第3讲：整式与因式分解-导学案

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整式的乘除与因式分解复习导学案

§ 12-13整式的乘除与因式分解复习【学习目标】1. 了解整数指数幕的意义和基本性质。

2. 会进行简单的整式乘除运算，能进行整式的加、减、乘、除混合运算3. 能运用乘法公式简便运算。

4•会用提取公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解。

【问题探究】1. （2009重庆）下列计算错误的是（） A 2m 3n 二 5mn; B. a^:' a 2 二 a 4;C. x 2 3 二 x 6;D. aLa 2 二 a 3;2 .（2009烟台）.计算-（-3a 2b3 ）4的结果是8 12 6 7 A.81a b ; B. 12a b ;C. -12a 6b 7;D. -81a 8b 12;3.. 计算（2011-江0的结果是（A. 0;B. 1;C. 2011 -二；D.二-2011.考上*—. 宣必沖窃处击（aD ） ___ = ; a円 a亠—丁―. 【问题导学】•体系构建整式的考点二乘法公式 a+b a-b = ______ ；2 2(a+b ) =； (a-b ) =4. 下列运算结果错误的是（）2 2 2 2 2A x y x - y = x - y ; B. a- b \ - a - b ;2 2 2C. -x-2 x 4x 4;D. x 2 x-3 = x -x-6;5. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a . b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可考点三整式的运算乘法法则：；除法法则：；混合运算顺序：先乘方，再，最后，有括号的先计算的，注意乘法公式简化运算。

7. （2009泸州）化简-3x 2 2x 3的结果是（）A. -6x 5;B. -3x 5;C. 2x 6;D. 6x 5.38.. 计算（2x ） U 的结果正确的是（）.A.8x 2;B. 6x 2;C. 8x 3;D. 6x 3.9.计算：ab 2 L -a 3b 「丨 5ab ;考点四因式分解以验证（）A .B .C . 2 2 2(a b)二a 2ab b2 2 2(a -b) -a -2ab b2 2a -b = (a b)(a -b)2 2(a 2b)(a _b) =a ab -2b a2011- 20102.(用乘法公式)D . b图乙10.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）2A.x 1 x 2 = x 3x 2;B.2a b c = 2ab 2ac;2 2C.m -n mn m-n;2D.x「4 2x = （x 2）（x「2） 2x11.把多项式x3-2x2• x分解因式结果正确的是（）2 2A . x（x -2x）B . x （x「2）2C. x（x 1）（x -1）D. x（x -1）12.因式分解：（1）9a-a3 = ________ ;（2） 2x3 -6x2 +4x = _________ .【达标检测】—、填空题1.（2010大理）下列运算中，结果正确的是（）6 3 2 2 22 4A. a ' a =a ;B. 2ab i；=2a b ;C. aLa2 a3;D. a b $ = a2 b2;2.下列计算结果正确的是. ）.A. -2x2y3Ltxy =「2x3y4;B. 3x2y -5xy2=「2x2y;C.28x4y2，7x3y =4xy;D. -3a-2 3a-2 i； = 9a2-4.3.把x2 3x c分解因式得x2 3x x 1 x 2 ,则c的值为（）A. 2;B. 3;C. -2;D. -3.4 . （2009 枣庄）若 m n =3,则 2m2 4mn 2n2 -6 的值为（）A. 12;B. 6;C. 3;D. 0.二、选择题5.（2010 清远）计算：a* + a2=_;6.（2009贺州）计算：f-2^\-a3-^= ;\4丿7.（2009 齐齐哈尔）已知 10m =2,10n =3,则 103m '2^ _________ 三、解答题8.先化简，再计算:［】xy 2 xy-2 -2右-2八xy ,其中x =10, y =-9.（2009衢州）给出三个整式a2、b2和2ab.（1）当 a =3,b =4 时，求 a2 b2 2ab 的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解，请写出你所选的式子及因式分解的过程。

初中整式与因式分解教案

初中整式与因式分解教案教学目标：1. 知识与技能：- 学生能够理解整式的概念，掌握整式的加减乘除运算。

- 学生能够理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法和技巧。

2. 过程与方法：- 学生能够通过观察、分析和推理，探索整式运算的规律和性质。

- 学生能够运用因式分解的方法，将多项式分解为几个整式的乘积形式。

3. 情感态度价值观：- 学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，体验到数学的乐趣。

- 学生能够通过解决实际问题，感受到数学与生活的紧密联系。

教学内容：1. 整式的概念和运算：- 学生首先需要了解整式的定义，包括单项式和多项式。

- 学生需要掌握整式的加减乘除运算规则，例如同类项的合并、系数的乘除等。

2. 因式分解的概念和方法：- 学生需要了解因式分解的定义，即将一个多项式分解为几个整式的乘积形式。

- 学生需要学习不同的因式分解方法，如提公因式法、十字相乘法、平方差法等。

教学过程：1. 导入：- 教师可以通过实际生活中的例子，如购物问题，引出整式和因式分解的概念。

- 教师可以提问学生是否曾经遇到过类似的问题，让学生思考和参与进来。

2. 整式的概念和运算：- 教师可以通过示例和练习，引导学生理解和掌握整式的概念和运算规则。

- 教师可以设置一些练习题，让学生进行自主学习和合作交流，巩固对整式的理解。

3. 因式分解的概念和方法：- 教师可以通过讲解和示例，引导学生理解和掌握因式分解的概念和方法。

- 教师可以设置一些练习题，让学生进行自主学习和合作交流，巩固对因式分解的理解。

4. 应用和拓展：- 教师可以提供一些实际问题或综合题目，让学生运用整式和因式分解的知识进行解决。

- 教师可以引导学生思考和探索更高级的因式分解方法，如差平方、完全平方等。

教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，提问和回答问题的积极性。

2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的情况，对整式和因式分解的理解和应用能力。

3. 学生互评和自我评价：鼓励学生进行互评和自我评价，反思自己的学习过程和进步。

新人教版八年级数学上册《整式的乘除与因式分解》导学案

当堂检测
班级： 1．计算与化简. 2 2 3 (1)(-2a )(3ab -5ab ). 姓名：小组：评价：
(2)(5x+2y)(3x-2y).
课海拾贝/ 反思纠错
原则：二、深入学习： 1．计算 m n n am·an= ， (a ) = ， (ab) = 3 2 3 ①a·a = ②(m+n) ·(m+n) = 3 5 3 4 ③(10 ) = ④(b ) = 3 3 2 4 ⑤(2b) = ⑥(2a ) = ⑦(-3x) = 2．计算与化简. 2 2 3 (1)(-2a )(3ab -5ab ). (2)(5x+2y)(3x-2y).
新人教版八年级数学上册《整式的乘除与因式分解》导学案
班级：【复习目标】 1.记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则。 2.会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式。 3.培养学生的独立思考能力和合作交流意识。【重点难点】重点：记住公式及法则。难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解。【导学流程】一、知识梳理： 1、幂的运算同底数幂相乘文字语言 ___________________________________ ；符号语言 ____________. 幂的乘方文字语言___________________________________；符号语言____________. 积的乘方文字语言___________________________________；符号语言____________. 同指数幂相乘文字语言 ___________________________________ ；符号语言 ____________. 同底数幂相除文字语言 ___________________________________ ；符号语言 ____________. 2、整式的乘除法单项式乘以单项式________________________________________________ 单项式乘以多项式———————————————————————— 多项式乘以多项式———————————————————————— 单项式除以单项式———————————————————————— 多项式除以单项式———————————————————————— 3、乘法公式平方差公式文字语言___________________________________；符号语言______________ 完全平方公式文字语言___________________________________；符号语言______________ 4、添括号法则———————————————————————————— 5、因式分解的定义： ____________________________________________________________________ 方法：(1)___________________；（2）_________________ 姓名：小组：评价：

