10第十章波动学基础
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第10篇波动学基础
波动过程的几何描述 波线 表示波传播方向的射线，波线恒与波面垂直。
波面 波动空间中振动相位相同的点所联成的面。
波前 在波传播方向上最前面的那个波面。（波阵面）
惠更斯原理
波所到达的每一点都可看作发射次级子波 的波源，新的波阵面就是这些次级子波波 阵面的包迹。
波前
平 面
波面
球 面
波
波线
波
6
习题 P312 10-4
说明质元此时位于 y 轴负向0.04m处，以速度0.92m/s的 速度向 y 轴正向运动。
17
（3） t1=1.0 s ，t2=1.5 s 此段时间内传播距离为：
x ut 2.50.5m 1.25m
已知 x1=0.2 m
x x1 x 1.45m
在t2=1.5 s时传到波线上1.45m处
18
x2 u
)
]
A cos[ (t1
t
x1
x u
)
]
x ut
说明波形以波速 u 向前传播，当t 和 x 均变时，波动方程 描绘出了波形不断向前推进的动态图景。
14
x ut 如果 t mT （m 为整数）
波线上每一质元完全重复 t 时刻的运动状态，这表明， 波动方程定量反映了任一质元运动的时间周期性，其时 间周期为 T 。
2
横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直。（如软绳） 纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行。（如软弹簧）
质点振动方向
软绳
波的传播方向 质点振动方向
软弹簧
波的传播方向
3
在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体 和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况 较复杂，不是单纯的纵波或横波。
第十章 波动学基础
3. 与其它学科相互渗透，应用面广 超声学、次声学、语言声学、生理声学、噪声学…… 超声显微镜：给出物理弹性象 分辨率 500 A 次声武器： 与人体器官（固有频率3~17Hz）共振。
口语操纵机器人、声纹测定、声纳、噪声温度计…... 既古老、又前沿的学科
§10.5
非线性波简介
一、非线性效应对波动的影响 理想弹性 介质
1 w T
T
0
1 2 2 x A sin (t )dt A 2 u
2 2 2
3. 能流密度：
单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能量
t内通过s的能量
E u t s
E 1 2 2 I w u A u t s 2
能量传播方向与u方向相同
1 2 2 I A u 2
能量密度——波的强度
例：
已知：柱面波、均匀介质、不计吸收 求： A与 r 、 I与 r关系 ， 柱面波波函数 解： 取半径分别为 r1 , r2 , 高 h 的柱面 s1 , s2
单位时间 内通过 s1和s2能量相等
1 2 2 1 2 2 A1 u s1 A2 u s2 2 2 A1 s2 2 r2 h r2 A2 s1 2 r1h r1
势能
dEp取决于介质元的形变（ 两端质点的相对位移）
1 2 dEp ky 2
1 2 dEp k (dy ) 2
1 F S kdy s kdx 2 dEp k (dy ) Y 2 dy dx dy dx s 1 Ys Y s 2 ( dy ) k 2 dx dx 1 y 2 Y ( ) s dx 2 x
x
方法2
波线上每间隔，相位落后2
13波动
大学物理B
力学
第十章波动
运动学方程一般可表示为： r y (r , t ) f (t ) c 其中r是质元距波源的距离。上式表示距波 源r处的质元的振动状态比波源滞后一段时间 r/c，可见 c 的意义是振动在介质中传播的速 率，称为波速。波速由介质的性质决定。例 如弦线上的横波的波速为：c T /
y1 A01 cos(t 2
y 2 A02 cos(t 2
r1
01 ) A01 cos(t 1 )
02 ) A02 cos(t 2 )
r2
大学物理B
力学
第十章波动
根据叠加原理，则空间某点 p 的介质 振动振幅为
A0
2 0
2 2 A01 A02 2 A01 A02 cos
第十章波动
Байду номын сангаас
声强级与人耳感觉到的响度近似成正比， 人耳感觉声音的响度还与频率有关，最敏 500 ~ 5000 Hz 感区为
等响曲线
大学物理B
力学
第十章波动
§10.3波的叠加与传播 • 惠更斯-菲涅耳原理 ①波的叠加原理：
当线性介质中同时存在多个波源时，每个 波源产生的波将独立传播，介质中某点的质 元振动将是各列波引起的该质元的振动的合 振动。这是波最突出的物理性质。 y( p, t ) y1 (r1 p , t ) y2 (r2 p , t ) y3 (r3 p , t )
第十章波动
第十章波动
§10.1波的形成
•弹性：连续介质(简称介质)可以看成是无穷多个 质元组成的质点系，相邻质元间的相互作用在介 质形变不太大时，可近似为线性弹性力。沿质元 间连线方向的弹性称为张变弹性，例如弹簧伸缩 的弹性。垂直于质元间连线方向的弹性称为切变 弹性，例如钢片弯曲扭转时的弹性。
力学
第十章波动
运动学方程一般可表示为： r y (r , t ) f (t ) c 其中r是质元距波源的距离。上式表示距波 源r处的质元的振动状态比波源滞后一段时间 r/c，可见 c 的意义是振动在介质中传播的速 率，称为波速。波速由介质的性质决定。例 如弦线上的横波的波速为：c T /
y1 A01 cos(t 2
y 2 A02 cos(t 2
r1
01 ) A01 cos(t 1 )
02 ) A02 cos(t 2 )
r2
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力学
第十章波动
根据叠加原理，则空间某点 p 的介质 振动振幅为
A0
2 0
2 2 A01 A02 2 A01 A02 cos
第十章波动
Байду номын сангаас
声强级与人耳感觉到的响度近似成正比， 人耳感觉声音的响度还与频率有关，最敏 500 ~ 5000 Hz 感区为
等响曲线
