人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-翻折问题

7.翻折问题1.在ABC V 中，AB AC ＝，60BAC ∠︒＜，D 为BC 延长线上一点，E 为ACD ∠内部一点，且90ABE ECD ∠∠︒＋＝．（1）若60ABE ∠︒＝，如图1，直接写出AC BE 、间的数量关系：___________；（2）若45ABE ∠︒＝，如图2，求证：2BE AC ＝；（3）在（2）的条件下，如图3，将线段BA 沿BE 翻折，翻折后的点A 落在点M 处，且MC BC ⊥，连接EM ，交BC 的延长线于N ，若2CN ＝，求AN 的长．解析：（1）AC BE ＝提示：作AF BC ⊥于F ，BG CE ⊥交EC 延长线于G∵AB AC ＝，∴12BF FC BC ＝＝∵9060ABE ECD ABE∠∠︒∠︒＋＝，＝∴30ECD∠︒＝，∴30BCG∠︒＝∴1602CBG BG BC∠︒＝，＝∴ABF EBG BF BG∠∠＝，＝∴Rt ABF Rt EBGV V≌，∴AB BE＝∴AC BE＝（2）作AF BC⊥于F，BG CE⊥交EC延长线于G ∵AB AC＝，∴12BF FC BC＝＝∵9045ABE ECD ABE∠∠︒∠︒＋＝，＝∴45ECD∠︒＝，∴45BCG∠︒＝∴45CBG∠︒＝， 222BG BC BF ＝＝ ∴ABF EBG ∠∠＝，∴Rt ABF Rt EBG V V ∽∴2BE BG AB BD==， ∴2BE AB ＝∴2BE AC ＝（3）作AFBC ⊥于F ，MH BE ⊥于H则90ABF BAF ∠∠︒＋＝，12BF FC BC ＝＝ 由题意，45MBE ABE AB BM ∠∠︒＝＝，＝∴90ABM ∠︒＝，∴90ABF MBC ∠∠︒＋＝∴BAF MBC ∠∠＝∵MC BC ⊥，∴90BCM AFB ∠∠︒＝＝∴ABF BMC V V ≌，∴2AF BC BF BF MC ＝＝，＝∴2BC MC ＝由（2）知，BE ，∴BE∵45MBH ∠︒＝，∴45BMH ∠︒＝，212BH MH BM BE ＝＝＝ ∴BH EH MH ＝＝，∴45MEH EMH ∠∠︒＝＝∴90BME ∠︒＝，∴Rt BMC Rt MNC V V ∽∴24MC CN ＝＝，∴468FC FN AF ＝，＝，＝∴10AN ==2.如图，在Rt ABC V 中，90C∠=︒，翻折C ∠，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E F 、分别在边AC BC 、上） （1）若CEF V 与ABC V 相似．①当2ACBC ==时，求AD 的长； ②当34AC BC ==，时，求AD 的长；（2）当点D 是AB 的中点时，CEF V 与ABC V 相似吗？请说明理由．解析：（1）若CEF V 与ABC V 相似．①当2AC BC ==时，ABC V 为等腰直角三角形，如答图1所示．此时D 为AB 边中点，222AD AC ==． ②当34AC BC ==，时，有两种情况：（I ）若34CE CF=：：，如答图2所示．∵CE CF AC BC =：：，∴EF BC ∥．由折叠性质可知，CD EF ⊥，∴CD AB ⊥，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt ABC V 中，34ACBC ==，，∴5AB =，∴3cos 5AC A AB ==． 3•cos 3 1.85AD AC A ==⨯=； （II ）若34CF CE =：：，如答图3所示．∵CEF CAB V V ∽，∴CEF B ∠=∠．由折叠性质可知，90CEFECD ∠+∠=︒， 又∵90A B ∠+∠=︒，∴A ECD ∠=∠，∴AD CD =．同理可得：B FCD CD BD ∠=∠=，，∴此时115 2.522AD AB ==⨯=． 综上所述，当34AC BC ==，时，AD 的长为1.8或2.5．（2）当点D 是AB 的中点时，CEF V 与ABC V 相似．理由如下：如答图3所示，连接CD ，与EF 交于点Q ．∵CD 是Rt ABC V 的中线，∴CD DB AB ==，∴DCB B ∠=∠．由折叠性质可知，90CQF DQF ∠=∠=︒，∴90DCB CFE ∠+∠=︒，∵90B A ∠+∠=︒，∴CFE A ∠=∠，又∵C C ∠=∠，∴CEF CBA V V ∽．3.在矩形ABCD 中，AB a AD=，点G H ，分别在边AB DC ，上，且HA HG ＝．点E 为AB 边上的一个动点，连接HE ，把AHE V 沿直线HE 翻折得到FHE V ．