高考数学文科生高效提分热点解读之集合与逻辑 函数与导数
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第1讲 集合、常用逻辑用语课件
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【解析】 (1)A 项，若等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，前 n 项的和为 Sn，则数列 {Snn}为等差数列，且通项为Snn＝a1＋(n－1)d2，即数列{Snn}是公差为d2的等差数列，故说法 正确；B 项，由题意得：Snn＝a1＋(n－1)d，所以 Sn＝na1＋n(n－1)d，则 an＝Sn－Sn－1＝ a1＋2(n－1)d，即数列{an}是公差为 2d 的等差数列，故说法正确；C 项，若数列{an}是等 差数列的公差为 d，则数列的奇数项，偶数项都是公差为 2d 的等差数列，说法正确；D 项，若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}不一定是等差数 列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选 D.
12/13/2021
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充要条件的判断及证明
[核心提炼]
充分、必要条件的判断方法
利用定 义判断
直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假
从集合的角 若 A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必
度判断 要条件；若 A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件
利用等价转 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
化法判断
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[典型例题] (1)(2019·高考浙江卷)若 a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
第2部分 高考热点 专题 突破 (zhuāntí)
专题 一 (zhuāntí) 集合、常用逻辑用语、函数与导 数、不等式
高考数学集合和函数知识点
高考数学集合和函数知识点1. 集合的基本概念集合是数学中的基本概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。
集合的元素可以是任意事物，比如数字、字母、图形等等。
集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。
常见的集合有自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R等等。
集合之间可以进行运算，包括并集、交集、差集等等。
2. 集合的表示方法集合可以通过列举元素的方式表示，比如集合A={1, 2, 3}；也可以通过描述元素的特征来表示，比如集合B={x | x是偶数}。
3. 集合的运算3.1 并集并集是指两个集合中所有的元素的总和。
表示为A∪B，其中A和B是两个集合。
并集的结果是一个新的集合，其中包含了A和B中的所有元素。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
3.2 交集交集是指两个集合中共有的元素组成的集合。
表示为A∩B，其中A和B是两个集合。
交集的结果是一个新的集合，其中包含了A和B中共有的元素。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的交集为A∩B={3}。
3.3 差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的集合。
表示为A-B，其中A和B是两个集合。
差集的结果是一个新的集合，其中包含了A中去除掉B 中的元素。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的差集为A-B={1, 2}。
3.4 补集补集是指在某个全集中，不属于某个集合的元素所组成的集合。
表示为A的补集，其中A是一个集合。
补集的结果是一个新的集合，其中包含了全集中不属于A的元素。
例如，对于集合A={1, 2, 3}，它的补集为A的补集={x | x∈R, x≠1, x≠2, x≠3}。
4. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数由定义域、值域和对应关系组成。
高考数学复习热点02 集合与常用逻辑用语
热点02 集合与常用逻辑用语【命题趋势】1.在新一轮课改中集合仍然作为一个必考内容出现，集合之间的混合运算以及集合信息的迁移一直高考的一个热点，主要还是放在选择题前两题为主，此部分内容较为简单，常与函数、方程、不等式结合起来考查.2.常见的逻辑用语部分对于数学来说是一种工具类的知识点，很容易与各个知识点相结合起来进行考查.立体几何，数列，三角函数，解析几何等.但是近几年全国卷出现的频率较少.但随着新课标的进行，综合一些趋势方向，相信常用逻辑用语也会逐渐加入高考行列.【考查题型】选择题【满分技巧】给定集合是不等式的解集的用数轴.给定集合是点集的用数形结合去求.给定集合是抽象几何的用Venn 图去求.对于常见的逻辑词来说，重难点是要分清楚命题的否定与否命题之间的区别于联系.原命题与你否命题等价，剩下两个等价.亦可以采用逆向思维去求.对于充分必要条件问题，最好的理解方法亦是转化成集合与子集的观点去探究 .充分亦是子集.充要亦是集合相等.主要是观察两个集合哪一个范围更大一些.范围小的就是范围大的的充分，亦是范围大的是范围小的的必要即可.【常考知识】集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2020·天津高考真题）设全集，集合{3,2,1,0,1,2,3}U =---，则（ ）{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-()U A B = ðA ．B ．C ．D ．{3,3}-{0,2}{1,1}-{3,2,1,1,3}---【答案】C由题意结合补集的定义可知：，则.{}U 2,1,1B =--ð(){}U 1,1A B =- ð故选：C.2．（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（ ）a ∈R 1a >2a a >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求解二次不等式可得：或，2a a >1a >0a <据此可知：是的充分不必要条件.1a >2a a >故选：A.3．（2020·北京高考真题）已知集合，，则（ ）．{1,0,1,2}A =-{|03}B x x =<<A B = A ．B ．C ．D ．{1,0,1}-{0,1}{1,1,2}-{1,2}【答案】D【分析】，{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I 故选：D.4．（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“,R αβ∈k Z ∈(1)kk απβ=+-”的（ ）．sin sin αβ=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】(1)当存在使得时，k Z ∈(1)kk απβ=+-若为偶数，则；k ()sin sin sin k απββ=+=若为奇数，则；k ()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦(2)当时，或，，即sin sin αβ=2m αβπ=+2m αβππ+=+m Z ∈或，()()12k k k m απβ=+-=()()121kk k m απβ=+-=+亦即存在使得．k Z ∈(1)kk απβ=+-所以，“存在使得”是“”的充要条件.k Z ∈(1)k k απβ=+-sin sin αβ=故选：C.5．（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】依题意是空间不过同一点的三条直线，,,m n l 当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.,,m n l ////m n l ,,m n l 当两两相交时，设，根据公理可知确定一个,,m n l ,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=2,m n平面，而，根据公理可知，直线即，所以在α,B m C n αα∈⊂∈⊂1BC l α⊂,,m n l 同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.,,m n l ,,m n l 故选：B6．（2020·浙江高考真题）已知集合P =，，则P Q =（ ）{|14}<<x x {|23}Q x x =<< A ．B ．