⋅⋅⋅时，得到以下等式：()0211xx ++=()12211x x x x ++=++()2243212321xx x x x x ++=++++()32654321367631x x x x x x x x ++=++++++……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和，第k 行共有2k+1个数．若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为75，则实数a 的值为 ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分) 如图，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的三条边分别为a b c 、、，且角A 、B 、C 成等差数列，2a =，线段AC 的垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点．（Ⅰ）若△BCD ，求线段CD 的长；（Ⅱ）若CD =，求角A 的值．18．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =，AD =M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （Ⅰ）求证：AD BM ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为．19．（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828 P K kk≥2K的观测值：2()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++）关于商品和服务评价的2×2列联表：20．（本小题满分12分）已知椭圆222:1(0)3x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为,A B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞；3()g x x ax =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）若对1(0,)x ∀∈+∞，总存在2[1,2]x ∈使得12()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）证明不等式12()()()1nnn n e nnn e +++<-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图直线AB 经过圆O 上的点C ，OA=OB ，CA=CB ，圆O 交直线OB 于点E 、D ，其中D 在线段OB 上，连接EC 、CD ．（Ⅰ）证明：直线AB 是圆O 的切线； （Ⅱ）若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求线段OA 的长．23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=34,13t y t x （t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，且AB ≥，求实数a 的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =-+-． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x ≤； （Ⅱ）若()2f x ≥，求实数a 的取值范围．参考答案 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数12ii-+ (i 是虚数单位)的虚部是( ) A ．13 B ．13i C ． －15 D ．－15i【答案】CA ．(0，1)B ．[0，1)C ．(1，2)D ．[1，2) 【答案】D3．设数列{}n a 是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则1a =（ ） A ．1 B ． 4 C ．7 D ．1或7 【答案】C4．将函数()2cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为( )A ．0x =B ．6x π= C ．4x π=D ．2x π=【答案】B5．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的体积为( )A ．8010π+B ．8020π+C ．9214π+D ．12010π+ 【答案】A6．已知函数2()sin 2cos f x x x x x =+，(2,2)x ππ∈-，则其导函数'()f x 的图象大致是（ ）A B C D【答案】C7．给出下列三个命题：①“若2230x x +-≠，则3x ≠-”为假命题； ② 若p q ∨为真命题，则p ,q 均为真命题；③ 命题:,30x p x R ∀∈>，则00:,30xp x R ⌝∃∈≤．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()(4)f x f x =-，且在[)0,2上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）A ．0(1)(5)f f <-<B ．(1)(5)0f f -<<C ．(5)(1)0f f <-<D ．(1)0(5)f f -<< 【答案】D9．阅读如图所示的程序框图,若输入2017n =,则输出的S值是（ ） A ．20164033B ． 20174035 C ．40324033 D ． 40344035【答案】A10．点P 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>在第一象限的某点，1F 、2F 为双曲线的焦点．若P 在以12F F 为直径的圆上且满足213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25 C ．4D ．210 【答案】D11．如图，设区域{}()|0101D x y x y =≤≤≤≤，，，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y =2y x =所围成阴影区域内的概率是（ ）A ．16 B ． 13 C ．12 D ． 23【答案】B12．在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(2,0)B ，(8,0)M ，(0,8)N ，若5AP BP =，12()()()33OQ t OM t ON t =-++为实数，则||PQ 的最小值是（ ）A．3 B．3 C．1 D ． 5 【答案】A第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22 ~ 24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．数列{}n a 的前n 项和记为()11,3,21n n n S a a S n +==≥，则n S =__________． 【答案】3n14．某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有 种不同参加方案（用数字作答）． 【答案】4215．若实数x ，y 满足约束条件4210440y xx y x y ≤-⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则46y z x +=-的最大值是 ．【答案】-216．将三项式()21nx x ++展开，当0,1,2,3,n =⋅⋅⋅时，得到以下等式：()0211x x ++=()12211x x x x ++=++()2243212321xx x x x x ++=++++()32654321367631x x x x x x x x ++=++++++……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和，第k 行共有2k+1个数．若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为75，则实数a 的值为 ． 【答案】2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分) 如图，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的三条边分别为a b c 、、，且角A 、B 、C 成等差数列，2a =，线段AC 的垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点．（Ⅰ）若△BCD 的面积为3，求线段CD 的长；（Ⅱ）若CD =A 的值．解：（Ⅰ）∵角A,B,C成等差数列，A B C π++=，∴3B π=…………1分又∵△BCD 2a =，∴11sin 222BCDS BD BC B BD ==⨯= ∴23BD =…………3分在△BCD 中，由余弦定理可得3CD ==………6分（Ⅱ）由题意，在△BCD 中，sin sin CD BCB BDC=∠2sin BDC =∠，………8分 ∴sin 1BDC ∠=，则90oBDC ∠=，即C D A B ⊥ …………10分 又DE 为AC 的垂直平分线，故4A B π∠=∠=…………12分18．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =，AD =M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（Ⅰ）求证：AD BM ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为．解：（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为DC 的中点，∴AM=BM=2，∴BM ⊥AM. ……2分 ∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ⊂平面ABCM∴BM ⊥平面ADM ……4分 ∵AD ⊂平面ADM ∴AD ⊥BM. ……5分 （Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，设DE DB λ=，则平面AMD 的一个法向量(0,1,0)n =，(1,2,1),ME MD DB λλλλ=+=--(2,0,0)AM =-， ……8分设平面AME 的一个法向量(,,),m x y z = 则202(1)0x y z λλ=⎧⎨+-=⎩ 取y =1，得20,1,,1x y z λλ===- 所以2(0,1,)1m λλ=-， ……10分 因为5cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅，求得12λ=，所以E为BD的中点．……12分19．（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828 P K kk≥2K的观测值：2()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++）关于商品和服务评价的2×2列联表：解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：2分22200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ………4分故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关. …5分(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3. 其中3327(0)()5125P X ===; 1232354(1)()()55125P X C ===;………7分22132336(2)()()55125P X C ===; 3303238(3)()()55125P X C ===. ………9分X 的分布列为：10分②由于2~(3,)5X B ,则26()3,55E X =⨯=2218()3(1).5525D X =⨯⨯-=……12分20．（本小题满分12分）已知椭圆222:1(0)3x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为,A B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值. （Ⅰ）因为)0,1(-F 为椭圆的焦点，所以1=c ，又32=b ，所以42=a ，所以椭圆方程为13422=+y x . ……………………………………4分（Ⅱ）当直线l 无斜率时,直线方程为1-=x ,此时3(1,)2D -,3(1,)2C --,021=-S S . ……………………………………5分当直线l 斜率存在时，设直线方程为)0)(1(≠+=k x k y ，设),(),,(2211y x D y x C ，联立得⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(13422x k y y x ，消掉y 得01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然0>∆，方程有根，且2221222143124,438k k x x k k x x +-=+-=+.………………8分此时)1()1(22212121221+++=+=-=-x k x k y y y y S S212122(+)234kk x x k k =+=+. ………………………………10分因为0≠k ，上式312212432124312==⋅≤+=k kk k，（23±=k 时等号成立）， 所以21S S -的最大值为3. …………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞；3()g x x ax =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）若对1(0,)x ∀∈+∞，总存在2[1,2]x ∈使得12()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）证明不等式12()()()1nnn n e nnn e +++<-．，， ……………………1分时，，时，， ……………………3分，∴的最大值为. ……………………4分，使得成立，等价于……………………5分，当时，在时恒为正，满足题意. ……………………6分时，2()3g x x a '=-，令()0g x '=，解得，上单调递增，……………………7分，∴，∴.时，在递减，递增，而，在为正，在为负，∴，，而时，，不合题意，的取值范围为. …………9分即， …………10分，∴，即，…………11分. …………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图直线AB 经过圆O 上的点C ，OA=OB ，CA=CB ，圆O 交直线OB 于点E 、D ，其中D 在线段OB 上，连接EC 、CD ．（Ⅰ）证明：直线AB 是圆O 的切线； （Ⅱ）若1t a n 2C ED ∠=，圆O 的半径为3，求线段OA 的长．解：（1）连结,,,OC OA OB CA CB OC AB ==∴⊥.又OC 是圆O 的半径，AB ∴是圆O 的切线. …………5分 （2）直线AB 是圆O 的切线，BCD E ∴∠=∠.又CBD EBC ∠=∠，BCD BEC ∴∆∆，则有BC BD CD BE BC EC ==，又1t a n 2CD CED EC ∠==，故12B DC DB C E C==. 设BD x =，则2BC x =，又2BC BD BE =，故()()226x x x =+，即2360x x -=.解得2x =，即2BD =.325OA OB OD DB ∴==+=+=. …………10分23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=34,13t y t x （t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，且AB ≥，求实数a 的取值范围．23.解：（Ⅰ）C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，在直线l 的参数方程中消t 得：4350x y -+= ………5分（Ⅱ）要满足弦AB ≥及圆的半径为a 可知只需圆心(0,)a 到直线l 的距离12d a ≤即12a ≤, 整理得：2111201000a a -+≤即(1110)(10)0a a --≤解得：101011a ≤≤， 故实数a 的取值范围为：101011a ≤≤ ………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =-+-． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x ≤； （Ⅱ）若()2f x ≥，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，231()112232x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩， ……………1分 当1x <时，232x -+≤，所以12x >。
2016-2017学年度高二第二学期期末考模拟卷(理数)内附详细解答过程
2016-2017学年度第二学期期末考模拟卷高二数学（理数）说明：1．全卷共6页，满分为150分。
考试用时为120分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在相应位置上填写自己的姓名、座位号。
3．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生务必保持卷面的整洁。
姓名：____________ 得分:________________一．选择题（每题5分，12小题，共60分）1．复数2−mi1+2i=A+Bi，(m，A，B∈R)，且A+B=0，则m的值是（）A．√2B．23C．﹣23D．22．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（x，y）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程y∧=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量y∧平均增加0.2个单位3．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．272B．9 C．92D．2744．若P=√a+√a+7，Q=√a+3+√a+4（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．由a的取值确定5．5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（）A．40 B．36 C．32 D．246．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.167．若质点P的运动方程为S（t）=2t2+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（）A．2米/秒B．3米/秒C．4米/秒D．5米/秒8．已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：ξ p q Pqp若E （ξ）=49．则p 2+q 2=（ ）A ．49B ．12C ．59D ．19．曲线y=sinx+e x （其中e=2.71828…是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线的斜率为（ ） A ．2 B ．3C ．13D ．1210.函数f （x ）=ax 3﹣3x+1 对于x ∈[﹣1，1]总有f （x ）≥0成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2，+∞） B ．[4，+∞） C ．{4} D ．[2，4]11．P 为椭圆x 22b2+y 2b 2=1(b ＞0)上异于左右顶点A 1、A 2的任意一点，则直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值−12．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P 为双曲线x 22b 2−y 2b 2=1(b ＞0)上异于左右顶点A 1、A 2的任意一点，则（ ）A ．直线PA 1与PA 2的斜率之和为定值12 B ．直线PA 1与PA 2的斜率之和为定值2 C ．直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值12 D ．直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值212．若函数f （x ）在区间A 上，对∀a ，b ，c ∈A ，f （a ），f （b ），f （c ）为一个三角形的三边长，则称函数f （x ）为“三角形函数”．已知函数f （x ）=xlnx+m 在区间[1e 2，e]上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(1e ，e 2+2e) B ．(2e ，+∞)C ．(1e ，+∞)D ．(e 2+2e，+∞)二．填空题（每题5分，4小题，共20分）13．有下列各式：1+12+13＞1，1+12+⋯+17＞32，1+12+13+⋯+115＞2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为： ．14．已知（2x ﹣1√x ）n 展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是 ．15．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．16．已知函数g （x ）=a ﹣x 2（1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数）与h （x ）=2lnx 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 ．三．解答题17．（本小题12分）实数m 分别取什么数值时，复数z=（m+2）+（3﹣2m ）i（1）与复数12+17i 互为共轭；（2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．18．（本小题12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量y （件）之间有如下关系： x （百元） 5 6 7 8 9 y （件）108961（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？ 相关公式：b ^=∑n i=1(x i −x)(y i −y)∑n i=1(x i −x)2=∑n i=1x i y i −nx⋅y∑n i=1x i2−nx 2，a ^=y −bx ．19．（本小题12分）集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．20．（本小题12分）已知函数f（x）=e x﹣1，g(x)=√x+x，其中e是自然对数的底，e=2.71828…．（1）证明：函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（1，2）上有零点；（2）求方程f（x）=g（x）根的个数，并说明理由；（3）若数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0）（a为常数），a n+13=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意n ∈N*，都有a n≤M．21．（本小题12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤lnx恒成立，求a的取值范围．x+1在第22，23题中选做一题，分值为10分。