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第十章波动
§10.3波的叠加与传播 • 惠更斯-菲涅耳原理 ①波的叠加原理：
当线性介质中同时存在多个波源时，每个 波源产生的波将独立传播，介质中某点的质 元振动将是各列波引起的该质元的振动的合 振动。这是波最突出的物理性质。 y( p, t ) y1 (r1 p , t ) y2 (r2 p , t ) y3 (r3 p , t )
第十章波动
第十章波动
§10.1波的形成
•弹性：连续介质(简称介质)可以看成是无穷多个 质元组成的质点系，相邻质元间的相互作用在介 质形变不太大时，可近似为线性弹性力。沿质元 间连线方向的弹性称为张变弹性，例如弹簧伸缩 的弹性。垂直于质元间连线方向的弹性称为切变 弹性，例如钢片弯曲扭转时的弹性。
基础物理学下册【韩可芳】第10章习题答案
第十章第十章第十章第十章 波动光学波动光学波动光学波动光学思考题思考题思考题思考题10-1 普通光源中原子发光有何特征？答答答：答：：：因为普通光源是大量不同原子在不同时刻发的光，是自然光，因此不满足干涉条件，所以一 般普通光源观察不到干涉现象。
10-2 如何用实验检验一束光是线偏振光、部分偏振光还是自然光？答答答：答：：：拿一块偏振片迎着这束光，转动偏振片，观察透射光。
（1）视场中光强有变化且有消光现象 的为线偏振光；（2）光强有变化但无消光现象的为部分偏振光；（3）光强无变化的为自然光。
10-3 自然光可以用两个独立的、相互垂直的、振幅相等的光振动表示。
那么线偏振光是否也可以用两个相互垂直的光振动表示？如果可以，则这两个相互垂直的光振动之间关系如 何？10-4 如何用实验测定不透明媒质的折射率？答答答：答：：：光线入射到不透明的媒介上，改变入射角i ，并同时用偏振片测定反射光线的偏振化程度。
当反射光线为完全偏振光时，此时入射角i0 即为布儒斯特角，满足tan 可求得不透明介质的折射率n 。
10-5 如图(a)所示，一束自然光入射在方解石晶体的表面上，入射光线与光轴成一定角度；问将有几条光线从方解石透射 出来？如果把方解石切割成等厚的A 、B 两块，并平行地移 开很短一段距离，如图(b)所示，此时光线通过这两块方解石后有多少条光线射出来？如果把B 块沿沿沿沿光线转过一个角度， 此时将有几条光线从B 块射出来？为什么？i 0n ，测得 i0 即考思考思考思考题题题题10-5图图图图10-6 从普通光源获得两束相干光的一般方法是什么？在光的干涉中决定相遇点产生明纹或暗纹的因素是什么？答答答：答：：：分波阵面法和分振幅法。
波源的相位差和波源到相遇点的光程差决定相遇点产生明纹或暗纹。
10-7 如图所示，设光线a 、b 从周相相同的A 、B 点传至P 点，试讨论：（1）在图中的三种情况下，光线a 、b 在相遇处P 是 否存在光程差？为什么？（2）若a 、b 为相干光，那么在相遇处的干涉情况怎 样？考题思考题思考题思考题 10-7 图图图图10-8 在杨氏双缝实验中，当作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化？（要说明理由）（1）使两缝之间的距离逐渐减小；（2）保持双缝的间距不变，使双缝与屏幕的距离逐渐减小；（3）如图所示，把双缝中的一条狭缝遮住，并在两缝的垂直平分线上放置一块平面反射镜。
第10章 波动学基础 第二讲
t + ∆t ·t ·
· · · · · · · ·
二、惠更斯原理 1.原理 1.原理
r=u∆t ∆ 平面波
· · · ·
r=u∆t ∆
球面波
• 波振面上的各点都可看作子波源(点波源) 波振面上的各点都可看作子波源(点波源) • 所有子波源各自向外发出许多子波； 所有子波源各自向外发出许多子波； • 各个子波所形成的包络面就是原波面在一定时间 内所传播到的新波面
p点合振动 点合振动 合振幅
k=
2π
λ
y = y1 + y2 = Acos(ω t +ϕ)
A 2 = A12+A22 +2A1A2cos∆ϕ ∆
相位差: 相位差
∆ϕ = (ϕ 2-ϕ 1) - k(r2-r1)
传播距离不同引起的相位差
波源初相位差
讨论： 讨论：
波程差
r2 − r1 = δ
（1） 当 ∆ϕ = 2kπ 时， k = 0,±1,±2LL
10.3 波的衍射和干涉 一、波的直线传播规律
无障碍物时， 无障碍物时，波前形状 不变，波线为直线， 不变，波线为直线，中 途不会改变方向 遇障碍物或从一个介质传 到另一个介质时 ——波前形状改变 ——波前形状改变 波线发生偏转
s1
t 时刻波面
· · · · ·
t+∆t时刻波面 ∆ 时刻波面
波传播方向
2.应用
缺陷：未涉及振幅，相位等的分布规律 未涉及振幅，
t 时刻波面→ t+∆t时刻波面→ 波的传播方向 时刻波面→ 时刻波面→
三、波的衍射
1.现象 波传播过程遇到障碍物时, 波传播过程遇到障碍物时,能绕过障碍物边 缘而传播的现象。 缘而传播的现象。 2.作图 惠更斯原理) (惠更斯原理)
第10章波动学基础
式中
是气体的摩尔质量，γ 是气体的比热容比，p 是气体的压强，T
是热力学温度，R 是摩尔气体常量。 振幅（波幅） 波在形成后，各个质元振动的振幅叫波的振幅或波幅。除平面波外，介质中 各处的波幅一般是不相等的。
波长和频率
简谐波传播时，其图象是周期性的，我们把波的同一传播线上两个相邻的同 相点(相位差为 2π)之间的距离称为波的波长，用 l 表示。由此我们可以判定，相 距为整数个波长的两点的振动肯定是同相的（相差为 N2π）。两个相邻的同相点 之间的这一段波，我们称之为一个完整波，因而波长也即一个完整波的长度。波 长描述波的空间周期性。在横波的情况下，波长 l 等于两相邻波峰之间或两相邻 波谷之间的距离；而在纵波情形下，波长 l 等于两相邻密部的中心之间的距离或 两相邻疏部中心之间的距离。 一个完整波通过介质中一点所需的时间，叫做波的周期，用 T 表示。一个完 整波通过这一点的过程中，该处的质点将进行一次全振动，所以波的周期就是该
式中 F 为绳索或弦线中的张力，m 为绳索或弦线单位长度的质量。 在液体和气体中不可能发生切变，所以不可能传播横波。液体和气体中只能 传播与体变有关的弹性纵波（液体表面的波是由重力和表面张力引起，包含纵波 和横波两种成分）。在液体和气体中纵波传播速度为
