Chapter 4 振动
大学物理教程课件讲义第四章周期震动
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时引起基座的振动等。
4.6 受迫振动 共振
4.3 旋转矢量法
图4.10
由x=-6 cm，向x轴负方向运动这一已知条件可知，这一运动状态对应的旋转矢量位置如图4.10所示，其旋转矢量与Ox轴的夹角。旋转矢量逆时针转动到与Ox轴。物体第一次回到平衡位置。
4.4 简谐振动的合成
设质点在一个方向上同时参与两个独立的同频率简谐振动。每个简谐振动的运动方向均沿x轴方向，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为φ1和φ2，则它们的运动方程分别为 x1=A1cos（ ωt+φ1 ） x2=A2cos（ωt+φ2） 在任意时刻合振动的位移为两个分振动位移的代数和，即 x=x1+x2
4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
4.4 简谐振动的合成
研究此问题有两种简便的方法，用旋转矢量法求合振动的位移将更加直观简便。如图4.11所示，两个分振动的旋转矢量分别为A1和A2. 当t=0时，它们与x轴的夹角分别为φ1和φ2，在x轴上的投影分别为x1及x2.A1与A2的合矢量为A，而A在x轴上的投影为 x=x1+x2，
高中物理竞赛 第四章 振动(Vibration) (共87张PPT)
物体同时参与两分振动：
y
x 1 = A 1cos(ω t + 1)
A2
A
x 2 = A 2cos(ω t + 2) x = x 1+ x 2 = A cos(ω t + ) o
2
1A1
x
合振动的振幅为：
合振动的初相为：
81
旋转矢量法
A
A2
A 2sin2
2
0
1 A1
x
A 1sin1
x
A 2 cos 2 A 1 cos 1
c )为除上述两种情况外的一般情形
x x1
x2
x x1
x2
o
to
t
a)
b)
x x1
x2
o
2
t
1
c)
14
谐振动的位移、速度及加速度位相关系
xav
x
v
a
o • ••
t
T
15
[ 例] 水面上浮有一方形木块，静止时水面以上高度为a，以下高度为b。水密度为，木 块密度为，不计水的阻力。现用外力将木块压入水中，使木块上表面与水面平齐。求证 ：放手后木块将作谐振动，并写出谐振动方程
k1(x10 x1) k2 (x20 x2 )(3)
由（1）（3）得：k1x1 k2x2 （4）
由（2）（4）得： x2
k1
k1 k2
x
m：F合 mg k（2 x20 x2） k2 x2
k1 x10
k2 x20
o
mg
x
x
k1 x10 x1
k1 x20 x2
mg
80
§4. 2 同方向同频率谐振动的合成
大学物理课后习题答案第四章
第四章机械振动4．1一物体沿x 轴做简谐振动，振幅A = 0.12m ，周期T = 2s ．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m ，且向x 轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t = T /4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x = -0.06m ，向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间． [解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.12m ，角频率ω = 2π/T = π．当t = 0时，x = 0.06m ，所以cos φ = 0.5，因此φ = ±π/3． 物体的速度为v = d x /d t = -ωA sin(ωt + φ)．当t = 0时，v = -ωA sin φ，由于v > 0，所以sin φ< 0，因此：φ = -π/3．简谐振动的表达式为：x = 0.12cos(πt – π/3)．（2）当t = T /4时物体的位置为;x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为；v = -πA sin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s -1)．加速度为：a = d v /d t = -ω2A cos(ωt + φ)= -π2A cos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s -2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m 时，可得cos(πt 1 - π/3) = -0.5， 因此πt 1 - π/3 = ±2π/3．由于物体向x 轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt 1 - π/3) > 0，因此πt 1 - π/3 = 2π/3，得t 1 = 1s ．当物体从x = -0.06m 处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt 2 - π/3) = 0， 可得 πt 2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t 2> 0，所以πt 2 - π/3 = 3π/2， 可得t 2 = 11/6 = 1.83(s)．所需要的时间为：Δt = t 2 - t 1 = 0.83(s)．方法二：反向运动．物体从x = -0.06m ，向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m ，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得 πt - π/3 = π/2，解得t = 5/6 = 0.83(s)．[注意]根据振动方程x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，可得φ = ±arccos(x 0/A )，（-π<φ<= π）， 初位相的取值由速度决定．由于v = d x /d t = -ωA sin(ωt + φ)，当t = 0时，v = -ωA sin φ，当v > 0时，sin φ< 0，因此 φ = -arccos(x 0/A )；当v < 0时，sin φ> 0，因此φ = arccos(x 0/A )π/3．可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x 0 = A 时，φ = 0；当初位置x 0 = -A 时，φ = π．4．2已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a ，b ，c ，d ，e 各点的位相，及到达这些状态的时刻t 各是多少？已知周期为T ； （2）振动表达式； （3）画出旋转矢量图． [解答]方法一：由位相求时间．