第3章 基本曲面建模共44页文档
曲面的第一基本形式
第三章 曲面的第一基本形式本章将接触到曲面论的最基本概念．类比于曲线；但内容更加丰富，特别要注意两者的差异．首先要明确曲面的局部表示和相关的基本概念；其次要明确度量几何的基本要素——弧长元素．在学习的过程中，应该注意对概念的深入理解．§1 参数化曲面一．E 3 中参数化曲面的定义r : U →E 3(u , v )→ r (u , v ) = (x (u , v ), y (u , v ), z (u , v )) ．C k 阶参数化曲面，简称参数曲面；参数，或称曲线坐标或曲纹坐标，简称坐标．点． u 坐标曲线，简称u 线； v 坐标曲线，简称 v 线；坐标曲线．坐标曲线网或参数网．自然切向分别表示为∂r ∂u = r u ，∂r ∂v= r v ． 连续曲面，光滑曲面．参数化通常在曲面局部有意义，在整体不一定能做到．以后不声明时在局部总考虑 C 3 类参数曲面，并简称之为曲面．二．正则曲面定义1 奇（异）点；正则点．正则曲面，正则参数． 正则点的几何意义是当参数在该点处作微小变动时动点的轨迹构成二维实体；正则点附近总存在小邻域，使得参数值与其位置向量之间保持一一对应．例5 按定义直接计算可知例1和例2中的参数曲面都是正则的．对于例3中的参数曲面，有r u = (- v sin u , v cos u , 0) ，图3-1r v = (cos u , sin u , 1) ，r u ⨯r v = (v cos u , v sin u , - v ) = v (cos u , sin u , -1) ；r u ⨯r v 当且仅当参数 v = 0 时为零向量，故参数值 (u , 0) 对应于全部非正则点——锥顶．对于例4中的旋转面，当 f (v ) = 0 时，对应点不是正则的．例6 单位圆柱面具有存在奇点的下列参数化：r (t , z ) = (cos t 2 , sin t 2 , z ) ． 一般地，存在奇点的参数曲面在奇点附近的性质需要单独加以讨论，并且往往比较复杂；而对于连续可微参数曲面，正则点附近总存在较小邻域使正则性得到满足．因此将曲面论的局部基本理论建立在正则曲面之上，是具有一般性的．三．正则曲面的切平面和法线已知正则曲面 S : r = r (u , v ) ．考虑过点 r (u 0, v 0) , r (u 0+∆u , v 0) 和 r (u 0,v 0+∆v ) 的平面 ∏ 当 (∆u , ∆v )→(0, 0) 时的极限位置，亦即切平面的位置．正则性保证了平面 ∏ 的极限位置平面 ∏0的法向向量确定为r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) ．曲面上的曲线在该点处的切向量总落在平面 ∏0 上面；任给坐标曲线自然切向量的线性组合，曲面上总存在曲线以之为点 r (u 0, v 0) 处的切向．定义2 切平面；法线，法向；单位法向特指为单位向量(1.2) n (u 0, v 0) = r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) |r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0)|； 正定向，简称正向；负定向，简称负向．正则曲面是有正定向的曲面．在切点 P : r (u 0, v 0) 处的切平面通常记为 T P ，它按坐标曲线自然切向量的线性组合可以理解为二维向量空间(1.3) T P = {a r u (u 0, v 0) + b r v (u 0, v 0) | (a , b )∈R 2 } ≅ E 2 ，其中的向量称为曲面的切向量，两个切向量 a 和 b 的内积 (a , b ) 规定为 E 3 的诱导内积，即(1.4) (a , b ) = a ∙b , ∀ a , b ∈T P ．图3-5此时，切平面同时具有向量空间结构和度量结构．切平面的基向量组{r u, r v} 通常称为自然基，而标架场{r;r u, r v, n} 通常称为自然标架场．用经典微积分的观点来看，切平面上的微元(1.5)d r(u, v) =r u(u, v)d u+r v(u, v)d v是位置向量增量 [r(u + d u , v + d v) -r(u, v)] 的线性主部，称为切向微元；按(1.3) 式所表示的同构，其按自然基分解的系数(d u, d v) 亦可视为切平面中的微元，其方向由比例d u:d v确定．例8已知半径为a > 0 的圆柱面的经纬参数方程为r(t, z) = (a cos t , a sin t , a z) ．试求其过点 (a, 0, a) 的任意切向以及分别由比例 1:2 和 1:0 确定的切向．例9已知正则曲面由隐式方程F(x, y, z) = 0 确定，其中梯度向量∇F = (F x, F y, F z) ≠0．证明该曲面上点 (x, y, z) 处的法向确定为∇F(x, y, z) ．四．参数变换定义3给定正则曲面S: r= r(u, v) ，若参数变换{u=u(u*, v*)v=v(u*, v*)满足①是连续可微的一一对应；②Jacobi行列式∂(u, v)∂(u*, v*)=∂u∂u*∂v∂u*∂u∂v*∂v∂v*处处非零，u*图3-6则称之为容许参数变换；当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *) > 0 时称之为保向的，当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *)< 0 时称之为反向的．注记 容许参数变换只有保向或反向两种．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，有 (1.6) ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ⎝⎛⎭⎫ r ur v， (1.7) r u *⨯r v * = ∂(u , v ) ∂(u *, v *)r u ⨯r v ． 由此可知，在容许参数变换下，正则性和可微性保持不变，切平面不变；单位法向在保向容许参数变换下不变，在反向容许参数变换下变号．五．参数曲面的等价类似曲线的论断：① 一个曲面点集实体允许存在多种参数化方式，有参数变换．② 曲面实体的几何属性不依赖于其参数化的方式，也不依赖于空间直角坐标系的选取．③ 两个合同的曲面实体相当于同一曲面实体的不同位置表现形式． ④ 若两张正则曲面之间仅仅相差一个容许的参数变换，则它们表示同一个几何实体，称这两张正则曲面是相同的．相同的正则曲面实际上是指正则曲面的一种等价类，其在同一实点上的切平面、法线等等几何实体分别是重合的．⑤ 定向相同的；定向相反的．⑥ 定向相同的曲面的单位法向以及有向切平面，对于每个对应点都是唯一确定的．⑦ 曲面的整体概念和整体性质是复杂的，将留待于第八章中进行较为深入的讨论．约定：在以后讨论曲面局部性质的各章中，不声明时总考虑正则曲面和容许参数变换，并分别简称为曲面和参数变换．§2 直纹面与可展曲面直纹面可以由一族直线“织成”，即：过曲面上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上．一．直纹面及其上的参数变换直纹面的直纹或（直）母线；准线．直纹的位置和直纹上的点的相对位置，给出直纹面 S 的下列自然参数化(2.1) S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，其中准线为连续可微参数曲线(2.2) C : r * = a (u ) ，过准线上点 a (u ) 处的直纹方向确定为向量l (u ) ，且 l (u ) 连续可微．此时，(2.5) r u ⨯r v = [a '(u ) + v l '(u )]⨯l (u ) = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) ．由此可确定正则条件．例1 直纹面可按 (2.1) 式准线与直纹方向的关系归为不同的子类． ① 柱面：各直纹平行．正则性条件即为准线不与直纹相切，单位法向沿着直纹是常向量，切平面沿着直纹重合．② 锥面：各直纹相交于锥顶点．准线可以“收缩”为锥顶．不妨设已经规范为a (u ) ≡ a 0 ，则正则性条件化为(2.7) r u ⨯r v = v l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ．故锥顶是奇点；并且，当直纹单位方向向量在单位球面上为正则曲线时，也只有锥顶是奇点．其切平面沿着直纹也重合．③ 切线面：直母线族是某条准线的切线族，即直母线族有包络线可作为准线．不妨设已经规范为a '(u ) = l (u ) ≠ 0 ，且此时不妨设准线以 u 为弧长参数，则正则性条件化为(2.8) r u ⨯r v = v T '(u )⨯T (u ) ≠ 0 ．图3-7① ② ③图3-8此时的准线称为切线面的脊线，其上点点为奇点．当脊线无逗留点时，切线面上除脊线外的各点都是正则点．其切平面沿着直纹也重合．④ 主法线面：直母线族是某条准线的主法线族．⑤ 从法线面：直母线族是某条准线的从法线族．例2 正螺旋面或正螺面；其准线可取为旋转轴．正螺面相应单位法向垂直于z 轴；旋转轴上各点处的切平面公交于旋转轴．例3 Möbius 带实体无所谓“正”的定向．直纹面按照准线和直母线族的自然参数化，具有明显的几何直观．准线的转换以及直纹方向向量长度的转换，在自然参数化下，就等价于适当的参数变换；这是一种具有几何意义的参数变换．设直纹面 S 的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出．作直母线方向向量的“伸缩”变换和准线变换分别为(2.9) l *(u ) = λ(u ) l (u ) , λ(u ) ≠ 0 ，(2.10) a *(u ) = a (u ) + μ(u ) l (u ) ，其中变换系数函数 λ(u ) 和 μ(u ) 都是连续可微的．令(2.12) {u * = uv * = [v - μ(u ) ] λ(u ) ， 则得到容许参数变换，与原有方程的对应关系为(2.14) r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) = r *(u *, v *) = a *(u *) + v * l *(u *) ． 