式中 B 是介质的体积模量，ρ 是介质的质量密度。对于理想气体，把声波中 的气体过程作为绝热过程近似处理，根据分子动理论和热力学，可推出声速公式 为
弹簧中的纵波 3．描写波动过程的物理量
波速
波的传播实际上是振动状态即相位的传播，因而，波速实际上指的是相位的 传播速度， 即相速度 （相速） 。 即在介质中波源的振动在单位时间内传递的距离。 波速决定于波所处介质的弹性，即介质特性决定了波速。我们有如下公式：
大学物理_波动学基础
绳的微振动横波
a T a Y
T：绳的张力
杆的纵向微振动波
杆的横向微振动波 声音在空气中传播 真空中的电磁波
Y：杨氏弹性模量
a G
G：切变弹性摸量 B：体变模量
a
B
a
0 0 ０真空介电常数，０真空磁导率
1
《大学物理》课件
介质的几种典型模量
(1).杨氏模量 若在截面为S，长为l的细棒两端加上大小相等、方向相反 的轴向拉力F，使棒伸长l，实验证明：在弹性限度内，正应 力F/S与线性应变l/l成正比，即
y Acos( t
l
u
)
《大学物理》课件
例题2-4 波沿x轴正向传播，A=10cm, =7rad/s; 当t=1s时, ya=0, a<0, yb=5cm,b>0 。设>10cm, 求该波 的波动方程。 y x ) o ] (t 解 y Acos[ u u
o
3.波长 — 一个周期内波动传播的距离。
u
T
4.平面简谐波—波面为平面，媒质中各质点 都作同频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨 论这种波。
《大学物理》课件
1 1 例题2-1 已知： y 0.5cos ( t x )(SI), 2 2 求：(1)波的传播方向，A、T、、u，原点 的初相； (2) x=2m处质点的振动方程，及t=1s时质点 的速度和加速度。 (3)x1=1m和x2=2m两点的相差。
· ·· · · · · t · · · ·· · ·
u t 平面波
球面波
惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布； 不能解释后退波问题等。
《大学物理》课件
§5.2 平面简谐行波的波动方程 !
a T a Y
T：绳的张力
杆的纵向微振动波
杆的横向微振动波 声音在空气中传播 真空中的电磁波
Y：杨氏弹性模量
a G
G：切变弹性摸量 B：体变模量
a
B
a
0 0 ０真空介电常数，０真空磁导率
1
《大学物理》课件
介质的几种典型模量
(1).杨氏模量 若在截面为S，长为l的细棒两端加上大小相等、方向相反 的轴向拉力F，使棒伸长l，实验证明：在弹性限度内，正应 力F/S与线性应变l/l成正比，即
y Acos( t
l
u
)
《大学物理》课件
例题2-4 波沿x轴正向传播，A=10cm, =7rad/s; 当t=1s时, ya=0, a<0, yb=5cm,b>0 。设>10cm, 求该波 的波动方程。 y x ) o ] (t 解 y Acos[ u u
o
3.波长 — 一个周期内波动传播的距离。
u
T
4.平面简谐波—波面为平面，媒质中各质点 都作同频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨 论这种波。
《大学物理》课件
1 1 例题2-1 已知： y 0.5cos ( t x )(SI), 2 2 求：(1)波的传播方向，A、T、、u，原点 的初相； (2) x=2m处质点的振动方程，及t=1s时质点 的速度和加速度。 (3)x1=1m和x2=2m两点的相差。
· ·· · · · · t · · · ·· · ·
u t 平面波
球面波
惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布； 不能解释后退波问题等。
《大学物理》课件
§5.2 平面简谐行波的波动方程 !
大学物理参考答案(白少民)第10章 波动学基础
450。已知波速为 15cm/s，试求波的频率和波长。 解：波长可看成是沿波射线相位差 2π 的两点间的距离，则由题知其波长为
3.5 u 15 = 28 cm ， 进而可求得波的频率为 ν = = = 0.54 Hz π /4 λ 28 10.14 证 明 y = A cos( kx −ω t ) 可 写 成 下 列 形 式 ： y = A cos k ( x − u t ) ， x x 1 x y = A cos 2π ( − ν t ) ， y = A cos 2π ( − ) ，以及 y = A cos ω( − t ) 。 λ T u λ ω 2πν t ) = k ( x − ut ) 证明 ： kx − ω t = k ( x − t ) = k ( x − k 2π / λ 所以波函数可写为： y = A cos k ( x − ut ) 2π x x x − 2πν t = 2π ( −νt ) ，则波函数还可写为 y = A cos 2π ( −ν t ) 又 kx − ω t = λ λ λ 1 x t 由ν = 则还可得： y = A cos 2π ( − ) T λ T k x x kx − ω t = ω( x − t ) = ω( − t ) ，则波函数还可写为 y = A cos ω( − t ) ω u u 10.15 波源 做 简谐振动，位移与时间的关系为 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240π t m ，它所 激发的波以 30.0m/s 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。 解：由波源的振动方程 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240πt m 知振动角频率 ω = 240π . 而波的频率就等于波源的振动频率，所以波的频率和周期分别为 ω 1 1 ν= = 120 Hz ， T = = = 8.33 ×10 −3 s ν 120 2π u 30.0 = 0.25 m 进一步计算波长为 λ = = ν 120 x x −3 )m 最后可写出波函数为 y = A cos ω(t − ) = ( 4.00 ×10 ) cos 240π (t − u 30 10.16 沿 绳子 行进的 横 波波函数为 y =10 cos(0.01π x − 2π t ) ，式中长度的 单 位是 cm，时间的单位是 s。试求：（1）波的振幅、 频率、传播速率和波长；（2）绳上某质点的最 大横向振动速率。 解：（1）由 y = 10 cos(0.01π x − 2π t ) = 10 cos 2π (t − 5.0 ×10 −3 x ) 知： ω 2π ν= = = 1 Hz ； 波 长 振 幅 A = 10cm = 0.1m ； 频 率 2π 2π
