2015高考数学一轮题组训练：9-3圆的方程
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套第八章平面解析几何第3节圆的方程
2009~2013年高考真题备选题库第8章 平面解析几何第3节 圆的方程考点 圆的方程1．（2010福建，5分）以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ； 选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.答案：D2．(2009·辽宁，5分)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2， 解得a ＝1，r ＝ 2.∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：B3．（2010新课标全国，5分）圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________．解析：由题意可知，原点到直线x ＋y －2＝0的距离为圆的半径，即r ＝|0＋0－2|2＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.答案：x 2＋y 2＝24．（2010广东，5分）已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2， 解得a ＝－2，故圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2. 答案：(x＋2)2＋y2＝2。
2015高考数学一轮题组训练：9-5与圆有关的综合问题
第5讲 与圆有关的综合问题基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________． 答案 42－12．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213.法二 设圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213. 答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF→的最小值是________． 解析 如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎨⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故|PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6. 答案 64．(2013·南京29中模拟)过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AB 的最小值为________．解析 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1，分别令x ＝0，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1y 0，所以AB ＝1x 20＋1y 20＝(x 20＋y 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋1y 20≥2. 答案 25．(2014·南通模拟)若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．解析由题意，得⎩⎨⎧d ＝|a ＋2|2≥1，a ＋1＋1≥0，解得a ≥2－2. 答案2－26．(2014·南京一中月考)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________． 解析 设O 到l 的距离为d 则|AB |＝1－d 2 直线l ：y ＝k (x －2)， S △AOB ＝12×d ×21－d 2 ＝d 1－d 2≤d 2＋1－d 22＝12，当且仅当d 2＝1－d 2即d 2＝12时取到最大值12， ∵d ＝|2k ||1＋k 2|∴12＝2k 21＋k 2∴k 2＝13又A 、B 两点在一、二象限，∴k ＜0，∴k ＝－33.答案 －337．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 △AOB 是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax ＋by ＝1的距离等于22，由点到直线的距离公式，得12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝1－b 22且b ∈[－2，2]．点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离为d ＝a 2＋(b －1)2＝ 12b 2－2b ＋2，因此当b ＝－2时，d 取最大值，此时d max ＝3＋22＝2＋1. 答案2＋18．(2012·北京师大附中检测)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是________．解析 如图所示，由题意，圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心是C (1,1)，半径为1，由P A ＝PB 易知四边形P ACB 的面积＝12(P A ＋PB )＝P A ，故P A 最小时，四边形P ACB 的面积最小．由于P A ＝PC 2－1，故PC 最小时P A 最小，此时CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0，P 为垂足， PC ＝|3＋4＋8|5＝3，P A ＝PC 2－1＝22，所以四边形P ACB 面积的最小值是2 2. 答案 2 2 二、解答题9．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝x2.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相离，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10．(2014·宿迁联考)已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ→的最小值； (3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ→的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得) (3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由⎩⎨⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 一定平行．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析 因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，设其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2，所以OP 2＝4，即x 20＋(－x 0＋22)2＝4，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 答案 (2，2)2．(2014·南师附中月考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 53．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1，解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 [－2－5，－2＋5] 二、解答题4．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点． (1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠P AQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围． 解 (1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ，∴k AM ＝1. ∴直线AM 的方程为y ＝x . 由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＋y －6＝0解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3， 即A (3,3)． 如图，连结MP . ∵∠P AM ＝12∠P AQ ，sin ∠P AM ＝PMAM ＝2(3－1)2＋(3－1)2＝22， ∴∠P AM ＝45 °，∴∠P AQ ＝90 °.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60 °， 只要使∠DAE ≥60 °.∵AM 平分∠DAE ， ∴只要30 °≤DAM ＜90 °.类似于第(1)题，只要12≤sin ∠DAM ＜1， 即2(a －1)2＋(b －1)2≥12且2(a －1)2＋(b －1)2＜1.又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即a 的取值范围是[1,5].。
2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练8-3《圆的方程》
1. [2012·辽宁高考]将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A. x ＋y －1＝0 B. x ＋y ＋3＝0 C. x －y ＋1＝0D. x －y ＋3＝0解析：直线过圆心(1,2)，选项C 符合题意． 答案：C2. [2013·沈阳模拟]已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A. 45 B. 25 C. 255D.105解析：(x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A. 答案：A3. [2014·湖北模拟]若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A. [1－22，1＋22]B. [1－2，3]C. [－1,1＋22]D. [1－22，3]解析：∵y ＝3－4x －x 2，∴1≤y ≤3， ∴(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即曲线y ＝3－4x －x 2表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，表示两曲线至少有一个公共点．符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间．当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，b ＝3；当直线y ＝x ＋b 与圆y ＝3－4x －x 2相切时，由点到直线的距离公式，得2＝|2－3＋b |2，∴|b －1|＝2 2.结合图形知b ＝1－2 2.∴1－22≤b ≤3，故选D. 答案：D4. [2014·太原质检]过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于B (2,1)，则圆C 的方程为________．解析：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意知：点(a ，b )既在直线y －1＝－(x－2)上，又在AB的垂直平分线上，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －3＝0，得圆心坐标为(3,0)，r ＝|AC |＝－2＋12＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.答案：(x －3)2＋y 2＝25. [2014·河北唐山]若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝k (x ＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m ＋4≤0⇒m ≥4.又由方程表示圆的条件，故有m 2－4×4>0⇒m <－4或m >4.综上可知m >4.答案：(4，＋∞)。
2015高考数学(人教A版)一轮课件：9-3圆的方程
2
5 ，圆心坐标
题型二
【例2】
与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
y (1)求 的最大值和最小值； x (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆． y (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， x y 所以设 ＝k，即y＝kx. x 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 |2k－0| ＝ 3，解得k＝± 3.(如图①) 2 k ＋1 y 所以 的最大值为 3，最小值为－ 3. x
答案：B
题型一
求圆的方程
【例1】 根据下列条件求圆的方程： (1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0 上； (2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于 点P(3，－2)； (3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
[解]
(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
|a＋a－4| |1＋1| ，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径 ＝ 2 2 2，所以圆的的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：B
5．(2014· 邹城模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且 与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( 72 A．(x－3) ＋(y－ ) ＝1 3
3 2 1 ＋ 2 ＋ x ＝ 4 5 2 x ＋ 1 4 ＋9，所以|PC|min＝3，故四边形面积的最
小值为2 2.
