卡尔曼滤波简述

广义测量平差课程作业卡尔曼滤波简述摘要:卡尔曼滤波作为一种数值估计优化方法，从系统状态的视角出发，依据预估和修正的核心思想，已成为目前应用最为广泛的滤波方法，并在诸多领域取得了广泛的扩展和应用。

本文通过对基本卡尔曼滤波算法（KF）的介绍进行了简单的程序实现。

在卡尔曼滤波的基础上对扩展卡尔曼滤波算法（EKF）进行了概述，并讨论了该方法在合成孔径雷达干涉测量（InSAR）领域的相关应用。

关键词：卡尔曼滤波扩展卡尔曼滤波InSARI．引言自1960年卡尔曼等人首次从系统状态出发，通过不断地预估和修正观测数据进行动态滤波的方法之后，其在雷达数据处理、动态导航定位、动态测量等领域得到了广泛地应用。

卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计准则的一种高效递归滤波器，它对非平稳随机过程等动态观测系统具有最优的适用性。

但是最初提出的卡尔曼滤波只针对线性系统，为了扩展该方法的应用，后人又对方法进行了改进和扩展。

本文将在原始卡尔曼滤波的基础上进一步归纳其在雷达数据处理领域的应用。

II．基本卡尔曼滤波算法（KF）2.1背景卡尔曼滤波是在维纳滤波的基础上提出的。

二战期间，维纳等人提出了基于最小均方误差准则，针对平稳随机过程的滤波方法。

维纳滤波方法中的维纳-霍夫积分方程有效解决了随机信号的预估以及从随机噪声中提取随机信号这两个统计学问题；其中的谱分解方法解决了在静态统计和有理频谱情况下的积分问题。

但是，维纳滤波只对平稳的随机过程适用，而且很难获取半无限时间区间内的全部观察数据。

尽管后人陆续对维纳滤波进行了相应的改进，但是仍存在提取滤波数据困难，最优脉冲响应的数值确定复杂不便计算，非专业人士难以掌握以及数学推导不透明等缺陷。

针对上述问题，卡尔曼滤波的优点主要体现在以下几个方面：⑴滤波采用的是最优估计和正（交）射影，严谨了数学推导和证明，将概率论应用于工程生产；⑵方法利用状态和状态转换方程建立随机模型，用一阶差分方程描述线性系统。

因此，与传统方法不同，该方法可以描述动态线性系统的变化；⑶解决了维纳滤波存在的延伸应用困难的问题，通过状态方程将滤波延伸至无限时间区间和非随机过程（稳定或不稳定）中；⑷卡尔曼滤波利用状态转换的方法很好地解决了维纳滤波中存在的对偶问题；⑸卡尔曼滤波通过理论挖掘为复杂的实际问题提供了数学支撑和定量分析，获得了广泛的应用。

2.2 基本卡尔曼滤波算法概述卡尔曼滤波是以最小均方误差为最优估计准则，建立信号与噪声的状态方程，利用前一时刻的估计值与当前时刻的观测值不断更新对状态变量的修正，并进行相应的预估，通过迭代求得动态系统的滤波结果。

进行卡尔曼滤波的前提假设是：①系统的状态转换过程可以被视为一个离散时间的随机过程；②系统存在动态噪声与观测噪声；③系统状态不能够直接观测；④系统状态受控制输入的影响。

卡尔曼滤波的主要流程如图2-1。

图2-1 基本卡尔曼滤波算法流程图当有观测向量L 1,L 2⋯,L k 时，状态方程和观测方程可写为如下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∆++=ΩΓ+ψ+Φ=∆++=ΩΓ+ψ+Φ=∆++=ΩΓ+ψ+Φ=------k k k k k k k k k k k k k k kZ X B L U X X Z X B L U X X Z X B L U X X 11,11,11,2222211,211,211,22111110,100,100,112-1 其中，X k 表示状态向量，L k 表示系统观测向量或输出向量，k Ω为动态噪声向量, ∆k 为观测噪声向量，k j k j k j k B ,,,,,,ΓψΦ为方程相应的系数矩阵。

k k k U G Z =，k U 为输入（控制）向量，在此，状态方程可看作是相应的观测方程。

此时，根据模型求得的最佳估计量)(ˆkj x 有以下三种情况：①k j <时，称为平滑（内插）；②k j =时，称为滤波；③k j >时，称为推估（预测）。

预测是滤波的基础，滤波是平滑的基础。

三者是相辅相成的关系。

考虑此时的卡尔曼滤波受完全不相关的白噪声作用，则离散型卡尔曼滤波的随机模型为：2-2 可见，离散型卡尔曼滤波的实质是将动态噪声向量看成对应观测向量的观测噪声进行状态向量的最优估计。

建立了函数模型和随机模型后，将随即参数0X 的先验期望看作虚拟观测值，根据最小二乘原理列立系统的误差方程：2-3 …图2-1中提到的修正矩阵（增益矩阵）代表了预测残差的增益，其作用为使得后验估计误差协方差最小。

它是整个卡尔曼滤波算法的关键，增益矩阵的构建直接影响算法的迭代次数，进而影响整个算法的效率。

一般将增益矩阵表示为：2-4 经过卡尔曼方程的解算和迭代，获得的最优状态向量估值表示为：2-5其中，D X(k k⁄)为第k时刻后验估计方差的协方差矩阵，通过该矩阵来判断迭代结果是否满足精度要求。

