2015-2016年湖北省黄冈中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)

2015-2016学年湖北省黄冈中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）经过圆x2+y2+2y=0的圆心且与直线x+2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．x+2y+2=0 C．x+2y+1=0 D．x+2y+3=02．（5分）已知直线l1：﹣y+2=0，l2：m2x+﹣9=0．若l1⊥l2，则m的值是（）A．﹣ B．﹣2 C．D．23．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，该几何体体积为（）A．B．C．D．4．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则下列结论中错误的是（）A．EF∥平面ABCD B．AC⊥BEC．三棱锥A﹣BEF体积为定值D．△BEF与△AEF面积相等5．（5分）已知{a n}是等差数列，a3=8，S6=57，则过点P（2，a7），Q（3，a8）的直线斜率为（）A．3 B．C．﹣3 D．﹣136．（5分）若点（1，1）和点（0，2）一个在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，另一个在圆的外面，则正实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，）C．（0，1） D．（1，2）7．（5分）如图，在四面体A﹣BCD中，AC与BD互相垂直，且长度分别为2和3，平行于这两条棱的平面与边AB、BC、CD、DA分别相交于点E、F、G、H，记四边形EFGH的面积为y，设=x，则（）A．函数f（x）的值域为（0，1]B．函数y=f（x）满足f（x）=f（2﹣x）C．函数y=f（x）的最大值为2 D．函数y=f（x）在（0，）上单调递增8．（5分）正四面体ABCD的外接球半径为6，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（）A．9πB．4πC．24πD．16π9．（5分）已知圆x2+y2=9与圆x2+y2﹣4x+4y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣2=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+y﹣1=010．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）如果直线3ax﹣by+15=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+2（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣3）2=16的内部或圆上，那么，的取值范围是（）A．[，）B．（，）C．[，]D．（，]12．（5分）圆锥的轴截面SAB是边长为4的正三角形（S为顶点），O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在底面直径为4的圆柱形容器中，放入一个半径为1的冰球，当冰球全部融化后，容器中液面的高度为（相同体积的冰与水的质量比为9：10）14．（5分）已知三个不同的平面α、β、γ和两条不同的直线m、n，有下列五个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则则m∥n⑤若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=m，则m⊥γ．其中正确命题的编号是．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则直线ax+by﹣c=0被圆x2+y2=4所截得的弦长为．16．（5分）设P（4，0），A、B是圆C：x2+y2=4上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交圆C于另一点E，直线AE与x轴交于点T，则||×||=．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤）17．（10分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=．O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；（2）若三棱锥P﹣EAD的体积为，求证：PD∥平面EAC．18．（12分）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，AD=AB=，AB⊥BC，如图把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=，AA1=AC=CB=1．（1）求异面直线AE与BC1所成角的余弦值；（2）求二面角D﹣A1C﹣A的正切值．20．（12分）已知数列{a n}（n=1，2，3，…），⊙C1：x2+y2﹣2a n x+2a n+1y﹣2=0和⊙C2：x2+y2+2x+2y﹣2=0．若⊙C1和⊙C2交于A、B两点，且这两点平分⊙C2的周长（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若a1=1，则当⊙C1面积最小时，求出⊙C1的方程．21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）求m的取值范围；（2）当m=1时，若圆C与直线x+ay﹣2=0交于M，N两点，且CM⊥CN，求a 的值．22．（12分）已知圆C过点P（，0）且与圆M：（x+4）2+（y+4）2=r2（r＞0）关于直线x+y+4=0对称，定点R的坐标为（1，﹣1）（1）求圆C的方程；（2）设Q为圆上的一个动点，求•的最小值；（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和直线AB是否平行，并说明理由．