《高等数学》中几个重点问题的再讨论
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解
第一章 函数、极限、连续第1节 函数★基本内容学习一 基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。
2函数概念的两要素①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。
3函数的三种表示方法①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。
②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0F x y =，如椭圆函数22221x y a b+=。
③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212x vt y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩称作参数式。
参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。
4函数的四个基本性质①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ∀∈恒有()()f x f x =- (或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。
注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。
②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ∃>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。
④单调性：设函数()f x 在区间X 上有定义，如果对1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x ≤(或()()12f x f x ≥)则称()f x 在区间X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x < (或()()12f x f x >)则称()f x 在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。
定积分是高等数学中占有重要地位的
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = f (ε)
a
但若
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = Mf
a
则
b
(Mf − f (x))g(x)dx = 0
a
由 (Mf − f (x))g(x) 0 导出 (Mf − f (x))g(x) = 0
从而由
b a
g(x)dx
=
0，存在
ε
∈
(a,
−
h
x0 a
f (t)dt
−
f (x0)|
=|
x0 +h x0
f
(t)dt
−
h
x0 x0
+h
f
(x0
)dt
|
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt
x0
因为 f(x) 在 x0 连续，从而对 ε > 0，存在 δ > 0，当 |t − x0| δ 时， |f (t) − f (x0)| < ε，从而当 0 < h < δ 时，
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt < ε
x0
从而
lim
h→+0
x0 +h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
f (x0)
同样方法：
lim
h→−0
x0 −h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
高数提出教学改进意见与措施
高数提出教学改进意见与措施高等数学是大学教育中的一门重要课程，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要的作用。
然而，在实际教学中，高数教学也存在一些问题，需要提出改进意见和措施。
以下是几个教学改进意见和措施：1. 注重基础知识的掌握。
高数是数学的基础课程之一，基础知识的掌握对于后续的学习至关重要。
因此，在教学中应该注重基础知识的讲解和练习，确保学生能够熟练掌握基本概念、定理和公式。
2. 注重教学方法的多样化。
高数课程难度较大，需要采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
例如，可以采用课堂讲解、小组讨论、案例分析、实验教学等多种方式，激发学生的学习兴趣和积极性。