3 3 答案：(1) － 3 3
高考数学(理)一轮复习讲练测：专题9.3圆的方程(测)答案解析
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选择中，只有一个是切合题目要求的 .）1.若坐标原点在圆( x - m)2 + ( y + m)2 = 4 的内部，则实数m 的取值范围是（）（ A ）- 1< m < 1（B）- 3 < m <3（ C）- 2 < m < 2（D）- 2 < m < 222【答案】 C2.【 2015-2016 学年辽宁省要点高中协作校】已知圆心(a, b)(a 0,b0)在直线 y 2x 1上的圆 ,其圆心到x轴的距离恰巧等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2 5 ,则圆的方程为A．B．C．D．( x3) 2( y5)225 ( x2) 2( y3)29 ( x 2 )2( y7)249 339 ( x 2 )2( y7)249 339【答案】 Br b a2【分析】设圆的方程为x222，则b2a 1，解得b 3，a y brr 2a2r32因此圆的方程为x2y 3229 .3.过三点 A(1,3) ， B(4,2) ， C (1, 7) 的圆交 y 轴于 M， N 两点，则 | MN | ()A ．26B ．8C ．46D ．10【答案】 C4.若圆 C 经过 (1， 0)， (3，0)两点，且与y 轴相切，则圆 C 的方程为 ()(A) ( x 2)2( y 2)23 (B) ( x 2)2 ( y 3) 2 3 (C) (x2)2 ( y 2)24(D) ( x2)2 ( y3) 2 4【答案】 D【分析】因为圆 C 经过 (1， 0)， (3，0)两点，因此圆心在直线 x 2 ，又圆与 y 轴相切，所以半径 r2 ，2,b2 123 ， b 2 3,b3，选 D .设圆心坐标为，则 b 25.若点 P （11，）为圆 x 2 y 26x 0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为 ( )A ． 2x y 3 0B ． x 2y 1 0C ． x 2y 3 0D ． 2x y 1 0【答案】 D【分析】x 2y 26 x 0 化 为 标 准 方 程 为（ x 2y 29 ，3）P （11，）为 圆（2 2的弦 MN 的中点，x ）y 93∴圆心与点 P 确立的直线斜率为1＝- 1，∴弦 MN 所在直线的斜率为 2，1 3 2∴弦 MN 所在直线的方程为， 即2x y 1 0，故 选D ．y 1 （2 x 1）6.已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过 A(5, 2), B( 1,4) 两点，则圆 C 的方程是（）A. ( x 2)2y 217B. (x2)2y213C.( x 1)2y220D.(x 1)2y240【答案】 C7.已知圆C : x2y24x4 y0与 x 轴订交于A, B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为()A ．6B．C．2D．2 33【答案】 C【分析】令y0 ，得 x24x0 ，即圆与x轴的交点坐标为A( 0,0) B(4,0),即AB 4 ；而圆 C : x2y 2 4 x 4 y0,即x 2 2( y 2) 28 的半径为CA CB 2 2,则圆心角ACB.28.若P 2, 1 为圆 x12225的弦 AB 的中点，则直线AB 的方程是（）yA. x y 3 0B. 2x y 3 0C. x y 1 0D. 2x y 5 0【答案】 A【分析】圆的圆心为 C (1,0) .由圆的性质知，直线PC垂直于弦 AB 所在的直线,则k AB =-1,kPC即 k AB= -1011)1.又由直线的点斜式方程得直线AB 的方程为：kPC(12 y(1)x 2 ,即 x y 3 0 .应选 A .9.在圆x2y22x6y0 内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形 ABCD 的面积为()A．52B．102 C.152 D.20 2【答案】A10.【【百强校】 2017 届河北邯郸市高三 9 月联考】以( a,1)为圆心，且与两条直线2x y 40与2x y60 同时相切的圆的标准方程为（）A ．( x 1)2( y 1)25B．( x 1)2( y 1)25C．( x 1)2y25D．x2( y 1)25【答案】 A2x y 4 0 与 2x y6645【分析】因为两条直线0 的距离为d2，因此5所求圆的半径为r 5 ，因此圆心( a,1)到直线2x y40 的距离为2a142a34 ，又因为圆心(a,1) 到直线2x y60 的555即a 1或 a距离也为 r 5 ，因此 a 1 ，因此所求的标准方程为( x 1)2( y1)2 5 ，故应选 A .2y25,直线l :x cosy sin1 ( 0π11.已知圆O : x).设圆O上到直线l的距离等于21 的点的个数为k ,则 k（） .A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】圆心到直线的距离为d0 011.2y2 5 的半径r 5 ，圆 xcos2sin 2rl 的距离等于1，因此k4，1 ，联合图形可知，在直线l的双侧圆O上各有两个点到直线2选 D .12.已知圆C：( x a2 ) 2( y a) 21(a R) ，则以下命题：①圆C上的点到1,0的最64短距离的最小值为7；②圆 C 上有且只有一点P 到点1,0的距离与到直线 x3的距888离相等；③已知 A 3，在圆 C 上有且只有一点 P ，使得以AP 为直径的圆与直线x1 ,08 8相切 .真命题的个数为（）A ．0 B. 1 C.2 D. 3【答案】 D二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分。
高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件文北师大版3
2r2=(a-b)2+14.①
∵所求圆与 y 轴相切,∴r2=a2,②
又∵所求圆的圆心在直线 x-3y=0 上,
∴a-3b=0,③
= -3,
= 3,
联立①②③,解得 = 1, 或 = -1,
2 = 9
2 = 9.
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9,
-9考点1
考点2
考点3
(2)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
将 P,Q 两点的坐标分别代入得
2-4- = 20,①
3- + = -10.②
在圆C的方程中令y=0,得x2+Dx+F=0.③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6,即(x1+x2)2-4x1x2=36,
与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(A
)
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5
D.x2+(y-1)2=5
解析:由题意,得圆心在直线2x-y-1=0上,将点(a,1)代入可得a=1,即
|2-1+4|
= √5 ,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2
半径:r= 2 +2 -4
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),
(1)(x0-a)2+(y0-b)2 = r2⇔点在圆上;
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【知识点辨析】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆. ( )
(2)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆. ( )
(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.
0,所以圆心是两中垂线的交点(2,1),半径r= 212=51. 52
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25. 即x2+y2-4x-2y-20=0. 答案:x2+y2-4x-2y-20=0
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【解题新思维】 巧用圆的几何性质 【结论】求圆C上的动点P到定直线l的最值时,常用到以下结论: 设圆心到直线l的距离为d,圆C的半径为r, (1)当直线l与圆C相交时,点P到定直线l的距离最大值为d+r,最小值为0. (2)当直线l与圆C相切时,点P到定直线l的距离的最大值为2r,最小值为0. (3)当直线l与圆C相离时,点P到定直线l的距离的最大值为d+r,最小值为d-r.
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【常用结论】 1.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件：A=C≠0，B=0，且D2+E2-4AF>0. 2.解决与圆上点(x，y)有关的最值问题：转化为与圆心有关的最值问题. 3.过x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的切线方程：x0x+y0y=r2.