{|12}x x <≤{|23}x x <<C ．D ．{|34}x x ≤<{|14}<<x x 【答案】B【分析】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==I I 故选：B7．（2020·浙江高考真题）设集合S ，T ，S N *，T N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，⊆⊆T 满足：①对于任意x ，y S ，若x ≠y ，都有xy T∈∈②对于任意x ，y T ，若x <y ，则S ；∈yx ∈下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A【分析】首先利用排除法：若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C ；{}1,2,4S ={}2,4,8T ={}1,2,4,8S T = 若取，则，此时，包含5个元素，排除{}2,4,8S ={}8,16,32T ={}2,4,8,16,32S T = 选项D ；若取，则，此时，{}2,4,8,16S ={}8,16,32,64,128T ={}2,4,8,16,32,64,128S T = 包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合，且，，{}1234,,,S p p p p =1234p p p p <<<*1234,,,p p p p N ∈则，且，则，1224p p p p <1224,p p p p T ∈41p Sp ∈同理，，，，，42p S p ∈43p S p ∈32p S p ∈31p S p ∈21p S p ∈若，则，则，故即，11p =22p ≥332p p p <322p p p =232p p =又，故，所以，444231p p p p p >>>442232p p p p p ==342p p =故，此时，故，矛盾，舍.{}232221,,,S p p p =522,p T p T ∈∈42p S ∈若，则，故即，12p ≥32311p p p p p <<322111,p pp p p p ==323121,p p p p ==又，故，所以，44441231p p p p p p p >>>>441331p p p p p ==441p p =故，此时.{}2341111,,,S p p p p ={}3456711111,,,,p p p p p T ⊆若， 则，故，故，q T ∈31q S p ∈131,1,2,3,4iq p i p ==31,1,2,3,4i q p i +==即，故，{}3456711111,,,,q p p p p p ∈{}3456711111,,,,p p p p p T =此时即中有7个元素.{}234456*********,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=S T 故A 正确.故选：A .8．（2020·山东高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U 故选：C9．（2020·全国高考真题（理））已知集合，，{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N {(,)|8}B x y x y =+=则中元素的个数为（ ）A B A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】由题意，中的元素满足，且，A B 8y x x y ≥⎧⎨+=⎩*,x y N ∈由，得，82x y x +=≥4x ≤所以满足的有，8x y +=(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)故中元素的个数为4.A B 故选：C.10．（2020·全国高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【分析】求解二次不等式可得：，240x -≤{}2|2A x x -=≤≤求解一次不等式可得：.20x a +≤|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭由于，故：，解得：.{}|21A B x x ⋂=-≤≤12a-=2a =-故选：B.11．（2020·江西赣州·高三其他模拟（理））已知集合，(){}10A x x x =-≤，若，则实数的取值范围为（）(){}ln B x y x a ==-A B A = a A ．B ．C ．D ．(),0-∞(],0-∞()1,+∞[)1,+∞【答案】A 【分析】，(){}{}1001A x x x x x =-≤=≤≤ ，(){}{}{}ln 0B x y x a x x a x x a ==-=->=>由可得，.A B A = A B ⊆0a ∴<因此，实数的取值范围是.a (),0-∞故选：A.12．已知集合，，则（）{}1M x x =>{}265N x x x=+>M N = A ．B ．C ．D ．()3,+∞()()1,23,⋃+∞()2,3()1,2【答案】B【分析】由即，即，解得或，265x x +>2560x x -+>()()230-->x x 2x <3x >所以，故，()(),23,N =-∞⋃+∞()()1,23,M N ⋂=⋃+∞故选：B.13．已知集合，，则（）{}23180A x x x =--≤(){}ln 2B x y x ==-A B = A ．B ．C ．D ．(]2,6(]2,3[)3,2-(]2,18【答案】A 【分析】不等式，23180x x --≤即，()()630x x -+≤解得，36x -≤≤所以集合，[]3,6A =-由对数函数的定义域可得集合，()2,B =+∞所以.(]2,6A B ⋂=故选：A.14．已知集合，，则（）(){}ln 1A x y x ==-{}220B x x x=-≤()RA B ⋃=ðA ．B ．C ．D ．{}1x x <{}2x x <{}12x x <<{}01x x <<【答案】B 【分析】所以，.{}R 02B x x =<<ð(){}R 2A B x x ⋃=<ð故选：B15．已知实数，，则是的（ ）1a >1b >4a b +≤22log log 1a b ⋅≤A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】：因为，，所以，，1a >1b >2log 0a >2log 0b >由，，得，a b +≥4a b +≤4ab ≤．222222222log log log log 4log log 1222a b ab a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭反之，若，取，，则22log log 1a b ⋅≤16a =152b =，但是．1522224log log log 16log 215a b ⋅=⋅=<4a b +>故选：A ．16．（2020·贵州贵阳·高三其他模拟）已知集合，{}3,M x x n n Z ==∈，且，，，记{}31,N x x n n Z ==+∈{}31,P x x n n ==-∈Z a M ∈N b ∈c P∈，则（ ）d a b c =+-A ．B ．C ．D ．()d M P ∈⋃d M∈d N∈d P∈【答案】D【分析】由题意设，，，（），13a k =231b k =+331c k =-123,,k k k Z ∈则，而，1231233()23(1)1d a b c k k k k k k =+-=+-+=+-+-1231k k k Z +-+∈∴．d P ∈故选：D ．二、填空题17．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .⊂则下述命题中所有真命题的序号是__________.①②③④14p p ∧12p p ∧23p p ⌝∨34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【分析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；1p 1l 2l α若与相交，则交点在平面内，3l 1l A α同理，与的交点也在平面内，3l 2lB α所以，，即，命题为真命题；AB α⊂3l α⊂1p 对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，2p 命题为假命题；2p 对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，3p 命题为假命题；3p 对于命题，若直线平面，4p m ⊥α则垂直于平面内所有直线，m α直线平面，直线直线，l ⊂α∴m ⊥l 命题为真命题.4p 综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题，14p p ∧12p p ∧为真命题，为真命题.23p p ⌝∨34p p ⌝∨⌝故答案为：①③④.18．（2020·江苏高考真题）已知集合，则_____.{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=A B = 【答案】{}0,2【分析】∵,{}1,0,1,2A =-{}0,2,3B =∴{}0,2A B =I 故答案为：.{}0,2。
