第四节 动能 动能定理(4)
知识讲解 动能、动能定理(教师参考)
物理总复习：动能、动能定理【考纲要求】1、理解动能定理，明确外力对物体所做的总功与物体动能变化的关系；2、会用动能定理分析相关物理过程；3、熟悉动能定理的运用技巧；4、知道力学中各种能量变化和功的关系，会用动能定理分析问题。
【考点梳理】考点一、动能 动能是物体由于运动所具有的能，其计算公式为212k E mv =。
动能是标量，其单位与 功的单位相同。
国际单位是焦耳（J ）。
考点二、动能定理1、动能定理合外力对物体所做的功等于物体动能的变化，这个结论叫做动能定理。
2、动能定理的表达式21k k W E E =-。
式中W 为合外力对物体所做的功，2k E 为物体末状态的动能，1k E 为物体初状态的动能。
动能定理的计算式为标量式，v 为相对同一参考系的速度，中学物理中一般取地球为参考系。
要点诠释：1、若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以视全过程为整体来处理。
2、应用动能定理解题的基本步骤（1）选取研究对象，明确它的运动过程。
（2）分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力？每个力是否做功？做正功还是做负功？做多少功？然后求各个外力做功的代数和。
（3）明确物体在始、末状态的动能1k E 和2k E 。
（4）列出动能定理的方程21k k W E E =-及其他必要的辅助方程，进行求解。
动能定理中的W 总是物体所受各力对物体做的总功，它等于各力做功的代数和，即123=W W W W +++⋅⋅⋅总若物体所受的各力为恒力时，可先求出F 合，再求cos W F l α=总合3、一个物体动能的变化k E ∆与合外力做的功W 总具有等量代换的关系。
因为动能定理实质上反映了物体动能的变化，是通过外力做功来实现的，并可以用合外力的功来量度。
高三提高班0k E ∆>，表示物体动能增加，其增加量就等于合外力做的功；0k E ∆<，表示物体动能减少，其减少量就等于合外力做负功的绝对值；0k E ∆=，表示物体动能不变，合外力对物体不做功。
大学物理-动能定理
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
4.4 动能 动能定理
H
h
2-7-2
应用动能定理解题的步骤：
1、找对象，受力分析，求出合力做的功。
2、求出初、末位置的动能。 3、利用动能定列式求解。
1 2 1 2 W mv t mv 0 2 2
家庭作业1．
一架喷气式飞机，质量m=5×103kg，起飞过程中从静止 开始滑跑的路程为s =5.3×102m时，达到起飞的速度v =60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的 0.02倍（k=0.02），求飞机受到的牵引力。
二.动能定理的应用——曲线运动问题
例题1：
如图所示，AB为1/4光滑圆弧轨道，半径为 R=0.8m，与水平轨道BC相切于B点，BC处的摩擦 系数为μ=1/15。今有质量m=1kg的物体，自A点 从静止起下滑到C点刚好停止。 求：（1 B点时的速度大小？ 3）物体达到 ）在BC段摩擦力做的功？ （2）物体在B点对轨道的压力？
家庭作业3．
如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与 盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC为 水平的，其距离为d = 0.50m，盆边缘的高度为h = 0.30m。在A处放一个质量为m的小物块并让其 从静止出发下滑。已知盆内侧壁是光滑的，而盆 底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ＝ 0.1，小 物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停下的地 点到B的距离为多少米？
1 2 A．地板对物体的支持力做的功等于 mv 2 B．地板对物体的支持力做的功等于mgH 1 C．钢索的拉力做的功等于 Mv 2＋MgH 2 1 D．合外力对电梯M 做的功等于 Mv 2 2
二.动能定理的应用——变力做功问题
例题1：从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程 中所受的空气阻力是它重力的k（k<1）倍,而小球与地面 相碰后，能以相同大小的速率反弹，求： （ 12 ） （ ）小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高 小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过 度是多少？ 的总路程是多少？
动能定理优质课件
二、动能定理
1 2 1 2 W mv 2 mv1 2 2
合外力 做的功
推广：
初状态 的动能
动能定理的表达式：
W合= Ek2 - Ek1
动能定理的内容：
末状态的动能
合外力对物体所做的功等于 物体在这个过程中动能的变化。
对动能定理的理解
1. 合外力做功与动能变化的关系
W合= Ek2 - Ek1
（3）明确物体在初、末状态的动能
（4）运用动能定理列方程求解
物体的动能与哪些因素有关