【走向高考】高考数学一轮总复习 9-3圆的方程课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习9-3圆的方程课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4[答案] A[解析]AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为：x2＋y2＝2.2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5[答案] D[解析]由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.3．(文)若圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5[答案] D[解析]考查了圆的标准方程及点到直线的距离．，设圆心为(a,0)，由题意r＝5＝|a|5∴|a|＝5，a<0，∴a＝－5，∴方程为(x＋5)2＋y2＝5.(理)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0[答案] B[解析] 设圆心为(0，b )，半径为R ，则R ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2， ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5， ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查直线与圆的位置关系． 圆的圆心为(a,0)，半径为2，所以|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2， ∴－2≤a ＋1≤2， ∴－3≤a ≤1.5．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2[答案] D[解析] 由条件知直线kx ＋2y －4＝0是线段PQ 的中垂线．∴直线过圆心(－1,3)，∴k ＝2.6．已知x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A ．9 B ．14 C ．14－6 5 D ．14＋6 5 [答案] D[解析] 方程表示以(－2,1)为圆心，半径r ＝3的圆， 令d ＝x 2＋y 2，则d 为点(x ，y )到(0,0)的距离，∴d max ＝(－2－0)2＋(1－0)2＋r ＝5＋3，∴x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2＝14＋6 5. 二、填空题7．圆(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0的圆心坐标为________． [答案] (－12－1)[解析] 圆方程(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0可化为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454，所以圆心坐标为(－12，－1)8．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.[答案] －2[解析] 由条件知，圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2在直线l ：x －y ＋2＝0上，代入得a ＝－2. 9．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． [答案] (x －2)2＋y 2＝10[解析] 本题考查了圆的方程的求法，关键是设出圆心坐标． 设圆心坐标为(a,0)，则有：(a －5)2＋12＝(a －1)2＋32， 解得：a ＝2，半径r ＝(2－5)2＋12＝10，故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 三、解答题10．根据下列条件，求圆的方程．(1)圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成两部分的圆的方程；(2)求经过两已知圆C 1x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与C 2x 2＋y 2－2y －4＝0的交点，且圆心在直线lx ＋4y ＝1上的圆的方程．[分析] 用直接法或待定系数法．[解析] (1)如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成两部分，所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.(2)由题意可设圆的方程为λ(x 2＋y 2－4x ＋2y )＋(x 2＋y 2－2y －4)＝0，(λ≠－1)， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－4λx ＋(2λ－2)y －4＝0， 圆心坐标为(2λ1＋λ，1－λ1＋λ)，代入lx ＋4y ＝1，得λ＝3.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.能力强化训练一、选择题1．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1[答案] C[解析] ∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上． ∴设C (m,3m )．又圆C 半径为1，且与4x －3y ＝0相切， ∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.故选C.2．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6][答案] A[解析] 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.二、填空题3．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述中：①关于直线x ＋y ＝0对称；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为2a .其中叙述正确是________．(要求写出所有正确命题的序号)[答案] ①③[解析] 圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确．4．(2014·江西高考)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．[答案] (x －2)2＋(y ＋32)2＝254[解析] 本题考查圆的方程求法．因为圆过(0,0)，(4,0)，可设其圆心(2，b )，方程为(x－2)2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 2＝r2|b －1|＝|r |，解得⎩⎨⎧b ＝－32r 2＝254，所以圆方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.三、解答题5．根据下列条件，求圆的方程.(1)经过坐标原点和点P (1,1)，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上. (2)过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3.[解析] (1)显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为： x 2＋y 2＝(x －1)2＋(y －1)2，即x ＋y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝02x ＋3y ＋1＝0，得圆心C 的坐标为(4，－3)．又圆的半径r ＝|OC |＝5，(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.① 将P 、Q 点的坐标分别代入①得：⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20，②D －3E －F ＝10③)令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0.④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1、y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤ 解②、③、⑤组成的方程组，得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0，或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8， ∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O .∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8b a ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0.(2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。
2015高考数学一轮配套课件：9-3圆的方程
诊断·基础知识
突破·高频第考五点页，编辑于星期培五养：十·解四点题十能分。力
2．对点与圆的位置关系的认识
(5)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋
Dx0＋Ey0＋F＞0.
(√)
(6)已知圆的方程为 x2＋y2－2y＝0，过点 A(1,2)作该圆的切线
的圆的标准第考二点页，编辑于星期培五养：十·解四点题十能分。力
2．圆的一般方程
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 可变形为x＋D2 2＋y＋E22＝
D2＋E42－4F，故有： (1)当 D2＋E2－4F＞0 时，方程表示以
－D2 ，－E2
为圆心，
D2＋E2－4F
诊断·基础知识
突破·高频第考十点四页，编辑于星培期养五：·解十四题点 能十分力。
(2)依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，将 A，B 点坐标分 别代入方程得51－ －aa22＋ ＋19＝ ＝rr22， ， 解得ar2＝＝21，0. 所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
• 答案 (1)(x－2)2＋(y－1)2＝1 (2)(x－2)2＋y2 ＝10
突破·高频第考二点十一页，编辑于培星养期五·解：十题四点能十力分。
考点三 与圆有关的轨迹问题 【例 3】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已
知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程； (2)若 P 点到直线 y＝x 的距离为 22，求圆 P 的方程．
诊断·基础知识
突破·高频第考二点十三页，编辑于培星养期五·解：十题四点能十力分。