（1）如图1，当DH DA ＝时，①填空：HGA ∠＝___________度；②若EF HG ∥，求AHE ∠的度数，并求此时a 的最小值；（2）如图3，602AEH EG BG ∠︒＝，＝，连接FG ，交边DC 于点P ，且FG AB ⊥，G 为垂足，求a 的值．解析：（1）①45︒②分两种情况：第一种情况（如图1）45HAG HGA ∠∠︒＝＝，∴180454590AHG ∠︒︒︒︒＝－－＝由折叠可知：45HAE F AHE FHE ∠∠︒∠∠＝＝，＝ 又∵EF HG ∥，∴45FHG F ∠∠︒＝＝∴904545AHF AHG FHG ∠∠∠︒︒︒＝－＝－＝ 即45AHE FHE ∠∠︒＋＝，此时，当B 与G 重合时，a 的值最小，最小值是2 第二种情况（如图2）∵EF HG ∥，∴45HGA FEA ∠∠︒＝＝即45AEH FEH ∠∠︒＋＝由折叠可知：AEH FEH ∠∠＝，∴22.5AEH FEH ∠∠︒＝＝∵EF HG ∥，∴22.5GHE FEH ∠∠︒＝＝∴9022.5112.5AHE ∠︒︒︒＝＋＝此时，当B 与E 重合时，a 的值最小设DH DA x ＝＝，则2AH GH x ＝＝在Rt AHG V 中，90AHG ∠︒＝，∴22AG x ＝＝∵AEH FEH GHE FEH ∠∠∠∠＝，＝，∴2GH GE x ＝＝，∴22AB AE x x ＝＝＋2222AB x x a AD x+===+ （2）过点H 作HQ 交AB 于Q ，则90AQH GQH ∠∠︒＝＝在矩形ABCD 中，90D DAQ ∠∠︒＝＝ ∴90D DAQ AQH ∠∠∠︒＝＝＝∴四边形DAQH 为矩形，∴AD HQ ＝设AD x GB y ＝，＝，则2HQ x EG y ＝，＝ 由折叠可知：60AEH FEH ∠∠︒＝＝ ∴180606060FEG ∠︒︒︒︒＝－－＝在Rt EFG V 中，·cos604EG EF EF y ︒＝，＝ 在Rt HQE V中，tan 603HO EQ x =︒＝∴23QG QE EG x y +＝＋＝ ∵HA HG HQ AB ⊥＝，，∴23AQ GQ x y +＝＝∴23AE AQ QE x y +＝＋＝由折叠可知：AE EF ＝∴243x y y +=，∴ 3y x ＝∴2223AB AQ GB x y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭＝＋＝∴AB a AD =＝4.如图，ABC V 为等边三角形，D 为ABC V 内一点，且120ADB ∠︒＝，把ADB V 沿BD 翻折，点A 落在点E 处，连接CE ．（1）求证：BD CE AD ＋＝；（2）连接CD ，若87AD CD ＝，＝，求CE 的长．解析：（1）将ABD V 绕点A 逆时针旋转60︒得ACF V ，连接DF 、CF EF 、则ADF V 是等边三角形，∴60AD DF ADF AFD ∠∠︒＝，＝＝∵120ADB ∠︒＝，∴180ADB ADF ∠∠︒＋＝∴B D F 、、三点在同一直线上∵120AFC ADB ∠∠︒＝＝，∴60DFC ∠︒＝由题意，60EDF ADF DE AD ∠∠︒＝＝，＝∴DE DF ＝，∴DEF V 是等边三角形∴60EF DE AD DFE ∠︒＝＝，＝∴E C F 、、三点在同一直线上∴BD CE CF CE EF AD ＋＝＋＝＝（2）过C 作CG DE ⊥于G∵DEF V 是等边三角形，∴60DEF ∠︒＝设CE x ＝，则12GE x ＝，32CG x ＝，182DG x ＝－ 在Rt CDG V 中，222138722x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得1235x x ＝，＝∴CE 的长为3或55.已知矩形ABCD 的一条边8AD ＝，将矩形ABCD 折叠，使顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP OP OA 、、．①求证：OCP PDA V V ∽；②若OCP V 与PDA V 的面积比为1:4，求边AB 的长；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求OAB ∠的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP上（点M 与点P A 、不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM ＝，连结MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．试问当点M N 、在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．