九年级数学《整式乘除与因式分解》复习导学案

《整式乘除与因式分解》教学目标 1 理解幂的相关运算性质及整式的乘除法则2 能正确熟练地运用乘法公式进行乘法运算3 正确的进行因式分解一本章知识点(一)、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则： n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）逆用：即m n n m m n a a a )()(==3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m5、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

(二)、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，如：=∙-xy z y x 3232 。

7、单项式乘以多项式，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。

8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项.公式特征：…………10、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±公式的变形使用：（1）ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+；ab b a b a 4)()(22-+=-222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- ；222)()]([)(b a b a b a -=--=+-（2）三项式的完全平方公式： bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++11、单项式的除法法则：如：b a m b a 242497÷-12、多项式除以单项式的法则： c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)((三)、因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：① 平方差公式： a 2－b 2＝（a ＋b)(a －b ）② 完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2 a 2－2ab ＋b 2＝（a －b)2③ 二次项系数为1的三项式的分解：x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)二例题选讲(一)计算2×24×23 x m ·x 3m+1 －a 2· a 6 －(x m )5 (a 2)3·a 5 (－5b)3 (－2x 3)4 a 3a 4a+(a 2)4+(－2a 4)2 (2x) 3 (－5xy 2) )9()94322(2a a a -∙-- (x+y)(x 2－y+y 2)(b+2a)(2a －b) (－x+2y)(－x －2y) (3x+4) (3x －4)－(2x+3)(3x －2) (－3a －2)( 3a －2) (4m+n)2 (－2x+5)22)3243(y x (x+2y －3)(x －2y+3 ) 998×1002 (2x －y －3)2 [(x+2)(x －2)]2 (3x －5)2－(2x+7)2 (xy)5÷(xy)3 (－a)10÷(－a)7 (6×108) ÷(3×105) (21x 4y 3－35x 3y 3+7x 2y 2) ÷(－7x 2y)(二)因式分解 12xyz －9x 2y 2 2a(y －z)－3b(z －y) －x 4+y 4 x 2y －4y3ax 2+6axy+3ay 2 a 2+2a(b+c)+(b+c) 6p(p+q)－4q(p+q) (p －4)(p+1)+3p4xy 2－4x 2y －y 3 x 2+7x+10 x 2－2x －8三巩固练习(一)计算 1、2a • 3a 2= ；（－3xy ）•（－4yz ）= ；2、（－9a 2b 3）• 8ab 2= ；（－2xy 2)2=3、－8m 3n 3÷4m 2n= ；(4x 4－4x 3＋x 2）÷x 2= ；4、（－2a 2）2•（－5a 3）= ；－3xy 2z • （x 2y ）2= ；5、如果（x －5（x －2）=x 2+mx+n ，那么m= ，n= ；6、（－x ＋3）（－x －3）=_____ __；(ab －c) (c ＋ab) =_____ __；7、(2x －3y)2=_____________；（－m －3n ）2 =_____________；8、x ＋y=8,xy=12,则x 2＋y 2= .9、如果(a ＋b)2=16,(a －b)2=4,那么ab= .10、（2x －y)(y+2x ）－（x+2y)2＋5 y 2，其中x=－1，y=－0.5；11、(－2a 2)4＋a 4(－a 2 ) 2； 12、（－2a 2b)2(ab 2－a 2b ＋a 3）；13、3x （x 2y 2－x ＋1）－（xy)2（－x ）； 14、（2a －b)(4a 2＋2ab ＋b 2）；15、[(2x －5)(2x ＋5)]2； 16、（a ＋2b －3c)2； (二) 分解（1）a 2＋a （2）1－4x 2 （3）36x 2 －12x + 1（4）25x 2－16y 2 （5）x 2＋4xy ＋4y 2 （6）x 3－25x（7）2x(3y －1) －3(3y －1) (8) 2a(y －z) －3b(z －y) （9）2am 2－8a（10）2a 2＋4ab ＋2b 2 （11）a 4 x 2－a 4 y2（12）4x 4－4x 3＋x 2 （13） 4x 3y 2－4x 2 y 2＋x y 2 （14）3 x 2＋6xy ＋3y2（15）y 2 －8y ＋15 （16） x 2－x －12 （17）3x 3－12xy 2复习总结推荐作业教学后记。

九年级下册数学一轮复习第3课时《整式与因式分解》学案

初中数学“空中课堂”学习经历案例题：如图是用4个相同的小长方形与一个小正方形密铺而成的大正方形图案．已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为16，若用a ，b 分别表示小长方形的长与宽（其中a ＞b ），则下列关系不正确的是（）A ．4=-b aB ．4022=+b aC ．12=abD ．48—22=b a 定义：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两直线之间的距离OA 叫做△ABC 的“水平宽”，中间直线处于△ABC 内部的线段BD 的长度叫做△ABC 的“铅垂高”．性质：三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．理解：例如：如图1，OA ＝3，BD ＝1.6，则S △ABC ＝×3×1.6＝2.4应用：（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A （4，0），B（3，4），D （3，1）．则△ABC 的面积为；（2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+3x +4过A ，C 两点，点M 在第一象限的抛物线上运动，在点M 的运动过程中，求△AMC 面积的最大值．控制时间）一、基础作业：1．下列因式分解正确的是（）A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）22．计算（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）的结果是（）A．8m5B．﹣8m5C．8m6D．﹣4m4+12m53．若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝．二、能力提升作业：1. 4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（）A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b2.如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1﹣S2＝．三、拓展作业：如图（1），有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．（1）若用A型卡片1张，B型卡片2张，C型卡片1张拼成了一个正方形（如图（2）），此正方形的边长为，根据该图形请写出一条属于因式分解的等式：．（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝．（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？有几种拼法？请你通过运算说明理由．五、总结反思（学生填写）。

第3课时整式与因式分解(导学案)