（1）设曲线方程为x = A cos Φ，其中A 表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位． 由于x a = A ，所以cos Φa = 1，因此Φa = 0．由于x b = A /2，所以cos Φb = 0.5，因此Φb = ±π/3；由于位相Φ随时间t 增加，b 点位相就应该大于a 点的位相，因此Φb = π/3．由于x c = 0，所以cos Φc = 0，又由于c 点位相大于b 位相，因此Φc = π/2．同理可得其他两点位相为：Φd = 2π/3，Φe = π．c 点和a 点的相位之差为π/2，时间之差为T /4，而b 点和a 点的相位之差为π/3，时间之差应该为T /6．因为b 点的位移值与O 时刻的位移值相同，所以到达a 点的时刻为t a = T /6． 到达b 点的时刻为t b = 2t a = T /3．图4.2到达c 点的时刻为t c = t a + T /4 = 5T /12． 到达d 点的时刻为t d = t c + T /12 = T /2． 到达e 点的时刻为t e = t a + T /2 = 2T /3．（2）设振动表达式为：x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，x = A /2时，所以cos φ = 0.5，因此φ =±π/3； 由于零时刻的位相小于a 点的位相，所以φ = -π/3， 因此振动表达式为． 另外，在O 时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．（3）如图旋转矢量图所示．方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t 轴 相交于f 点，由于x f = 0，根据运动方程，可得所以：．显然f 点的速度大于零，所以取负值，解得t f = -T /12．从f 点到达a 点经过的时间为T /4，所以到达a 点的时刻为：t a = T /4 + t f = T /6， 其位相为：． 由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．4．3 有一弹簧，当其下端挂一质量为M 的物体时，伸长量为9.8×10-2m ．若使物体上下振动，且规定向下为正方向．（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m 处，由静止开始向下运动，求运动方程；（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m·s -1速度向上运动，求运动方程． [解答]当物体平衡时，有：Mg – kx 0 = 0， 所以弹簧的倔强系数为：k = Mg/x 0， 物体振动的圆频率为：s -1)． 设物体的运动方程为：x = A cos(ωt + φ)．（1）当t = 0时，x 0 = -8.0×10-2m ，v 0 = 0，因此振幅为：=8.0×10-2(m)；由于初位移为x 0 = -A ，所以cos φ = -1，初位相为：φ = π． 运动方程为：x = 8.0×10-2cos(10t + π)．（2）当t = 0时，x 0 = 0，v 0 = -0.60(m·s -1)，因此振幅为：v 0/ω|=6.0×10-2(m)；由于cos φ = 0，所以φ = π/2；运动方程为：x = 6.0×10-2cos(10t +π/2)．4．4 质量为10×10-3kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作振动，式中t 以秒(s)计，x 以米(m)计．求： （1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相； （2）振动的速度、加速度的最大值；（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；cos(2)3t x A T ππ=-cos(2)03t T ππ-=232f t Tπππ-=±203a a t T πΦπ=-=ω==0||A x ==A =20.1cos(8)3x t ππ=+（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t 为1，2，10s 等各时刻的矢量位置． [解答]（1）比较简谐振动的标准方程：x = A cos(ωt + φ)，可知圆频率为：ω =8π，周期T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，振幅A = 0.1(m)，初位相φ = 2π/3．（2）速度的最大值为：v m = ωA = 0.8π = 2.51(m·s -1)； 加速度的最大值为：a m = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s -2)． （3）弹簧的倔强系数为：k = mω2，最大回复力为:f = kA = mω2A = 0.632(N)； 振动能量为:E = kA 2/2 = mω2A 2/2 = 3.16×10-2(J)， 平均动能和平均势能为:= kA 2/4 = mω2A 2/4 = 1.58×10-2(J)． （4）如图所示，当t 为1，2，10s 等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．4．5 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．[解答]设它们的振动方程为:x = A cos(ωt + φ)， 当x = A /2时，可得位相为:ωt + φ = ±π/3．由于它们在相遇时反相，可取Φ1 = (ωt + φ)1 = -π/3，Φ2 = (ωt + φ)2 = π/3，它们的相差为:ΔΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3，或者:ΔΦ` = 2π –ΔΦ = 4π/3．矢量图如图所示．4．6一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m = 1.68×10-27kg ，振动频率v = 1.0×1014Hz ，振幅A = 1.0×10-11m ．试计算：（1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量．[解答]（1）氢原子的圆频率为:ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s -1)， 最大速度为:v m = ωA = 6.28×103(m·s -1)．（2）氢原子的能量为:= 3.32×10-20(J)．4．7 如图所示，在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg 的重物，若使平板在竖直方向上作上下简谐振动，周期为0.50s ，振幅为2.0×10-2m ，求：（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物跳离平板？ （3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物跳离平板？ [解答]（1）重物的圆频率为：ω = 2π/T = 4π，其最大加速度为：a m = ω2A ，合力为：F = ma m ，方向向上．重物受到板的向上支持力N 和向下的重力G ，所以F = N – G ． 重物对平板的作用力方向向下，大小等于板的支持力： N = G + F = m (g +a m ) = m (g +ω2A ) = 12.96(N)．（2）当物体的最大加速度向下时，板的支持为：N = m (g - ω2A )． 当重物跳离平板时，N = 0，频率不变时，振幅为：A = g/ω2 = 3.2×10-2(m)．（3）振幅不变时，频率为：3.52(Hz)．4．8 两轻弹簧与小球串连在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A 和B 之间，整个系统放在光滑水平面上．设两弹簧的原长分别为l 1和l 2，倔强系统分别为k 1和k 2，A和B 间距为L ，小球的质量为m ．（1）试确定小球的平衡位置；k pE E =212m E mv=2ωνπ==（2）使小球沿弹簧长度方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否为简谐振动？振动周期为多少？[解答]（1）这里不计小球的大小，不妨设L > l 1 + l 2，当小球平衡时，两弹簧分别拉长x 1和x 2，因此得方程：L = l 1 + x 1 + l 2 + x 2；小球受左右两边的弹簧的弹力分别向左和向右，大小相等，即k 1x 1 = k 2x 2． 将x 2 = x 1k 1/k 2代入第一个公式解得：．小球离A 点的距离为：．（2）以平衡位置为原点，取向右的方向为x 轴正方向，当小球向右移动一个微小距离x 时，左边弹簧拉长为x 1 + x ，弹力大小为：f 1 = k 1(x 1 + x )， 方向向左；右边弹簧拉长为x 1 - x ，弹力大小为：f 2 = k 2(x 2 - x )， 方向向右．根据牛顿第二定律得：k 2(x 2 - x ) - k 1(x 1 + x ) = ma ，利用平衡条件得：，即小球做简谐振动．小球振动的圆频率为：．4．9如图所示，质量为10g 的子弹以速度v = 103m·s -1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数k = 8×103N·m -1，木块的质量为4.99kg ，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程．[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即：mv = (m + M)v 0．解得子弹射入后的速度为：v 0 = mv/(m + M) = 2(m·s -1)，这也是它们振动的初速度．子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得：(m + M ) v02/2 = kA 2/2， 所以振幅为：10-2(m)． （2）振动的圆频率为：= 40(rad·s -1)．取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x 的正方向，振动方程可设为：x = A cos(ωt + φ)．当t = 0时，x = 0，可得：φ = ±π/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为：x = 5×10-2cos(40t - π/2)．4．10如图所示，在倔强系数为k 的弹簧下，挂一质量为M 的托盘．质量为m 的物体由距盘底高h 处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．[解答]物体落下后、碰撞前的速度为：物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为，这也是它们振动的初速度．设振动方程为：x = A cos(ωt + φ)，211212()k x L l l k k =--+211111212()k L l x l L l l k k =+=+--+2122d ()0d xm kk x t++=ω=22T πω==A v =ω=v =0m v v m M ==+图4.9 图4.10其中圆频率为：物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x 1，则：x 1 = Mg/k ．物体与托盘磁盘之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x 2，则：x 2= (M + m )g/k ． 取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为x 0 = x 1 - x 2 = -mg/k ．因此振幅为：初位相为：4．11 装置如图所示，轻弹簧一端固定，另一端与物体m 间用细绳相连，细绳跨于桌边定滑轮M 上，m 悬于细绳下端．已知弹簧的倔强系数为k = 50N·m -1，滑轮的转动惯量J = 0.02kg·m 2，半径R = 0.2m ，物体质量为m = 1.5kg ，取g = 10m·s -2．（1）试求这一系统静止时弹簧的伸长量和绳的张力；（2）将物体m 用手托起0.15m ，再突然放手，任物体m 下落而整个系统进入振动状态．设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承无摩擦，试证物体m 是做简谐振动； （3）确定物体m 的振动周期；（4）取物体m 的平衡位置为原点，OX 轴竖直向下，设振物体m 相对于平衡位置的位移为x ，写出振动方程．[解答]（1）在平衡时，绳子的张力等于物体的重力T = G = mg = 15(N)．这也是对弹簧的拉力，所以弹簧的伸长为：x 0 = mg/k = 0.3(m)．（2）以物体平衡位置为原点，取向下的方向为正，当物体下落x 时，弹簧拉长为x 0 + x ，因此水平绳子的张力为：T 1 = k (x 0+ x )．设竖直绳子的张力为T 2，对定滑轮可列转动方程：T 2R – T 1R = Jβ， 其中β是角加速度，与线加速度的关系是：β = a/R ．对于物体也可列方程：mg - T 2 = ma ． 转动方程化为：T 2 – k (x 0 + x ) = aJ/R 2，与物体平动方程相加并利用平衡条件得：a (m + J/R 2) = –kx ，可得微分方程：，故物体做简谐振动． （3）简谐振动的圆频率为：s -1)． 周期为：T 2 = 2π/ω = 1.26(s)．（4）设物体振动方程为：x = A cos(ωt + φ)，其中振幅为：A = 0.15(m)． 当t = 0时，x = -0.15m ，v 0 = 0，可得：cos φ = -1，因此φ = π或-π， 所以振动方程为：x = 0.15cos(5t + π)，或x = 0.15cos(5t - π)．4．12一匀质细圆环质量为m ，半径为R ，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．