7月13日 不等式复习
不等式会考复习高中数学会考复习课件及教案
不等式会考复习-高中数学会考复习课件及教案第一章：不等式的概念与性质1.1 不等式的定义理解不等式的基本概念，掌握不等式的表示方法。
能够区分不等式与等式的区别与联系。
1.2 不等式的性质掌握不等式的基本性质，如传递性、同向可加性、同向相乘性等。
能够运用不等式的性质解决简单问题。
第二章：一元一次不等式2.1 一元一次不等式的解法掌握一元一次不等式的解法，能够熟练求解不等式。
能够解决实际问题中的一元一次不等式。
2.2 一元一次不等式的应用能够运用一元一次不等式解决实际问题，如利润问题、混合问题等。
能够进行一元一次不等式的综合应用。
第三章：一元二次不等式3.1 一元二次不等式的解法掌握一元二次不等式的解法，能够熟练求解不等式。
能够解决实际问题中的一元二次不等式。
3.2 一元二次不等式的应用能够运用一元二次不等式解决实际问题，如面积问题、最值问题等。
能够进行一元二次不等式的综合应用。
第四章：不等式的组合与不等式组4.1 不等式的组合掌握不等式的组合规则，能够正确求解组合不等式。
能够解决实际问题中的组合不等式。
4.2 不等式组的解法掌握不等式组的解法，能够熟练求解不等式组。
能够解决实际问题中的不等式组。
第五章：不等式的应用与拓展5.1 不等式的应用能够运用不等式解决实际问题，如排序问题、筛选问题等。
能够进行不等式的综合应用。
5.2 不等式的拓展了解不等式的拓展知识，如绝对值不等式、分式不等式等。
能够解决实际问题中的拓展不等式。
第六章：不等式的转换与恒等变形6.1 不等式的转换掌握不等式的基本转换方法，如不等式的两边加减、乘除同一个数等。
能够运用转换方法解决不等式问题。
6.2 恒等变形掌握不等式的恒等变形技巧，如运用相反数、平方等性质。
能够进行不等式的恒等变形并求解。
第七章：不等式的图像与解析7.1 不等式的图像理解不等式与函数的关系，能够绘制不等式的图像。
能够通过图像解决不等式问题。
7.2 不等式的解析掌握不等式的解析方法，如解析式与不等式的关系。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。
下面我们来对不等式的相关知识点进行一个全面的总结。
一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。
例如：3x ＋ 2 ＞ 5 ，y 1 ≤ 4 等都是不等式。
二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。
例如：若 5 ＞ 3 ，则 3 ＜ 5 。
2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b＜ c ，那么 a ＜ c 。
比如：已知 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，则 7 ＞ 3 ；若 2 ＜ 4 ，4 ＜ 6 ，则 2＜ 6 。
3、加法性质：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。
例如：因为 8 ＞ 5 ，所以 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2 ，即 10 ＞ 7 。
4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＞ 0 ，那么ac ＜ bc 。
如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＜ 0 ，那么ac ＞ bc 。
例如：若 3 ＞ 1 ，且 2 ＞ 0 ，则 3×2 ＞ 1×2 ，即 6 ＞ 2 ；若 3 ＞ 1 ，但－2 ＜ 0 ，则 3×（－2) ＜ 1×（－2) ，即－6 ＜－2 。
三、一元一次不等式1、定义：含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。
例如：2x 5 ＞ 0 。
2、解法：去分母（若有分母）。
去括号。
移项：将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
合并同类项。
系数化为 1 ：注意当系数为负数时，不等号方向要改变。
高中数学不等式复习
高中数学不等式复习高中数学中的不等式是数学中非常重要的一章内容，它不仅在高考中占有重要的一席之地，而且在数学研究方面也有广泛的应用。
因此，对于不等式的复习和掌握非常重要。
在本文档中，我们将从基础知识、常见不等式和相关题型三个方面让大家进行深入的复习与学习，希望这篇文档能够对大家的学习有所帮助。
一、基础知识在学习不等式之前，必须先学习它的基础知识。
这里所说的基础知识包括数轴、绝对值、倒数、幂函数、指数函数、对数函数、同余、代数符号等内容。
这些知识内容的掌握对于不等式的学习非常重要，因为它们是解决不等式问题的基石。
特别是对于初学者而言，这些内容的理解能力对于不等式的后续学习有着举足轻重的作用。
因此，在学习不等式之前，首先要对这些基础知识进行系统性的学习和掌握。
二、常见不等式常见不等式是数学中最重要的内容之一，因为它们是解决不等式问题的重要工具。