由此可以进一步考察准线和直母线是否允许有特殊关系．引理1 已知直纹面的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出，则存在新的参数化，使其准线与直母线处处正交，并且直纹方向向量为单位向量．二．可展曲面及其局部形状分类柱面、锥面、切线面的切平面分别沿着直纹重合；而从正螺面的图形观察到，沿着所给定的直纹移动时，切平面将发生扭转．图3-9 图3-11定义1若直纹面的切平面沿着每一条直纹都分别重合，则称该直纹面为可展曲面，或称该直纹面可展．例4柱面、锥面、切线面都可展．单叶双曲面和双曲抛物面都不可展——这从图形上可以观察到；也可以在任何直纹上展开计算，而由定义得到验证．定理1(直纹面可展的解析条件)设直纹面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 正则．S可展的充要条件为a' , l , l'共面，即(2.15) (a' , l , l' ) ≡ 0 ．对指定直纹族的直纹面而言，该解析条件不依赖于准线以及直纹方向向量长度的选取．要考虑可展曲面的其它特征；除了本节将继续讨论的以外，可展曲面的“内在特征”将在后续章节中出现．注记直纹面的直纹族并不一定是唯一的，比如单叶双曲面、双曲抛物面都有两族直纹，而平面的直纹族更加随意指定．以后可以证明，两族坐标曲线都是直线的正则曲面若可展，则只能是平面（或其局部）．在“较好”的准线a(u) 和直纹方向向量l(u) 之下，解析条件可以进一步化简．特别当直纹方向向量规范为单位向量场时，即|l(u)|2≡ 1 时，有l'(u)∙l(u) ≡ 0 ；进而分两种情形：①当l'(u)⨯l(u) =0时，自然总有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔l'(u) =0；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，l'(u) ≠0，便有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔∃λ(u), μ(u) 使a'=λl'+μl；从此出发，利用准线变换，对可展曲面的局部形状可构造性地进行分类．参数变换的目标是确定如例1所给出的规范参数方程．在下面定理的证明中，可注意体会几何直观对证法的启发，以及如何明确地加以表述．定理2（可展曲面局部形状分类）可展曲面必是柱面、锥面和切线面之一或由它们沿直母线所适当拼接而成．证明由引理1和定理1，设可展曲面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 满足|l(u)|2≡ 1 ；则由简化的解析条件，可完全分类为以下三种情形：①l'≡0，则l(u) = const. ≠0；此时S为柱面．②l'≠0，∃λ, μ使a'=λl'+μl；此时要证S为锥面或切线面．（注意：锥面存在新准线C*: a*(u) 使a* = const. ，而切线面存在新准线C*:a*(u) 使关于弧长的导数d a*d s C*=l，它们的共同特征是a*'(u)∥l．）作待定的新准线C*: a*(u) =a(u) +b(u) l(u) 使a*'(u)⨯l(u) ≡0，其中待定函数b(u)连续可微，则a*'=a'+b'l+b l'= (λ+b) l'+ (μ+b') l；故取b=-λ即可满足要求．此时，a*'= (μ-λ') l．由此，当a*'≡0即λ'≡μ时，a* = const. ，则S为锥面；当a*'≠0即λ'≠μ时，l=a*'μ-λ'=d a*d s C*，则S为切线面．③其他；由以上两种情形的讨论过程可知，l'以及 (μ-λ') 的例外零点对应于曲面上相应的直母线．综合各种情形，得证．三．单参数曲面族的包络观察例5管状面．定义2单参数曲面族Sλ的包络面S*，简称包络．例6可展曲面是其本身切平面族的包络，切平面族的单参数就取为某条正则准线的参数．在求解包络时的先验假定，反验．定理3给定连续可微单参数λ正则曲面族Sλ: r(u, v; λ) ．如果判别式(2.21) (r u , r v , rλ ) = 0能够决定连续可微的两个函数u(λ, t) 和v(λ, t)，那么，该曲面族的包络若存在则只能确定为判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ)；而若判别式无解函数u(λ, t) 和v(λ, t) ，则该单参数曲面族没有包络．注记：①判别式所确定的函数同时明确了对应点的位置．②判别式如果是平凡的，则判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 有可能蜕化为非正则的；此时需要反验是否符合包络条件．③如果判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 是正则的，则其为包络面；此时在某些具体条件下，两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 允许存在反函数，此即为包络面上的特殊参数变换．④对包络面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) ，当选定参数λ=λ0时，其上曲线r(u(λ0, t), v(λ0, t); λ0) 是与族中曲面S的公切点构成的曲线，称之为包络面λ0的特征线．例7已知具有包络S* 的连续可微单参数λ曲面族Sλ: r(u, v; λ) = (x(u, v; λ),y(u, v;λ) ,z(u, v;λ))是由隐式方程F(x, y,z; λ) =0 给出的，其中梯度向量∇F=(F x ,F y, F z) ≠0．试证S* 的隐式方程为(2.22) {F(x, y, z; λ) = 0 ，Fλ(x, y, z; λ) = 0 ．单参数曲面族由隐式方程给出时，其包络的判别曲面由特征线族方程(2.22) 式给出．有时，隐式方程对于表示曲面整体非常有效，比如球面、双叶双曲面等等；此时，由 (2.22) 式讨论包络是较为方便的．例8求单参数λ球面族x2+y2+ (z-λ)2= 1 的包络．定理4给定连续可微单参数t平面族T t: n(t)∙r-p(t) = 0 ，|n|≡ 1 ，n'(t) ≠0．如果 {T t} 的包络面S存在，则S可展．§3曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，是曲面几何学基本的问题之一．勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定；子体和原有 Euclid 空间的几何属性将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面S的参数方程为r=r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面S上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C -1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u ∙r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u ∙r v , G = G (u , v ) = r v ∙r v = |r v |2 ,则对曲线 C 有d s 2 = d r ∙d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]| u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 ， d s = | d r d t| d t = E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ， 则有s (b ) - s (a ) = ⎰b ad s d t d t = ⎰b a | d r d t | d t = ⎰b a E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2| u =u (t ), v =v (t ) d t ． 可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．图3-13注记： 第一基本形式系数也称为第一基本量．第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．曲面第一基本形式d s 2 = d r ∙d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) - r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部．第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变．