3. 注重培养学生的思维能力。
高数课程不仅是数学知识的传授，更是思维能力的培养。
在教学中，应该注重引导学生思考问题的本质和内在规律，帮助学生建立正确的思维方式，提高学生的思维能力和创新能力。
4. 注重与实际应用的结合。
高数课程与实际应用密切相关，在教学中应该注重与实际应用的结合，让学生更好地理解数学在解决实际问题中的作用。
例如，可以采用案例分析的方式，让学生了解数学在金融、物理、工程等领域中的应用。
5. 建立科学的评价体系。
建立科学的评价体系是教学改进的重要措施之一。
应该注重学生的平时表现、作业、考试等多个方面的综合评价，避免单一的评价方式导致评价结果的不准确和不全面。
同时，应该注重评价结果的反馈和应用，帮助学生发现自己的不足之处并加以改进。
综上所述，高数教学改进需要注重基础知识、教学方法、思维能力、实际应用和评价体系等方面。
通过这些措施的实施，可以有效地提高高数教学的质量，培养出更多具有逻辑思维、分析问题和解决问题能力的人才。
函数的奇偶性在高等数学中的若干讨论
函数的奇偶性在高等数学中的若干讨论作者：刘太岗王春华来源：《教育教学论坛》2016年第09期摘要：介绍了函数奇偶性的定义和图形特征，分析了奇偶函数的性质，并讨论了函数奇偶性在高等数学中的若干应用。
关键词：函数；奇偶性；高等数学中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）09-0169-02函数是高等数学的主要研究对象，奇偶性是函数的基本性质之一。
函数的奇偶性在高等数学中有着十分广泛的应用，如利用奇偶函数图形的对称性缩减函数作图的步骤、利用被积函数的奇偶性化简定积分的计算以及奇偶函数的麦克劳林级数和傅里叶级数的展开都可简化。
一、函数奇偶性的定义定义：设函数f（x）的定义域D关于原点对称。
若？坌x∈D，恒有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数；若？坌x∈D，恒有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。
例如，y=cosx是偶函数，y=sinx是奇函数。
由定义易知：①常函数y=C是偶函数，特别地，当C=0时，即常函数y=0既是奇函数也是偶函数；②偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称；③偶函数在对称区间上具有相反的单调性，奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④奇函数f（x）若在x=0处有定义，则f（0）=0。
二、奇偶函数的性质（一）奇偶函数的四则运算设所考虑函数的定义域关于原点对称，且不恒取零值，则有以下结论成立：两个奇函数的和（或差）为奇函数；两个奇函数的积（或商）为偶函数；两个偶函数的和（或差）为偶函数；两个偶函数的积（或商）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的和（或差）既非奇函数也非偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积（或商）为奇函数。
（二）奇偶函数的反函数1.偶函数在定义域内不存在反函数；2.奇函数若在定义域内存在反函数，则其反函数也必为奇函数。
（三）奇偶函数的复合函数设函数y=f [g （x）]是由函数y=f（u）和u=g（x）复合得到，且它们的定义域均关于原点对称，则有以下结论成立：1.若y=f（u）和u=g（x）都是奇函数，则y=f [g （x）]是奇函数；2.若y=f （u）和u=g（x）至少有一个是偶函数，则y=f [g （x）]是偶函数。
《高等数学》课程标准
《高等数学》课程标准《高等数学》是许多学科的基础课程，特别是在数学、物理、工程学、经济学等学科中有着广泛的应用。
这门课程不仅提供了这些学科所需的基本数学工具，而且还锻炼了学生的逻辑思维和问题解决能力。
以下是对《高等数学》课程标准的详细描述。
一、课程目标《高等数学》旨在为学生提供深入理解数学基本概念、原理和方法的工具。
通过本课程的学习，学生应能：1.理解并掌握高等数学的基本概念、原理和算法，包括但不限于微积分、线性代数、概率论和数理统计等。
2.培养学生运用数学工具解决实际问题的能力，包括数据分析、建模、优化和概率决策等。
3.培养学生的逻辑推理和抽象思维能力，包括对问题的表述、分解、推导和总结等。
4.通过团队协作和讨论，提高学生的沟通技巧和批判性思维。
二、课程内容《高等数学》主要包括以下四个部分：1.微积分：包括极限、导数、微分、不定积分、定积分和微分方程等。
2.线性代数：包括行列式、矩阵、向量空间、线性变换和特征值等。
3.概率论：包括随机变量、概率分布、期望、方差、协方差和相关系数等。
4.数理统计：包括抽样分布、参数估计、假设检验和方差分析等。
