初中八年级数学培优——反比例函数的应用(有答案)
反比例函数的应用经典习题(含答案)
反比例函数的应用反比例函数应用——跨学科的综合性问题：解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系（常应用物理公式），然后利用待定系数法求出它们的关系式．常见模型：1.压力与压强、受力面积的关系2.电压、电流与电阻的关系3.水池中水的体积、排水量与所需时间的关系 4、气体的气压P（千帕）与气体体积V（立方米）的关系例1、某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么(1) 用含S的代数式表示p，并求木板面积为0.2 m2时.压强是多少?解：P=F/S=600/S ，S=0.2 m2 ，P=600/0.2=1200（Pa）（2）如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大?方法一：P=600/S≤6000，S≥600/6000=0.1，故面积至少0.1 m2方法二：已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围.实际上这些点都在直线P=6000下方的图象上(3) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象.注意：只需要坐第一象限的图，因为S＞0.例2.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R( )之间的函数关系如图所示。
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？解:因为电流I与电压U之间的关系为IR=U(U为定值),把图象上的点A的坐标(9,4)代入,得U=36.所以蓄电池的电压U=36V.这一函数的表达式为:I=36/R(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？R(Ω) 3 4 5 6 7 8 9 10I(A) 4解:当I≤10A时,解得R≥3.6(Ω).所以可变电阻应不小于3.6Ω.试一试1.某蓄水池的排水管每时排水8m 3 ，6h 可将满池水全部排空。
中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)及答案
中考数学反比例函数培优练习(含答案)及答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y= ，得k=4．解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），则点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP．设直线AP的解析式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ，∴S△PAB=2S△AOP=15；（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2．B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，联立，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），∴H（m，0），∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，∴MH=NH，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形；（3）解：∠PAQ=∠PBQ．理由如下：过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有，解得：，∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．当y=0时， x+ ﹣1=0，解得：x=c﹣4，∴D（c﹣4，0）．同理可得E（c+4，0），∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，∴DT=ET，∴QT垂直平分DE，∴QD=QE，∴∠QDE=∠QED．∵∠MDA=∠QDE，∴∠MDA=∠QED．∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，∴∠PAQ=∠PBQ．【解析】【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP 与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．2．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．（1）求k的值；（2）求经过A、C两点的直线的解析式；（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，∴A的坐标是（2，3），代入y= 得3= ，解得：k=6（2）解：OD=2+2=4，在y= 中令x=4，解得y= ．则C的坐标是（4，）．设AC的解析式是y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线AC的解析式是y=﹣ x+（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3；直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2= ．则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．3．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），∴2=﹣ +b，解得：b= ，∴一次函数解析式为y= x+ ．联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y=mx+n，则有，解得：，∴直线A′B的解析式为y= x+ ．令y= x+ 中x=0，则y= ，∴点C的坐标为（0，）（2）解：观察函数图象，发现：当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．4．如图，已知直线y＝ x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为 .（1）求k的值；（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.【答案】（1）解：把x= 代入，得y= ，∴A（，1），把点代入，解得：；（2）解：∵把y=3代入函数，得x= ，∴C ，设过，两点的直线方程为：，把点，，代入得：，解得：，∴，设与轴交点为，则点坐标为，∴；（3）解：设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，∴点只能在轴上，∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，根据，即得：，解得： .故点坐标为：或 .【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C 点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据求解即可；（3）设点坐标，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得，求出a的值即可.5．如图①所示,双曲线y= (k≠0)与抛物线y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三点,已知B(4,2),C(-2,-4),直线CO交双曲线于另一点D,抛物线与x轴交于另一点E.