2017年高二下学期期末数学试卷两套合集三理科附答案解析
2017年高二下学期期末数学试卷两套合集三（理科）附答案解析高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣22．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x2+x≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④3．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系4．下面几种推理中是演绎推理的是（）A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电B．猜想数列5，7，9，11，…的通项公式为an=2n+3C．由正三角形的性质得出正四面体的性质D．半径为r的圆的面积S=π•r2，则单位圆的面积S=π5．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论 D．无错误6．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．7．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，S5=3（a2+a8），则的值为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，B=，c=150，b=50，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形9．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种 C．11种D．23种10．函数f（x）=sinx+2x，若对于区间[﹣π，π]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．4πB．2πC．πD．011．设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+112．已知函数f（x）=，若对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有||＞，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（每题5分）13．在（x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为________（用数字作答）．14．以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=________．15．现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为________．16．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为________．三、解答题17．数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1﹣2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d （d ≠0）的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y （单位：千元）与该地当日最低气温x （单位：℃）的数据，如表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （Ⅰ）求y 关于x 的回归方程=x+；（Ⅱ）判定y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X ～N （μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s 2，求P （3.8＜X ＜13.4）附：①回归方程=x+中， =， =﹣b ．②≈3.2，≈1.8．若X ～N （μ，δ2），则P （μ﹣δ＜X ＜μ+δ）=0.6826，P （μ﹣2δ＜X ＜μ+2δ）=0.9544．19．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计附：．P（K2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02420．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（，0），上下两个顶点与点F 恰好是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过原点O的直线l与椭圆交于A，B两点，如果△FAB为直角三角形，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2【考点】复数的基本概念．【分析】纯虚数的表现形式是a+bi中a=0且b≠0，根据这个条件，列出关于a的方程组，解出结果，做完以后一定要把结果代入原复数检验是否正确．【解答】解：∵复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，∴a2+a﹣2=0且a2﹣3a+2≠0，∴a=﹣2，故选A2．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x2+x≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可；②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论；③直接写出全称命题的否定判断；④利用基本不等式，可得结论．【解答】解：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可，故不正确；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x2+x＜1”，故不正确；④“x＞0”时，“x+≥2”，若“x+≥2”，则“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要条件，故正确．故选：C．3．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系【考点】两个变量的线性相关．【分析】线性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强．【解答】解：样本中心点在直线上，故A正确，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确，R2越大拟合效果越好，故C不正确，当r的值大于0.75时，表示两个变量具有线性相关关系，故选C4．下面几种推理中是演绎推理的是（）A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电=2n+3B．猜想数列5，7，9，11，…的通项公式为anC．由正三角形的性质得出正四面体的性质D．半径为r的圆的面积S=π•r2，则单位圆的面积S=π【考点】演绎推理的意义．【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．【解答】解：选项A是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，选项B，是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，选项C：是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理，选项D半径为r圆的面积S=πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S=π中，半径为r圆的面积S=πr2，是大前提单位圆的半径为1，是小前提单位圆的面积S=π为结论．故选：D．5．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论 D．无错误【考点】进行简单的演绎推理．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论． 【解答】解：∵，这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a ，b 都是正数，是小前提，没有写出x 的取值范围，∴本题中的小前提有错误， 故选A ．6．设随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），则函数f （x ）=x 2+2x+ξ不存在零点的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式．【分析】函数f （x ）=x 2+2x+ξ不存在零点，可得ξ＞1，根据随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论． 【解答】解：∵函数f （x ）=x 2+2x+ξ不存在零点， ∴△=4﹣4ξ＜0，∴ξ＞1∵随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2）， ∴曲线关于直线x=1对称 ∴P （ξ＞1）= 故选C ．7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5=3（a 2+a 8），则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的性质与通项公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ． 由等差数列{a n }的性质可得：a 2+a 8=2a 5，∴S 5=3（a 2+a 8）=6a 5， ∴5a 1+=6（a 1+4d ），化为a 1=﹣14d ． 则===．故选：D ．8．在△ABC 中，B=，c=150，b=50，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求得sinC==，利用大边对大角可得＜C ＜π，可解得：C ，A 的值，从而得解．【解答】解：由已知及正弦定理可得：sinC===．∵c=150＞b=50，∴＜C ＜π，可解得：C=或．∴解得：A=或．故选：B ．9．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（ ） A ．6种 B ．9种 C ．11种 D ．23种 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．【解答】解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A 44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种， 有1个数字相同的有4×2=8种情况， 有2个数字相同的有C 42×1=6种情况， 有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种， 故选B ．10．函数f （x ）=sinx+2x ，若对于区间[﹣π，π]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．0【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】问题等价于对于区间[﹣π，π]上，f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ，求出f （x ）的导数，分别求出函数的最大值和最小值，从而求出t 的范围即可．【解答】解：对于区间[﹣π，π]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1}﹣f （x 2）|≤t ， 等价于对于区间[﹣π，π]上，f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ， ∵f （x ）=sinx+2x ，∴f′（x ）=cosx+2≥0，∴函数在[﹣π，π]上单调递增，∴f （x ）max =f （π）=2π，f （x ）min =f （﹣π）=﹣2π， ∴f （x ）max ﹣f （x ）min =4π， ∴t ≥4π，∴实数t 的最小值是4π， 故选：A ．11．设直线l 与曲线f （x ）=x 3+2x+1有三个不同的交点A 、B 、C ，且|AB|=|BC|=，则直线l 的方程为（ ）A ．y=5x+1B ．y=4x+1C ．y=x+1D ．y=3x+1【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据对称性确定B 的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A 的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．【解答】解：由题意，曲线f （x ）=x 3+2x+1是由g （x ）=x 3+2x ，向上平移1个单位得到的，函数g （x ）=x 3+2x 是奇函数，对称中心为（0，0）， 曲线f （x ）=x 3+2x+1的对称中心：B （0，1）， 设直线l 的方程为y=kx+1，代入y=x 3+2x+1，可得x 3=（k ﹣2）x ，∴x=0或x=±∴不妨设A （，k+1）（k ＞2）∵|AB|=|BC|=∴（﹣0）2+（k+1﹣1）2=10∴k3﹣2k2+k﹣12=0∴（k﹣3）（k2+k+4）=0∴k=3∴直线l的方程为y=3x+1故选：D．12．已知函数f（x）=，若对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有||＞，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据不等式单调函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=﹣，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，故f（x）在[e2，+∞）上单调递减，不妨设x1≥x2≥e2，则||＞⇔f（x2）﹣f（x1）＞k（﹣），⇔f（x2）﹣k•＞f（x1）﹣k•，⇔函数F（x）=f（x）﹣=﹣在[e2，+∞）上单调递减，则F′（x）=≤0在[e2，+∞）上恒成立，∴k≤lnx在[e2，+∞）上恒成立，∵在[e2，+∞）上，（lnx）min=lne2=2，故k∈（﹣∞，2]，故选：A二、填空题（每题5分） 13．在（x ﹣）5的二次展开式中，x 2的系数为40（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为2求出x 2的系数． 【解答】解：，令所以r=2，所以x 2的系数为（﹣2）2C 52=40． 故答案为4014．以模型y=ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny ，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e 4． 【考点】线性回归方程．【分析】我们根据对数的运算性质：log a （MN ）=log a M+log a N ，log a N n =nlog a N ，即可得出结论．【解答】解：∵y=ce kx ，∴两边取对数，可得lny=ln （ce kx ）=lnc+lne kx =lnc+kx ， 令z=lny ，可得z=lnc+kx ， ∵z=0.3x+4， ∴lnc=4， ∴c=e 4． 故答案为：e 4．15．现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为472． 【考点】计数原理的应用．【分析】利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决． 【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有C 163=560种取法，其中每一种小球各取三个，有4C 43=16种取法，两个红色小球，共有C 42C 121=72种取法， 故所求的取法共有560﹣16﹣72=472种． 故答案为：472．16．设a 为实常数，y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=9x++7．若f （x ）≥a+1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为．．【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式．【分析】先利用y=f （x ）是定义在R 上的奇函数求出x ≥0时函数的解析式，将f （x ）≥a+1对一切x ≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f （x ）的最小值，解不等式求出a 的范围．【解答】解：因为y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 所以当x=0时，f （x ）=0；当x ＞0时，则﹣x ＜0，所以f （﹣x ）=﹣9x ﹣+7因为y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 所以f （x ）=9x+﹣7；因为f （x ）≥a+1对一切x ≥0成立， 所以当x=0时，0≥a+1成立， 所以a ≤﹣1； 当x ＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1， 因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1， 解得，所以．故答案为：．三、解答题17．数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1﹣2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d （d ≠0）的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 【分析】（1）利用、等差数列的通项公式、等比数列的定义即可得出；（2）利用“错位相减法”即可得出．【解答】解析：（1）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n+1﹣2n =2n ， 又，也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为．b 1=a 1=2，设公差为d ，由b 1，b 3，b 11成等比数列， 得（2+2d ）2=2×（2+10d ），化为d 2﹣3d=0． 解得d=0（舍去）d=3，所以数列{b n }的通项公式为b n =3n ﹣1． （2）由（1）可得T n =，∴2T n =，两式相减得T n =，==．18．