•规律方法 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下 方法： •(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定 义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利 用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与 已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
高考数学一轮复习 第9章 解析几何9.3圆的方程练习(含
课时作业43 圆的方程一、填空题1．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是__________．2．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是__________．3．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，过点A(－1,0)的弦中，弦长的最大值为M，最小值为m，则M－m＝__________.4．(2012江苏扬州模拟)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为__________．5．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的方程为__________．6．(2012江苏南京高三模拟)已知圆C经过直线2x－y＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y2＝8x的焦点，则圆C的方程为________．7．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________．8．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且PA＝1，则P点的轨迹方程是__________．9．(2012江苏徐州高三质检)在平面直角坐标系中，已知点A(1，－2)，B(4,0)，P(a,1)，N(a＋1,1)，当四边形PABN的周长最小时，过点A，P，N的圆的圆心坐标是__________．二、解答题10．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c ＝0的距离为1，求实数c的取值范围．12．有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍．已知A，B两地距离为10千米，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求P 地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？参考答案一、填空题 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，113 解析：当点P 在圆的内部时，点P 到圆心的距离小于该圆的半径，即有(5a )2＋(12a )2＜1⇒a 2＜1132⇒|a |＜113⇒－113＜a ＜113.2．6 2 解析：所给圆的圆心坐标为(2,2)，半径为r ＝32，圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离d ＝|2＋2－14|2＝5 2.∴所求的最大距离与最小距离的差为(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝6 2. 3．10－27 解析：点A 在⊙C 内，过点A 的最大弦长为直径10， ∴M ＝10.∵弦长最小的弦与AC 垂直(即以A 为中点的弦)，∴m ＝252－CA 2＝27. ∴M －m ＝10－27.4．x 2＋y 2＝2 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，则r ＝|－2|2＝ 2.所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.5．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 解析：圆心在AB 中垂线y ＝－3上又在2x －y －7＝0上， ∴C (2，－3)，CA ＝ 5. 6．x 2＋y 2－x －y －2＝0 解析：方法一：直线2x －y ＋2＝0与坐标轴的交点为A (－1,0)，B (0,2)，抛物线y 2＝8x 的焦点为D (2,0)，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0.方法二：可以利用圆心在弦的垂直平分线上的特点，先求出圆心，并求出半径，再求．7．(x －3)2＋y 2＝2 解析：∵由已知得圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C .又∵圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1. ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)． ∴r ＝BC ＝3－22＋0－12＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.8．(x －1)2＋y 2＝2 解析：作图可知圆心(1,0)到点P 的距离为2，所以P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，其轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.9.⎝⎛⎭⎪⎫3，－98 解析：因为AB ，PN 长已知，所以四边形PABN 的周长最小，即AP ＋NB 最小．AP ＋NB ＝a －12＋32＋a －32＋12，AP 可以看成点(a,0)到(1,3)的距离，NB 可以看成(a,0)到(3,1)的距离．因为点(1,3)关于x 轴的对称点的坐标为(1，－3)，当三点共线时，AP ＋NB 最小，即a ＝52.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1. 因为过A ，P ，N 的三点的圆的圆心就是AP ，AN 的中垂线的交点，求得圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，－98. 二、解答题10．解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点坐标为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心坐标为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①②，得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.11．解：如图，圆x 2＋y 2＝4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，问题转化为原点(0,0)到直线 12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |122＋52＜1，|c |＜13，∴－13＜c ＜13.12．解：如图，以A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，∵AB ＝10，∴A (－5,0)，B (5,0)．设P (x ，y )，P 到A ，B 两地购物的运费分别是3a ，a 元/千米．当由P 地到A ，B 两地购物费用相等时，有价格＋A 地运费＝价格＋B 地运费， ∴3a ·x ＋52＋y 2 ＝a ·x －52＋y 2.化简整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542.当点P 在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，0为圆心、154为半径的圆上时，居民到A 地或B 地购货总费用相等； 当点P 在上述圆内时，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1542，∴[9(x ＋5)2＋9y 2]－[(x －5)2＋y 2]＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＜0.∴3x ＋52＋y 2＜x －52＋y 2.故此时到A 地购物合算；当点P 在上述圆外时， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1542，∴[9(x ＋5)2＋9y 2]－[(x －5)2＋y 2]＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＞0.∴3x ＋52＋y 2＞x －52＋y 2.故此时到B 地购物合算．。
2015高考数学一轮课件：第9章 9.3 圆的方程
点 P(3，－2).
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十三页，编辑于星期五：十三点 五十三分。
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 与 x 轴相切，圆心在直线 3x－y＝0 上，且被直线
x－y＝0 截得的弦长为 2 7的圆的方程为_(_x_－__1_)_2＋__(_y_－__3_)_2＝__9__
题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
思维启迪
解析
思维升华
【例 1】 根据下列条件，求圆
的方程：
(1)设圆的一般方程，利用待定
(1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1) 系数法求解.
两点，并且在 x 轴上截得的弦
(2)求圆心和半径，确定圆的标
长等于 6；
准方程.
(2)圆心在直线 y＝－4x 上，且
与直线 l：x＋y－1＝0 相切于
与圆有关的最值问题
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 已知实数 x、y 显然实数 x，y 所确定的点在圆
满足方程 x2＋y2－4x＋1
＝0.求： (1)xy的最大值和最小值；
x2＋y2－4x＋1＝0 上运动， 而y则可看成是圆上的点与原点
x
连线的斜率，
(2)y－x 的最小值；
y－x 可以转化为截距，x2＋y2
_或__(_x_＋__1_)2_＋__(_y_＋__3_)2_＝__9_.
解析 设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线
x－y＝0
的距离为|a－b|， 2
∴r2＝(|a－2b|)2＋( 7)2，即 2r2＝(a－b)2＋14.
2015高考数学一轮精品课件：9.3 圆的方程
第九章
9.3
圆的方程
考纲要求
梳理自测
梳理自测
3.方程|x|-1= 1-(-1)2 所表示的曲线是(
A.一个圆
B.两个圆
C.半个圆
D.两个半圆
探究突破
巩固提升
)
关闭
由题意得
(||-1)2 + (y-1)2 = 1,
||-1 ≥ 0.
2
2
(-1)
+
(y-1)
= 1,
即
≥1
( + 1)2 + (y-1)2 = 1,
与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应有
不同:若求轨迹方程,把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,
指出轨迹是什么样的曲线.
