doc1-对拟阵的初步研究
拟阵的确定
（Ｌ ） Ｃ ３ Ｃ是 幂 等 的 ， 即对 任 意 子 集 ， 有 均
ｃ ｃ ） （ （ ）： ｃ ） （ ．
１ 预备知识
下 面先介 绍一 些 预备 知识 （ 文所 涉及 的集 本
（【 ） Ｃ ４ 设 ， Ｘ． Ｙ∈ ｃＸＵ ） （ ， Ｙ∈ 若 （ 一ｃ ）
则 ∈ ｃ Ｕ Ｙ ． （ ）
．
，
一
Ｆ｝ 是 —Ｆ的一个 划分 （ 即 ＿．…，（ １， ２
—
Ｆ）＝ Ｘ—Ｆ， 当 ｉ 时 ， （ —Ｆ 且 ≠Ｊ 有 ）ｎ （ 一
Ｆ ） ）＝ ． 那么称 是 上的一个拟阵闭集族 ， 且 称（ 为拟 阵． 上拟 阵闭集族 的全体 记作 ，
Ｆ ） （ ．
定义 １２ （ 见 ［，］ 设 是有 限集 ． ． 参 １２ ）
（）如果 １ ２ 足 Ｘ满 （ Ｆ１） ∈ 舅
（ ） Ｆｌ ∈ 则 Ｆ ２∈ 若 ， ｌ Ｆ ｎ （ ３ 若 Ｆ∈ 且 ｛ ｌＦ ， ， ｝ 夕中包 含 Ｆ） Ｆ ， ２… 是 Ｆ为真子集 的全体极 小成 员 ， ｛ ｌ 则 Ｆ —Ｆ， —Ｆ，
Ｃ （ ， ｃ ３ 成立 ． ｄ 设 ，， Ａ） 即（ Ｉ ） （） ，∈ ， Ａｃ
，
若 ，∈ Ｃ （ ）一 Ｃ （ ｃ为 上 的一个 拟 阵 闭包算 子 ． 上 的拟 阵闭包算子 的全体记作 Ｃ （ ． Ｌ Ｘ） 定义 １３ 偏序 集 是一个 对 （ ． Ｐ，≤）其 中 Ｐ ， 是任 意集合 ，≤ 是 Ｐ上 的关 系且 满足 （）自反 的 ， １ 即对 每个 ∈ Ｐ都有 ｓ ．２ 反对称 的 ， （） 即 ≤
…
Ｙ Ｙ 且 时， ＝）其中 Ｙ∈ Ｐ ． ） ， （ ， ）（ 传递的， ３ 即 Ｙ且 Ｙｓ 时 ， ≤ ｚ其 中 ， ， ｚ （ Ｙ ｚ∈ Ｐ） ． 定 理 １４ 在 （ 上 规定 ｃ ≤ ｃ铮 对 任意 ． ） ｌ ２ Ａ ｃ Ｘ， 如果 ｃ在 Ａ中的每个 点 口 ｌ 处满 足 口庄ｃ（ ｌＡ 口 （ 中 口∈ Ａ ， 么 ｃ 就在 Ａ的每个点 口处 ）其 ）那 ２ 满足 口 庄 ｃ（ ２Ａ一口 （ 中 口∈ Ａ） ）其 ．
阵列信号处理概述研究背景及意义和波达方向估计技术
阵列信号处理概述研究背景及意义和波达方向估计技术1 概述阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支，在通信、雷达、声呐、地震、勘探、射电天文等领域获得了广泛应用和迅速发展。
对所有探测系统和空间传输系统，空域信号的分析和处理是其基本任务。
将多个传感器按一定方式布置在空间不同位置上，形成传感器阵列。
并利用传感器阵列来接收空间信号，相当于对空间分布的场信号采样，得到信号源的空间离散观测数据。
阵列信号处理的目的是通过对阵列接收的信号进行处理，增强所需要的有用信号，抑制无用的干扰和噪声，并提取有用的信号特征以及信号所包含的信息。
与传统的单个定向传感器相比，传感器阵列具有灵活的波束控制、高的信号增益、极强的干扰抑制能力以及高的空间分辨能力等优点，这也是阵列信号处理理论近几十年来得以蓬勃发展的根本原因。
阵列信号处理的最重要应用包括：①信（号）源定位——确定阵列到信源的仰角和方位角，甚至距离（若信源位于近场）；②信源分离——确定各个信源发射的信号波形。
各个信源从不同方向到达阵列，这一事实使得这些信号波形得以分离，即使他们在时域和频域是叠加的；③信道估计——确定信源与阵列之间的传输信道的参数（多径参数）。
阵列信号处理的主要问题[]1包括：波束形成技术——使阵列方向图的主瓣指向所需方向；零点形成技术——使天线的零点对准干扰方向；空间谱估计——对空间信号波达方向的分布进行超分辨估计。
空间谱估计技术是近年来发展起来的一门新兴的空域信号处理技术，其主要目标是研究提高在处理带宽内空间信号（包括独立、部分相关和相干）角度的估计精度、角度分辨率和提高运算速度的各种算法。
在所有利用空间谱估计技术来实现对到达方向（DOA）估计的方法中，以R. O. Schmidt 提出的MUSIC 算法最为经典且最有代表性。
Schmidt 在MUSIC 算法中提出了信号子空间的概念，即在维数大于信号个数的观测空间中进行子空间的划分，找出仅由噪声贡献生成的空间（噪声子空间）和由信号和噪声共同作用产生的空间，根据这两个子空间的基底以及阵列流型即可得到待测方向满足的方程，由其解得到来波方向的估计。
d0116160007
参考文献[1] 胡来招著，雷达侦察接收机设计，国防工业出版社，2000.[2] 赵国庆著，雷达对抗原理，西安电子科技大学出版社,1999.[3] 林茂庸柯友安著. 雷达信号理论，国防工业出版社，1981.[4] 丁鹭飞著，雷达原理，西北电讯工程学院出版社，1984.[5] 侯印鸣，李德成，孔宪正，陈素菊著，综合电子战，国防工业出版社，2002.[6] 刘玉山，许创杰，雷达对抗及反对抗，电子工业出版社，1996.[7] 向敬成，张明友著，雷达系统，电子工业出版社，2001.[8] David L.Adamy著，吴汉平等译，电子战建模与仿真导论，电子工业出版社，2004.[9] 李冬海，赵拥军，周俐利，雷达信号载频与脉冲幅度的高精度测量，现代雷达，2003年3月，第3期，21-23.[10] 傅建军，章启嵊，一种新的提取脉冲雷达载频方法的研究，雷达与对抗，2002年第2期，36-40.[11]穆世强，雷达信号脉内细微特性分析，电子对抗技术，1991年第2期.[12] 刘东霞，赵国庆，雷达信号脉冲调制的分析技术，航天电子对抗，2003年第1期.[13] 沙祥，脉内分析综述，现代电子，1998年第4期.[14] 孙苏辉，国外通信侦察接收机的现状和动向，电子对抗，1990年第2期.[15] 谭华有，电子侦察装备概述. 无线电工程，1993年第2期.[16] 游兴忠，驻波测频技术，电子对抗技术，1994(1)，7-12.[17] 盛九朝，束坤，一种雷达脉冲序列重频类型识别方法，舰船电子对抗，2003，26(3)，4-6.[18] 孟建，胡来招，用于信号处理的重复周期变换，电子对抗技术，1998，13(1)，1-7.[19] 上官晋太，杨绍全，王大林，张民奎，卫华，高密度信号重频分选的若干问题研究，山西师范大学学报（自然科学版），2001，6，V ol.15，N0.2，23-27.[20] 杨世荣，陈儒辉，电子侦察与反侦察的物理原理，现代物理知识，2002年第五期.[21] 王兴颖，杨绍全，基于脉冲重复间隔变换的脉冲重复间隔估计，西安电子科技大学学报，2002，29(3)，355-359.[22] 赵长虹，赵国庆，刘冬霞，对参差脉冲重复间隔脉冲列的重频分选，西安电子科技大学学报，2003，30(3) ，381-385.[23] 袁学华，罗景青，许少华，直方图法在密集雷达信号特征提取中的应用，电子工程，2003年第2期，39-43.[24] 吴慎山，张玉中，吴东芳，史水娥，杨豪强，电子定向技术的研究，河南师范大学学报（自然科学版），2003，2，Vol.31,No.1,43-46.[25] 胡来招，数字鉴相及其在测频中的应用，电子对抗，2002年第3期.[26]叶斌，对传统超外差接收机的数字化改进，电子对抗技术，2001年，第16卷，第5期，11-16.[27] 王理德，陈高平，模式识别技术在雷达侦察信号分类识别中的应用，火控雷达技术，2004，6，第33卷，36-39.[28] 梁百川，张正明，李鹏，唐世荣，小波理论在电子侦察中的应用，电子对抗，1996年第1期.[29] 龚剑扬，詹垒，司锡才，一种改进的雷达脉冲分选算法，应用科技，2001，28(8)，14-18.[30] 万建伟，宋小全，雷达信号综合分选方法研究，电子学报，1996，24(9)，91-94.[31] Vaccaro D D，Electronic Warfare Receiving system，Boston:Artech House，1993.[32] Meyr H，Moeneclaey M，Fechtel S A，Digital Communication Receivers-Synchronization，Channel Estimation，and Signal Processing.New York:John & Sons,NC,1998.[33] Azzouz E E，Nandi A K，Automatic Modulation Recognition of Communication Signals.Dordrecht:Kluwer Aca.Pub.，1996.[34] A Fast and accurate single frequency estimator，IEEE Trans.On Speech and Signal Processing，1989，37（12）：17-20.[35] Ken I N,Masaaki K, Improved Algorithm for Estimating Pulse Repetition Intervals,IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems,2000,36(2),407-421.[36] Merrill l.Skolnik著，Introduction to RADAR Systems，Third Edition.[37] Mardia H K, New Techniques for the Deinterleaving of Repetitive Sequences,IEE Proceedings,1989,136(4),149-154.