三、课程安排《高等数学》课程应按照以下时间表进行安排：1.第一学期：微积分（1-16周），每周4小时，共64课时；2.第二学期：线性代数（17-32周），每周4小时，共64课时；3.第三学期：概率论（33-48周），每周4小时，共64课时；4.第四学期：数理统计（49-64周），每周4小时，共64课时。
四、教学方法本课程的教学方法应注重实践性和互动性。
具体方法包括：1.课堂讲解：由教师主导，详细讲解课程内容，突出重点和难点。
2.实例分析：通过分析具体的数学实例，让学生理解和掌握数学原理的应用。
3.学生自主学习：鼓励学生通过自主学习，完成作业和阅读指定参考书籍，以培养学生的独立思考能力和解决问题的能力。
4.小组讨论：鼓励学生分组讨论，提高学生之间的合作与交流能力。
论《高等数学》中洛必达法则求极限问题的讨论
计 算 求 解 。
３．对 于 ０。，ｏ。。，ｌ。ｏ型术定式，呵以先通过化为以 ｅ为底 的
指数函数 的极限，再运 用指数雨数的连 续性，化 为直接求指数
的极限，指数的极限 为 ０．。ｏ的形式，再转 化为 或 型的未 ０ ００
定 式 米 求 解 。
除 ０
，
詈未定式外，还
ｏ。，ｏ。一。。
摘要： 《高等数学》是大学中重要课程，笔者阐述了洛必达法则在教学中遇到的问题，筒时对洛必达法则重 ；
点 、难 熹 给 妊率 僦谈呗 ０
｜
关键 荔等数峰 洛必迭 极强
｜
中图分类号：Ｇ４２文献标识码：Ａ 文章编号：１ｏｏ６￣ ｓｘ（２ｏｏ９）一１４＿０１８６￣０２
；
● １ ● ●● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ， ＿ ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ＿ ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ． ● ●● ● ＿ ＿ ●● ● ， － ● ●＿ ， ● ●● ＿ ， ● ● －－ ● － ＿ ＿－ － － ●１ ● ＿ － － １● ● ＿ ● － ● ● ●● ● ， ● ●＿ ● ● ● ＿ ●● ● ● ●● ● ● ● １ ●● ＿ － ● ●－ １ ● ●＿ ＿ ， ● ●１ ● ， ， ●， ● ● ＿ ●● ● ● ＿１ ● ● － ●－ ● ＿ ●－ ， ＿ ●●
箅 出结 果 ，洛 必 达 法 则 也 被 人们 认 为是 一 种 求 未 定式 极 限的 彳丁效 方法 ，但 它 也并 不 是万 能 的 ，对 仃 的 题 目来 说 ，洛 必 达
０ ０。
２ ～譬
一 ．
例 ５：求极 限 ｌｉｍ（ｓｅｃ —ｔａｎ ）
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学知识点总结1高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，*面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，序列及其应用。
这部分是高考的重点和难点部分，主要产生一些综合题。
第四，不平等。
本文主要考察不等式的解法和证明，很少单独考察，主要是通过解题中的大小比较。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计。
这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明*行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，计算量大，一般包含参数。
高考数学基础知识的考查全面，突出重点。
扎实的数学基础是成功解题的关键。
鉴于数学高考对基础知识和基本技能的强调，必须全面系统地复习高中数学基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、规律、公式，形成记忆和技能。
以恒变。
数学思想方法考试是在更高层次上对数学知识的抽象和概括的考试，是与数学知识相结合的。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用**的数学观点**材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。
1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。
数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。
考研数学高数部分重难点总结
考研数学高数部分重难点总结1高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》1.2 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim=→x xx 、e x x x =+→1)1(lim 、e xxx =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。