第3课时整式与因式分解1.掌握字母表示数的意义和代数式、整式的概念,会分析具体问题中的数量关系,并用代数式表示.2.会求代数式的值,会解释代数式的实际背景或几何背景.3.掌握单项式、多项式及其相关概念,并能运用其解决有关问题.4.熟练掌握幂的运算法则,能熟练进行简单的整式加、减、乘、除运算(多项式乘法仅限于一次式相乘),会熟练运用乘法公式进行整式的乘法运算.5.掌握因式分解的意义,能运用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行多项式的因式分解.1.(1)代数式:用把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式.单独的一个数或者一个字母也是代数式.(2)代数式的值:用数值代替代数式里的字母,并按代数式中的计算所得的结果叫做代数式的值.2. 整式的有关概念(1)单项式:由数与字母的组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或字母也是单项式.(2)多项式:几个的和叫做多项式.不含字母的项叫做 .(3)同类项:所含字母 ,且相同字母的指数也分别的项叫做同类项.3. 整式的运算(1)整式的加减法:实质上就是合并同类项,遇到括号要先去括号.①合并同类项法则:就是把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数 .②去括号法则:+(a-b+c )= , -(a-b+c )= .(2)整式的乘除法①幂的运算:a m ·a n = ,a m ÷a n = ,(a m )n = ,(ab )n = (m ,n 为整数). ②整式的乘法单项式乘以单项式:如212x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭·(4xy 4)= . 单项式乘以多项式:m (a-b+c )= .多项式乘以多项式:(m+n )(a+b )= .③整式的除法单项式除以单项式,如(-12a 3bc 2)÷(3abc )= .多项式除以单项式,如(9a 3b 2-6a 2b 3c )÷(3a 2b )= .4. 因式分解:把一个多项式化成几个整式的的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.因式分解是整式乘法的逆变形.例1 (2014·山东济宁)如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a 克,再称得剩余电线的质量为b 克,那么原来这卷电线的总长度是米.【解析】本题是以实际背景为素材,考查列代数式.根据1米长的电线,称得它的质量为a 克,只需根据剩余电线的质量除以a ,即可知道剩余电线的长度.故总长度是1b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭米. 【全解】 1b a ⎛⎫+⎪⎝⎭米举一反三 1. (2014·吉林长春)为落实“阳光体育”工程,某校计划购买m 个篮球和n 个排球,已知篮球每个80元,排球每个60元,购买这些篮球和排球的总费用为元.2. (2014·湖北咸宁)体育委员小金带了500元钱去买体育用品,已知一个足球x 元,一个篮球y 元.则代数式500-3x-2y 表示的实际意义是 .【小结】列代数式的关键是准确分析出数量关系,并按代数式的书写要求列出.本题解答的关键是求出每克电线的长.例2 (2014·贵州黔西南州)当x=1时,代数式x 2+1= .【解析】此题考查了代数式求值的知识,解答本题直接代入即可得出答案.原式=1+1=2.【全解】 2举一反三3. (2014·江苏盐城)已知x (x+3)=1,则代数式2x 2+6x-5的值为 .4. (2014·安徽)已知x 2-2x-3=0,则2x 2-4x 的值为( ).A. -6B. 6C. -2或6D. -2或305. (2014·湖北十堰)已知:a 2-3a+1=0,则a+1a-2的值为( ).A.+1 B. 1 C. -1 D. -5 【小结】 (1)代数式求值的方法主要有:直接代入、化简代入、整体代入、变形代入、设参代入、降次代入等.(2)代数式求值一定要先化简,化简过程中注意运算顺序和乘法公式的运用.例3 (2013·云南德宏)-4a 2b 的次数是( ).A. 3B. 2C. 4D. -4【解析】考查了单项式的次数.∵单项式-4a2b中所有字母指数的和为2+1=3,∴此单项式的次数为3.故应选A.【全解】A举一反三6. (2014·广东佛山)多项式2a2b-a2b-ab的项数及次数分别是().A. 3,3B. 3,2C. 2,3D. 2,27. (2013·湖南岳阳)单项式-5x2y的系数是.8. (2013·山东济宁)如果整式x n-2-5x+2是关于x的三次三项式,那么n等于().A. 3B. 4C. 5D. 6【小结】准确理解整式的有关概念是解这类问题的关键.需要注意的是确定单项式的次数时,不要忘记单个字母指数是1.多项式的次数不是所有项次数的和.例4(2014·安徽)x2·x4等于().A. x5B. x6C. x8D. x9【解析】本题考查幂的运算性质.根据同底数幂相乘法则,得x2·x4=x6.所以应选B.【全解】B举一反三9. (2014·浙江湖州)计算2x(3x2+1),正确的结果是().A. 5x3+2xB. 6x3+1C. 6x3+2xD. 6x2+2x10. (2014·湖南益阳)下列式子化简后的结果为x6的是().A. x3+x3B. x3·x3C. (x3)3D. x12÷x211. (2014·福建福州)先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x=1 3.【小结】对于幂的运算:(1)熟练掌握运算法则是解题的关键;(2)注意理清指数的变化,分清运算类型是解题的重点.对于整式的运算,要抓住以下几点:(1)运用好转化的思想方法,多项式的运算转化为单项式的运算;(2)注意运算顺序和灵活运用乘法公式;(3)恰当地进行逆向思维能使解题更加方便、快捷.例5(2014·安徽)下列四个多项式中,能因式分解的是().A. a2+1B. a2-6a+9C. x2+5yD. x2-5y【解析】本题显然只有选项B符合完全平方公式因式分解.故选B.【全解】B举一反三12. (2014·贵州毕节)下列因式分解正确的是().A. 2x2-2=2(x+1)(x-1)B. x2+2x+1=(x-1)2C. x2+1=(x+1)2D. x2-x+2=x(x-1)+213. (2014·山东潍坊)分解因式:2x(x-3)-8=.14. (2014·陕西)因式分解:m(x-y)+n(x-y)=.【小结】分解因式的步骤:(1)分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定要先提取公因式,然后再考虑是否能用公式法分解.(2)在用公式时,若是两项,可考虑用平方差公式;若是三项,可考虑用完全平方公式.分解因式时要注意:(1)提公因式时,其公因式应找字母指数最低的,而不是以首项为准;(2)若有一项被全部提出,括号内的项“1”不要漏掉;(3)分解要彻底,还要注意不要保留中括号形式等.参考答案【自主梳理】知识网络数字因数和次数最高项单项式(a+b)(a-b)=a2-b2(a±b)2=a2±2ab+b2a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2=(a±b)2重点积累1. (1)运算符号(2)运算顺序2. (1)积(2)单项式常数项(3)相同相同3. (1)①不变②a-b+c-a+b-c(2)①a m+n a m-n a mn a n b n②-2x3y5ma-mb+mc ma+mb+na+nb③-4a2c3ab-2b2c4.积【真题精讲】1.(80m+60n)解析:因为费用=单价×数量,所以篮球的费用为80m元,排球的费用为60n元.故总费用为(80m+60n)元.2.小金买了3个足球和2个篮球后剩余的钱数.3.-34. B5. B 解析:将a2-3a+1=0左右两边同时除以a,得a-3+1a=0,得a+1a=3,所以原式=3-2=1.6. A7.-58. C9. C10. B11.原式=(x2+4x+4)+(2x-x2)=x2+4x+4+2x-x2=6x+4,当x=13时,原式=6×13+4=6.12. A13. 2(x+1)(x-4)14. (x-y)(m-n)。