[38] Poosala V，Ioannidis Y E，Improved histograms for selectivity estimation of range predicates，Proceedings of ACMSIC-MOD Conference，1996.[39] Robert J,John B,Robert E, Spectrum Estimation of Interleaved Pulse Trains,IEEE Trans on Signal Proceeding,VOL.47,NO.6,June 1999,1646-1653.[40] Nandi A K，Azzouz E E，Algorithms for Automatic Modulation Recognition of Comunication Signals，IEEE Transcomun，1998，46(4):431-436.[41] Sirianunpiboon S，Noone G，Howard S D，Robust and Recursive Radar Pulse Train Parameter Estimation，IEEE TAES，1996.[42] Milojevic D J,Popovic B M， Improved Algorithm for the Deinterleaving of Radar Pulses,IEE Proceedings,1992,139(1), 98-104.[43] Nishiguchi K,Kobayashi M, Improved Algorithm for Estimating Pulse Repetition Intervals,IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems,2000,36(2),409-421.。
拟阵
S:
调度: 0 1 2 3 4 5
问题提出
调度: 0 1 2 3 4 5 罚款:6+8=14
di : 2 3 1 3 wi : 9 7 6 8
n个整数 d1 , d 2 ,..., d n (1 d i n ) 如果任务i的结束时刻超过截止时刻 个任务的截止时刻 d i 表示第iw 则要交付 i 的罚款。 n个正整数 w1 , w2 ,..., wn 求一个调度，使得罚款最少。 wi 表示第i个任务的罚款
X 能使A扩展 的最大元素 y T′ =T-{y}+{x} w(y) ≤w(x) w(T′ ) ≥w(T) ′ A =A∪{x}
A
T
T′
T′
第三部分 任务调度问题
问题提出
给定一个单位时间任务的集合S S有n个任务1,2,…,n 对S的一个调度规定了各任务执行的顺序。 该调度第i个任务开始于时刻i-1,结束于时刻i
对拟阵的初步研究
浙江省杭州第二中学 刘雨辰
概览
第一部分 ： 拟阵的基本概念 第二部分 ： 拟阵的最优化问题 第三部分 ： 一个任务调度问题 第四部分 ： 拟阵实例 拓展部分 ： Shannon开关游戏
第一部分：拟阵的概念
拟阵是一个二元组 M ( S , L) 1、S是一个有限集。 2、L是个以集合作为元素的集合,且它的元 素必须是S的子集
A
B
第二部分：拟阵上的最优化问题
问题提出
对于拟阵 M S , L S的元素x有一个正整数权值w(x) S的任意子集U的权值 wU xU wx 目标:求权值最大独立集。
贪心算法
Greedy(M,w) A := 空集 根据w按递减顺序对S排序 for 每个 x S 根据权wx 的递减顺序 do if ( A x L ) then A : A x return A
作战任务序列智能生成方式及其态势表征方法_概述及解释说明
作战任务序列智能生成方式及其态势表征方法概述及解释说明1. 引言1.1 概述本篇文章旨在探讨作战任务序列智能生成方式及其态势表征方法，这是一项重要的研究内容。
国防领域中，对于作战任务的规划和执行具有至关重要的意义。
然而，传统的手工制定作战任务序列与态势表征方法存在一系列问题，例如耗时、复杂度高以及缺乏灵活性等。
基于此，在现代技术的支持下，智能化生成作战任务序列和有效的态势表征方法成为了研究热点。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分：引言、作战任务序列智能生成方式、作战态势表征方法、实验与结果分析以及结论和展望。
在引言部分，我们将介绍本文的背景和目标，并对文章结构进行简要说明。
接下来的三个部分将重点阐述作战任务序列智能生成方式和态势表征方法的不同方面。
第四部分将描述所设计实施的相关实验，并进行结果分析与模型评估。
最后，在结论和展望中，我们将总结主要结论并提出改进方向。
1.3 目的本文旨在系统地研究和探讨作战任务序列智能生成方式及其态势表征方法。
通过对现有基于规则、机器学习和优化算法等方法的综合分析，可为军事领域中作战任务序列的智能生成提供参考。
同时，我们还将介绍静态态势表征方法、动态态势表征方法以及综合态势表征方法的原理和应用场景，为军事指挥决策提供相关技术支持。
通过实验与结果分析，我们将验证所提出方法和模型的有效性，并最终总结主要结论并展望未来的研究方向。
2. 作战任务序列智能生成方式2.1 基于规则的方法：基于规则的方法是一种常见且直观的作战任务序列智能生成方式。
通过制定一系列事先定义好的规则和约束条件，来生成作战任务序列。
这些规则和约束条件可以包括作战目标、资源分配、时间限制等方面的要求。
通过在系统中应用这些规则，可以自动生成符合要求的作战任务序列。
然而，基于规则的方法存在一些局限性。
首先，由于复杂多变的作战环境和任务需求，很难设计出完备准确的规则来满足各种情况下的生成需求。
其次，随着问题规模增大，需要考虑和处理的变量和约束条件也会呈指数级增长，导致难以管理和计算，并可能无法找到满足所有约束条件的解。
北宋内臣蓝元震事迹考
年第 2 期，第 71---82 页 a 陈守忠《李宪取兰会及相关城禀逾趾考)，(西北史地)1 986 年第 1 期，第 85-90 英.该文后 收入陈藉《捋战史地考述>>(兰州i 大学出题杖 .1993 年) .第 128… 135 页 z 企盖平《蠢费曾任震挠使南非直键使)，在啻阳 学刊 )2∞5 年第 3 期，第 12 1]夜l. 又近年港、台‘大黯出版了好几种关于宦窑的通俗横辑.典中任洪新编的 ct古代在宵
〈社会科学摇) ， 2002 年第 6 期，第 120 页$黄插黯《藕襄与宋代的改革)，<<哈尔摸学院学摄》第 25 卷第 6 期 (2004 年
6 月) ，第 105 页 s 程安黯《接殊评说)，(求索 )2005 年第 4 期，第 150 页.关于董无麓进蓄的月日在歌陆修撰 t 腹党
论》酶，抑在其后，李燕 (1115← 118毒)(鳞资治通鉴条编引以下简称在长编盯在该条下之小挂云"此…节悲在修进
辨轩"。另外游彪教授与刘春税女士合著的专题研究《宋代宦官葬于及荫补制度)，也颇有
新意@。不过，北宋内臣的个案研究ห้องสมุดไป่ตู้似乎尚不多见，诸如北宋最重要的内臣如李宪 (1044一
<D
司马先撰，邓广铭、张希清按点《糠水记黯 3巷一，第 20' 页，卷六，第 113-118 页.考司马先这几刺得自蓝元震的传 惕，均为李燕t穰资部凯撒鉴长攘 2店来黯lK.势正其不准确之处.参晃《长编 )!l寄回，舵德元年二月丙成条，第 83-84 页』
曾引述熙宁初年任参知政事反对王安石00211086新法的浩蜀名臣赵拧00侃一1084的说法指称王安石曾暗中交错及摩贿蓝元震及另一神宗1048108510671085在位信任的内臣张若水1一1077当神来命蓝张工人往开封府界今河南开封市察视膏苗法班行的状况时工人就给青苗法说了好话商教掉宗支持王安石继续推行此法叭这个表爵看来1tt孚先甚显赫事坊商其实至少两度介人宋廷文臣党争的内臣其对北宋中叶政局的影响力不宜低估
集值映射的拟阵结构及其与覆盖粗糙集的关系
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用2019，55（6）1引言拟阵的概念是1935年由Whitney 首次提出的，起初拟阵并没有引起人们的关注。
直到20世纪60年代，Rado 研究了拟阵的公理系统，同时很多研究者开始关注拟阵和格论的联系，这才使得拟阵理论进入了快速发展阶段。
拟阵是线性代数和图论中某种独立性的推广，因此拟阵理论与线性代数及图论关系密切。
此外，拟阵理论还广泛地应用于整数规划、组合优化、逻辑电路、编码理论等领域。
不同于拓扑理论主要关注于无限集上的结构性质，拟阵主要研究有限论域上的结构。
和图论联系密切，可以直观地展示某些拟阵结构；而拟阵的算法性质又使得解决其他领域的一些典型优化问题多了一种选择。
如前所述，拟阵还和格论、线性代数等学科联系密切。
拟阵的这些优点使其与其他理论的交叉研究成为很多学者关注的热点，如拟阵与概念格[1-3]、模糊集[4-5]、粗糙集[6-10]等的融合研究。
在粗糙集方面，Tsumot 和Tanaka [7，10]首次研究了粗糙集和拟阵之间的联系，他们通过拟阵方法理解三种归纳学习之间的区别和相似点。
拟阵可以通过很多方式来确定，比如独立集、基、极小圈、秩函数、闭包算子或者闭集等。
在拟阵的公理系统方面，李[11]研究了超拟阵的独立集公理、基公理和圈公理，并建立模格上的独立元公理。