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y （单位：千元）与该地当日最低气温x （单位：℃）的数据，如表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （Ⅰ）求y 关于x 的回归方程=x+；（Ⅱ）判定y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（3.8＜X＜13.4）附：①回归方程=x+中，=，=﹣b．②≈3.2，≈1.8．若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．【考点】线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（I）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）根据的符号判断，把x=6代入回归方程计算预测值；（III）求出样本的方差，根据正态分布知识得P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）．【解答】解：（I）解：（I）=×（2+5+8+9+11）=7，=（12+10+8+8+7）=9．=4+25+64+81+121=295，=24+50+64+72+77=287，∴==﹣=﹣0.56．=9﹣（﹣0.56）×7=12.92．∴回归方程为：=﹣0.56x+12.92．（II）∵=﹣0.56＜0，∴y与x之间是负相关．当x=6时，=﹣0.56×6+12.92=9.56．∴该店当日的营业额约为9.56千元．（III）样本方差s2=×[25+4+1+4+16]=10，∴最低气温X～N（7，10），∴P（3.8＜X＜10.2）=0.6826，P（0，6＜X＜13.4）=0.9544，∴P（10.2＜X＜13.4）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．∴P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）=0.6826+0.1359=0.8185．19．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计附：．P（K2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图，得乙班“成绩优秀”人数为4，ξ可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（2）由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46，作出列联表，求出K2的观测值，由此能判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得乙班“成绩优秀”人数为4，ξ可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ012P∴Eξ==．（2）由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46，甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀12416成绩不优秀384684总计5050100根据列联表中数据，K2的观测值：K2=≈4.762，∵4.762＞3.841，∴在错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．20．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形⇒EG∥AF，就可证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）先以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．把对应各点坐标求出来，可以推出•=0和•=0，就可以得到CF⊥平面BDE（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到=（，，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量•=0和•=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角A﹣BE ﹣D的大小．【解答】解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG．因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．则C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，，1）．所以=（，，1），=（0，﹣，1），=（﹣，0，1）．所以•=0﹣1+1=0，•=﹣1+0+1=0．所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．即所以x=0，且z=y．令y=1，则z=．所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A﹣BE﹣D为锐角，所以二面角A﹣BE﹣D为．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（，0），上下两个顶点与点F 恰好是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过原点O的直线l与椭圆交于A，B两点，如果△FAB为直角三角形，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过题意直接计算即得结论；（Ⅱ）通过设直线l 方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．分FA ⊥FB 、FA 与FB 不垂直两种情况讨论即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题可知c=，a=2b ，∵b 2+c 2=a 2，∴a 2=4，b 2=1， ∴椭圆C 的标准方程为：； （Ⅱ）由题，当△FAB 为直角三角形时，显然过原点O 的直线l 斜率存在， 设直线l 方程为：y=kx ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ①当FA ⊥FB 时， =（x 1﹣，y 1），=（x 2﹣，y 2）．联立，消去y 得：（1+4k 2）x 2﹣4=0，由韦达定理知：x 1+x 2=0，x 1x 2=﹣，=•=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+3+k 2x 1x 2=（1+k 2）•（﹣）+3=0，解得k=±，此时直线l 的方程为：y=±x ；②当FA 与FB 不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设∠FAB=，即点A 既在椭圆上又在以OF 为直径的圆上．∴，解得x 1=，y 1=±，∴k==±，此时直线l 的方程为：y=±x ； 综上所述，直线l 的方程为：y=±x 或y=±x ．22．已知函数f （x ）=（其中k ∈R ，e 是自然对数的底数），f′（x ）为f （x ）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ）A ．y=±x B ．y=±2x C ．y=±x D ．y=±x2．复数z=（3﹣2i ）i 的共轭复数等于（ ）A ．﹣2﹣3iB ．﹣2+3iC ．2﹣3iD ．2+3i3．观察下列式子：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52，…，据此你可以归纳猜想出的一般结论为（ ）A ．1+3+5+…+（2n+1）=n 2（n ∈N *）B ．1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2（n ∈N *）C ．1+3+5+…+（2n ﹣1）=（n ﹣1）2（n ∈N *）D ．1+3+5+…+（2n ﹣1）=（n+1）2（n ∈N *） 4．定积分e x dx=（ ） A ．1+e B ．eC ．e ﹣1D ．1﹣e5．已知x ，y 的取值如表所示，若y 与x 线性相关，且线性回归方程为，则的值为（ ） x 1 2 3y 6 4 5 A ．B ．C ．D ．﹣6．函数f （x ）=x 3﹣3x+2的极大值点是（ ） A ．x=±1B ．x=1C ．x=0D ．x=﹣17．设（2x ﹣1）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣18．函数f （x ）=的导函数f′（x ）为（ ）A ．f′（x ）=B ．f′（x ）=﹣C ．f′（x ）=D ．f′（x ）=﹣9．五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有1人，不同排法的总数是（ ） A ．48 B ．36 C ．18 D ．12 10．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 2|=，则cos ∠F 1PF 2=（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知P 是抛物线y 2=4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣112．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）=0，当x ＞0时，f （x ）+xf′（x ）＞0（其中f′（x ）为f （x ）的导函数），则f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C ．（﹣2，0）∪（2，+∞） D ．（﹣2，0）∪（0，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣）6展开式的常数项为_______．14．若曲线y=kx+lnx 在点（1，k ）处的切线平行于x 轴，则k=_______． 15．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1（﹣c ，0），右焦点F 2（c ，0），若椭圆上存在一点P ，使|PF 1|=2c ，∠F 1PF 2=30°，则该椭圆的离心率e 为_______． 16．若存在正实数x 0使e（x 0﹣a ）＜2（其中e 是自然对数的底数，e=2.71828…）成立，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点 （Ⅰ）当|PF|=2时，求点P 的坐标；（Ⅱ）求点P 到直线y=x ﹣10的距离的最小值．18．学校游园活动有这样一个游戏：A 箱子里装有3个白球，2个黑球，B 箱子里装有2个白球，2个黑球，参加该游戏的同学从两个箱子中各摸出一个球，若颜色相同则获奖，现甲同学参加了一次该游戏． （Ⅰ）求甲获奖的概率P ；（Ⅱ）记甲摸出的两个球中白球的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）19．已知函数f（x）=alnx﹣x+3（y=kx+2k），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+b（b∈R）（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的极值．20．某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1（Ⅰ）求P（75＜X＜95）；（Ⅱ）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，点A（1，）在椭圆C上（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的左顶点B且互相垂直的两直线l1，l2分别交椭圆C于点M，N（点M，N均异于点B），试问直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（a∈R）（Ⅰ）若a=﹣4，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，求得已知双曲线方程的a，b，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，双曲线﹣=1的a=2，b=，可得所求渐近线方程为y=±x．故选：A．2．复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．故选：C．3．观察下列式子：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52，…，据此你可以归纳猜想出的一般结论为（）A．1+3+5+…+（2n+1）=n2（n∈N*）B．1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2（n∈N*）C．1+3+5+…+（2n﹣1）=（n﹣1）2（n∈N*）D．1+3+5+…+（2n﹣1）=（n+1）2（n∈N*）【考点】归纳推理．【分析】观察不难发现，连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后写出第n个等式即可．【解答】解：∵1+3=22，1+3+5=32，…，∴第n个等式为1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2（n∈N*），故选：B．4．定积分e x dx=（）A．1+e B．e C．e﹣1 D．1﹣e【考点】定积分．【分析】求出被积函数的原函数，计算即可．【解答】解：原式==e﹣1；故选C．5．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）x123y645A．B．C．D．﹣【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．【解答】解：根据所给的三对数据，得到=2，=5，∴这组数据的样本中心点是（2，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，线性回归方程为，∴5=2b+6∴b=﹣．故选：D．6．函数f（x）=x3﹣3x+2的极大值点是（）A．x=±1 B．x=1 C．x=0 D．x=﹣1【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求导函数，确定导数为0的点，再确定函数的单调区间，利用左增右减，从而确定函数的极大值点．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+2，∴f′（x）=3x2﹣3，当f′（x ）=0时，3x 2﹣3=0，∴x=±1．令f′（x ）＞0，得x ＜﹣1或x ＞1； 令f′（x ）＜0，得﹣1＜x ＜1； ∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），函数的单调减区间为（﹣1，1） ∴函数的极大值点是x=﹣1 故选：D ．7．设（2x ﹣1）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．﹣1 【考点】二项式定理的应用．【分析】利用赋值法将x=0代入，可得a 0，再将x=1代入，a 0代入解得a 1+a 2+a 3+a 4+a 5． 【解答】解：把x=0代入得，a 0=﹣1， 把x=1代入得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1，把a 0=﹣1，代入得a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1﹣（﹣1）=2． 故选：A ．8．函数f （x ）=的导函数f′（x ）为（ ）A ．f′（x ）=B ．f′（x ）=﹣C ．f′（x ）=D ．f′（x ）=﹣【考点】导数的运算．【分析】根据函数商的导数公式进行求解即可． 【解答】解：函数的导数f′（x ）===﹣，故选：B9．五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有1人，不同排法的总数是（ ） A ．48 B ．36 C ．18 D ．12 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】甲、乙两人和中间一人捆绑算一个元素，共三个元素排列，不要忘记甲、乙两人之间的排列．【解答】解：因为5人站成一排， 甲、乙两人之间恰有1人的不同站法=36，故选：B ．10．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 2|=，则cos ∠F 1PF 2=（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的标准方程及其定义可得：|PF 1||，再利用余弦定理即可得出． 【解答】解：∵椭圆+=1，∴a=2，b=2=c ，∵|PF 2|=，|PF 1|+|PF 2|=4，∴|PF 1||=3，∴cos ∠F 1PF 2==．故选：D ．11．已知P 是抛物线y 2=4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣1 【考点】抛物线的简单性质．【分析】作图，化点P 到直线l ：2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和为PF+PA ﹣1，从而求最小值．【解答】解：由题意作图如右图， 点P 到直线l ：2x ﹣y+3=0为PA ； 点P 到y 轴的距离为PB ﹣1； 而由抛物线的定义知， PB=PF ；故点P 到直线l ：2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和为PF+PA ﹣1； 而点F （1，0）到直线l ：2x ﹣y+3=0的距离为=；。
【数学】湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试(文) 附答案
湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试（文）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{{}|,0,1,2,3,4A x y B ===，则（ ）A ．∅B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．(]{},34-∞2. 设复数31iz i+=-，则z =（ ） A ．12i + B ．322i + C ．2i - D ．1i -3. 将甲乙丙丁四人分成两组，每组两人，则甲乙两人在同一组的概率为（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．234.过点()2,1P -且与22142x y -=有相同渐近线的双曲线方程是 （ ） A ．2212x y -= B ．2212x y -= C. 2212y x -= D ．2212y x -= 5. 已知()2cos 3πα+=，则tan α=（ ）A B C. ± D ．6.已知向量,a b夹角为60°，且1,2a b == ，则2a b -= （ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．8-7.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ． 3πB ． 4π C. 5π D ．6π 8.函数()ln f x x x =的图象可能是 （ ）A ．B ．C. D ．9.在长方体1111ABCD A BC D -中，11,AB BC AC ==与1BB 所成的角为30°，则1AA = （ ）A B ． 3 C.D 10. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ． 4B ．-4 C. 8 D ．-811.直线10ax y ++=与22:1O x y +=相交于,A B 两点，0120AOB ∠=，则a 的值为 （ ）A ． 1±B ．2± C. D ．12. 关于x 的方程coslg 02xx π-=的实数根个数为（ ）A ． 6B ．8 C. 10 D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()221,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()2f f = ．14.设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P .若12F F P ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．15.若,x y 满足约束条件20220210x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 ．16.在ABC ∆中，若0330,cos ,55A B BC ===，则ABC ∆的面积为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的公差不为零，18a =，且157,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2221n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,2sin 3sin ,a b c B C a b ==. （1）求cos A ；（2）若3a =，求ABC ∆的面积.19.如图，在直角梯形ABCD 中，01,//,45AB AD AD BC BCD ==∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD . （1）证明：CD ⊥平面ABD ；（2）求三棱锥B ADC -的高.20.