第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 ∏: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a ∙b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 ∏ 的第一基本形式为d s 2 = d r ∙d r = (a d u + b d v )∙(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 ∏ 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ∙r ρ = (a cos θ + b sin θ)∙(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ∙r θ = (a cos θ + b sin θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ∙r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 ∏ 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 ∏ 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w ∙r w = (T + t κ N )∙(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w ∙r t = (T + t κ N )∙ T = 1 ，G (w , t ) = r t ∙r t = T ∙ T = 1 ；此时，在平面 ∏ 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．改写(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎭⎫E F F G ⎝⎛⎭⎫d u d v ；(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ,(3.5) d r ∙d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T ⎝⎛⎭⎫d u d v ,(3.6) ⎝⎛⎭⎫E F F G = ⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T = ⎝⎛⎭⎫r u r v ∙ (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“∙”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G= EG - F 2 = |r u |2|r v |2 - (r u ∙r v )2 = |r u ⨯r v |2 > 0 ， 称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为 (3.8) J = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎭⎫E * F *F * G * = ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * ⎝⎛⎭⎫ r u * r v *T = J ⎝⎛⎭⎫ r u r v ⎝⎛⎭⎫ r u r v T J T = J ⎝⎛⎭⎫E F F G J T ， (3.10) E *G * - F *2 = |J |2(EG - F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E *G * - F *2 = ||J || EG - F 2 ． 例2 以平面弧长参数曲线为准线作柱面 S ，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u , v ) 下可以表示为 d s 2 = d u 2 + d v 2 ．三．交角与面积元素确定交角和面积等几何量．交角，有向交角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面 S 的第一基本形式以 (3.2) 式确定；设点 (u , v ) 处的两个切向微元在自然基 {r u , r v } 下分别为 d u :d v 和 δu :δv ，确定其间夹角余弦(3.12)式——曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．定理1 对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．定义2 正交参数，正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．例3 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线 C 的微分方程．2．曲面的面积元素和区域面积曲面的面积元素可以表示为(3.13) d σ = |r u ⨯r v | d u d v= EG - F 2 d u d v ．任一有界区域 r (U 0) 的面积 A (U 0)可以表示为(3.14) A (U 0) = ⎰⎰ U 0 d σ = ⎰⎰ U 0 |r u ⨯r v | d u d v = ⎰⎰ U 0EG - F 2 d u d v ． 在参数变换下面积元素对应相同，面积也对应相同．v )图3-14定理2正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．§4局部等距对应曲面间的正则对应．“贴广告”的体验：保持弧长以及由弧长所完全确定的几何量都不变．一．局部等距对应定义1局部等距对应；局部等距．等距对应；等距．等距与局部等距的区别．目前通常只考虑曲面间的局部等距对应，并简称为等距对应．定理1（局部等距对应充要条件）两张曲面局部等距的充要条件是按对应关系具有相同的第一基本形式．等距的曲面之间能够作为容许参数变换的对应关系，并不一定具有明显的解析表达式；同时，第一基本形式按对应关系相同，并不意味着它们的参数已经对应相同，即它们的第一基本形式系数并不总是相等，而只是在对应关系下以变换规律 (3.9) 式相联系．一般而言，寻求等距曲面之间的等距对应关系可以归结为求解由 (3.9) 式所给定的偏微分方程组，但其求解过程往往是困难重重和具有技巧的．从定理1看，通过计算第一基本形式即可验证对应关系是否为等距对应．而对于较为直观和简单的等距对应，通过分析几何直观及其所提供的启示，也可以找到相应的对应关系．例1悬链面与正螺面之间的局部等距对应悬链面与正螺面．悬链面去掉一条母线而“剪开”后，与正螺面的“一个螺纹”之间的等距对应．定理2可展曲面总存在与平面的局部等距对应．分析这个定理的结论和证明过程，可见可展曲面局部存在到平面之间的连续变形，使得变形过程中的每一张中间曲面都是可展的，并且在对应关系下直纹总变到直纹，同时每一张也都是互相等距对应的．这就是平整的“纸张”能够“不撕破”“不褶皱”地“贴合”在可展曲面上的原因．这个定理的逆定理也是成立的，其证明在后续两章给出．形象地说，可展曲面名副其实地“可展”成平面．一般而言，讨论曲面在保持等距意义下的连续形变，是较为复杂的．二．曲面的内蕴几何学概念定义2内蕴量，内蕴性质（内在性质）；内蕴几何体．内蕴几何学．内蕴几何学的核心是讨论第一基本形式的不变量以及相关的几何属性．例如，球面与平面之间不存在局部等距对应，从而具有不同的内蕴几何学；而这个事实的证明，将在第五章利用所谓的Gauss绝妙定理给出．从内蕴几何角度来看，可展曲面的代表就是平面；有理由认为它的“内在弯曲”状况是“平坦”的，尽管有许多可展曲面的“外在弯曲”状况是“弯曲”的．而球面既是“外在弯曲”的，也是“内在弯曲”的．内蕴量和内蕴性质，还可以提示和帮助确定等距对应关系．§5局部正交参数网与等温参数适当坐标系的选取是非常重要的．简化计算．另一种作用是，根据场合选取具有特定几何意义的坐标系，有时会成为揭示和解决问题的关键．本节将给出一个基础性结论，它经常用于建立所需要的局部坐标系，包括确定一些具有特定几何意义的参数曲线网的局部存在性．一．一般结论与正交网定理1设二阶连续可微正则曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D上已给出两个处处线性无关的连续可微切向量场a(u, v) , b(u, v) ，则对任何点 (u0, v0)∈D满足r u*∥a , r v*存在其邻域D0⊂D，使在D0内存在参数变换{u* =u*(u, v)v* =v*(u, v)∥b，即切向量场a(u, v) , b(u, v) 的积分曲线族分别为u*, v* 曲线族．定理2在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近总可取到正交网．证明对曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D，取a(u, v) =r u(u, v) ,b(u, v) =r v(u, v) -FEr u(u, v) ，则a, b是两个处处线性无关的连续可微切向量场，并且处处正交．由定理1，可分别取切向量场a, b的积分曲线族为局部的两族坐标曲线，则此两族坐标曲线构成正交网．□注记①曲面正交网的存在性是局部性质；至于大范围内是否存在正交网，往往受到曲面整体性质的约束．②曲面上的处处正交的单位切向量场总是存在的；但是，定理并没有保证它们可以成为自然切向量场，而只是保证它们可以处处平行于某个自然切向量场．二．等温参数定义1曲面的等温参数．在等温参数下，内蕴量的计算较为简单．同时，从(3.12) 式可见，曲面上的曲线的交角，总等于其在等温参数区域中的原像（当视为欧氏平面上的曲线时）的交角．曲面与欧氏平面在等温参数下的这种对应关系，是一类共形对应，或称为保角对应或等角对应．例1Mercator地图．等温参数的存在性是较难证明的．定理3在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近，总可取到等温参数网．推论二阶连续可微正则曲面局部共形对应于平面；二阶连续可微正则曲面之间总可局部共形对应．。
第3章曲面立体
殊点，如回转面转向轮廓线上的点，截交线在对称线上的顶 点，以及最左、最右、最前、最后、最高和最低点等。其他 点是一般点。求作曲面体截交线的投影时，通常应先求出截
交线上特殊点的投影，然后在特殊点较稀疏处按需要求出一 些一般点，最后将特殊点和一般点依次连接并判别可见性，
利用积聚投影求两圆柱的相贯线
三通管（两空心圆柱）的相贯线
3.6.2 用辅助平面法作相贯线
假想用一辅助平面截断相贯的两曲面体，则可同时 得到两曲面体的截交线，这两曲面体的截交线的交点，就 是辅助平面和两曲面体表面三个面的共有点，即相贯线上 的点。若用若干辅助平面截断两曲面体，就可得到相贯线 上的若干点，把这些点连接起来，就能求得相贯线。