很多学者利用拟阵的独立集公理、基公理、闭包公理和闭集公理研究了覆盖粗糙集和邻域粗糙集的结集值映射的拟阵结构及其与覆盖粗糙集的关系齐美兰，李小南西安电子科技大学数学与统计学院，西安710126摘要：集值映射是拓扑学中的一个重要的概念。
基于论域中的各个元素之间的关系，利用集值映射的原理在论域上导出了一种拟阵结构，对该类拟阵的独立集、相关集、极小圈、秩函数、闭包和闭集等性质进行了研究，给出了该类拟阵的对偶拟阵的独立集和极小圈的等价刻画。
利用覆盖粗糙集模型中邻域和近似算子的概念建立了集值映射下的拟阵结构和粗糙集之间的联系。
拟阵族N的分裂子M(K5)
拟 阵族 韵 分 裂子 （ ）
吕 国亮 赵 小鹏
（ 渭南师范学院数学与信息科学系 ， 渭南 ７４０ １０ ０）
摘
要
研究拟阵族 々 分裂子 （ ） 先应用分裂子定理和拟阵的单扩张定理证 明： ∥ ＝｛ Ｍ 是 二元域拟阵且 不 。 若 Ｍ： 的拟阵｝ 则 ， 是 々 一个分裂子。据 此证 明了两个 结论 ：． ∥ ＝ ｛ 是 正则拟阵且 不含 （ １若 肘：
（ｉ） ＝Ｎ。 Ｍ
（ｉ ｉ）对任意 ｘ ∈Ｅ， 都有 （ ）：ｒ（ ） 并且 ＭＸ ， ｒ（ ＭＸ
，
ｆ Ｍ ￣ ￣ 【 （ ）＋１ 若 ｃ （ 誊 。 ）＋ ， 若 ） ｌ ）
－
２
是拟阵族 的分裂子
（ ） ＝ｒ （ 。 Ｆｕ ｅ 肺 Ｆ）
１ 分裂子定理与引理
引理 １１ 设 Ｍ 是 ３ 连通拟 阵 ， Ⅳ是 中一个连 ｌ ． 而 通 和全简单 的幼阵 。假 设若 Ⅳ是轮 ， Ｊ 是 的一 则 ７ 、 ， 个极 大轮幼 阵 ； Ⅳ 是 涡 ， Ⅳ是 的一个 极 大涡 若 则 幼 阵 ， 下列命 题 的 （ｉ 或 （ ｉ 或 （ｉ） 则 ） ｉ） ｉ 必定成 立 ： ｉ
因而 Ｍ 兰 Ｐ （ Ｇ ，一ｌ ， 。 ， ）ｌ
（ ） 。 （ ）
这两个矩 阵都是 ｓ 的二元域 表示 。 Ｒ 命题 ３ 设 同构 于 证明 ＝ ｛ Ｍ 是二元域 拟阵且 Ｍ 不含 有 Ｍ： 的幼 阵 ｝则 Ｆ 是 的一个 分裂子 。 ， 是 ３连通 拟 阵 ， ． 且 有一 个幼 阵
．
含有 同构于
。
）一
幼阵 ｝， （ ）是 々 则 一个分裂子 ；． ）是 Ｅ ＿ Ｆ ， ， ） Ｅ ． 耳 ， ， ）的分裂子 ， ２ 肘（ Ｘ（ ４ ７ ， （ ， 和 Ｘ（ ４ ） ＇ （ ， ） 并得到 了这 两
【运筹学与控制论】模糊拟阵的结构研究
重庆大学硕士学位论文模糊拟阵的结构研究姓名：***申请学位级别：硕士专业：运筹学与控制论指导教师：***2001.5.1摘要本文在现有理论的基础上研究了模糊拟阵结构的四个方面，现分述如下：ｔ）通过对模糊闭包算子的性质以及一个模糊拟阵可以由它的模糊闭包算子唯一确定的条件的研究，提出了模糊闭包公理。
２）在Ｒ．Ｇｏｅｔｓｃｈｅｌ．Ｊ．Ｒ．、Ｗ．Ｖｏｘｍａｎ和Ｙｕａｎｇ．ＣｈｅｈＨｓｕｅｈ对模糊对偶拟阵研究的基础上，进一步探讨模糊对偶拟阵的存在条件以及它与原模糊拟阵之间的关系。
３）通过研究模糊超平面所具有的性质，提出了模糊超平面存在的充要条件。
另外，本人还要研究模糊拟阵可否或在什么条件下可以由模糊超平面唯一确定。
４）采用约束和收缩等方法从一个模糊拟阵中得到了一些“小“的模糊拟阵（我们称之为模糊子拟阵），并作了进一步的研究，揭示了模糊子拟阵的内在性质以及它与母拟阵的密切联系。
ｆ该论文的四个方面都是模糊拟阵的重要内容，而且除了模糊对偶拟阵已经由Ｙｕａｎｇ．ＣｈｅｈＨｓｕｅｈ等人给出定义并作了简单研究外，其他三个方面的内容都是前人未研究过的。
对这些方面的研究是进一步研究模糊拟阵理论的基础。
，１关键词ｔ模糊拟阵，模糊闭包算子。
对偶拟阵，模糊超平面，模糊子拟阵兰盎盔兰塑主兰垒兰苎一————————————．！竖ＡＢＳＴＲ＾ＣＴｏｆＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｔｈｅａｕｔｈｏｒｓｔｕｄｙｏｎｔｈｅｆｏｕｒａｓｐｅｃｔｓｏｆｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｆｏｌｌｏｗｓ：ｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｔｈｅｏｒｉｅｓ，ｓｔａｔｅｄａｓ１）ＡｆｔｅｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎｆｏｒｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｆｕｚｚｙｃｌｏｓｕｒｅｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄｆｏｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｔｈａｔＣａｎｂｅｕｎｉｑｕｅｌｙｄｅｆｉｎｅｄａｍａｔｒｏｉｄ，１ｔｈｅａｘｉｏｍｏｆｆｕｚｚｙｃｌｏｓｕｒｅｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．２、ＯｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆＲ．Ｇｏｅｔｓｃｈｅｌ．ＪＲ．，Ｗ．ＶｏｘｍａｎａｎｄＹｕａｎｇ－ＣｈｅｈＨｓｕｅｈ’Ｓｒｅｓｅａｒｃｈｅｓｏｆｆｕｚｚｙｄｕａｌｍａｔｒｔｏｉｄ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆａｎｄｉｔｓｄｕａｌｉｔｙａｒｅｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄａｎｄｒｅｌａｔｉｏｎｓｂｅｔｗｅｅｎｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄｓｔｕｄｉｅｄ．３）Ｔｈｅｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｆｕｚｚｙｈｙｐｅｒｐｌａｎｅｓａｌｅｐｒｏｐｏｓｅｄ，ａｎｄｉｔｓｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．４）Ｓｏｍｅ“ｓｍａｌｌ”ｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄｓ（ｎａｍｅｄａｓｆｕｚｚｙｓｕｂｍａｔｒｏｉｄｓ）ｔｈｒｏｕｇｈｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎａｎｄｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎａｒｅａｂｔａｉｎｅｄａｎｄｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｓｅｓｕｂｍａｔｒｏｉｄｓａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ａｌｌｏｆｔｈｅｓｅｆｏｕｒａｓｐｅｃｔｓｏｆｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄａｒｅｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｎｔｅｎｔｓｏｆｔｈｅｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄｓ，ａｎｄｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｎｔｈｅｍｉｓｔｈｅｂａｓｉｓｆｏｒｆｕｒｔｈｅｒｓｔｕｄｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄｆｕｚｚｙｃｌｏｓｕｒｅｏｐｅｒａｔｏｒｄｕａｌｍａｔｒｏｉｄｆｕｚｚｙｈｙｐｅｒｐｌａｎｅｆｕｚｚｙｓｕｂｍａｔｒｏｉｄ重庆大学硕士论文符号说明符号说明Ｅ非空有限集合Ｍ拟阵（模糊拟阵）Ｉ拟阵的独立集族、ｌ，模糊拟阵的独立集族Ｐ秩函数Ⅳ超平面集。
([0,1],[0,1])-模糊拟阵的基和秩函数
![([0,1],[0,1])-模糊拟阵的基和秩函数](https://img.taocdn.com/s3/m/fe97a2e10d22590102020740be1e650e52eacfe8.png)
i
i)成立.
(
b)
(
a)
∃B2∈
因此 是一个模糊基的模糊族.
定理 8 设 是一个模糊基的模糊族.定义映射
E
E,
:
[
0,
1]
→[
0,
1]如下:∀A∈[
0,
1]
(
A)=∧{
a∈[
0,
1):∀B∈ (
a),
A ≤ B}.
则(
E, )是一个闭的完备的([
0,
1],[
0,
1])
-模糊拟
= .
证明 令 (a)=Low( (
0,
1])
f
u
z
z
a
t
r
o
i
d
s
J
.
JX
i
a
m
e
nU
n
i
vN
a
tS
c
i,
2022,
61
ym
(
4):
697
700.(
i
nCh
i
n
e
s
e)
h
t
t
xmu.
xmu.
edu.
cn
p:∥j
·698·
厦门大学学报(自然科学版)
若 是 E 上一族独立模糊集,则称(
E, )是一个
[
0,
1]
-拟阵.