考点一
考点二
考点三
第十九页，编辑于星期五：十三点 六分。
第九章
9.3
圆的方程
考纲要求
梳理自测
探究突破
第九章
9.3
圆的方程
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
方法提炼
常见的求圆的方程的方法有两种:一是利用圆的几何特征,求出圆心坐
标和半径长,写出圆的标准方程;二是利用待定系数法,它的应用关键是根据
已知条件选择标准方程还是一般方程.如果给定的条件易求圆心坐标和半
径长,则选用标准方程求解;如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及
关闭
x2+y2=2
解析
答案
第十页，编辑于星期五：十三点 六分。
第九章
9.3
圆的方程
考纲要求
北师大版高中数学一轮复习第九章9.3圆的方程word版下载
课时作业45 圆的方程一、选择题1．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( )．A ．x 2＋y 2－2x －1＝0B ．x 2＋y 2－2x －3＝0C ．x 2＋y 2＋2x －1＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝02．如果圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝1关于直线l ：mx ＋4y －1＝0对称，则直线l 的斜率为( )．A ．4B ．－4 C.14 D ．－14 3．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)4．(2012重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( )．A ．1 B. 2 C. 3 D ．25．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )．A ．(x －1)2＋(y －3)2＝⎝⎛⎭⎫185 2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝⎝⎛⎭⎫1652 C ．(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9 D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9 6．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是( )．A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x7．已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )．A ．6 B.112 C ．8 D.212二、填空题8．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为__________．9．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为____________________．10．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是__________．三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．12．已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点．(1)求P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值；(2)求x －2y 的最大值和最小值；(3)求y －2x －1的最大值和最小值．参考答案一、选择题1．B 解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，展开得x 2＋y 2－2x －3＝0.2．D 解析：依题意，得直线mx ＋4y －1＝0经过点(－3,1)，所以－3m ＋4－1＝0.所以m ＝1，故直线l 的斜率为－14. 3．A 解析：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2.由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b ＜4.4．D 解析：由已知条件可知直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心，所以AB 为圆x 2＋y 2＝1的直径，|AB |＝2，故选D. 5．C 解析：设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，3a (a ＞0)， 则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d (a )＝⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋35＝35⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋1≥35(4＋1)＝3， 当且仅当a ＝2时等号成立．此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，圆的半径为3，方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9. 6．B 解析：作图可知圆心(1,0)到P 点距离为2，所以P 在以(1,0)为圆心，以2为半径长的圆上，其轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.7．B 解析：如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0， 圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112. 二、填空题8.2 解析：∵方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.∴圆心为(1，－2)．∴点(1，－2)到直线x －y －1＝0的距离d ＝|1＋2－1|2＝ 2. 9．(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝254解析：对于直线3x －4y ＋12＝0，当x ＝0时，y ＝3； 当y ＝0时，x ＝－4.即以两点(0,3)，(－4,0)为端点的线段为直径，则r ＝32＋422＝52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，32，即⎝⎛⎭⎫－2，32. ∴圆的方程为(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝254. 10．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析：由题意可设圆心A (a ，a )， 如图，则22+22=2a 2，解得a =±2，r 2=2a 2=8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.三、解答题11．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|P A |＝210.∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．解：(1)圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋42＝65. ∴P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝115，最小值为d －r ＝65－1＝15. (2)设t ＝x －2y ，则直线x －2y －t ＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点．∴|－2－t |12＋22≤1.∴－5－2≤t ≤5－2. ∴t max ＝5－2，t min ＝－2－ 5.(3)设k ＝y －2x －1， 则直线kx －y －k ＋2＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点，∴|－3k ＋2|k 2＋1≤1.∴3－34≤k ≤3＋34. ∴k max ＝3＋34，k min ＝3－34.。
高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第九章解析几何9.3圆的方程Word版含答案
§ 9.3圆的方程考纲展现 ?1.掌握确立圆的几何因素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．考点 1圆的方程1.圆的定义及方程答案：定点定长( a，b)r2．点与圆的地点关系(1)理论依照： ________到 ________的距离与半径的大小关系．(2)三种状况：圆的标准方程 ( x－a) 2＋ ( y－b) 2＝r2，点M( x0，y0) ．①(x0－ )2＋(y0－) 2________2a b r ?点在圆上；②( x0222－ a)＋( y0－b) ________r?点在圆外；③(x 0－ )2＋(y0－) 2________2a b r ?点在圆内．答案： (1) 点圆心 (2) ①＝②> ③<(1)[教材习题改编] 圆x 2＋ y 2－ 2ax ＋ 4ay ＝ 0( a ≠0) 的圆心坐标是________，半径r ＝________.答案： ( a ，－ 2a )5| a |分析： 依据圆的一般方程的圆心公式和半径公式，可得圆的圆心坐标为( a ，－ 2a ) ，半径为 5| a |.(2)[ 教材习题改编 ] 以线段 AB ：x ＋ y － 2＝0(0 ≤ x ≤2) 为直径的圆的方程为 ________．答案： ( x －1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 2分析： 线段 AB ： x ＋ y － 2＝0(0 ≤ x ≤2) 的两头点分别为 (2,0) ， (0,2) ，所以圆心为 (1,1) ，圆的半径为 122＋ 22＝ 2，2所以圆的方程为 ( x － 1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 2.圆的一般方程：注意表示圆的条件．(1) 方程 x 2＋ y 2＋ax ＋ 2ay ＋ 2a 2＋ a －1＝ 0 表示圆，则 a 的取值范围是 ________．2答案： － 2<a <3分析： ∵方程 x 2＋ y 2＋ ax ＋ 2ay ＋ 2a 2＋ a － 1＝0 表示圆，∴ a 2＋(2 a ) 2－ 4(2 a 2＋ a － 1)>0 ，2解得－ 2<a <3.(2) 圆 x 2＋ y 2－ 2ax ＋ 4y ＋ a ＝ 0 的半径为 2，则 a ＝ ________.答案：0或1分析： 由题意可知， 1 4 2＋16－4 ＝a2－ ＋ 4＝ 2，解得＝0或1，2 a a aa经查验都知足题意，所以a ＝ 0 或 1.[典题 1](1) 求经过点 ( － 2,4) ， (3 ，－ 1) 两点，而且在x 轴上截得的弦长等于 6 的P Q圆的方程．[ 解]设圆的方程为 x 2 ＋y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0( D 2＋ E 2－ 4F ＞ 0) ，将 P， Q两点的坐标分别代入得2D－ 4E－F＝ 20，①3D－E＋F＝－ 10. ②又令 y＝0，得 x2＋ Dx＋ F＝0.