解析：（1）①∵四边形ABCD 是矩形，∴90C D ∠∠︒＝＝∴90APD DAP ∠∠︒＋＝∵AOP V 是由ABO V 沿AO 折叠，∴90APO B ∠∠︒＝＝∴90APD CPO ∠∠︒＋＝∵DAP CPO ∠∠＝，∴OCP PDA V V ∽②∵OCP PDA V V ∽，OCP PDA V V 与的面积比为1:4∴214OCP PDA S CP S AD ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， ∴12CP AD = ∵8AD ＝，∴4CP ＝设AB x ＝，则4DP x ＝－在Rt PDA V 中，222AP AD DP ＝＋∴222(8)4x x ＝＋－，∴10x ＝即边AB 的长为10（2）∵折叠后AOB V 与AOP V 重合，∴AP AB ＝，OAB OAP ∠∠＝∵AB CD ＝，∴AP CD ＝∵P 是CD 的中点，∴ 12DP AP ＝ ∵90D ∠︒＝，∴30PAD ∠︒＝又OAB OAP ∠∠＝，∴30OAB ∠︒＝（3）线段EF 的长度不变作MH BN ∥交PB 于点H∵AP AB ＝，∴APB ABP ∠∠＝∴MHP ABP MHF NBF ∠∠∠∠＝，＝∴MHP APB ∠∠＝，∴MP MH ＝∵MP BN ＝，∴BN MH ＝∵NFB MFH ∠∠＝，∴NBF MHF V V ≌∴FH FB ＝∵EF EH FH ＝＋， ∴12EF EP FB PB ＝＋＝ 由（1）得：108AB AD ＝，＝，∴6DP ＝∴4PC ＝，∴PB ＝，∴EF ＝6.如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F ，且2AEC ABE ∠∠＝．连接BF AC 、．（1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）在图1中，若点M 是BF 上一点，沿AM 折叠ABM V ，使点B 恰好落在线段DF 上的点 B '处（如图2），1312AB AC ＝，＝，求MF 的长．解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB DF ∥∴ABE FCE BAE CFE ∠∠∠∠＝，＝∵E 是BC 的中点，∴BE CE ＝∴AEB FEC V V ≌，∴AB FC ＝∴四边形ABFC 是平行四边形∴22AF AE BC BE ＝，＝∵2AEC ABE AEC ABE BAE ∠∠∠∠∠＝，＝＋∴ABE BAE ∠∠＝，∴AE BE ＝，∴AF BC ＝∴四边形ABFC 是矩形（2）∵四边形ABFC 是矩形，1312AB AC ＝，＝∴131290CF AB BF AC ACF MFB ∠∠'︒＝＝，＝＝，＝＝∵AB M 'V 是由ABM V 折叠得到的∴13AB AB B M BM ''＝＝，＝在Rt AB C 'V 中，5B C ='=∴1358B F CF B C ''＝－＝－＝设MF x ＝，则12B M BM x '＝＝－在Rt B MF 'V 中，222B F MF B M ''＋＝即222(812)x x ＋＝－，解得103x ＝ ∴103MF ＝.7.在直角梯形ABCD 中，90AD BC B ∠︒∥，＝，60C ∠︒＝，AD CD ＝，点E 在射线BC 上，将ABE V 沿AE 翻折，点B 落到点F 处，射线EF 与射线CD 交于点M ．（1）如图1，当点M 在CD 边上时，求证：3FM DM AB －＝. （2）如图2，当点E 在BC 边的延长线上时，线段FM DM AB 、、的数量关系是：_______________；（3）在（2）的条件下，过A 点作AG CM ⊥，垂足为点G ，设直线BG 与直线AM 交于点N ，若61AD FM ＝，＝，求GN 的长．解析：（1）过A 作AG CD ⊥，交CD 的延长线于G ，连接AM AC 、∵AD BC ∥，∴ACB DAC ∠∠＝∵AD CD ＝，∴ACD DAC ∠∠＝∴ACB ACD ∠∠＝，∴AB AG ＝∵AB AF ＝，∴AF AG ＝又90AM AM AFM G ∠∠︒＝，＝＝∴AMF AMG V V ≌，∴FM GM ＝∴FM DM DG －＝∵60ADG BCD ∠∠︒＝＝， ∴3333DG AG AB =＝ ∴33FM DM AB －＝ （2）33DM FM AB -=提示：过A 作AG CM ⊥于G ，连接AM AC 、同（1）可证：AB AG AF FM GM ＝＝，＝∵DM GM DG －＝，3333DG AG AB =＝ ∴33DM FM AB -= （3）连接AC ，作MH BC ⊥于H ，DK BC ⊥于K∵6160AD FM BCD ∠︒＝，＝，＝∴63CD KC ＝，＝，33AB DK ＝＝，9BC ＝ ∵33DM FM AB -=， ∴333143DM ⨯+=＝ ∴105CM HC ＝，＝，53MH ＝，4BH ＝设BE x ＝，则14FE x ME x HE x --＝，＝，＝∵222MH HE ME ＋＝，222(53)4()(1)x x ＋－＝－解得15x ＝，∴156BE CE ＝，＝∵60BCG ∠︒＝，∴120ECG ∠︒＝30120ACB ACD BAG ∠∠︒∠︒＝＝，＝∵AMF AMG V V ≌，∴MAF MAG ∠∠＝ ∴12MAE GAC EAC MAG BAF EAC ∠∠∠∠∠-∠＝－＋＝60BAE EAC BAC ∠∠∠︒＝－＝＝又60GAC ∠︒＝，∴GAN CAE ∠∠＝∵120AB AG BAG ∠︒＝，＝，∴30ABG ∠︒＝∴150AGN ACE ∠︒∠＝＝，∴AGN ACE V V ∽ ∵ 12AG AC ＝， ∴123GN CE ＝＝8.如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合，将此三角板绕点A 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC DC 、于点E F 、，连结EF ．（1）猜想BE EF DF 、、三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A 作AM EF ⊥于点M ，请直接．．写出AM 和AB 的数量关系； （3）如图2，将Rt ABC V 沿斜边AC 翻折得到Rt ADC V ，E F 、分别是BC CD 、边上的点，12EAF BAD ∠∠＝，连接EF ，过点A 作AM EF ⊥于点M ．试猜想AM 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想．答案：见解析解析：（1）猜想：BE DF EF ＋＝证明：延长CB 到G ，使BG DF ＝，连接AG∵四边形ABCD 是正方形∴90AB AD ABC D ∠∠︒＝，＝＝∴90ABG ∠︒＝，∴ABG D ∠∠＝∴ABG ADF V V ≌∴AG AF GAB FAD ∠∠＝，＝∵45904545EAF FAD BAE BAD EAF ∠︒∠∠∠∠︒︒︒＝，＋＝－＝－＝ ∴45GAE GAB BAE ∠∠∠︒＝＋＝∴GAE EAF ∠∠＝又∵AG AF AE AE ＝，＝，∴AEG AEF V V ≌∴EG EF ＝即BE DF EF ＋＝（2）AM AB ＝（3）猜想：AM AB ＝证明：延长CB 到G ，使BG DF ＝，连接AG∵Rt ABC V 沿斜边AC 翻折得到Rt ADC V ∴90AB AD ABC D ∠∠︒＝，＝＝∴90ABG ∠︒＝，∴ABG D ∠∠＝∴ABG ADF V V ≌∴AG AF GAB FAD ∠∠＝，＝∵12EAF BAD ∠∠＝， ∴12FAD BAE BAD ∠∠∠＋＝ ∴12GAE GAB BAE FAD BAE BAD ∠∠∠∠∠∠＝＋＝＋＝∴GAE EAF ∠∠＝又∵AG AF AE AE ＝，＝，∴AEG AEF V V ≌∴EG EF ＝，AEG AEF S S V V ＝∴11··22EG AB EF AM ＝ ∴AM AB ＝9.（1）如图1，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ．求证：BF DF ＝；（2）若矩形纸片ABCD 中，410AB BC ＝，＝，将矩形ABCD 沿过B 点的直线折叠，使点C D ，落在点E G ，处，折痕交线段AD （不含端点）于点H ，线段BE 交直线AD 于点F ．图2是该矩形折叠后的一种情况．请探究并解决以下问题：①当BEH V 为直角三角形时，求DH 的长；②当110DH ≤＜时，求tan BEH ∠的取值范围．解析：（1）由题意，12∠∠＝∵AD BC ∥，∴13∠∠＝∴23∠∠＝， ∴BF DF ＝（2）①∵H 不与端点A D ，重合∴9090BEH EBH ∠︒∠︒＜，＜∴当BEH V 为直角三角形时，只能90BHE ∠︒＝连接CH∵BC BE CBH EBH BH BH ∠∠＝，＝，＝∴BCH BEH V V ≌∴90BHC BHE ∠∠︒＝＝∴DHC ABH V V ∽，∴DH AB DC AH = 即4410DH DH =-，解得2DH ＝或8DH ＝∴当BEH V 为直角三角形时，DH 的长为2或8②∵BE HG ∥，∴BEH EHG ∠∠＝∴4tan tan EG BEH EHG GH GH ∠∠=＝＝∵110DH ≤＜，∴tan 4BEH∠≤0.4＜10.已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP OP OA 、、．