3.5 u 15 = 28 cm ， 进而可求得波的频率为 ν = = = 0.54 Hz π /4 λ 28 10.14 证 明 y = A cos( kx −ω t ) 可 写 成 下 列 形 式 ： y = A cos k ( x − u t ) ， x x 1 x y = A cos 2π ( − ν t ) ， y = A cos 2π ( − ) ，以及 y = A cos ω( − t ) 。 λ T u λ ω 2πν t ) = k ( x − ut ) 证明 ： kx − ω t = k ( x − t ) = k ( x − k 2π / λ 所以波函数可写为： y = A cos k ( x − ut ) 2π x x x − 2πν t = 2π ( −νt ) ，则波函数还可写为 y = A cos 2π ( −ν t ) 又 kx − ω t = λ λ λ 1 x t 由ν = 则还可得： y = A cos 2π ( − ) T λ T k x x kx − ω t = ω( x − t ) = ω( − t ) ，则波函数还可写为 y = A cos ω( − t ) ω u u 10.15 波源 做 简谐振动，位移与时间的关系为 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240π t m ，它所 激发的波以 30.0m/s 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。 解：由波源的振动方程 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240πt m 知振动角频率 ω = 240π . 而波的频率就等于波源的振动频率，所以波的频率和周期分别为 ω 1 1 ν= = 120 Hz ， T = = = 8.33 ×10 −3 s ν 120 2π u 30.0 = 0.25 m 进一步计算波长为 λ = = ν 120 x x −3 )m 最后可写出波函数为 y = A cos ω(t − ) = ( 4.00 ×10 ) cos 240π (t − u 30 10.16 沿 绳子 行进的 横 波波函数为 y =10 cos(0.01π x − 2π t ) ，式中长度的 单 位是 cm，时间的单位是 s。试求：（1）波的振幅、 频率、传播速率和波长；（2）绳上某质点的最 大横向振动速率。 解：（1）由 y = 10 cos(0.01π x − 2π t ) = 10 cos 2π (t − 5.0 ×10 −3 x ) 知： ω 2π ν= = = 1 Hz ； 波 长 振 幅 A = 10cm = 0.1m ； 频 率 2π 2π
10第十章 波动学基础
1. 波的独立性传播特性 几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征 （频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来 的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样. 2. 波的叠加原理 在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时 在该点所引起的振动位移的矢量和.
二、波的干涉
1. 相干波源 两列频率相同、振动方向相同、有固定的相位 差的振源，由他们发出的波称为相干波.
u
三、波动过程的几何描述
1. 波动中的几个概念
波线 波的传播方向为波线. 波面 振动相位相同的各点组成的曲面. 波前 某一时刻波动所达到最前方 的各点所连成的曲面.
平面波
波 前 波面 球面波
波线
波面
波线 波 前
2. 惠更斯原理 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波 的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包迹就是 新的波面. 根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面就 可以用几何作图法确定下一时刻的波阵面.
第十章
波动学基础
第十章 波动学基础
10-1 波动的基本概念 10-2 平面简谐波波动方程 10-3 波的能量 10-4 波的叠加
10-1 波动的基本概念
预习要点 1. 注意波动传播过程的物理实质. 2. 描写波动的物理量有哪些? 它们的关系如何？
一、机械波
1. 机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 2. 产生条件：（1）波源；（2）弹性介质. 3. 横波与纵波
k
(k 0,1,2,)
振动加强
A A1 A2 (2k 1) 2 A A1 A2
(k 0,1,2,)
振动减弱
其他
A1 A2 A A1 A2
*二、驻波
二、波的干涉
1. 相干波源 两列频率相同、振动方向相同、有固定的相位 差的振源，由他们发出的波称为相干波.
u
三、波动过程的几何描述
1. 波动中的几个概念
波线 波的传播方向为波线. 波面 振动相位相同的各点组成的曲面. 波前 某一时刻波动所达到最前方 的各点所连成的曲面.
平面波
波 前 波面 球面波
波线
波面
波线 波 前
2. 惠更斯原理 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波 的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包迹就是 新的波面. 根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面就 可以用几何作图法确定下一时刻的波阵面.