③设 x1，x2是方程③的两根，由| x1－x2| ＝ 6，得D2－ 4F＝36，④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8D＝－6，或 E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋ y2－2x－4y－8＝0或 x2＋ y2－6x－8y＝0.(2) 圆心在直线x－ 2y＝ 0 上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为 2 3，求圆 C的标准方程．[ 解]解法一：因为圆C 的圆心在直线－ 2＝ 0 上，且与y轴的正半轴相切，x y所以设圆心 C(2 b， b)( b>0)，半径 r ＝2b.又圆C 截x轴所得弦的长为 2 3，圆心C到x轴的距离为，b所以由勾股定理b2－ b2＝3，解得 b＝1.所以圆 C的标准方程为( x－ 2) 2＋ ( y－ 1) 2＝4.解法二：因为圆C的圆心在直线x－2y＝0上，设圆心C(2 b， b)，所以圆 C的方程为( x－2b)2＋( y－ b)2＝ r 2，因为圆C 与y轴正半轴相切，则r＝2>0. ①b又圆 C截 x 轴所得弦的长为23，由勾股定理，得圆心 C到x 轴的距离为r 2－ b2＝ 3.②联立①②，得b＝1，r ＝2.所以圆 C的标准方程为( x－2)2＋( y－1)2＝4.[ 画龙点睛 ]求圆的方程时，应依据条件采纳适合的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，经过研究圆的性质从而求出圆的基本量．确立圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．考点 2与圆相关的最值问题[ 考情聚焦 ]与圆相关的最值问题也是命题的热门内容，它侧重考察数形联合与转变思想．主要有以下几个命题角度：角度一斜率型最值问题[典题 2][2017 ·辽宁抚顺模拟 ] 已知实数x ， y 知足方程2＋ 2－ 4 ＋ 1＝ 0，求 y的最大x yxx值和最小值．[ 解] 原方程可化为 ( x － 2) 2＋ y 2＝3，表示以 (2,0) 为圆心， 3为半径的圆．yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y所以设 x ＝ k ，即 y ＝ kx .当直线 y ＝ kx 与圆相切时 ( 如图 ) ，斜率 k 取最大值或最小值，|2 k － 0| 3， 此时 k 2＋ 1 ＝ 解得 k ＝±3.y所以 x 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二截距型最值问题[ 典题 3]在[ 角度一 ] 条件下求 y － x 的最大值和最小值．[ 解] y － x 可看作是直线 y ＝ x ＋ b 在 y 轴上的截距，如下图，|2 －0＋ b |当直线 y ＝ x ＋ b 与圆相切时，纵截距b 获得最大值或最小值，此时＝ 3，2解得 b ＝－ 2± 6.所以 y － x 的最大值为－ 2＋6，最小值为－ 2－ 6.角度三距离型最值问题[ 典题 4]在[ 角度一 ] 条件下求 x 2＋ y 2 的最大值和最小值．[ 解] 如下图，x 2＋ y 2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处获得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为－2＋－2＝ 2，所以 x 2＋ y 2 的最大值是 (2 ＋ 3) 2＝7＋ 43，x 2＋ y 2 的最小值是 (2 － 3) 2＝ 7－4 3.角度四成立目标函数求最值问题[典题 5] 已知圆 C ： ( x －3) 2＋ ( y － 4) 2＝ 1 和两点 A ( － m,0) ， B ( m,0)( m ＞ 0) ．若圆 C 上 存在点 ，使得∠＝90°，则的最大值为 ()PAPBmA ．7B ．6C ．5D ．4[ 答案] B[ 分析]由( x － 3) 2＋ ( y － 4)x 0＝ 3＋ cos θ ， 2＝ 1 知，圆上点 P ( x 0， y 0 ) 可化为y 0＝4＋ sin θ.→ →∵∠ APB ＝90°，即 AP · BP ＝ 0，∴( x 2 ＝ 0，＋ m )( x － m ) ＋ y0 0 0222 θ∴m ＝x 0＋ y 0＝ 26＋ 6cos θ ＋8sin3＝ 26＋ 10sin( θ ＋ φ ) ≤36 此中 tan φ ＝4 ，∴0＜ m ≤6，即 m 的最大值为 6.[ 画龙点睛 ] 求解与圆相关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求最值办理与圆相关的最值问题，应充足考虑圆的几何性质，并依据代数式的几何意义，借助数形联合思想求解．(2)成立函数关系式求最值依据题目条件列出对于所求目标式子的函数关系式，而后依据关系式的特点采纳参数法、配方法、鉴别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．考点 3与圆相关的轨迹问题1(1)[ 教材习题改编 ] 已知点P与两个定点O(0,0)， A(－3,3)的距离之比为2，则点 P 的轨迹方程是 ________．答案： x2＋ y2－2x＋2y－6＝0||1分析：依题意，得PO＝ .|PA|2设 P( x， y)，则x2＋y21 x＋2＋ y－2＝2，整理得 x2＋ y2－2x＋2y－6＝0.(2)[ 教材习题改编 ] 若点 (1,1) 在圆 ( x－a)2＋ ( y＋a) 2＝4 的内部，则实数 a 的取值范围是________．答案： ( － 1,1)分析：因为点 (1,1)在圆 ( x－a)22＝ 4 的内部，所以222＋ ( y＋a)(1 －a) ＋(1＋ a) <4，即 a <1，故－ 1<a<1.1.求圆的标准方程：几何法．经过三点 A(4,0)， B(0,2)， C(1,3)的圆的方程为________．答案： ( x－2) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 53－ 2 3－0分析：因为 k BC· k AC＝1－0·1－4＝－1，所以 AC⊥ BC，所以△ ABC是直角三角形，AB 是斜边，1122所以所求圆的圆心坐标为(2,1) ，半径r＝2|AB|＝24＋2＝5，所以所求圆的方程为(x －2) 2＋(－ 1) 2＝5.y2．求圆的一般方程：待定系数法．△ABC的三个极点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，其外接圆的方程为 ________．答案：x 2＋y2－ 4 －2 －20＝0x y分析：解法一：设所求圆的方程为x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝0.－D＋5E＋ F＋26＝0，由题意有－2D－ 2E＋F＋ 8＝ 0，5D＋ 5E＋F＋50＝ 0，D＝－4，解得E＝－2，F＝－20.故所求圆的方程为x2＋ y2－4x－2y－20＝0.解法二：由题意可求得线段AC的中垂线方程为x＝2，线段 BC的中垂线方程为x＋ y－3＝0，则圆心是两中垂线的交点(2,1) ，半径r＝＋2＋－2＝5.故所求圆的方程为( x－ 2) 2＋ ( y－1) 2＝ 25.[ 典题 6]设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹．[ 解]如下图，设 (，) ， (0，0)，P x y N x yx y则线段 OP的中点坐标为2，2，x0－3y0＋4线段的中点坐标为，.MN22因为平行四边形的对角线相互均分，x x0－3 y y0＋4故2＝2，2＝2.x0＝ x＋3，从而y0＝ y－4.又 N( x＋3，y－4)在圆上，故( x＋3)2＋( y－4)2＝4.所以所求轨迹为圆( x＋ 3) 2＋ ( y－4) 2＝ 4，9122128但应除掉两点－5，5和－ 5，5 ( 点P在直线OM上时的状况 ) ．[ 画龙点睛 ]求与圆相关的轨迹问题时，依据题设条件的不一样常采纳以下方法：(1)直接法：直接依据题目供给的条件列出方程．(2)定义法：依据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4) 代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点知足的关系式等.已知圆 x2＋ y2＝4上必定点 A(2,0)， B(1,1)为圆内一点， P， Q为圆上的动点．(1)求线段 AP中点的轨迹方程；(2)若∠ PBQ＝90°，求线段 PQ中点的轨迹方程．解： (1) 设的中点为(， ) ，由中点坐标公式可知，点P 的坐标为 (2x－2,2y)．AP M x y因为点 P 在圆 x2＋ y2＝4上，所以 (2 x－ 2) 2＋(2 y) 2＝ 4.故线段 AP中点的轨迹方程为( x－ 1) 2＋y2＝1.(2)设 PQ的中点为 N( x， y)．在 Rt △PBQ中， | PN| ＝ | BN|.设 O为坐标原点，连结 ON，则 ON⊥ PQ，所以 | OP| 2＝ | ON|2＋ | PN| 2＝ | ON| 2＋ | BN| 2，所以 x2＋ y2＋( x－1)2＋( y－1)2＝4.故线段 PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－ x－ y－1＝0.[ 方法技巧] 1. 求圆的方程时，应依据条件采纳适合的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1) 几何法，经过研究圆的性质从而求出圆的基本量．(2) 代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．2．解答圆的问题，应注意数形联合，充足利用圆的几何性质，简化运算．3．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．4．圆心在任一弦的中垂线上．5．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．[ 易错防备 ]求轨迹方程和求轨迹是有区其他，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．真题操练集训1．[2015 ·新课标全国卷Ⅰ] 一个圆经过椭圆x2＋y2＝1的三个极点，且圆心在x 轴的正164半轴上，则该圆的标准方程为 ________．答案： x－3 2＋y2＝25 24分析：由题意知， a＝4， b＝2，上、下极点的坐标分别为(0,2) ， (0 ，－ 2) ，右极点的坐标为 (4,0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知，圆过点(0,2)， (0 ，－ 2) ， (4,0) 三点．设圆的标准方程为 ( x－m) 2＋y2＝r2(0 ＜m＜ 4，r＞ 0) ，32＋ 4＝r2m＝2，，m则－ m2＝ r 2，解得252r＝ .4所以圆的标准方程为32225 x－＋ y ＝.242．[2014 ·陕西卷 ] 若圆C的半径为 1，其圆心与点 (1,0)对于直线 y＝x 对称，则圆 C的标准方程为 ________．答案： x2＋( y－1)2＝1分析：因为点 (1,0) 对于直线y＝x对称的点的坐标为 (0,1) ，所以所求圆的圆心为 (0,1) ，半径为1，于是圆C的标准方程为x2＋( y－ 1) 2＝ 1.3．[2016 ·江苏卷 ] 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以 M为圆心的圆M：x2＋ y2－12x －14y＋60＝ 0 及其上一点A(2,4) ．(1)设圆 N与 x 轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线 x＝6上，求圆 N的标准方程；(2)设平行于 OA的直线 l 与圆 M订交于 B， C两点，且 BC＝ OA，求直线 l 的方程；→→ →(3)设点 T( t, 0)知足：存在圆 M上的两点 P和 Q，使得 TA＋ TP＝ TQ，务实数 t 的取值范围．