1.3 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aadx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-aadx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-aadx x f )(=2⎰adx x f 0)(；对于⎰2)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-aa奇函数 、⎰⎰=-aa a2偶函数偶函数。
求解高等数学常见的变分法问题
求解高等数学常见的变分法问题在高等数学中，变分法是一个极为重要的工具。
在求解有关泛函、微积分、微分方程等等的问题时，也需要用到这种方法。
但对于大部分学生来说，面对变分法的问题时，会感到畏惧和无从下手。
因此，本文将详细地探讨求解高等数学常见的变分法问题的方法和技巧。
一、变分法的定义及原理变分法是处理问题时用到的一种数学方法，它是数学、物理、工程、经济等领域中的一种常用工具。
所谓变分法，简单来说，就是研究某个函数的性质时，通过对这个函数进行变化，从而获得其性质的方法。
比如，对于某个函数，我们可以通过对它进行微小的变化，从而求出其最小值或最大值。
变分法的原理基于泛函的极值问题。
泛函是一种映射，用于将函数的集合映射到实数集上。
在变分法中，我们需要寻找一个函数，使得其在给定的条件下可以使泛函达到最小值或最大值。
这种方法被广泛应用于很多领域，例如物理学、建筑学、工程学等等。
二、常见的变分法问题以下是一些常见的变分法问题：1. 求解最速降线问题：对于两个点，通过曲线连接它们，使得路径的长度最短。
2. 求解布尔诺利问题：对于液压机械，如何使得机械的液压能最大化。
3. 求解拉盖朗日问题：根据给定的约束条件，如何使得泛函的极值最小。
4. 求解哈密顿问题：对于系统的某些能量和约束的变化，如何寻找系统的变化量。
5. 求解凸性问题：研究某种特殊的函数，寻找其函数图像的性质。
这些问题是变分法的经典问题，它们在高等数学中被广泛地讨论。
三、求解变分法问题的方法对于上述这些变分法问题，求解的方法总体上可以分为以下几个步骤：1. 确定泛函及函数空间：首先需要确定泛函的形式以及函数属于哪个函数空间。
2. 利用欧拉-拉格朗日方程：此方程是变分法求解问题的关键，它可以将泛函最佳化问题转换成求解常微分方程问题。
3. 求解常微分方程：根据欧拉-拉格朗日方程构造一个常微分方程，并利用一系列技巧求解该方程。
4. 求解极值：将所求得的解代入泛函中，最终得到泛函的极值。
《高等数学》课程标准
《高等数学》课程标准一、课程简介高等数学是高等教育中的一门重要基础课程，它涉及到数学分析、线性代数、概率统计等多个领域，是培养学生数学思维和解决问题能力的重要手段。
本课程旨在通过系统的教学，使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，提高学生的数学素养和思维能力，为后续课程的学习和实际问题的解决打下坚实的基础。
二、课程目标1. 知识目标：学生能够掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，包括函数、极限、微积分、线性代数、概率统计等。
2. 能力目标：学生能够运用高等数学知识解决实际问题，培养数学思维和逻辑推理能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3. 素质目标：学生能够树立正确的数学观念，培养数学素养和数学精神，提高独立思考和创新能力，为今后的学习和工作奠定基础。
三、教学内容与要求1. 教学内容：本课程主要包括函数、极限、微积分、线性代数、概率统计、数理逻辑、数学建模等基本内容。
2. 要求：学生应该熟练掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，能够运用所学知识解决实际问题，培养数学思维和逻辑推理能力。
同时，学生还应该注重数学思想和方法的学习，提高分析问题和解决问题的能力。
四、教学方法与手段本课程采用多种教学方法和手段，包括课堂讲授、案例分析、小组讨论、实验教学等。
在教学过程中，注重理论与实践相结合，通过案例分析、实验教学等方式，使学生更好地理解和掌握高等数学的基本概念和理论。
同时，注重学生的参与和互动，鼓励学生积极思考、提问和讨论，提高学生的学习积极性和主动性。
五、考核方式与标准本课程的考核方式包括平时成绩和期末考试两部分。
平时成绩包括出勤率、作业完成情况、课堂表现等，占总评成绩的30%；期末考试采用闭卷形式，主要考察学生对高等数学基本概念、理论和方法的掌握情况，占总评成绩的70%。
同时，为了鼓励学生积极思考、创新和实践，我们将根据学生在实验、课程设计等环节的表现给予额外的加分。