整式的乘除和因式分解全章导学案

14.1.1同底数幂乘法【学习目标】⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用.⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力. ⒊在组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信心. 学习重点：同底数冪乘法运算性质的推导和应用. 学习难点：同底数冪的乘法的法则的应用. 学习过程：一、预习与新知： ⒈⑴ 阅读课本（2）32 表示几个2相乘？23表示什么？5a 表示什么？m a 呢？（3）把22222⨯⨯⨯⨯表示成na 的形式.⒉请同学们通过计算探索规律.（1）()())(222222222243=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯(2)35 ⨯45= )(5=（3）7)3(-⨯6)3(-= ())(3-= （4）)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1011011013（5）3a ⨯4a = =()a⒊计算（1）32⨯42和72 ；（2）5233⨯和73（3）3a ⨯4a 和7a (代数式表示)；观察计算结果，你能猜想出m a ⨯n a 的结果吗？问题：（1）这几道题目有什么共同特点？（2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想这个结果有什么规律？⒋请同学们推算一下ma ⨯na 的结果？同底数幂的乘法法则：二、课堂展示：（1）计算 ①310⨯410 ②3a a ⋅ ③53a a a ⋅⋅ ④x x x x ⋅+⋅22（2）计算 ①11010+⋅m n②57x x ⋅ ③97m m m ⋅⋅ ④-4444⋅⑤()3922-⨯ ⑥12222+⋅n n ⑦y y y y ⋅⋅⋅425 ⑧532333⋅⋅三、随堂练习： 1、课本练习题2、计算：①10432b b b b ⋅⋅⋅ ②()()876x x x -⋅- ③()()()562x y y ---- ④()()()3645p p p p ⋅-+-⋅-3、把下列各式化成()n y x +或()ny x -的形式.① ()()43y x y x ++ ②()()()x y y x y x ---23 ③()()12+++m m y x y x4、已知9x x xn m nm =⋅-+求m 的值.四．小结与反思14.1.2幂的乘方导学案【学习目标】⒈理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质.⒉经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力.⒊培养学生合作交流意识和探索精神，让学生体会数学的应用价值. 学习重点：幂的乘方法则.学习难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用. 学习过程：一.预习与新知：1填空①同底数幂相乘不变，指数。

整式的乘法与因式分解全章导学案

同底数幂的乘法
八年级____ __班姓名：学习目标：1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程. 2．能熟练地进行同底数幂的乘法运算. 会逆用公式 aman＝am+n.3．通过法则的习题教学，训练学生的归纳能力，感悟从未知转化成已知的思想. 一、知识回顾，引入新课 ②不要忽视指数为 1 的因数，如:a· a5≠a0+5．七、达标检测，体验成功（时间 6 分钟，满分 100 分）问题一：(用 1 分钟时间快速解答下面问题) ③底数是和差或其它形式的幂相乘，应把它们看作一个整 1．判断(每小题 3 分，共 18 分) (1) x5· x5=2x5 ( ) (2) m + m3 = m4 ( ) 1． (1) 3× 3× 3× 3可以简写成 ;(2) a·a·a·a·…·a（共 n 个 a）体． 3 3 (3) m· m =m ( ) = ， 9.判断以下的计算是否正确,如果有错误,请你改正. (4)x3(－x)4=－x7 ( ) （5）y5 · y5 = 2y10 ( ) （6） (1) a3· a2=a6 (2)b4· b4=2b4 (3) x5+x5=x10 表示其中 a 叫做，n 叫 3 3 7 7 2 3 5 5 4 10 n c· c =c ( ) (4)y · y=y (5) a +a =a (6)x · x· x=x 做 a 的结果叫 . 14 3 2．填空题：(每空 3 分，共 36 分) 三、理解运用，巩固提高 ( 用 3 分钟自主解答例 1例 2 ，看谁做 2．一种电子计算机每秒可进行10 次运算，它工作10 秒可进行（ 1 ） m 4 m5 = ；（ 2 ）的又快又正确！) 多少次运算？ 3 4 3 3 5 m 3m+1 n3 3 5n ； y y y = 例 1.计算：（1）10 × 10 ；（2）a • a （3）a • a •a (4) x × x 列式：你能写出运算结果吗？ 2 3 3 5 2 3 例 2. 计算： (1)(-5) (-5) (-5) (2)(a+b) (a+b) （ 3 ）（3） a a = （4） x 2 x2 = 二、观察猜想，归纳总结 3 3 2 2 3 2 5 5 3 (-a) （4）-a · (-a) （5）(a-b) · (a-b) （6）(ａ+1) · (1+ａ)· (ａ+1) （5） x · x· x= ；（6）(x+y)3 · (x+y)4= 问题二：(用5分钟时间解答问题四9个问题，看谁做的快，思维 -a· 四、深入探究、活学活用（7）① x5 · （）= x 8 ② a· （）= a6 敏捷！) m m m+n x 例3. (1)已知 a ＝3，a ＝8，求 a 的值. （8） ① 8 = 2 ，则 x = ；② 3× 27× 9 = 3x，则 x 1.根据乘方的意义填空： n+3 n (2)若3 =a，请用含 a 的式子表示3 的值. = . （1）23× 24 =（2× 2× 2）× （2× 2× 2× 2）= a b c 3 4 (3)已知2 =3， 2 =6， 2 =18，试问 a、 b、 c 之间有怎样的关系？（9） ① 10m· 102= 102012，则 m= ； ② 已知 10x=a， 10y=b, （2）5 × 5 =（）× （）= 请说明理由. 则 10x+y= （3）a3× a4 = （）× （）= 3. 选择题：(每小题 4 分，共 16 分) （4） 5m× 5n= （） × （） = （m、五、实践运用，巩固提高(用 5 分钟时间解决下面 5 个问题，看谁做的快，方法灵活！) ⑴x 3m 3 可以写成（） n 都是正整数） 5 5 5 5 5 10 3 4 12 m 1 m n 1 ．下列计算中 ① b +b =2b ， ② b · b =b ， ③ y · y =y ， A ． B． x 3m x 3 C ． x 3 x m1 3 x 2.猜想：a · a= （ m, n 都是正整数） 3 4 3 4 7 ④m· m =m ， ⑤m · m =2m ，其中正确的个数有（） A． 1 D． x 3m x 3 3.验证：am· an =（）× （） nm m n 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个共（）个 ⑵a 2, a 3 ，则 a =( ) 3m+2 2．x 不等于（） =（）= a A．5 B．6 C．8 A．x3m· x2 B．xm· x2m+2 C．x3m+2 m n 4.归纳：同底数幂的乘法法则：a × a＝（m、n D．9 D．xm+2· x2m 都是正整数） ③ 下列计算错误的是( ) a b 2 3 3 ．计算 5 • 5 的结果是（） A.(a)· (-a) =a B.(a)2· (-a)2=a4 C.(文字语言： ab ab a+b 3 2 5 3 3 6 A ． 25 B ． 5 C ． 5 2 5 3 2 a) · (-a) =-a D.(a) · (-a) =a 5.法则理解： ①同底数幂是指底数相同的幂．如(-3) 与(-3) ,(ab ) D．25a+b ④ 如果 xm-3· xn = x2，那么 n 等于( ) 与(ab3）5,(x-y)2 与(x-y)3 等． 4 ．计算下列各题 A.m-1 B.m+5 C.4-m ②同底数幂的乘法法则的表达式中，左边：两个幂的底数相 12 4 3 4 3 m-1 m+1 D.5-m （ 1 ）ａ • a （ 2 ） y y y （ 3 ） x x x （ 4 ） x x 同，且是相乘的关系；右边：得到一个幂，且底数不变，指数相加． 4.计算：（每小题 5 分，共 30 分）（5）(x+y)3(x+y)4(x+y)4 （6）(x-y)2(x-y)5(x-y)6 6.法则的推广: am· an· ap= （m,n,p 都是正整数）. 3 a+b+c a+b c (1)10 × 104 (2)(－2)2· (－2) 3· (－2) (3)a· a3· a5 5. 解答题:⑴x =35,x =5，求 x 的值. 思考：三个以上同底数幂相乘，上述性质还成立吗？（2）若 xx •xm• xn=x14 求 m+n. 同底数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘． am· an· ap=am+n+p，am· an·…·ap=am+n+…+p(m、n…p 都是正整数) 7.法则逆用可以写成同底数幂的乘法法则也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．如：25=23· 22=2· 24 等． 8.应用法则注意的事项： ①底数不同的幂相乘，不能应用法则.如：32· 23≠32+3；（3）若 an+1• am+n= a6 ，且 m-2n=1,求 mn 的值. （4）计算：x3• x5+x• x3•x4. 六、总结反思，归纳升华通过本节课的学习，你有哪些感悟和收获，与同学交流一下： ① 学到了哪些知识？② 获得了哪些学习方法和学习经验？③ 与同学的合作交流中，你对自己满意吗？ ④ 在学习中，你受到的启发是什么？你认为应该注意的问题是什么？ (4) (a+b)(a+b)m(a+b)n (x-2y)2• (2y-x)5 (5) ( － a ） 2· a3 (6)