定义4[11] 称逆序映射λ:
a)).因为 满足定义 10
(
条件(
i)和(
i
i),由定理3可知,
E, (a))是一个闭的完
阵,且
备的[
最新-浅析阵的历史演变 精品
浅析阵的历史演变本文作者李德鹏宋昕宇单位石家庄陆军指挥学院阵的战斗队形由密变疏战斗队形是阵的外在表现形态，其实质是将松散的战斗力量凝聚的一起，发挥最大作战效能，是现代系统理论在军事领域的实践应用。
在冷兵器时代，古人注意到了一条重要的原理，即是同样数量的士兵，由于战斗队形的不同，而显示出不同的战斗力，特别是弱军由于组成了一些严格的战斗队形，而常常击败人数众多、队形杂乱的强军，从而产生了阵的雏形。
由于武器装备受限，在冷兵器时代，阵的战斗队形非常密集，常常是士兵肩并肩排成整齐的队形与敌进行搏斗。
在热兵器时代，由于火器的使用，单位面积杀伤力的增大，战斗队形由以前集团作战的性质，开始过渡到疏开队形作战的性质。
到第一次世界大战，步兵与步兵的间隔成十几米的散兵队形，其进攻和防御的正面纵深进一步加大。
在机械化时代，坦克与坦克的间隔约为百米，并一直成为今天的法则，其战斗队形更加疏散。
在信息化时代，全球化通信，无缝隙协同，超视距打击，使战斗队形在全球内散布，虽然战斗队形更加疏散，但联系却更加紧密，一体化联合作战逐渐显现。
阵的战斗编组由简变繁战斗编组是阵的基本元素，阵的实质就是根据战场情况，将各战斗编组进行排列组合，以产生最大的作战效益。
冷兵器时代的战斗编组相对比较简单，其阵形分布在平面空间内，只有步兵、车兵、骑兵、弓兵等少量兵种，各兵种进行排列组合的编组形式也比较简单。
在热兵器时代，不但出现了陆海空三大军种，各军种里又分为许多兵种，其阵形分布在陆海空三维空间内，将这些战斗力量进行排列组合的编组形式变得复杂多变。
在机械化时代，其战斗力量的类型与第一次世界大战基本一致，但是在技术层次上有了很大的提高，编组形式更加灵活多变。
在信息化时代，出现了陆海空天电五维空间，新的兵种力量不断涌现，如天军、网络部队等，从数学理论上讲，每出现一种新型战斗力量，其战斗编组形式的数量都呈指数增长。
所以，在信息时代，阵的各个战斗编组形式单靠人的思维能力已不能解决，还要靠计算机进行科学的辅助论证。
模糊拟阵研究
模糊拟阵研究
李小南;李海洋;李生刚
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2009(026)003
【摘要】李传东等人研究了模糊子拟阵,然而,这些工作是在作者误认为模糊拟阵和次模糊拟阵等价的前提下做出的.本文首先给出两个例子说明模糊拟阵和次模糊拟阵是两个不同的概念.其次,把分明拟阵中的限制,截短等运算推广到模糊拟阵中,并且定义了模糊拟阵的垂直截短、水平截短、水平限制等运算.最后证明了模糊拟阵的基本列包含其水平限制的基本列.
【总页数】6页(P431-436)
【作者】李小南;李海洋;李生刚
【作者单位】西安电子科技大学数学科学系,西安,710071;西安工程大学理学院,西安,710048;陕西师范大学数学与信息科学学院,西安,710062
【正文语种】中文
【中图分类】O157;O159
【相关文献】
1.区间值模糊图和模糊拟阵 [J], 丁毓; 谢建明; 李小南
2.闭G-V模糊拟阵的模糊圈公理 [J], 吴德垠; 杨高进
3.闭正则模糊拟阵单点收缩子拟阵的基有序性质 [J], 李尧龙
4.闭模糊拟阵中模糊秩的计算 [J], 吴德垠
5.G-V模糊拟阵模糊圈的极值问题 [J], 吴德垠
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
关系粗糙拟阵的一些性质
关系粗糙拟阵的一些性质王晓鹏;杨斌;祝峰【摘要】关系粗糙拟阵的概念最早是由祝峰教授等人最先提出的,是作为一种同时推广了粗糙集和拟阵的概念.在他们工作的基础上,本文将进一步对关系粗糙拟阵的性质进行研究.首先,研究了基于关系的可定义集的一些性质.特别地,基于一个自反关系上的可定义集关于集合的包含运算作成一个格;其次,探究了关系粗糙拟阵的一些性质,并且给出了一些特殊关系粗糙拟阵的等价描述.【期刊名称】《闽南师范大学学报：自然科学版》【年(卷),期】2015(028)004【总页数】8页(P1-8)【关键词】关系;粗糙集;拟阵;粗糙拟阵;格【作者】王晓鹏;杨斌;祝峰【作者单位】闽南师范大学粒计算重点实验室,福建漳州363000【正文语种】中文【中图分类】TP18粗糙集理论是波兰科学院Z.Pawlak[1,2]院士于1982年提出的一种关于数据分析和推理的理论.近年来，随着智能信息处理技术成为人工智能、机器学习以及数据挖掘等众多理论的热点研究内容，粗糙集凭借其在处理不确定性中的优良表现，业已成为一种重要的智能信息处理技术，吸引了国内外众多学者的研究兴趣.然而，随着现实世界中大量应用数据在结构和形式上日益复杂化和多样化，单一的粗糙集理论及其方法已不再适应很多实际问题的处理需求.因此，通过粗糙集理论与其他理论结合的研究，来解决一些实际问题已经成了必然趋势.如粗糙集[3]、拓扑学[4]、图论[5]、格[6]、拟阵论[7-11]等这些理论之间的相互结合，进一步提高了粗糙集理论解决实际问题的能力，同时也推动了其他理论的发展.拟阵论作为组合数学的一个重要分支，由H.Whitney[12]在1935年提出的，它是一种同时推广了图论和线性代数的数学理论.由于实际的需要和数学工作者的努力，拟阵理论已有其自身比较完备的公理系统，并且拟阵已广泛应用于组合优化[13]、整数规划、算法设计[14]、横贯理论、网络流、信息编码、密码学等.也正因为如此，与不同学科相结合业已成为拟阵理论研究的一个鲜明特征，它推动着拟阵这门年轻学科不断发展和壮大.近几年，拟阵理论和粗糙集理论结合的研究已经吸引了很多学者的研究兴趣，并且在理论和应用方面都已经取得了一些成果.关系粗糙拟阵[15,16]这个概念是由祝峰教授等人率先提出的.作为一种拟阵概念的推广，粗糙拟阵既有粗糙集的理论支撑，又具有粗糙集理论广泛的应用基础.同时，关系粗糙拟阵也继承了拟阵理论完备的公理系统与应用基础.正是由于关系粗糙拟阵是粗糙集理论与拟阵论相结合的产物，所以关系粗糙拟阵是一种处理信息系统中不确定性与模糊性问题比粗糙集理论更为有效的工具，同时也在算法设计以及组合优化问题中有着更为重要的作用.因此，以粗糙集理论和拟阵理为工具来研究关系粗糙拟阵的性质，具有深远的意义.本文从关系粗糙拟阵的基本概念出发，通过结合粗糙集理论、拟阵论以及其他一些理论，在祝峰教授等人工作的基础上，进一步研究关系粗糙拟阵的一些重要性质. 本节着重介绍粗糙集和拟阵论的一些基本定义和重要结论.粗糙集理论为解决数据中的不确定性问题提供了一种有效方法，它通过下近似和上近似两个精确的集合，来描述不确定的目标集合.1.1 粗糙集的一些基本概念定义1（二元关系[17]）设U是一个集合，则称U×U的任一子集为U上的二元关系，记为R，即RU× U.对任意x，y∈U，若（x，y）∈R，则我们称x与y之间有关系，并记为xRy.对任意x∈U，称集合｛y∈U：xRy｝为x关于二元关系R的后继邻域并记为RN （x）.二元关系和它的性质对于粗糙集理论的研究有着重要作用.在下面的讨论中，不注明的情况下，我们简称二元关系为关系，并且所讨论的都是非空有限集合上的二元关系.定义2（近似空间[18]）设R是集合U上的关系.称序对（U，R）为一个近似空间. 定义3（广义粗糙集[18]）设S=（U，R）是一个近似空间，XU.则称R（X）和R （X）为集合X关于R的下近似和上近似，如果对于论域U上的任意一个子集X，如果R（X）=（X），则称X是论域U上的R-精确集；否则，若，则称X是论域U上的R-粗糙集.1.2 拟阵的一些基本概念拟阵理论主要是研究定义在一个集合的子集合上的抽象相关关系.具有这种关系的例子可以在不同的数学分支中找到.拟阵的概念是作为一种同时推广了矩阵和图的概念被提出的，所以，在图中或者矩阵中都可以找到至少一种相关关系.定义4（拟阵[19,20]）设U是一个非空有限集合，I是U的子集族.称（U，I）为一拟阵，常记为M=（U，I），如果I满足如下三个条件：（I1）∈I；（I2）若X∈I且YX，则Y∈I；（I3）若X，Y∈I且 Y＞X，则存在y∈Y-X，使得X∪｛y｝∈I.其中集合I中的元素称为拟阵M的独立集，且条件（I1）-（I3）称为拟阵的独立集公理.用下面例子说明拟阵的概念.例1如图1，G=（V，U）是一个无向图.其边集U=｛ɑ1,ɑ2,ɑ3,ɑ4｝.令I=｛IU：I不包含G的圈｝，即有：I=｛，｛ɑ1｝，｛ɑ2｝，｛ɑ3｝，｛ɑ4｝，｛ɑ1，ɑ2｝，｛ɑ1，ɑ2｝，｛ɑ1，ɑ3｝，｛ɑ1，ɑ4｝，｛ɑ2，ɑ3｝，｛ɑ2，ɑ4｝，｛ɑ3，ɑ4｝，｛ɑ1，ɑ2，ɑ4｝，｛ɑ1，ɑ3，ɑ4｝，｛ɑ2，ɑ3，ɑ4｝｝.不难验证M=（U，I）是个拟阵.1.3 格的一些基本概念格是一个重要的概念.它既是序对结构，又是代数结构，并且格与群论[21]等一些其他学科有着紧密的联系.特别地，格论在计算机科学与工程领域也有着极其重要的作用[22-24].定义5（偏序集[25,26]）设U是一个非空集合，≤是U上的一个序关系.对任意的x，y，z∈U，若（1）x≤x；（2）若x≤y且y≤x，则x=y；（3）若x≤y且y≤z，则x≤z；则称（U，≤）是一个偏序集.基于偏序集的概念，就可以定义格.定义6（格[25,26]）对任意a，b∈U，若上确界a∨b和下确界a∧b都存在，则偏序集（U，≤）是一个格.关系粗糙拟阵的概念最初是祝峰教授等人在2011年粒计算国际会议上首次提出的.作为拟阵概念的一种推广，拟阵本身也是一类特殊的关系粗糙拟阵.关系粗糙拟阵不仅反映了粗糙集的一些特殊性质，而且也有着拟阵的大多数优势.2.1 基于关系可定义集的性质定义7（基于关系的可定义集[15,16]）设R是非空有限集合U上的一个二元关系.