在学习不等式时，我们应该先掌握一些常见的不等式，比如基本不等式、柯西不等式、均值不等式等。
在掌握好这些基本不等式后，我们还应该了解其它不等式，如向量不等式、三角形不等式等。
这些不等式的掌握对于高中数学中的不等式证明十分重要，能够帮助我们更好地解决复杂的不等式问题。
三、相关题型在学习不等式之后，我们需要练习不等式问题。
高中数学中，有很多关于不等式的题型，如直接求某一不等式的解集、证明某一不等式的成立等等。
当然，这些题型的难度也不同。
在练习这些题型的时候，我们应该先从基础题开始，逐渐提高难度，直到能够独立解决较难的不等式问题。
四、总结与展望总之，不等式作为数学重要的一部分，它在实际应用中也有着广泛的应用。
在学习不等式时，我们需要先掌握好基础知识，接着学习常见不等式，最后训练相关题型。
只有这样，我们才能真正掌握和熟练运用不等式，达到理论和实践相结合的目的。
因此，我们应该在学习不等式的过程中注重理论运用和实践训练，在以后的学习和工作中，充分运用不等式所提供的工具和技巧，去解决实际问题。
高三不等式复习知识点
高三不等式复习知识点在高三数学中，不等式是一个重要的知识点，它在解决实际问题和推理推导中有广泛的应用。
接下来，我们将回顾一些高三不等式的基本概念和解题方法。
一、不等式的基本概念不等式是一种数学表达式，它描述了两个数之间的大小关系。
常见的不等式符号有"<"（小于）、">"（大于）、"≤"（小于等于）和"≥"（大于等于）。
例如，对于实数a和b，如果a<b，则我们可以写作a<b；如果a≤b，则表示a小于或等于b。
二、不等式的性质1. 等式性质：不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式保持不变。
例如，对于不等式a<b，如果两边同时加上一个相同的数c，则不等式变为a+c<b+c。
2. 倍数性质：不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等式的方向保持不变；如果乘以（或除以）一个负数，不等式的方向则反向。
例如，对于不等式a<b，如果两边同时乘以一个正数c，则不等式变为ac<bc；如果乘以一个负数c，则不等式变为ac>bc。
3. 倒置性质：不等式两边同时取倒数，不等式的方向需要反向。
例如，对于不等式a<b，如果两边同时取倒数，则不等式变为1/a>1/b。
三、不等式的解法1. 图解法：对于一元一次不等式，我们可以将其在数轴上进行图解。
根据不等式的形式，判断出解的范围。
2. 等效变形法：通过一系列的等式性质和倍数性质的变形，将不等式转化为更简单的形式，从而得到解。
例如，对于不等式3x-5<2x+7，我们可以通过将同类项合并，得到x<12。
3. 区间法：对于一些复杂的不等式，我们可以通过设定合适的区间范围来求解。
例如，对于不等式2x^2-7x+3>0，我们可以通过解二次方程2x^2-7x+3=0得到其零点，然后通过分析函数图像和函数值的正负来确定解的范围。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
高中数学不等式复习
高中数学不等式复习高中数学-不等式复习不等式是数学中一个重要的概念，它描述了数与数之间的大小关系。
在高中数学中，学生需要掌握不等式的基本性质和解法，以应对各类与不等式相关的题目。
本文将对高中数学中的不等式进行复习总结，帮助学生加深对不等式的理解和应用。
一、基本概念与性质1. 不等式的定义：不等式是用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”等连接的两个数或两个代数式。
2. 不等式的解集：不等式的解集是满足不等式中给定条件的数的集合。
3. 不等式的表示方法：不等式可以通过图形、文字或代数式等形式进行表示。
4. 不等式性质：不等式具有传递性、加减性、乘除性等基本性质。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法：通过加减、乘除等运算对不等式两边同时进行操作，得到等价的不等式，最终确定解集。
2. 一元一次不等式的图像：将一元一次不等式表示为一条直线，并用阴影部分表示不等式的解集。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法：通过移项、配方、开方等方法将一元二次不等式转化为一元二次方程，并通过求解一元二次方程得到解集。
2. 一元二次不等式的图像：将一元二次不等式表示为抛物线，并用阴影部分表示不等式的解集。
四、复合不等式1. 复合不等式的解法：通过逐个考虑不等式的条件，将复合不等式分解成多个简单的不等式，并求解每个简单不等式得到解集，最终求得复合不等式的解集。
2. 复合不等式的图像：将复合不等式的图像表示为多个简单不等式的图像的交集或并集。
五、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法：将绝对值不等式根据绝对值的定义进行分类讨论，分别求解不等式得到解集。
2. 绝对值不等式的图像：将绝对值不等式的图像表示为绝对值函数的图像。
六、常见不等式的应用1. 不等式的应用：不等式在数学中有广泛的应用，如求解优化问题、证明不等式、判断数的范围等。