①图中COP ∠=∠___②若OCP V 与PDA V 的面积比为14：，求边AB 的长为_____； （2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求OAB ∠的度数为_____度；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P A 、不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM =，连结MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．试问当点M N 、在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．解析：（1）如图1，①∵四边形ABCD 是矩形，90AD BC DC AB DAB B C D ∴==∠=∠=∠=∠=︒，，．由折叠可得：AP AB PO BO PAO BAO APO B ==∠=∠∠=∠，，．． 90APO ∴∠=︒．90APD CPO POC ∴∠=︒-∠=∠．D C APD POC ∠=∠∠=∠Q ，．OCP PDA ∴V V ∽．②OCP QV 与PDA V 的面积比为14：，1142OC OP CP PD PA DA ∴==== 222PD OC PA OP DA CP ∴===，，． 848AD CP BC =∴==Q ，，．设OP x =，则8OB x CO x ==-，．在Rt PCO V 中，9048C CP OP x CO x ∠=︒===-Q ，，，，22284x x ∴=-+（）．解得：5x =．210AB AP OP ∴===．∴边AB 的长为10．（2）如图1，P Q 是CD 边的中点，12DP DC ∴=． DC AB AB AP ==Q ，，12DP AP ∴=． 90D ∠=︒Q ，12DP sin DAP AP ∴∠==． 30DAP ∴∠=︒．9030DAB PAO BAO DAP ∠=︒∠=∠∠=︒Q ，，， 30OAB ∴∠=︒．OAB ∴∠的度数为30︒．（3）作MQ AN ∥，交PB 于点Q ，如图2．AP AB MQ AN =Q ，∥，APB ABP ABP MQP ∴∠=∠∠=∠，．APB MQP ∴∠=∠．MP MQ ∴=．MP MQ =Q ，ME PQ ⊥，12PE EQ PQ ∴==． BN PM MP MQ ==Q ，，BN QM ∴=．MQ AN Q ∥，QMF BNF ∴∠=∠．在MFQ V 和NFB V 中，QMF BNF QFM BFN QM BN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩．MFQ NFB ∴V V ≌．QF BF ∴=．12QF QB ∴=． 111222EF EQ QF PQ QB PB ∴=+=+=． 由（1）中的结论可得：4890PC BC C ==∠=︒，，．228445PB ∴=+=1252EF PB ∴== ∴在（1）的条件下，当点M N 、在移动过程中，线段EF 的长度不变，长度为2511.问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值为_____．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =则AM BN 的值等于______；（注：若答案不是整数，请化为小数）；若14CE CD =则AM BN 的值等于______；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN 的值等于____．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D 、重合），压平后得到折痕MN 设11(1),,AB CE m BC m CD n =>=则AM BN 的值等于______．（用含,m n 的式子表示）方法指导：为了求得AM BN的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2解析：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE 、、由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴,BMEM BN EN == ∵四边形ABCD 是正方形，∴90,2A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=︒====∵1,12CE CE DE CD =∴==设BN x =,则,NE x =2NC x =-在Rt CNE V 中，222NE CN CE =+．