六、教材与参考书本课程推荐使用由高等教育出版社出版的高等数学教材，同时推荐以下参考书：1.《高等数学》，高等教育出版社；2.《数学建模》，清华大学出版社；3.《线性代数》，高等教育出版社；4.《概率统计》，北京大学出版社。
高等数学中用极限定义的几个概念的教学思考
高等数学中用极限定义的几个概念的教学思考
高等数学中，极限是分析数学重要的技术，为人们理解许多数学定理和结果提
供了帮助。
通过极限的概念，我们可以确定函数行为时，它的值不会更改，达到一个稳定值。
本文讨论极限定义的几个概念，如函数的无穷大极限、函数的不变极限以及函数的无穷小极限。
一般来说，当函数的参数值趋近于一个持续的值的时候，函数的值也就趋近于
一个稳定的值，那么可以称之为函数的极限，它表示函数的值有可能会进行某种变化，但是该值的变化不会超过某个范围。
函数的无穷大极限表示函数的参数值逐步增加，而函数的值也距离该极限值越
来越近，采取更多接近此值的参数值也无济于事，函数的值不可能再趋近得更近，该种情形可以称为“定极值”或“无穷大极限”。
函数的不变极限意味着无论参数得怎样变化，该极限一直都不变，即迁移参数
不影响极限值。
例如，圆的半径表示函数 r = x2 + y2，半径的不变极限是 2，而不管 r-轴的坐标怎样变化，函数的值都不会超过2，所以2是不变极限。
函数的无穷小极限指的是当参数值逐步减小时，函数的值也会逐步减小，并趋
近于某个极小值，此极小值就是函数的无穷小极限，因此在此极限值处函数的变化不会超过极限，也称为“定极值”或“无穷小极限”。
总之，极限定义是高等数学中重要的技术，函数的无穷大极限、函数的不变极
限和函数的无穷小极限是几个常见的概念，它们的定义都表明，当函数的参数值发生改变时，函数的值有可能在极限值之外发生变化，但是永远不可能超过这个限度。
关于高等数学教材编写中两个难点简化处理的一点思考
在当前国内使用的高等数学教材中，对于微分和第二型曲线（曲面）积分的编写思路基本相似。
在微分这一部分，总是先介绍微分的概念，再介绍微分与导数的关系。
在第二型曲线（曲面）积分中，总是先给出曲线（曲面）积分的概念，然后再寻找两类曲线（曲面）积分之间的联系。
由于微分和第二型曲线（曲面）积分的概念比较抽象，使学生理解起来困难较大，不易掌握。
本文将对上述两个难点在教材编写中如何处理提出一点思考，其目的是在不影响教材的科学性和知识性的前提下，简化教材的处理，从而有效地提高学生的学习效率。
一、关于微分和全微分微分的概念比较抽象，微分和导数（偏导数）的逻辑关系也需要推导，学生理解起来较为困难，整个知识体系叙述不够简洁。
因此，这部分内容是高等数学教学的一个难点，对于非数学专业的高等数学教材，应当在不影响教材的科学性和知识性的前提下，适当降低概念的抽象程度，有利于学生的接受和理解。
下面我们给出微分和全微分的定义如下：定义1设在点的某邻域有定义，并且存在导数f'（x 0），如果Δy=f （x 0+Δx ）-f （x 0）=f'（x 0）Δx+o （Δx ）则称f （x 0）在点x 0可微分，并且称f'（x 0）Δx 是f （x ）在点x 0处的微分。
定义2设z=f （x ，y ）在点（x 0，y 0）的某邻域有定义，并且存在两个偏导数f x （x 0，y 0）和f y （x 0，y 0），记ρ=Δx 2+Δy 2姨，如果Δz=f （x 0+Δx ，y 0+Δy ）-f （x 0，y 0）=f x （x 0，y 0）Δx +f y （x 0，y 0）Δy+o （ρ）则称f （x ，y ）在点（x 0，y 0）可微分，并且称f x （x 0，y 0）Δx +f y （x 0，y 0）Δy 是f （x ，y ）在点（x 0，y 0）处的全微分。
微分和全微分这样表述后有两个明显优点：一方面，降低了概念的抽象程度，但没有损失这部分知识点的科学性和知识性。
高等数学课程学习指导(部分)
《高等数学》课程学习指导（部分）绪论《高等数学》(基本内容是微积分)是同学们来到高校要学习的第一门数学课，也是理工科院校高校生最重要的基础课之一。
在起先学习这门课程的时候，假如对该课程探讨的对象是什么及探讨的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！假如将学习这门课看作是对微积分这座神奇的科学殿堂的一次探究，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简洁的导游图！本次课的目的就是向同学们简要介绍微积分探讨的对象和基本思想在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。
一、教学内容微积分探讨的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。
二、教学要求1．了解初等数学探讨的对象是：常数或常量，简洁的规则几何形体(如直线、直边形、直面形等)，而高等数学探讨的对象是：变数或变量、函数，困难的不规则几何形体(如曲线、曲面、曲边形、曲面形等)。