2. 常见不等式：包括加权平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
以上就是对高中数学中不等式的复习总结。
《不等式及其性质》 知识清单
《不等式及其性质》知识清单一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。
例如：3 ＞ 2 ，x ＋ 1 ＜ 5 ，2x ≥ 4 ，y 3 ≤ 0 等都是不等式。
二、不等式的类型1、一元一次不等式：含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式。
形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）。
2、一元二次不等式：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式。
例如：x² 3x ＋ 2 ＞ 0 。
3、简单的分式不等式：不等式的两边至少有一边是分式的不等式。
比如：＼（＼frac{x 1}｛x ＋ 2} ＞ 0\）。
4、绝对值不等式：含有绝对值符号的不等式。
例如：｜ x ｜＜ 3 ，｜ 2x 1 ｜≥ 5 。
三、不等式的解与解集1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。
比如在不等式 x ＋ 2 ＞ 5 中，当 x ＝ 4 时，不等式成立，所以 4 就是这个不等式的一个解。
2、不等式的解集：一个不等式的所有解组成的集合。
不等式 x ＋ 2 ＞ 5 的解集是 x ＞ 3 ，表示所有大于 3 的数都是这个不等式的解。
四、不等式的性质1、对称性：如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。
简单来说，就是两个数的大小关系是相互的。
2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。
比如 5 ＞ 3 ， 3 ＞ 1 ，所以 5 ＞ 1 。
3、加法性质：（1）如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
也就是说，在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。
例如：因为 2 ＞ 1 ，所以 2 ＋ 3 ＞ 1 ＋ 3 ，即 5 ＞ 4 。
（2）如果 a ＜ b ，那么 a c ＜ b c 。
在不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变。
比如：5 ＜ 7 ，所以 5 2 ＜ 7 2 ，即 3 ＜ 5 。
中考总复习--不等式专题复习
中考总复习--不等式专题复习概述本文档旨在为中考学生提供关于不等式专题的复资料。
不等式是数学中常见的一种基本关系，掌握不等式的性质和解题方法对于中考数学的成功至关重要。
重要概念不等式：不等式是数学中一种比较关系，用符号"<"（小于）、">"（大于）、"≤"（小于等于）和"≥"（大于等于）来表示。
不等式的性质：- 加减性质：两个不等式，若一个不等式的两边同时加（或减）一个相同的数，不等式的方向不变。
- 乘除性质：如果两个不等式，一个不等式的两边同时乘（或除）一个正（或负）的数，不等式的方向不变；若乘（或除）一个负数，则不等式的方向相反。
- 倒置性质：将不等式两边都倒置，不等式的方向也要倒置。
不等式的解法：- 利用性质进行变形和推理- 图表法：将不等式用图表表示，通过观察图表得出结论- 试值法：假设某个数满足不等式，通过试验来判断常见类型本文档主要介绍以下几种常见的不等式类型：1. 一元一次不等式2. 一元二次不等式3. 绝对值不等式4. 分式不等式5. 线性规划问题复要点1. 掌握不等式的基本性质，包括加减性质、乘除性质和倒置性质。
2. 熟悉不等式的解法，包括利用性质进行变形和推理、图表法和试值法。
3. 熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和分式不等式的解题方法。
4. 了解线性规划问题的基本概念和解题思路，能够解决一些简单的线性规划问题。
总结不等式专题是中考数学中的重要内容，掌握不等式的性质和解题方法是取得好成绩的关键。
希望本文档能够帮助同学们加深对不等式专题的理解，并在中考中取得优异的成绩。
祝同学们取得好成绩！。
不等式的复习课
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8、 当0 x 2 时，求x(2 3x)的最大值 3
解： ∵0<x< 2 ，∴x>0，2-3x>0 3
x(2 3x) 1 3x(2 3x) 1 [3x (2 3x)]2 1
3
3
2
3
当且仅当 3x 2 3x ，即 x 1 时 x(2 3x) 1
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3
0 x 2 时，x(2 3x)的最大值是1 .
.
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三、解答题：