对X∈U，若X=∪x∈XRN（x），则称集合X是一个基于关系R的可定义集.所有关于R是可定义集组成的集族可记为D（U，R），即D（U，R）∈2U.基于关系的可定义集是关系粗糙拟阵中的一个重要概念.在关系粗糙拟阵的研究中，基于关系可定义集的性质有着至关重要的作用.例2设R=｛（a，a），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b），（d，e），（d，f），（e，d），（e，f），（f，d），（f，e）｝是U=｛a，b，c，d，e，f，g｝上的一个二元关系.则RN（a）=｛a｝，RN（b）=｛a，c｝，RN（c）=｛a，b｝，RN（d）=｛e，f｝，RN（e）=｛d，f｝，RN（f）=｛d，e｝，RN （g）=.则D（U，R）=｛，｛a｝，｛a，b，c｝，｛d，e， f｝，｛a，d，e，f｝，｛a，b，c,d，e，f｝.上面例子从直观上说明了基于关系R的可定义集的概念.下面将探讨基于关系可定义集的性质.命题1设R是非空有限集合U上的一个二元关系A.若X∈D（U，R），则X （X）.证明若X∈D（U，R），则X=∪x∈XRN（x）.即x∈X，RN（x）X.所以X（X）. 命题2设R是非空有限集合U上的一个二元关系.若X，Y∈D（U，R），则X∪Y∈D（U，R）.证明若X，Y∈D（U，R），则X=∪x∈XRN（x），Y=∪y∈YRN（y）.由于所以X∪Y∈D（U，R）.上述命题2说明两个基于R的可定义集的并仍然是一个基于R的可定义集.换句话说，D（U，R）这个集族关于一般意义上的集合并运算是封闭的.例3设R=｛（b，a），（b，b），（c，a），（c，c）｝是U上的一个二元关系，其中U=｛a，b，c｝.那么就有D（U，R）=｛，｛（a，b），（a，c）｝｝.不难验证｛a，b｝∪｛a，c｝=｛a，b，c｝∈D（U，R），但是｛a，b｝∩｛a，c｝=｛a｝D（U，R）.上面例子中我们发现两个基于R的可定义集的交不一定是一个基于R的可定义集.也就是说，D（U，R）这个集族关于一般意义上的集合交运算不是封闭的.下面我们探讨D（U，R）这个集族关于一般意义上的集合交运算封闭的条件.命题3设R是非空有限集合U上的一个二元关系.对任意X，Y∈D（U，R），若R是自反的，则X∩Y∈D（U，R）.证明一方面，若R自反，则，有z∈RN（z）.故.另一方面，对，存在x∈X∩Y使得z′∈RN（x）.因为X，Y∈D（U，R），所以z′∈RN（x）X且z′∈RN（x）Y，即z′∈X∩Y.所以X∩Y∪z∈X∩YRN（z）.命题得证.上述命题表明R是自反关系是D（U，R）关于集合交运算封闭的一个充分而非必要条件.在例2中，虽然R不是自反关系，但是D（U，R）=｛，｛a｝，｛a，b，c｝，｛d，e，f｝，｛a，b，c，d，e，f｝｝关于集合的交运算却是封闭的.命题4若R是非空有限集U上一个自反的二元关系，则D（U，R）=｛XY：R （X）=X｝.证明一方面，对任意D∈D（U，R），有D=∪d∈DRN（d），所以D=（D）.即D（U，R）｛XU：（X）=X｝成立.另一方面，对任意X∈｛XU：（X）=X｝，有（X）=X，即对任意x∈X，有RN（x）X.由于R是自反关系，所以X=∪x∈X ｛x｝∪x∈XRN｛x｝X，即可证得X∈D（U，R）.故｛XU：（X）=X｝D（U，R）.命题得证.一般二元关系上的粗糙集上、下近似算子是满足对偶性的，因此根据命题4可得到一个简单推论.推论1若R是非空有限集U上一个自反的二元关系，则D（U，R）=｛XU：（X）=X｝.上述命题4和推论1从粗糙集上、下近似算子的角度对基于自反关系可定义集进行了等价刻画.此外，由命题2和命题3已知当R是自反关系时，D（U，R）关于集合的交、并运算都是封闭的，从而易知D（U，R）关于集合的包含关系作成一个格.例4设是R=｛（a，a），（a，b），（b，b），（c，b），（c，c）｝上的一个自反关系，其中U=｛a，b，c｝.那么就有D（U，R）=｛，｛b｝，｛a，b｝，｛b，c｝，｛a，b，c｝｝.不难验证（D（U，R），）是一个格.而由自反关系R导出的格如图2所示.命题5若U是非空有限集（D（U，R），）上一个自反的二元关系，则是一个格. 证明根据定义6，取∧=∩和∨=∪，则（D（U，R），）是一个格.事实上，由一个自反关系R导出的格（D（U，R），）有很多重要性质.例5设R=｛（a，a），（a，d），（b，b），（b，c），（c，c），（d，a），（d，d），（e，e），（f，f）｝是U=｛a，b，c，d，e，f｝上的一个自反关系.则有设X=｛b，d，f｝，Y=｛a，b，c，d｝.由于所以XD（U，R），YD（U，R）.同时，不难验证可知D（U，R）=｛，｛e｝，｛f｝，｛a，d｝，｛b，c｝，｛e，f｝，｛a，d，e｝，｛a，d，f｝，｛b，c，e｝，｛b，c，f｝，｛a，b，c，d｝，｛a，d，e，f｝，｛b，c，e，f｝，｛a，b，c，d，e｝，｛a，b，c，d，f｝，｛a，b，c，d，e，f｝｝.已知R是自反关系，所以（D（U，R），）是一个格.R导出的格如图3所示.命题6若R是非空有限集U上一个自反的二元关系.若D1，D2∈D（U，R），D1＜D1且d∈D2-D1，则D1∪｛d｝D（U，R），当且仅当存在e∈D2-D1使得d≠e且e∈RN（d）.证明若，则RN（d）=｛d｝.故∪｛d｝=∪RN（d）=∪d2∈D1∪｛d｝RN（d2），即D1∪｛d｝∈D（U，R），矛盾.必要性证得.若存在e∈D2-D1使得d≠e且e∈RN（d），那么显然有D1∪｛d｝D（U，R）.充分性得证.上述命题给出了基于自反关系的可定义集的一个重要性质.这个性质在关系粗糙拟阵的研究中有着很重要的作用.2.2 关系粗糙拟阵的性质这一小节将着重研究关系粗糙拟阵的一些重要性质以及一些特殊关系粗糙拟阵的等价描述.首先我们介绍一些有关关系粗糙拟阵的概念及结论.定义8（下近似-关系粗糙拟阵[15,16]）设R是U上的一个关系.序对称为一个下近似-关系粗糙拟阵，如果IRD（U，R）满足如下三个条件：（LI1）∈；（LI2）若I∈，I′∈D（U，R）且（I′）（I），则I′∈R；（LI3）若，∈，且（）＜（），则存在I∈使得（）∪（I）（）∪（）.类似地，上近似-关系粗糙拟阵也可以通过关系粗糙集的上近似算子定义得到.定义9（上近似-关系粗糙拟阵[15,16]）设R是U上的一个关系.序对称为一个上近似关系粗糙拟阵，如果RD（U，R）满足如下三个条件：（HI1）∈R；（HI2）若I∈R，且I′∈D（U，R）且（I′）（I），则I′∈R；（HI3）若，且，则存在使得.定义8和定义9是下近似-关系粗糙拟阵和上近似-关系粗糙拟阵的定义.如果一个下（上）近似-关系粗糙拟阵同时也是一个上（下）近似-关系粗糙拟阵，则称其为关系粗糙拟阵.下面结合例子从更直观上来理解关系粗糙拟阵的定义.例6设U=｛ɑ,b,c,d｝,R1=｛（ɑ,ɑ）,（b,ɑ）,（b,b）,（c,ɑ）,（c,c）｝和R2=R1∪｛（d,d）｝是U上的两个二元关系.若令I=｛,｛ɑ｝,｛ɑ,b｝,｛ɑ,c｝｝，则M=（U，I）既是一个基于R1的上近似-关系粗糙拟阵，也是一个基于R2的下近似-关系粗糙拟阵.事实上，当关系R是论域U上的恒等关系的时候，则有D（U，R）=2U，且所有基于R的关系粗糙拟阵都是一般意义上的拟阵.拟阵的运算主要有并运算以及直和运算.类似地，下面我们也考虑关系粗糙拟阵的直和运算.为了便于后面表述，首先引入如下一个记号.定义10设U是一个非空有限集合，A1，A2是U中子集的一个集族.定义有了定义10中的记号，结合拟阵的直和运算的特征，我们定义关系粗糙拟阵的直和运算.定义11（关系粗糙拟阵的直和）设MR′=（U1，IR′）和MR′=（U2，IR′）是两个关系粗糙拟阵，其中｛U1, U2｝是U上的一个划分.令则称MR′○+MR′是MR′和MR′的直和.定义11中定义了关系粗糙拟阵的直和运算.事实上，这种直和运算是拟阵直和运算的一种推广.已知两个拟阵的直和仍然是个拟阵，那么关系粗糙拟阵的直和是否仍然为关系粗糙拟阵问题就需要我们来考虑.命题8设MR′=（U1，IR′）和MR′=（U2，I R′）是两个关系粗糙拟阵，其中｛U1,U2｝是U上的一个划分.若R′，R′分别是U1,U2上的自反、传递关系，则MR′○+MR′=（U，I）是一个基于R′∪R′的关系粗糙拟阵.证明不难证明得出R′∪R′是U上的一个自反、传递的二元关系.由于｛U1,U2｝是U上的一个划分，所以因此我们只需证明I满足定义8中的（LI1）-（LI3）（或者定义9中的（HI1）-（HI3））.（1）由于∈IR′且∈IR′，所以∈I.（2）若I∈I，则存在I′∈IR′，I′∈IR′使得I=I′∪I′.设I*I且I*∈D（U，R′∪R′）.则因此I*∩I′∈D（U1，R′），I*∩I′∈D（U2，R′）.而又I*∩I′I′，I*∩I′I′且IR′，IR′满足（LI2），所以I满足（LI2）.（3）若I′，I′∈I则存在I1′，I1′∈IR′，I2′，I2′∈IR′使得I′=I1′∪I2′，I′=I1′∪I2′设I′＜I′，则I′∪I2′＜I1′∪I2′.由于｛U1,U2｝是U上的一个划分，则I1′＜I1′或者I2′＜I2′.（3a）若I1′＜I1′，则存在I1∈IR′使得I1′∪I1I1′∪I1′.因为I1′∪I2′=I′∪I1∪I2′I1′∪I1′∪I2′I′∪I′′.由于I1∪I2′∈I，所以I满足（LI3）.（3b）若I2′＜I2′，则存在I2∈IR′使得I2I2′∪I2′.因此I1′∪I2′=I2∪I1′I2′∪I2′∪I1′I′∪I′.由于I2∪I1′∈I，所以I满足（LI3）.命题得证.上述命题8说明两个基于自反、传递的关系粗糙拟阵经过直和运算仍然是一个关系粗糙拟阵.