同一小球从斜面上不同高度滚下对纸盒
做的功 不同
物体的动能应该与物体的速度有关。 结论：
不同小球从斜面上同一高度滚下对纸盒 做的功 不同
结论： 物体的动能应该与质量有关。
实验表明： 质量越大，速度越大，物体所具有的动能也就越大。
2、质量为m=3kg的物体与水平地面之间的动摩 擦因数μ=0.2 ，在水平恒力 F=9N 作用下起动， 如图所示。当m位移s1=8m时撤去推力F，试问： 还能滑多远？(g取10m/s2)
分析：物体m所受重力G、支持力N、推力F、滑动摩擦力f均 为恒力，因此物体做匀加速直线运动；撤去F后，物体做匀减速 直线运动．因此，可用牛顿定律和匀变速直线运动规律求解． 物体在动力F和阻力f作用下运动时，G和N不做功，F做正功， f做负功，因此，也可以用动能定理求解．
合
k
WF + Wf = E kt - E k0
2 Fs1 + （ - f）·（s1 + s2 ） = mv 2 / 2 mv t 0 /2
Fs1 - f（s1 + s2 ） = 0 - 0
Fs1 fs1 s2 = = 4m f
动能定理
例3、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面， 忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功 是多少？
解：取地心为原点，引力与矢径方向相反
W F dr
R h
R
h
a
b
Mm G 2 dr R h r
R
R
R
o
dr 1 1 GMm GMm 2 R h r R R h GMmh R( R h)
任意力在任意空间路径的积累：
dA Fcosdr F dr
A dA
A
Fi
B
A dA F dr
作用在物体上的某个力在特定空间路径所做的功， 等于该力在该路径的第一型曲线积分。是标量
分量形式?
分量形式：
直角坐标系中 A F dr ( Fx i Fy j Fz k )( drx i dry j drz k )
2.25
1
2
O
3 X
B A A F dr b a Fx dx Fy dy Fz dz
4y x 6
Y x2 4 y
2.25
1
2
A1
x2 94 dx 1 4dy 10.8J 2
3 2
x2 , y2 x1 , y1
( Fx dx Fy dy ) 2 ydx 4dy
例4、质量为2kg的质点在力 F＝12t i (SI) 的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。 解：（一维运动可以用标量）
W＝ F d r 12tvdt
t t
t 12t F 2 v v0 adt 0 dt dt 3t 0 0 m 0 2
第七章 第四节 动能 动能定理
1 1 2 mv t2 mv 0 2 2
W总＝Ek2-Ek1＝ΔEk
功：是力对空间的积累 积累的效应：是使物体的动能发生变化
当外力做正功时，末动能大于初动能，动能增加； 当外力做负功时，末动能小于初动能，动能减少．
动能定理的解题步骤： (1)明确研究对象 (2)明确研究过程 (3)对研究对象进行受力分析，并确定各力所做 的功，求出这些力的功的代数和 。对研究对象的 运动过程进行分析，确定始、末态的动能。 (未知 量用符号表示)， (4) 根据动能定理列出方程 W总＝Ek2-Ek1 (5)求解方程、分析结果
举例说明：物体的状态变化，动能不一定发生变化。
动能定理
1.动能定理表述：外力对物体所做的总功等于物体 动能的变化。
注：外力为物体受到的合力，既可以是恒力，也可以是变力。 既可以是重力、弹力、摩擦力、也可以是任何其他的力。
1 1 2 2 2.公式: W总 mv t mv 0 2 2
外力的总功 末状态动能
第七章 第四节 动能 动能定理
动能：物体由于运动而具有的能量,叫动 能. 物体动能的大小与哪些因素有关？
质量、速度。
动能与质量、速度存在什么关系呢？
公式的推导： 光滑水平面上有一质量为m的物体，初速度为v0， 受到一与运动方向相同的恒力作用，经过一段时间速 度增加到vt,试求这个过程中合力的功。
w合
2 v2 v0 F合s mas m t 2
w合
1 1 2 2 mv t mv 0 2 2
动能的大小等于物体质量与物体速度的平方的乘积 的一半
1 E k mv 2 2
动能表达式
动能的单位 动能是标量 动能是状态量
Ek
第四节 动能 动能定理
2 2 v v 2 1 2 2 x ( ) v2 v1 2ax 2a 2 2 1 2 1 2 v2 v1 m a ( ) mv 2 mv1 2 2 2a
外力对物体所做的功
末状态
初状态
1 2 ①外力对物体所做的功W等于物理量 mv 的变化 2
②而功是能量变化的量度； ③
1 2 mv 由m、v决定； 2
所以
1 2 mv 表示了动能的大小 2
2．表达式
1 2 Ek mv 2
3．单位：J（焦耳）1J=1N· m=1kg· (m/s)2
你的速度小 所以我的动能大！
一质量为10g，飞行 速度为300m/s的子弹
谁的动能大呢？
你的质量小 所以我的动能大！
一质量为4kg，飞行速 度为10m/s的铅球
类型三: 多过程运动
例1.一沙堆正上方2m处有一小金属球由静止释放，最终没 入沙堆2cm深，求沙堆对小金属球的平均阻力是重力的几 倍。
mg H=2m
f
解题注意:
mg
h=2cm
多过程问题,往往可忽略中间状态,直 接选择全过程的初末状态进行研究.