红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物.为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量.现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度x 和产卵数y 的观测数据于表I 中.根据绘制的散点图决定从回归模型①21C x y C e =与回归模型②234y C x C =+中选择一个来进行拟合.表I（1）请借助表II 中的数据，求出回归模型①的方程：表II （注：表中ln i i t y =）（2）类似的，可以得到回归模型②的方程为20.36202.54y x =-.试求两种模型下温度为020C 时的残差；（3）若求得回归模型①的相关指数20.95R =，回归模型②的相关指数20.81R =，请结合②说明哪个模型的拟合效果更好.参考数据： 3.410.26 1.79 5.200.03, 1.30, 5.46,181.88e e e e -≈≈≈≈附：回归方程y x βα=+中()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y y x x x βαβ==--==--∑∑相关指数()()22121ˆ1ni i i ni i y yR y y==-=--∑∑21. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点,P PF x ⊥轴.（1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程. 22. 已知函数()()212ln 2f x ax x x a R =+-∈. （1）当3a =时，求函数()y f x =的单调区间； （2）若函数存在单调增区间，求实数a 的取值范围.参考答案一、填空题：二、填空题：13． 2 14．12 15．16316．三、解答题：17．解：(1)设{}n a 的公差为d . 由题意，2517a a a =，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋6d )．于是d (a 1＋8d )＝0. 又a 1＝8，所以d ＝0（舍去），d ＝－1. 故a n ＝－n ＋9. (2)由(1)知2221n n a a +＝1111927222927n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列2221n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111275532927n n ⎛⎫-+-++- ⎪------⎝⎭1112727n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭ 1449nn =-+18．解：（1）由正弦定理得，23b c =，即23bc =．又a b =， 222222213cos 22323b b b bc a A b bc b ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅所以．（2）因为3a =，a b =，23bc =，所以3b =，2c =. 由（1）知1cos 3A =，又因为0A π∈（，），所以sin 3A =. 所以ABC △的面积为11=sin 3222ABC S bc A =⨯⨯=△19．(1)证明：∵AB ＝AD ，AB ⊥AD ，∴∠ADB ＝45°，又∵AD ∥BC ，∠DBC ＝45°， 又∵∠BCD ＝45°，∴BD ⊥CD ；又∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面=BCD BD ，CD ⊂平面BCD ∴CD ⊥平面ABD.(2)方法一：取BD 的E ，连接AE .∵AB AD = ,E 是BD 的中点，令ln t y =，2b C =，1ln a C =，得t bx a =+ 由表Ⅱ数据可得: 7()()172()10.26x x t t i i i x x i i b --∑=-∑==≈ , 25.27189ˆ0.26 3.4177at bx =-=-⋅≈- 0.26 3.41t x ∴=- ,所以回归方程为： 0.26 3.41ˆx ye -=（或0.26ˆ0.03x y e =）（2）模型①在20x =时的残差：0.2620 3.4111ˆ7 1.54y ye ⨯--=-≈ 模型②在20x =时的残差：211ˆ70.3620202.5465.54y y-=-⨯+≈ （3）0.950.81> ，即模型①的相关指数大于模型②的相关指数， 于是模型①的残差平方和小于模型②的.因此用模型①得到的数据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好. 21．解：（1）(,0)2pF ，设00,P x y （），则20000022y px x y x⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩PF x ⊥ 轴0=2p x ∴22p p ∴∴=（2）由（1）知，抛物线C 的方程为x y 42=，所以点1,0Q（-）. 设直线AB 的方程为1-=ny x ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，(,)M x y . 214x ny y x=-⎧⎨=⎩ 消去x ，得方程2440y ny -+=．121244y y ny y +=⎧⎨=⎩, 22161601n n ∆=->⇒> 因为M 为AB 的中点所以221221212212()2442112822y y y y y y x n y y y n ⎧+⎪+-==⎪=->⎨⎪+==⎪⎩， 消去n 得，222(1)y x x =+>.所以点M 的轨迹方程为)1( 222>+=x x y ．22．解：(1)当3a =时，23()2ln 2f x x x x =+-.其定义域为0+∞（，）. 1(31)(1)'()32x x f x x x x-+∴=+-=当1(0,)3x ∈时， '()0f x ∴<，()y f x =单调递减；当1(+)3x ∈∞，时， '()0f x ∴>，()y f x =单调递增；所以，()y f x =的减区间为1(0,)3，增区间为1(+)3∞，. (2)21()2ln ()2f x ax x x a R =+-∈的定义域为0+∞（，）. 2121'()2()ax x f x ax a R x x+-=+-=∈若函数存在单调增区间，则'()0f x >在区间0+∞（，）上有解， 即2210ax x +->在区间0+∞（，）上有解.分离参数得212x a x ->，令212()xg x x -=，则依题意，只需min ()a g x >即可.∵22121()=1x g x x x-=-（-1） m i n ()1g x ∴=- 即所求实数a 的取值范围为1,+∞（-）.。
2016-2017学年高二下学期期末联考数学(理)试题
2016-2017学年下期期末联考高二理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第I 卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.对两个变量x 和y 进行回归分析,得到一组样本数据:1122(,),(,)x y x y ,…(,)n n x y ,则下列说法中不正确的是( )A.由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心(,)x y B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C.若变量y 和x 之间的相关系数为0.9362r =-,则变量y 和x 之间具有线性相关关系D.用相关指数2R 来刻画回归效果,2R 越小,说明模型的拟合效果越好 2.若复数z 满足(1)3z i i i +=-+,则z 的虚部是( )A.12 B.12- C.32 D.32- 3.若2(,)XN μσ,则(-+)=0.6826P X μσμσ<≤,(-2+2)=0.9544P X μσμσ<≤,已知2(0,5)XN ,则(510)P X <≤=( )A.0.4077B.0.2718C.01359.D.0.0453 4.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )A.使用了“三段论”,但大前提错误B.使用了“三段论”,但小前提错误C.使用了归纳推理D.使用了类比推理 5.8386+被49除所得的余数是( )A.14-B.0C.14D.356.五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( )A.35CB.35A C.35 D.53 7.设随机变量(2,),(4,)B p B p ξη,若5(1)=9P ξ≥,则(2)P η≥的值为( )A.1681 B.3281 C.1127 D.65818.在区间[1]e ,上任取实数a ,在区间[01],上任取实数b ,使函数21()=++4f x ax x b 有两个相异零点的概率是( ) A.11e - B.12(1)e - C.14(1)e - D.18(1)e -9.为了落实中央提出的精准扶贫政策,某市人力资源和社会保障局派3人到仙水县大马镇西坡村包扶5户贫困户,要求每户都有且只有1人包扶,每人至少包扶1户,则不同的包扶方案种数为( )A.30B.90C.150D.21010.箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同),从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,若两球的号码之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸球,恰好有3人获奖的概率是 ( ) A.624625 B.96625 C.16625 D.462511.已知数列1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1,…,则此数列的第60项是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 12.已知函数2()=ln ()=()2a f x x x x g x x ax a R --∈,,令()=()-()-h x f x g x ax ()a R ∈,若()h x 在定义域内有两个不同的极值点,则a 的取值范围为( )A.1(0,)e B.1(1)e， C.(1)e , D.()e +∞,第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题～23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.曲线2()=22f x x x +-在0P 处的切线平行于直线51y x =-,则点0P 坐标为 . 14.已知3442cos()4a x dx πππ-=-⎰,则8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中5x 的系数为 . 15.甲射击命中目标的概率是12,乙射击命中目标的概率是13,丙射击命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为 .16.袋中有20个大小相同的球,其中标号为0的有10个,标号为(1,2,3,4)n n =的有n 个.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若2,()1a E ηξη=-=,则()D η的值为 .三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分) 已知函数2()=(1)1x x f x a a x -+>+,用反证法证明方程()0f x =没有负数根. 18.(本小题满分12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成多少个满足下列条件的整数？ (Ⅰ)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (Ⅱ)可以组成多少个恰有两个相同数字的四位数？19.(本小题满分12分)某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4 万元广告费用,并将各地的销售收益(单位:万元)绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.(Ⅰ)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；(Ⅱ)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到上表:表中的数据显示x 与y 之间存在线性相关关系,求y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)若广告投入6万元时,实际销售收益为7.3万元,求残差ˆe. 附:20.(本小题满分12分)社会公众人物的言行一定程度上影响着年轻人的人生观、价值观.某媒体机构为了解大学生对影视、歌星以及著名主持人方面的新闻(简称:“星闻”)的关注情况,随机调查了某大学的200位大学生,得到信息如右表:(Ⅰ)从所抽取的200人内关注“星闻”的大学生中,再抽取三人做进一步调查,求这三人性别不全相同的概率；(Ⅱ)是否有0095以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”,并说明理由；(Ⅲ)把以上的频率视为概率,若从该大学随机抽取4位男大学生,设这4人中关注“星闻”的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.广告投入x /万元 1 2 3 4 5 销售收益y /万元 2 3 2 5 7男大学生 女大学生不关注“星闻” 80 40 关注“星闻”4040a yb x∧∧=-()()()1122211,nniiiii i nniii i xxyyx ynx y b xxxnx∧====---==--∑∑∑∑附:()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 0P K k ≥2（） 0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82821.(本小题满分12分)已知()ln f x x x =. (Ⅰ)求函数()f x 的最小值；(Ⅱ)求证:对一切(0,)x ∈+∞,都有12ln xx e ex>-成立 .请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线12cos 3sin x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩:,曲线2sin C ρθ=:.(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线:80l x y +-=,求曲线1C 上的点到直线l 的最短距离.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知222,,,1a b c R a b c ∈++=. (Ⅰ)求证:3a b c ++≤；(Ⅱ)若不等式211()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立,求实数x 的取值范围.2016-2017学年下期期末联考 高二理科数学参考答案一、选择题1-5 DBCAB 6-10 DCACB 11-12 DA 二、填空题13. (11)，； 14. 448； 15. 34； 16. 11. 三、解答题17.证明:假设方程()0f x =有负数根,设为00(1)x x ≠-,则有00x <,且0()0f x =. ………………2分00000022011x x x x a a x x --∴+=⇔=-++. 0101x a a >∴<<，,002011x x -∴<-<+. 解上述不等式,得0122x <<,这与假设00x <且01x ≠-矛盾. ………………10分 故方程()0f x =没有负数根. ………………12分 18.解:(Ⅰ)首位不能为0,有5种选法；再从其余的五个数字中任选三个排在其余三个位置,有3560A =种方法；由分步乘法计数原理得可以组成的四位数有560300⨯=个. ………………5分 (Ⅱ)分两种情况进行讨论；第一种:数字0重复:223560C A =,第二种:其它数字重复:①有0时:21125235180C C A C =个,②无0时:31225324360C C A C =个,所以,共有60180360600++=(个). ………………12分 19.解:(Ⅰ)设各小长方形的宽度为a ,由频率直方图各小长方形的面积总和为1,可知(0.080.10.140.120.040.02)0.51a a +++++⋅==,故2a =. ………………2分 (Ⅱ)由题意,可知12345232573, 3.855x y ++++++++====,5522222211122332455769,1234555i ii i i x yx ===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++=∑∑, ……5分根据公式,可求得26953 3.812ˆˆ1.2, 3.8 1.230.2555310ba -⨯⨯====-⨯=-⨯, 所以y 关于x 的回归方程为ˆ 1.20.2yx =+. ………………8分 (Ⅲ)当6x =时,销售收益预测值ˆ 1.260.2=7.4y=⨯+(万元),又实际销售收益为7.3万元, 所以残差ˆ7.37.40.1e=-=- . ………………12分 20.解:(Ⅰ)由已知,知所求概率340380260179C P C =-=． ………………3分(Ⅱ)由于2200(80404040)50 5.556 3.84112080120809k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯． ………………5分 故有0095以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”. ………………6分 (Ⅲ)由题意,可得任意一名男大学生关注“星闻”的概率为4011203=, 不关注“星闻”的概率为23. ………………7分 ξ所有可能取值为0,1,2,3,4.4216(0)381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；3141232(1)3381P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；222412248(2)=338127P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；334128(3)3381P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；411(4)381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ………………10分ξ的分布列为………………11分因为1(4,)3B ξ,所以4()3E ξ=. ………………12分21.解:(I)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()ln 1f x x '=+. ………………1分 当1x e >时,()0f x '>,()f x 为增函数；当10x e<<时,()0f x '<,()f x 为减函数 所以函数()f x 的最小值为11()f ee=-. ………………5分ξ 01 2 3 4P1681 3281 827 881 181（Ⅱ）问题等价于证明2ln xx x x e e>- ………………6分 由(I)可知,()ln f x x x =的最小值为1e -,当且仅当1x e=时取到. ………………8分 令2()x x g x e e =-,(0,)x ∈+∞,则1()xx gx e -'=, ………………9分 易知max 1()(1)g x g e==-,当且仅当1x =取到,所以2ln x x x x e e >-.从而对一切(0,)x ∈+∞,都有12ln x x e ex>-成立. ………………12分 22.解:(Ⅰ)曲线2212cos 1433sin x x y C y θθ=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩:, 曲线2222sin sin 0C x y y ρθρρθ=⇒=⇒+-=:. ………………5分(Ⅱ)设曲线1C 上任意一点P 的坐标为(2cos ,3sin )θθ,则点P 到直线l 的距离为222cos 3sin 87sin()8878214=22211d θθθϕ+-+---=≥=+,其中23sin ,cos 77ϕϕ==,当且仅当sin()1ϕθ+=时等号成立. 即曲线1C 上的点到直线l 的最短距离为82142-. ………………10分 23.解:(Ⅰ)证明:由柯西不等式得2222222()(111)()3a b c a b c ++≤++++=,33a b c ∴-≤++≤,a b c ∴++的取值范围是[3,3]-. ………………5分(Ⅱ)由柯西不等式得2222222()[1(1)1]()3a b c a b c -+≤+-+++=. 若不等式211()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立, 则113x x -++≥,其解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭, 即实数x 的取值范围为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. ………………10分。
湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)
2018年上学期高二年级期终考试试题数学（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合，,则等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可.详解：由中不等式变形得，解得，即，因为，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求出的坐标即可得结论.详解：因为，复数的在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为12，4，则输出的等于（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【详解】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：模拟程序的运行，可得，不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；满足结束循环的条件，退出循环，输出的值为，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4. 在等差数列中，是函数的两个零点，则的前10项和等于（）A. B. 15 C. 30 D.【答案】B【解析】由题意得是方程的两根，∴，∴．选B．5. 函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为( )A. [，]B. [，3]C. [，]D. [，3]【答案】B【解析】【详解】分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.详解：，，，，即在区间上的值域为，故选B.点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.6. 已知，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：由推导出，从而，由此能求出向量在向量方向上的投影.详解：，且，，，向量在向量方向上的投影为，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.7. 某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：8. 设，则二项式展开式的常数项是（）A. 1120B. 140C. -140D. -1120【答案】A【解析】【详解】分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.详解：由题意，二项式为，设展开式中第项为，，令，解得，代入得展开式中可得常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9. 函数的图像恒过定点，若定点在直线上，则的最小值为（）A. 13B. 14C. 16D. 12【答案】D【解析】【详解】分析：利用指数型函数的性质可求得定点，将点的坐标代入，结合题意，利用基本不等式可得结果.详解：时，函数值恒为，函数的图象恒过定点，又点在直线上，，又，（当且仅当时取“=”），所以，的最小值为，故选D.点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.11. 已知圆，若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：画出可行域，由可行域结合圆与轴相切，得到且，从而可得结果.详解：画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心，半径为，因为圆与轴相切，所以，直线分别与直线与交于点，所以，圆心与点连线斜率为时，；时，所以圆心与点连线斜率的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.12. 已知函数,，若方程在时有3个实根，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性与极值，利用数形结合进行求解即可.详解：当时，，则不成立，即方程没有零解，①当时，，即，则，设，则，由得，此时函数递增；由得，此时函数递减，故当时，函数取得极小值，当时，，当时，.②当时，，即，则，设，则，由得（舍去）或，此时函数递增；由得，此时函数递减，故当时，函数取得极大值，当时，，当时，，作出函数和图象如图，要使方程在有三个实数，则或，故选B.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上）13. 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.【答案】10080【解析】【详解】分析：首先为第一个学校安排医生和护士，再为第二个安排医生和护士，为第三个安排医生和护士，根据分步计数乘法原理可得结果.详解：为第一个学校安排医生和护士有种结果；为第二个安排医生和护士种结果；为第三个安排医生和护士种结果，根据分步计数原理可得，故答案为.点睛：本题考查组合式的应用、分步计数乘法原理的应用以及分组与分配问题，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.14. 现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．【答案】【解析】【详解】分析：基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况种数，能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率.详解：所发红包的总金额为元，被随机分配为元，元，元，元，元，共份，供甲、乙等人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况有，种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率，故答案为.点睛：本题考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.15. 已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为_______.【答案】【解析】【详解】分析：求出双曲线的两条渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出两点坐标，再由的面积为，列出方程列方程求解即可.详解：双曲线的两条渐近线方程，又抛物线的准线方程是，故两点的横坐标坐标分别是，又的面积为1，，得，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系16. 已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为2＋，则AC边长的最小值是________.【答案】【解析】【详解】分析：由已知及等差数列的性质可得，结合三角形内角和定理可求的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式可解得边的最小值.详解：成等差数列，，又，由，得，，因为，，解得，的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查了等差数列的性质、三角形内角和定理、三角形面积公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化与划归思想，属于中档题.三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）根据，列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求解即可.详解：设数列的公比为.由=得，所以.由条件可知，故.由得，所以.故数列的通项公式为(2)点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析( 2)【解析】【详解】分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点,连结、,先证明、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴//,, 又点为中点,∴且,∴四边形为平行四边形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中点,连结、,∵是以为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设,则:,.设平面ABF的法向量为,则,∴,令,则,∴.又平面的法向量为,由二面角成角得:,∴,解得:,或不合题意,舍去.∴,当棱上的点满足时, 二面角成角.点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。
【数学】湖南省五市十校教研教改共同体2016-2017学年高二下学期期末考试（理）
【数学】湖南省五市⼗校教研教改共同体2016-2017学年⾼⼆下学期期末考试（理）海南省⽂昌中学2016-2017学年⾼⼆下学期期末考试（理）(考试时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀、选择题（每题5分，共60分，每⼩题有且仅有⼀个正确选项） 1、若M 点极坐标为5(2,)6π，则M 点的直⾓坐标是（） A. (3,1)-B. (3,1)--C. (3,1)-D. (3,1)2、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则p 的值为（）A ．B ．C ．D ．3、某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型流感的预防作⽤，把名注射疫苗的⼈与另外名未注射疫苗的⼈半年的感冒记录作⽐较，提出假设“这种疫苗不能起到预防甲型流感的作⽤”，并计算，则下列说法正确的是（）A ．这种疫苗能起到预防甲型流感的有效率为B ．若某⼈未使⽤疫苗则他在半年中有的可能性得甲型C ．有的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型流感的作⽤”D ．有的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型流感的作⽤”4、欲将曲线变换成曲线，需经过的伸缩变换为（）12161314HINI 100010000:H HINI ()26.6350.01P X ≥≈HINI 0010099HINI 0099HINI 001HINI 22143x y +=2223P51 51 101 p5、已知0,0,a b c >><，下列不等关系中正确的是（）A ．ac bc >B ．c c a b >C ．log ()log ()a b a c b c ->-D ．a ba cb c>-- 6、曲线的参数⽅程为22321x t y t ?=+??=-??(t 是参数)，则曲线是（） A ．线段 B ．双曲线的⼀⽀C ．圆D ．射线7、不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．8、2016年1⽉某校⾼三年级1600名学⽣参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩～（试卷满分为150分）．统计结果显⽰数学考试成绩在80分到120分之间的⼈数约为总⼈数的，则此次统考中成绩不低于120分的学⽣⼈数约为（） A ．80 B ．100C ．120D ．200B ．240C ．360D ．48010、若，则（）．3529x ≤-<[2,1)[4,7)-(2,1](4,7]-(2,1][4,7)--(2,1][4,7)-()2100,X N σ34()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-++-5a =A ．251B ．252C ．211D ．21011、某校篮球⽐赛规则如下：选⼿若能连续命中两次，即停⽌投篮，晋级下⼀轮，假设某选⼿每次命中率都是0.6，且每次投篮结果相互独⽴，则该选⼿恰好投篮4次晋级下⼀轮的概率为（） A ．B ．C ．D ．12、若1a >,设函数的零点为m ,()g x 的零点为n ,则的取值范围是（） A ．(3.5,+∞) B ．(1,+∞)C ．(4,+∞)D ．(4.5,+∞)第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆、填空题（每⼩题5分，共20分）13、若，且，则的最⼩值为． 14、已知直线的参数⽅程为（为参数），圆C 的极坐标⽅程为，则圆上的点到直线的最⼤距离为_____________.15、不等式对任意实数恒成⽴，则实数的取值范围为______. 16、在极坐标系中，点，动点满⾜，则动点轨迹的极坐标⽅程为．的销售业绩⾼达516亿元⼈民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该⽹购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进⾏统计，21662518125366251086254)(-+=x a x f x4log -+=x x a nm 11+00x y >>，4xy =11x y+l 22sin 4πρθ?=+l 2313x x a a +--≤-x a 1,,2,33A B ππP 12PA PB =P⽹购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.（Ⅰ）根据已知条件求出下⾯的22?列联表中的,,b c d ，并回答能否有99%的把握认为“⽹购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品满意 80 b 对商品不满意c d 合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某⼈在该⽹购平台上进⾏的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望EX .附：22)(2k k P ≥0. 15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.63518、（本⼩题满分12分）已知()|1||1|f x x x =++-．（Ⅰ）求不等式()4f x <的解集；（Ⅱ）若不等式()|1|0f x a --<有解，求a 的取值范围．19、（本⼩题满分12分）在直⾓坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建⽴极坐标系．已知直线l 的极坐标⽅程为cos sin 2ρθρθ-=，曲线C 的参数⽅程为(α为参数)(0r >)．（Ⅰ）设t 为参数，若222x t =-+，求直线l 的参数⽅程与曲线C 的普通⽅程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ，设(2,4)M --，且2 ||||||PQ MP MQ =?，求实数r 的值．20、（本⼩题满分12分）某⼯⼚为了对新研发的产品进⾏合理定价，将该产品按实现拟定的价格进⾏试销，得到⼀组检测数据（）如下表所⽰：试销价格（元）45679产品销量（件） 84 83 80 75 68 已知变量具有线性负相关关系，且，，现有甲、⼄、丙三位同学通过计算求得其回归直线⽅程为：甲：；⼄：；丙：，其中有且仅有⼀位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果是正确的？并求出的值；（2）若由线性回归⽅程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”个数的分布列和数学期望.+<的解集为M ，M b a ∈,. （1）证明：41|6131|<+b a ；（2）⽐较|41|ab -与||2b a -的⼤⼩.),(i i y x 6,,2,1 =i x a y b y x ,3961=∑=i ix48061=∑=i i y 544+=x y 1064+-=x y 1052.4+-=x y b a ,ξ22、（本⼩题满分12分）圆锥曲线的极坐标⽅程为：.（1）以极点为原点，极轴为轴⾮负半轴建⽴平⾯直⾓坐标系，求曲线的直⾓坐标⽅程，及曲线C 的参数⽅程；（2）直线的极坐标⽅程为，若曲线上的点到直线的距离最⼤，求点的坐标（直⾓坐标和极坐标均可）.C ()221sin 2ρθ+=x C l ()3R πθρ=∈C Ml M参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀、选择题(本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A ACBDDDBB第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13、1； 14、32； 15、(,1][4,)-∞-+∞； 16、34cos()3πρθ=-；三、解答题（共70分）17、(Ⅰ) 依题得40,70,10b c d === ……………3分22?列联表：对服务满意对服务不满意合计对商品满意 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计1505020022200(80104070)11.1111505012080K ??-?=≈………………4分因为11.111 6.635>，所以能有99%的把握认为“⽹购者对商品满意与对服务满意之间有关系”.…5分（Ⅱ）每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25， …………6分且X 的取值可以是0，1，2，3..………8分1 2X的分布列为：所以. ………………10分18、解：（Ⅰ）()|1||1|4f x x x=++-<则解得:21x-<≤-或11x-<≤或12x<<，………………5分故不等式的解集为(2,2) -；………………6分（Ⅱ）()|1||1||(1)(1)|2f x x x x x=++-≥+--=()2minf x∴=，当且仅当(1)(1)0x x+-≤时取等号，………8分⽽不等式()|1|0 f x a-+<有解，则min|1|()2a f x+>=，………10分解得31a a<->或故a的取值范围是(,3)(1,)==，…………………………1分代⼊直线l的极坐标⽅程得直⾓坐标⽅程20 x y--=，…………2分再将222x t=-+，代⼊直线l的直⾓坐标⽅程，得242y t=-+，所以直线l的参数⽅程为222242x ty t=-+=-+（t为参数）．…………4分22()cos()2(rrryx=α+α=++，得曲线C普通⽅程为222)2(ryx=++…………6分（Ⅱ）将(1)中的直线参数⽅程代⼊2 22)2(ryx=++并整理得t t r-+-=，⼜△＝2224)8(4)24(rr=--＞0 …………7分………………9分。
【精选高中试题】湖南省五市十校教研教改共同体高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