（1）求双曲线和抛物线的解析式;（2）在抛物线上是否存在点P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,请求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;（3）如图②所示,过点B作直线L⊥OB,过点D作DF⊥L于F,BD与OF交于点P,求的值.【答案】（1）解：把B(4,2)代人y= (k≠0)得2= 元,解得k=8z，∴双曲线的解析式为y= ，把B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得，，∴，∴抛物线的解析式为y=（2）解：连接DB,∵C(-2,-4),∴直线OC的解析式为y=2x且与y= 的另一个交点D(2,4)，∴由两点间距离公式得BC= ,DB= ,CD= ，∴BC2+DB2=CD2，∴∠CBD=90°，∴tan∠ BDC= .∵∠POE+∠BCD=90°,∠BCD+∠BDC=90°,∴∠POE=∠BDC.即tan∠POE=3.∴P在直线y=3x或y=-3x上,故有两种情况:解得(0,0)(舍)或(-6,-18)(舍);，解得(0,0)(舍)或(18,-54)，故可得出满足条件的P点有一个(18,-54)；（3）解：由B(4,2)可得直线OB解析式y= ，由OB⊥l可得l的解析式为y=-2x+b1,把(4,2)代入求出b1=10,∴l的解析式为y=-2x+10，由DF⊥l， OB⊥l可得DF∥OB,∴可设DF解析式y= x+b2，把D(2，4)代入得b2=3.∴DF的解析式为y= x+3，把DF的解析式与l的解析式联立可得：解得：∴，∴DF= ，OB=.∵DF∥OB，∴【解析】【分析】(1)因为双曲线与抛物线交于点A、B、C，且B（4，2），C（-2，-4），所以用待定系数法即可求得两个函数的解析式；（2）连接DB,因为直线CO与双曲线交于点D，所以C、D两点关于原点成中心对称，所以点D（2，4），则可将BC、CD、BD放在直角三角形中，用勾股定理求得这三边的长，然后计算可得，由勾股定理的逆定理可得∠CBD=90°，则∠BDC的正切值可求出来，由已知条件∠POE+∠BCD=90°可得∠BDC=∠POE，则tan∠BDC=tan∠POE,点P所在的直线解析式可得，将点P所在的直线解析式与抛物线的解析式联立解方程组，即可求得点P的坐标；（3）由题意直线L⊥OB，根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数易求得直线l的解析式，因为DF⊥L于F,所以同理可求得直线DF的解析式，把DF的解析式与l的解析式联立可得点F的坐标，则DF和OB的长可用勾股定理求得，因为DF∥OB，所以由平行线分线段成比例定理可得比例式;,将DF和OB的值代入即可求解。
中考数学精选反比例函数培优题(附答案)
y xOy x OyxOy xO 全国各地中考数学精选反比例函数培优题1.如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴,点C 在反比例函数221k k y x++=的图象上.若点A 的坐标为(－2，－2),则k 的值为 A ．1 B ．－3C ．4D ．1或－32。
直线 6y x =- 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数4(0)y x x=>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F.则AF BE ⋅=A ．8B ．6C ．4D ．62 3 如图直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 面积是S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则（ ） A S1〈S2<S3 B S1〉S2>S3 C S1=S2〉S3 D S1=S2〈S34。
小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y （km/h ）和行车时间x （h ）之间的函数图像是( )A B C D5。
如图，反比例函数xmy =的图象与一次函数b kx y -=的图象交于点M,N ，已点M 的坐标为（1，3）,点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程xm=b kx -的解为（ ）A 。
－3,1B 。
－3,3 C. －1，1 D.3，—1xyO ABCD6.根据图5-1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P,Q ，连接OP,OQ 。
则以下结论①x ＜0时,x2y =，②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大④MQ=2PM ⑤∠POQ 可以等于90°图5—2图5—1输出y 取相反数42取倒数取倒数输入非零数xPQM其中正确的结论是( ）A ．①②④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤ 7如图,直线y=x +2与双曲线y=xm 3-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ )二、填空题8。
反比例函数的应用专题练习(含答案)
初二数学反比例函数的应用课后练习（答题时间：60分钟）一、选择题1. 某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y 与平均每天烧的吨数x 之间的函数关系是（ ）A . x y 300=（x ＞0）B . xy 300=（x≥0） C . y ＝300x （x≥0） D . y ＝300x （x ＞0）2. 根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p （Pa ）与它的体积V （m 3）的乘积是一个常数k ，即pV ＝k （k 为常数，k ＞0），下列图象能正确反映p 与V 之间函数关系的是（ ）3. 小华以每分钟x 字的速度书写，y 分钟写了300字，则y 与x 的函数关系为（ ）A . x=300yB . y=300x （0>x ）C . x+y=300D . y=300x x- 二、解答题4. 王大爷家需要建一个面积为2 500米2的长方形养鸡厂.（1）养鸡厂的长y 米与宽x 米有怎样的函数关系？（2）王大爷决定把养鸡厂的长确定为250米，那么宽应是多少？（3）由于受厂地限制，养鸡厂的宽最多为20米，那么养鸡厂的长至少应为多少米？5. 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的23，如图所示，放在桌面上，对桌面的压强是200Pa ，翻过来放，对桌面的压强是多少？6. 一定质量的二氧化碳，当它的体积V=5m 3时，它的密度ρ=1.98kg/m 3.（ρ、V 成反比例）（1）求ρ与V 的函数关系式；（2）求当V=9m 3时ρ的值.7. 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，•本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间.经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y （亿度）与（x-0.4）元成反比例，又当x=0.65元时，y=0.8.求y 与x 之间的函数关系式.8. 为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y （mg ）与燃烧时间x （min ）成正比例；燃烧后，y 与x 成反比例（如图所示）.现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg.据以上信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式.（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式.（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？一、选择题1. A ；xy=300，注意自变量的取值范围2. C ；解题思路：vk p =，如果不与实际相结合，图象分布在一、三象限，但事实上，自变量的取值范围应为y>0.3. B二、解答题4. （1）y=2500x（2）y=250,x=10米 （3）125,20y 2500,2500≥≤==y x xy ,长至少为125米 5. •300Pa6. （1）V=5m 3时，ρ=1.98kg/m 3 ，ρ=9.9V（2）V=9m 3 ，ρ=1.1kg/m 3 7. 设4.0y -=x k ，当 x=0.65元时，y=0.8. k=0.2，化简得y=152x - 8. 解：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为11(0)y k x k =≠，由题意得：1810k = 145k =.∴此阶段函数解析式为45y x = （2）设药物燃烧结束后的函数解析式为22(0)k y k x=≠， 由题意得：2810k = 280k =.∴此阶段函数解析式为80y x= （3）当 1.6y <时，得80 1.6x< 0x >1.680x >50x >∴从消毒开始经过50分钟后学生才可以回教室.。