[解答]通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为：I c = mR 2．根据平行轴定理，环绕过O 点的平行轴的转动惯量为I = I c + mR 2 = 2mR 2．当环偏离平衡位置时，重力的力矩为：M = mgR sin θ， 方向与角度θ增加的方向相反．ω=A ==00arctan v x ϕω-==222d 0d /x kx t m J R +=+ω=根据转动定理得：Iβ = -M ，即，由于环做小幅度摆动，所以sin θ≈θ，可得微分方程：． 摆动的圆频率为：周期为：4．13 重量为P 的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．[解答]（1）前面已经证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k = k1k 2/(k 1 + k 2)，因此固有频率为（2）前面还证明：当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为．4．14质量为0.25kg 的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k = 25N·m -1，如果开始振动时具有势能0.6J ，和动能0.2J ，求：（1）振幅；（2）位移多大时，动能恰等于势能？（3）经过平衡位置时的速度．[解答]物体的总能量为：E = E k + E p = 0.8(J)．（1）根据能量公式E = kA2/2，得振幅为：．（2）当动能等于势能时，即E k = E p ，由于E = E k + E p ，可得：E = 2E p ，即，解得：= ±0.179(m)． （3）再根据能量公式E = mv m2/2，得物体经过平衡位置的速度为： 2.53(m·s -1)．4．15 两个频率和振幅都相同的简谐振动的x-t 曲线如图所示，求： （1）两个简谐振动的位相差；（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程． [解答]（1）两个简谐振动的振幅为：A = 5(cm)， 周期为：T = 4(s)，圆频率为：ω =2π/T = π/2，它们的振动方程分别为：x 1 = A cos ωt =5cosπt /2， x 2 = A sin ωt =5sinπt /2 =5cos(π/2 - πt /2)即x 2=5cos(πt /2 - π/2)．位相差为：Δφ = φ2 - φ1 = -π/2． （2）由于x = x 1 + x 2 = 5cosπt /2 +5sinπt /2 = 5(cosπt /2·cosπ/4 +5sinπt /2·sinπ/4)/sinπ/4 合振动方程为：(cm)．22d sin 0d I mgR tθθ+=22d 0d mgRt Iθθ+=ω=222T πω===2ωνπ===2ωνπ===A =2211222kA kx =⨯/2x =m v =cos()24x t ππ=- (b)图4.134．16 已知两个同方向简谐振动如下：，．（1）求它们的合成振动的振幅和初位相； （2）另有一同方向简谐振动x 3 = 0.07cos(10t +φ)，问φ为何值时，x 1 + x 3的振幅为最大？φ为何值时，x 2 + x 3的振幅为最小？（3）用旋转矢量图示法表示（1）和（2）两种情况下的结果．x 以米计，t 以秒计．[解答]（1）根据公式，合振动的振幅为：=8.92×10-2(m)． 初位相为：= 68.22°．（2）要使x 1 + x 3的振幅最大，则：cos(φ– φ1) = 1，因此φ– φ1 = 0，所以：φ = φ1 = 0.6π． 要使x 2 + x 3的振幅最小，则 cos(φ– φ2) = -1，因此φ– φ2 = π，所以φ = π + φ2 = 1.2π．（3）如图所示．4．17质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动：， ．式中x 和y 以米(m)计，t 以秒(s)计．（1）求运动的轨道方程；（2）画出合成振动的轨迹；（3）求质点在任一位置所受的力．[解答]（1）根据公式：，其中位相差为：Δφ = φ2 – φ1 = -π/2，130.05cos(10)5x t π=+210.06cos(10)5x t π=+A =11221122sin sin arctancos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+0.08cos()36x t ππ=+0.06cos()33y t ππ=-2222212122cos sin x y xyA A A A ϕϕ+-∆=∆所以质点运动的轨道方程为：． （2）合振动的轨迹是椭圆．（3）两个振动的圆频率是相同的ω = π/3，质点在x 方向所受的力为，即F x = 0.035cos(πt /3 + π/6)(N)．在y 方向所受的力为，即F y = 0.026cos(πt /3 - π/3)(N)．用矢量表示就是，其大小为，与x 轴的夹角为θ = arctan(F y /F x )．4．18 将频率为384Hz 的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz ，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率．[解答]标准音叉的频率为v 0 = 384(Hz)， 拍频为Δv = 3.0(Hz)， 待测音叉的固有频率可能是v 1 = v 0 - Δv = 381(Hz)， 也可能是v 2 = v 0 + Δv = 387(Hz)．在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于ω2 = k/m ，可知其频率将减小．如果待测音叉的固有频率v 1，加一小块物体后，其频率v`1将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率v 2，即387Hz ．4．19示波器的电子束受到两个互相垂直的电场作用．电子在两个方向上的位移分别为x = A cos ωt 和y = A cos(ωt +φ)．求在φ = 0，φ = 30º，及φ = 90º这三种情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程．[解答]根据公式，其中Δφ = φ2 – φ1 = -π/2，而φ1 = 0，φ2 = φ．（1）当Δφ = φ = 0时，可得，质点运动的轨道方程为y = x ，轨迹是一条直线．（2）当Δφ = φ = 30º时，可得质点的轨道方程， 即，轨迹是倾斜的椭圆．（3）当Δφ = φ = 90º时，可得， 即x 2 + y 2 = A 2，质点运动的轨迹为圆．4．20三个同方向、同频率的简谐振动为，，．