2015-2016学年湖北省黄冈中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）经过圆x2+y2+2y=0的圆心且与直线x+2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．x+2y+2=0 C．x+2y+1=0 D．x+2y+3=0【解答】解：易得圆x2+y2+2y=0的圆心为（0，﹣1），由平行关系设所求直线方程为x+2y+c=0，代入点坐标可得﹣2+c=0，解得c=2，故所求直线方程为x+2y+2=0，故选：B．2．（5分）已知直线l1：﹣y+2=0，l2：m2x+﹣9=0．若l1⊥l2，则m的值是（）A．﹣ B．﹣2 C．D．2【解答】解：∵直线l1：﹣y+2=0，l2：m2x+﹣9=0，l1⊥l2，∴=0，且m﹣2≠0．解得m=﹣2．故选：B．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，该几何体体积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，可知AC=4，BD=1，BC=b，AB=a．设CD=x，AD=y，则x2+y2=16，x2+1=b2，y2+1=a2，消去x2，y2得a2+b2=18≥，所以（a+b）≤6，当且仅当a=b=3时等号成立，此时x=2，y=2，所以V=××1×2×2=．故选：A．4．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则下列结论中错误的是（）A．EF∥平面ABCD B．AC⊥BEC．三棱锥A﹣BEF体积为定值D．△BEF与△AEF面积相等【解答】解：在A中：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，∴EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故A正确；在B中：如图，正方体中，AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D1D．又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故B正确；在C中：∵EF=1，∴==1，设AC∩BD=O，则AO⊥平面BEF，AO==，∴三棱锥A﹣BEF体积V==，∴三棱锥A﹣BEF体积为定值，故C正确；在D中：==1，=，∴△BEF与△AEF面积不相等，故D错误．故选：D．5．（5分）已知{a n}是等差数列，a3=8，S6=57，则过点P（2，a7），Q（3，a8）的直线斜率为（）A．3 B．C．﹣3 D．﹣13【解答】解：∵{a n}是等差数列，a3=8，S6=57，∴，解得a1=2，d=3，∴a7=2+6×3=20，a8=2+7×3=23，∴过点P（2，a7），Q（3，a8）的直线斜率：k==3．故选：A．6．（5分）若点（1，1）和点（0，2）一个在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，另一个在圆的外面，则正实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：当点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，点（0，2）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的圆的外面时，，解得0＜a＜1；当点（0，2）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的圆的外面时，．解得﹣2＜a＜﹣1，不满足正实数a．综上，正实数a的取值范围是（0，1）．故选：C．7．（5分）如图，在四面体A﹣BCD中，AC与BD互相垂直，且长度分别为2和3，平行于这两条棱的平面与边AB、BC、CD、DA分别相交于点E、F、G、H，记四边形EFGH的面积为y，设=x，则（）A．函数f（x）的值域为（0，1]B．函数y=f（x）满足f（x）=f（2﹣x）C．函数y=f（x）的最大值为2 D．函数y=f（x）在（0，）上单调递增【解答】解：∵AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，∴AC∥EF．AC∥HG，BD∥EH．BD∥FG，则四边形EFGH为平行四边形，∵AC，BD互相垂直，∴EH⊥EF，则四边形EFGH为矩形，∵=x，∴由===1﹣=1﹣x，即EH=（1﹣x）BD=3（1﹣x），同理==x，则EF=x•AC=2x，则四边形EFGH的面积为y=EH•EF=2x•3（1﹣x）=6（x﹣x2）=﹣6（x﹣）2+，∵x∈（0，1），∴当x=时，函数取得最大值，故A，C错误．函数y=f（x）=6（x﹣x2）=﹣6（x﹣）2+在（0，）上单调递增，故D正确．∵函数的对称轴为x=，∴函数y=f（x）满足f（x）=f（1﹣x），故B错误．故选：D．8．（5分）正四面体ABCD的外接球半径为6，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（）A．9πB．4πC．24πD．16π【解答】解：由题意，面积最小的截面是以AB为直径的截面，将四面体ABCD放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，设AB=a，则=12，可求得a=4，进而截面面积的最小值为=24π．故选：C．9．（5分）已知圆x2+y2=9与圆x2+y2﹣4x+4y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣2=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+y﹣1=0【解答】解：圆x2+y2=9的圆心为O（0，0），圆x2+y2﹣4x+4y﹣1=0的标准方程为（x﹣2）2+（y+2）2=9，圆心A（2，﹣2），若圆x2+y2=9与圆x2+y2﹣4x+4y﹣1=0关于直线l对称，则AO的中点为（1，﹣1），AO的斜率k=，则l的斜率k=1，即l的方程为y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0，故选：B．