例8设R′=｛（a，a），（a，c），（b，b），（b，c），（c，c）｝是U1=｛a，b，c｝上一个自反、传递的二元关系. R′=｛（d，d），（e，e），（f，f），（g，g）｝是U2=｛d，e，f，g｝,上一个自反、传递的二元关系.令IR′=｛，｛c｝，｛a，c｝｝,IR′=｛，｛d｝，｛e｝，｛f｝，｛d，e｝，｛e，f｝｝.则MR′=（U1，IR′）和MR′=（U2，IR′）是粗糙拟阵.由于I=IR′∪+IR′=｛，｛c｝，｛d｝，｛e｝，｛f｝，｛a，c｝，｛c，d｝，｛c，f｝，｛d，e｝，｛e，f｝，｛a，c，d｝，｛a，c，e｝，｛a，c，f｝，｛c，d，e｝，｛c，e，f｝，｛a，c，d，e｝，｛a，c，e，f｝｝.则MR′○+MR′=（U，I）是一个基于R′∪R′的关系粗糙拟阵，其中U=U1∪U2.命题9设R是U上的一个自反、传递的关系，则MR=（U，IR）是个关系粗糙拟阵当且仅当IR满足（LI1），（LI2）和（LI4）对任意D∈D（U，R），D的所有属于IR的极大子集有相同的基数.证明反设存在D′∈D（U，R）使得I1，I2是D′的两个极大子集且满足I1≠I2.不失一般性，不妨设.根据（LI3），存在I∈IR使得这与是极大子集矛盾，从而必要性得证.反之，设IR满足（LI1），（LI2）和（LI4），需要证明IR满足（LI3）.设I1，I2∈IR且 I1＜ I2，D=I1∪ I2∈D（U，R），则D的所有属于IR的极大子集有相同的基数.由于 I1＜ I2，则存在 eI1使得I1∪.这样就显然有，即满足（LI3）.充分性得证.命题9是关系粗糙拟阵的一个等价描述.拟阵论有极小圈、秩函数、闭包算子、超平面、基等一些其他概念对拟阵进行等价刻画.类似地，关系粗糙拟阵的等价刻画也是一个很有意义的研究课题.本文在祝峰教授等人提出关系粗糙拟阵的基础上，对关系粗糙拟阵的一些性质进行了研究；并给出了关系粗糙拟阵的一种等价定义.对于粗糙拟阵的研究，既加深了粗糙集理论与拟阵论为理论基础，同时也拓广了粗糙集与拟阵的应用范围.【相关文献】[1]Pawlak Z.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Sciences,1982,11(5):341-356.[2]Pawlak Z.Rough sets:theoretical aspects of reasoning about data[M].Boston:Kluwer Academic Publishers,1991.[3]刘贵龙.模糊近似空间上的粗糙模糊集的公理系统[J].计算机学报，2004,27(9)：1187-1191.[4]Zhu W.Topological approaches to covering rough sets[J].InformationSciences,2007,177(6):1499-1508.[5]Chen J K,Li J J.An application of rough sets to graph theory[J].Information Sciences,2012,201:114-127.[6]Liu G L.Generalized rough sets over fuzzy lattices[J].InformationSciences,2008,176(6):1651-1662.[7]Wang S P,Zhu W.Matroidal structure of covering-based rough sets through the upper approximation number[J].International Journal of Granular Computing,Rough Sets and Intelligent Systems,2011,2(2):141-148.[8]Wang S P,Zhu Q X,Zhu W,Min F.Matroidal structure of rough sets and its characterization to attribute reduction[J]. Knowledge-Based Systems,2012,36:155-161. [9]Yang B,Zhu W.Matroidal structure of generalized rough sets based on symmetric and transitive relations[C]//Electrical and Computer Engineering(CCECE),2013 26th Annual IEEE Canadian Conference on.Regina,Canada:IEEE,2013:1-5.[10]Yang B,Lin Z Q,Zhu W.Covering-based rough sets on Eulerian matroids[J].Journal of Applied Mathematics,2013:254797-254805.[11]Wang J Q,Zhu W.Applications of matrices to a matroidal structure of roughsets[J].Journal of Applied Mathematics,2013: 493201-493210.[12]Whitney H.On the abstract properties of linear dependence[J].American Journal of Mathematics,1935,57:509-533.[13]Lawler binatorial optimization:networks andmatroids[M].Courier:Corporation,1976.[14]Edmonds J.Matroids and the greedy algorithm[J].MathematicalProgramming,1971,1:127-136.[15]Zhu W,Wang S P.Rough matroid[C]//Granular Computing(GrC).2011 IEEE International Conference on Granular Computing.Kaohsiung,Taiwan,China:IEEE ComputerSociety,2011:817-822.[16]Zhu W,Wang S P.Rough matroids based on relations[J].InformationSciences,2013,232:241-252.[17]Rajagopal P,Masone J.Discrete mathematics for computerscience[M].Canada:Saunders College,1992.[18]Zhu W.Relationship between generalized rough sets based on binary relation and covering[J].Information Sciences,2009, 179:210-225.[19]赖虹建.拟阵论[M].北京：高等教育出版社，2001.[20]刘桂珍，陈庆华.拟阵[M].长沙：国防科技大学出版社，1993.[21]Ajmal N,Jain A.Some constructions of the join of fuzzy subgroups and certain lattices of fuzzy subgroups with sup property[J]. Information Sciences,2009,179:4070-4082. [22]Medina J,Ojeda-Aciego M.Multi-adjoint t-concept lattices[J].Information Sciences,2010,180:712-725.[23]Medina J.Multi-adjoint property-oriented and object-oriented conceptlattices[J].Information Sciences,2012,190:95-106.[24]Syrris V,Petridis V.A lattice-based neuro-computing methodology for real-time human action recognition[J].Information Sciences,2011,181:1874-1887.[25]Birhoff ttice Theory[M].Rhode Island:American Mathematical Society,1995.[26]Estaji A,Hooshmandasl M,Davva B.Rough set theory applied to latticetheory[J].Information Sciences,2012,200:108-122.。
实验一-电基本阵子及对称阵子辐射分析
实验一 电基本阵子及对称阵子辐射分析一、实验目的：通过MATLAB 编程，熟悉电基本阵子和对称阵子的辐射特性，了解影响对称阵子辐射的因素及其变化对辐射造成的影响二、实验环境：MATLAB 软件 三、实验原理：1．电基本振子的辐射电基本振子（Electric Short Dipole ）又称电流元，它是指一段理想的高频电流直导线，其长度l 远小于波长λ，其半径a 远小于l ，同时振子沿线的电流I 处处等幅同相。
用这样的电流元可以构成实际的更复杂的天线，因而电基本振子的辐射特性是研究更复杂天线辐射特性的基础。