初中八年级数学培优——反比例函数的应用(精选各地中考试题有答案)
初中数学培优——反比例函数的综合应用(二）1、（2014•江苏盐城,第8题3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．B．C．D．2、(2014年天津市，第9 题3分)已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．y＞103、（2014•广西玉林市、防城港市，第18题3分）如图，OABC是平行四边形，对角线OB 在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①=；②阴影部分面积是（k1+k2）；③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．4、（2014山东济南，第21题，3分）如图，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形，90=∠=∠ADB ACO ,反比例函数xky =在第一象限的图象经过点B ，若1222=-AB OA ，则k 的值为________.5、（2014•山东聊城，第17题，3分）如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 分别过这些点做x 轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，…P n 作P 2B 1⊥A 1P 1，P 3B 2⊥A 2P 2，P 4B 3⊥A 3P 3，…，P n B n ﹣1⊥A n ﹣1P n ﹣1，垂足分别为B 1，B 2，B 3，B 4，…，B n ﹣1，连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…，P n ﹣1P n ，得到一组Rt △P 1B 1P 2，Rt △P 2B 2P 3，Rt △P 3B 3P 4，…，Rt △P n ﹣1B n ﹣1P n ，则Rt △P n ﹣1B n ﹣1P n 的面积为 ．6、（2014•武汉，第15题3分）如图，若双曲线y =与边长为5的等边△AOB 的边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，且OC =3BD ，则实数k 的值为．7、（2014•孝感，第17题3分）如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y =经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ．若S △OCD =9，则S △OBD的值为 ．8、（2014•山东淄博,第16题4分）关于x的反比例函数y=的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0的根的情况是．9、（2014•浙江湖州，第15题4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．10、2014•四川泸州，第16题，3分）图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k=4，则△OEF的面积为；②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE•EG=，则k=1．其中正确的命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．11、（2014•菏泽，第13题3分）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B 在第四象限，且AO：BO=1：，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为．12、2014•济宁，第14题3分）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为．13、（2014•浙江宁波，第22题10分）如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k＞0）的图象过CD的中点E．（1）求证：△AOB≌△DCA；（2）求k的值；（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．14、（2014•泰州，第26题，14分）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x ＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（第1题图）（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．15、（2013年潍坊市）设点()11,y x A 和()22,y x B 是反比例函数xky =图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，则一次函数k x y +-=2的图象不经过的象限是（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 16、（2013•南宁）如图，直线y=与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点A ，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点B ，若OA=3BC ，则k 的值为（ ）．D ．17、（13年安徽省4分、9）图1所示矩形ABCD 中，BC=x ，CD=y ，y 与x 满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ）A 、当x=3时，EC ＜EMB 、当y=9时，EC ＞EM C 、当x 增大时，EC·CF 的值增大。
考点06 反比例函数应用(解析版)
考点六反比例函数应用知识点整合一、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．考向一反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．典例引领(1)请求出v与F之间的函数关系式；(2)当它所受牵引力为2400牛时，汽车的速度为多少米【答案】(1)60000 vF =；(2)当它所受牵引力为2400牛时，汽车的速度为x(1)求k的值.(2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于k=【答案】(1)240(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于变式拓展(1)求反比例图数的表达式，并求点(2)张老师在一节课上从第10张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少【答案】(1)反比例函数的表达式为(2)当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到(1)求y与x之间的函数关系式：(2)求w与x之间的函数关系式，并求出当日利润为(1)分别求出材料煅烧和锻造时y (2)根据工艺要求，当材料温度低于【答案】(1)燃烧时函数解析式为()48006y x x=≥(2)4min(1)根据函数图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为达式为；（并写出x 的取值范围）(2)求血液中酒精浓度不低于200【答案】(1)y 10004x x ≤＝（＜）。
