选择题、填空题78分练(七)

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选择题、填空题78分练(七)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题【解析】选D.f'(x)=e x-m,由f'(x)≥0在(0,+≦)上恒成立得m≤e x在(0,+≦)上恒成立,又e x>1,所以m≤1,故原命题是真命题,从而其逆否命题是真命题,故选
D.
2.已知全集U=R,集合A={x|x+1<0},B={x|x-3<0},那么集合(
ðA)∩B= ( )
U
A.{x|-1≤x<3}
B.{x|-1<x<3}
C.{x|x<-1}
D.{x|x>3}
【解析】选A.A={x|x+1<0}={x|x<-1},B={x|x-3<0}={x|x<3},画出数轴可得应选
A.
3.在△ABC中,“sinA>”是“A>”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为0<A<π,sinA>,
所以根据正弦函数的图象易知<A<,
所以可以得到A>,
即“sinA>”是“A>”的充分条件;
反之,若A>,则推不出sinA>,
如A=,则sinA=.
4.(2014·烟台模拟)等差数列{a n}的前n项和为S n,且9a1,3a2,a3成等比数列.若a1=3,则S4= ( )
A.7
B.8
C.12
D.16
【解析】选 C.因为9a1,3a2,a3成等比数列,所以(3a2)2=9a1·a3,即(a1+d)2=a1·(a1+2d),解得d=0,所以等差数列{a n}为常数数列,所以S4=4〓3=12.
5.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( )
A.a<c<b
B.b<c<a
C.a<b<c
D.b<a<c
【解析】选D.因为log45>1,0<log54<1,0<log53<1,
所以(log53)2<log53<log54,
所以b<a<c.
6.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是( )
A. B. C.或 D.或
【解析】选C.因为m是2和8的等比中项,
所以m2=16,
所以m=〒4,当m=4时,
圆锥曲线为椭圆x2+=1,离心率为,
当m=-4时,圆锥曲线为双曲线x2-=1,
离心率为,
故离心率为或.
【加固训练】点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是
( ) A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2
D.y=x2或y=-x2
【解析】选D.将y=ax2化为x2=y,
当a>0时,准线y=-,
由已知得3+=6,
所以=12,所以a=.
当a<0时,准线y=-,
由已知得=6,
所以a=-或a=(舍).
所以抛物线方程为y=或y=-.
7.若实数x,y满足不等式组:则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )
A.3
B.
C.2
D.2
【解析】选C.由题意得可行域为直角三角形,其面积为S=〓2〓=2.
8.若函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π,则它的图象的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.f(x)=sinωx+cosωx=sin,这个函数的最小正周期是
,令=π,解得ω=2,
故函数f(x)=sinωx+cosωx=sin,把选项代入检验知点为其一个对称中心.
9.一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该空间几何体的体积是
( )
A. B. C.14 D.7
【解析】选A.这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台,这个四棱台的高是2,上底面是边长为1的正方形,下底面是边长为2的正方形,故其体积
V=(12++22)〓2=.
10.设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C= ( )
A. B. C. D. 【解析】选A.由正弦定理得3a=5b, 而c=2a-a=a, 令a=5,b=3,c=7,
则由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC, 得49=25+9-2〓3〓5cosC, 解得cosC=-,所以C=,故选A.
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.把答案填在题中横线上) 11.已知f(x)=
,若f(m)=,则f(-m)= .
【解析】依题意,f(m)=,即=.所以f(-m)=
=
=-=-.
答案:-
12.若对于任意的x>0,不等式≤a 恒成立,则实数a 的取值范围
为 . 【解析】
=
≤
=,当且仅当x=1时取等号,所以要使≤a
恒成立,则a ≥,即实数a 的取值范围为a ≥. 答案:a ≥
13.向量a =(-1,1)在向量b =(3,4)方向上的投影为 .
【解析】设向量a =(-1,1)与b =(3,4)的夹角为θ,则向量a 在向量b 方向上的投
影为|a |·cos θ=
||
a b
b ==.
答案:
【加固训练】(2014·许昌模拟)已知向量a 的模为1,且a ,b 满足|a -b |=4,|a +b |=2,则b 在a 方向上的投影等于 . 【解析】因为|a -b |=4, 所以a 2+b 2-2a ·b =16①, 又因为|a +b |=2, 所以a 2+b 2+2a ·b =4②, 由②-①得a ·b =-3,
又|a |=1,所以b 在a 方向上的投影为||
a b
a =-3. 答案:-3
14.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M 是PC 上的一动点,当点M 满足 时,平面MBD ⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
【解析】由定理可知,BD ⊥PC.所以当DM ⊥PC(或BM ⊥PC)时,即有PC ⊥平面MBD,而PC 平面PCD,所以平面MBD ⊥平面PCD. 故DM ⊥PC(或BM ⊥PC 等) 答案:DM ⊥PC(答案不唯一)
15.(2014·嘉兴模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若-1<a 3<1,0<a 6<3,则S 9
的取值范围是.
【解析】因为数列{a n}是等差数列,
设公差为d,首项为a1,
所以S9=9a1+36d.
令S9=x(a1+2d)+y(a1+5d)=(x+y)a1+(2x+5y)d,
由待定系数法可得
解得x=3,y=6.
因为-3<3a3<3,0<6a6<18,
所以两式相加即得-3<S9<21,
所以S9的取值范围为(-3,21).
答案:(-3,21)
16.点P是椭圆+=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且△PF1F2的内切圆半径为1,当P在第一象限时,P点的纵坐标为.
【解析】由题意得,|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6,
|+|F1F2|)·1=8.
=(|PF
又因为=|F 1F2|·y P=3y P.
所以y P=.
答案:
17.(2014·威海模拟)设集合A=[0,1),B=[1,2],函数f(x)=x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是.
【解析】当x 0∈A时,f(x0)=∈[1,2),
所以f(f(x 0))=4-2〓=4-∈(0,2],
又f(f(x0))∈A,
所以0<4-<1,
解得:log2<x0<1.
答案:
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