2.3 基本卡尔曼滤波算法实现按照上述流程，本文利用matlab对算法进行了简单地初步实现。

本实验利用软件随机生成的矩阵作为高斯白噪声加入任意生成的观测值中，输入长度为100的信号，通过不断地迭代递推求出每个时刻的最佳估值如图2-2所示。

图2-2 基本卡尔曼滤波的简单实现由该图可知，卡尔曼滤波的两个重要思想为：预估和修正。

图2-2(c)、(d)进一步证明了预估是滤波的基础，通过不断地迭代才能够获得状态的最佳估值。

但是，基本卡尔曼滤波算法只适用于线性随机差分方程，使得基本卡尔曼滤波的应用受到了一定程度的限制。

III．扩展卡尔曼滤波（EKF）3.1扩展卡尔曼滤波算法简介基本卡尔曼滤波自1960年由卡尔曼等人提出后，为了获得更广泛的应用，许多扩展卡尔曼滤波算法相继出现，由于都属于卡尔曼滤波体系的派生，从系统状态角度出发，通过不断地预估和修正得到最优状态估计值的中心思想不变，故认为都属于卡尔曼滤波体系，并将其统称为卡尔曼滤波。

扩展卡尔曼滤波主要是将基本滤波算法只限于线性随机过程延伸扩展至非线性随机过程。

该扩展过程的关键是将非线性关系通过对状态方程和观测方程求偏导进行线性化，进而利用基本卡尔曼滤波方法对其进行滤波。

扩展卡尔曼滤波的数据处理过程与卡尔曼滤波相似，但要求在滤波前先对方程进行线性化，滤波过程中方程的系数矩阵需要随时间不断变化。

由于方程经过线性化，故动态噪声与观测噪声不再服从高斯分布。

3.2扩展卡尔曼滤波的InSAR应用滤波实质上是一个从随机信号中剔除噪声，获得有用信息的过程。

随着国防事业、航天事业、工业生产、电子科学等事业的发展，实际需求对滤波算法的要求越来越高。

二战期间，最早考虑预测问题而提出的维纳滤波不能解决非平稳随机过程。

二十多年后卡尔曼等人提出的卡尔曼滤波可以有效解决非平稳随机过程的滤波问题，并且新方法以一种全新的视角，从“状态”出发，用更加严谨的数学理论证明了算法的健壮性，该思想开辟了滤波领域的新世界。

但大多数情况下需要面对非线性系统进行滤波，故在基本卡尔曼滤波（KF）提出后的第二年，Bucy和Sunahara等人就对该基本算法进行了改进得到了扩展卡尔曼滤波（EKF），将卡尔曼滤波理论进一步应用于非线性领域。

目前卡尔曼滤波已经广泛应用于测绘科学的各个领域，如GPS动态定位、惯性导航、组合导航等领域。

半个世纪以来，合成孔径雷达干涉测量（InSAR）技术作为一种先进的遥感技术，在监测地球陆地和冰雪表面微小的地形变化上表现出高可靠性和高精度的优势。

测量数据的处理离不开滤波，InSAR获得的雷达数据处理也是如此。

随着InSAR的蓬勃发展和卫星数据的爆炸性获取，与对数据进行状态分析和动态滤波的卡尔曼滤波方法相结合的需求也更为迫切。

最早是德国Siegen大学运用卡尔曼滤波对InSAR的干涉相位进行相位解缠。

国内最早是刘经南院士于2000年从第22届国际大地测量与地球物理联合会（IUGG）谈现代大地测量发展时提出，利用InSAR进行航空重力测量时，低通滤波是处理航空重力测量数据的有效方法，其中就包含卡尔曼滤波。

目前，扩展卡尔曼滤波被广泛应用于InSAR技术的基线估计、相位解缠、地表形变估计等领域。

首先，InSAR作为获取高精度数字高程模型（DEM）的有效手段，提取DEM过程中的基线估计显得尤为重要。

利用卡尔曼滤波和参数配准可以使基线估计摆脱对轨道参数依赖，不再受地面控制点和地形的限制。

利用卡尔曼滤波的动态特性还可以对基线参数进行时变估计。

由于InSAR干涉图中只保存相位主值，即相互缠绕，为了获取真实相位需要进行相位解缠操作。

利用卡尔曼滤波将相位的解缠问题转化为相位的状态估计问题。

由于卡尔曼滤波最终求得的是满足广义最小二乘准则的最优估值，其在相位解缠领域的应用可以免去传统相位解缠方法的预滤波环节。

InSAR在地表形变监测有着大范围、不需直接接触地表等优势，故被广泛用于地震、火山、冰川、冻土等地质灾害引起的地表形变。

随着技术的发展，多平台、多轨道和多时域InSAR技术的发展，利用卡尔曼滤波对不同的观测数据进行融合，可以将传统方法只能获得的一维形变拓展至三维，还可以获取地表的三维形变序列，提高结果的时间分辨率。

IV总结展望综上，卡尔曼滤波自提出至今的半个多世纪中得到了更高深的扩展研究，也获得了更广泛的应用。

这种最优化的自回归数据处理算法为实际生产应用提供了严谨的数学支撑和灵活的运用前景，它对于相关学科的发展、工业生产和国防航空事业的贡献是显著的。

透过卡尔曼滤波的发展过程，我们可以意识到任何一个算法的提出和成熟都依照发现问题，解决问题的思路进行的，这也是科学研究的一般流程。

但是没有任何一种方法是完美无缺的，方法的应用需要因地制宜，所以，后续发展的自适应滤波、次优滤波等方法也逐渐发展起来。

尽管卡尔曼滤波在非平稳过程滤波中拥有明显的优势，但我们在不同情况下还是要根据实际情况选择最优滤波方法，获得更加合乎精度和要求的结果。

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