中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)含答案
中考数学反比例函数培优练习(含答案)含答案一、反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6∴反比例函数解析式为：把C（﹣1，n）代入，得：n=﹣6∴C（﹣1，﹣6）把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：所以一次函数解析式为y1=2x﹣4（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形如图，过B作BP1⊥y轴于P1，∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形此时，P1（0，2）过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中，在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2（0，）综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．3．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．【答案】（1）3；（2）﹣4（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF 垂直），；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，由得，即点M（﹣，），由得：，即点N（﹣，），则﹣≤x≤﹣，图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），即图形W与图形N之间的距离为d，d===∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，即图形W和图形N之间的距离．【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，故答案分别为：3，；（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，由得，即点F（﹣，），则OF= = ，∴OE=OF+EF=2 ，在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，则有OG=EG= OE=2，∴点E的坐标为（﹣2，2），∴k=﹣2×2=﹣4，故答案为：﹣4；【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.4．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.5．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。
沪教版初二数学18章正比例函数和反比例函数培优含答案
18.1 函数的概念（1）课前导读函数的概念比较难懂．我们先通过同学们熟悉的十个情景，顺一下耳音，慢慢体会函数的概念．关键句：…随…变化而变化，…是…的函数．核心：变化过程中，两个量是依赖关系．课本导学一、圆的面积S＝πr2，面积S随半径r的增大而增大，S是r的函数．在函数解析式S＝πr2中，π是常量，r是自变量，S是r的函数．二、圆的周长C＝2πr，面积C随半径r的增大而增大，C是r的函数．在函数解析式C＝2πr中，2π是常量，r是自变量，C是r的函数．三、正方形的面积S＝a2，面积S随边长a的增大而增大，S是a的函数．在函数解析式S＝a2中，a是自变量，S是a的函数．四、正方形的周长C＝4a，面积C随边长a的增大而增大，C是a的函数．在函数解析式C＝4a中，4是常量，a是自变量，C是a的函数．五、汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，那么在t小时行驶过的路程s＝60t千米．路程s随时间t的变化而变化，时间t越多，路程s越长，s是t的函数．在函数解析式s＝60t中，___是常量，___是自变量，___是___的函数．六、我们把一块橡皮泥（体积V一定）搓成一个圆柱体．（1）如果底面积S越大，那么高h越小．h随S的变化而变化，___是___的函数．（2）如果底面半径r越大，那么高h越小．h随r的变化而变化，___是___的函数．（3）如果高h越越大，那么底面积S小．S随h的变化而变化，___是___的函数．七、我们把正方形的每个边长看做1根火柴，那么火柴的根数m随着正方形的个数n 而变化，___是___的函数．在解析式m＝1＋3n中，___是自变量，___和___是常量．八、下表是上海某周每天的最高气温．这周前半周的气温在下降，后半周的气温在升高．最高气温随日期的变化而变化，_____是_____的函数．这样的函数没有解析式．九、下表某个学习小组10个同学这次数学测验的成绩．好理解的一句话是：成绩因人而异，或者说一人一个成绩．这也是函数关系，成绩随学号的变化而变化，_____是_____的函数．这样的函数没有解析式．十、已知y＝－2x＋1，如果x取不同的值，那么y对应的值也随之变化，____是____的函数，___是自变量，___和___是常量．课堂导练十一、理解课本第55页课后练习1：解：出勤率p随着实际到校的学生人数n的增大而增大，____是____的函数．解析式是p=，_____是自变量，_____是常量．十二、理解课本第55页课后练习3：对于s＝vt．（1）①如果速度v不变，那么路程s随时间t的变化而变化，____是____的函数，_____是自变量，_____是常量．②如果时间t不变，那么路程s随速度v的变化而变化，____是____的函数，_____是自变量，_____是常量．（2）如果路程s不变，速度v关于时间t的函数解析式是v=，_____是自变量，_____是常量．十三、理解课本第55页课后练习4：（1）△ABC的底边AB为定值a，面积S随高CD的增大而增大．在AB和CD中，_____是变量，_____是常量．（2）12S ah=，____是____的函数，_____是自变量，_____是常量．18.1 函数的概念（2）课前导读第二课时学习两个问题：1．已知函数的解析式，怎样求函数的定义域； 2．已知函数的解析式，求函数的值． 两个记号：f (x )、f (a )． 课本导学一、直奔课本第56页例题3，回顾、对照，理解定义域． 回归以前的知识： 对照例题3：当x 为何值时，下列各式有意义？ 求下列函数的定义域： （1）53x -； （1）53y x =-； （2）12x +； （2）12y x =+；（3 （3）y 二、如果你理解了一点定义域，就抄写一下课本第56页的定义： 函数的自变量__ __ __ __ __ __ __ ，叫做这个函数的定义域．每一个函数都有定义域．对于解析式表示的函数，如果不加说明，那么这个函数的定义域是：（1）如果解析式是整式，定义域就是____________； （2）如果解析式是分式，定义域就是分母____________； （3）如果解析式是二次根式，定义域就是被开方数____________．三、理解两个记号：f (x )、f (a )．例如对于函数y（1）函数y =()f x =x 是自变量；（2）f (a )表示当x ＝a 时函数的值．例如(5)2f =．四、如果你理解了f (x )、f (a )的意义，那么课本第57页例题5就是代入求值了． 这个书写过程，比七年级代入求值的“一呼二代三计算”简洁多了吧． 