222210.080.06x y +=22d d x x x F ma m t==20.08cos()6m t πωω=-+22d d y y y F ma m t==20.06cos()3m t ωω=--πi+j x y F F F =F =2222212122cos sin x y xyA A A A ϕϕ+-∆=∆2222220x y xyA A A+-=222214x y A+=222/4x y A +=22221x y A A +=10.08cos(314)6x t π=+20.08cos(314)2x t π=+350.08cos(314)6x t π=+求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式； （2）合振动由初始位置运动到所需最短时间（A 为合振动振幅）． [解答]合振动的圆频率为：ω = 314 = 100π(rad·s -1)． 设A 0 = 0.08，根据公式得：A x = A 1cos φ1 + A 2cos φ2 + A 3cos φ3 = 0，A y = A 1sin φ1 + A 2sin φ2 + A 3sin φ3 = 2A 0 = 0.16(m)， 振幅为：，初位相为：φ = arctan(A y /A x ) = π/2．合振动的方程为：x = 0.16cos(100πt + π/2)．（2）当时，可得：，解得：100πt + π/2 = π/4或7π/4．由于t > 0，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = 0.0125s ．x A =A =/2x =cos(100/2)2t ππ+。
华东理工大学大学物理第四章答案
t（s）
5 Δϕ′ = π 12
−A
(2)
E=
1 1 1 2π 25 2 2 mv 2 m(ωA) 2 = × 1 × ( A) 2 = π A m = 2 2 2 T 72
-3
2、质量为 10×10 ㎏的小球与轻弹簧组成的系统，按 x = 0 . 1 cos ( 8 π t + 谐振动，式中t以秒计，x以米计，求： （1）振动的周期 T，振幅 A 和初位相φ； （2）t=1s 时刻的位相、速度； （3）最大的回复力； （4）振动的能量。 解：(1)与简谐振动标准运动方程 x = A cos(ωt + ϕ) 比较得
v 1 = −0.8π sin(8π + 2 π) = −2.175 m s 3
（3） Fmax = ma max = 10 × 10 −3 × Aω 2 = 10 × 10 −3 × 0.1 × (8π) 2 = 0.63N （4） E =
1 1 mA 2 ω 2 = × 10 × 10 −3 × (0.1) 2 × (8π) 2 = 3.2 × 10 −2 J 2 2
2 ∴A = x0 + 2 v0
ω
2
= A0
ω=
k m + m0
m0 k
（2）圆频率 ω′ =
k 不变 m + m0 k A0 m
m O A a
m0未落下前，m运动到O时速度为 v 0 = A 0 ω 0 =
当m0落在m上时系统速度变为 v ′ ，根据系统动量守恒 mv 0 = (m + m 0 ) v ′
(0.05) + (0.06)
结构动力学-第四章 MDOF(Part 1)
⎧ u1 ⎫ ⎧φ1 ⎫ ⎧a ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (ωt + θ ) = β ⎨ ⎬ sin (ωt + θ ) ⎩1 ⎭ ⎩u2 ⎭ ⎩φ2 ⎭
结构动力学 第四章 多自由度体系 5 of 42
或者
§4.1 两自由度体系的振动分析
算例 4.1 设 m1 = m2 = 1,000kg , k1 = 1,500 N / m, k2 = 1,000 N / m 求圆频率和振型
{d }1 {d }2
⎧φ1(1) ⎫ = ⎨ (1) ⎬ ⎩φ2 ⎭ ⎧φ1(2) ⎫ = ⎨ (2) ⎬ ⎩φ2 ⎭
用功能互等定理
{ f }1 {d }2 = { f }2 {d }1
将表达式代入并整理后,可得
(ω
结构动力学
2 1
− ω2 2 )( m1φ1(1)φ1(2) + m2φ2 (1)φ2 (2) ) = 0
结构动力学 第四章 多自由度体系 3 of 42 华南理工大学 土木与交通学院 土木工程系
§4.1 两自由度体系的振动分析
为得到非零解，必须有
2 Q (ω ) = m1m2ω 4 − ⎣ ω ⎡ m1k2 + m2 ( k1 + k2 )⎤ ⎦ + k1k2 = 0
方程的解
⎛ ⎡ k 1 k +k ω1 = ⎜ ⎢ 1 2 + 2 − ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎛ ⎡ 1 ⎢ k1 + k2 k2 ⎜ + + ω2 = ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎤⎞ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ + − 4 ⎜ m ⎟ m m1m2 ⎥ ⎟ 1 2 ⎠ ⎝ ⎦⎠ 12 2 ⎞ ⎤ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ ⎜ m + m ⎟ −4mm ⎟ 1 2 ⎠ 1 2 ⎥ ⎝ ⎦⎠
医用物理学课件 CHP4振 动
二、简谐振动的特征量
简谐振动的三个特征量是： A、 ω、 1、振幅A 质点的最大位移值A，称为振幅。 2、角频率ω、周期或频率 ,（皆是反映振动快慢的量） 在x =A cos(ωt＋)式中, 只要ωt =±2kπ, x都相等，k =1、2、… ，说明振动具有周期性. 周期T : 指完成一次全振动所需要的时间。 根据质点在 t 及t＋T 时刻的位移相等，得： ωT=2π，
例4-1
F
其中：k′=mg
合力：F ≈ mgsinθ ≈mgθ（θ很小时） 即：
θ
L
mg
f
A
解方程得到单摆角位移与时间的关系为： θ=θ0 cos(ωt+φ) θ0为振幅,φ为初相位。单摆属于简谐振动.
频率ν : 表示质点在单位时间（1秒）内振动的次数.
频率为 : ν =1/T
ω =2π/T =2πν， ω表示在2π秒内完成的振动次数,故称为角频率, 由于弹簧振子角频率ω由k/m决定 (单摆角频率由ω2=g/L决定) ， ω又称为固有角频率.
同样，ν称为固有频率. ν 也是由振动系统自身性质决定,
④ ⑤两式相除可得：
两式平方后相加可得：
返回
三、简谐振动的矢量图示法
作匀速旋转的矢量M 在x 轴上的投影长度为: x=Acos(ωt＋） 说明匀速旋转矢量末端的投影运动为简谐振动.
x
0
ω
0
A
ωt+
x
M
P
矢量图示法
矢量的大小→振幅A, 矢量的角速度→角频率ω 矢量与x轴的夹角→简谐振动的相ωt＋. 这种用旋转矢量描述简谐振动的方法,称为简谐振动的矢量图示法.
根据牛顿第二定律知： F=－kx =ma
【精编】哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇-第4章-机械振动基础.PPT课件
0
keq m
k1k2 kn m
n个弹簧串联后的等效刚度系数 n个弹簧串联系统的固有频率
keq
1
1
1
1
k1 k2
kn
0
keq m
1
k11
1 k2
1 kn
m
例题3