第3章 曲线、曲面及曲面立体
3.1 曲线 3.2 曲面的形成和分类 3.3 回转体及其表面上的点 3.4 曲面立体的截交线 3.5 平面立体与曲面立体相交 3.6 曲面立体与曲面立体相交
由各种曲线、曲面和曲面体组成的建筑物
3.1 曲线
3.1.1 曲线的形成与分类
1. 曲线的形成 曲线可以看成是点的运动轨迹（图3.1a）， 也可以是两曲面或平面与曲面相交而形成（图3.1b）。
4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理加深轮廓线。
39
3.4.3 球的截交线
平面切割球时，不论截平面的位置如何，截交线总是圆。 当截平面平行投影面时，截交线圆在该投影面上的投影 反映实形； 当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影积聚成为一条长度等于截交线圆直径的直线； 当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影为椭圆。
螺距P
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曲面基本建模
曲面基本建模下课程内容：复制、镜像、移动、偏移、阵列、合并、相交、投影穿插内容：基准特征重点：复制、镜像、移动、偏移、阵列、合并、相交难点：投影学习本章目的：本章内容将在以后分模中至关重要、这章我们主要在建模上学会这些命令的用法、为将来做分型面打好基础。
学习完本章对学员的要求：通过对本章的学习、您应该具备如下能力：能熟练且灵活运用以上任何一个命令、创建较复杂的模型足球建模：1 、草绘曲线：一个正五边形与两条直线，直线与多边形相连接的边成120度角度2、旋转曲面1 ：3、旋转曲面2：4、相交：这条相交线就是六边形的边①⇨按住ctrl选取两个旋转曲面⇨编辑⇨相交②隐藏两个旋转曲面整个足球的创建就是这条六边形的边创建比较难理解，其他的都不难5、创建基准平面dtm1、dtm2Dtm1穿过两条边 dtm2穿过一条边与dtm1垂直6、草绘曲线2：正六边形，边长等于正五边形的边长，7、草绘曲线3：8、旋转曲面3：在right 平面旋转球面（9、复制曲面：原地复制球面以备用，隐藏旋转曲面 10、偏移：偏移球面⇨用面组选取球面⇨编辑⇨偏移⇨输入偏移尺寸（多边形厚度，也是球的材料厚度）偏移前 偏移后11、拉伸：在top 平面拉伸正五边形曲面 12、合并1五边形曲面与偏移曲面合并13、合并2：用合并1的结果与小球合并，14、圆角得到五边形的形状15、偏移：16、拉伸：在dtm1上拉伸正六边形⇨取消隐藏的曲面⇨偏移曲面（同步骤10）17、两次合并、倒圆角（与12、13、14步相同）18、阵列：六边形绕球的中心轴阵列19、复制：旋转复制⇨选取正五边形曲面⇨（编辑⇨复制）⇨（编辑⇨选择性粘贴）20、阵列：21、复制：旋转复制（选择性粘贴）22、复制：23、阵列：六边形绕上一步复制出来的轴旋转复制72度，角度的正负值自己控制24、创建基准平面：此曲线断点既是球心位置、若不能判断穿过球心、与top平面平行其点就是球心；可以创建两根轴的交点25、镜像：把以上所有曲面以dtm4（上一26、旋转：复制 选择性粘贴步创建的基准平面）镜像，得到另一半27、制作文字：投影曲线28、偏移：。
曲面建模
曲面模型目标的生成方法：在曲面建模中，生成模型目标的方法有三种，所用的方法取决于你要创建的目标类型：•在一个已存在的曲面上创建一条曲线，定义目标的几何图形，例如：纵缝、横缝、船体曲线及外板型材可以用这种方法创建。
•将已存在的多个模型目标集合起来，展开的板及曲面板架适用于这种方法。
•用多个新的模型目标代替一个已存在的目标，将它分成几个小的构件，外板加强材就是用这种方法生成的。
曲面建模概述在这一节中，主要介绍曲面建模的基本概念：1船体曲线。
2．横缝及纵缝。
３．纵骨及横向结构。
４展开的外板及型材。
５．曲面板架。
1。
船型：只要有船型，就可以开始进行曲面建模，船型可以不是最终的，也可以不用光顺到用于生产的船型。
曲面建模所用的船型是利用Lines或Surface模块生成的。
在建模期间，可以更换船型，并且所有的曲面目标可以用新的船型重新生成。
这在Tribon 中通过相应的命令可以自动完成，可以使设计提早进行，缩短设计周期，可以使模型用于送审图的生成，提高设计的快速反应能力。
2.船体曲线将船型传给一个工程后，第一步就是校验船体曲面的质量，Tribon不能观察实际的曲面，所以要校验船型质量的好坏，通常是在每个肋骨位置和每个纵骨位置生成船体曲线。
如果在Lines或Surface模块中构成的船体曲面有问题，例如有空洞或重叠，则在生成船体曲线时就可以快速发现这些问题，这样可以保证曲面建模的顺利进行。
Name:定义船体曲线的名（这些名应符合船体参考目标中的规定）。
对于肋骨、侧剖线和水线，通常使用下面的命名规则：Frame <project letters>X< frame number>Buttocks <project letters>Y< co-oridnate or LP number>Waterlines <project letters>Z< co-oridnate or LP number>Auto Name:如果生成多根船体曲线，才出现该框，选上该框，系统会将输入的名加到第一根船体曲线，后面的曲线会在该名的后面加一个运行号。
第3章 NURBS曲面建模
1
本章知 一般曲面成型 特殊曲面成型 曲面的布尔运算 缝合曲面
2
3.1 创建曲面基本体
在Maya 2008中，关于曲面的创建有两种方法 ：一种是使用命令或者工具架上的创建工具创建曲 面基本体，也就是NURBS基本体；另一种方法是 使用曲线来生成一些比较复杂的曲面。
21
3.7 连接曲面
连接曲面是NURBS建模中一个重要的工具，它 可以使曲面间产生光滑的过渡，它包含三个工具，分 别是：Circular Filler、Freeform Fillet和Fillet Blend Tool，它们分别对应于相交或者不相交的的曲面创建 曲面圆角，从而实现曲面的连接。
22
13
3.4 编辑曲面
对于曲面建模了说，编辑的方法是非常重要的， 可能同样的一个曲面造型，在不同的人眼里边，它们 的最终形状是完全不同的，为什么呢？因为他们的编 辑方法不同。由此可见，曲面编辑的重要性。
14
3.4.1 复制与修剪
大多数情况下，我们制作曲面的主要目的是为 了获取上面的一小部分应用，为此呢我们可以通过 利用复制的方法获取其中的一部分曲面。对于实际 编辑而言，修剪可以将一个曲面分离，并保留最终 的部分。
3
3.2 一般成型
如果要创建复杂的物体，仅仅利用标准基本体是 不够的，它只能作为一个模型的基础，如果要创建复 杂的模型，则必须使用更加高级的建模工具。本节将 向大家介绍利用曲线成型的一般方法，包括车削成型 、放样成型、平面成型以及挤出成型等。
4
3.2.1 车削曲面
所谓的车削，实际上就是我们所说的“旋转”。 利用一个二维图形，通过某个轴向进行旋转可以产生 一个三维几何体，这是一种彤云用的建模方法，例如 使用这种方法可以制作一个苹果、茶杯等具有轴对称 特性的物体。
CAD中的曲面建模技术指南
CAD中的曲面建模技术指南曲面建模是CAD软件中的重要功能之一。
通过曲面建模技术，我们可以创建具有复杂曲线和曲面的零件和模型。
本文将介绍几种常见的CAD曲面建模技巧和技术，帮助读者掌握曲面建模的基本原理和方法。
1. 曲线与曲面的区别在CAD软件中，要理解曲面建模，首先需要了解曲线和曲面的区别。
曲线是一个只有一维的线条，而曲面则是具有二维属性的表面形状。
曲面由曲线生成，可以包含多个曲线或曲线之间的连接。
曲线在曲面建模中扮演重要角色，因为曲线可以用来定义并创造具有复杂形状的曲面。
2. 曲线建模技术在进行曲面建模之前，首先需要学习曲线建模技术。
常见的曲线建模技术包括使用基本几何形状创建曲线，如直线和圆弧。
还可以使用控制点曲线（B样条曲线或NURBS）来创建更复杂的曲线形状。
通过操纵曲线的控制点和控制线，可以创建具有复杂形状的曲线。
3. 曲面建模技巧曲面建模的关键在于将曲线连结并创造出曲面。
有几种常见的曲面建模技巧可以使用，包括：- 推拉：将曲线延伸或推拉成一个曲面。
这种方法适用于创建具有一定厚度的曲面，如管道或块体。
- 辐射：使用多个曲线从一个中心点辐射出去，形成一个类似辐条的曲面。
这种方法常用于创建扇形盖子或类似形状的零件。
- 旋转：将曲线旋转一定角度，生成一个整个表面都是旋转曲线的曲面。
这种方法适用于创建圆柱体、圆锥体等形状。
- 曲面填充：通过连接曲线的不同端点，填充区域形成一个曲面。
这种方法适用于创建曲线形状的封闭曲面。
4. 曲面编辑和操纵在曲面建模过程中，常常需要进行曲面的编辑和操纵。
CAD软件提供了一系列工具和命令来完成这些操作。
例如，可以通过调整曲线上的控制点或控制线来改变曲线的形状。
可以拉伸、扭曲、放大和缩小曲面，以达到所需的形状和尺寸。
在编辑和操纵曲面时，要保持曲面的平滑和连续性，以确保曲面的质量和精度。
5. 曲面分割和连接在曲面建模中，有时需要将一个曲面分割成多个部分或将多个曲面连接在一起。
maya动画制作案例教程-第3章：曲面建模
• 思考题 • 使用本章所学到的命令，重新制作一把造型复杂的宝 剑。 • 下面是一些造型稍稍复杂一些的宝剑，都是学生学习 完本章课程后制作的作业。
3.1
•
各式各样的杯子
对于Revolve（旋转成型）这个命令来说，大概它最 常用的就是用来创建杯子了，这是因为这个命令本身的特 性所决定的，它最适合创建圆口的东西。杯子和筒子、罐 子、坛子都是圆口的，这也使得这个Revolve（旋转成型） 命令在创建这些东西的时候得心应手。 • 下面我们使用这个命令，来创建各式各样的杯子模型。
3.1
•
各式各样的杯子
首先来按下F4，进入Surfaces模块，先来学习一下很 常用的Surface命令面板中的命令。这些命令都是对曲线 进行操作，使之成为一个面。
3.1
各式各样的杯子
• 3.1.1 Revolve旋转成型命令 • 这个命令是使用一条曲线进行旋转，最终成为一个曲 面模型。先执行Create（创建）→CV Curse Tool（CV曲 线工具）或EP Curse Tool（EP曲线工具）命令画出线， 值得注意的是起始点都要在一条平行线上，然后运用这个 命令，就可以使这条线进行旋转成型的操作。