五、图解课本第57页例题4的定义域．如图，AB ＝7，⊙A 的半径为3，点C 是⊙A 上的一个动点，设BC ＝x ，那么△ABC 的周长y ＝_________________．定义域是这样确定的：（1）点C 运动到点M 时，x ＝BC 取得最小值，但此时三角形不存在了；（2）点C 运动到点M 时，x ＝BC 取得最大值，此时三角形也不存在了．因此定义域是4＜x ＜10．课堂导练六、完成课本第58页课后练习1，求函数的定义域：（1）2y x =，定义域是__________________； ←解析式是整式 （2）312x y x +=-，定义域是__________________； ←解析式是分式（3）y ，定义域是__________________； ←解析式是二次根式 （4）y =__________________． ←分母≠0，且被开方数≥0 七、完成课本第58页课后练习3：已知234x y x +=+，求(2)f -，1()2f -，(0)f ，f ． 解：（1）(2)f -＝2(2)3(2)4⨯-+-+＝（2）1()2f -＝（3）(0)f ＝（4）f ＝八、完成课本第58页课后练习2：等腰三角形中，底角的度数用x 表示，顶角的度数用y 表示，写出y 关于x 的函数解析式及函数的定义域．解：y ＝_______________．定义域这样来想：（1）x 最小不能为_____；（2）x 最大不能为_____． 所以定义域是______________．定义域也可以倒着来算：因为0＜y ＜180，所以解不等式组________0,________180.>⎧⎨<⎩就得到定义域．18.2 正比例函数（1）课前导读第一课时学习两个内容： 成正比例、正比例函数；待定系数法求函数解析式的一般步骤：设、列、解、答． 课本导学一、成正比例、正比例函数的关系：（1）如果两个变量x 、y 的比值是一个常数k ，即yk x=，就说x 、y 成正比例． （2）把yk x=写成y kx =（k 是不等于0的常数），就是y 关于x 的正比例函数． 二、正比例函数的定义是描述性的：形如……．阅读课本第59页．（1）解析式形如___________（k 是不等于0的常数）的函数叫做正比例函数． （2）k 叫做____________．（3）正比例函数的定义域是______________．（4）确定了比例系数k ，就可以确定一个正比例函数的________．三、课本第59页例题1，已知正比例函数的解析式y ＝－4x ，那么比例系数k ＝____． f (－5)＝ f (－2)＝ f (0)＝ f (3)＝四、课本第60页例题2，就是待定系数法求正比例函数的解析式：设、列、解、答． 已知y 是x 的正比例函数，且当x ＝3时，y ＝24．求y 与x 之间的比例系数，并写出函数的解析式和函数的定义域．课堂导练五、完成课本第60页课后练习2，判断下列函数中，正比例函数有______________．（1）5x y =； （2）15y x =-； （3）5y x=； （4）52y x =+．追问一下：（5）y ＝2(x －1)_________（填“是”或“不是”）正比例函数； （6）y ＝2(x －1)＋2_________正比例函数．六、完成课本第60页课后练习3，用待定系数法求正比例函数的解析式．已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝12．求y与x之间的比例系数，并写出函数的解析式．七、完成课本第60页课后练习1，判断下列问题中的两个变量是否成正比例？（1）商一定（不为0），被除数与除数．提示：例如y÷x＝8．答：商一定（不为0），被除数与除数_______（填“成”或“不成”）正比例．（2）除数不变（不为0），被除数与商．提示：例如y÷18＝x．答：除数不变（不为0），被除数与商_______正比例．（3）一个因数（不为0）不变，另一个因数与它们的积．提示：例如5x＝y．答：一个因数（不为0）不变，另一个因数与它们的积_______正比例．（4）等腰三角形的周长一定，它的腰长与它底边的长．提示：例如2x＋y＝30．答：等腰三角形的周长一定，它的腰长与它底边的长_______正比例．（5）一个人的体重与它的年龄．提示：同班同学年龄一样，有胖有瘦，写不出解析式啊！答：一个人的体重与它的年龄_______正比例．18.2 正比例函数（2）课前导读第二课时学习正比例函数的图像：第一阶段，先通过描点法探究出正比例函数的图像是一条直线；第二阶段，知道了正比例函数的图像是直线，那么根据“两点确定一条直线”，选择两个点画正比例函数的图像． 课本导学一、描点法画函数图像的步骤：列表、描点、连线． 画正比例函数y ＝2x 的图像． （1）列表．（2）描点．把上表中的9个有序实数对对应的点在坐标系中描出来． （3）连线．结论：正比例函数y ＝2x 的图像是一条_________________．正比例函数y ＝2x 的图像 正比例函数y ＝－2x 的图像 二、画正比例函数y ＝－2x 的图像．结论：正比例函数y ＝－2x 的图像是一条_________________．课堂导练三、在同一坐标系中画函数3y x =、y x =、13y x =的图像． （1）对于函数y ＝3x ，当x ＝0时，y ＝____；当x ＝1时，y ＝____． 过两点(0，___)、(1，___)画直线，就是正比例函数y ＝3x 的图像． （2）对于函数y ＝x ，当x ＝0时，y ＝____；当x ＝1时，y ＝____． 过两点(0，___)、(1，___)画直线，就是正比例函数y ＝x 的图像．（3）对于函数13y x =，当x ＝0时，y ＝____；当x ＝3时，y ＝____． 过两点(0，___)、(3，___)画直线，就是自变量函数13y x =的图像．四、在同一坐标系中画函数4y x =、y x =、14y x =的图像． （1）过两点(0，___)、(1，___)画直线，就是自变量函数y ＝4x 的图像． （2）过两点(0，___)、(1，___)画直线，就是自变量函数y ＝x 的图像． （3）过两点(0，___)、(4，___)画直线，就是自变量函数14y x =的图像． 五、在同一坐标系中画函数13y x =-、3y x =-的图像． 六、在同一坐标系中画函数y ＝2x 、y ＝－2x 的图像．七、完成课本第63页课后练习2，似曾相识，其实就是待定系数法．18.2 正比例函数（3）课前导读第三课时学习正比例函数的性质，其实就是由k 的符号决定： 1．直线经过哪两个象限；2．y 随x 变化的情况（y 随x 的增大而增大，y 随x 的增大而减小）． 课本导学一、画一组k ＜0的正比例函数的图像，来体验k ＜0时正比例函数的性质． 在同一坐标系中画函数4y x =-、y x =-、14y x =-的图像．（1）这3条直线都经过第___、___象限；（2）每一条直线从左向右看，直线呈________（填“上升”或“下降”）趋势； 也就是说，随着x 的增大，y 的值在_________； 习惯来说，y 随x 的增大而________．二、画一组k ＞0的正比例函数的图像，来体验k ＞0时正比例函数的性质． 在同一坐标系中画函数2y x =、y x =、12y x =-的图像．（1）这3条直线都经过第___、___象限；（2）每一条直线从左向右看，直线呈________（填“上升”或“下降”）趋势； 也就是说，随着x 的增大，y 的值在_________； 习惯来说，y 随x 的增大而________．三、归纳正比例函数y ＝kx （k ≠0）的性质（课本第64页通俗版）： （1）当k ＞0时，直线经过第___、___象限，y 随x 的增大而________． （2）当k ＜0时，直线经过第___、___象限，y 随x 的增大而________．四、正比例函数的性质在应用时，往往这样倒腾：（1）如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么k____0，y随x的增大而_______．如果已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么k____0，y随x的增大而_______．（2）如果正比例函数y的值随x的值增大而增大，那么k____0，直线经过第___、___象限．如果正比例函数y的值随x的值增大而减小，那么k____0，直线经过第___、___象限．