∴222(2)1x x =-+解得54x =，即54BN =在Rt ABM V 和在Rt DEM V 中，222AM AB BM +=，222DM DE EM +=，2222AM AB DM DE ∴+=+设AM y =则2DM y =-∴22222(2y)1y +=-+解得14y =即14AM = 15AM BN ∴= 方法二：同方法一，54BN= 如图（1－2），过点N 做//NG CD 交AD 于点G ，连接BE∵AD BC ∥∴四边形GDCN 是平行四边形．∴NG CD BC ==同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN == ∵,90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=︒,90,NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=︒∴∠=∠Q在BCE V 与NGM V 中90EBC MNG BC NGC NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴,.BCE NGM EC MG =V V ≌ ∵51,1.44AM AG MG AM =-=-= ∴1.5AM BN =类比归纳25（或410）；917；()2211n n -+联系拓广 2222211n m n n m -++12.ABC V 中，60AB AC BAC ∠︒＝，＜，D 为BC 延长线上一点，E 为ACD ∠内部一点，且90ABE ECD ∠∠︒＋＝．（1）若60ABE ∠︒＝，如图1，直接写出AC BE 、间的数量关系：AC =______BE ；（2）若45ABE ∠︒＝，如图2，求证：2BE AC ＝；（3）在（2）的条件下，如图3，将线段BA 沿BE 翻折，翻折后的点A 落在点M 处，且MC BC ⊥，连接EM ，交BC 的延长线于N ，若2CN ＝，求AN 的长为______．解析：（1）AC BE ＝提示：作AF BC ⊥于F BG CE ⊥，交EC 延长线于G12AB AC BF FC BC ∴Q ＝，＝＝ 9060ABE ECD ABE ∠∠︒∠︒Q ＋＝，＝3030ECD BCG ∴∠︒∴∠︒＝，＝1602CBG BG BC ∴∠︒＝，＝ ABF EBG BF BG ∴∠∠＝，＝Rt Rt ABF EBG AB BE ∴∴V V ≌，＝∴AC ＝BE（2）作AF BC ⊥于F BG CE ⊥，交EC 延长线于G12AB AC BF FC BC ∴Q ＝，＝＝ 9045ABE ECD ABE ∠∠︒∠︒Q ＋＝，＝ 4545ECD BCG ∴∠︒∴∠︒＝，＝24522CBG BG BC BF ∴∠︒＝，＝＝ Rt Rt ABF EBG ABF EBG ∴∠∠∴V V ＝，∽2,2BE BG BE AB BD==∴= 2BE AC ∴＝（3）作AF BC ⊥于F MH BE ⊥，于H则1902ABF BAF BF FC BC ∠∠︒＋＝，＝＝ 由题意，45MBE ABE AB BM ∠∠︒＝＝，＝9090ABM ABF MBC ∴∠︒∴∠∠︒＝，＋＝BAF MBC ∴∠∠＝90MC BC BCM AFB ⊥∴∠∠︒Q ，＝＝2ABF BMC AF BC BF BF MC ∴∴V V ≌，＝＝，＝2BC MC ∴＝由（2）知，2BE ＝，2BE BM ∴＝21454522MBH BMH BH MH BM BE ∠︒∴∠︒Q ＝，＝，＝＝＝ 45BH EH MH MEH EMH ∴∴∠∠︒＝＝，＝＝90Rt Rt BME BMC MNC ∴∠︒∴V V ＝，∽12NC MC MC BC ∴==, 248NC MC BC =∴==Q ，，68FN AF ∴==，22226810AN FN AF ∴=+=+=13.如图1，四边形ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形ABCD 对折，使BC 与AD 重合，折痕为EF ，把这个正方形展平，然后沿直线CG 折叠，使B 点落在EF 上，对应点为B '．