高考数学一轮复习 专题7_4 基本不等式及应用(组)与简单的线性规划问题(讲)

第04节 基本不等式及其应用
【考纲解读】
【知识清单】
基本不等式
1、 如果,R a b ∈，那么22
2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）
推论：22
ab 2
a b +≤（
,R a b ∈）
2、 如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.
推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222
()22
a b a b ++≥ 3
、
2
0,0)112a b a b a b
+≤≤>>+ 对点练习
【2018重庆铜梁县联考】函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则 + 的最小值为（ ） A. 3+2
B. 3+2
C. 7
D. 11
【答案】A
【考点深度剖析】
基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用． 【重点难点突破】
考点1利用基本不等式证明不等式
【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数
∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）
0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）
0c a +≥ （当且仅当c a =时，取等号）
∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.
【1-2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛
⎫⎛⎫
+
+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
. 【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝
， ∴11+
=1+=2+a b b a a a +.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫
+≥ ⎪⎝⎭
，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．
∴11119a b ⎛
⎫⎛⎫
+
+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当12a b ==时等号成立． 【领悟技法】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【触类旁通】 【变式一】求证:
4
7(3)3
a a a +≥>-
考点2 利用基本不等式求最值
【2-1】【2017天津，理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441
a b ab
++的最小值为___________.
【答案】4
【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件
是222a b =，后一个等号成立的条件是1
2
ab =
，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b =
=
时取等号）. 【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x 的不等式x 2
-4ax +3a 2
＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2）
）
【答案】D
【解析】：不等式x 2
-4ax +3a 2
＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2）， 根据韦达定理，可得： 2123x x a =，x 1+x 2=4a ， 那么：
a
∵a ＜0，
∴-（4a
4a
故选：D ．
【2-3】【2018有两个不等的实根1x 和2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. C. ()2,+∞ D. ()0,1
【答案】
C
【领悟技法】
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
注意：形如y ＝x ＋a
x
(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【触类旁通】
【变式一】【2017届浙江杭州高三二模】设函数()()2
,f x x ax b a b R =++∈的两个零点为
1x ， 2x ，若122x x +≤，则（ ）
A. 1a ≥
B. 1b ≤
C. 22a b +≥
D. 22a b +≤ 【答案】B
【解析】12x x +≥=
，所以2≤ ，则1b ≤ ，故选择B.
【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我
们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若正数,a b R ∈且1a b +=，则为（ ）
【答案】A
考点3 基本不等式的实际应用
【3-1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30
【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900
x x
=
，即30x =时等号成立.
【3-2】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形
EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）
A.6
B.4 D.【答案】C
【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以
EB =，AE y =
．AB EB AE =+y ≥，即
≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．
【3-3】 (2015·大理模拟)某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保
留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，
DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．
(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；
(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．
【领悟技法】
用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【触类旁通】
【变式】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单
位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋x 2
360升，司机的工资是
每小时14元．
(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；
(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
【解析】(1)设所用时间为t ＝130
x
(h)，
y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋x 2
360＋14×130x ，x ∈[50，100]．
所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是
y ＝
130×18x ＋2×130
360
x ，x ∈[50，100]． (或y ＝2 340x ＋1318
x ，x ∈[50，100])．
y ＝
130×18x ＋2×130360
x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ，
即x ＝1810，等号成立．
故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．
【易错试题常警惕】
易错典例：已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1
y
)的最小值为________．
[错解] 错解一：因为对a >0，恒有a ＋1
a
≥2，
从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1
y
)≥4，
所以z 的最小值是4. 错解二：z ＝2＋x 2y 2
－2xy
xy
＝(2
xy ＋xy )－2≥2
2
xy
·xy －2＝2(2－1)，
所以z 的最小值是2(2－1)．
易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．
温馨提示：1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项
的值相等时，等号成立．
2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．。