7、 当x 1时，求4x 1 的最小值 x 1
解： ∵x>1，∴x-1>0
4x 1 4(x 1) 1 4 2 4(x 1) 1 4 8
x 1
x 1
x 1
当且仅当
4(x 1)
1 x 1
பைடு நூலகம்，即
x 1 1 2
x 3 2
时 4x 1 8 x 1
4x 1 的最小值是8。 x 1
乘法性质
指数运算性质 倒数性质
a b,c 0 ac bc; a b,c 0 ac bc
a b 0,c d 0 ac bd
a b 0 an bn; a b 0 n a n b
a b,ab 0 1 1
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ab
二、一元二次不等式ax2 bx c 0 0及其解法
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不等式及其性质
一元二次不等式及其解法
基本不等式
简单的线性规划
课后完成本章复习题三
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要明确：（1）约束条件; （2）目标函数； （3）可行域； （4）可行解； （5）最优解等概念和判断方法.
四、基本不等式：
不等式会考复习高中数学会考复习课件及教案
不等式会考复习-高中数学会考复习课件及教案一、教学目标：1. 理解不等式的概念，掌握一元一次不等式、一元二次不等式、不等式组的解法。
2. 能够运用不等式解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 熟悉不等式的性质，能够运用性质进行不等式的变形和计算。
二、教学内容：1. 不等式的概念及性质2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式组的解法5. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的概念、性质，一元一次不等式、一元二次不等式、不等式组的解法。
2. 教学难点：不等式的性质，一元二次不等式的解法，不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解不等式的概念和性质。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子掌握一元一次不等式、一元二次不等式、不等式组的解法。
3. 采用讨论法，让学生分组讨论不等式在实际问题中的应用，提高解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生了解不等式的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解不等式的概念和性质，让学生掌握不等式的基本知识。
3. 通过案例分析，讲解一元一次不等式、一元二次不等式、不等式组的解法。
4. 练习：让学生独立解决一些实际问题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置一些有关不等式的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对不等式概念和性质的理解程度，观察其在解题时的应用情况。
2. 案例分析：评价学生运用一元一次不等式、一元二次不等式、不等式组的解法解决问题的能力。
3. 讨论环节：评价学生在讨论不等式在实际问题中的应用时的参与程度和理解程度。
4. 练习作业：评价学生完成练习题的情况，检查其对所学知识的掌握程度。
七、教学反思：1. 针对不等式概念和性质的讲解，反思教学方法是否恰当，学生是否真正理解。
2. 针对案例分析，反思教学案例是否具有代表性，学生是否能从中掌握解题方法。
不等式复习资料初一
不等式复习资料初一初一阶段，学生们正处于数学基础的打牢阶段。
而不等式是初中数学中基础重要的一环，是进一步学习数学的必经之路。
本文将为初一学生们带来一份不等式复习资料，希望能够对各位有所帮助。
一、不等式的概念和基础知识不等式是一个关系式，由数与不等号（>、<、≥、≤）连接，表示两个数的大小关系。
其中，>表示大于，<表示小于，≥表示大于等于，≤表示小于等于。
例如：4>2，2<5，3≥3，4≤5不等式的解为所有使得不等式成立的数的集合。
例如：不等式3x+2>5的解为：x>1，即x的取值范围为（1，+∞）。
二、不等式的性质1.不等式两边加或减一个相同的数，不等式仍成立。
例如：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c2.不等式两边乘或除一个正数，不等式仍成立；乘或除一个负数，不等式方向改变。
例如：若a>b，则a×c>b×c(c>0)，a÷c>b÷c(c>0)；a×c<b×c(c<0)，a÷c<b÷c(c<0)3.任何不等式两边相等，不等式符号改为等号。
例如：若a>b，则a-b≠0，但可改写成a=b三、不等式解题技巧1.注意不等式两边的符号。
当不等式两边同为正数或同为负数，不等式方向不变；当不等式两边异号，不等式方向改变。