例2. 质量为2kg的滑块,以4m/s的速度在光滑的水平面上向 左滑行.从某时刻起,对滑块施加一水平向右的力,经过一段 时间,滑块的速度变为向右,大小为5m/s, 试求水平力对滑 块所做的功.
例4.人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg的物 体，如图所示，开始绳与水平方向夹角为，当人匀速提 起重物由A点沿水平方向运动而到达B点，此时绳与水平 方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？
G
60
A
30
B
例 5．用汽车从井下提重物，重物质量为 m，定滑轮高为 H， 如图所示， 已知汽车由 A 点静止开始运动至 B 点时的速度为 v， 此时轻绳与竖直方向夹角为 θ.这一过程中轻绳的拉力做功多 大？
动能定理
1定理内容概念动能具有瞬时性，是指力在一个过程中对物体所做的功等于在这个过程中动能的变化。
动能是状态量，无负值。
合外力(物体所受的外力的总和，根据方向以及受力大小通过正交法[1]能计算出物体最终的合力方向及大小) 对物体所做的功等于物体动能的变化。
即末动能减初动能。
表达式其中，Ek2表示物体的末动能，Ek1表示物体的初动能。
△W是动能的变化，又称动能的增量，也表示合外力对物体做的总功。
1.动能定理研究的对象是单一的物体，或者是可以堪称单一物体的物体系。
2.动能定理的计算式是等式，一般以地面为参考系。
3.动能定理适用于物体的直线运动，也适应于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是分段作用，也可以是同时作用，只要可以求出各个力的正负代数和即可，这就是动能定理的优越性。
2定理1内容质点系所有外力做功之和加上所有内力做功之和等于质点系总动能的改变量。
和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，因为外力对质点系做功与参照系选择有关，而内力做功却与选择的参照系无关，因为力总是成对出现的，一对作用力和反作用力（内力）所做功代数和取决于相对位移，而相对位移与选择的参照系无关。
动能定理的内容：所有外力对物体总功，（也叫做合外力的功）等于物体的动能的变化。
动能定理的数学表达式：动能定理只适用于宏观低速的情况，因为在相对论中F=ma是不成立的[1]，质量随速度改变。
而动量定理可适用于世界上任何情况。
（前提是系统中外力之和为0）物体由于运动而具有的能量. 用Ek表示。
表达式：，动能是标量也是状态量。
单位：焦耳(J) 1kg*m^2/s^2 = 1J(2) 动能定理内容:合外力做的功等于物体动能的变化。
表达式：适用范围恒力做功、变力做功、分段做功、全程做功等均可适用。
动量定理与动能定理的区别动量定理Ft=mv2-mv1反映了力对时间的累积效应，是力在时间上的积分。
动能定理Fs=1/2mv^2-1/2mv0^2反映了力对空间的累积效应，是力在空间上的积分。
第四节 动能 动能定理
1、求解题目时不能凭感觉，应带入相应的物理公式——有凭有据
2、求解动能时，各物理量必须用国际单位，即质量用kg、速度用 m/s
V1 FN f F S
V2
外力F做功： WF FS 摩擦力f做功： W f fs
答：6mg
能力· 思维· 方法
1.玩具火箭内充满压缩空气，在发射的时候利用压缩空气从 火箭的尾部射出笨重的箭身，而使火箭头向前飞行假如在 竖直向上发射的时候，箭头能上升的度为h=16m现改为另 一种发射方式：首先让火箭沿半径为R=4m的半圆形轨道滑行 (如图6-4-1所示)，在达到轨道的最低点A时(此时火箭具有 最大的滑行速度)，再开动发动机发射火箭，试问按这种方 式发射的火箭头能上升多高?(不计摩擦和空气阻力)
3.单位：焦耳
4.相对性：不同参照系，速度大小不同。
通常选地面、
例题：质量10g、以0.8km/s的速度飞行的子弹， 质量60kg、以10m/s的速度奔跑的运动员，二者 相比，那一个的动能大？
1 1 2 运动员： E m运动员v运动员 60 102 3000J k 运动员 2 2 友情提示
4.长为l的轻绳，一端系一质量为m的小球， 一端固定于O点.在O点正下方距O点h处有一 枚钉子C现将绳拉到水平位置，如图6-43所示.将小球由静止释放，欲使小球到达 最低点后以C为圆心做完整的圆周运动，试 确定h应满足的条件.