第十章
波动学基础
第十章 波动学基础
10-1 波动的基本概念 10-2 平面简谐波波动方程 10-3 波的能量 10-4 波的叠加
10-1 波动的基本概念
预习要点 1. 注意波动传播过程的物理实质. 2. 描写波动的物理量有哪些? 它们的关系如何？
一、机械波
1. 机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 2. 产生条件：（1）波源；（2）弹性介质. 3. 横波与纵波
k
(k 0,1,2,)
振动加强
A A1 A2 (2k 1) 2 A A1 A2
(k 0,1,2,)
振动减弱
其他
A1 A2 A A1 A2
*二、驻波
大学物理波动课件
规范操作
严格遵守实验操作规程和 仪器使用说明，确保实验 数据的准确性和可靠性。
多次测量
进行多次重复测量以减小 随机误差的影响，提高实 验结果的稳定性和可靠性 。
数据分析
对实验数据进行详细的分 析和处理，识别并修正可 能的系统误差，减小实验 结果的偏差。
THANKS
感谢观看
方式。
信号发生器
产生各种波形信号，使用时需设置 正确的频率、幅度和偏移量，并注 意输出阻抗与负载阻抗的匹配。
频谱分析仪
用于分析信号的频谱成分，使用时 需选择合适的分辨率带宽和视频带 宽，以及设置合适的中心频率和扫 频宽度。
实验数据处理方法和误差分析技巧
数据处理
对实验数据进行整理、筛选和计 算，如求平均值、标准差等统计 量，以及绘制图表进行数据可视 化。
波动分类与性质
机械波：由机械振动在介质中传播而 形成的波，如声波、水波等。
横波：质点振动方向与波传播方向垂 直的波。
纵波：质点振动方向与波传播方向平 行的波。
电磁波：由变化的电场和磁场相互激 发而在空间传播形成的波，如光波、 无线电波等。
电磁波是横波，具有偏振性。
电磁波在真空中传播速度最快，且不 需要介质。
深化对波动概念的理解
测不准原理深化了我们对波动概念的理解，使我们认识到波动性不仅是微观粒子的基本属 性，而且是量子力学理论体系的基石之一。
量子力学中其他相关概念
波函数
波函数是描述微观粒子状态的数学函数，包含了粒子的全部信息。波函数的模平方表示粒子在空间某点出现 的概率密度。
薛定谔方程
薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了微观粒子状态随时间演化的规律。通过求解薛定谔方程，可以得 到波函数的具体形式以及粒子的各种性质。
波动学基础
解:(1) 由题设原点 O振动的初相为0 = /2 故入射波方程为 y = Acos(ωt -2 x/ + /2 )
(2)在反射点x= 7/4 处的振动方程:
2 7 y MN Acos( t- ) 4 2 Acos( t - 3 )
y
O
u
2 1 2 2
(3)相干加强和减弱的条件
2k 2 2 1 ( r2 r1 ) (2k 1) 加强A A1 A2 减弱A A1 A2
其中:k=0,1,2,3 当1 = 2时,干涉点的相位差由波程差=r2- r1决定
解：
y t(s)
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
y
t=4S
x(km)
考虑原点的振动在t=4s时传到那一个位臵。 相位落后！
2 .关于波长定义的讨论
波长是描述波动的空间个周期性的物理量.对波长的定义通 常有如下三种说法: (1)是振动在一个周期内传播的距离; (2)是同一波线上相位差为2的两个振动点之间的距离; (3)是同一波线上相邻的振动步调一致的两点间的距离; 试分析上述说法是否一致. 是！
反射点固定,合成的驻波在反射点将形成波节,在反射点处 反射波有相位的突变,称为半波损失。若反射点是自由的, 合成的驻波在反射点将形成波腹,反射波与入射波没有相位 突变。 入射波在波密媒质发生反射，在反射点处反射波有半波损失； 入射波在波疏媒质发生反射，在反射点处反射波无半波损失；
6 . 多普勒效应 观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现 象，称为多普勒效应。 相对于媒质，波源和观察者同时运动时
O 0.1
u=4m/s
0.2
1.0
1.8
波动学基础
波的独立传播原理
实验发现，当不同波源产生的波同时在某介质中传播，如果这多列波在空间 某处相遇，每一列波都将独立地保持自己原有的特性(频率、波长、振动方向 等)传播。波相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰。
任意时刻、介质中任一质点的振动位移 是各个波单独传播时在该点所产生的位移的 矢量和，(相遇区域,合振动是分振动的叠加 )，波的叠加原理。
描述某时刻，波线上各点位移的分布 x 为P点在x 轴的坐标 y 表示质点P偏离平衡位置的位移 平面简谐波的波动与简谐振动的区别？
y
P
u
O
x
x y = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] u
平面简谐波波动方程的物理意义： 1)当 x 给定 (x = x0) 时
x0 y = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] u
波的干涉 满足一定条件的两列 ( 或多列 ) 波在空间相遇 ( 叠加 ), 在空间的某些地方振动始终加强,而在空间的另一些地 方振动始终减弱或完全消失的现象, 称为波的干涉.
波的干涉 ～（一种特殊的、重要的叠加形式） 振动方向相同 频率相同 相位相同或相位差恒定 相干波： 满足相干条件的几列波称为相干波。 相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。
波动学基础
振动和波动 振动: 于平衡位置, 无随波逐流. 波动: 振动的传播过程.
机械波的产生和传播 机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程 1. 波源 —— 被传播的机械振动 . 2. 弹性介质 —— 任意质点离开平衡位置会受到弹 性力作用. 在波源发生振动后, 因弹性力作用,带动 邻近的质点也以同样的频率振动 . 如此将振动传播 出去. 故机械振动只能在弹性介质中传播.
第10章 波动学基础
P
x
x
x y P A cos[ (t ) ] u 2 y ( x, t ) A cos(t x ) ④
t时刻位于x处P质元 的振动方程为： 这就是沿 x 轴负方向 传播的平面简谐波的 波动方程(波函数).
小结
若原点O 振动方程为： y(0, t ) A cos(t ) 沿x轴正向传播的平面简谐波波函数标准形式
波形移动速度为u, t时间移动距离 x
u t
波线上各点的简谐振动图
例1 一平面简谐波波函数为 y 0.05cos(10 π t 4 π x) m 试求:(1)波的振幅、频率、波速和波长；(2) x1 0.2m 处质 元在 t1 1.0s 时的运动状态；(3)此振动状态在 t2 1.5s 时传 到波线上哪一点？ 解 1）把波函数化为标准式
点P
t-x/u 时刻点O 的运动 P点的振动方程
t 时刻点 P 的运动
x x yP ( t ) y ( t t ) A cos ( t ) O A cos y ( x, t ) [ ( t u) ]
u
波函数的推导
1.以速度u沿x轴正向 传播的平面简谐波
例2
例1中波沿x负向传播：
ys (t ) A cos( t
求波动方程
u x
P
3
ห้องสมุดไป่ตู้) Ｏ
x0 x
x0 4
Ｓ Ｘ
解：S点状态传播到x处的P点所需时间：
x ( ) tsp u u 4u u x yP (t ) ys (t t ) A cos[ (t ) )] u 4u 3
10-波动学基础
。
- 17 -
二、选择题
1、图中曲线表示 t=0 时刻沿 x 轴正方向传播的波形图，O 点的振动初相 y u
t 0
位是：
(A)-π/2
(B)0
(C)π/2
(D)π
O
x
2、图中实线表示 t=0 时刻沿 x 轴正方向传播的波形图，若波的周期为 T，
图中虚线表示下列何时刻的波形图：
(A)T/4
(B)T/2
(C)3T/4
(D)T
选择题 1 题
y
u t0
O
x
3、沿 x 正方向传播的平面余弦波，振幅为 A，周期为 T，t=0 的波形图如右
图，则 t=3T/4 时的波形图为：
选择题 2 题
y
O -A/2
u
y
x A/2 O
(A)
u x
(B)
y
u
A/2
x
O
y
u
y
u
(B)
3A
O
3A
x 2O
x
2
(C)
(D)
4、 图为沿 x 轴传播的平面余弦横波在某一时刻的波形图，图中 P 点距原点 1m， y / m
10 / 3
填空 9 题
11、如图：A、B 为两个同相位的相干波源，相距 4m，波长为 1m，设 BC⊥AB， A
BC=10m，则 B，C 之间(B 点除外)将会出现______个干涉加强点.