解：圆 M的标准方程为( x－6)2＋( y－7)2＝25，所以圆心 M(6,7)，半径为 5.(1)由圆心 N在直线 x＝6上，可设 N(6， y0)．因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M外切，所以0<y0<7，于是圆N的半径为 y0，从而7－y0＝5＋ y0，解得 y0＝1.所以，圆 N的标准方程为( x－6)2＋( y－1)2＝1.4－ 0(2)因为直线 l ∥OA，所以直线 l 的斜率为2－0＝2.设直线 l的方程为y＝2x＋ m，即2x－ y＋m＝0，则圆心 M到直线 l的距离|2 ×6－ 7＋m|| m＋ 5|.d＝＝55因为 BC＝ OA＝22＋42＝25，22BC2而 MC＝ d＋2，＋2所以 25＝m＋ 5，解得m＝5 或m＝－15.5故直线 l 的方程为2x－ y＋5＝0或2x－ y－15＝0.(3)设 P( x1， y1)， Q( x2， y2)．→→ →因为 A(2,4)， T( t, 0)， TA＋ TP＝ TQ，x2＝ x1＋2－ t ，所以①y2＝ y1＋4.因为点 Q在圆 M上，所以( x2－6)2＋( y2－7)2＝25.②将①代入②，得( x1－t－4) 2＋ ( y1－ 3) 2＝ 25.于是点 P( x1， y1)既在圆 M上，又在圆[ x－( t ＋4)]2＋( y－3)2＝25上，从而圆 ( x－6) 2＋ ( y－ 7) 2＝ 25 与圆 [ x－ ( t＋ 4)] 2＋ ( y－ 3) 2＝ 25 有公共点，所以 5－5≤t ＋－6]2＋－2≤5＋5，解得 2－ 2 21≤t≤2＋ 2 21.所以，实数t 的取值范围是[2－221，2＋ 2 21 ] ．课外拓展阅读圆中防止求“交点”的几种策略相关圆锥曲线与圆的交点问题，若用解方程组的方法求出交点坐标，常常比较繁琐，有些甚至没有必需，下边举例介绍怎样防止求“交点”的几种策略：1．整体代入法[ 典例 1] 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝ 0 和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝ 0 交于两点A， B，则公共弦 AB所在的直线方程为________．[ 分析 ]设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0任一交点的坐标是 ( x0，y0) ，2 2则 x0＋ y0＋ D1x0＋ E1y0＋F1＝0，①22x0＋y0＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②①－②，得 ( D1－D2) x0＋ ( E1－E2) y0＋ ( F1－F2) ＝ 0，因为 A， B 的坐标都知足方程( D1－D2) x＋ ( E1－E2) y＋ ( F1－F2) ＝ 0，③所以③是过A， B 两点的直线方程．而过A， B 两点的直线是独一的，故方程③就是公共弦AB所在的直线方程．[ 答案]( D1－D2) x＋ ( E1－E2) y＋F1－F2＝ 02．数形联合法[ 典例2]已知曲线xy ＝1与圆M： x2＋ y2－4x－4y＋3＝0订交于A， B 两点，则AB的中垂线方程为________．[ 分析]曲线xy＝1是反比率函数，其图象对于直线y＝x对称，而圆M的圆心(2,2)在直线y＝x 上，就是说圆M也对于直线y＝ x 对称，故AB的中垂线方程为y＝ x.[ 答案 ] y＝x方法点睛数形联合思想，经过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题详细化，常常能起到化繁为简，化难为易的作用，使一些看似复杂的问题经过作图得以轻松解决．3．根与系数之间的关系[ 典例 3] 过点A(0,3) 作直线l与圆C：x2＋y2－ 2x－4y－ 6＝ 0 交于P，Q两点，且OP⊥OQ，则直线 l 的方程为________．[ 分析 ]由题意，斜率不存在的直线不切合题意，设直线 l ： y＝ kx＋3，代入圆的方程式整理，得(1 ＋k2) x2＋ 2( k－ 1) x－ 9＝ 0.设 P( x1， y1)， Q( x2， y2)，－ 9－ k－则 x1x2＝1＋k2，＋x2＝1＋k2. ①x1所以 y1y2＝( kx1＋3)( kx 2＋3)＝ k 2x 1x 2＋ 3k ( x 1＋ x 2) ＋ 9 － 6k 2＋ 6k ＋9＝1＋ k 2. ②而 OP ⊥ OQ ? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，联立①②解得， k ＝ 0 或 k ＝ 1，故所求直线为 y ＝ 3 或 x － y ＋ 3＝ 0.[ 答案 ] y ＝ 3 或 x － y ＋3＝ 04．巧设方程法[典例 4]过点 A (0,1)， B (4 ， m ) 且与 x 轴相切的圆有且只有一个，务实数m 的值和这个圆的方程．[ 解] 设所求的圆的方程为 ( x －a ) 2＋ ( y － b ) 2＝ r 2，此中 r 2＝ b 2.将 A ， B 的坐标代入，得a 2＋ 1－ 2b ＝ 0，22a － 8a ＋ 16＋ m － 2mb ＝0.消去 b ，得 22 (1 － m ) a － 8a ＋ ( m － m ＋ 16) ＝ 0.(*)由题设，得悉方程 (*) 只有一解．所以(1) 当 1－ m ＝0，即 m ＝ 1 时，方程 (*) 只有一解，5此时 a ＝ 2，b ＝ .255故所求方程为 ( x － 2) 2＋ y － 2 2＝ 2 2.(2) 当 m ≠1时，方程 (*) 为对于 a 的一元二次方程，故 ＝ 0，解得 m ＝ 0，17此时 a ＝ 4，b ＝ 2 .217 217 2故所求方程 ( x － 4) ＋ y－＝ 2 . 2 提示 达成课时追踪检测(四十九)。
【状元之路】(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 10-3圆的方程同步检测(2)文
【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 10-3圆的方程同步检测（2）文一、选择题1．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0， ∴直线恒过定点(－1,2)，∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案：C2．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(0,0)，直线AB 的斜率为k AB ＝－1， 则过点C 且垂直于AB 的直线方程y ＝x ，圆心坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得y ＝x ＝1，从而圆的半径为－2＋[1－－2＝2，因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：C3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设点(x ，y )与圆C 1的圆心(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋1＝－1，x －12－y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.从而可知圆C 2的圆心为(2，－2)，又知其半径为1， 故所求圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B4．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都有可能解析：由已知条件1a 2＋b2<1，即a 2＋b 2>1.因此点P (a ，b )在圆外． 答案：B5. 已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( ) A ．8 B ．－4 C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 答案：C6．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．答案：C7．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：设圆心为(0，b )，半径为R ，则R ＝b ，圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5， ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 答案：B8．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆 x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22D.3－22解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1，∴S min ＝12×(22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2 .答案：A9．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by －4＝0对称，则a 2＋b 2的最小值是( ) A ．2 B. 3 C. 2D ．1解析：由题意知圆心(－1,2)在直线2ax ＋by －4＝0上，则有－2a ×1＋2b －4＝0，∴b －a ＝2. 方法一：a 2＋b 2的几何意义是原点与直线b －a ＝2上点的距离的平方，再利用点到直线的距离公式易得点(0,0)到直线b －a ＝2的距离为d ＝2，则a 2＋b 2的最小值为2.方法二：a 2＋b 2＝a 2＋(a ＋2)2＝2a 2＋4a ＋4＝2(a ＋1)2＋2≥2.当a ＝－1时等号成立，故a 2＋b 2的最小值为2.答案：A10．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案：C 二、填空题11．若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是__________．解析：令x ＝0，可得y 2＋2my ＋m ＋6＝0，由题意知，此方程有两个不相等且同号的实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6>0，4m 2－m ＋，解得－6<m <－2或m >3.答案：－6<m <－2或m >312．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案：x ＋y －1＝013．若圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点(x ，y )都使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ≥0的右上方． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥0，|1＋m |2≥1.∴m 的取值范围是m ≥－1＋ 2. 答案：m ≥－1＋ 214．已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆x 2＋y 2＝2上两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝__________.解析：O A →＝(x 1，y 1)，O B →＝(x 2，y 2)，〈O A →，O B →〉＝120°， 则x 1x 2＋y 1y 2＝O A →·O B →＝|O A →|·|O B →|cos120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－1. 