例如：当2x+3>0时，有x>-3/2；但当2x-3>0时，有x>3/2。
2.注意不等式的分母。
当分母为正数时，不等式符号不变；当分母为负数时，不等式符号改变。
例如：若5/(x+3)>2，则x<-1或x>5；但若5/(x-3)>2，则3<x<0或x>5。
3.注意不等式中含有绝对值的情况。
对于形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的不等式，需要根据a的正负及数轴将x的取值范围分段讨论。
高考数学《不等式》复习
高考数学《不等式》复习一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.三、知识点精讲(一).不等式的性质1.同向合成（1）,>>⇒>；a b b c a c（2）,c>>⇒+>+；a b d a c b d（3）0,c0>>>>⇒>.a b d ac bd（合成后为必要条件）2.同解变形>⇔+>+；（1）a b a c b c（2）0,0,>⇔>>⇔<<；a b c ac bc c ac bc（3）11000a b b a>>⇔>>⇔>>. （变形后为充要条件） 3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-<(二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a >>⇔>><-或 （2）22||||a b a b >⇔>（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）（2）0,0,2a ba b +>>≥（当且仅当等号成立条件为a b =）；0,0,0,3a b c a b c ++>>>≥（当且仅当a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）①几何意义：||ad bc ⋅⇔+≤a b a b ||||||≤②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.当且仅当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法. （2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法. 四、解答题题型总结核心考点:利用柯西不等式证明解不等式柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接. 1.二维形式的柯西不等式设1212,,,x x y y ∈R ，2222211221212()()()x y x y x x y y ++≥+.等号成立1221x y x y ⇔=.证明 设1122(,),(,)x y x y ==a b ，由|cos ⋅=a b a ||b |a,b ，得cos |⋅=a ba,b a ||b |， 又|cos |1≤a,b ，即1|⋅≤|a b |a ||b |，|⋅≤|a b |a ||b |，故2222212121122()()()x x y y x y x y +≤++ 等号成立即1221x y x y =. 2.一般形式的柯西不等式设12,,,n a a a 及12,,,n b b b 为任意实数，则21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++，当且仅当1212nna a ab b b ===（规定0i a =时0i b =，1,2,,i n =）时等号成立.证法一：当i a 全为0时，命题显然成立.否则210ni i a =>∑，考查关于x 的二次函数21()()ni i i f x a x b ==-∑，显然()0f x ≥恒成立.注意到222111()()2()n n n ii i ii i i f x a x a b x b ====-+∑∑∑，而()0f x ≥恒成立，且210ni i a =>∑，故()f x 的判别式不大于零，即2221114()40n n ni i ii i i i a b a b ===∆=-⋅≤∑∑∑，整理后得222111()n n niii i i i i a b a b ===⋅≥∑∑∑.证法二：向量的内积证法. 令12(,,,)n a a a =a ，12(,,,)n b b b =b ，θ为a 与b 的夹角.因为|cos ⋅=a b a ||b |a,b ，且|cos |1≤a,b ，所以|cos ||⋅=≤|a b |a ||b ||a,b a ||b |222|⇒⋅≤|a b |a ||b |，即21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++，等号成立0θ⇔=︒或180︒⇔a,b 平行1212nna a ab b b ⇔===. 柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.1已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-.