专题03 因式分解(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)

中考数学一轮复习学案03 因式分解考点课标要求考查角度1因式分解①理解因式分解的概念；②会用提公因式法、公式法等方法进行因式分解．考查因式分解的两种方法．以选择题、填空题为主．1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解．也叫做把这个多项式分解因式．2. 辨析：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．中考命题说明思维导图知识点1：因式分解的概念知识点梳理典型例题【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2－x－1=x(x－1)－1B．x2－1=(x－1)2C．x2－x－6=(x－3) (x＋2)D．x(x－1)= x2－x【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．【例2】（3分）（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．1. 一般方法：（1）提公因式法：知识点2：因式分解的方法与步骤知识点梳理如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.（2）运用公式法：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．2. 一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．典型例题利用提公因式法分解因式【例3】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．–3x2y2B．–2x2y2C．6x2y2D．–x2y2【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．【答案】D．【例4】（2022•广州）分解因式：3a2－21ab＝．【考点】因式分解—提公因式法【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2－21ab＝3a (a－7b)．故答案为：3a (a－7b)．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【例5】（2022•烟台）把x2－4因式分解为．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2－4＝(x＋2)(x－2)，故答案为：(x＋2)(x－2)．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6，∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．【例7】（2022•河池）多项式x2－4x＋4因式分解的结果是（）A．x(x－4)＋4B．(x＋2) (x－2)C．(x＋2)2D．(x－2)2【考点】因式分解—运用公式法【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝(x－2)2．故选：D．【点评】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m ＋n －3)2．故答案为：(m ＋n －3)2．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，考查整体思想，掌握2222()a ab b a b ±+=±是解题的关键．【例9】已知二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），则b +c 的值为（）A ．1B ．–1C ．–5D ．5【分析】∵二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），∴x 2+bx +c ＝（x –3）（x +1）＝x 2–2x –3，∴b ＝–2，c ＝–3，故b +c ＝–5．故选C ．【答案】C ．【例10】（2022•内江）分解因式：a 4－3a 2－4＝．【考点】因式分解—十字相乘法等【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a 4－3a 2－4＝(a 2＋1)(a 2－4)＝(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)，故答案为：(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)．【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．【例11】因式分解：x 2 – y 2 –2x +2y ．【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x –y 即可.【答案】x 2 – y 2–2x +2y = (x 2 – y 2 )–( 2x –2y )= ( x +y ) ( x –y ) –2 ( x –y )= ( x –y ) ( x +y –2 ) ．【例12】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a －3ab －4＋6b 因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)＝a (2－3b)－2(2－3b)＝(2－3b)(a－2)解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2) (2－3b)【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值．【考点】因式分解的应用【分析】（1）用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解即可；（3）先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝(x2－a2)(x＋a)＝(x＋a) (x－a)＋(x＋a)＝(x＋a) (x－a＋1)；（2）原式＝(ax－bx)(a2－2ab＋b2)＝x (a－b)＋(a－b) 2＝(a－b)( x＋a－b)；（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b)＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2)＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab)＝(a2＋b2) (a－b) 2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1，∴原式＝9．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．几种方法的综合运用【例13】（2022•黔东南州）分解因式：2022x2－4044x＋2022＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022(x2－2x＋1)＝2022(x－1) 2．故答案为：2022(x－1) 2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．知识点3：因式分解的应用知识点梳理因式分解的应用：利用因式分解的知识可以帮助我们解决代数式求值等问题.典型例题【例15】（2022•黔西南州）已知ab＝2，a＋b＝3，求a2b＋ab2的值是．【考点】因式分解的应用【分析】将a2b＋ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b＋ab2＝ab (a＋b)，∵∵ab＝2，a＋b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【例16】（2022•广安）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为．【考点】因式分解的应用【分析】方法一：直接将a2－b2进行因式分解为(a＋b)(a－b)，再根据a＋b＝1，可得a2－b2＝a－b，由此可得原式＝a＋b＋9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2－(b2－2b＋1)＋10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a＋b－1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9又∵a＋b＝1，∴原式＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝10．方法二：解：∵a2－b2＋2b＋9＝a2－(b2－2b＋1)＋10＝a2－(b－1)2＋10＝(a－b＋1) (a＋b－1)＋10．又∵a＋b＝1，∴原式＝10．【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+ 2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．巩固训练15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 47．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会(14)ICME -会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示14ICME -的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；（2）小华设计了一个n 进制数143，换算成十进制数是120，求n 的值．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A 选项，()ax ay a x y +=+，故该选项不符合题意； B 选项，333()a b a b +=+，故该选项符合题意；C 选项，2244(2)a a a ++=+，故该选项不符合题意；D 选项，2a 与b 没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握2222()a ab b a b ++=+是解题的关键．2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+【考点】多项式乘多项式；因式分解-提公因式法；合并同类项；完全平方公式【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．【解答】解：A ．23x 与34x 不是同类项不能加减，故选项A 计算不正确；B ．22222()2x y x xy y x y +=++≠+，故选项B 计算不正确；C ．22(23)(23)4994x x x x +-=-≠-，故选项C 计算不正确；D ．2242(12)xy xy xy y +=+，故选项D 计算正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )巩固训练解析A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故选：A ．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-【考点】因式分解-运用公式法【分析】把所给公式中的b 换成b -，进行计算即可解答．【解答】解：3322()()a b a b a ab b +=+-+，33a b ∴- 33()a b =+-33()a b =+-22[()][(()()]a b a a b b =+--⋅-+-22()()a b a ab b =-++故选：A ．【点评】本题考查了因式分解-运用公式法，把所给公式中的b 换成b -是解题的关键．