高三数学集合与逻辑知识点
高三数学集合与逻辑知识点数学作为一门理科学科，对逻辑思维和集合概念有着深刻的研究和应用。
在高三学习阶段，学生将接触到更多深入的数学知识，包括集合和逻辑。
本文将对高三数学中的集合和逻辑知识点进行详细讨论。
一、集合的基本概念集合是数学中的重要概念，它是由一些确定的对象组成的整体。
常用的表示集合的方法有描述法和列举法。
集合中的对象称为元素，记作a∈A，表示元素a属于集合A。
有时候我们也可以用A={元素1，元素2，...}的方式表示一个集合。
在集合中，还有一些常见的特殊集合，如空集。
空集是不包含任何元素的集合，记作∅。
还有全集，全集是研究问题所涉及的全部元素的集合，记作U。
二、集合的运算1. 并集并集是指将两个或多个集合中的所有元素组成的集合。
表示为A∪B，其中A和B为集合。
并集的性质是交换律、结合律和吸收律。
2. 交集交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
表示为A∩B，其中A和B为集合。
交集的性质是交换律、结合律和吸收律。
3. 差集差集是指一个集合中除去另一个集合中的元素后所剩下的元素组成的集合。
表示为A-B，其中A和B为集合。
差集的性质是非交换律和非结合律。
4. 互斥事件互斥事件是指两个事件的交集为空集的情况，即两个事件不可能同时发生。
三、逻辑的基本概念逻辑是研究正确推理的学问，也是数学的一部分。
在高三数学中，逻辑运算是一种常见的思维方式。
1. 命题命题是陈述性的陈述句，可以判断其真假。
命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
复合命题可以通过逻辑运算符如与、或、非等来构成复合命题。
2. 逻辑运算符逻辑运算符有与、或、非三种。
与运算符表示两个命题同时为真时，才为真；或运算符表示两个命题中至少一个为真时，就为真；非运算符表示对一个命题取反。
3. 条件命题条件命题是指由两个命题构成的复合命题，可以表示“如果……，则……”的关系。
例如，如果今天下雨，那么我就带伞。
4. 充分必要条件在逻辑中，充分必要条件是指两个条件之间的关系。
高中数学高考总复习：集合与逻辑知识讲解及考点梳理
有非空真子集的个数是 2n 2
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如 、 、 、 、=、CS A 、
∪，∩等等； 2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题， 注意运用 Venn 图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是 准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn 图” 来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）； 3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题 所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
G {z | y x2 2x 1, z y} x。
1
⑤空集是指不含任何元素的集合。 {0}、 和{} 的区别；0 与三者间的关系。空集是任何集合的子集，
是任何非空集合的真子集。条件为 A B ，在讨论的时候不要遗忘了 A 的情况。
⑥符号“ ,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“Ø, ”
（1）若 A∩B=A，求实数 a 的值；
（2）求 A∪B，A∩B．
【解析】A={x|x=4 或 x=a}，B={x|x=1 或 x=4}
（1）因为 A∩B=A 所以 A⊆B，由此得 a=1 或 a=4
（2）若 a=1，则 A=B={1，4}
高中数学专题复习一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 一、利用公式求导:1、常见函数求导：'1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()x xe e = '()ln (0)x x a a a a =⋅>'1(ln )x x='1(log )(01)ln a x a a x a=>≠且 2．求导法则：[]'''()()()()()()f xg x fx g x f x g x ⋅=±， []'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 二、利用导数几何意义(切线的斜率）解题——切点待定法（设出切点坐标，写出切线表达式） 曲线y=f(x)在点P(x 0 ，f （x 0))处的切线方程是: 0()()()y f x f x x x '-=-三、导函数与原函数图象关系（1()0()f x f x '>⇔、是增函数 2、导数越大，函数变化越大3、原函数看增减性，导函数看正负)1。
已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==,则=N M （ ）。
),1[+∞-.]2,1[-. ),2[+∞ 。
ϕ选.由题意得}1|{-≥=y y M ，}22|{≤≤-=x x N ，所以=N M ]2,1[-。
2．命题“存在04,2<-+∈a ax xR x 使为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ）．充要条件．必要不充分条件．充分不必要条件 ．既不充分也不必要条件选。
依题意,“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”得2160aa ∆=+≤，解得016≤≤-a ,所以命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”是命题“016≤≤-a "的充要条件. 3.设554a log4b log c log ===25，（3），，则（） ．b c a << 。
2024高考数学集合与逻辑运算
2024高考数学集合与逻辑运算数学是高考的重要科目之一，其中包括了数学的各个分支和知识点。
在2024年的高考数学考试中，集合与逻辑运算是其中一个重要的考点。
本文将围绕这个题目来进行详细的阐述和讲解。
一、集合的基本概念及符号表示在数学中，集合是由一些确定的元素组成的整体。
我们用大写字母表示集合，用大括号{}将集合中的元素列举出来。
例如，集合A可以表示为A={1, 2, 3}，表示集合A中有元素1、元素2和元素3。
另外，我们还可以用描述的方式来表示集合，例如，集合B可以表示为B={x|x是正整数，且x<5}，表示集合B中的元素是满足条件“x是正整数，且x<5”的所有数。
在集合中，元素的重复是没有意义的，即一个集合中的元素是不重复的。
而对于一个给定的集合，我们可以用"∈"来表示某个元素是否属于该集合，用"∉"来表示某个元素是否不属于该集合。
二、集合的运算在集合中，我们常常需要进行一些操作，比如合并、交集和差集等。
下面将分别介绍集合的四种基本运算。
1. 并集运算对于集合A和集合B，它们的并集表示将两个集合中的所有元素合并在一起，得到一个新的集合。
用符号"∪"表示并集运算。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集运算对于集合A和集合B，它们的交集表示两个集合中共有的元素，用符号"∩"表示。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 差集运算对于集合A和集合B，它们的差集表示属于集合A但不属于集合B 的元素，用符号"－"表示。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A－B={1, 2}。
4. 补集运算对于给定的一个全集U，集合A的补集表示不属于集合A的所有元素，用符号"'"表示。
高考数学 集合与常用逻辑用语考点及知识点总结解析(文科)
符号
_N__
_N_*_或N＋ _Z_
_Q__
_R_
2．集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
符号语言 记法
集合A的 元素都是 x∈A⇒
基 子集
集合B的元素
x∈B
本
集合A是集合B的子 A⊆B，且 关
系 真子集 集，且集合B中_至__少_ ∃x0∈B，
有一个元素不属于A x0∉A
A⊆B或 _B_⊇__A_
()
A．3
B．6
C．8
D．9
解析：集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，
(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．
答案：D
2．已知a，b∈R，若 a，ba，1 ＝{a2，a＋b,0}，则a2 017＋
b2 017为
()
A．1
B．0
C．－1
D．±1
解析：由已知得a≠0，则
答案：B
2．已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合 A∪B 中元素
的个数为________．
答案：5
3．设集合 A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|0≤x≤3}，则 A∩B
＝________.