12、已知空气中声速为 340m/s，人可以听到频率为 20HZ 至 20000HZ 范围内 B
C
的声波，可以引起听觉的声波在空气中波长范围约为
（B）动能为零，势能为零；
(C) 动能最大，势能最大；
波动知识点总结手写
波动知识点总结手写波动是物理学中一个非常重要的概念。
它在自然界的众多现象中都有所体现，涉及到的领域包括光学、声学、电磁学等等。
在本文中，我们将对波动的基本概念、特性以及应用进行总结和介绍。
一、波动的基本概念1.波动的定义波动是指能够在空间中传递能量的物理现象。
在波动过程中，能量并不是沿着固体物质的传递路径移动，而是在形式上的传递。
波动一般分为机械波和电磁波两类。
2.波动的分类根据波动的传播介质的不同，波动可以分为机械波和电磁波。
机械波需要介质来传播，如水波、声波等；而电磁波不需要介质，可以在真空中传播，典型的例子是光波、无线电波等。
3.波动的传播波动的传播可以分为纵波和横波。
纵波是指波动方向与波动传播方向垂直的波动，典型的例子是声波；横波是指波动方向与波动传播方向平行的波动，典型的例子是光波。
二、波动的特性1.波动的传播特性波动的传播包括波的传播速度、波长、频率等。
波的传播速度是指波动在单位时间内传播的距离，它与波动的频率和波长等因素有关。
波长是指波的波形重复出现的最小长度，单位是米；频率是指波的单位时间内波动的个数，单位是赫兹。
2.波动的干涉现象波动干涉是指两个或多个波动相遇时，由于波动的叠加效应产生的现象。
波动干涉分为构成干涉和破坏干涉两种。
构成干涉是指两个波动相遇时，波峰与波峰相遇或者波谷与波谷相遇，使波的振幅得到加强；破坏干涉是指波动相遇时，波峰与波谷相遇，使波的振幅得到减弱。
3.波动的衍射现象波动的衍射是指波动遇到障碍物时，波动在障碍物后面形成的现象。
在波动的衍射中，波动沿着障碍物边缘传播，同时也向障碍物的阴影区传播，使得波动的振幅取得了改变。
4.波动的折射现象波动的折射是指波动遇到介质界面时，波动的传播方向发生改变的现象。
具体来说，波动从一个介质传播到另一个介质时，波长和频率并不改变，但波速和波长的传播方向会发生改变。
三、波动的应用1.声波的应用声波是一种机械波，在工程技术中有着广泛的应用。
第10章波动学基础
已知O点振动方程：y A cos(t 0 ) P点的振动比O点落后一段时间 t ,
y
u
P
O x x 相位落后 t ， u x ) P点处质点在时刻t的位移等于O点在 (t 时的位移。
t x / u
x
P点的振动位移（即P点的振动方程）为 ： x x y A cos[ (t ) 0 ] A cos[ t 0 ] u u
y 2 10 cos(400 t 20x)
3
3
A 2 10 (m),
400
u
20 , u 20 （m / s） ,
20 , 0.1(m),
17
2
第十章
波动学基础
/ 2) 例：原点O振动方程为 yO 0.06cos(800t ，波速 u=200m/s，方向向右，求：①波函数；②波长、频率； ③x=5m处质点振动与原点的相位差。 解： ①原点 yO 0.06 cos( 800t ) 2 x ) ] 波函数 y 0.06 cos[ 800 (t
u
11
第十章
波动学基础
x x y A cos[ (t ) 0 ] A cos[t 0 ] 右行波的波函数 u u 下述几式等价： 2 , x 2 / T y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u u /T 2x y ( x, t ) A cos[t 0 ] y x u y ( x, t ) A cos[ 2 (t ) 0 ] x P 2 O x y ( x, t ) A cos[ ( x ut ) 0 ] 若告知的是位于x0处的振动方程 yx0 A cos(t 0 )
y
u
P
O x x 相位落后 t ， u x ) P点处质点在时刻t的位移等于O点在 (t 时的位移。
t x / u
x
P点的振动位移（即P点的振动方程）为 ： x x y A cos[ (t ) 0 ] A cos[ t 0 ] u u
y 2 10 cos(400 t 20x)
3
3
A 2 10 (m),
400
u
20 , u 20 （m / s） ,
20 , 0.1(m),
17
2
第十章
波动学基础
/ 2) 例：原点O振动方程为 yO 0.06cos(800t ，波速 u=200m/s，方向向右，求：①波函数；②波长、频率； ③x=5m处质点振动与原点的相位差。 解： ①原点 yO 0.06 cos( 800t ) 2 x ) ] 波函数 y 0.06 cos[ 800 (t
u
11
第十章
波动学基础
x x y A cos[ (t ) 0 ] A cos[t 0 ] 右行波的波函数 u u 下述几式等价： 2 , x 2 / T y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u u /T 2x y ( x, t ) A cos[t 0 ] y x u y ( x, t ) A cos[ 2 (t ) 0 ] x P 2 O x y ( x, t ) A cos[ ( x ut ) 0 ] 若告知的是位于x0处的振动方程 yx0 A cos(t 0 )
第十章 波动
§10-2 平面简谐波的波函数
一、平面简谐波
简谐波: 波源及媒质中各质元均作同频率的简谐 振动；波振面为平面的简谐波称为平面简谐波
二、平面简谐波的波函数（积分形式）
波函数: 用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振 动 y 随时间 t 变化的表达式,即 y = f ( x, t )
讨论: 沿+x 方向传播的一维简谐波(u , 不变)
(2) u 是由媒质的性质决定与波源情况无关。
(3) 是由波源和媒质共同决定。
理学院 物理系 张建锋
五、 波速 u 与媒质性质的关系
(1) 弹性绳上的横波
u T
T-绳的初始张力,
-绳的线密度
p
(2) 流体中（气体、液体）
u K
K P
p
V+ V
p
V V
（体积模量）
p
体变
理想气体: u RT
yP
(t)
ya
(t
Δt)
Acos
ω
t
x
u
d
φa
一维简谐波的表达式（积分形式）
理学院 物理系 张建锋
选取：参考点 a 为坐标原点o ，初相为O 则:
y(x,t)Leabharlann Acos[(tx) u
o]
利用
2π 2πν T
和
uT
y(x,t)
Acos[2
(
t
x
)
o ]
y(x,t)
Acos[2 ( t
kx
0 )
w能 wk wp 2 A2 sin2(t kx 0)
平均能量密度 w能 1 T wdt 1 2 A2
T0
2
讨论
Prob?