3.2
Байду номын сангаас
多线的曲面编辑工具
3.2
多线的曲面编辑工具
• 3.2.3 Extrude挤压成型实例——牛角 • 这是将一条封闭了的曲线挤压成一个物体的命令。 • 本实例的制作过程请参考本书，最终结果如图：
3.3
曲面建模综合实例——宝剑锋从磨砺出
• 本实例的制作过程请参考本书，最终结果如图：
• 本章小结： • 这一章简单的介绍了Maya的曲面建模。正如前文中所 介绍的一样，曲面建模主要是应用于工业产品的制作中， 这主要是因为Nurbs建模有着良好的精度，它与Polygon多 边形建模的区别，就相当于平面里边矢量图和位图的区别。 前者无论放大多少倍，它依然能够保持精度。 • 希望在学习完本章的内容以后，对曲面建模的认识会 更清楚一些。在下一章中将介绍Polygon建模的方法，在 学习完下一章的内容后就可以对这两种都很优秀的建模方 式进行一下对比了。
工程制图-曲面体
辅助圆法
k
k
圆的半径？
二.回转体截切的基本形式
截交线的性质： • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
三.求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
截交线 形状？
求作平面与锥面的交点
●
◆光滑连接纬各圆点半径？
◆作左视图 ◎画出未截切圆锥投影 ◎求转向线上点 ◎画平面投影 ◎加深轮廓线
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交 截交线的形状都是圆 截平面与投影面的相对位置不同
截交线的投影不同
圆
椭圆
直线
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线投的影投，影在，俯在视侧图视上图为 上部为分部圆分弧圆，弧在，侧在视俯图视上 图积上聚积为聚直为线直。线。
为 轮素★廓圆线辅素锥。助线面直的不线投同法影方。向的两条 ★辅助圆法
s●
k(n)
n● s
k
SO
●
A O1 ●s
●(n) k
如过何锥在顶圆作锥面 一圆上条的作素半直线径线。？？
3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
k
⑶个 圆和，面轮三圆它可廓个球 们见线视的 分性的图直 别的投分径是判影别相圆为等球断与三的三曲 ⑷个方圆向球轮面廓上线取的投点影。
θ PV
PV
θ
α
PV
θ PV α
α
θ= 90° 过锥顶
曲面建模的具体思路
曲面建模的具体思路
曲面建模是一种用来创建具有复杂曲线和曲面形状的三维模型的技术。
下面是一些常见的曲面建模思路：
1. 创建基本几何体：从最简单的几何体开始，如立方体、球体或圆柱体。
这些基本几何体可以作为曲面建模的起点，通过修改几何体的顶点、边缘和面来创建更复杂的曲面。
2. 使用控制点曲线：控制点曲线是曲面建模中常用的一种方法。
通过在二维平面上放置一组控制点，然后使用插值或参数化等方法，将这些控制点连接起来形成一条平滑的曲线。
这些曲线可以用来创建曲面的边界或分割线。
3. 运用曲面曲线：曲面曲线是在三维空间中定义的曲线，可以用来生成复杂的曲面。
例如贝塞尔曲线、B样条曲线等。
可以通过调整曲线的控制点位置和权重来改变曲面的形状。
4. 使用曲面生成器：曲面生成器是一种功能强大的工具，可以根据给定的参数和规则来生成曲面模型。
例如，参数化曲面、NURBS （非均匀有理B样条）曲面等。
通过调整参数和控制点，可以精确地控制曲面的形状。
5. 进行修饰和调整：一旦创建了基本的曲面模型，可以使用各种修饰和调整工具来改变其形状和外观。
例如，平滑工具、拉伸工具、挤压工具、剖切工具等。
以上是一些常见的曲面建模思路，具体的方法和工具因软件而异。
不同的设计任务可能需要结合多种方法来实现预期的曲面效果。
中文Creo基础教程曲面设计PPT学习教案
切换模型树为层显示状态
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隐藏所选层
6.1.2 曲面面组控制
2. 为面组分配颜色 指定一种现有的自定义颜色，
并将该颜色分配到面组或曲 面的指定边，从而提高曲面 面组的显示效果。
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赋予面组指定颜色
6.1.2 曲面面组控制
3. 为面组和曲面设置网格显示 在创建复杂的模型时，曲面和面组的数量比较多，容易造成视图显示混
创建拉伸修剪曲面
6.2.2 旋转曲面
旋转曲面是将草图截面沿中心 线旋转而创建的曲面特征。其 中，绘制的旋转截面可以开放 也可以封闭。
创建旋转曲面
创建旋转封闭曲面
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创建旋转修剪曲面
6.2.3 填充曲面
利用填充曲面工具可以通过选择封闭的平面轮廓线或在草绘平面上绘制封闭草图创建平面曲面。
的相切曲面。通常为那些无法通过常规拔模特征进行拔模的几何实体曲面，添加相切拔模。
指定拖动方向
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创建拔模曲面
6.3.5 将切面混合到曲面
3．由边线创建内部混合相切曲面 该方法是指通过边线向曲面内部创建一个具有恒定角度的相切曲面。该曲面在参照曲线的一侧，相对
于参照零件曲面按指定角度进行创建，在相切曲面和参照零件的相邻曲面之间创建过渡圆角。
6.2.4 扫描曲面
创建封闭扫描曲面
创建截面变化的扫描曲面
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6.3 高级曲面设计
Creo Parametric提供了边界混合、曲面自由形状等高级曲面设计方法，应用这些特征工具，可以创建以 曲线为基础，异形的、没有规律或曲度大的复杂曲面，从而进行具有复杂外形产品的设计。
边界混合曲面 螺旋扫描曲面 顶点倒圆角 自由式曲面 将切面混合到曲面 展平面组
§3 曲面的第一基本形式
第三章 曲面的第一基本形式§3 曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，理所当然是曲面几何学基本的问题之一．第二章已经提到，勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，确定了这个空间中的长度的概念以及关于距离的几何学．作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定，这是一种直观的自然方式；子体和原有空间——三维 Euclid 空间的几何属性，将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面 S 的参数方程为 r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面 S 上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C −1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．对曲线 C 而言，有23图3-13 d r = r u d u + r v d v = r u d u d t t + r v d v d t d t ，d r d t = ⎝⎛⎠⎞r u d u d t+ r v d v d t | u =u (t ), v =v (t ) ， d s 2 = d r •d r = (r u •r u ) d u 2 + 2(r u •r v ) d u d v + (r v •r v ) d v 2= d r d t • d r d t d t 2 = [ |r u |2 ⎝⎛⎠⎞ d u d t 2 + 2(r u •r v ) ⎝⎛⎠⎞ d u d t d v d t + |r v |2 ⎝⎛⎠⎞ d v d t 2 ]d t 2 . 按照经常通用的记号，记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u •r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u •r v , G = G (u , v ) = r v •r v = |r v |2 ,则进一步对曲线 C 有d s 2 = d r •d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]|u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎠⎞ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎠⎞ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎠⎞ d v d t 2 ]d t 2 ， 此时取d s = | d r d t | d t =E ⎝⎛⎠⎞ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎠⎞ d u d t d v d t +G ⎝⎛⎠⎞ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ，则有s (b ) − s (a ) = ∫b a d s d t d t = ∫b a | d r d t | d t = ∫b a E ⎝⎛⎠⎞ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎠⎞ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎠⎞ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ．由此可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．注记： 曲面的第一基本形式系数也称为其第一基本量． 用进一步的几何语言来说，第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．按照定义，曲面第一基本形式d s 2 = d r •d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) − r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部（略去的是高阶无穷小）．可证（留作习题）第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变；因而确实是曲面的几何量．从定义出发，第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算，一定要熟练掌握．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 Π: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a •b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 Π 的第一基本形式为d s 2 = d r •d r = (a d u + b d v )•(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 Π 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (− a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ•r ρ = (a cos θ + b sin θ)•(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ•r θ = (a cos θ + b sin θ)•(− a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ•r θ = (− a ρsin θ + b ρcos θ)•(− a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 Π 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 Π 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w •r w = (T + t κ N )•(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w •r t = (T + t κ N )• T = 1 ，G (w , t ) = r t •r t = T • T = 1 ；此时，在平面 Π 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．基于第一基本形式的不变性，需要注意，第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．为了简便，可将第一基本形式 (3.2) 改写为形式矩阵，表示为(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎠⎞E F F G ⎝⎛⎠⎞d u d v ；相关各量分别表示为(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎠⎞r u r v, (3.5) d r •d r = (d u , d v )⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞r u r vT ⎝⎛⎠⎞d u d v , (3.6) ⎝⎛⎠⎞E F F G = ⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞r u r v T = ⎝⎛⎠⎞r u r v • (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“•”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G = EG − F 2 = |r u |2|r v |2 − (r u •r v )2 = |r u ×r v |2 > 0 ，称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．这两条性质是等价的；它们的证明已经隐含在定义之中．下面具体考虑它们在容许参数变换下的行为．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为(3.8) J = ⎝⎜⎛⎠⎟⎞∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2 ．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎠⎞E * F *F * G * = ⎝⎛⎠⎞ r u * r v * ⎝⎛⎠⎞ r u * r v *T= J ⎝⎛⎠⎞ r u r v ⎝⎛⎠⎞ r u r vT J T = J ⎝⎛⎠⎞E F F G J T ， (3.10) E *G * − F *2 = |J |2(EG − F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念（将在后续几何或代数课程中出现）的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E*G* −F*2=||J||EG−F2．例2以平面弧长参数曲线为准线作柱面S，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u, v) 下可以表示为 d s2= d u2+ d v2．解：平面弧长参数曲线设为C: a(s*) ，设S: r(s*, v) =a(s*) +v l , l= const. , |l|= 1 ．则其第一基本形式为d s2=|d r|2=|a′(s*) d s* +l d v|2= d s*2+ 2[a′(s*)•l] d s*d v+ d v2．当直纹与准线C所在平面垂直时，a′(s*)•l≡ 0 ，则令 (u, v) = (s*, v) ，便可满足要求．当直纹与准线C所在平面不垂直时，可选取新的平面弧长参数曲线使直纹与新准线所在平面垂直（想想理由并自行给出解析论证），故可转化为上一种情形．三．交角与面积元素作为应用，下面考虑如何利用曲面的第一基本形式，以确定交角和面积等几何量．对于不同的曲线或曲面，它们在公共点的交角总是指它们在该点处的切线或切平面之间的夹角，而有向交角通常是指它们在该点处的单位切向或有向切平面之间的有向夹角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面S的第一基本形式以 (3.2) 式确定；曲面S上的两条曲线C i: {u=u i(t i)v=v i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ，(u0, v0) = (u i(t i0), v i(t i0)) ，i= 1, 2 ．C i在点P0处的自然切向为r u(u0, v0) u i′(t i0) +r v(u0, v0) v i′(t i0) ．简记a i= u i′(t i0) ,b i= v i′(t i0) ,E0=E(u0, v0) , F0=F(u0, v0) , G0=G(u0, v0) ．则C i在点P0处的交角θ0的余弦确定为r u(u0, v0) u1′(t10) +r v(u0, v0) v1′(t10) |r u(u0, v0) u1′(t10) +r v(u0, v0) v1′(t10)|•r u(u0, v0) u2′(t20) +r v(u0, v0) v2′(t20) |r u(u0, v0) u2′(t20) +r v(u0, v0) v2′(t20)|=a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0a12E0+ 2a1b1F0+ b12G0a22E0+ 2a2b2F0+ b22G0．利用微分形式的不变性，可知(d u i : d v i )|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0=u i′(t i0) : v i′(t i0) =a i : b i，从而 cosθ0确定为E d u1d u2+F(d u1d v2+ d v1d u2) + G d v1d v2E d u12+ 2F d u1d v1+G d v12E d u22+ 2F d u2d v2+ G d v22|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0．此式自然推广到一般切方向之上；即，设点(u, v) 处的两个切向微元在自然基 {r u, r v} 下分别为 d u:d v和δu:δv，则其间夹角余弦确定为(3.12) cosθ=E d uδu+F(d uδv+ d vδu) + G d vδvE d u2+ 2F d u d v+G d v2Eδu2+ 2Fδuδv+ Gδv2．该式表明：曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．此处要注意，参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．将 (3.12) 式用于坐标曲线族，将得到有价值的推论，列为如下定理．定理1对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．