5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式(3)m m =+．故答案为：(3)m m +．【点评】此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：23(3)m m m m +=+，故答案为：(3)m m +．【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式xy ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22()x y xy xy x y +=+．故答案为：()xy x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式即可．【解答】解：()ax ay a x y +=+．故答案为：()a x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．【解答】解：2(1)m m m m +=+．故答案为：(1)m m +．【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故答案为：(2)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接把公因式a 提出来即可．【解答】解：23(3)a a a a -=-．故答案为：(3)a a -．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a 是解题的关键．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式x ，进而分解因式得出即可．【解答】解：2(1)x x x x +=+．故答案为：(1)x x +．【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式2x ，进而得出答案．【解答】解：原式2(4)x x =-．故答案为：2(4)x x -．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而得出答案．【解答】解：23(3)a a a a +=+．故答案为：(3)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】提取公因式x ，整理即可．【解答】解：22(2)x x x x -=-．故答案为：(2)x x -．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +【考点】因式分解-提公因式法【分析】此题只要提取公因式3即可．【解答】解：363(2)x x +=+．【点评】此题考查公因式的提取，通过提取出相同的因式即可解出此题．17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】观察原式，找到公因式a ，提出即可得出答案．【解答】解：22(2)a a a a -=-．故答案为：(2)a a -．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式(3)(3)x y x y =-+．故答案为：(3)(3)x y x y -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：原式(5)(5)x x =+-．故答案为：(5)(5)x x +-．【点评】本题主要考查了因式分解-应用公式法，熟练掌握因式分解-应用公式法进行求解是解决本题的关键．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：22()()m n m n m n -=+-，故答案为：()()m n m n +-．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式22()()a b a b a b -=+-是解题关键．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】根据平方差公式分解即可．【解答】解：原式225(5)(5)a a a =-=+-．故答案为：(5)(5)a a +-．【点评】此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：2221(1)x x x ++=+，故答案为：2(1)x +．【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．【解答】解：224(2)(2)x y x y x y -=+-．【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(1)(1)x x =+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：29(3)(3)x x x -=+-．故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：216(4)(4)a a a -=-+．故答案为：(4)(4)a a -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝(a ＋2)2，故答案为：(a ＋2)2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(3)(3)x x =+-，故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．【解答】解：21(1)(1)x x x -=+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)m m m -=+-．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2221(1)x x x -+=-．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)a a a -=+-．故答案为：(1)(1)a a +-．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式223(4)x x y =-3(2)(2)x x y x y =+-．故答案为：3(2)(2)x x y x y +-．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)a a =++22(1)a =+．故答案为：22(1)a +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：233x y y -3(1)(1)y x x =+-，故答案为：3(1)(1)y x x +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式22(69)(3)a a a a a =-+=-，故答案为：2(3)a a -．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：29xy x -2(9)x y =-(3)(3)x y y =+-，故答案为：(3)(3)x y y +-．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：269ay ay a ++2(69)a y y =++故答案为：2(3)a y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：329x xy -22(9)x x y =-(3)(3)x x y x y =+-，故答案为：(3)(3)x x y x y +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式22(1)x x =-2(1)(1)x x x =+-．故答案为：2(1)(1)x x x +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式23(1)m =-3(1)(1)m m =+-．故答案为：3(1)(1)m m +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)x x x =++22(1)x x =+．故答案为：22(1)x x +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：32a ab -22()a a b =-()()a a b a b =+-．故答案为：()()a a b a b +-．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取m ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)m m m m m =-=+-，故答案为：(2)(2)m m m +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2xy x -，2(1)x y =-，(1)(1)x y y =-+．故答案为：(1)(1)x y y -+．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ．【考点】因式分解的应用【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，根据“和倍数”的定义表示F （A ）和G （A ），代入()()16F A G A +中，根据()()16F AG A +为整数可解答．【解答】解：（1）357(357)357152312÷++=÷=⋯⋯，357∴不是“和倍数”； 441(441)441949÷++=÷=，441∴是9的“和倍数”；（2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，由题意得：F （A ）ab =，G （A ）cb =，。

初中数学最新-整式的乘法与因式分解导学案3 精品

八班级姓名
年
级
数
学
学
科
课题：14.3.1 因式分解—提公因式法设计人：
课型设置：新知课
一、学习目标：1．了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘
法的关系。 2．能正确找出多项式的公因式，熟练用提公因式法分解简单的多项二、定向导学、互动展示：
独学环节
互学环节
展示环节
梳理
自学指导内容、学法、时间
2 （4）（4）x －3x
⑸36 a 2 b 3a 12 ⑹ bx a x b

a x
2.整式乘法与因式（
x 1
2
）（）
x 1
自研成果呈现 2：【
1. 多项式 2 x3 x 提一个因式是（ A. 2 x3 C. 2x3 1
பைடு நூலகம்
2. 多项式 8a 3b 2 12 是
自学
知识梳理：
归纳找公因式的步骤：系数：公因式的系数是多项式各项系数的
1、错误订正。 2、今天我学习到的方法有哪些？:
字母：公因式的字母取多项式各项中都含有的字母。
指数：相同字母的指数取各项中最
的一个，即字母最
次幂.
【板块四】运用提公因式法进行因式分解【学法指导 3】自研教材 P118 的【例 1】后完成下列各题 1. 把下列各式分解因式（1） 8m2n 2mn;
自研成果呈现 3：【
1. 分解因式 4 ( )． A. x 4 x 2 C. 2 x 2 x 1
②组长带上述（2）中由多项式得到整式乘积领成员将最后定案进行展板形式。或展讲。 ③习题展把一个化成几个的示要求说明题中的关键词、的形式，这种变形叫做把这个多项式解题思路和解题格式。 ______, 也叫做把这个多项式 ____________。【板块三】正确找出多项式的公因式【学法指导 2】自研教材 P117 的提公因式内容后完成下列问题 1.公因式的概念：对于 ma mb mc 各项都含有一个相同的因式，我们把这个因式叫。

初中数学教案整式与因式分解

初中数学教案整式与因式分解初中数学教案教学目标：1. 了解整式与因式分解的概念和基本性质；2. 学会将多项式进行加法、减法、乘法运算；3. 掌握整式的因式分解方法。