图示系统中有四根铅直弹簧，它 们的刚度系数分别为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 且k1 =2 k2 =3 k3=4 k4 。假设质量为m的物 块被限制在光滑铅直滑道中作平动。
Fe Fd k
c
Fe k x 弹性恢复力
Fd
c
dx dt
粘性阻尼力
物块的运动微分方程为
O
m
m
v
mddt22x
k
xcdx dt
x
阻尼系数
令
02
k, m
d c
2m
dd2t2x2dddxt 02x0
dd2t2x2dddxt 02x0
设其解为 x ert
本征方程 r22dr020
本征根
r1 d d 2 02
本章重点讨论单自由度系统的自由振动和受迫振动。
第四章 机械振动基础
§4-1 单自由度系统的自由振动 §4-2 计算固有频率的能量法 §4-3 单自由度系统的有阻尼自由振动 §4-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 §4-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 §4-6 转子的临界转速 §4-7 隔振 §4-8 两个自由度系统的自由振动 §4-9 两个自由度系统的受迫振动 · 动力减振器
1. 阻 尼
阻尼－振动过程中的阻力。
干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体
等介质的阻力、材料内部的阻力。
2024年度大学物理振动波动优秀ppt课件
04
2024/3/23
05
阻尼振动的能量逐渐转化为 热能或其他形式的能量。
9
受迫振动产生条件及规律
受迫振动的定义：物 体在周期性外力作用 下产生的振动。
存在周期性外力作用 。
2024/3/23
受迫振动的产生条件
10
受迫振动产生条件及规律
外力频率与物体固有频率 不同。
2024/3/23
受迫振动的频率等于驱动 力频率，与物体固有频率 无关。
规律
偏振现象中，光波的振动方向只限于某一特定方向，称 为偏振方向。只有振动方向与偏振方向一致的光波才能 通过偏振器件，而其他方向的光波则被阻挡。
2024/3/23
25
案例分析：光学仪器中的偏振技术应用
2024/3/23
01
偏振片
利用偏振片可以选择性地吸收或透过特定方向的光波，从而实现对光的
调制或检测。例如，在摄影中使用偏振片可以消除反射光的影响，提高
2024/3/23
14
共振现象及其危害防范
2024/3/23
01
共振的防范
02 避免驱动力频率与物体固有频率相同或接 近。
03
采用阻尼材料或结构，减小振幅。
04
对建筑物、桥梁等结构进行抗震设计，提 高其抗震能力。
15
案例分析：乐器中的共振现象
乐器中的共振现象
乐器中的空气柱、弦、膜等振动体在受到激发后，经过共振作用，产生美妙的声音。
波动分类
根据振动方向和传播方向的关系，波动可分为纵波和横波。
2024/3/23
18
机械波形成条件与传播特点
形成条件
机械波的形成需要振源和介质两个基本条件。
2024/3/23
必修二物理第四章知识点总结
必修二物理第四章知识点总结必修二物理第四章知识点总结必修二物理第四章是关于机械振动和波的知识点的。
机械振动是物体在作周期性运动时的物理现象，而波则是能量传递的方式。
本章重点介绍了机械振动和波的基本概念，包括简谐振动、波的分类、波的传播和反射。
一、简谐振动简谐振动是指一个物体沿着直线或曲线轨迹做周期性的振动运动。
当物体做简谐振动时，物体的位移、速度和加速度都是以正弦或余弦函数的形式随时间变化的。
本章重点介绍了简谐振动的基本概念、简谐振动的频率和周期、加速度最大、最小和位移最大、最小的位置等。
二、波的分类波分为机械波和电磁波。
机械波需要介质来传播，而电磁波在真空中也能传播。
机械波又分为横波和纵波。
三、波的传播波的传播包括机械波的传播和电磁波的传播。
机械波的传播需要介质，能量在介质中传递，而电磁波是由电场和磁场组成的交变波，在真空中传播。
波的传播速度与波长和频率有关，在相同介质中，波长越长，波速越慢，频率越高，波速越快。
四、波的反射波的反射是指波在到达介质边界时，部分能量被反射回去的现象。
当波通过介质边界时，它们会产生折射现象，即波通过后方向发生改变。
波的反射和折射都符合物理定律，可以通过定量计算来求解。
综上所述，必修二物理第四章涵盖了机械振动和波的知识点，其中简谐振动和波的分类、传播和反射是比较重要的部分。
学生在学习这些知识点时，需要注重理解概念，掌握计算方法，并且能够应用到实际生活中。
在课堂上，老师可以通过实验和具体例子来帮助学生更好地理解这些知识点。
在学习期间，学生还可以通过做题来提高自己的能力，加强对知识点的理解和掌握。
第四次 振动及简谐振动
振动及简谐振动1振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧所做的往复运动。
如海浪、心脏跳动等。
产生条件：（1）物体受到回复力的作用；（2）阻力足够小。
2最简单的振动就是简谐振动。
简谐振动特点：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫简谐振动。
简谐振动图像：振动规律：振幅：周期：频率：【例1】如图所示为一单摆及其振动图像，根据图回答：（1）单摆的振幅为________，频率为________，摆长约为________；图中所示周期内位移x最大的时刻为________．（2）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中________点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是一势能增加且速度为正的时间范围是________。
（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是______．A．位移B．速度C．加速度D．动量E．动能F．摆线张力（4）当在悬点正下方O＇处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且OEEO41'=，则单摆周期为________s，挡后绳张力________。
【例2】如图，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A________A0 (填“>”“<”或“＝”)，T________T0 (填“>”“<”或“＝”)．【解题点拨】当a、b脱开后，系统机械能减少，则振幅减小；弹簧振子的周期与质量有关，由公式：2T=k是弹簧的劲度系数，m是小球的质量）可知质量减小，周期减小。
故填“<”、“<”。
【例3】如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0．2s，从b再回到a的最短时间为0．4s，则该振子的振动频率为（）。
大学物理第四章振动和波动
平面简谐波
24、某列横波的波函数为
y(x,t
)
(6.50mm)cos2
(
x 2.80cm
t 0.0360s
)
。写出该波的振幅、
波长、频率、波速以及传播方向。
解：将题中的波动方程与标准形式
y( x, t )
A cos[2π( t T
x
)
ห้องสมุดไป่ตู้