图6-4-3
5.从距地面高为h1=1.25m处竖直向下抛出皮球，碰 地后皮球跳起的高度h2=2.5m，不计空气阻力，设 球碰撞地面时无机械能损失，g取10m/s2，则皮球 下抛时的初速度大小是_________m/s。 （答：5 m/s ）
(精品课件)4.4动能 动能定理
v 1 v2 v 1 12 v 2 2 2、公式： W 2ma FS ma FS mv mv mv2 2 2a 2 2 2a
W总 ＝ E － E ＝ E － E F合 k 2 k1 k2 k1
实验检验：
O－B O－C O－D O－E O－F W/J 0.04320 0.05722 0.07340 0.09150 0.1150
V0
球在空中：
1 2 1 2 mgh W f mv mv0 2 2
H
V
列式时要注意W合和△Ek的正负
2．如图所示，质量为 m 的小球用长为 L 的轻质 细线悬于 O 点，与 O 点处于同一水平线上的 P 点处 有一个光滑的细钉，已知 OP＝L/2，在 A 点给小球一 个水平向左的初速度 v0， 发现小球恰能到达跟 P 点在 同一竖直线上的最高点 B.则： (1)小球到达 B 点时的速率？ (2)若不计空气阻力，则初速 度 v0 为多少？ (3)若初速度 v0＝3 gL，则 在小球从 A 到 B 的过程中 克服空气阻力做了多少功？
2 受 力 分 析
1.8 104 N
启发：此类问题，牛顿定律和动能定理都适用， 但动能定理更简洁明了。解题步骤:1、2、3、4
应用动能定理的一般思路：
1、定对象、过程。若问题中涉及到F、s 、 v 、m 等物理量，考虑用动能定理！ 2、析受力，确定该过程中有哪些力作功，作 了多少功，正功还是负功，求出总功； 3、确定初、末状态动能； 4、列式求解，必要时讨论结果的合理性。
F vo
v=0
S=60m
2、一辆汽车的质量为m，从静止开始起动，沿 水平路面前进了s后，达到了最大行驶速度vm，设 汽车的牵引功率保持不变，所受阻力为车重的k 倍，求： （1）汽车的牵引功率；（2）汽车从静止到 N 开始匀速运动所需的时间。
4.动能动能定理
例2.如图所示.斜槽轨道下端与一个半径为0.4m的圆形轨道 相连接.一个质量为0.1kg的物体从高为H＝2m的A点由静止 开始滑下.运动到圆形轨道的最高点C处时.对轨道的压力等于 物体的重力.求物体从A运动到C的过程中克服摩擦力所做的 功(g取10m/s2)
14
三、应用动能定理解题的步骤： (1)明确研究对象及所研究的物理过程。 (2)对研究对象进行受力分析，并确定各力所做的功， 求出这些力的功的代数和。 (3)确定始、末状态的动能（未知量用符号表示）， 根据动能定理列出方程W总＝Ek2—Ek1。 (4)求解方程、分析结果。
12
解：子弹射入钢板的过程中，在竖直的方向受到的重 力和支持力的作用互相抵消，在水平方向受到阻力为Ff ，如图所示。根据动能定理得
WFf
1 2
m
v2
1 2
m
v02
1 0.008 (100 2 4002 ) J 2
600 J
子弹克服阻力做功为600J
v0 F f v
Ff WFf 600 N 1.2104 N l 0.05
讨
论 总 结
WF
1 2
mv22
1 2
mv12
动
能
的 表
1、物体的动能等于它的质量跟
达 式
它的速度平方的乘积的一半
物体的 动能
物体的质量
Ek＝21 mv2
物体的速度
2、动能是标量，单位是焦耳（J）
【探究一归纳】
3.说明：（1）动能是标量，只有大小没有方向 （2）动能只有正值，没有负值。 （3）动能是状态量，具有瞬时性。 （4）动能具有相对性。
动方向相同的水平恒力的作用下发生一段位移，速度由v1 增加到v2，求这个过程中该力所做的功。
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第四节动能动能定理（4）——多过程
1、在平直公路上，汽车由静止开始作匀加速运动，当速度达到v m后立即关闭发动机直到停止，v-t图像如图，设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则( )
A．F：f=1：3 B．F：f=4：1 C．W1：W2 =1：1 D．W1：W2=l：3
2、质量为m的物体从高为h的斜面顶端自静止下滑，最后停在B点，若该物体从斜面顶端以初速度
v滑下，则停在C点，已知AB=BC，则物体在斜面上克服摩擦力所做的功为多少？
3、物体从高h处由静止滑下并在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处与开始运动
的水平距离为S，不考虑滑至斜面底端的碰撞作用，动摩擦因数处处相同．求动摩擦因数μ．
4、从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k（k<1）倍,而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：
（1）小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？
（2）小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？。