图3-1 电基本振子的坐标电基本振子在无限大自由空间中场强的表达式为：2230223001sin ()421cos()411sin ()40r jkrjkrr jkr H H Il k H j e r r Il k E j er rIl k k E A j j er r rE θϕθϕθππωεθπωε---=⎫⎪=⎪⎪=+⎪⎪⎪⎬=-⎪⎪⎪=+-⎪⎪=⎪⎭（2-1） 电基本振子的辐射场可以分为近区场和远区场。
如果kr<<1即（r<<λ/(2π)）的区域称为近区，近区场的另一个重要特点是电场和磁场之间存在π/2的相位差，于是坡印廷矢量的平均值为0，能量在电场和磁场以及场与源之间交换而没有辐射，所以近区场也称为感应场，本实验不涉及。
本实验计算的远区场kr>>1（即r>>λ/(2π)的区域称为远区），在此区域内，电基本振子满足条件：23111()()kr kr kr >>>> 则远区场表达式为：sin 260sin 0jkr jkr r r Il H je rIl E j e r H H E E ϕθθϕθλπθλ--⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪====⎪⎪⎭ （2-2）可见场强只有两个相位相同的分量（E θ,H φ）。
根据方向函数可定义：(,,)(,)60/E r f I rθϕθϕ=（2-3）可得电基本振子的方向函数为：(,)()sin lf f πθϕθθλ==（2-4） 根据归一化方向函数定义：max max(,)(,)(,)(,)E f F f E θϕθϕθϕθϕ==（2-5） 可得电基本阵子归一化方向函数为：F(θ,φ)=|sin θ| （2-6）将方向函数用曲线描绘出来，称之为方向图(Fileld Pattern)。
拟阵——精选推荐
拟阵写在前⾯ 对于拟阵的学习，便于复习 所有资料写得都很像，⽐如百度百科和维基百科写的差不多就没什么区别 摘录⾃⽹络，标明出处定义 在组合数学中，拟阵是⼀个对向量空间中线性独⽴概念的概括与归纳的数学结构。
拟阵有许多等价的定义⽅式，最常见的定义⽅式是⽤独⽴集，基，圈，闭集合，闭平⾯，闭包算⼦或秩函数 拟阵理论⼴泛地借⽤了线性代数和图理论的术语，因为它是这些领域的重点概念的抽象 拟阵在⼏何，拓扑学，组合优化，⽹络理论和编码理论上都有很多应⽤。
它抽象了很多图的性质．为组合优化问题和设计多项式算法提供了强有⼒的⼯具——bia度百科⼦集系统是⼀个⼆元组M=(S,L)，它满⾜下⾯三个条件：(1)S是⼀个有限集(2)L是由S的⼀些⼦集组成的有限⾮空集(3)遗传性和交换性——信息学奥赛之数学⼀本通 遗传性：对于任意的B⊆L，任意的A⊆B，有A⊆L(可知空集必须是L的元素) 交换性：对任意的A⊆L，B⊆L，|A|＜|B|，存在⼀个x∈B-A，使得A∪{x}⊆L 不太好理解，画了两张Venn图： 遗传性： 交换性：⼀个拟阵M是⼀个有序对M=(S,L)，其中S是⼀个有限⾮空集合，L⊆S，有以下三⼤公理：(1)∅∈L，即L不为空，称为拟阵的独⽴集公理(2)M具有可遗传性(3)M具有交换性，称为独⽴扩充公理常见的拟阵问题：向量⼦集优化问题，背包问题，Kruskal，贪⼼等——程序设计中的组合数学 Venn图同上 In combinatorics, a branch of mathematics, a matroid is a structure that abstracts andgeneralizes the notion of linear independence in vector spaces. There are many equivalentways to define a matroid, the most significant being in terms of independent sets, bases,circuits, closed sets or flats, closure operators, and rank functions Matroid theory borrows extensively from the terminology of linear algebra and graphtheory, largely because it is the abstraction of various notions of central importance in thesefields. Matroids have found applications in geometry, topology, combinatorialoptimization, network theory and coding theory There are many equivalent (cryptomorphic) ways to define a (finite) matroid——Wikipedia译： 在组合数学中，拟阵是⼀种抽象和概括向量空间中线性独⽴概念的结构。
关于拟阵的三个方面的研究的开题报告
关于拟阵的三个方面的研究的开题报告
一、研究背景
拟阵是组合数学中的一种基本的代数结构，广泛应用于数学、计算机科学、经济学、物理学等领域。
拟阵模型有助于描述许多实际问题，例如社交网络、概率机器学习、博弈论等。
由于其在算法和计算复杂度方面的丰富理论和应用价值，拟阵理论成为了一个重要的研究领域。
二、研究目的
本论文旨在探讨拟阵理论的三个方面，分别是极大拟阵的理论研究、置换拟阵的研究和在线性编码方面的应用。
具体来说，本研究计划完成以下任务：
1.研究极大拟阵的性质与应用，探讨其在图论、码论、博弈论等领域的应用。
2.研究置换拟阵的基本理论，探讨其在置换群的研究、随机排列模型、计算机科学等领域的应用。
3.分析拟阵在线性编码方面的应用，研究拟阵在求解矩阵方程、解决最大距离保障问题等方面的应用。
三、研究内容
1.极大拟阵的理论研究
1.1极大拟阵的定义和基本性质
1.2极大拟阵的扩展和变形
1.3极大拟阵在图论、码论、博弈论等领域的应用
2.置换拟阵的研究
2.1置换拟阵的定义和基本性质
2.2置换拟阵在置换群的研究中的应用
2.3置换拟阵在随机排列模型、计算机科学等领域的应用
3.在线性编码方面的应用
3.1矩阵方程的求解
3.2最大距离保障问题的解决
3.3其他线性编码问题中拟阵的应用
四、研究方法
本研究将以文献调研、理论分析和实例研究为方法，基于现有的拟阵理论和方法，深入探讨拟阵的性质和应用。
五、研究意义
本研究的成果将有助于推动拟阵理论的发展，拓展其在不同领域中的应用，具有较高的学术价值和实用价值。
同时，本研究也将为相关领域的研究提供参考。
相控阵Word
移动卫星信号接收相控阵天线快速波束成型的原理及实验摘要：写这篇论文的目的是叙述适用于低成本移动相控阵天线的快速波束成型算法。
这个算法使用了一个顺序扰动斜率估计方法来更新移相器的控制电压，从而实现接收功率的最大化。
另外，在文章中的算法参数源于静止和移动平台的配置。
对于静止的阵列，算法揭示了如何选取合适的成型参数来提高信噪比。
对于动态的阵列，首要问题是快速集中信号，在文章中说明用非一致的步进单位来更新控制电压的方法。
移相器会受到不平衡插入损耗的困扰，但波束成型技术会适用于这种情况，使相位一致，从而增加整体接收信号的功率。
此算法已经运行在低成本的微波组件并应用于KU波段相控阵天线，此天线拥有34个子阵列。
实验的结果验证了宽带性能，并且也验证了此算法适用于各种移动平台环境的快速信号集中。
关键字：自适应天线阵，波束成型，移动相控天线，卫星通信，智能天线1.概述相控阵天线已经被广泛用于卫星通信。
移动载体比如飞机、船舶、汽车上使用的天线的设计与波束成型先对固定站来说更复杂、更具有挑战性。
关于阵列有很多信息可用，有不少最优的方法来找到移相器的重量，从而使最小均方误差效率最低。
这些方法基于接收到的信号矩阵的逆。
为了计算出这个矩阵，必须对所有接收单元的信号进行读取，所以每个接收通道的各个元素都是需要的，如：混合器、中频、解码、模数转换等。
另外，估计误差的参考信号也是需要的。
如果收到的信号和噪声是遍历随机过程，可以根据收到信号的平均时间来估计阵列相关矩阵，但这是个耗时的过程。
所以，用于波束成型的自适应方法可以节省时间。
这种最优化的自适应算法的不利因素主要归结于以下几点：1)测量阵列相关矩阵需要昂贵的多通道的接收机，估计出来的矩阵是耗时的也是不精确的。
2)如果信号的趋势不知道或者不能被精确估计，那么校正错误会严重影响波束成型的性能。
DOA估计方法比如MUSIC和ESPRIT是复杂的，且对建模误差敏感的。
3)移相器的相位——电压特性不能精确预测及控制。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对拟阵的初步研究摘要拟阵中文又称矩阵胚，英文名matroid。
1935年美国数学家Whitney首先提出了拟阵的概念。
拟阵是组合优化与图论的重要内容，在近几十年得到了空前的发展，成为了一门博大精深的学科。
本文对拟阵进行了初步探讨，第一部分引入了拟阵的概念，第二部分提出了拟阵的最优化问题，并论证了其贪心算法的正确性，这两部分都将同步讲解2个实例，力求做到严谨而生动。
第三部分讨论了一个拟阵最优化问题的实例。
这三部分是本文的重点所在。
第四部分给出一些拟阵的实例，重点是线性拟阵。
拓展部分对一个有趣问题进行了简单讨论，有相当难度。
附录I介绍了罗素悖论，附录II主要讨论第三部分中的问题如何用并查集实现。
拟阵理论非常难，需要有良好的数学功底才能深入研究。
希望本文对拟阵的初步探讨能够使读者对拟阵理论有所认识。
关键字拟阵贪心算法 Shannon开关游戏序言拟阵中文又称矩阵胚，英文名matroid。
1935年美国数学家Whitney首先提出了拟阵的概念。
拟阵是他在研究线性无关时发现的。