教学重点：1. 整式与因式分解的概念；2. 多项式的加法、减法、乘法运算；3. 整式的因式分解方法。

教学难点：1. 整式的因式分解方法；2. 算式中的复杂运算。

教学准备：1. 教师准备多项式运算的练习题；2. 学生准备好笔记本和纸张。

教学过程：引入：教师通过黑板演示一个简单的算式：(2x + 3)(x - 4)，并询问学生是否知道如何将其展开。

引导学生思考并回答。

主体：1. 整式的概念与性质（10分钟）- 教师介绍整式的概念，即由字母和常数通过加法、减法、乘法运算得到的代数表达式。

- 教师解释整式的基本性质，如乘法交换律、结合律和分配律等。

2. 多项式的加法与减法运算（15分钟）- 教师逐步引导学生进行多项式的加法运算，例如：(3x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 3x + 2)。

- 学生跟随教师的示范进行练习，并相互核对答案。

- 教师同样引导学生进行多项式的减法运算，例如：(3x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 3x + 2)。

3. 多项式的乘法运算（20分钟）- 教师通过示例展示多项式的乘法运算方法，例如：(x + 2)(x - 3)。

- 学生按照教师的方法进行练习，并互相纠正错误。

- 教师解释乘法运算时的特殊情况，如平方差公式和差平方公式。

4. 整式的因式分解方法（30分钟）- 教师引出整式的因式分解问题，例如：将4x^2 - 1分解为两个因式相乘的形式。

- 教师示范因式分解的方法，并解释每一步的操作原理。

- 学生进行类似的因式分解练习，教师及时提供指导和纠正。

总结：教师概括整式与因式分解的概念和基本性质，并强调学生在复习时需多加练习。

同时，教师鼓励学生自己总结归纳习题的解题方法和技巧。

板书设计：整式与因式分解概念：- 整式：由字母和常数通过加法、减法、乘法运算得到的代数表达式。

整式及因式分解教案

整式及因式分解教案教案标题：整式及因式分解教案教学目标：1. 理解整式的概念，并能够识别整式的项、系数、次数等要素；2. 掌握因式分解的基本方法和技巧；3. 运用因式分解解决实际问题。

教学准备：1. 教师：准备教学课件、教学板书、示例题目和练习题；2. 学生：课本、练习册。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 创设情境：引入整式概念。

举例说明现实生活中的整数、小数及代数式的例子，引导学生思考何为整式。

2. 引出问题：询问学生整数加减乘除运算规则，并引导学生思考是否能将代数式类似于整数进行加减乘除运算。

二、整式（15分钟）1. 教师介绍：给出整式的定义，解释其中的术语如项、系数、次数等，通过示例帮助学生理解。

2. 教师演示：在黑板上列出几个代数式，引导学生思考其是否为整式，并逐步提取其中的项、系数和次数。

3. 学生练习：让学生在课本上完成对整式的识别练习题，然后互相交流。

三、因式分解的基本方法（20分钟）1. 教师讲解：通过示例引导学生理解因式分解的概念和作用。

2. 教师演示：在黑板上列出几个常见的因式分解例子，解释其中的分解步骤和技巧。

3. 学生练习：让学生在课本上完成因式分解的练习题，然后互相交流和讨论解题思路。

四、因式分解的应用（20分钟）1. 教师讲解：引导学生思考因式分解的实际应用场景，如求解方程、化简表达式等。

2. 教师演示：在黑板上列出几个应用型的因式分解例子，解释其应用思路和解题步骤。

3. 学生练习：让学生在练习册上完成相关的应用题，同时指导学生如何将因式分解技巧应用到解决问题中。

五、总结与展望（5分钟）1. 教师总结：回顾整节课的内容，强调整式和因式分解的重要性，并提及学生在未来学习中会经常用到相关知识。

2. 学生提问：鼓励学生提问和提出疑惑，进行互动交流。

3. 展望下节课：简要介绍下节课将学习的内容和目标。

教学评估：1. 学生课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、回答问题的准确度和互相学习讨论的情况；2. 练习题表现：检查学生在练习册上的习题完成情况，包括整式的识别和因式分解的应用。

整式的展开与因式分解教案

整式的展开与因式分解教案一、整式的展开首先我们需要了解什么是整式。

整式是由若干项的代数式构成，每一项是由不同的常数或变量的积在一起的形式。

例如，3x+2y-4z是一个整式，3x、2y和-4z分别是它的项。

整式的展开是指用运算法则将整式中的项相乘、相加，并将相同的项合并在一起，得到一个新的整式的过程。

下面我们来看几个例子：例1：将(2x+3y)(4x-5y)展开。

解：(2x+3y)(4x-5y) = 2x×4x + 2x×(-5y) + 3y×4x + 3y×(-5y)= 8x² - 10xy + 12xy - 15y² = 8x² + 2xy - 15y²例2：将(x+1)²展开解：(x+1)² = (x+1)(x+1) = x² + x + x + 1 = x² + 2x + 1例3：将(2x-3)³展开解：(2x-3)³ = (2x-3)(2x-3)(2x-3)= (2x)³ - 3×(2x)²×3 + 3×2x×(3)² - (3)³= 8x³ - 36x² + 54x - 27从以上几个例子中可以看出，整式的展开过程需要注意以下几点：1.乘法运算顺序不影响结果，但要注意用括号明确运算的优先次序。

2.合并同类项时，只能将系数相同的同类项合并在一起。

3.如果括号中有负号，需要将每一项都变为负数再进行运算。

二、因式分解因式分解是指将一个整式分解成若干个单项式或不可分解整式的乘积的过程。

因式分解是数学中的一种重要的思维方法和工具，不仅有利于对各种问题的深入理解，还能提高解决问题的能力。

常见的整式因式分解方法有以下几种：1.公因式法：即找出整式中所有项公有的因子，将其提取出来作为公因式。

1.3代数式、整式与因式分解

幂的运算
am×an=am+n ; am÷an=am－n ;
(am)n=amn ;
(ab)m=ambm .
a-p=
1 ap
(a≠0)；
a0=1(a≠0).
整式的乘法法则
单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与多项式相乘:用单项式乘以多项式的每一项,再把所得的积相加
基础回顾3-5
3.多项式3x3 y2 2xy3 1 2 x2 y 是___次___项式,它的最高次3项是____;
常数项是____,按x的降幂排列是_____; 按y的升幂排列是____.
4.若代数式 2x3 ym与 3xn y2是同类项,则y 3,则a2xy _____
整式---多项式
多项式:几个单项式的和叫多项式. 多项式的项:组成多项式的每一个单项式叫多项式的项. 多项式的项包含其前面的符号
多项式的次数:多项式中最高次项的次数就是多项式的次数
整式:单项式与多项式统称为整式.
同类项
同类项:所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫同类项 .
合并同类项法则:同类项的系数相加减, 字母和字母的指数不变 .
1.3代数式、整式与因式分解
学习目标基础回顾例题精讲
拓展延伸
当堂小结
学习目标
1.了解代数式、单项式、多项式、整式的有关概念； 2.掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂的运算； 3.掌握整式的运算：单项式乘以单项式, 单项式乘以多项式,多项式乘以多项式, 多项式除以单项式，整式的加减乘除混合运算；