答案：{x|0≤x<2}
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是 正确求解集合问题的两个先决条件．
考点二 集合间的基本关系
[典例引领]
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集
有
()
A．8个
B．4个
C．3个
D．2个
解析：由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个． 答案：B
高考数学二轮专题复习第一部分专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式讲义
专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲集合与常用逻辑用语考点一集合的概念及运算一、基础知识要记牢1．集合中元素的特性集合元素具有确定性、互异性和无序性．解题时要特别注意集合元素互异性的应用．2．运算性质及重要结论如(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A等．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)(2)(2018届高三·金丽衢联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤3}[解析] (1)根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．(2)由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.[答案] (1)A (2)D解答集合间的运算关系问题的思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义．(2)根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(3)确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.三、预测押题不能少1．(1)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．(2)设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 因为x ∈A ∩B ，所以x 可取0,1； 因为y ∈A ∪B ，所以y 可取－1,0,1,2,3. 则(x ，y )的可能取值如下表所示：故考点二 四种命题及其关系 一、基础知识要记牢与“四种命题”相关联的结论(1)若一个命题有大前提，其他三种命题需保留大前提；(2)一个命题的否命题与命题的否定不是同一个命题：前者既否定条件，又否定结论，后者只否定命题的结论；(3)互为逆否关系的命题真假相同，所以四种命题的真假个数一定为偶数． 二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( )A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4 (2)(2017·金华一中模拟)下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题[解析] (1)设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，对于p1，∵1z＝1a＋b i＝a－b ia2＋b2∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋y i(x，y∈R)，z2＝c＋d i(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋y i)(c＋d i)＝cx－dy ＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋b i∈R，∴b＝0，∴z＝a－b i＝a∈R，∴p4是真命题．(2)对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，其否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以原命题的否命题是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．故选A.[答案] (1)B (2)A1在判定四个命题之间的关系时，首先要分清命题的“大前提、条件、结论”，再进行比较.2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.3根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质，当一个命题的真假不易判定时，可转化为判断其等价命题的真假.三、预测押题不能少2．(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数．(2)有下列四个命题：①若“xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③解析：选D ①的逆命题：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的．故选D.考点三 充要条件 一、基础知识要记牢对于p 和q 两个命题，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p 和q 互为充要条件．推出符号“⇒”具有传递性，等价符号“⇔”具有双向传递性．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．(2)A ＝{x |－1＜x ＜1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则有－1≤b －1＜1或－1＜b ＋1≤1，所以b ∈(－2,2)．[答案] (1)C (2)(－2,2)判定充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .2要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明.三、预测押题不能少3．(1)“10a>10b”是“lg a >lg b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由10a>10b得a >b ，由lg a >lg b 得a >b >0，所以“10a>10b”是“lg a >lg b ”的必要不充分条件．(2)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．故选A.[知能专练(一)]一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．(2017·浙江延安中学模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：选D “若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0.故选D.3．(2017·宁波模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．4．(2017·吉林模拟)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：选A 设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．6．(2018届高三·安徽“江南十校”联考)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x(x ∈A)的值域为B，则(∁R A)∩B等于( )A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤1} D．{x|x>1}解析：选A 由题意知，集合A＝{x|0≤x≤1}，∴B＝{y|1≤y≤2}，∁R A＝{x|x<0或x>1}，∴(∁R A)∩B＝{x|1<x≤2}．7．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，n∈N*，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集．若n＝4，则S n的所有奇子集的容量之和为( ) A．7 B．8C．9 D．10解析：选A 若n＝4，则S n的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y ＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.9．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.10．下列关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的结论中成立的是( )A．都为真命题 B．都为假命题C．否命题为真命题 D．逆否命题为真命题解析：选D 对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.二、填空题11．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁U T)＝________，集合S共有________个子集．解析：由题意可得∁U T＝{1,4,5}，则S∩(∁U T)＝{1,5}．集合S的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个．答案：{1,5} 812．(2017·南通模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为________．解析：“a>b”是“3a>3b”的充要条件，①错误；“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，②错误；“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件，③正确．故正确命题的序号为③.答案：③13．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝________，M ∪(∁R N )＝________.解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1＝{x |x <0或x >2}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}＝{y |y ≥1}，∁R M ＝{x |0≤x ≤2}，∁R N ＝{y |y <1}，∴N ∩(∁R M )＝{x |1≤x ≤2}，M ∪(∁R N )＝{x |x <1或x >2}． 答案：{x |1≤x ≤2} {x |x <1或x >2}14．若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件，则实数p 的取值范围是________． 解析：由x 2－x －2>0，得x >2或x <－1. 由4x ＋p <0得x <－p4.故－p 4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件． 答案：[4，＋∞)15．(2017·诸暨质检)已知A ＝{x |－2≤x ≤0}，B ＝{x |x 2－x －2≤0}，则A ∪B ＝________，(∁R A )∩B ＝________.解析：∵A ＝{x |－2≤x ≤0}，∴∁R A ＝{x |x <－2或x >0}，又B ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |0<x ≤2}．答案：{x |－2≤x ≤2} {x |0<x ≤2}16．(2017·四川南山模拟)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，13<x <12是不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 13<x <12是{x ||x －m |<1}的真子集．