2．初步理解微积分的基本探讨方法——微元分析法，即(1) 在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值；(2) 通过极限，将近似值转化为精确值。
3．导数是探讨函数在一点处改变的快慢程度(改变率)。
在匀称改变状况下，需用除法计算的量，在非匀称改变的状况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是探讨函数在某一区间内改变的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。
4．函数是微积分探讨的对象，极取是微积分的理论基础。
5．学习方法的建议：(1) 培育自学的实力，在学习过程中特殊要特殊留意概念、理论和思想方法的理解；(2) 勤于思索，敢于和擅长发觉问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培育自己的创新精神和创新实力。
(3) 培育应用数学的意识、爱好和实力。
第一章映射与函数，极限与连续函数(18-20学时)函数是微积分探讨的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依靠的关系；极限是刻画变量在改变过程中的改变趋势，它既是一个重要概念，又是学习微积分的重要工具和思想方法；函数的连续性是借助于极限概念揭示出来的变量在改变过程中的一个基本性态，连续函数是微积分探讨的主要对象。
同济大学《高等数学》教材
同济大学《高等数学》教材高等数学是大学数学的重要组成部分，而同济大学的《高等数学》教材则是其中的经典之作。
本篇文章将介绍同济大学《高等数学》教材的特点和贡献，并分析其在数学教育中的价值和作用。
一、特点与结构同济大学《高等数学》教材以系统性、全面性和深入性为特点。
它由多位优秀的教授和专家合力编写而成，涵盖了大学高等数学相关的各个领域和知识点，包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等。
教材结构清晰，内容层次分明，既有基础知识的介绍，又有扩展性内容的深入讨论，适合大学本科生和研究生的学习使用。
二、内容丰富多样《高等数学》教材以理论与实践相结合的方式进行教学。
除了基本的理论框架和公式推导，教材还融入了大量的实例和案例，帮助学生理解抽象的数学概念和原理。
同时，教材还注重数学思维能力的培养和发展，通过一些挑战性的问题和练习，激发学生的思考和创新能力。
这种丰富的内容形式和方法使得学生能够更好地将数学应用于实际问题中。
三、教学方法先进同济大学《高等数学》教材采用了一系列先进的教学方法，旨在提高学生的学习效果和兴趣。
教材中引入了现代科技手段，如图像化和动画演示，帮助学生更直观地理解数学概念和定理的几何意义。
同时，教材还加强了与实际应用的联系，通过数学建模和计算机仿真等方法，激发学生对数学的兴趣和热情。
这种教学方法的创新性不仅提升了教学效果，还培养了学生的创新思维和实践能力。
四、对数学教育的价值与作用同济大学《高等数学》教材在数学教育中发挥着重要的价值和作用。
首先，教材承载了同济大学的学术传统和教学理念，体现了该校对数学教育的重视和研究的深度。
其次，教材的优质内容和科学的教学方法为学生提供了良好的学习资源和平台，提高了数学教育的质量和效果。
此外，教材还培养了学生的数学思维和解决问题的能力，为他们今后的学习和研究打下了坚实的基础。
综上所述，同济大学《高等数学》教材以其独特的特点和贡献，在大学数学教育中发挥着重要的作用。
大学三年高数学习的难题与解答
大学三年高数学习的难题与解答在大学的三年高数学习中，学生们面临着诸多挑战。
高等数学不仅仅是一门学科，它是一位复杂的老师，常常带来许多意想不到的难题。
这些难题，如同高数中的精灵，时而隐藏在复杂的公式后面，时而藏匿于抽象的概念之中。
然而，掌握它们并不无望，只要找对了方法，这些精灵是可以被驯服的。
首先，让我们来看看那些常见的难题。
学生们在学习高数时常常被以下几个问题困扰：1.理解抽象概念的困难：高数的世界充满了抽象的概念，如极限、导数、积分等。
这些概念不像现实世界中的物体那样容易感知，它们存在于抽象的数学空间中，让人感到迷茫。
例如，极限的定义和性质常常使学生感到困惑，因为它涉及到一个无限接近的过程，而这个过程的直观理解并不容易。
2.解决复杂问题的步骤繁琐：高数中的问题往往需要多步推导才能得到答案。
每一步的推导都是一个挑战，一点小小的错误就可能导致整个解题过程的失败。
这种繁琐的步骤和繁杂的计算让许多学生感到挫败。
3.缺乏直观的图形帮助：高数中的很多问题无法用简单的图形来直观地展示。
例如，多变量函数的偏导数和重积分在没有合适的图形支持下，学生很难真正理解它们的几何意义。
解决这些难题，需要从多个方面入手。
首先，面对抽象概念，可以通过构建具体的例子和图形来帮助理解。