证明（从自然切向的数量积出发，直接易证；下述过程是为了帮助理解 (3.12) 式） 在本节通用记号下，两族坐标曲线的切线分别为 1:0 和0:1 ，代入 (3.12) 式即得坐标曲线夹角余弦cosθ=FEG；从而两族坐标曲线处处正交的充要条件为F≡ 0 ，即得结论．定义2对正则曲面S: r=r(u, v) ，若两族坐标曲线处处正交，则称参数(u, v) 为曲面S的一组正交参数，同时称这两族坐标曲线构成曲面S的一组正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．在计算问题中，简短的第一基本形式显然会带来许多方便；因此，正交参数无疑是曲面上的一种较好的参数．关于曲面上较“好”参数（不一定正交）的讨论，将在 §5 以及第四章和第六章中多处出现．例3对正则曲面S: r=r(u, v) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线C的微分方程．解：对于两族坐标曲线的自然切向r u和r v，二等分角向量场为r u |r u|±r v|r v|=r uE±r vG．故轨线C的切向微元r u d u+r v d v处处与该向量场平行，即沿C有d u:d v=1E:±1G，从而所求微分方程为E d u±G d v= 0 ．例4已知正则曲面S: r=r(u, v) 的第一基本形式确定为 (3.2) 式．设微分方程α(u, v) d u2+ 2β(u, v) d u d v+γ(u, v) d v2= 0 在定义区域内过点 (u0, v0)有且仅有不相切的正则解曲线Γi: {u=u i(t i)v=v i(t i)，i= 1, 2 ；两条曲面S上的曲线C i: {u=u i(t i)v=v i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ．试证：两条曲线C i正交于点P0的充要条件为(Eγ− 2Fβ+Gα)|(u, v) = (u0, v0)= 0 ．证明：记α0=α(u0, v0) , β0=β(u0, v0) ,γ0=γ(u0, v0) ．记两条曲线C i在点 (u0, v0) 处的两个切向微元分别为a i : b i，则由正则性可知a i2+b i2≠ 0 ；由微分方程可知α0 a i2+ 2β0a i b i+γ0b i2= 0 ．而由 (3.12) 式，C i之间正交条件写为a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0= 0 ．以下分两种情形讨论．情形①：α0=γ0= 0 ，则β0≠ 0 ；否则过点 (u0, v0) 的正则曲线都是解曲线，而与已知矛盾．此时，由微分方程知a i b i= 0 ，故只能有两组解{a1= 0, b1≠ 0 ，a2≠ 0 , b2= 0 ；或{b1= 0 , a1≠ 0 ，b2≠ 0 , a2= 0 ；对应正交条件等价化为F0= 0 ，即为所论条件．情形②：α0和γ0不同时为 0 ，不妨设α0≠ 0 ；则由微分方程可知，必有b i≠ 0 ；此时，不妨规范为b i= 1 ，则方程转化为α0 a i2+ 2β0a i+γ0= 0 ．此时，由一元二次方程系数的性质，得知a1+a2=−2β0α0，a1a2=γ0α0，从而a 1a 2E 0 + (a 1b 2 + b 1a 2)F 0 + b 1b 2G 0 = a 1a 2E 0 + (a 1 + a 2)F 0 + G 0= γ0 α0 E 0 + −2β0 α0F 0 +G 0 = 1 α0 (γ0E 0 −2β0F 0 + α0G 0) ． 此式说明所论条件为充要条件．以上情形是完全分类，故结论得证．2．曲面的面积元素和区域面积现考虑曲面 S 的面积在已知第一基本形式之时的求解问题．在参数区域 U 内，任取矩形使其分别以点 (u , v ), (u +d u , v ),(u , v +d v ), (u +d u , v +d v ) 为顶点，则在曲面 S 上对应形成以点 P 1:(u , v ), P 2: (u +d u , v ), P 3: (u , v +d v ),P 4: (u +d u , v +d v ) 为顶点的坐标曲线四边形．按照微积分理论，在略去更高阶无穷小量时，该曲边四边形的面积就等于直边三角形 P 1P 2P 3 面积的二倍，从而就等于由向量 P 1P 2 和 P 1P 3 所张成的平行四边形的面积．而在略去更高阶无穷小量时，图3-14P 1P 2×P 1P 3 = [r (u +d u , v ) − r (u , v )]×[r (u , v +d v ) − r (u , v )]≈ [r u (u , v )d u ]×[r v (u , v )d v ] = EG − F 2 d u d v n (u , v ) ，故曲面的面积元素可以表示为(3.13) d σ = |r u ×r v | d u d v = EG − F 2 d u d v ，其中第二个等号是根据 (3.7) 式．进而，曲面上任一有界区域 r (U 0) 的面积 A (U 0) 可以表示为(3.14) A (U 0) = ∫∫ U 0 d σ = ∫∫ U 0 |r u ×r v | d u d v = ∫∫ U 0EG − F 2 d u d v ． 在参数变换下，根据 (3.8) 和 (3.10) 式以及二重积分的变量代换公式，易知面积元素对应相同，面积也对应相同；这与几何属性是相容的．以上结果的核心，列为如下定理．定理2 正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．习 题⒈ 证明正则曲面的第一基本形式在容许参数变换下不变．⒉ 证明正则曲面的第一基本形式在 E 3 的正交标架变换下不变．⒊ 试求下列曲面的第一基本形式：① 单位球面 r (u , v ) = (2u u 2 + v 2 + 1 , 2v u 2 + v 2 + 1 , u 2 + v 2 − 1 u 2 + v 2 + 1) ； ② 悬链面 r (u , t ) = (t , cos u ch t , sin u ch t ) ．⒋ 在螺面 r = (u cos v , u sin v , ln cos u + v ) 上，试证：每两条螺线（v 线）在任一 u 曲线上截取等长的曲线段．⒌ 球面上的斜驶线是指与经线交成定角的轨线，试在经纬参数化下确定其微分方程．⒍ 已知正则曲面 S : r (u , v ) 之上有两族正则曲线 ϕ( u , v ) = a 和 ψ( u , v ) = b ，其中a 和b与 (u , v ) 无关．试证：它们互相正交的充要条件为E ϕv ψv −F (ϕu ψv + ϕv ψu ) +G ϕu ψu = 0 ．⒎ 已知曲面的第一基本形式为 d s 2 = d u 2 + (u 2 + 4) d v 2 ．试求：① 其上两条曲线 C 1: u + v = 0 与 C 2: u − v = 0 的交角；② 其上三条曲线 C 1: u = v 2 , C 2: u = − v 2 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的边长和各个内角；③ 其上三条曲线 C 1: u = v , C 2: u = − v 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的面积．。
第三章几何建模ppt课件
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3 混合模式法（Hybrid Model）
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4 空间单元表示法
基本思想：将一个三维实体有规律地分割为有限 个单元，这些单元均为具有一定大小的立方体；在计 算机内部通过定义各个单元的位置是否填充来建立整 个实体的数据结构。这种数据结构通常是四叉树或八 叉树。
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建模方法：几何建模、特征建模、行为特征建模
CAD/CAM建模的基本要求： 1）应具备信息描述的完整性 2）应贯穿整个生命周期 3）应为企业信息集成创造条件
3.2 线框建模 ——利用顶点和边棱线建模
一、二维线框建模原理
数据结构为表结构。 计算机内部存贮的是物体的顶点及棱线信息，将实体的 几何信息和拓扑信息层次清楚地记录在顶点表及棱线表中。
第三章 建模技术
3.1 基本概念 3.2 线框建模 3.3 表面建模 3.4 实体建模 3.5 特征建模 3.6 行为特征建模简介
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3.1 基本概念
建模技术是CAD/CAM系统中的核心。
建模技术是定义产品在计算机内部表示的数字模型、数 字信息以及图形信息的工具；研究产品数据模型在计算机内 部的建立方法、过程、数据结构和算法。
✓ 螺旋扫描特征 ✓ 扫描混合特征 ✓ 环形折弯特征
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72
➢ 特征的基本操作
✓ 特征的阵列 ✓ 特征的复制 ✓ 镜像几何形状 ✓ 特征的修改与再生 ✓ 特征的删除 ✓ 操作特征之间的关系
➢ 基础实体特征的创建
✓ 创建拉伸实体特征 ✓ 创建旋转实体特征 ✓ 创建扫描实体特征 ✓ 创建混合实体特征
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70
➢ 放置实体特征的创建
曲 面 建 模
曲面建模
1.1 任务1——“编辑面片”修改器的使用
1.子对象层次 对面片物体使用“编辑面片”修改器后，在面板中会出现“选择”卷展栏。
这个卷展栏中可以选择编辑的层次，面片的子对象有“顶点”、“控制柄”、 “边”、“面片”和“元素”。 2.顶点编辑
顶点编辑主要是通过移动、删除、焊接顶点以及调整顶点的控制句柄等操 作，来编辑面片的外观形状。 3.边编辑
“编辑面片”修改器的“几何体”卷展栏
创建面片
2021年1月30日星六
山峰效果
细分面片
Thank You!