而{x ||x －m |<1}＝{x |－1＋m <x <1＋m }，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12(两个不等式不能同时取等号)，解得－12≤m ≤43，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝______，A ∪B ＝________，∁R A ＝________.解析：∵A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |1<x <5}，∴A ∩B ＝{x |1<x <4}，A ∪B ＝{x |－1<x <5}，∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．答案：{x |1<x <4} {x |－1<x <5} {x ≤－1或x ≥4} [选做题]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}，若存在实数a ，b 使得A ∩B ≠∅成立，称点(a ，b )为“￡”点，则“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：选A A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝ax ＋b ，x ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝3x 2＋12，x ∈Z}，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝3x 2＋12，故3x 2－ax ＋12－b ＝0，①因为A ∩B ≠∅，故Δ＝a 2－12(12－b )＝a 2＋12b －144≥0，即a 2＋12b ≥144，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12b ≥144，a 2＋b 2≤108，解得a ＝±62，b ＝6，代入①中可知x ＝±2，这与x ∈Z 矛盾，故“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为0，故选A.2．对于非空数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，下列说法： ①A ＋B ＝B ＋A ；②(A ＋B )＋C ＝A ＋(B ＋C )； ③若A ＋A ＝B ＋B ，则A ＝B ； ④若A ＋C ＝B ＋C ，则A ＝B . 其中正确的是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①④解析：选B 对于①，A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }＝{y ＋x |x ∈A ，y ∈B }＝B ＋A ，①正确；对于②，(A ＋B )＋C ＝{(x ＋y )＋z |x ∈A ，y ∈B ，z ∈C }＝A ＋(B ＋C )，②正确；对于③，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}时，A ＋A ＝{偶数}＝B ＋B ，显然A ≠B ，③错误，对于④，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}，C ＝{整数}时，A ＋C ＝{整数}＝B ＋C ，显然A ≠B ，④错误．综上所述，正确的为①②，故选B.3．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a ＞0，a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式t2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，－2t 2＋7t －5＞0，解得1＜t ＜52.∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞第二讲函数的概念与性质考点一 函数及其表示 一、基础知识要记牢(1)函数初、高中定义形式不同，本质一样，核心是对应； (2)当两个函数的三要素完全相同时表示同一个函数；(3)分段函数是一个函数而不是几个函数，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的． 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2015·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|(2)(2017·嘉兴模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.(3)(2016·江苏高考)函数y ＝ 3－2x －x 2的定义域是________．[解析] (1)取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝ x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝ x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确．(2)当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1>0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．当a >0时，f (a )＝－a 2<0，由f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝ 2.(3)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．[答案] (1)D (2) 2 (3)[－3,1]1.理解函数概念的要点函数概念本质是对应，以具体函数模型为基础，在新背景、综合背景下理解. 2.求函数定义域的类型和相应方法 1若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式组即可；2实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义., 3.求函数值时应注意的问题分段函数的求值解不等式问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要利用好其周期性.三、预测押题不能少1．(1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9D ．c >9解析：选C 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 考点二 函数的图象 一、基础知识要记牢函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．正确作图是解题的基本保障，识图、用图是解题的手段和目标．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )(2)函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )＝xf (x )，那么函数g (x )值域为( )A ．[0,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32D ．[0,4][解析] (1)∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2＜π2，且y ＝sin π24＜1，故D 项正确． (2)由题图可知直线OA 的方程是y ＝2x ； 而k AB ＝0－23－1＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3，所以g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3.当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2∈[0,2]；当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，显然，当x ＝32时，取得最大值94；当x ＝3时，取得最小值0.综上所述，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94.[答案] (1)D (2)B由解析式确定函数图象的判断技巧(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)由函数的周期性，判断图象的循环往复. 三、预测押题不能少2．(1)函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：选A 由二次函数的图象可知b <－1,0<a <1，所以g (x )＝a x＋b 为减函数，其图象由指数函数y ＝a x的图象向下平移|b |个单位长度得到，故选A.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2. 答案：(－∞，－2) 考点三 函数的性质 一、基础知识要记牢(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．2(3)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)[解析] (1)因为f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－[ 3x －⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．(2)由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D. (3)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)． [答案] (1)A (2)D (3)D函数性质综合应用问题的3种类型和解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.三、预测押题不能少3．(1)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.(2)下列函数中既是奇函数又在其定义域上是减函数的是( ) A ．y ＝lg 1＋x1－xB ．y ＝e －x－e xC ．y ＝sin x －|cos x |D ．y ＝x 3－3x解析：选B 选项A 错误，因为函数f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝－lg 1＋x1－x ＝－f (x )，所以是奇函数且定义域为(－1,1)，因为g (x )＝1＋x 1－x ＝21－x －1是增函数，所以y ＝lg 1＋x1－x 是增函数；选项B 正确，f (－x )＝e x－e －x＝－(e －x－e x )＝－f (x )，所以是奇函数，因为y ＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是减函数，y ＝－e x是减函数，所以y ＝e －x －e x是减函数；选项C 错误，f (－x )＝－sin x －|cos x |≠－f (x )，所以f (x )＝sin x －|cos x |不是奇函数；选项D 错误，函数y ＝x 3－3x 是奇函数但不是单调函数．故选B.(3)若f (x )是定义在f (x )是定义在R 上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，cos πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝________.解析：因为f (x )的周期为4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋53＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝cos 5π3＝cos π3＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝14.