许多高数的概念在纸上看起来很复杂，但在实际问题中，它们往往变得更加具体。
利用计算工具和图形软件，学生可以将这些抽象概念可视化，帮助自己更好地理解它们的含义。
其次，面对复杂的解题步骤，建立良好的解题习惯至关重要。
学生应该学会分解问题，将复杂的问题分成若干个较为简单的子问题来解决。
在每一步推导中，要养成良好的检查习惯，确保每一步的推导都是准确的。
制定详细的解题步骤和方法，也能帮助学生理清思路，减少错误的发生。
对于缺乏直观图形的问题，建议学生在学习过程中多做练习，使用图形化的工具来帮助理解。
例如，利用数学软件来绘制函数图像，这不仅能帮助学生更好地把握函数的性质，还能对积分和导数的几何意义有更直观的理解。
江苏专转本高等数学考试中积分学的讨论
江苏专转本高等数学考试中积分学的讨论发布时间：2023-05-29T09:36:53.277Z 来源：《中国教工》2023年6期作者：郭家勇[导读] 摘要：随着越来越多学生参加专转本的考试，竞争也越来越激烈，而高等数学是理科生一门重要的课程，所占比重大，考试范围广，难度较大，学生考试成绩分值差距较大。
本文结合江苏专转本高等数学考试真题特点，以及学生学习自身情况，对高等数学中积分这部分内容进行分析，给出有效的策略，提高考试成绩。
积分的计算是微积分的基本计算，作者通过多年的高等数学教学经验，以及辅导学生参加专转本考试的过程中的体会，归纳总结了不定积分和定积分在专转本考试中常用的理论，方法以及技巧，通过典型例题发现规律，达到事半功倍的效果，从而获得高分取胜。
摘要：随着越来越多学生参加专转本的考试，竞争也越来越激烈，而高等数学是理科生一门重要的课程，所占比重大，考试范围广，难度较大，学生考试成绩分值差距较大。
本文结合江苏专转本高等数学考试真题特点，以及学生学习自身情况，对高等数学中积分这部分内容进行分析，给出有效的策略，提高考试成绩。
积分的计算是微积分的基本计算，作者通过多年的高等数学教学经验，以及辅导学生参加专转本考试的过程中的体会，归纳总结了不定积分和定积分在专转本考试中常用的理论，方法以及技巧，通过典型例题发现规律，达到事半功倍的效果，从而获得高分取胜。
关键词：专转本；不定积分；换元积分法0 引言随着时代的发展，社会对广大的考生的知识学历的需求越来越高，而专转本考试为高职高专的学生有意提高学历，提供了进一步深造的机会。
专转本考试是高职高专考生进入本科层次的省级统一选拔性考试，选拔对象为全日制为全日制普通高职高专院校的应届毕业生。
江苏专转本考试考生只有一次机会，近些年来，报名参加考试的学生逐年增多，因此竞争越来越激烈。
理科的考生考试时，高等数学是必考的课程之一，总分为150分。
江苏专转本高等数学的考试大纲经过几次的修订，现在主要考试内容包括微积分学，线性代数，空间解析几何及常微分方程等这几方面内容。
[大学数学]高等数学重要知识点
![[大学数学]高等数学重要知识点](https://img.taocdn.com/s3/m/fa13c119fab069dc51220165.png)
[大学数学]高等数学重要知识点高等数学重要知识点1. 函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2. 一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
3. 一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
4. 向量代数与空间解析几何（数一）主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的.相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等。
该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5. 多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6. 多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7. 无穷级数（数一、数三）重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
8. 常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。
此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
要牢记基本的积分公式外 还要适当掌握一 些三 角变换
例1
解令
则
原式 =
面积为
这是一椭圆, 其
此题中采用的方法主要为截面法即俗称 的先二后一法 先计算一个二重积分 再计
时有
于是 当 而
求某一函数的和函数应当熟练地掌握逐 项求导与逐项积分这两个和函数的基本性质 并能加以灵活地应用 还要掌握几个常用的
2002. 7. 第 5 版. 186- 257.