课堂导练五、完成下列填空：（1）已知两个非零实数m、n同号，那么函数y＝mnx的图像经过第___、___象限，y 随x的增大而_______．（2）已知两个非零实数m、n同号，那么函数my xn=的图像经过第___、___象限，y随x的增大而_______．（3）已知mn＜0，那么函数ny xm=的图像经过第___、___象限，y随x的增大而_______．（4）已知正比例函数y＝(a＋1)x的图像经过第一、三象限，那么a的取值范围是_____．（5）已知正比例函数y＝(1－2a)x的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是_____．（6）已知正比例函数y＝(a2＋1)x的图像经过第___、___象限．（7）已知正比例函数1(1)4y a x=-，y随x的增大而增大，那么a的取值范围是______．（8）已知正比例函数y＝(3－a)x，y随x的增大而减小，那么a的取值范围是______．六、完成课本第65页课后练习4，体验比例系数互为相反数的两个正比例函数的图像的对称性．画直线y＝5x和y＝－5x画直线y＝x和y＝－x结论：直线y＝5x和y＝－5x既关于____轴对称，也关于____轴对称．直线y＝x和y＝－x既关于____轴对称，也关于____轴对称；这两条直线与坐标轴的夹角都是______°，这两条直线的位置关系是互相_______．18.3 反比例函数（1）课前导读和正比例函数的学习过程一样，反比例函数第一课时学习两个内容：成反比例、反比例函数；待定系数法求反比例函数的解析式：设、列、解、答．课本导学一、成反比例、反比例函数的关系：（1）如果两个变量x、y的乘积是一个常数k，即xy＝k，就说x、y成反比例．（2）把xy＝k写成kyx=（k是不等于0的常数），就是y关于x的反比例函数．二、正比例函数的定义是描述性的：形如……．阅读课本第67页．（1）解析式形如___________（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．（2）k也叫做____________．（3）反比例函数的定义域是___________________．（4）确定了比例系数k，就可以确定一个正比例函数的________．三、解读课本第67页例题2，三个小题三个典型．已知y是x的反比例函数，且当x＝2时，y＝9．（1）求y关于x的函数解析式；←待定系数法：设、列、解、答．（2）当132x=时，求y的值；←这样写很方便：1(3)2f（3）当y＝5时，求x的值．←解关于x的方程课堂导练四、完成课本第68页课后练习2，判断下列函数中，反比例函数有______________．（1）13y x=-；（2）4xy=；（3）15yx=-；（4）2ayx=（a是常数，a≠0）．五、追问一下：函数15yx=-的比例系数是_______；函数13xy=是正比例函数还是反比例函数？六、完成课本第68页课后练习3．已知y是x的反比例函数，且当x＝4时，y＝7．（1）求y关于x的函数解析式；←待定系数法：设、列、解、答．（2）当x＝5时，求y的值．←这样写很方便：f (5)解：七、基本功训练：（1）已知反比例函数的图像经过点(3,－2)，那么反比例函数的解析式是________；（2）已知双曲线经过点(－1,－2)，那么函数的解析式是________；（3）已知双曲线经过A(4,－3)、B(2, m)两点，那么m＝________；（4）已知双曲线经过M(2, 5)、N(a, 4)两点，那么a＝________．八、课本第68页课后练习1和第66页例题1，同学们都不喜欢文字长的题目吧．策略：要判断两个变量是否成反比例，就是看这两个变量的乘积是否为定值．（1）三角形的面积S一定时，它的一条边长a和这条边上的高h；提示：三角形的面积公式是S＝_______，a和h的乘积是定值吗？（2）存煤量Q一定时，平均每天的用煤量m与可使用的天数n；提示：Q、m、n之间的关系是Q＝_______，m与n的乘积是定值吗？（3）货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x；提示：A、a、x之间的关系是A＝_______，a与x的乘积是定值吗？（4）车辆所行驶的路程s一定时，车轮的直径d和车轮的旋转周数n．提示：圆的周长C＝πd，s、d、n之间的关系是s＝_______，d与n的乘积是定值吗？九、图解课本第68页课后练习4的定义域．长方形的面积为20平方厘米，长和宽分别是x厘米和y厘米，那么y＝_____．定义域怎么确定呢？图中这些以OB为对角线的长方形的面积都是20，长方形可以无限的细而高，也就是说x可以无限小，但是不能为0．长方形也可以无限的扁而长，也就是说x可以无限大．你知道定义域了吗？x的取值范围是______________．18.3 反比例函数（2）课前导读和正比例函数的学习过程一样，第二课时学习反比例函数的图像和性质： 第一阶段，先通过描点法探究出反比例函数的图像是双曲线； 第二阶段，从图像中总结函数的性质． 课本导学一、用描点法画反比例函数12y x=的图像：列表、描点、连线． （1）列表．（2）描点．把上表中的12个有序实数对对应的点在坐标系中描出来． （3）连线．用光滑的曲线连接各点，再向两方伸展．结论：（1）反比例函数12y x=的图像是双曲线，它有两支，落在第____、____象限． （2）在每一个象限内，从左向右看这条线，呈________（填“上升”或“下降”）趋势； 也就是说，随着x 的增大，y 的值在_________； 习惯来说，y 随x 的增大而________．（3）双曲线的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但_______（填“会”或“不会”）与x 轴和y 轴相交．二、画反比例函数12 y=-的图像．结论：反比例函数12yx=-的图像是_______，它有____支，落在第____、____象限．在每一个象限内，从左向右看这条线，呈________（填“上升”或“下降”）趋势；也就是说，随着x的增大，y的值在_________；习惯来说，y随x的增大而________．课堂导练三、基本功训练，徒手画双曲线．（1）画一条落在第一、三象限的双曲线，在双曲线旁的适当位置写上解析式4yx=，在线上标出点(2, 2)，在x轴上标出单位长度1．（2）画一条落在第二、四象限的双曲线，在双曲线旁的适当位置写上解析式2y x=，在线上标出点(，在x 轴上标出单位长度1．四、感悟一下．在双曲线的旁边的适当位置，标注解析式1y x =、2y x=或2y x =-．五、课本第71页课后练习4有点意思，我们分两步完成，然后把它改变成一道判断题． 原题：如果反比例函数ky x=的图像在第二、四象限，那么k _____0； 在这个条件下，正比例函数y ＝kx 的图像经过第___、___象限． 改编：在同一坐标系中，表示函数ky x=与y ＝kx 正确的是____________．（A ） （B ） （C ） （D ） 六、感悟、提高．（1）经过原点的直线与双曲线交于A 、B 两点，如果点A 的坐标为(2, 3)，那么点B 的坐标为_________；（2）双曲线8y x=上A 、B 两点关于原点对称，如果点A 的坐标为(－4, m )，那么点B 的坐标为_________．18.3 反比例函数（3）课前导读第三课时学习的内容，主要和待定系数法相关．待定系数法求函数解析式的一般规律是：解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标（或代入几个有序实数对）列方程或方程组．这节课我们再增加一个内容：反比例函数解析式中，系数k 的几何意义． 课本导学一、课本第72页例题3，符合一般规律：第（1）题，反比例函数解析式中待定一个字母k ，代入一个点A (2,－1)，列方程． 第（2）题，反比例函数的性质，知一晓二．知道y 随x 的增大而减小，就晓得双曲线落在第___、___象限，比例系数_____0．这里的比例系数是________．二、课本第72页例题4第（1）题的解题过程，占了大半页，其实也符合待定系数法的一般规律：待定两个字母k 1、k 2，代入两个有序实数对列方程组．我们把课本第（1）题的解题过程优化、简洁一下：第（2）题你可以简洁地这么写：f (5)＝__________________________． 