“五市十校教研教改共同体”2015-2016高二第二学期期末考试数学（理科）时量：120分钟 总分150分考试学校：沅江一中、箴言中学、桃江一中、宁乡一中、雷锋学校、东山学校、南方中学、 岳阳市第十四中学、岳阳市第十五中学、南县一中等第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．复数12ii-+ (i 是虚数单位)的虚部是( ) A ．13 B ．13i C ． －15 D ．－15iA ．(0，1)B ．[0，1)C ．(1，2)D ．[1，2)3．设数列{}n a 是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则1a =（ ） A ．1 B ． 4 C ．7 D ．1或74．将函数()cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为( )A ．0x =B ．6x π=C ．4x π=D ．2x π=5．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的体积为( )A ．8010π+B ．8020π+C ．9214π+D ．12010π+6．已知函数2()sin 2cos f x x x x x =+，(2,2)x ππ∈-，则其导函数'()f x 的图象大致是（ ）A B C D7．给出下列三个命题：①“若2230x x +-≠，则3x ≠-”为假命题； ② 若p q ∨为真命题，则p ,q 均为真命题；③ 命题:,30x p x R ∀∈>，则00:,30x p x R ⌝∃∈≤．其中正确的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．38．定义在R 上的奇函数()f x 满足()(4)f x f x =-，且在[)0,2上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）A ．0(1)(5)f f <-<B ．(1)(5)0f f -<<C ．(5)(1)0f f <-<D ．(1)0(5)f f -<< 9．阅读右图所示程序框图，若输入2017n =，则输出的S 值是（ ） A ．20164033B ． 20174035 C ．40324033 D ． 4034403510．点P 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>在第一象限的某点，1F 、2F 为双曲线的焦点．若P 在以12F F 为直径的圆上且满足213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25 C D ．21011．如图，设区域{}()|0101D x y x y =≤≤≤≤，，，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y =2y x =所围成阴影区域内的概率是（ ）A ．16 B ． 13 C ．12 D ． 2312．在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(2,0)B ，(8,0)M ，(0,8)N ，若5AP BP =，12()()()33OQ t OM t ON t =-++为实数，则||PQ 的最小值是（ ）A．3 B．3 C．1 D ． 5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．数列{}n a 的前n 项和记为()11,3,21n n n S a a S n +==≥，则n S =__________． 14．某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有 种不同参加方案（用数字作答）．15．若实数x ，y 满足约束条件4210440y xx y x y ≤-⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则46y z x +=-的最大值是 ．16．将三项式()21nx x ++展开，当0,1,2,3,n =⋅⋅⋅时，得到以下等式：()0211x x ++=()12211xx x x ++=++()2243212321x x x x x x ++=++++()32654321367631x x x x x x x x ++=++++++……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和，第k 行共有2k+1个数．若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为75，则实数a 的值为 ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分) 如图，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的三条边分别为a b c 、、，且角A 、B 、C 成等差数列，2a =，线段AC 的垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点．（Ⅰ）若△BCD CD 的长；（Ⅱ）若CD ，求角A 的值．18．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =，AD =M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （Ⅰ）求证：AD BM ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为．19．（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828 P K kk≥2K的观测值：2()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++）关于商品和服务评价的2×2列联表：20．（本小题满分12分）已知椭圆222:1(0)3x yM aa+=>的一个焦点为(1,0)F-，左右顶点分别为,A B，经过点F的直线l与椭圆M交于,C D两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞；3()g x x ax =-． （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）若对1(0,)x ∀∈+∞，总存在2[1,2]x ∈使得12()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式12()()()1n n n n e n n n e +++<-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图直线AB 经过圆O 上的点C ，OA=OB ，CA=CB ，圆O 交直线OB 于点E 、D ，其中D 在线段OB 上，连接EC 、CD ．（Ⅰ）证明：直线AB 是圆O 的切线； （Ⅱ）若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求线段OA 的长．23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=34,13t y t x （t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，且AB ≥，求实数a 的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =-+-． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x ≤； （Ⅱ）若()2f x ≥，求实数a 的取值范围．参考答案 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数12ii-+ (i 是虚数单位)的虚部是( ) A ．13 B ．13i C ． －15 D ．－15iA ．(0，1)B ．[0，1)C ．(1，2)D ．[1，2) 【答案】D3．设数列{}n a 是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则1a =（ ） A ．1 B ． 4 C ．7 D ．1或7 【答案】C4．将函数()cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为( )A ．0x =B ．6x π= C ．4x π=D ．2x π=【答案】B5．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的体积为( )A ．8010π+B ．8020π+C ．9214π+D ．12010π+ 【答案】A6．已知函数2()sin 2cos f x x x x x =+，(2,2)x ππ∈-，则其导函数'()f x 的图象大致是（ ）A B C D【答案】C7．给出下列三个命题：①“若2230x x +-≠，则3x ≠-”为假命题； ② 若p q ∨为真命题，则p ,q 均为真命题；③ 命题:,30x p x R ∀∈>，则00:,30x p x R ⌝∃∈≤．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()(4)f x f x =-，且在[)0,2上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）A ．0(1)(5)f f <-<B ．(1)(5)0f f -<<C ．(5)(1)0f f <-<D ．(1)0(5)f f -<< 【答案】D9．阅读如图所示的程序框图,若输入2017n =,则输出的S值是（ ） A ．20164033B ． 20174035 C ．40324033 D ． 40344035【答案】A10．点P 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>在第一象限的某点，1F 、2F 为双曲线的焦点．若P 在以12F F 为直径的圆上且满足213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25CD ．210 【答案】D11．如图，设区域{}()|0101D x y x y =≤≤≤≤，，，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y =与2y x =所围成阴影区域内的概率是（ ）A ．16 B ． 13 C ．12 D ． 23【答案】B12．在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(2,0)B ，(8,0)M ，(0,8)N ，若5AP BP =，12()()()33OQ t OM t ON t =-++为实数，则||PQ 的最小值是（ ）A．3 B．3 C．1 D ． 5 【答案】A第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22 ~ 24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．数列{}n a 的前n 项和记为()11,3,21n n n S a a S n +==≥，则n S =__________． 【答案】3n14．某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有 种不同参加方案（用数字作答）． 【答案】4215．若实数x ，y 满足约束条件4210440y xx y x y ≤-⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则46y z x +=-的最大值是 ．【答案】-216．将三项式()21nx x ++展开，当0,1,2,3,n =⋅⋅⋅时，得到以下等式：()0211x x ++=()12211xx x x ++=++()2243212321x x x x x x ++=++++()32654321367631x x x x x x x x ++=++++++……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和，第k 行共有2k+1个数．若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为75，则实数a 的值为 ． 【答案】2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分) 如图，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的三条边分别为a b c 、、，且角A 、B 、C 成等差数列，2a =，线段AC 的垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点．（Ⅰ）若△BCD CD 的长；（Ⅱ）若CD =，求角A 的值．解：（Ⅰ）∵角A,B,C 成等差数列，A B C π++=，∴3B π=…………1分又∵△BCD 的面积为3，2a =，∴11sin 22223BCDS BD BC B BD ==⨯⨯=∴23BD =…………3分在△BCD 中，由余弦定理可得CD ==………6分（Ⅱ）由题意，在△BCD 中，sin sin CD BC B BDC =∠2sin BDC=∠，………8分 ∴sin 1BDC ∠=，则90oBDC ∠=，即CD A B ⊥ …………10分又DE 为AC 的垂直平分线，故4A B π∠=∠=…………12分18．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =，AD =M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （Ⅰ）求证：AD BM ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为．解：（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为DC 的中点，∴AM=BM=2，∴BM ⊥AM. ……2分 ∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ⊂平面ABCM∴BM ⊥平面ADM ……4分 ∵AD ⊂平面ADM ∴AD ⊥BM. ……5分 （Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，设DE DB λ=，则平面AMD 的一个法向量(0,1,0)n =，(1,2,1),ME MD DB λλλλ=+=--(2,0,0)AM =-， ……8分设平面AME 的一个法向量(,,),m x y z = 则202(1)0x y z λλ=⎧⎨+-=⎩取y =1，得20,1,,1x y z λλ===- 所以2(0,1,)1m λλ=-， (10)分因为5cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅，求得12λ=，所以E 为BD 的中点． ……12分19．（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次． （Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：① 求对商品和服务全好评的次数X 的分布列； ② 求X 的数学期望和方差．附临界值表：2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥2K 的观测值：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）关于商品和服务评价的2×2列联表：解：（12分22200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ………4分故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关. …5分(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3. 其中3327(0)()5125P X ===; 1232354(1)()()55125P X C ===;………7分22132336(2)()()55125P X C ===; 3303238(3)()()55125P X C ===. ………9分X 的分布列为：10分②由于2~(3,)5X B ,则26()3,55E X =⨯=2218()3(1).5525D X =⨯⨯-=……12分20．（本小题满分12分）已知椭圆222:1(0)3x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为,A B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值. （Ⅰ）因为)0,1(-F 为椭圆的焦点，所以1=c ，又32=b ，所以42=a ，所以椭圆方程为13422=+y x . ……………………………………4分 （Ⅱ）当直线l 无斜率时,直线方程为1-=x ,此时3(1,)2D -,3(1,)2C --,021=-S S . ……………………………………5分当直线l 斜率存在时，设直线方程为)0)(1(≠+=k x k y ，设),(),,(2211y x D y x C ，联立得⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(13422x k y y x ，消掉y 得01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然0>∆，方程有根，且2221222143124,438k k x x k k x x +-=+-=+.………………8分 此时)1()1(22212121221+++=+=-=-x k x k y y y y S S212122(+)234kk x x k k=+=+. ………………………………10分 因为0≠k ，上式312212432124312==⋅≤+=k kk k，（23±=k 时等号成立）， 所以21S S -的最大值为3. …………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞；3()g x x ax =-． （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）若对1(0,)x ∀∈+∞，总存在2[1,2]x ∈使得12()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式12()()()1n n n n e n n n e +++<-．，， ……………………1分，时，， ……………………3分，∴的最大值为. ……………………4分，使得成立，等价于……………………5分，当时，在时恒为正，满足题意. ……………………6分时，2()3g x x a '=-，令()0g x '=，解得，上单调递增，……………………7分，∴，∴.时，在递减，递增，而，在为正，在为负，∴，，而时，，不合题意，的取值范围为. …………9分即，…………10分，∴，即，…………11分. …………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图直线AB 经过圆O 上的点C ，OA=OB ，CA=CB ，圆O 交直线OB 于点E 、D ，其中D 在线段OB 上，连接EC 、CD ．（Ⅰ）证明：直线AB 是圆O 的切线；（Ⅱ）若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求线段OA 的长．解：（1）连结,,,OC OA OB CA CB OC AB ==∴⊥.又OC 是圆O 的半径，AB ∴是圆O 的切线. …………5分 （2）直线AB 是圆O 的切线，BCD E ∴∠=∠.又CBD EBC ∠=∠，BCD BEC ∴∆∆，则有BC BD CD BE BC EC ==，又1t a n 2CD CED EC ∠==，故12B DC DB C E C==. 设BD x =，则2BC x =，又2BC BD BE =，故()()226x x x =+，即2360x x -=.解得2x =，即2BD =.325OA OB OD DB ∴==+=+=. …………10分23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=34,13t y t x （t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B两点，且AB ≥，求实数a 的取值范围． 23.解：（Ⅰ）C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，在直线l 的参数方程中消t 得：4350x y -+= ………5分（Ⅱ）要满足弦AB ≥及圆的半径为a 可知只需圆心(0,)a 到直线l 的距离12d a ≤即12a ≤, 整理得：2111201000a a -+≤即(1110)(10)0a a --≤解得：101011a ≤≤， 故实数a 的取值范围为：101011a ≤≤ ………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =-+-． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x ≤； （Ⅱ）若()2f x ≥，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，231()112232x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩， ……………1分 当1x <时，232x -+≤，所以12x >。
湖南省五市十校教研教改共同体高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