①求m 的值；②若,,a b c +∈R ，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.解析 ①因为(2)||f x m x +=-，(2)0f x +≥等价于||x m ≤.由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤.又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-，故1m =.2.已知1a b c ++=，0,0,0a b c >>>≤解析 由柯西不等式有3.已知0,0,0a b c >>>，22cos sin a b c θθ+<.22θθ<解析 由柯西不等式及0a >,0b >,0c >,4.设实数,,a b c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c ---++≥.5.已知n *∈N ,且2n ≥，求证：11111117234212n n <-+-++-<-由柯西不等式有6.已知正实数,,a b c 满足1abc =，求证：3331113()()()2a b c b c a c a b ++≥+++.7.已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
不等式复习提纲
一、基本知识回顾：(一)实数的大小比较0____________a b ->⇔；0____________a b -=⇔；0____________a b -<⇔。
(二)不等式的性质1. 对称性：；_______a b <⇔。
2. 传递性：_______a b b c >>⇒，；_______a b b c <<⇒，。
3. 可加性：_________a b >⇒；_________a b <⇒；即不等式的两边同加上一个数或一个代数式不等号的方向不变。
移项法则：_________a b c +>⇒；即不等式中的任何一项改变符号后，可以从不等式的一边移到另一边。
4. 可乘性：0__________a b c >>⇒，；0__________a b c ><⇒，；即不等式的两边都乘以一个正数不等号的方向不变；不等式的两边同乘以一个负数不等号的方向要改变。
5. 同向可加性：__________a b c d >>⇒，；__________a b c d <<⇒，；即同向不等式相加不等号的方向不变；切记：同向不等式只能相加不能相减。
6. 同向相乘性：00__________a b c d >>>>⇒，；同向正数不等式相乘不等号的方向不变。
7. 可乘方性：0__________a b >>⇒（*n N ∈且2n ≥）； 特别：当n 为大于1的奇数时__________a b >⇒。
8. 可开方性：0__________a b >>⇒（*n N ∈且2n ≥）； 特别：当n 为大于1的奇数时__________a b >⇒。
9. 若a b >，且110___ab a b >⇒10. 若0a b >>且0m >，则___b b m a a m ++；若0a b >>且0m >，则___a a mb b m++。
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a 图1—1 不等式复习题不等式的基本性质1． 不等式的基本性质：(l)不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向 改变；(2)不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 改变；(3)不等式的两边都乘以 (或除以)同一个负数，不等号的方向要 .例题例1．已知—1＜a ＜0，下列各式正确的是 （ ）．（A ）2a -＜—a ＜a 1- （B ）—a ＜a1-＜2a - （C ）a 1-＜2a -＜—a （D ）a 1-＜—a ＜2a - 例2．有理数a 与b 在数轴上的位置如图1—1，用“＞”或“＜”填空：（1）a 0； （2）b 0； （3）a b ； （4）a ＋b 0；（5）a －b 0．例3．若x ＞y ，则ax ＞ay ，那么a 一定为 （ ）．（A ）a ≥0 （B ）a ≤0 （C ）a ＞0 （D ）a ＜0例4．若m ＜n ，则下列各式中正确的是 （ ）．（A ）m －3＞n －3 （B ）3m ＞3n（C ）－3m ＞－3n （D ）13-m ＞13-n 随堂练习1．下列各题中，结论正确的是 （ ）．（A ）若a ＞0，b ＜0，则ab ＞0 （B ）若a ＞b ，则a －b ＞0 （C ）若a ＜0，b ＜0，则ab ＜0 （D ）若a ＞b ，a ＜0，则a b ＜02．下列变形不正确的是 （ ）．（A ）若a ＞b ，则b ＜a （B ）若－a ＞－b ，则b ＞a（C ）由－2x ＞a ，得x ＞a 21- （D ）由21x ＞－y ，得x ＞－2y 3．下列不等式一定能成立的是 （ ）．（A ）a ＋c ＞a －c （B ）a 2＋c ＞c（C ）a ＞－a （D ）10a ＜a不等式的解集在数轴上表示在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向．①边界：有等号的是圆点，无等号的是圆圈；②方向：大于向 ，小于向 。