]
比较得
振幅 A=6.50 mm 波长 2.8 0cm
周期 T 0.0360 s ，频率 1 1 28 Hz T 0.0360
22、宇航员称重。在太空飞船中，由于没有重力，宇航员如何测量自己的体重呢？有一把质 量为 42.5kg 的椅子，它的底部连了一根弹簧，因而能够振动。当椅子是空的时候，它完成 一个完整振动的时间为 1.30s，但当宇航员坐上去且脚离开地板时，椅子完成一个完整振动 的时间为 2.54s，则宇航员的质量为多少？
10.6 cm
cos x0 2
，
A2
sin
0 A
2
π 4
2
于是，振动方程为 x 10.6 cos(t π ) cm 。 4
21、一根吉他琴弦的振动频率为 440Hz，琴弦的中点处做简谐振动，其振幅为 3.0mm，相位 为零。（1）写出琴弦中点处的位置随时间的表达式（即振动方程）；（2）琴弦中点处的最大 速度和最大加速度是多少？
在警笛前方和后方静止的接收者收到的声波频率分别为多少。
解：根据
fR
u
u s
fs 得
f R前
340 340 30
300
329
Hz
，
f R后
340 340 30
大学物理五第四章习题答案
第四章 振动学基础习题答案1、根据ω=2T πω=，如果考虑弹簧质量，那么m 增大，ω就减小，因此弹簧振子的周期就增大。
2、措施（1）采用方法（3）；措施（2）采用方法（5）；措施（3）采用方法（2）；措施（4）采用方法（4）；措施（5）采用方法（1）；措施（6）采用方法（1）；3、解：由运动方程101cos()x A t ωα=+，202cos()y A t ωα=+，消去参数t 得到合振动的轨迹方程，22221212212122cos()sin ()x y xy A A A A αααα+--=-， 当212παα-=，上式变为2222121x y A A +=， 这是个正椭圆方程，再由相位差的象限可以确定质点沿着正椭圆轨迹做顺时针运动。
4、利用ω=2224T k T m πωπ=⇒= ，因此我们可以把物体挂在弹簧上让其振动，然后测出其振荡频率，再根据上式就可以测出物体的质量。
5、荡秋千是一种振动运动形式，它有由系统决定的固有频率，对于会荡秋千的人，其能粗略地根据这个固有频率用脚去蹬地，这样就能达到共振的条件，因此其可以越荡越高。
6、解：由质点的运动方程50.1cos()23x t ππ=+，可得 （1） 角频率52ωπ=，周期0.8T s =，频率1524f s ωπ-==，振幅0.1A m =，初相位03πϕ=。
（2） 把2t s =代入运动方程得到 位移0.1cos(5)0.053x m ππ=+=-，速度222550.1sin()/223t t t dx v t s dt πππ=====-⋅+=， 加速度222222255550.1cos()/222316t t t d x a t m s dt πππππ=====-⋅⋅+=。
7、解：首先由胡克定律F kx =-得到弹簧的倔强系数210200/510F k N m x -=-==⋅， 则弹簧振子的角频率为/s ω===， 因此弹簧振子的振动周期2T πω==。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 振动一、教学的基本内容：简谐振动和简谐振动函数，旋转矢量法描述简谐振动，谐振子（弹簧振子、单摆和复摆），同一条直线上的两个简谐振动的合成（合振动加强和减弱的条件）。
二、教学的基本概念：机械振动和广义振动，为什么说简谐振动是最简单的振动？何为简谐振动？旋转矢量的圆周运动与投影点的谐振动的关系，作图法处理同一直线上两个简谐振动的合成的基本思路与方法，震动叠加后加强与减弱的条件及实际意义。
三、教学的基本规律：1．简谐振动的定义式： c o s ()x A t ωϕ=+ 三个特征：振幅A 决定振动的能量； 角频率ω 决定振动系统的性质； 初相ϕ 决定起始时刻的选择。
简谐振动可以用旋转矢量图法表示。
2． 振动的相（t ωϕ+）两个振动的相差：同相 2k ωπ∆=； 反向 (21)k ωπ∆=+3．简谐振动的运动微分方程：2220d x x dtω+= 回复力 F kx =-ω=22T ππω==初始条件决定振幅和初相：A =；arctan()v x ϕω=-4、简谐振动的实例：弹簧振子：220d x m x dt k += 2T =复摆：220d mgl dt J θθ+= 2T =5、简谐振动的能量：k p E E E =+2211()22dx m kx dt =+22A k=12p k E E E ==6、同一直线上的两个同频率简谐振动的合成：两个分振动分别为：111cos()x A t ωϕ=+；222cos()x A t ωϕ=+ 合振动cos()x A t ωϕ=+其中22212122A A A A A cos ϕ=++∆111221122s i n s i n c o s c o s A Atg A Aϕϕϕϕϕ-+=+ 当2k ϕπ∆=时，12A A A =+ 合振动的振幅最大； 当(21)k ϕπ∆=+时，12A A A =- 合振动振幅最小。
四、教学内容的重点：简谐振动，振动的相，同一直线上两个同频率简谐振动的合成，合振动的加强和减弱的条件。
五、教学内容的难点：旋转矢量法表示简谐振动，证明某一实际振动为简谐振动。
]六、课后作业：教材P 71，习题1，2，3，4，5，6 七、教学实践信息反馈以及解决方法：一、什么叫机械振动呢？“物体在一定位置附近来回往复的运动叫机械运动”。
二、机械振动的最重要的特征是什么？“机械振动的最重要的特征是它的‘周期性’”。
那么什么是周期性呢？所谓的周期性是指“每隔一段时间的时间，物体的运动就完全重复一次”。
三、广义振动：机械振动是物体位移（这个物理量）随时间作周期性变化，人们把机械振动的概念加以延伸：任何一个物理量随时间作周期性变化时，都称为振动。
例如：交流电的电流和电压，电磁波中的电场强度和磁场强度。
四、什么样的振动是最简单的？“简谐振动”是最简单的。
为什么说“简谐振动”是最简单的？因为任何一个复杂的振动都可以由若干个简谐振动迭加而成，所以简谐振动是研究复杂振动的基础。
§4-1 简谐振动一、简谐振动函数（简谐振动方程）下面以“弹簧振子”为例导出简谐振动函数。
如图所示：物体A x A-≤≤之间振动，O点称为平衡位置。
在任意位置x时，振子受力F kx=-，由牛顿第二定律知，m加速度为F kxam m==-（m为物体质量）22d x adt =∴ 220d x kx dt m+=∵k 、m 均大于0∴可令2kmω= 可有： 2220d x x dtω+=式(12-2)是谐振动物体的微分方程。
它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为()'sin ϕω+=t A x或⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2'πϕϕ 其中A 、ϕ为积分常数。
这就是简谐振动函数。
二、作几点说明：1．符合以上两式的振动为简谐振动（定义）由于1cos()1t ωϕ-≤+≤，所以A x A -≤≤。
因而，A 是振子振动时，离开平衡位置的最大距离，称为振幅（即振动位移的最大幅值）。