对边的编辑多了一些功能，主要针对边的细分和面的增加。 4.面片编辑
在面片编辑过程后，经常用到挤出、倒角、细分等操作，通过这些操作可 以制作出非常复杂的模型。
2021年1月30日星期六
2021年1月30日星期六
“编辑面片”面板中的“选择”卷展栏
1.2 任务2——曲面建模方法
2021年1月30日星期六
第3章几何建模技术基础
图3-13 “曲线生成栏”工具 条
第3章 几何建模技术基础 章
3.2线架造型 线架造型 3.2.2 二维线架造型实例
【例3-1】利用草图绘制的方法作出如图 】利用草图绘制的方法作出如图3-14所示平面 所示平面 图形。 图形。 可先按书上提示完成； 可先按书上提示完成； 再可尝试不同的绘制方式实 现此图。 现此图。如：45度处同心 度处同心 圆Φ8，R8可先在坐标原点 ， 可先在坐标原点 正右方做出， 正右方做出，然后对其旋转 等。
第3章 几何建模技术基础 章
3.1坐标系 坐标系 3.1.4 隐藏坐标系
单击主菜单的“工具”→“坐标系”→“隐 单击主菜单的“工具” “坐标系” “ 藏坐标系” 藏坐标系”，拾取目标坐标系后完成隐藏坐标系 操作。可以一次同时隐藏多个坐标系。 操作。可以一次同时隐藏多个坐标系。
第3章 几何建模技术基础 章
3.1坐标系 坐标系 3.1.5 显示所有பைடு நூலகம்标系
单击主菜单的“工具” “坐标系” “ 单击主菜单的“工具”→“坐标系”→“显 示所有坐标系” 则所有坐标系都显示出来。 示所有坐标系”，则所有坐标系都显示出来。 坐标系的操作不是独立存在的操作，它的使用通 坐标系的操作不是独立存在的操作， 常在建模过程之中， 常在建模过程之中，在需要对坐标系进行操作时 使用。对于坐标系操作的实例， 使用。对于坐标系操作的实例，在本书建模实例 中再详细介绍。 中再详细介绍。
如果在系统中有多个坐标系，需要激活某一坐标系作为当前工作坐标系。 如果在系统中有多个坐标系，需要激活某一坐标系作为当前工作坐标系。 操作步骤】 【操作步骤】 单击主菜单的“工具” “坐标系” “激活坐标系” 如图3-11所示， 所示， 单击主菜单的“工具”→“坐标系”→“激活坐标系”，如图 所示 弹出“激活坐标系”对话框。选择坐标系列表中的某一坐标系，单击“ 弹出“激活坐标系”对话框。选择坐标系列表中的某一坐标系，单击“激 按钮，如图3-12所示。 所示。 活”按钮，如图 所示
第四篇 基础曲面建模
time:一课时
time:二课时
完成练习
实物练习
time:1h
time:1h
time:一课时
完成练习
实物练习
time:二课时
完成练习
实物练习
time:四课时
�
二组 选取曲线组的方式创建曲面 网格曲面 主要是通过网格状的曲线来构建曲面 扫掠曲面 艺术曲面
第三篇 基础曲面建模
三 曲面操作 曲面延伸 偏置曲面 大致偏置曲面 桥接曲面
第三篇 基础曲面建模篇
修剪片体 曲面的缝合 片体加厚 N边曲面
完成练习
武汉零创模具设计有限公司
第三篇 基础曲面建模
预计授课时间:12课时
第三篇 基础曲面建模
一 点构建曲面 通过点
通过曲面的控制点来创建曲面
从极点
与通过点方式构造曲面相似,不同在于选取的点将成为曲面的控制 极点
从云点 是由若干的点构成曲面,点是控制点
第三篇 基础曲面建模
曲面的扩大 片体边界 更改阶次 更改刚度 更改边缘 法向反向
完成练习
书本(UG-001)练习
完成练习
图纸练习01
time--45'
完成练习
图纸练习02
time--45'
完成练习
图片练习03
time--1h
完成练习
图片练习04
time:一课时
完成练习
图片练习05
time :一课时
完成练习
书本(UG-001)练习01
time--30'
time--30'
time--30'
完成练习
书本(UG-008)练习02
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改变CV曲线的形状
无论曲线已经创建完，或者正在创建的过程中， 都可以使用变换工具移动、旋转、缩放CV来改 变曲线的形状。
创建时改变曲线的形状
1. 在按下回车键完成曲线之前，按下Insert键。 这时在最后一个CV点处，显示了一个移动操作 器（操纵器），通过点击可以改变CV点如图所 示。
使用“Create > Text”可以创建文本对象并控 制它们的特性。
Tool，将初始点、圆弧半径和末端点顺序放置， 从而创建圆弧。
2. Two Point Arc Tool 使用Create > Arc Tools > Two Point Arc Tool，
可以放置初始点和末端点，从而创建圆弧。 圆弧的半径中两点距离的一半。
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3.3 创建和编辑文本
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3.2.2使用“EP Curve Tool”编辑点曲线工具
在工作区内只要有两个编辑点，使用EP Curve To
须至少有两个编辑点。 创建编辑点曲线 1 选择Create > EP Curve Tool命令。 2 单击以创建第一个编辑点。一个小字母X 出
现。 3 要想结束创建，按回车键。
Maya的建模方法
Maya有3种建模方法： （1）Polygon建模 （2）NURBS 建模 （3）SUBDIVISION SURFACE（细分）建模
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3.1 曲面建模简介
NURBS是Non-Uniform Rational B-Spline（非 均匀有理B样条曲线）英文缩写，是用数学方 式描述包含在物体表面上的曲线或样条。
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曲线的分类
Maya有四种曲线：CV曲线、EP曲线、任意曲 线（用铅笔绘制）和圆弧曲线。
创 建 曲 线 的 四 种 工 具
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3.2.1 使用CV Curve Tool创建曲线
1 选择Create > CV Curve Tool命令。 2 把鼠标指针定位于指定的视图中。 3 单击以放置这条曲线的起点。起点是一个中空的小
方框。按住鼠标左键，可以在视图中任意拖动CV。直 到释放鼠标，才可以定位此CV点。 4 单击以放置第二个CV点。这个CV点以一个小字母U 显示。此时在两个点之间，出现一条直线，这条直线 叫做Hull 线。Hull线并不是曲线的一部分，它只起控 制曲线的作用。
5 单击以放置第三个CV点和第四个CV点。当放置第 四个CV时，可控点所表达的曲线段 就创建出来了。
1 选择要移动的可控点。 2 选择变换工具（例如，移动工具），然后拖
动操作器移动CV。 3 创建完曲线后，如果删除曲线片断，选择可
控点或编辑点，并按下退格键即可。
设置 CV曲线工具选项 创建曲线之前，要设置工具选项。选择Create
> CV Curve Tool ，打开选项视窗。
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NURBS 建模优势
有组织的平滑表面，例如，动物，人体，和水 果。
工业表面，例如，汽车，时钟，和杯子。 用较少的控制点平滑控制较广的面。 如果用户不能确信是否能使用NURBS，多边形，
或细分表面来创建一个物体，应考虑首先使用 NURBS。
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曲线工具架
曲面工具架
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6. 结束点是用户创建的最后一个点。在工作空间 中它没有什么特殊的图标。对于一些建模操作， 例如，Extend Curve；
7.曲线方向（curve direction）以一个小字母U 进 行标识。曲线方向对高级建模非常有用。例如， 在两平行曲线间放样表面，如果曲线位置同向， 会避免出现表面扭曲的现象。
使用Pencil Curve Tool创建曲线时，不能按退 格键删除曲线片断。必须创建完曲线后，才能 选择、删除曲线或编辑可控点c tool绘制曲线
1. Three Point Arc Tool 选择Create > Arc Tools > Three Point Arc
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3.2.3使用Pencil Curve Tool绘制曲线
1 选择Create > Pencil Curve Tool；
2 鼠标指针变成一个小的铅笔。拖动铅笔画线 便可；
3 要停止画线，释放鼠标便可。
4 使用Edit Curves > Rebuild Curve 或Edit Curves > Smooth Curve可以平滑曲线或简化 曲线。
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酒杯的制作过程
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3.2 创建曲线
NURBS曲线的构成：
1. Control Vertex（控制点）：CV点是可控点， 可以操纵可控点改变物体的形状。
2. Edit Point（编辑点）：EP点，在曲线上以 X 进行标识。可以移动这些点重新定位曲线上的 某一点。不能移动表面的编辑点。
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2 拖动操作器移动CV 点以改变曲线的形状
3 要想继续改变曲线的形状，单击其它的CV点 并拖动相应的操纵器。在创建曲线时，删除曲 线片断，按下键盘上的退格键。
4 按下Insert键，继续放置新可控点，按下回 车键，完成曲线的创建。
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曲线创建完毕后修改曲线的形状
NURBS表面的基础是NURBS曲线。 在建模时，曲线有一个本质的用途；帮助用户
创建并修改表面。用户不能渲染曲线，此曲线 的调整总是处于曲面构造的中间环节。
使用 NURBS 曲线，用户可以在表面曲线想定 位的地方准确地定位点，并可通过移动曲线上 或曲线附近的几个控制点来改造曲线或表面。
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3. Curve Point（曲线点）：是指曲线上的任一 点。它可以与可控点和编辑点的位置相同，但 是一种不同的曲线元素类型。可以选择曲线点， 将曲线剪成两部分。
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4.Hull（弧）：Hull是连接CVs点的可见直线。Hull 可以帮用户看清相互连接的可控点位于何处。
5. 起点（start of the curve）是画曲线时，创建的 第一个点，它以一个小的中空盒进行标识。