典型例题例1．在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x ≥3； （2）x ≤－1；例2．下列不等式的解集中，不包括－3的是 （ ）．（A ）x ≥－3 （B ）x ≤－3 （C ）x ＞－5 （D ）x ＜－5例3．下列说法正确的是 （ ）．（A ）x =4不是不等式2x ＞7的一个解（B ）x =4是不等式 2x ＞7 的解集（C ）不等式 2x ＞7 的解集是x ＞4（D ）不等式 2x ＞7 的解集是x ＞27随堂练习1．下列说法中，错误的是 （ ）．（A ）不等式 x ＜5的正整数解有无数多个（B ）不等式 x ＞－5 的负整数解有有限个（C ）不等式 －2x ＞8 的解集是x ＜－4（D ）－40是不等式 2x ＜－8 的一个解一元一次不等式解法1.解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程相同：(l)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)不等式两边同除以未知数的系数。
要特别注意(l)和(5)中，若乘以或除以负数时要改变不等式的方向.例1、解不等式32x +＞512-x 的过程中，出现错误的一步……………………（ ） 的是 ① 去分母：5（x ＋2）＞3（2x －1）② 去括号：5x ＋10＞6x －3③ 移项：5x －6x ＞－10－3④系数化为1：x ＞13A 、①B 、②C 、③D 、④例2、如1-n x ＜2是一元一次不等式，则n = ．例3、如（m ＋2）y ＋3＜4是一元一次不等式，则m = ．2．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．1+x 12-x 32-x 13-x一元一次不等式组及其解法1.一元一次不等式组的解集是这个不等式组中各个不等式的解集的 部分。
2.解一元一次不等式组可以分以下两个步骤：(1)求出这个不等式组中各个不等式的 。
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的 部分，即求出了这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有公共部分，这个不等式组无解．注意：在取有两个一元一次不等式组成的解集时，口诀记忆：“大大取大”；“小小取小”；“大小小大中间找”；“大大小小无解”。
典型例题例1、解不等式组27163(1)5x x x x +-⎧⎨-->⎩≥， ①，②并求出所有整数解的和．例2、不等式组212x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩ 的解集在数轴上应表示为( )ABCD例3、不等式组⎩⎨⎧>--≥+;62,513x x 的解集是 ．这个不等式组的所有整数解的和是 ．随堂练习1．不等式组⎩⎨⎧≥->+424,532x x 的解集为 （ ）．（A ）x ＞1 （B ）x ＞32 （C ）x ≥1 （D ）x ≥32 2．不等式组⎩⎨⎧≤->+03,02x x 的最大整数解是 （ ）． （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =3 （D ）x =43．解下列不等式组：（1）⎩⎨⎧<-->+;31,123x x （2）⎩⎨⎧<->+;131,1－95x x （3）⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-.122,32x x x确定不等式（组）中字母的取值范围已知不等式（组）的解集，确定不等式（组）中字母的取值范围，有以下四种方法：(1)逆用不等式（组）解集确定；(2)分类讨论确定；(3)从反面求解确定；(4)借助数轴确定。
典型例题例1、如果关于x 的不等式(a-1)x<a+5和2x<4的解集相同,则a 的值为_____________. 例2、当m 时，不等式mx ＜5m 的解集是x ＞5例3、如果一元一次不等式组⎩⎨⎧ax x 3的解集为3 x .则a 的取值范围是( )A.3 aB.3≥aC.3≤aD.3 a例4．若不等式组12x x m<≤⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围是…………………………（ ）．A ．m<2B ．m≥2 C．m<1 D ．1≤m<2随堂练习*1、关于x 的不等式组153,2223x x x x a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（）A ．-5≤a ≤-143 B ．-5≤a ≤-143 C ．-5<a ≤-143 D ．-5<a<-1432、若不等式组⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集为－1＜x ＜1，那么)1)(1(-+b a 的值等于 。
3、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>--≥-0125a x x 无解，则a 的取值范围是 。