答案：－1 三、解答题15．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解析：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－( x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)， ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或 (x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 答案：(1)x ＋y －3＝0；(2)(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直， 知O 、C 两点的斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a ， 又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧m －2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，m ＋2＋n －2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意．答案：(1) (x ＋2)2＋(y －2)2＝8；(2)存在，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125.创新试题 教师备选 教学积累 资源共享1．[2014·常州模拟]以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝3 C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋22＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.答案：B2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．答案：B3．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－2＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.答案：B4．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为__________． 解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝95．[2014·河南三市调研]已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝106．[2014·吉林摸底]已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解析：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆． (2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ， 则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15， 因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552， 解得m ＝4.答案：(1)m ＜5；(2)4.。
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第3讲 圆的方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是________．解析 AB 的中点坐标为(0,0)，|AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.答案 x 2＋y 2＝22．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过第________象限．解析 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ， 则a ＜0，b ＞0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a ＞0，－b a ＞0，直线不经过第四象限．答案 四3．(2014·银川模拟)圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________．解析 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2，∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5，∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.答案 x 2＋y 2－10y ＝04．两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析 联立⎩⎨⎧y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a ，解得P (a,3a )，∴(a －1)2＋(3a －1)2＜4，∴－15＜a ＜1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 5．(2014·东营模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝16．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.答案 x ＋y －1＝07．(2014·南京调研)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为______．解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2. 答案 2 8．若圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点(x ，y )都使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析 据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，所以有⎩⎨⎧ 1＋m ≥0，|1＋m |2≥1. 解得m ≥－1＋ 2.故m 的取值范围是[－1＋2，＋∞)．答案 [－1＋2，＋∞)二、解答题9．求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；(2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．解 (1)法一 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)法一 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎨⎧ 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.法二 由A (1,12)，B (7,10)，得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的垂直平分线方程为3x －y －1＝0.同理得AC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝(1－1)2＋(2－12)2＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.10．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)． 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·东莞调研)已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为________．解析 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m 2＋3＝0，∴m ＝6. 答案 62．(2014·烟台二模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点F 的距离为5，则以M 为圆心且与y 轴相切的圆的方程为________．解析 抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，所以|MF |＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5，解得p ＝8，即抛物线方程为y 2＝16x ，又m 2＝16，m ＞0，所以m ＝4，即M (1,4)，所以半径为1，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －4)2＝1.答案 (x －1)2＋(y －4)2＝13．已知平面区域⎩⎨⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析 由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故其圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径为|PQ |2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.答案 (x －2)2＋(y －1)2＝5二、解答题4．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．解 法一 将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m 5.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2.∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m 5. 故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＝202－4×5×(12＋m )＝20(8－m )＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，且圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的圆心为O1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2，∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y1＋y 22＝2.即M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 21.∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 21，即r 21＝5，|MQ |2＝r 21.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2.∴1＋(－6)2－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5.∴m ＝3，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.。