一、平面简谐波
简谐波: 波源及媒质中各质元均作同频率的简谐 振动；波振面为平面的简谐波称为平面简谐波
二、平面简谐波的波函数（积分形式）
波函数: 用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振 动 y 随时间 t 变化的表达式,即 y = f ( x, t )
讨论: 沿+x 方向传播的一维简谐波(u , 不变)
(2) u 是由媒质的性质决定与波源情况无关。
(3) 是由波源和媒质共同决定。
理学院 物理系 张建锋
五、 波速 u 与媒质性质的关系
(1) 弹性绳上的横波
u T
T-绳的初始张力,
-绳的线密度
p
(2) 流体中（气体、液体）
u K
K P
p
V+ V
p
V V
（体积模量）
p
体变
理想气体: u RT
yP
(t)
ya
(t
Δt)
Acos
ω
t
x
u
d
φa
一维简谐波的表达式（积分形式）
理学院 物理系 张建锋
选取：参考点 a 为坐标原点o ，初相为O 则:
y(x,t)Leabharlann Acos[(tx) u
o]
利用
2π 2πν T
和
uT
y(x,t)
Acos[2
(
t
x
)
o ]
y(x,t)
Acos[2 ( t
kx
0 )
w能 wk wp 2 A2 sin2(t kx 0)
平均能量密度 w能 1 T wdt 1 2 A2
T0
2
讨论
Prob?
第十章波动基本知识小结
第十章波动基本知识小结⒈平面简谐波方程 )c o s ()(c o s kx t A t A y V xωω==； v V T v k T λπλπω====,/1,2,2。
⒉弹性波的波速仅取决媒质性质：弹性体中横波的波速ρ/N V =，弹性体中纵波的波速ρ/Y V =，流体中纵波波速ρ/k V =，绳波波速ρ/T V =。
⒊波的平均能量密度2221A ρω=，波的平均能流密度 V A I 221ρω=。
⒋波由波密射向波疏媒质，在边界处，反射波与入射波相位相同；波由波疏射向波密媒质，在边界处，反射波比入射波相位落后π，相当损失半个波长；例如：在自由端无半波损失，在固定端有半波损失。
⒌振动方向相同、频率相同、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波叠加叫波的干涉。
⒍振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波现象；驻波方程t x A y ωλπcos cos 22=；波节两边质元振动相位相反，两个波节之间质元振动相位相同；相邻波节或相邻波腹间距离为λ/2，相邻波腹波节间距离为λ/4。
⒎多普勒公式：vv SV V V V --='，在运用此公式时，以波速V 为正方向，从而确定V 0、V S 的正负。
10.2.1 频率在20至20000Hz 的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉。
0ºC 时，空气中的声速为331.5m/s,求这两种频率声波的波长。
解：m v V v V v V 58.16/,/,205.33111≈===∴=λλλ mv V 3221058.1620/5.331/-⨯≈==λ10.2.2 一平面简谐声波的振幅A=0.001m ，频率为1483Hz ，在20ºC 的水中传播，写出其波方程。
解：查表可知，波在20ºC 的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x 轴沿波传播方向，x 表示各体元平衡位置坐标，y 表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：)22966cos(001.0)(2cos x t t v A y V xπππ-=-=10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm,波长1m,周期为10-2s,写出波方程（最简形式）.又距波源9m 和10m 两波面上的相位差是多少？解：取坐标原点处体元初相为零，o-x 轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为)100(2cos 10)(2cos )(cos 3x t A t A y xT t V x -=-=-=-ππωλπππ2)10100(2)9100(2=---=∆Φt t10.2.4 写出振幅为A,频率v =f ,波速为V=C,沿o-x 轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当t=0时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x 轴正方向。
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A A12 A22 2 A1 A2 cos
2
1
2
π
r2
r1
• 加强条件
2kπ (k 0,1,2, )
A A1 A2
• 减弱条件
(2k 1)π (k 0,1,2, )
A |A1 A2|
若
1
2
则
2π
波程差 r2 r1
k (k 0,1,2, )
A A1 A2
u且
H
u;
2） E 和 H 同相位 ;
3）E 和H 数值成比例， E H ；
4）电磁波传播速度 u 1/ ；
5）真空中波速等于光速，c 1/
00 3108m/s.
E
k
H
10-2 平面简谐波波动方程
预习要点 1. 领会推导平面简谐波波动方程的思路和方法. 2. 任一时刻波线上两点之间的振动相位差与两点间的
二、描写波动过程的物理量
• 波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差
为 2π 的振动质点之间的距离.
• 周期 T：波前进一个波长的距离所需要的时间.
u • 波速 ：某一振动相位的传播速度（相速）.数
值上等于振源的振动周期.
u
T
(由介质力学性质决定)
• 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播
2
x
k
2
(k 0,1,2, ) Amax 2A
波腹
(k 1)
22
(k 0,1,2, ) Amin 0 波节
相邻波节距离为
x k 1
xk
[2(k
1) 1]
4
(2k
1)
4
2
相邻波腹距离为
x k 1 x k
(k 1) k
22
2
/2
/2
波节
波腹
3)相位分布
两相邻波节间各点同相位，波节两侧各点反相.