课堂导练三、课本第73页课后练习1，也是反比例函数的性质，知一晓二．知道双曲线有一支落在第二象限，就晓得y 随x 的增大而______，比例系数______0．这里的比例系数是________．解不等式______________，得k ________．四、课本第73页课后练习2解题过程的流程图是这样的：其实运算一点都不难，双曲线的解析式是___________，a ＝______，直线OB 的解析式是________________．五、课本第73页课后练习3，函数22y x x=-的定义域是由分式的分母决定的． （1）定义域是________； （2）(1)f -=f =六、我们介绍一下反比例函数的解析式(0)ky k x=≠中系数k 的几何意义． 如图1，过双曲线上的任意一点A 作AC ⊥x 轴，AD 垂直y 轴，垂足分别为C 、D ，那么矩形ACOD 的面积等于x y k ⋅=，直角三角形AOC 与直角三角形AOD 的面积为12k ．图1 图2 图3 图4因此，我们可以得到一些典型的结论：如图2中的两个矩形的面积相等，四个直角三角形的面积相等． 如图3中矩形AHFD 与矩形BECH 的面积相等．如图4中的△AOG 与直角梯形BECG 的面积相等，△AOB 与直角梯形ABEC 的面积相等．18.4 函数的表示法（1）课前导读函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图像法．根据函数的解析式，一定能画出函数的图像；反过来，不是所有的图像，都可以写出解析式，例如气温随日期变化的图像，写不出函数解析式．根据函数的解析式，一定能列表，列出两个变量之间的若干数对；反过来，不是所有的表格，都可以写出解析式，例如列车时刻表，班级的成绩统计表，学生的体重登记表．根据表格里的数据，我们按照有序实数对（自变量，变量）一定可以在坐标系中描出这些点；反过来，我们也可以把坐标系中的若干点的坐标，按照有序实数对（自变量，变量）写成表格的形式．函数的三种表示方法各有各的优势．课本导学一、课本第75页例题1，是根据情景求函数的解析式，难点是定义域的确定．根据上面的一组图形我们可以知道，x＞0且2x＜20，因此得到定义域是__________．二、我们配合课本第76页例题2，作一点识图训练：（1）如图①，甲、乙两人同时同地出发，_____先到达终点．_____的速度快，_____的图像比较“陡峭”一些．（2）如图②，甲、乙两人_____先出发，_____先到达终点．_____的速度快，_____的图像比较“陡峭”一些．甲、乙两人在什么位置相遇？在什么时间相遇？（3）如图③，甲、乙两人谁先出发？谁先到达终点？谁的速度快，为什么会快一些？图①图②图③课堂导练三、请把课本第77页课后练习1的“列表法”转换为“图像法”．先描出列表中的11个点；再用折线段连结这11个点．（1）在_____到_____分钟这个时间段内，列车的速度逐渐加快；（2）在_____到_____分钟这个时间段内，列车是匀速行驶的，列车在这一段时间走了___________千米；（3）在_____到_____分钟这个时间段内，列车的速度逐渐减慢，直到停止．四、课本第77页课后练习2，y关于x的函数关系式是___________________．定义域是_____________________．18.4 函数的表示法（2）课前导读这节课的3道例题分别是解析法、列表法和图像法，各有代表性、典型性．课本导学一、课本第77页例题3是写解析式，这个定义域是算出来的，有点特别．（1）排水总量V、排水速度x、排水时间t之间的关系是V＝______．（2）这道题中，排水总量V是确定的，为90立方米，因此90＝______．把这个式子边形为t关于x的式子，就是要求的函数解析式t＝_______．（3）定义域是算出来的：当t＝9时，x＝_________；当t＝15时，x＝_________；所以定义域是__________________．二、课本第77页例题4中的表格，严重干扰我们做题．问题情景：月收入1600元到5000元元的个人，超过1600元的部分，要缴纳5%的个人所得税．你对这个问题的理解，是下面的图①还是图②？图①图②三、课本第78页例题5，这个类型比较常见，就是把“图像法”转换为“解析法”，用待定系数法，关键是从图像中提取点的坐标．课堂导练四、课本第79页课后练习1，是写解析式，凭借生活经验很容易完成：（1）单价2.40元是确定的，数量x千克是变量，付款额y元，那么y＝_________．（2）总共用200元买苹果，价格贵了就买的少，价格便宜就买的多．每千克苹果价格x元，可以买y千克的话，那么y＝__________．五、课本第79页课后练习2是识图题，凭借生活经验完成．情景：蜡烛燃烧，蜡烛长20厘米，每分钟燃烧5厘米，______分钟就燃烧完了．第一个图是神话：只燃烧，不缩短；第二个图是笑话：越烧越长．六、课本第79页课后练习3的问题先“列表法”，再“解析法”就好了．已知y与x成反比例，那么xy＝______，于是得到y关于x的函数解析式y＝_____．课本导学一、略．二、略．三、略．四、略．五、在s ＝60t 中，60是常量，t 是自变量，s 是t 的函数．六、我们把一块橡皮泥（体积V 一定）搓成一个圆柱体．（1）h 是S 的函数．（2）h 是r 的函数．（3）S 是h 的函数．七、m 是n 的函数．在解析式m ＝1＋3n 中，n 是自变量，1和3是常量．八、最高气温是日期的函数．九、成绩随是学号的函数．十、y 是x 的函数，x 是自变量，－2和1是常量．课堂导练 十一、解析式是1200n p =，n 是自变量，11200是常量．p 是n 的函数． 十二、对于s ＝vt ．（1）①如果速度v 不变，那么s 是t 的函数，t 是自变量，v 是常量．②如果时间t 不变，那么s 是v 的函数，v 是自变量，t 是常量．（2）如果路程s 不变， s v t=，t 是自变量，s 是常量． 十三、（1）CD 是变量，AB 是常量．（2）12S ah =，S 是h 的函数，h 是自变量，12a 是常量．课本导学一、略．二、允许取值的范围．（1）全体实数（一切实数，所以实数）；（2）不为0；（3）大于等于0．三、略．四、略．五、周长y ＝10＋x ．课堂导练六、（1）全体实数；（2）x ≠2；（3）x ≥43；（4）x ＞4．七、（1）(2)f -＝12-；（2）1()2f -＝47；（3）(0)f ＝34；（4）f ．八、y ＝180－2x ．定义域是0＜x ＜90．课本导学一、略．二、（1）y＝kx．（2）比例系数．（3）全体实数．（4）解析式．三、f (－5)＝20；f (－2)＝8；f (0)＝0；f (3)＝－12．四、略．课堂导练五、正比例函数有（1）（2）．（5）不是；（6）是．六、y＝6x．七、（1）商一定（不为0），被除数与除数成正比例．（2）除数不变（不为0），被除数与商成正比例．（3）一个因数（不为0）不变，另一个因数与它们的积成正比例．（4）等腰三角形的周长一定，它的腰长与它底边的长不成正比例．（5）一个人的体重与它的年龄不成正比例．课本导学一、结论：正比例函数y＝2x的图像是一条直线．二、结论：正比例函数y＝－2x的图像是一条直线．课堂导练三、四、五、六、七、y＝－10x，直线经过第二、四象限．课本导学一、画图略．（1）二、四；（2）下降；减小；减小．二、画图略．（1）一、三；（2）上升；增大；增大．三、（1）一、三，增大．（2）二、四，减小．四、（1）＞，增大．＜，减小．（2）＞，一、三．＜，二、四．课堂导练五、（1）一、三，增大．（2）一、三，增大．（3）二、四，减小．（4）a＞－1．（5）12a ．（6）一、三．（7）a＜4．（8）a＞3．六、画图略．结论：直线y＝5x和y＝－5x既关于x轴对称，也关于y轴对称．直线y＝x和y＝－x既关于x轴对称，也关于y轴对称；这两条直线与坐标轴的夹角都是45°，这两条直线的位置关系是互相垂直．课本导学一、略．二、（1）kyx =．（2）比例系数．（3）x≠0．（4）解析式．三、略．课堂导练四、反比例函数有（3）（4）．五、15-；反比例函数．六、（1）28yx =；（2）285y=．七、（1）6yx=-；（2）2yx =；（3）－6；（4）52．八、（1）面积S一定时，a与h成反比例；（2）存煤量Q一定时，m与n成反比例；（3）货物的总价A一定时，a与x成反比例；（4）行驶的路程s一定时，d与n成反比例．九、20yx=．定义域是x＞0．课本导学一、画图略．（1）一、三．（2）下降；减小；减小．（3）不会．二、画图略．结论：双曲线，两，二、四．上升；增大；增大．课堂导练三、略．四、五、原题：＜；二、四．改编：（A）（D）．六、（1）(－2, －3)；（2）(4, 2)．课本导学一、一、三，＞．2k＋1．二、略．课堂导练三、增大，＜，2k－1．2k－1＜0，12 <．四、3yx=，32，34y x=．五、（1）x≠0；（2）(1)f-=0，f 六、略．课本导学一、0＜x＜20．二、（1）甲，甲，甲．（2）乙，甲，甲，甲．甲、乙两人在中点相遇，在各自的中间时刻相遇．（3）甲、乙两人同时出发，同时到达终点，乙的速度快，乙比甲多走了一些路．课堂导练三、（1）0，2；（2）2， 5.5，17.5；（3）5.5，8．四、y＝30x．定义域是0＜x≤40．课本导学一、（1）tx．（2）tx．90x．（3）10；6；6≤x≤10．二、对这个问题的图像是图②．三、略．课堂导练四、（1）y＝2.4x．（2）y＝200x．五、4．六、100，y＝100x．。