（1）求CB F ∠'的度数为______度；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB '，试判断B AE ∠'与 GCB ∠'的大小关系，并说明理由；（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD 对折，使BC 与AD 重合，折痕为EF ，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB 与DC 重合，折痕为MN ，再把这个正方形展平，设EF 和MN 相交于点O ；第二步：沿直线CG 折叠，使B 点落在EF 上，对应点为B '；再沿直线AH 折叠，使D 点落在EF 上，对应点为D '；第三步：设CG AH ，分别与MN 相交于点P Q ，，连接B P PD D Q '''，，，QB '． 试判断四边形B PD Q ''的形状为______，并证明你的结论．解析：（1）如图1，由对折可知，1902EFC CF CD ∠︒＝，＝ ∵四边形ABCD 为正方形，12CD CB CF CB ∴∴＝，＝ 又由折叠可知，12CB CB CF CB '∴'＝，＝ ∴在Rt B FC 'V 中，1sin `2CF CB F CB ∠'＝＝ 30CB F ∴∠''︒＝解法二：如图1，连接B D ＇，．（2）B AE GCB ∠'∠'＝理由如下： 如图2，连接B D '由对折知，EF 垂直平分CD B C B D ∴''，＝ 由折叠知，B C BC '＝∵四边形ABCD 为正方形，BC CD ∴＝B C CD B D B CD ∴''∴'V ＝＝，为等边三角形60CDB ∴∠'︒＝∵四边形ABCD 为正方形9030CDA DAB B DA ∴∠∠︒∴∠'︒＝＝，＝DB DA DAB DB A '∴∠'∠'Q ＝，＝1(180)752DB A B DA ∴∠'︒∠'︒＝－＝ 907515B AE DAB DAB ∴∠'∠∠'︒︒︒＝－＝－＝由（1）知30CB F ∠'︒＝//30EF BC B CB CB F ∴∠'∠'︒Q ，＝＝由折叠知，11301522GCB B CB ∠'∠'⨯︒︒＝＝＝ B AE GCB ∴∠'∠'＝（3）四边形B PD Q ''为正方形如图3，连接AB '由（2）知，B AE GCB ∠'∠'＝由折叠知，GCB PCN B AE PCN ∠'∠∴∠'∠＝，＝由对折知，119022AEB CNP AE AB CN BC ∠'∠︒=＝＝，＝， 又∵四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴＝AE CN AEB CNP ∴∴'V V ＝，≌EB NP ∴'＝同理可得，FD MQ '＝由对称性可知，EB FD ''＝EB NP FD MQ ∴''＝＝＝由两次对折可知，OE ON OF OM ＝＝＝OB OP OD OQ ∴''＝＝＝，∴四边形B PD Q ''为矩形由对折知，MN EF ⊥于点 O PQ B D ∴⊥''，于点O ∴四边形B PD Q ''为正方形14.如图，在Rt ABC V 中，9045C AC BC D ∠︒＝，＝，＝，是BC 边上一点，3CD ＝，P 是AC 边上一动点（不与A C 、重合），过点P 作PE BC ∥交AD 于点E ． （1）设AP x DE y ＝，＝，求y 关于x 的函数关系式；（2）以PE 为半径的E e与以DB 为半径的D e 能否相切？若能，求tan DPE ∠的值；若不能，请说明理由； （3）将ABD V 沿直线AD 翻折，得到AB D 'V ，连接EC B C '、，当 ACE BCB ∠∠'＝时，求AP 的长．解析：（1）在Rt ACD V 中，435AC CD AD ∴＝，＝，＝//PE BC Q ，∴AP AE AC AD =，即545x y -= 55044y x x ∴＝-＋（＜＜） （2）对于34E E r EP x e ，＝＝；对于2D D r DB e ，＝＝；圆心距554ED x ＝-＋ 当两圆外切时，E D r r ED ＋＝，∴352544x x ＋＝-＋解得3522x PC ∴＝，＝ //PE BC DPE PDC ∴∠∠Q ，＝5tan tan 6PC DPE PDC CD ∴∠∠＝＝＝ 当两圆内切时，||E D r r ED －＝，35|2|544x x ∴－＝－＋解得72x ＝或6x ＝（舍去），12PC ∴＝ 1tan tan 6PC DPE PDC CD ∴∠∠=＝＝ （3）延长AD 交 BB '于F ，则AF 垂直平分BB '在Rt BDF V 中，2BD ＝，4sin sin 5AC BDF ADC AD ∠∠=＝＝ 85BF ∴＝，165BB '＝ADC BDF CAD DBF∠∠∴∠∠Q ＝，＝当 ACE BCB ∠∠'＝时，CAE CBB 'V V ∽AC BC AE BB ∴='，即451655y =-，64525y ∴-＝ ∴56455425x -+=-，解得256125x ＝15.如图①，把矩形纸片ABCD 沿EF GH 、同时折叠，B C 、两点恰好落在AD 边的P 点处，已知9086FPH PF PH ∠︒＝，＝，＝．