高考数学总复习同步测试卷(十九)坐标系与参数方程不等式选讲理新人教版

同步测试卷理科数学(十九) 【p 321】 (坐标系与参数方程，不等式选讲) 时间：60分钟 总分：100分一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，将各小题的结果填在题中横线上．)1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝3sin θ－2(θ为参数)的圆心到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t －6，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离是________．【解析】圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝3sin θ－2的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为(1，－2)．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t －6，y ＝－3t ＋2的普通方程为3x ＋4y ＋10＝0，所以点(1，－2)到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离为|3－8＋10|5＝1.【答案】12．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x>0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x ≥2； 当x<0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝(－x)＋1－x ≥2. 综上得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x min＝2，∴只需|a －2|＋1<2，解之得1<a<3.【答案】(1，3)3．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．【解析】2x ＋2x －a ＝2(x －a)＋2x －a＋2a≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝2a ＋4≥7，∴a≥32. 【答案】324．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ________． 【解析】由ρ＝2cos θ可得其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ⇒(x －1)2＋y 2＝1，所以圆的圆心为(1，0)，半径为1，与x 轴垂直的圆的切线方程分别是x ＝0，x ＝2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝25．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【解析】曲线C ：ρ＝2cos θ是以(1，0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x －1)2＋y2＝1，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)6．已知函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|，若∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2<4m ，则实数m 的取值范围是________．【解析】∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x <－2－3x －1，－2≤x ≤12x －3，x >12， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 若∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2<4m ，只需－2m 2＋4m >－52，解之得－12<m <52.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，527．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，则1＋x y <2和1＋yx<2中________成立．(填“两个都”“两个都不”“只有一个”“至少有一个”“至多有一个”)．【解析】假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x . 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2.这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．【答案】至少有一个8．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c 且m 为正数，则aa ＋m ＋bb ＋m________cc ＋m(填“>”“<”“≥”“≤”“＝”)．【解析】由a ，b ，c ，m 都大于0可知，要比较aa ＋m ＋bb ＋m 与cc ＋m的大小，只需比较a (b＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )与c (a ＋m )(b ＋m )的大小，因为a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －acm －bcm －cm 2＝abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2，由于a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，故有a ＋b >c . ∵m >0，∴(a ＋b －c )m 2>0， ∴abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0， 因此aa ＋m ＋bb ＋m >cc ＋m成立．【答案】>二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)9．已知a>0，b>0，a ＋b ＝1. (1)求证：1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 【解析】(1)∵a>0，b>0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2b a ·a b ＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号，即原不等式成立．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ， 由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8，∴1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 10．已知函数f(x)＝|x －2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R )． (1)解关于x 的不等式f (x )>5；(2)若不等式f (x )≥g (x )对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围． 【解析】(1)由f (x )>5，得|x －2|>3， ∴x －2<－3或x －2>3， 解得x <－1或x >5.故原不等式的解集为{x |x <－1或x >5}．(2)由f (x )≥g (x )，得|x －2|＋2≥m |x |对任意x ∈R 恒成立， 当x ＝0时，不等式|x －2|＋2≥0恒成立，当x ≠0时，问题等价于m ≤|x －2|＋2|x |对任意非零实数恒成立， ∵|x －2|＋2|x |≥|x －2＋2||x |＝1， ∴m ≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．11．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P (x ，y )是圆C 上的动点，试求x ＋2y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．【解析】(1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝5为圆C 的直角坐标方程，所以圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(θ为参数)．(2)法一：设x ＋2y ＝t ，得x ＝t －2y ，代入x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0，整理得5y 2＋4(1－t )y ＋t 2－4t ＋3＝0(*)，则关于y 的方程必有实数根．所以Δ＝16(1－t )2－20(t 2－4t ＋3)≥0，化简得t 2－12t ＋11≤0，解得1≤t ≤11，即x ＋2y 的最大值为11.将t ＝11代入方程(*)得y 2－8y ＋16＝0，解得y ＝4，代入x ＋2y ＝11，得x ＝3， 故x ＋2y 的最大值为11，此时点P 的直角坐标为(3，4)． 法二：由(1)可设点P (2＋5cos θ，2＋5sin θ)， 则x ＋2y ＝6＋5cos θ＋25sin θ ＝6＋5⎝⎛⎭⎪⎫55cos θ＋255sin θ， 设sin α＝55，则cos α＝255，所以x ＋2y ＝6＋5sin(θ＋α)， 当sin(θ＋α)＝1时，(x ＋2y )max ＝11，此时，θ＋α＝π2＋2k π，k ∈Z ，即θ＝π2－α＋2k π(k ∈Z )，所以sin θ＝cos α＝255，cos θ＝sin α＝55，故点P 的直角坐标为(3，4)．12．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；(2)A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝cos φ，y ＝sin φ，两式平方相加得x 24＋y 2＝1，即曲线C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，则圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ， 将点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3代入得2＝2R cos π3，解得R ＝2.∴圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，∴ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ＋cos 2θ， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝4sin 2θ＋4cos 2θ，∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ＋cos 2θ4＋4cos 2θ＋sin 2θ4＝54.。