“五市十校教研教改共同体”2015-2016高二第二学期期末考试数学（理科）时量：120分钟 总分150分考试学校：沅江一中、箴言中学、桃江一中、宁乡一中、雷锋学校、东山学校、南方中学、 岳阳市第十四中学、岳阳市第十五中学、南县一中等第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．复数12ii-+ (i 是虚数单位)的虚部是( ) A ．13 B ．13i C ． －15 D ．－15iA ．(0，1)B ．[0，1)C ．(1，2)D ．[1，2)3．设数列{}n a 是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则1a =（ ） A ．1 B ． 4 C ．7 D ．1或74．将函数()cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为( )A ．0x =B ．6x π=C ．4x π=D ．2x π=5．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的体积为( )A ．8010π+B ．8020π+C ．9214π+D ．12010π+6．已知函数2()sin 2cos f x x x x x =+，(2,2)x ππ∈-，则其导函数'()f x 的图象大致是（ ）A B C D7．给出下列三个命题：①“若2230x x +-≠，则3x ≠-”为假命题； ② 若p q ∨为真命题，则p ,q 均为真命题；③ 命题:,30x p x R ∀∈>，则00:,30x p x R ⌝∃∈≤．其中正确的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．38．定义在R 上的奇函数()f x 满足()(4)f x f x =-，且在[)0,2上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）A ．0(1)(5)f f <-<B ．(1)(5)0f f -<<C ．(5)(1)0f f <-<D ．(1)0(5)f f -<< 9．阅读右图所示程序框图，若输入2017n =，则输出的S 值是（ ） A ．20164033B ． 20174035 C ．40324033 D ． 4034403510．点P 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>在第一象限的某点，1F 、2F 为双曲线的焦点．若P 在以12F F 为直径的圆上且满足213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25 C D ．21011．如图，设区域{}()|0101D x y x y =≤≤≤≤，，，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y =2y x =所围成阴影区域内的概率是（ ）A ．16 B ． 13 C ．12 D ． 2312．在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(2,0)B ，(8,0)M ，(0,8)N ，若5AP BP =，12()()()33OQ t OM t ON t =-++为实数，则||PQ 的最小值是（ ）A．3 B．3 C．1 D ． 5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．数列{}n a 的前n 项和记为()11,3,21n n n S a a S n +==≥，则n S =__________． 14．某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有 种不同参加方案（用数字作答）．15．若实数x ，y 满足约束条件4210440y xx y x y ≤-⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则46y z x +=-的最大值是 ．16．将三项式()21nx x ++展开，当0,1,2,3,n =⋅⋅⋅时，得到以下等式：()0211x x ++=()12211xx x x ++=++()2243212321x x x x x x ++=++++()32654321367631x x x x x x x x ++=++++++……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和，第k 行共有2k+1个数．若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为75，则实数a 的值为 ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分) 如图，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的三条边分别为a b c 、、，且角A 、B 、C 成等差数列，2a =，线段AC 的垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点．（Ⅰ）若△BCD CD 的长；（Ⅱ）若CD ，求角A 的值．18．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =，AD =M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （Ⅰ）求证：AD BM ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为．19．（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828 P K kk≥2K的观测值：2()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++）关于商品和服务评价的2×2列联表：20．（本小题满分12分）已知椭圆222:1(0)3x yM aa+=>的一个焦点为(1,0)F-，左右顶点分别为,A B，经过点F的直线l与椭圆M交于,C D两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞；3()g x x ax =-． （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）若对1(0,)x ∀∈+∞，总存在2[1,2]x ∈使得12()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式12()()()1n n n n e n n n e +++<-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图直线AB 经过圆O 上的点C ，OA=OB ，CA=CB ，圆O 交直线OB 于点E 、D ，其中D 在线段OB 上，连接EC 、CD ．（Ⅰ）证明：直线AB 是圆O 的切线； （Ⅱ）若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求线段OA 的长．23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=34,13t y t x （t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，且AB ≥，求实数a 的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =-+-． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x ≤； （Ⅱ）若()2f x ≥，求实数a 的取值范围．参考答案 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数12ii-+ (i 是虚数单位)的虚部是( ) A ．13 B ．13i C ． －15 D ．－15iA ．(0，1)B ．[0，1)C ．(1，2)D ．[1，2) 【答案】D3．设数列{}n a 是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则1a =（ ） A ．1 B ． 4 C ．7 D ．1或7 【答案】C4．将函数()cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为( )A ．0x =B ．6x π= C ．4x π=D ．2x π=【答案】B5．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的体积为( )A ．8010π+B ．8020π+C ．9214π+D ．12010π+ 【答案】A6．已知函数2()sin 2cos f x x x x x =+，(2,2)x ππ∈-，则其导函数'()f x 的图象大致是（ ）A B C D【答案】C7．给出下列三个命题：①“若2230x x +-≠，则3x ≠-”为假命题； ② 若p q ∨为真命题，则p ,q 均为真命题；③ 命题:,30x p x R ∀∈>，则00:,30x p x R ⌝∃∈≤．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()(4)f x f x =-，且在[)0,2上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）A ．0(1)(5)f f <-<B ．(1)(5)0f f -<<C ．(5)(1)0f f <-<D ．(1)0(5)f f -<< 【答案】D9．阅读如图所示的程序框图,若输入2017n =,则输出的S值是（ ） A ．20164033B ． 20174035 C ．40324033 D ． 40344035【答案】A10．点P 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>在第一象限的某点，1F 、2F 为双曲线的焦点．若P 在以12F F 为直径的圆上且满足213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25CD ．210 【答案】D11．如图，设区域{}()|0101D x y x y =≤≤≤≤，，，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y =与2y x =所围成阴影区域内的概率是（ ）A ．16 B ． 13 C ．12 D ． 23【答案】B12．在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(2,0)B ，(8,0)M ，(0,8)N ，若5AP BP =，12()()()33OQ t OM t ON t =-++为实数，则||PQ 的最小值是（ ）A．3 B．3 C．1 D ． 5 【答案】A第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22 ~ 24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．数列{}n a 的前n 项和记为()11,3,21n n n S a a S n +==≥，则n S =__________． 【答案】3n14．某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有 种不同参加方案（用数字作答）． 【答案】4215．若实数x ，y 满足约束条件4210440y xx y x y ≤-⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则46y z x +=-的最大值是 ．【答案】-216．将三项式()21nx x ++展开，当0,1,2,3,n =⋅⋅⋅时，得到以下等式：()0211x x ++=()12211xx x x ++=++()2243212321x x x x x x ++=++++()32654321367631x x x x x x x x ++=++++++……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和，第k 行共有2k+1个数．若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为75，则实数a 的值为 ． 【答案】2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分) 如图，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的三条边分别为a b c 、、，且角A 、B 、C 成等差数列，2a =，线段AC 的垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点．（Ⅰ）若△BCD CD 的长；（Ⅱ）若CD =，求角A 的值．解：（Ⅰ）∵角A,B,C 成等差数列，A B C π++=，∴3B π=…………1分又∵△BCD 的面积为3，2a =，∴11sin 22223BCDS BD BC B BD ==⨯⨯=∴23BD =…………3分在△BCD 中，由余弦定理可得CD ==………6分（Ⅱ）由题意，在△BCD 中，sin sin CD BC B BDC =∠2sin BDC=∠，………8分 ∴sin 1BDC ∠=，则90oBDC ∠=，即CD A B ⊥ …………10分又DE 为AC 的垂直平分线，故4A B π∠=∠=…………12分18．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =，AD =M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （Ⅰ）求证：AD BM ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为．解：（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为DC 的中点，∴AM=BM=2，∴BM ⊥AM. ……2分 ∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ⊂平面ABCM∴BM ⊥平面ADM ……4分 ∵AD ⊂平面ADM ∴AD ⊥BM. ……5分 （Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，设DE DB λ=，则平面AMD 的一个法向量(0,1,0)n =，(1,2,1),ME MD DB λλλλ=+=--(2,0,0)AM =-， ……8分设平面AME 的一个法向量(,,),m x y z = 则202(1)0x y z λλ=⎧⎨+-=⎩取y =1，得20,1,,1x y z λλ===- 所以2(0,1,)1m λλ=-， (10)分因为5cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅，求得12λ=，所以E 为BD 的中点． ……12分19．（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次． （Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：① 求对商品和服务全好评的次数X 的分布列； ② 求X 的数学期望和方差．附临界值表：2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥2K 的观测值：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）关于商品和服务评价的2×2列联表：解：（12分22200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ………4分故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关. …5分(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3. 其中3327(0)()5125P X ===; 1232354(1)()()55125P X C ===;………7分22132336(2)()()55125P X C ===; 3303238(3)()()55125P X C ===. ………9分X 的分布列为：10分②由于2~(3,)5X B ,则26()3,55E X =⨯=2218()3(1).5525D X =⨯⨯-=……12分20．（本小题满分12分）已知椭圆222:1(0)3x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为,A B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值. （Ⅰ）因为)0,1(-F 为椭圆的焦点，所以1=c ，又32=b ，所以42=a ，所以椭圆方程为13422=+y x . ……………………………………4分 （Ⅱ）当直线l 无斜率时,直线方程为1-=x ,此时3(1,)2D -,3(1,)2C --,021=-S S . ……………………………………5分当直线l 斜率存在时，设直线方程为)0)(1(≠+=k x k y ，设),(),,(2211y x D y x C ，联立得⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(13422x k y y x ，消掉y 得01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然0>∆，方程有根，且2221222143124,438k k x x k k x x +-=+-=+.………………8分 此时)1()1(22212121221+++=+=-=-x k x k y y y y S S212122(+)234kk x x k k=+=+. ………………………………10分 因为0≠k ，上式312212432124312==⋅≤+=k kk k，（23±=k 时等号成立）， 所以21S S -的最大值为3. …………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞；3()g x x ax =-． （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）若对1(0,)x ∀∈+∞，总存在2[1,2]x ∈使得12()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式12()()()1n n n n e n n n e +++<-．，， ……………………1分，时，， ……………………3分，∴的最大值为. ……………………4分，使得成立，等价于……………………5分，当时，在时恒为正，满足题意. ……………………6分时，2()3g x x a '=-，令()0g x '=，解得，上单调递增，……………………7分，∴，∴.时，在递减，递增，而，在为正，在为负，∴，，而时，，不合题意，的取值范围为. …………9分即，…………10分，∴，即，…………11分. …………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图直线AB 经过圆O 上的点C ，OA=OB ，CA=CB ，圆O 交直线OB 于点E 、D ，其中D 在线段OB 上，连接EC 、CD ．（Ⅰ）证明：直线AB 是圆O 的切线；（Ⅱ）若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求线段OA 的长．解：（1）连结,,,OC OA OB CA CB OC AB ==∴⊥.又OC 是圆O 的半径，AB ∴是圆O 的切线. …………5分 （2）直线AB 是圆O 的切线，BCD E ∴∠=∠.又CBD EBC ∠=∠，BCD BEC ∴∆∆，则有BC BD CD BE BC EC ==，又1t a n 2CD CED EC ∠==，故12B DC DB C E C==. 设BD x =，则2BC x =，又2BC BD BE =，故()()226x x x =+，即2360x x -=. 解得2x =，即2BD =.325OA OB OD DB ∴==+=+=. …………10分23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=34,13t y t x （t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B两点，且AB ≥，求实数a 的取值范围． 23.解：（Ⅰ）C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，在直线l 的参数方程中消t 得：4350x y -+= ………5分（Ⅱ）要满足弦AB ≥及圆的半径为a 可知只需圆心(0,)a 到直线l 的距离12d a ≤即12a ≤, 整理得：2111201000a a -+≤即(1110)(10)0a a --≤解得：101011a ≤≤， 故实数a 的取值范围为：101011a ≤≤ ………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =-+-． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x ≤； （Ⅱ）若()2f x ≥，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，231()112232x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩， ……………1分 当1x <时，232x -+≤，所以12x >。