2．振动的速度：sin()dx A t dt υωωϕ==-+cos()2A t πωωϕ=++ 振动的加速度：222cos()d x a A t dtωωϕ==-+2cos()A t ωωϕπ=++振子运动状态由(,)x v 两个量表示，由以上四式可知，x ，v 都取决于()t ωϕ+这个量，所以()t ωϕ+是一个十分重要的量，称()t ωϕ+为相位。
当0t =时，则相位ϕ称为初相位。
前一次课，我们以“弹簧振子”为例定义了：符合以下两式2220d x x dtω+=或cos()x A t ωϕ=+（简谐振动的振动方程）的振动为简谐振动，其中A 为简谐振动的振幅；()t ωϕ+为简谐振动的相位；ϕ为初相位。
角频率（圆频率）ω=ω、ν和T 三者之间的关系为：22Tπωπν==sin()A t υωωϕ=-+cos()2A t πωωϕ=++cos()2m t πυωϕ=++ 2cos()a A t ωωϕ=-+2cos()A t ωωϕπ=++cos()m a t ωϕπ=++令初相0ϕ=，则cos x A t ω=cos()2A t πυωω=+2cos()a A t ωωπ=+分别称为谐振动的x t 曲线，t υ 曲线和a t 曲线。
可见，υ的相位超前x 相位2π，而a 的相位与x 的相位“相反”。
3．设振动的周期为T ，则：cos()x A t ωϕ=+cos[()]A t T ωϕ=++cos cos(2)ααπ=+比较可得： 2T ωπ=∴ 2Tπω=又 1Tν=∴ 2ωπν=可见，ω是振子“2π”秒内全振动的次数，称ω为角频率。
ω=∴ ν=k 和m 的值均由弹簧振子自身确定，与外界各因素无关，故称ν为弹簧振子的固有频率。
4．简谐振动的x t 曲线，t υ 曲线和a t 曲线，根据简谐振动函数公式，速度公式和加速度公式可给出三种曲线，如图所示：x 、ν和a 的频率相同，但它们的相位不同。
三、旋转矢量法：设有一个长度为A 的矢量，在平面内绕原点O ，以角速度ω沿逆时针方向匀速转动，如图所示，假设00t =时旋转矢量A与ox 轴间的夹角为ϕ，那么t 时刻转过的角度为t ω，则旋转矢量A的端点M 在x 轴上的投影点P 的坐标为：cos()x A t ωϕ=+结论：投影点P 在x 轴上做简谐振动，可见作逆时针匀速圆周运动的旋转矢量A与做简谐振动的投影点P 有一个简单却又十分密切的关系。
注意以下两点：1．不要混淆了旋转矢量A 与投影点P 两者之间的关系：旋转矢量A做的是逆时针圆周运动，真正做简谐振动的是投影点P 。
2．清楚以下四个量的双重身份：A 既是旋转矢量A的模又是投影点P 在x 轴上做简谐振动的振幅；ω既是旋转矢量A沿逆时针方向匀速圆周运动的角速度，又是投影点P 做简谐振动的角频率；ϕ既是旋转矢量A在0t =时与x 轴之间的夹角，又是投影点P 做简谐振动的初相； ()t ωϕ+既是旋转矢量A在任意时刻t 与x 轴上之间的夹角，又是投影点P 做简谐振动任意时刻t 的相位。
或者选取ox 轴为竖直轴，如图所示：cos()x A t ωϕ=+§4-2 谐振子一、什么是谐振子？我们把“作简谐振动的系统叫做谐振子”。
常见的谐振子有：单摆、复摆、弹簧振子、LC 震荡电路 二、弹簧振子我们在前一节学习了“弹簧振子”，得到了如下结果：22220cos()sin()d x x dt x A t A t k m ωωϕυωωϕω⎧+=⎪⎪=+⎪⎨=-+⎪⎪=⎪⎩当0t =时，则：0cos x A ϕ=，0sin A υϕω-=联立解得：A = 振幅公式 10()tg x υϕω-=-初相公式 可见，振幅A 和初相ϕ取决于初始状态00(,)x υ。
弹簧振子的机械能：k p E E E =+221122kx m υ=+ 222211cos ()sin ()22kA t m A t ωϕωωϕ=+++ 2m k ω= 212kA =2212m A ω= 说明：弹簧振子的动能和势能都在随时间变化，但总机械能却保持不变，而且2E A ∝ 三、复摆如图，“任意刚体绕固定轴自由（未计任何阻力）摆动”可视为复摆。
根据刚体定轴转动定律：J M α=合外力矩J t d d ω=22J td d θ= 其中：M mgd =-合外力矩mgxsin θ=- 当θ很小时，则sin θθ∴ 22mgl d J dt θθ-=∴ 22mgl 0d J dtθθ+=令 2mglJω=∴ 2220d dtθωθ+=其解为： cos()A t θωϕ=+ 可见复摆做的亦是简谐振动。
其中，振幅A 是复摆的最大摆角(绝对值)，角频率ω=∴ 周期2T ω==复摆的摆动角速度为：sin()d A t dtθωωϕ=-+ ∴ 初始摆角： 0cos A θϕ=初始角速度为： 00sin t d A dtθωωϕ===-联立解得：A = 100()tg ωϕωθ-=-说明复摆的振幅A 和初相ϕ取决于初始状态00(,)θω。
LC 震荡电路也是一个谐振子，放到电磁学去学习。
四、应用举例：例一、参见教材P 59例4．1一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为m 12.0，周期为s 2。
0=t 时，位移为m 06.0，且向x轴正向运动。
（1）求物体振动方程；（2）设1t 时刻为物体第一次运动到m x 06.0-=处，试求物体从1t 时刻运动到平衡位置所用最短时间。
解：（1）设物体谐振动方程为()ϕω+=t A x cos由题意知 m A 12.0=1222-===S T πππω ?=ϕ〈方法一〉用数学公式求ϕϕcos 0A x =∵m A 12.0=,m x 06.00=∴2cos =ϕ ⇒ 3ϕ±=∵0sin 0>-=ϕωA v∴3πϕ-=⇒mt x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3cos 12.0ππ〈方法二〉用旋转矢量法求ϕ根据题意，有如左图所示结果∴3πϕ-= 图12-9⇒mt x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3cos 12.0ππ 由上可见，〈方法二〉简单 （2）〈方法一〉用数学式子求t ∆由题意有：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3cos 12.006.01ππt （∵πωω21=<T t ∴ππω231<-t ）⇒πππ3231=-t 或 π34∵此时03sin 11<⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ππωt A v∴πππ3231=-t⇒ s t 11=设2t 时刻物体从1t 时刻运动后首次到达平衡位置，有：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3cos 12.002ππt ⇒232πππ=-t 或π23 （∵πω22<t ∴ππω232<-t ）∵03sin 22>⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ππωt A v∴πππ2332=-t⇒s t 6112=st t t 65161112=-=-=∆〈方法二〉用旋转矢量法求t ∆由题意知，有左图所示结果，M 1为1t 时刻A末端位置，M 2为2t 时刻A末端位置。