答案：14[知能专练(二)]一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A f (－1)＝－f (1)＝－2.2．(2017·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )解析：选D f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2＜8－2.72＜1，排除B ；x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )＜14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14单调递减，排除C.故选D.4．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由题意可知函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )的图象在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．6．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 22x ，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 22x ＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.7．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m .二、填空题8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，a ，x ＝0，g 2x ，x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由函数f (x )是R 上的奇函数可得f (0)＝a ＝0.因为g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25.答案：0 －259．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－210．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案：－2511．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝1，当x ＜0时，f (x )＝x ＋11－x ＝－1－2x －1， 作出f (x )的图象，如图所示．可得f (x )在(－∞，0)上递增，不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)即为⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥43，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <43，0<x <2，1<x <4，解得43≤x ＜2或1＜x ＜43，所以1＜x ＜2，即不等式的解集为(1,2)． 答案：(1,2)12．(2017·杭州模拟)设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R}，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }． 首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4， 解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊇B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x ＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，14 三、解答题13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是偶函数，且过点(2,7)，g (x )＝x ＋4. (1)求f (x )的解析式； (2)求函数F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)的值域；(3)若f (x )≥mx ＋m ＋4对x ∈[2,6]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题意，对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )， ∴ax 2－bx ＋3＝ax 2＋bx ＋3，得2bx ＝0， 又∵x ∈R ，∴b ＝0，得f (x )＝ax 2＋3.把点(2,7)代入得4a ＋3＝7，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋3. (2)F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)＝(2x )2＋3＋2x ＋1＋4＝(2x )2＋2×2x＋7.设2x＝t ，则t ∈(0，＋∞)，F (t )＝t 2＋2t ＋7＝(t ＋1)2＋6>7，∴函数F (x )的值域为(7，＋∞)．(3)依题意得当x ∈[2,6]时，x 2＋3≥mx ＋m ＋4恒成立，即x 2－mx －m －1≥0对x ∈[2,6]恒成立．设p (x )＝x 2－mx －m －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<2，p 2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2>6，p 6≥0或Δ＝m 2＋4m ＋4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <4，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤5或m ＝－2，得m ≤1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，1]． 14．设a >0，b ∈R ，函数f (x )＝ax－2bx ＋b (0<x ≤1)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )＋|2a －b |≥0在区间(0，m ]上恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)当b ≥0时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －2b ＋b ＝a －b ；当b <0时，有ax －2bx ≥2ax×－2bx ＝2－2ab ，x ＝ a －2b 时等号成立．当－a 2≤b <0，即 a－2b≥1时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －b .当b <－a2，即a－2b<1时，此时f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a －2b ＝2－2ab ＋b ，综上知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，b ≥－a2，2－2ab ＋b ，b <－a2.(2)当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＝a x－2bx ＋2a≥a x－4ax ＋2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2， 当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax＋2b (1－x )－2a≥a x＋4a (1－x )－2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2. 由1x －4x ＋2≥0，解得1－54≤x ≤1＋54， 又因为1＋54<1，所以m 的最大值为1＋54.第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用 考点一 基本初等函数的图象与性质一、基础知识要记牢指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·杭州模拟)将函数f(x)＝ax＋b，g(x)＝log a(1＋bx)的图象画在同一个平面直角坐标系中，其中可能正确的是( )(2)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c[解析] (1)因为g(0)＝0，故排除D；选项A中，由直线可以看出b<0，由1＋bx>0知，函数在y轴右侧的图象是有限的，排除A；选项C中，由直线可以看出b>0，由1＋bx>0知，函数在y轴左侧的图象是有限的，排除C，故选B.(2)a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，∵log32>log52>log72，∴a>b>c.[答案] (1)B (2)D1基本初等函数的图象是其性质的直观载体，要结合图象理解性质；图象变换要以基本函数图象为基础，结合性质等判断、应用.2比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较.三、预测押题不能少1．(1)函数y＝x－x 13的图象大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x ，可得x 2>1，故x >1，结合选项，选A.(2)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c .综上得b <a <c .故选A.考点二 二次函数 一、基础知识要记牢二次函数的相关结论若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则(1)f (x )的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根．(2)若x 1，x 2为f (x )＝0的实根，则f (x )在x 轴上截得的线段长应为|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(2)若二次函数f (x )满足f (3)＝f (－1)＝－5，且f (x )的最大值是3，则函数f (x )的解析式为________．(3)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．[解析] (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，①当0≤－a2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．(2)法一：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－5，4ac －b 24a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋4x ＋1.法二：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，因为f (3)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝3＋－12＝1，则m ＝1.又f (x )的最大值是3，则a <0，n ＝3，即f (x )＝a (x －1)2＋3， 由f (3)＝－5得4a ＋3＝－5，则a ＝－2，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2(x －1)2＋3＝－2x 2＋4x ＋1. 