区域 在z轴上的投影区域是[ - c, c ] , 对 于区间内的一点z , 相应地有一平面区域D( z)
对上式从 0 到积分 得
242 科 技咨询导报 Sci en ce a nd Tec hn ol og y Co ns ul t i n g Her al d
学 中的一个难点 希望通过以上的介绍能 给学习 高等数学 的 读者有所帮助
3 幂级数是 高等数学 的重要组成 部分 也 是各类考试的考查重点 笔 者认为幂级数中的一个难点在于求幂级 数的和函 数 以及函数展开成幂级数
例4 在区间( - 1 1) 内求幂级数 的和 函数
解 设和函数为
则
显然
于是
逐项求导
分; 幂级数, 加以阐 述, 并给出这几个 问题一些简便 解法
关键词 一次积分 三重积分 幂 级数
中图分 类号 G6 4
文献标 识码 A
文章编号 16 73 - 0 534 ( 2 00 6) 10( a) - 0 24 2- 0 1
中几个重点问题: 一次积分; 三重 积
1 积分学是 高等数学 一个中心问 题 也是一个难点 一次积分更是积分 学的基础 下面给出了两种较为复 因为
展开成
的幂级
所以
对于函数展开成幂级数关键是掌握所谓的间 接展开法 并且要记住几个常见的函数展开 式
如
最
后 在展开式的末尾一定要标明展开式的成 立的范围 这是一些初学者容易遗漏的地 方
参考文献 [ 1] 高等数学. 第五版. 上册. 高等教育出版社,
2002. 7. 第 5 版. 159- 280. [ 2] 高等数学. 第五版. 下册. 高等教育出版社,
2 三重积分是整个 高等数学 中一 个最为复杂的问题 计算量也比较大 下面通过例子给出了一种常用的解决三 重积分的简便解法
例 3 计算三重积分
其中是
由椭球面
所围成的空间闭区域
解 空间闭区域可表为
如下图
算一个一次积分此方法主要适用于被积函数 中只含有一个变量的积分 先用一个平行于
某一个坐标平面的平面去截 得到一个截 面 一般只要能计算出截面的面积 如例 3 积分 就能较 易求出
科技咨询导报 2006 NO. 14 Sci en ce an d Tec hn ol o gy Co ns ul t i ng He r al d 高等数学 中几个重点问题的再讨论
科教平台
张劲 ( 山 东省淄博 市山东理 工大学数 学与信息 科学学院 )
摘 要 高等 数学 是 高校 教学 中的 一门 重要 课程 笔者总结几年来的教学经验, 把 高等数学
另外利用柱面坐标与球面坐标也可以比 较简便的计算一些三重积分 但在应用时应 注意什么样的三重积分可以利用以上两种坐
标计算 并且能比较简便的计算出结果 用 柱面坐标时积分区域在某一坐标平面上的投 影应是一个圆域 用球面坐标时积分区域最
好是一个球面或者是由部分球面所围的区 域
总之 三重积分的计算确实是 高等数
函数展开式如
此题中采用了三角函数中的万能公式
此种方法适用于解那些用一般变换不易
化简的三角函数有理式 另外在解三角函数 的积分问题时经常还要采用三角函数的积化 和差 和差化积公式 在这里不再赘述
无理函数的积分 此种类型的积分要 注意对根式的处理
例2
解令
则
对于根式的处理一般可采用化简与变量 的代还使其有理化