拟阵是组合优化与图论的重要内容，在近几十年得到了空前的发展，成为了一门博大精深的学科。
本文第一部分讨论了拟阵的的基本概念，第二部分提出了拟阵的最优化问题，并论证了其贪心算法的正确性，这两部分都将同步讲解2个实例，分别是众所周知的部分背包问题（即物品是不用整个拿，可以分割）与最小生成树问题，希望理论结合实例能够帮助读者更好地理解。
第三部分讨论了一个拟阵最优化问题的实例。
前三部分是本文的重点所在，难度适中，只要读者能够仔细读，慢慢读，反复体会，必能发现其奥妙所在。
本文的第四部分和拓展部分比较难，其中有一些结论与证明，我自己也尚未搞明白，但因为这些结论都很有趣，我还是把它们写入了本文，这两部分主要为了拓宽读者视野，对拟阵论的博大精深有个更全面的认识。
理论和实践是不分家的，但历史上却有很多理论与应用不协调的例子：有的是为了实际用途，而发现了一些新方法，但理论根据却不很清楚，过了很久才被完善，并在完善后得到了空前的发展，比如著名的微积分；有的是先有了理论研究，但一直只作为一种智力游戏，并无实际用途，但却在某样事物发明以后，大显神威，于是成为了应用的理论根据，并得到空前的发展，比如著名的数论、组合数学。
我们发现这些例子仅仅是时间上的一种暂时分离，而并不是说理论是没有用的，或实践不需要理论，只是两者被发现的早晚而已，而当两者都被发现以后，相辅相成，却能走得更快更好更远。
如果我们认为拟阵没什么实际用途，应该不是因为应用还没被发现，只是没被我们发现，因为我们的知识还不够，我们不知道，仅此而已。
拟阵是好的、美的，所以我要把它介绍给大家。
拟阵论很难，需要非常良好的数学基础才能学好，所以一般作为研究生的课程。
我在研究过程中深感自己水平有限，诸如线性代数，拓扑学等数学基础知识都不懂，无奈只得边研究边学习。
当然这样临时性的学习必然只能获得皮毛，但我还是在这种研究性学习中获得了无限乐趣。
“吾生也有涯，其知也无涯”。
知识是无穷尽的，我们要做的就是永远保持对知识的渴望，对真理的追求。
这样也就称的上一个爱智慧的人了。
正文第一部分：子集系统与拟阵的概念定义：子集系统．．．．是一个二元组),(L S M =，它须满足以下条件： 1、S 是一个有限．．集。
2、L 是由S 的一些子集组成的有限非空集3、遗传性．．．：对任意L B ∈，任意B A ⊆,有L A ∈（可知φ必须是L 的元素）。
拟阵．．是一个子集系统，它须满足： 4、交换性．．．：对任意L A ∈,L B ∈,B A <,存在一个A B x -∈,使{}L x A ∈ 。
对该定义做些解释是有益处的。
我们把S 看成一个班级所有的同学，L 看成若干张名单的集合。
一张名单记录了若干个同学，表示他们能够组成一个团队。
遗传性说明，从一张名单中选出若干个同学组成的子名单仍存在于我们的名单集合，这是一种包容性。
交换性说明，名单A 上的人数如果少于名单B ，则必然可以从B 中选出一个人，该人不属于A ，将该人加到A 里形成的新名单仍然存在于我们的名单集合中，要注意，我们加到A 中的人必须本来不是A 的，并且必须是B 的人，而不能是2张名单以外的人，外人不能干预。
当然你也可以将S 想象成别的事物组成的集合，而L 则是将这些事物的组合看成基本元素的集合。
由于是集合，万物皆可做元素（这句话严格地说是有问题的，比如著名的罗素悖论,详见附录I ，任何数学体系都有其局限性与不完备性,因此需要公理化。
在此只想说明拟阵是个抽象概念，而不是一个具体问题）。
遗传性和交换性是拟阵．．．．．．．．．．最根本的．．．．2．条性质，拟阵上的其他性质都是基于这．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个性质发展．．．．．出来的．．．。
古人云：“君子务本，本立而道生。
”这2条性质就是拟阵的本。
拟阵是一种组合结构。
研究组合结构的意义正如研究代数结构，一旦我们发现某个问题具有拟阵结构（符合4个基本条件，前2条比较显然，因为构造时就已完成，所以后面2个本的成立是关键），则我们已研究出的有关拟阵的性质都可以直接应用于该问题，而不需重新证明。
我们来同步地看我们的两个实例：对于背包问题，我们首先进行一步转化：将体积为V ，单位价值为W 的物品变成V 个体积为1，价值为W 的物品。
这样物品就全是单位体积的了。
我们可以定义这样一个()L S M ,= ：1、 S 是所有物品的集合2、 {}MAX x S x x L ≤⊆=,: 这个M 显然满足子集系统的前两条件。
根据L 的定义，对任意L x ∈，任意x y ⊆，满足MAX x y ≤≤，有L y ∈,因此M 满足遗传性,是一个子集系统。
对任意L B L A ∈∈,，B A <，随意选取一个A B x -∈,令x A C =,显然有B A C ≤+=1，所以M 满足交换性。
因此M 也是一个拟阵。
我们称M 为背包问题的拟阵。
最小生成树问题是在无向图上进行的。
因此考虑对于无向图()E V G ,=，我们可以定义这样一个()L S M ,=：1、 S 是边集E2、 {}组成的图无环且x E x x L ⊆=:这个M 显然满足子集系统的前两条件。
根据L 的定义，对任意L x ∈，任意x y ⊆，假设y 形成环，则x 形成环，矛盾，所以y 不形成环，所以L y ∈,因此M 满足遗传性。
因此M 是一个子集系统。
接下来证明M 满足交换性：考虑任意B A L B L A <∈∈,,，我们将A 组成的森林命名为A G ,B 组成的森林命名为B G 。
A G 有A V -个连通分量，B G 有B V -个连通分量。
（这是根据一个基本事实：n 个点k 条边的森林有k n -个连通分量）。
B A <，所以A V B V -<-，所以B G 中存在一个连通分量T ，T 中的点在A G 中不连通（如果对B G 中的每个连通分量的点在A G 中也连通，则A V B V -≥-）。
那么T 中必然存在一条边x 连接A G 中不同连通分量的边，显然A x ∉且B x ∈，即A B x -∈，且{}x A 无环，即{}L x A ∈ 。
所以M 满足交换性。
因此M 是一个拟阵。
我们称M 为无向图()E V G ,=的拟阵。
为了方便以后的讨论，我们以一些命名来结束本部分：对于S U ⊆，如果L U ∈，那么称U 为独立集．．．。
对于独立集A,若存在S x ∈,满足A x ∉且L x A ∈ ，则称A 为可扩展的。
不可扩展的独立集称为极大独立集．．．．．。
对于S U ⊆，我们定义：(){}是独立集且x U x x u r ,:max ⊆=，我们称r(U)为U 的秩．，r 称为拟阵的秩函数．．．。
定理1：拟阵的极大独立集大小相同证明：假设A 和B 是拟阵的2个极大独立集，如果B A ≠,不失一般性，我们可以设B A <，那么根据交换性，A 是可扩展的，不是极大独立集，矛盾。
所以命题成立。
证毕。
第二部分：拟阵上的最优化问题上一部分我们给出了拟阵的定义，并做了一些有益的解释，同步给出了2个实例。
这部分我们将提出拟阵上的最优化问题，并论证可以用贪心法解决。
我们一旦发现了最优化问题的拟阵结构，那么就可以对该问题实施贪心算法，这是由拟阵的性质决定．．．．．．．．．．的．。
当然仍有大量可以用贪心算法解决的问题无法被拟阵结构覆盖（比如huffman 问题，最多不冲突区间问题等），但拟阵理论博大精深，这只是拟阵最简单最直接的一个应用，只是冰山一角。
况且，爱美之心，人皆有之，细心体会你会发觉拟阵是种很优美的结构。
对于拟阵()L S M ,=，我们对S 的每个元素x 赋予一个正整数权值()x w ，S 的任意子集U 的权值()()∑∈=U x x w U w ，即为其所有元素的权值和。
对于M ，我们希望求出它的一个权值最大．．．．独立集．．．。
现在我们在名单上写下分数，分数为名单上所有人的分数和。
我们的目标是找出分数最高的一张名单。
继续同步地来看我们的两个例子：背包问题是希望求出一种方案使得带走的物品价值和最大。
那么我们上面提到了我们的S 是所有物品的集合（物品是单位体积的），我们将S 的任意元素x 的权值()x w 定义为x 的价值（价值总为正的），那么问题就转化为了求背包问题的拟阵的权值最大独立集。
显然权值最大的独立集是极大独立集。
最小生成树问题乍看有一些困难，因为我们的目标是使权值最小，如何将一个权值最小问题转化为一个权值最大的问题呢？一般方法就是对权值取负，但对权值取负以后会出现负数，不满足我们拟阵权值的前提条件，怎么办？由于权值只是个相对概念．．．．，我们可以改变我们的绝对零点．．．．，使得所有权值变正。
也就是说，将所有权值先取负，然后再统一加上一个足够大的值，使得权值都是正的，那么问题就等价转化为在新的权值下求一棵最大生成树了。
即对于S 的每个元素x(x 是图的一条边)，使()()delta x g x w +-=，其中()x g 为x 的边权，1+=图中边权最大值delta 。
显然()0>x w 。
这样，求最小生成树的问题就等价为求图的拟阵的权值最大独立集了。
我们先给出求拟阵最大权值独立集的贪心算法：这个算法的输入是一个加权拟阵()L S M ,=和一个正权函数w ，返回的是一个最大权值独立集A 。
在我们的伪代码中，用[]M S 和[]M L 表示M 的组成，用w 表示权函数。
算法的基本思想是按权值的非增序来依次考虑每个元素S x ∈,如果{}x A 是独立集，就立刻把x 加入A 。
伪代码：Greedy(M,w)A := 空集;根据w 按非增长顺序对[]M S 排序for 每个[]M S x ∈,根据权()x w 的非增长顺序 doif ({}[]M L x A ∈ ) then {}x A A =:;return A;同步看我们的两个例子：按该算法做背包问题，相当于每次取价值最大的物品，如果背包还没满（说明{}[]M L x A ∈ ），那么该物品就放入背包了。