2016-2017学年湖南省益阳市桃江县高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年湖南省益阳市桃江县高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则i（1﹣i）等于（）A．1﹣i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1+i2．（5分）若n∈N*，且n≤19，则（20﹣n）（21﹣n）…（100﹣n）等于（）A．B．C．D．3．（5分）在某一试验中事件A出现的概率为p，则在n次试验中出现k次的概率为（）A．1﹣p k B．（1﹣p）k p n﹣kC．1﹣（1﹣p）k D．4．（5分）在相关分析中，对相关系数r，下列说法正确的是（）A．r越大，线性相关程度越强B．|r|越小，线性相关程度越强C．|r|越大，线性相关程度越弱，|r|越小，线性相关程度越强D．|r|≤1且|r|越接近1，线性相关程度越强，|r|越接近0，线性相关程度越弱5．（5分）某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如表：根据表中数据得到≈15.968，因为K2≥10.828，则断定秃发与心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性为（）附表：A．0.1B．0.05C．0.01D．0.0016．（5分）五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（）A．54B．5×4×3×2C．45D．5×47．（5分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数8．（5分）曲线在x＝1处的切线的倾斜角为（）A．B．C．D．9．（5分）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）有4名师范毕业生全部分配到3所中学任教，每校至少有1名，则不同的分配方案有（）A．18种B．36种C．54种D．72种11．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则下列结论不正确的是（）A．P（|ξ|＜a）＝P（|ξ|＜a）+P（|ξ|＝a）（a＞0）B．P（|ξ|＜a）＝2P（ξ＜a）﹣1（a＞0）C．P（|ξ|＜a）＝1﹣2P（ξ＜a）（a＞0）D．P（|ξ|＜a）＝1﹣P（|ξ|＞a）（a＞0）12．（5分）已知函数f（x）＝2ln（3x）+8x，则的值为（）A．10B．﹣10C．﹣20D．20二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设随机变量X等可能取1，2，3，…，n这n个值，如果P（X≤4）＝0.4，则n 等于．14．（5分）我们熟悉定理：平行于同一直线的两直线平行，数学符号语言为：∵a∥b，b∥c，∴a∥c．这个推理称为．（填“归纳推理”、“类比推理”、“演绎推理”之一）．15．（5分）（3x2+k）dx＝10，则k＝．16．（5分）已知g（x）是各项系数均为整数的多项式，f（x）＝2x2﹣x+1，且满足f（g（x））＝2x4+4x3+13x2+11x+16，则g（x）的各项系数之和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）现有2名男生和3名女生．（Ⅰ）若其中2名男生必须相邻排在一起，则这5人站成一排，共有多少种不同的排法？（Ⅱ）若男生甲既不能站排头，也不能站排尾，这5人站成一排，共有多少种不同的排法？18．（12分）（Ⅰ）比较下列两组实数的大小：①﹣1与2﹣；②2﹣与﹣；（Ⅱ）类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明．19．（12分）在的展开式中，（1）写出展开式含x2的项；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在线段A1B1上运动．（Ⅰ）求证：PN⊥AM；（Ⅱ）试确定点P的位置，使直线PN和平面ABC所成的角最大．21．（12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c＝0实根的个数（重根按一个计）．（1）求方程x2+bx+c＝0有实根的概率；（2）（理）求ξ的分布列和数学期望（文）求P（ξ＝1）的值（3）（理）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c＝0有实根的概率．22．（12分）已知函数，a为正常数．（1）若f（x）＝lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）＝|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．2016-2017学年湖南省益阳市桃江县高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：i为虚数单位，则i（1﹣i）＝i﹣i•i＝1+i．故选：D．2．【解答】解：根据题意，（20﹣n）（21﹣n）…（100﹣n）＝＝，故选：C．3．【解答】解：根据题意，在n次试验中出现k次，则A出现（n﹣k）次；根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式可得其概率为∁n k（1﹣p）k p n﹣k，故答案为：∁n k（1﹣p）k p n﹣k．故选：D．4．【解答】解：两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1，表现两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故选：D．5．【解答】解：根据表中数据得到≈15.968，因为K2≥10.828，对照临界值得；判断秃发与心脏病有关系，这种判断出错的可能性为0.001．故选：D．6．【解答】解：根据题意，五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每位同学均有4种讲座可选择，则5位同学共有4×4×4×4×4＝45种，故选：C．7．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．8．【解答】解：由题意得，y′＝x2﹣2x，把x＝1代入得，在x＝1处的切线的斜率是﹣1，则在x＝1处的切线的倾斜角是，故选：A．9．【解答】解：本题是一个古典概型，∵袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有C10010种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有C806C204种取法，由古典概型公式得到P＝，故选：D．10．【解答】解：由题意知将4名教师分配到3种中学任教，每所中学至少1名教师，分配的只有一种结果1，1，2，首先从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，共有C42A33＝36种结果，故选：B．11．【解答】解：∵P（|ξ|＜a）＝P（|ξ|≤a）＝P（|ξ|＜a）+P（|ξ|＝a），∴A正确；∵P（|ξ|＜a）＝P（﹣a＜ξ＜a）＝P（ξ＜a）﹣P（ξ＜﹣a）＝P（ξ＜a）﹣P（ξ＞a）＝P（ξ＜a）﹣（1﹣P（ξ＜a））＝2P（ξ＜a）﹣1，∴B正确，C不正确；∵P（|ξ|＜a）+P（|ξ|＞a）＝1，∴P（|ξ|＜a）＝1﹣P（|ξ|＞a）（a＞0），∴D正确故选：C．12．【解答】解：函数f（x）＝2ln（3x）+8x，∴f′（x）＝+8，∴f′（1）＝10，∴＝﹣2＝﹣2f′（1）＝﹣20，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：∵随机变量X等可能取1，2，3，…，n这n个值，P（X≤4）＝0.4，∴P（X≤4）＝P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）+P（X＝4），＝＝0.4，解得n＝10．故答案为：10．14．【解答】解：∵平行于同一直线的两直线平行，（大前提）∵a∥b，b∥c，（小前提）∴a∥c．（结论）∴这是一个三段论．属于演绎推理．故填演绎推理．15．【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx＝（x3+kx）|02＝23+2k．由题意得：23+2k＝10，∴k＝1．故答案为：1．16．【解答】解：f（g（x））＝2[g（x）]2﹣g（x）+1＝2x4+4x3+13x2+11x+16，依题意，可设g（x）＝x2+ax+b，∴g（x）的各项系数和为1+a+b＝g（1）；而2[g（1）]2﹣g（1）+1＝2•14+4•13+13•12+11•1+16，∴2[g（1）]2﹣g（1）﹣45＝0．∴g（1）＝﹣或5∵g（x）是各项系数均为整数的多项式，故g（1）不可能是分数，舍去﹣，∴g（1）＝5，∴g（x）的各项系数之和为5．故答案为：5三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（Ⅰ）若2名男生相邻排在一起，可看成一个元素，与另外3个女生任意排，有种排法，2名男生任意排，有2种方法，根据分步乘法计数原理，共有2×4!＝48种不同的排法…（5分）（Ⅱ）若男生甲既不能站排头，也不能站排尾，则甲有3种排法，另外4人任意排，有种排法，根据分步乘法计数原理，共有3×4!＝72种不同的排法．…（10分）18．【解答】解：（Ⅰ）①（+）2﹣（2+1）2＝2﹣4＞0．故+＞2+1，即﹣1＞2﹣．②（2+）2﹣（+）2＝4﹣2＝2﹣2＞0．故2+＞+，即2﹣＞﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得一般结论：若n是正整数，则﹣＞﹣．证明如下：左﹣右＝（﹣）﹣（﹣）＝﹣＝＞0，则有﹣＞﹣．19．【解答】解：（1）展开式的通项T k+1 ＝C10K x10﹣k＝，令10﹣k＝2，可得k＝6．∴含x2的项是＝26C106x2 ＝13440x2．（2）∵C103r﹣1＝C10r+1，∴3r﹣1＝r+1或3r﹣1+r+1＝10，∴r＝1 或r＝．∴r＝1．20．【解答】解：（Ⅰ）取AC的中点Q，连结A1Q，易知AM⊥A1Q，又PN在平面A1C内的射影为A1Q，所以AM⊥PN．…（6分）（Ⅱ）作PD⊥AB于D，连结DN，则∠PND为直线PN和平面ABC所成的角．易知当ND最短，即ND⊥AB时，最大，从而∠PND最大，此时D为AB的中点，P为A1B1的中点．…（12分）21．【解答】解：（1）基本事件总数为6×6＝36，若使方程有实根，则△＝b2﹣4c≥0，即．当c＝1时，b＝2，3，4，5，6；当c＝2时，b＝3，4，5，6；当c＝3时，b＝4，5，6；当c＝4时，b＝4，5，6；当c＝5时，b＝5，6；当c＝6时，b＝5，6，目标事件个数为5+4+3+3+2+2＝19，因此方程x2+bx+c＝0有实根的概率为．（2）（理）由题意知，ξ＝0，1，2，则，，，故ξ的分布列为ξ的数学期望．（文）．（3）记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2+bx+c＝0有实根”为事件N，则，，．22．【解答】解：（1），∵，令f′（x）＞0，得x＞2，或，∴函数f（x）的单调增区间为，（2，+∞）．（2）∵，∴，∴，设h（x）＝g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．当1≤x≤2时，，，令h′（x）≤0，得：对x∈[1，2]恒成立，设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在[1，2]上递增，则当x＝2时，m（x）有最大值为，∴当0＜x＜1时，，，令h′（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）＝0，∴a≥0．综上所述，．。
【数学】湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试(理)
湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试（理）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.所有试题请在答题卡上作答，答题卷上作答无效，考试结束后只收答题卡.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合}05|{2>-=x x x M ，{2,3,4,5,6,7,8}N=,则N M 等于( )A.}4,3{B.}6,5{C.}4,32{，D.}54,32{，， 2.已知复数z 满足35i1z i+=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为12，4，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ． 6D ．74．在等差数列}{n a 中，38,a a 是函数183)(2--=x x x f 的两个零点，则}{n a 的前10项和等于（ ）A ．15-B ．15C ．30D ．30- 5．函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为( ) A ．[32-，32] B ．[32-，3] C ．[332-，332] D ．[332-，3] 6．已知3=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A ．B ．2C.32 D ．7．某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为( )122A ．24 3B ．8 3 C.833 D ．10338．设0sin a xdx π=⎰，则二项式81()a x x-展开式的常数项是（ ） A. 1120B. 140C. -140D. -11209.函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点，若定点在直线1x y m n+= )0,0(>>n m 上，则的最小值为（ ）A. 13B.14C.16D. 1210．抛物线28x y =的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一点，则=-⋅+)()PN PO PM OP （（ ） A.20- B. 12 C.-12 D. 2011．已知圆()(),1a -x C 22=-+b y ：60400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩平面区域： ，C C C(,)2,8x a b ∈Ω若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点（）连线斜率的取值范围（ ）A ．77--35⎛⎤⎡⎫∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， B ．77--35∞+∞（，）（，） C ．77-35⎛⎫⎪⎝⎭， D ． 77-,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 12．已知函数24,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩,()1g x kx =-，若方程()()0f x g x -=在2(2,)x e ∈-时有3个实根，则k 的取值范围为( ) A.(1,2] B.{}3(1,]22⋃ C. 33(1,)(,2)22⋃ D. 2331(1,)(,2+)22e⋃ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上） 13．3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.14.现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总A A n m +3金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．15．已知双曲线2214y x -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =<的准线交于A ，B两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为2，则p 的值为_______. 16．已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为2＋22，则AC 边长的最小值是________.三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)等比数列}{n a 的各项均为正数，且12233a a +=，62239a a a =.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设1n nn b a +=，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD 是等腰直角三角形,且090=∠APD ,侧面PAD ⊥底面ABCD . (1)若M N 、分别为棱BC PD 、的中点,求证:MN ∥平面PAB ；(2)棱PC 上是否存在一点F ,使二面角F AB C --成030角，若存在,求出PF 的长； 若不存在,请说明理由.19. (本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：吨）和年利润z （单位：万元）的影响。
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）
2、若复数 z (8 i )i 在复平面内对应的点位于（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 ）
3、下列命题的否定为假命题的是 （ A． x R, x 2 2 x 2 0
B．任意一个四边形的四个顶点共圆 D． x R,sin 2 x cos 2 x 1
“湖南省五市十校教研教改共同体”高二期末考试
数学（理科）试题 时量：120分钟 答题说明： 1、考生必须将答案准确填写到答题卡上，写在试卷上的一律无效； 2、考生请使用黑色中性笔和2B铅笔作答； 一、选择题（本大 题共有12个小题，每小题5分，共60分） 分值：150分
, , , , , ， S , , , T , , ,则 S (CU T ) 等于（ 1、若集合 U , , , A． B． , C． , , , , D．
[a, b](a b, a, b Z) 内，则 b a 的最小值为（
） C、9 D、8
A、11 二、非选择题（共90分）
B、10
（一）填空题（本大题共有4个小题，每题5分，将正确答案填入答题卡上）
-2-
13、
2
1
1 dx = x
。
14、已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域
9、四边形 ABCD 为长方形， AB 2, BC 1, O 为 AB 的中点。在长方形 ABCD 内 随机取一点，取到的点到 O 的距离大于1的概率为（ A、 1 ） D、
8
B、
8
C、 1
4
4
10、设函数 f ( x) x 3 x ， x R ．若当 0
1 ln x ． x
（Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）如果当 x 1 时，不等式 f ( x)
n
k 恒成立，求实数 k 的取值范围； x 1
(Ⅲ)求证： [ln k ln(k 1)]
k 1
n n2 n 1 (n N * ) ．（说明： xi =x1+x2+…+xn） n 1 i 1
2
时，不等式 ）
1 D． ( ,1] 2
2 2
f (m sin ) f (1 m) 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（
A． (,1]
B． [1, )
1 C． ( ,1) 2
11、已知 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点, Q 是圆 x 3 y 1 1 上的一个 动点, N (1,0) 是一个定点,则 PQ PN 的最小值为（ A． 3 B． 4 C． 5 ）
Error!上的一个动点，则 OA · OM
的取值范围是 。
。
15、正实数x、y，x+y=1，则
1 x + 的最小值 x y
16、 如图（3）放置的边长为1的正方形PABC沿 x 轴滚动。设顶点P（ x ，y）的轨迹方程是 y f ( x) ，则 y f ( x) 在其两个相邻零点间的图像 与 x 轴所围区域的面积为 。
3
概率为 ，乙胜丙的概率为
1 4
1 5
（Ⅰ）求甲获第一名且丙获第二名的概率： （Ⅱ）设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
20、(本小题满分12分 ) 已知动点 P 到定点 F (1, 0) 的距离之比为 和直线 l : x 2
2 ，设动点 P 的轨迹为曲线 E ，过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲 2
线 E 相交于 A ， B 两点，直线 l / ： y mx n 与曲线 E 交于 C ， D 两点，与线段
AB 相交于一点（与 A ， B 不重合）
（Ⅰ）求曲线 E 的方程； （Ⅱ）当直线 l / 与圆 x 2 y 2 1 相切时，四边形 ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值，及对应的直 线 l 的方程；若没有，请说明理由． 21、(本小题满分12分) 已知函数 f ( x)
C．所有能被 3 整除的整数都是奇数
4、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）所示，则该几何体的侧视 图为（ ）
图（1）
1 5、二项式 x 的展开式中 x 3 的系数是（ x
9
） D．-126
图（2）
A．84
B．-84
C．126
6．运行如图（2）所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
D． 2 1
12、已知函数 f ( x) 1 x —
x2 x3 x4 x 2015 x2 x3 + — +…+ ，g（x）=1— x + — + 2 3 4 2015 2 3
x4 x 2015 —…— ,设函数 F ( x) f ( x 3) g ( x 4) ，且函数 F ( x) 的零点均在区间 4 2015
图（3）
（二）解答题（本大题共有70分，请写出必要的证明或计算过程） 17.(本小题满分12分) 已知等差数列{an}中，a4=14，前10项和S10=185． （Ⅰ）求等差数列{an}的通项； （2）将{ an
}中的第2项，第4项，…，第2n项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和Tn．
-1-
7、若过点 A 0, 1 的直线 l 与圆 x 2 y 3 4 的圆心的距离记为 d ，则 d 的取
2
值范围为（ A． 0, 4
） B． 0,3 C． 0, 2 D． 0,1
S15 （ 3a5
8、设 S n 为公差不为零的等差数列 an 的前 n 项和，若 S9 3a8 ，则 ） A．15 B．17 C．19 D．21
18. (本小题满分 12分) 如图（4），正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中 点． （Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；
图（4）
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的余弦值；
19. （本题满分12分） 甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者
-3-
得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 2 ，甲胜丙的