法三：设f (x )＋5＝a (x －3)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－2ax －3a －5＝a (x －1)2－4a －5， 又f (x )的最大值是3，则a <0，且－4a －5＝3，所以a ＝－2， 所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋4x ＋1. (3)f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， 则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合二次函数图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.答案：(1)B (2)f (x )＝－2x 2＋4x ＋1 (3)(－∞，2]解决有关二次函数两类综合问题的思想方法(1)含有参数的二次函数与不等式的综合问题注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用． (2)二次函数的最值问题，通常采用配方法，将二次函数化为y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)的形式，得其图象顶点(m ，n )或对称轴方程x ＝m ，分三种情况：①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动. 三、预测押题不能少2．(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．2C ．－52D ．－3解析：选C 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，其图象开口向上，对称轴为直线x ＝－a 2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数，应有f (0)＝1≥0，恒成立，故a ≥0.当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a 的取值范围是a ≥－52，所以a 的最小值是－52，故选C.(2)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1x ，则|PA |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2，令t ＝x ＋1x，则t ≥2(x >0，当且仅当x ＝1时取“＝”)，则|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2.①当a ≤2时，(|PA |2)min ＝22－2a ×2＋2a 2－2＝2a 2－4a ＋2，由题意知，2a 2－4a ＋2＝8， 解得a ＝－1或a ＝3(舍)．②当a >2时，(|PA |2)min ＝a 2－2a ×a ＋2a 2－2＝a 2－2. 由题意知，a 2－2＝8，解得a ＝10或a ＝－10(舍)， 综上知，a ＝－1，10. 答案：－1，10 考点三 函数的零点一、基础知识要记牢确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法，方程易解时用此法； (2)利用零点存在的判定定理；(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解． 二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1(2)(2018届高三·温州六校联考)函数f (x )＝3－x＋x 2－4的零点个数是________． [解析] (1)法一：由f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.。
高考数学解题思路集合与命题逻辑
高考数学解题思路集合与命题逻辑高考数学是一门重要的学科，对于考生来说，掌握解题思路和命题逻辑至关重要。
本文将介绍一些常见的数学解题思路，并讨论命题逻辑在高考数学中的应用。
一、解题思路集合1. 理清思路：在解答数学题目时，首先需要理清思路。
对于复杂的问题，可以分步骤进行分析，找到关键信息和解题思路。
2. 推理演绎：数学解题常常需要推理演绎的过程。
通过观察、分析和推理，可以得出结论或解题方法。
3. 利用图形：在解答数学几何题时，图形通常是一个非常重要的工具。
对于几何问题，可以先画图，然后利用几何定理进行推理和计算。
4. 列方程解方程：代数是高考数学中一个重要的内容，解题常常需要列方程，然后解方程。
掌握方程的求解方法，可以帮助解决各种代数题目。
5. 归纳总结法：在解答数学题时，可以尝试归纳总结已知条件和结论之间的关系。
通过找到规律，可以简化解题的过程。
二、命题逻辑在高考数学中的应用命题逻辑是数学中的一个分支，主要研究命题之间的关系和推理规则。
在高考数学中，命题逻辑也有着广泛的应用。
1. 命题题型：高考中的选择题常常涉及到命题的逻辑关系。
考生需要根据已知条件进行推理，判断哪个选项符合逻辑关系。
2. 命题证明：高考中的证明题也常常需要运用命题逻辑的知识。
在证明过程中，考生需要根据已知条件和定义、定理等逻辑关系进行推理，最终得出结论。
3. 命题推理：命题逻辑中的推理规则也可以应用于高考数学中的题目。
考生可以根据已知条件和推理规则进行逻辑推理，得出正确答案。
三、小结高考数学的解题思路集合和命题逻辑是考生顺利解答数学题目的重要工具。
通过理清思路、推理演绎、利用图形、列方程解方程和归纳总结等方法，考生可以更好地解决各类数学问题。
同时，掌握命题逻辑的知识和推理规则，可以帮助考生在选择题、证明题和推理题中做出正确的判断和推理。
总之，在备战高考数学中，学生应该注重培养解题思路和运用命题逻辑的能力。
只有在理解题目要求和题目之间的逻辑关系的基础上，才能准确把握问题的本质，提高解题能力和应试水平。
高考数学二轮复习专题1集合、常用逻辑用语、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语理
专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数第一讲 集合与常用逻辑用语一、集合的含义与表示 1．集合的含义． (1)集合中元素的性质．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征． (2)元素与集合的关系．元素与集合的关系有属于、不属于两种． 2．集合的表示法⎩⎪⎨⎪⎧列举法，描述法，韦恩图.二、集合间的关系 1．包含关系．若任意元素x ∈A ，则x ∈B ，那么集合A 与B 的关系是A ⊆B ． (1)相等关系：若A ⊆B 且A ⊇B ，则A ＝B .三、集合的运算 1．集合的三种运算．(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }；(3)补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }其中U 为全集，A ⊆U ． 2．运算性质及重要结论．(1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A ； (3)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ； (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .1．四种命题．(1)四种命题之间的相互关系．(2)四种命题的真假关系．①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件．(1)定义：对于“若p，则q”形式的命题，如果已知p⇒q，那么p是q的充分条件；如果q⇒p，那么p是q的必要条件；如果既有p⇒q，又有q⇒p，则记作p⇔q，就是说p 是q的充要条件．(2)若p⇒q但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；若q⇒p但p⇒/ q，则p是q的必要不充分条件．2.全称量词与全称命题．(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题．3．特称量词(存在量词)与特称命题(存在性命题)．(1)特称量词(存在量词)：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做特称量词(存在量词)，用符号“∃”表示．(2)特称命题(存在性命题)：含有特称量词(存在量词)的命题叫做特称命题(存在性命题)．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(×)(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(√)(4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√) (5)“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的必要不充分条件．(×)(6)(2014·上海卷改编)设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >2且b >2”的充分条件．(×)1．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是(B )2．(2014·湛江一模)“α＝π3”是“sin α＝32”的(B ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．(2015·湖南卷)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的(C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：∵ A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴ “A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．4．(2015·安徽卷)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝(B)A ．{1，2，5，6}B ．{1}C ．{2}D ．{1，2，3，4}解析：∵ U ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{2，3，4}，∴ ∁U B ＝{1，5，6}，∴ A ∩(∁U B )＝{1}．一、选择题1．(2015·北京卷)若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝(A)A．{x|－3＜x＜2} B．{x|－5＜x＜2}C．{x|－3＜x＜3} D．{x|－5＜x＜3}解析：如图所示，易知A∩B＝{x|－3<x<2}．2．(2015·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(D)A．5 B．4C．3 D．2解析：A∩B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}∩{6，8，12，14}＝{8，14}，答案选D.3．(2015·陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝(A)A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]解析：M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，M∪N＝[0，1]，故选A.4．(2015·湖南卷)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(C)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵ A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴ “A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件． 5．(2014·安徽卷)命题“∀x ∈R，|x |＋x 2≥0”的否定是(C ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2＜0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0 二、填空题6．