4、已知关于x 的不等式(1－a)x ＞2的解集是x ＜21a -，则a 的取值范围( )A 、a ＞0B 、a ＞1C 、a ＜0D 、a ＜15、当a 时，不等式1)2(>-x a 的解集是a x -<21。
6、若不等式-3x+n>0的解集是x<2,则不等式-3x+n<0的解集是考点7 不等式型应用题典型例题1．一块长方形土地的宽是8m，周长小于50 m，该地面积至少是120 m2，求长方形的长的取值范围．2．有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，如果这个数大于20小于40，求这个两位数．3、为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划。
如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期的用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度电。
若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？4、在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先:那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?(严禁超载)5、（河南省）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件?(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元?课后练习一、选择题1、已知a b >，则下列不等式中正确的是（ ）A 、33a b ->-B 、33a b ->- C 、33a b ->- D 、33a b ->- 2、不等式54≤-x 的解集是（ ）A 、45-≤xB 、45-≥xC 、54-≤xD 、54-≥x 3、设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小．．．．的顺序排列为（ ） Ａ、○□△ Ｂ、○△□Ｃ、□○△ Ｄ、△□○4、不等式组2112x x -<⎧⎨-≤⎩，的解集在数轴上表示为（ ）5、关于x 的方程632=-x a 的解是非负数，那么a 满足的条件是 ( )A 、3>aB 、3≤a C 、3<a D 、3≥a6、如果0a <，0b >，0a b +<，那么下列关系式中正确的是( )Ａ、a b ba >>->-Ｂ、a a b b >->>-Ｃ、b a b a >>->- Ｄ、a b b a ->>->7、如图，一次函数b kx y +=的图像经过A 、B 两点，则0>+b kx 解集是（ ）A 、0>xB 、2x >C 、3x >-D 、23<<-x8、若|2x －5|＝5－2x ，则x 的取值是（ ）5555D ． A ． B ． C ．9、如果0<x<1则1x,x,x 2 这三个数的大小关系可表示为（ ） Ax< 1x < x 2 (B)x <x 2< 1x (C) 1x <x<x 2 (D) x 2<x<1x10、（江苏南通） 关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜2二、填空题1、若|2a ＋1|＞2a ＋1，则a 的取值范围是________．2、已知三角形三边长分别为3，（1－2ａ），8，试求ａ的取值范围：3、（重庆）不等式组2113x x +>-⎧⎨+⎩２,≤.的整数解为______4、不等式组242-5x a x b +>⎧⎨<⎩，的解集是0＜x ＜2，那么a b +的值等于______．5、“五·四”青年节，市团委组织部分中学的团员去西山植树．某校九年级（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有 棵．三、计算题1、解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来:(每小题4分，共12分)：（2）()()213157x x x x -≤4-⎧⎪⎨+<+⎪⎩，. （3）2(2)31.34x x x x +≥3+⎧⎪+⎨<⎪⎩，2、若方程组⎩⎨⎧-=-=+323a y x y x 的解满足0,0>>y x ，试求a 的取值范围.四、解答题1. 若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间?2. 某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元．在这20名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．(1) 若此车间每天所获利润为y (元)，用x 的代数式表示y ．(2) 若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?3.某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．。