3. 同一时刻相位差与波程差的关系
波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的 位移，即此刻的波形.
1
(t
x1 ) u
2π
(t T
x1 )
2
(t
x2 u
)
2π
(t T
x2
)
12
1
Байду номын сангаас
2
2π
x2
x1
2π
x21
2π x
4. 若 x,t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动
情况（行波）.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
x
x
y Acos2 π( t x ), (t, x) (t t, x x)
T
2π( t x ) 2 π(t t x x),
T
T
t x ,
T
x ut
10-3 波的能量
预习要点 1. 波的能量与简谐振动的能量相比较, 有哪些特点? 2. 什么是波的强度? 它与波的振幅有什么关系?
三、了解波的能量传播特征及能量密度、能流密度概念.
四、了解惠更斯原理和波的叠加原理，理解波的相干条件， 能应用相位差和波程差分析、确定相干叠加后振幅加强和减弱 的条件.
五、了解驻波的形成条件及其振幅和相位分布的特点，了解 驻波和行波的区别，了解驻波的应用.
10-1 波动的基本概念
预习要点 1. 注意波动传播过程的物理实质. 2. 描写波动的物理量有哪些? 它们的关系如何？
S
位面积的平均能流.
I P wu
udt
S
I 1 A2 2u
2
*三、电磁波的能量密度和能流密度
1. 电磁场能量密度
w
we
wm
1 2
(E 2
H
2)
2. 电磁波的能流密度（坡印廷）矢量
电磁波的能流密度 S wu
S u (E 2 H 2 ) EH
2
（坡印廷）矢量
S EH
10-4 波的叠加
T
Tu
y
Acos2π
t T
x
二、波动方程的物理意义
1. 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程，并
给出该点与点 O 振动的相位差.
x 2 π x
u
λ
y(x,t) y(x,t T ) y u
波具有时间的周期性.
x
2. 当 t 一定时，
O
y(x,t) y(x ,t)
波具有空间的周期性.
距离有什么关系? 3. 平面简谐波波动方程如何定量描述了这一波动过程
的特点及运动规律的?
一、平面简谐波波动方程
描述波动过程中介质的任一质点（坐标为 x）相对
其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即
称为波函数，或称波动方程.
1.波源O处质点的振动方程 y A cos(t )
2.距波源为x处质点P的振动方程
正向
y1
A c os2π
(t
x
)
负向
y2
A c os2π
(t
x)
其合成波为
y y1 y2
Acos2π (t x ) Acos2π (t x )
2
A c os2π
x
c os2πt
λ
2 Acos 2π x
为驻波的振幅,
它只与位置有关.
c os2πt 表明各质点都在作同频率的简谐运动.
讨论
（ 1）这一函数不满足 y(t t, x ut) y(t, x) ，
弹性势能
dEp
1 2
ρdVA2ω2
s in 2
ω(t
x u
)
质元的总能量
dE dEk dEp (dV ) A22 sin2 (t x / u)
波动动能量中Ek、Ep同时达到最大，同时为零， 总能量随时间周期变化.
二、质元能量的传播
1.能量密度 单位体积内的能量 w dE dV
dE (dV ) A22 sin2 (t x / u)
(2k 1)
2
A A1 A2
振动加强
(k 0,1,2, )
振动减弱
其他 A1 A2 A A1 A2
*二、驻波
1. 驻波现象 振幅相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方
向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.
2. 驻波方程 设有两列简谐波，分别沿x轴的正方向和负方向
传播，它们的表达式为
2. 波的叠加原理
在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时 在该点所引起的振动位移的矢量和.
二、波的干涉
1. 相干波源 两列频率相同、振动方向相同、有固定的相位
差的振源，他们发出的波称为相干波.
2. 干涉现象 两列相干波相叠地区，某些地方振动始终加强，
而另一些地方振动始终减弱的现象. 3. 加强减弱条件
一、质元的能量
假设平面简谐波在密度为 的均匀介质中传播.
波动方程 y Acos(t x )
u
v y Asin(t x )
t
u
dV
u
弹性介质中取一体积元 dV，质量 dm dV
振动动能
dEk
1 2
ρdVA2ω2
s in 2
ω(t
x u
)
由于介质发生形变而具有势能，可以证明体元内
具有的势能与动能相同.
的完整波的数目.
1 T , u
三、波动过程的几何描述
1. 波动中的几个概念
平面波
• 波线
波线
波
波的传播方向为波线.
前
• 波面
波面
振动相位相同的各点组成的曲面.
球面波
• 波前
波面
某一时刻波动所达到最前方 波线
的各点所连成的曲面.
波 前
2. 惠更斯原理
介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波 的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包迹就是 新的波面.
根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面就 可以用几何作图法确定下一时刻的波阵面.
平面波
R1 ct
O
R2 c(t t)
球面波
*四、电磁波
1.电磁波的产生和传播 LC电路的能量集中在线圈内和极板间，将电路改
造，最后形成电偶极子，即发射电磁波的天线.
LC
辐射功率 4, 1
LC
2. 平面电磁波性质： 1）电磁波是横波, E
因此，它不表示行波，只表示各点都在作简谐运动.
驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是
一种特殊的振动.
2) 波节、波腹位置 波节--振幅始终为0的位置
波腹--振幅始终最大的位置
cos 2 π x
1, 0,
2π x kπ (k 0,1,2, )
2π x (k 1) π (k 0,1,2, )
两个作机械振动的点波源S1和S2, 它们作同频率、 同方向的简谐振动，发出两列相干波，在空间P相遇.
波源振动 y1 A1 cos(t 1) y2 A2 cos(t 2 )
点P 的两个分振动
y1P
A1 cos(t
1
2π
r1 )
s1
y2P
A2
cos(t
2
2
π
r2
)
s2
r1 *P r2
yP y1P y2P Acos(t )
w A 22 sin 2 (t x / u )
2.平均能量密度
能量密度在一个周期内的平均值.
w 1
T
wdt
T0
A22 T sin2 (t x / u)dt 1 A 2 2
T0
2
3. 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.
平均能流：P wuS
u