下列命题中，②④(填序号)为真命题． ①“A ∩B ＝A ”成立的必要条件是“”；②“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题； ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题． 解析：①A ∩B ＝A ⇒A ⊆B 但不能得出，∴①不正确；②否命题为：“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”，是真命题；③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，所以逆否命题也为真命题．7．(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1． 解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.三、解答题8．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， ①若B ＝∅，则m ＋1＞2m －1， 即m ＜2，∴m ＜2时，A ∪B ＝A . ②若B ≠∅，如图所示，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2.由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1，2m －1≤5，解得－3≤m ≤3. 又∵m ≥2，∴2≤m ≤3.由①②知，当m ≤3时，A ∪B ＝A . 因此，实数m 的取值范围是(－∞，3]．9．设p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解析：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，∴m ＞2，即p ：m ＞2.x 1x 2＝1＞0. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＜0， 即1＜m ＜3，∴q ：1＜m ＜3.∵p ∨q 为真，则p ，q 至少一个为真，又p ∧q 为假，则p ，q 至少一个为假， ∴p ，q 一真一假，即p 真q 假或p 假q 真． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3.∴m ≥3或1＜m ≤2.故实数m 的取值范围为(1，2]∪[3，＋∞)．10．设a ，b ∈R，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，求a 2 016＋b 2 016的值． 思路点拨：因为a 为分母，所以a ≠0，从而ba＝0，故b ＝0，进而知a 2＝1，可求a ，b . 解析：由已知，得a ≠0，∴b a＝0，即b ＝0. 则在集合{a 2，a ＋b ，0}中，a 2＝1.∴a ＝±1. 又a ＝1时，不合题意，∴a ＝－1.∴a2016＋b2016＝(－1)2016＝1.。
高考数学文科生高效提分热点解读之集合与逻辑 函数与导数
高考数学文科生高效提分热点解读之集合与逻辑函数与导数合在一起进行考查。
根据高考对集合、逻辑、函数与导数的考查特点，在复习应做到：（1）掌握基础。
系统全面地梳理基础知识，对各个知识点强化记忆、理解透彻，做到基础知识点不再是解题过程中的障碍。
（2）突出重点。
集合问题的重点是集合的运算、逻辑问题的重点是充要条件的判断、函数问题的重点是函数性质与图像、导数问题的重点是利用导数研究函数的单调性（极值、最值、方程、不等式等离不开单调性），以解决这些重点问题来带动其他问题的解决。
（3）强化热点。
高考对该单元考查的热点是集合及函数中的新定义问题、方程的根和函数的零点、利用导数研究方程的根、利用导数研究不等式问题等，在复习时要加大练习的力度。
考点1集合问题“集合的代表元素是什么”是解决集合问题的关键之一，集合的基本运算关系是“交、并、补”，但应注意补集元素是在其相应的全集下进行的，全集不同时，同一个集合的补集也不相同。
考点2常用逻辑用语（1）命题的四种形式（原命题、逆命题、否命题及逆否命题），分清否命题与命题的否定。
“否命题”与“命题的否定”不是同一概念，“否命题”是对原命题既否定条件也否定其结论；而“命题p的否定（即非p）”则是不否定条件，只否定其结论。
（2）设命题p成立的集合是A,命题q成立的集合是B。
若Ａ＝Ｂ，则ｐ是ｑ的充要条件；若Ａ是Ｂ的子集，则ｐ是ｑ的充分条件；若Ａ是Ｂ的真子集，则ｐ是ｑ的充分不必要条件。
在判断充要条件时，一定要弄清楚问题的条件和结论。
考点3函数的图像与性质（1）函数图像分析类试题要从函数的性质方面入手解决，主要看：初始位置和终点位置；函数的单调性（特别是单调性发生变化的位置）及函数的类型。
（2）函数的性质主要就是单调性、奇偶性和周期性，偶函数在其定义域内关于Ｙ轴对称的区间上单调性相反，奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同。
函数的周期性通常以f（x+a）=-f（x），f（x+a）=f（x+b）等形式呈现，再结合奇偶性，其呈现形式更多,但基本的解题思想就是变换给出的函数关系式，使之符合函数周期性的定义。
函数与导数考前指导
一、集合与简易逻辑 函数与导数亲爱的高三同学，当你即将迈进考场时，对于函数和导数中问题，你是否有清醒的认识？你的数学老师提醒你：1．集合中的元素具有无序性和互异性。
如集合{},2a 隐含条件2a ≠，2研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如：{x y x lg |=}与{x y y lg |=}及{x y y x lg |),(=}三集合并不表示同一集合；3 .进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行求解；若A B=φ，则说明集合A 和集合B 没公共元素，你注意到两种极端情况了吗？A φ=或B φ=；对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、和非空真子集的个数分别是2n 、21n -和22n -，A 是B 的子集⇔A ∪B=B ⇔A ∩B=A ⇔A B A B ⊆⇔⊂，若A B ⊆，你可要注意A φ=的情况。
4.你会用补集的思想解决有关问题吗？C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ），C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ），这种思想在计算概率时也经常用到：()()P A B P A B =+ ，()()P A B P A B +=5.复合命题真假的判断。
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。
四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果。
求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合形式了吗？一元一次不等式的解法：一元二次不等式的解集对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。
首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0≠a ，则一定有042≥-=∆ac b 。
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2019高考数学文科生高效提分热点解读之集合与逻辑函数与导数
作者：佚名
高考是人生的一种经历，一次考验，更是一次锻炼。
不是有人说，没有历经过高考的人生是不完整的人生。
在高考中，要取得理想的成绩，其数学成绩起到关键的作用。
距离高考还有不到40天了，这个时候是冲刺的黄金阶段。
如何抓好这个时间段的复习至关重要，针对大多数文科考生来说，毋容置疑，其薄弱环节就是数学。
那么作为文科生考前数学应怎样复习？考前提分的关键又何在？
热点一集合与逻辑、函数与导数
函数与导数是高中数学的核心知识，是初等数学与高等数学的交汇点，高中数学各章节的知识无不渗透着函数的思想与方法，因此函数与导数也就成为考生务必重视的内容，作为高考的必考内容，一般会命制2-4道选择题和填空题，1-2道解答题，选择题和填空题主要考查函数与导数的基本概念和基本运算、函数的性质、与函数有关的方程和不等式问题等；解答题主要考查导数在研究函数中的应用、求函数解析式中的参数值或范围等问题。
集合与常用逻辑用语也是高考的必考内容，但一般难度不大，主要以选择题或填空题的形式出现，以集合为载体的新定义题是近几年高考考查的热点，而常用逻辑用语一般会与三角、数列、不等式等知识结
合在一起进行考查。
根据高考对集合、逻辑、函数与导数的考查特点，在复习应做到：（1）掌握基础。
系统全面地梳理基础知识，对各个知识点强化记忆、理解透彻，做到基础知识点不再是解题过程中的障碍。
（2）突出重点。
集合问题的重点是集合的运算、逻辑问题的重点是充要条件的判断、函数问题的重点是函数性质与图像、导数问题的重点是利用导数研究函数的单调性（极值、最值、方程、不等式等离不开单调性），以解决这些重点问题来带动其他问题的解决。
（3）强化热点。
高考对该单元考查的热点是集合及函数中的新定义问题、方程的根和函数的零点、利用导数研究方程的根、利用导数研究不等式问题等，在复习时要加大练习的力度。
考点1集合问题
“集合的代表元素是什么”是解决集合问题的关键之一，集合的基本运算关系是“交、并、补”，但应注意补集元素是在其相应的全集下进行的，全集不同时，同一个集合的补集也不相同。
考点2常用逻辑用语
（1）命题的四种形式（原命题、逆命题、否命题及逆否命题），分清否命题与命题的否定。
“否命题”与“命题的否定”不是同一概念，“否命题”是对原命题既否定条件也否定其结论；而“命题p的否定（即非p）”则是不否定条件，只否定其结论。
（2）设命题p成立的集合是A，命题q成立的集合是B。
若Ａ＝Ｂ，则ｐ是ｑ的充要条件；若Ａ是Ｂ的子集，则ｐ是ｑ的充分条件；若Ａ是Ｂ的真子集，则ｐ是ｑ的充分不必要条件。
在判断充要条件时，一定要弄清楚问题的条件和结论。
考点3函数的图像与性质
（1）函数图像分析类试题要从函数的性质方面入手解决，主要看：初始位置和终点位置；函数的单调性（特别是单调性发生变化的位置）及函数的类型。
（2）函数的性质主要就是单调性、奇偶性和周期性，偶函数在其定义域内关于Ｙ轴对称的区间上单调性相反，奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同。
函数的周期性通常以f（x+a）=-f（x），f（x+a）=f（x+b）等形式呈现，再结合奇偶性，其呈现形式更多，但基本的解题思想就是变换给出的函数关系式，使之符合函数周期性的定义。
（3）函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根，在研究方程f（x）=0的根时，又可以把f（x）分拆成两部分，即f （x）=g（x）-h（x），方程f（x）=0的根就是函数y=g（x）与y=h（x）的图像交点的横坐标，这种函数的零点、方程的根、函数图像交点的横坐标之间的相互转换是分析函数零点问题的主要思考方向之一。
考点4导数的几何意义
导数的几何意义是函数y=f（x）在点x0处的导数值f’（x0）
是函数图像上在该点处的切线的斜率。
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
考点5导数的应用
要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
单调性是函数最重要的性质，使用导数研究函数单调性的方法就是导数大于零或小于零的不等式，其在函数定义域内的解集就是单调递增区间或递减区间。
但当已知一个函数在指定区间上递增（或递减）时，必须使这个函数的导数在这个区间上大于或等于零（小于或等于零）恒成立。
利用导数研究函数的零点的方法是求
出函数的单调区间、函数的极值，然后通过数形结合的方法对零点的个数作出判断。
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一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。