整式的乘法与因式分解导学案

新人教版八年级数学上期导学案学校：西巩驿中学备课组：数学组备课团队：孙小兵杨东付登科杨涌课题15.1.1 同底数幂的乘法课型新授课年级八年级单元第15单元课时第1课时学习目标1、探究同底数幂的乘法法则。

2、会用式子和文字正确描述同底数幂的乘法法则。

3、熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算。

学习重点探究同底数幂的乘法法则；会用式子和文字正确描述同底数幂的乘法法则。

学习难点熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算学法指导自主探究，合作交流知识链接问题：世界排名第五、亚洲第一的巨型计算机——“天河一号”上个月在我国武汉研制成功，“天河一号”每秒钟可进行104运算，问：它工作102秒共运算多少次？（列式并猜测计算结果）课前导案自学探究：先根据幂的意义独立填空，再与同桌讨论计算结果有什么规律？１．２３×２４＝(２×２×２)(２×２×２×２) ＝2( )a2×a6=______________________________=a( )2.根据1中的规律,以幂的形式写出结果:102×104=____ 32×33=____ (-10)2×(-10)4=____ a2×a3=____3.猜一猜:a m· a n=_________ (m、n都是正整数）你能证明吗？4.通过以上的计算，观察等式左、右两边的底数、指数怎样变化的？你能用自己的话来概括这一性质吗？同底数幂相乘，___________________,______________________。

5.a m∙a n∙a p=___________________。

思考：三个以上同底数幂相乘，上述性质还成立吗？6 新知应用：例：计算：(1)(-5) (-5)2 (-5)3 (2)(a+b)3 (a+b)5例题反思：课中小组合作交流课前学习内容，互帮互助，提高学习思想，掌握多变的学习方法；班级展示提出自己做题的见解和方法，共享成果；质疑探究提出自己的疑问，运用集体智慧，共同解决；自悟自得通过以上过程，分析自己在知识、思想方面的经验和教训；测评反1、判断正误：⑴222743=+（）⑵222743=∙（）馈 ⑶xx x 1262=∙ （） ⑷x2x x 666=∙ （）2、选择： ⑴x2m 2+可写成（）A 、x1m 2+ B 、xx2m2+C 、xx 1m 2+∙ D 、xx2m2∙⑵在等式()aaa 1142=∙∙中，括号里面的代数式应当是（）A 、a7B 、a6C 、a5D 、a4⑶若3x a=，5x b =，则xb a +的值为（）A 、8B 、15C 、35 D 、533、10×10×10×10×10可以写成形式？4、26表示？新人教版八年级数学上期导学案学校：西巩驿中学备课组：数学组备课团队：孙小兵杨东付登科杨涌课题 15.1.2幂的乘方课型新授课年级八年级单元第15单元课时第2课时学习目标 1.能用语言表达幂的性质及表达式。

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盱眙县实验初级中学2016届数学第一轮复习导学案第一章：数与式
第3讲：整式与因式分解
主备人：姚尚军审核人：李宏明班级：（）学号：（）姓名：得分：
【学习目标】
1.能正确应用同底数幂的乘法、除法、乘方和积的乘方的运算性质进行运算.
2.会进行整式的加减、乘法运算.
3.会用完全平方，平方差和提公因式法进行因式分解.
【课前热身】
1.（15海南）已知x=1，y=2，则代数式x ﹣y 的值为
A ． 1
B ．﹣1
C ． 2
D ．－3
宜昌）下列运算正确的是
A. 52与25 B ．﹣ab 与ba C.a 2b 3与﹣a 3b 2 D.0.2a 2b 与－2a 2b
4.（15常州）分解因式：2
222y x -＝______________．
5. (15咸宁）端午节期间，“惠民超市”销售的粽子打8折后卖a 元，则粽子的原价
卖元．
【考点回顾】
考点1：整式的有关概念及分类 1. 代数式22,________
2(1)1()3a b ab b x x ⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨-+⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪≠⎪⎪⎩⎪⎪≥⎩22单项式:-系数是次数是3整式(单独一个数或字母也是单项式)有理式多项式:a 是_____次_____项式1分式:x-1二次根式考点2：(1)同类项：也分别相同的单项式叫做同类项.
(2)合并同类项的法则： .
考点3：整式的合并与法则
1．整式加减
（1）去括号添括号法则：
a+（b-c ）=a+b-c ， a-（b+c ）=a-b-c ， a+b-c=+（）， a-b+c= -（）。

（2）整式加减的实质是，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 2．幂的运算法则：
n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；
（a m ）n =____ ___（m ，n 都是正整数）； n n n b a ab =)(（n 为正整数）
； n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）. 零指数：10=a （a≠0）；负整数指数：n n a
a 1=-（a≠0，n 为正整数）； 3．整式的乘法：
(1)几个单项式相乘 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式
(4)乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：。

2015-12-2 考点4：因式分解
1.因式分解概念：把一个多项式化成几个的积的形式，叫因式分解.
2.常用的因式分解方法：
（1）提取公因式法：ma mb mc ++= .
（2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：
（3）分解因式的步骤：如果有公因式，一定先提取公因式，再考虑是否能用公式法分解.
【经典例题】
1.（15连云港）已知m ＋n ＝mn ，则（m －1）（n －1）＝．
2.（15镇江）化简：（1﹣x ）2+2x= ．
3.（15庆阳）若﹣2x m ﹣n y 2与3x 4y 2m+n 是同类项，则m ﹣3n 的立方根是．
4.（15绵阳）计算：a （a 2÷a ）﹣a 2= ．
5.（15恩施州）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a
元后，再次降价20%，现售价为b 元，则原售价为 .
6.（15梅州）已知a+b=﹣
，求代数式（a ﹣1）2+b （2a+b ）+2a 的值．
【当堂检测】
1.（15威海改编）计算：20+（）﹣2= .
2.（15青岛）计算：3a 3•a 2﹣2a 7÷a 2= ．
3.（15莱芜）已知m+n=3，m ﹣n=2，则m 2﹣n 2= ．
4.（15巴中）分解因式：2a 2﹣4a+2= .
5.（15盐城）若2m ﹣n 2=4，则代数式10+4m ﹣2n 2的值为．
6.（15丽水）先化简，再求值：)1)(1()3(a a a a +-+-，其中3
3=a
7.（15河北）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个
二次三项式，形式如图：
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若x=+1，求所捂二次三项式的值．
【淮安中考链接】
1.(15淮安)计算a a 3⨯的结果是
A ．2a B.23a C.a 3 D.a 4 22
3.（13淮安）计算2a 的结果是 .
4.（14淮安）因式分解：x 2﹣3x= ．
5.（14淮安）若m 2﹣2m ﹣1=0，则代数式2m 2﹣4m+3的值为．。