10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长等于1，可得：D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），∴=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），设=（x，y，z）是平面A1BD的一个法向量，则，即，取x=1，得y=z=﹣1，∴平面A1BD的一个法向量为=（1，﹣1，﹣1），设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==，∴cosθ=，即直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是；故选：C．11．（5分）如果直线3ax﹣by+15=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+2（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣3）2=16的内部或圆上，那么，的取值范围是（）A．[，）B．（，）C．[，]D．（，]【解答】解：∵当x+1=0，即x=﹣1时，y=f（x）=m x+1+2=1+2=3，∴函数f（x）的图象恒过一个定点（﹣1，3）；又直线3ax﹣by+15=0过定点（﹣1，3），∴a+b=5①；又定点（﹣1，3）在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣3）2=16的内部或圆上，∴（﹣1﹣a+1）2+（3+b﹣3）2≤16，即a2+b2≤16②；由①②得，≤b≤，∴≤≤，∴=﹣1∈[，]故选：C．12．（5分）圆锥的轴截面SAB是边长为4的正三角形（S为顶点），O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为（）A．B．C．D．【解答】解：过M作MP3⊥AM交AB于P3，过P3作P1P2⊥AB交圆锥底面圆周为P1，P2，则P1P2⊥平面AMP3，∴AM⊥P2P1，即P点轨迹为线段P1P2．∵△SAB是边长为4的等边三角形，∴AO=2，SO=2，∴OM==．∵∠AMP3=90°，∴OM2=AO•OP3，解得OP3=．∴P1P2=2=．故选：D．二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在底面直径为4的圆柱形容器中，放入一个半径为1的冰球，当冰球全部融化后，容器中液面的高度为0.3（相同体积的冰与水的质量比为9：10）【解答】解：半径为1的冰球的体积为π，水的体积为π，设冰球全部溶化后，容器中液面的高度为h，则π×22h=π，∴h=0.3．故答案为：0.3．14．（5分）已知三个不同的平面α、β、γ和两条不同的直线m、n，有下列五个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则则m∥n⑤若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=m，则m⊥γ．其中正确命题的编号是①②③④⑤．【解答】解：由三个不同的平面α、β、γ和两条不同的直线m、n，知：在①中，若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故①正确；在②中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故②正确；在③中，若m⊥α，m∥n，n⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；在④中，若m∥α，α∩β=n，则由线面平行的性质定理得m∥n，故④正确；在⑤中，若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=m，则由面面垂直的判定定理得m⊥γ，故⑤正确．故答案为：①②③④⑤．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则直线ax+by﹣c=0被圆x2+y2=4所截得的弦长为．【解答】解：x2+y2=4的圆心为（0，0），半径为2，∵a2+b2=c2，∴圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离d==，∴弦长l=2=，故答案为：．16．（5分）设P（4，0），A、B是圆C：x2+y2=4上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交圆C于另一点E，直线AE与x轴交于点T，则||×||=4（﹣1）．【解答】解：取B（0，2），A（0，﹣2），则E（，1），T（2，0），∴=（2，2），=（﹣2，1）∴||×||=•=4（﹣1）．故答案为：4（﹣1）．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤）17．（10分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=．O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；（2）若三棱锥P﹣EAD的体积为，求证：PD∥平面EAC．【解答】（本题满分为10分）证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，∴AC⊥平面PBD，又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB．（2）取AD中点H，连结BH，PH，在△PBH中，经点E作EF∥BH，交PH于点F，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BH⊥平面PAD，EF⊥平面PAD，可得：BH=AB=，∴V P=V E﹣PAD=S PAD×EF==×2×EF=，﹣EADV B﹣PAD=×S△PAD×BH=×==．∴EF=，∴==，可得E为PB中点，又∵O为BD中点，∴OE∥PD，∵PD⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC．18．（12分）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，AD=AB=，AB⊥BC，如图把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AD∥BC，BC=2AD，，AB⊥BC，所以，∠DBC=∠ADB=45°，=2，BD2+CD2=BC2，所以CD⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以CD⊥平面ABD．…（6分）（Ⅱ）解：点M为线段BC中点，点M到平面ACD的距离就是B到平面ACD的距离的一半，由（Ⅰ）可知：CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，又AB⊥BC，BC∩CD=C，可得AB⊥平面ACD，BA就是B到平面ACD的距离，∵AB=，∴点M到平面ACD的距离为：．得点M到平面ACD的距离为．…（12分）19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=，AA1=AC=CB=1．（1）求异面直线AE与BC1所成角的余弦值；（2）求二面角D﹣A1C﹣A的正切值．【解答】解：（1）取B1C1中点F，连接EF，AF，A1F，于是EF=，，，而∠AEF或其补角为异面直线所成角，又cos∠AEF=，故∠AEF为异面直线所成角，其余弦值为；（2）取AC中点M，在△A1AC内，过点M作MN⊥A1C于N，连结DN，则∠DNM 为二面角D﹣A1C﹣A的平面角，∵，由Rt△A1AC∽Rt△MNC，可得，在Rt△DMN中，．即二面角D﹣A1C﹣A的正切值为．20．（12分）已知数列{a n}（n=1，2，3，…），⊙C1：x2+y2﹣2a n x+2a n+1y﹣2=0和⊙C2：x2+y2+2x+2y﹣2=0．若⊙C1和⊙C2交于A、B两点，且这两点平分⊙C2的周长（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若a1=1，则当⊙C1面积最小时，求出⊙C1的方程．【解答】（1）证明：⊙C1：x2+y2﹣2a n x+2a n+1y﹣2=0和⊙C2：x2+y2+2x+2y﹣2=0相）y=0．减可得直线AB的方程：（1+a n）x+（1﹣a n+1∵⊙C1和⊙C2交于A、B两点，且这两点平分⊙C2的周长，∴AB经过⊙C2的圆心（﹣1，﹣1），=0，即a n+1﹣a n=2，∴1+a n+1﹣a n+1∴数列{a n}是公差为2的等差数列．（2）解：当a1=1时，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．⊙C1：x2+y2﹣2a n x+2a n+1y﹣2=0配方变为：+=+2．半径R满足：R2=+2=（2n﹣1）2+（2n+1）2+2=8n2+4≥12，当n=1时q 取等号，此时⊙C1面积最小，⊙C1的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=12．21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）求m的取值范围；（2）当m=1时，若圆C与直线x+ay﹣2=0交于M，N两点，且CM⊥CN，求a 的值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，即圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2 =5﹣m，∴m＜5．（2）当m=1时，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2 =4，圆心C：（1，2），半径r=2，∵CM⊥CN，∴弦心距d=r，即=，化简：2a2﹣4a﹣1=0，求得a=．22．（12分）已知圆C过点P（，0）且与圆M：（x+4）2+（y+4）2=r2（r＞0）关于直线x+y+4=0对称，定点R的坐标为（1，﹣1）（1）求圆C的方程；（2）设Q为圆上的一个动点，求•的最小值；（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和直线AB是否平行，并说明理由．【解答】（1）解：由题意可得点C和点M（﹣4，﹣4）关于直线x+y+4=0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．设C（m，n），由•（﹣1）=﹣1，且++4=0，求得m=0，n=0，故原C的方程为x2+y2=r2．再把点P（，0）代入圆C的方程，求得r=，故圆的方程为x2+y2=2．（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，且•=（x﹣1，y+1）•（x+4，y+4）=x2+y2+3x+5y=3x+5y+2，令x=cosθ，y=sinθ，∴•=3cosθ+5sinθ+2=4sin（θ+α），∴•的最小值为﹣4；（3）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1）．与x2+y2=2联立，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0，因为P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得x A=．同理，所以x B=．由于AB的斜率k AB==1=k OP （OP的斜率），所以，直线AB和OP一定平行．第21页（共21页）。