（1）求图①中矩形ABCD 的边BC 的长为______；（2）求图①中四边形EFHG 的面积为______；（3）如图②，点M 是直线EF 上的动点，点N 是直线GH 上的动点，连接A M MN ND ''、、，求A M MN ND ''＋＋的最小值为______．答案：24；57.6；24解析：（1）由题意，86BF PF CH PH ＝＝，＝＝90FPH ∠︒Q ＝，22228610FH PF PH ∴+=+=＝810624BC BF FH HC ∴＝＋＋＝＋＋＝（2）连接BE CG 、AD BC PEF BFE ∴∠∠Q P ，＝PFE BFE PEF PFE ∠∠∴∠∠Q ＝，＝8PE PF ∴＝＝同理，6PG PH ＝＝8614EG PE PG ∴＝＋＝＋＝作PQ BC ⊥于Q ，则8624105PF PH PQ FH ⋅⨯==＝ ()()1124288·14102255EFHG S EG FH PQ ∴++⨯=四边形＝＝ （3）连接AM DN 、由题意，A M MN ND AM MN ND AD ''≤＋＋＝＋＋当点M N 、都落在线段AD 上时， A M MN ND ''＋＋取得最小值即等于线段AD 的长A M MN ND ∴''＋＋的最小值为2416.如图1，在梯形ABCD 中，9021AB CD B AB CD ∠=︒==∥，，，，BC m P ＝，为线段BC 上的一动点，且和B C 、不重合，连接PA ，过P 作PE PA ⊥交CD 所在直线于E ．设BP x CE y ＝，＝．（1）求y 与x 的函数关系式（2）若点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段．．CD 上，求m 的取值范围（3）如图2，若4m ＝，将PEC V 沿PE 翻折至PEG V 位置，90BAG ∠=︒，求BP 长为______.解析：（1）9090AB CD B B C ∠=︒∴∠=∠=︒Q P ，，90APB BAP ∴∠∠=︒＋90PE PA APE ⊥∴∠=︒Q ，90APB CPE BAP CPE ∴∠∠=︒∴∠∠＋，＝在ABP V 和PCE V 中，90B C BAP CPE ∠∠=︒∠∠＝，＝ABP PCE ∴V V ∽，AB BP PC CE∴= BC m BP x PC m x ∴-Q ＝，＝，＝2x m x y∴=-，2122m y x x ∴=-+y ∴与x 的函数关系式为21022m y x x x m =-+（＜＜） （2）22211()22228m m m y x x x =-+=--+Q ∴当2m x =时，28m y =最大 ∵点E 总在线段CD 上，218m ∴≤ 22m ∴≤，022m ∴≤＜（3）连接CG ，过P 作PH AG ⊥于H由翻折可知4CG PE PG PC x ⊥-，＝＝//PE PA CG PA ⊥∴Q ，90B BAG ∠=∠=︒Q ，AG PC ∴∥∴四边形APCG 为平行四边形4AG PC x ∴-＝＝90B BAG AHP ∠=∠=∠=︒Q ，∴四边形ABPH 为矩形242AH BP x PH AB HG x ∴====∴=-，，在Rt PHG V 中，222PH HG PG Q ＋＝2222(42)(4)x x ∴＋－＝－，解得12223x x ＝，＝ 2BP ∴＝或2317.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为矩形，0680A C （，），（，）． （1）如图1，D 是OC 的中点，将AOD V 沿AD 翻折后得到AED V ，AE 的延长线交BC 于F ，求点F 的坐标为_____. （2）如图2，点M N 、分别是线段AB OB 、上的动点，2ON MB ＝，如果以M N B 、、三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（M N B 、、三点不在同一条直线上），求点M 的坐标为______．解析：（1）连接DF由题意，90AED AOD ∴∠∠︒＝＝90DEF DEF DCF ∴∠︒∴∠∠＝，＝D Q 是OC 的中点，OD DC ∴＝OD DE DE DC ∴Q ＝，＝又DF DF DEF DCF ∴V V ＝，≌90EDF CDF ADF ∴∠∠∴∠︒＝，＝AOD ADF ∴∠∠＝又OAD DAF AOD ADF ∠∠∴V V ＝，∽AO AD AD AF ∴=，2AD AF AO ∴＝0680A C Q （，），（，），D 是OC 的中点2226844652AO BC AB OC OD AD ∴＝＝，＝＝，＝，＝＋＝ 522663AF ∴==，103BF == 108633FC BC BF ∴--=＝＝。