2020届中考数学培优复习题：反比例函数【含答案】
2020届中考数学培优复习题：反比例函数一、单选题（共有10道小题） 1.反比例函数my x=的图象如图所示，下列结论： ①常数1m <-；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③若点()1,A h -，()2,B k 在图象上，则h k <； ④若点(),P x y 在图象上，则点()',P x y --也在图象上。
其中正确的结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.为了更好保护水资源，造福人类. 某工厂计划建一个容积V (m 3)固定．．的污水处理池，池的底面积S (m 2)与其深度h (m)满足关系式：V = Sh (V ≠0)，则S 关于h 的函数图象大致是( )3.当0>x 时，函数xy 5-=的图象在第（ ）象限 A ．四B ．三C ．二D ．一4.在同一直角坐标系中，函数ay =-与()1,0y ax a =+≠的图象可能是（ ）5.若点A(a ，b)在反比例函数的图象上2y x=，则代数式ab-4的值为（ ）A.0B.-2C.2D.-66.如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线xy 3=上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）xyO ShO S h B O S h C O s hO xyO x y O x yO x yO y xB AOD CA.25B.26C.22102+D.287.如图，等边三角形OAB 的一边OA 在x 轴上，双曲线3y =OB 的中点C ，则点B 的坐标是（ ）A.（13）B.3，1）C.（2，3）D.（32）8.对于反比例函数xy 2=，下列说法不正确的是（ ）A.点(-2，-1)在它的图象上B.它的图象在第一、三象限C.当x>0时，y 随x 的增大而增大D.当x<0时，y 随x 的增大而减小9.如图，函数xk y 11=与x k y 22=的图象相交于点A （1,2）和点B ，当21y y <时，自变量x 的取值范围是（ ）A. x ＞1B. －1＜x ＜0C. －1＜x ＜0或x ＞1D. x ＜－1或0＜x ＜1 10.如图所示，已知()121,,2,2A y B y ⎛⎫⎪⎝⎭为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(),0P x 在x 轴的正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()1,0C. 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（共有8道小题）yxCAB Oyx12BAO P B A x y O11.如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上两点，分别过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线，若1=阴影S ，则=+21S S 。
反比例函数培优 含答案
反比例函数培优含答案反比例函数是一种常见的数学模型，在现实生活中有着广泛的应用。
例如，我们可以通过改变电阻来控制电流的变化，从而达到舞台灯光变幻的效果；在过湿地时，我们可以在地面上铺上木板，减小人对地面的压强，从而避免陷入泥中。
反比例函数的图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交。
k的正负性决定了双曲线大致位置及y随x的变化情况。
双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y=x及y=-x。
反比例函数与一次函数有着内在的联系，但它们毕竟不同。
反比例函数中k的几何意义是：k等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积。
求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到。
求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标。
在解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性。
反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识。
例1：已知双曲线y=k/x（k≠0）经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则k的值为多少？例2：函数y=k/x（x>0）的图象上有点P，直线y=-x+1与该图象相交于点Q，且PQ的长度为2，求k的值。
在解决这些问题时，我们可以通过连线、建立方程等方法，灵活运用数学知识，得出正确的答案。
题目：设点A在y轴上，点P(a,b)，PM⊥x轴于M，交y轴于点B，交AB于点E，PN⊥y轴于点N，交AB于点F，则AF×BE的值为？解题思路：首先，我们需要明确题目中的各个点和线段的位置关系，然后根据题目所求，设点P的坐标为(a,b)，并用a 和b表示AF和BE的长度，最终求得AF×BE的值。
苏科版数学八年级下册第11章《反比例函数》培优训练(含答案)
苏科版数学八年级下册第11章《反比例函数》培优训练一．选择题（共12小题）1．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），小良说了四句话，其中正确的是（）A．当x＜0时，y＞0B．函数的图象只在第一象限C．y随x的增大而增大D．点（﹣3，2）不在此函数的图象上2．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．3．已知反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列关系是正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1 4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等腰△AOB底边OB 的中点C和AB边上一点D，已知A（4，0），∠AOB＝30°，则k的值为（）A．2B．3C．3D．45．过反比例函数y＝图象上一点向A分别向x轴作垂线，垂足为B，若三角形OAB的面积为3，则此函数图象必经过点（）A．（4，3）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）6．已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（）A．m＜n B．m＞n C．m+n＜o D．m+n＞07．如图，一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2）．与反比例函数的图象交于点Q，反比例函数图象上有一点P满足：①P A⊥x轴；②PO＝（O为坐标原点），则四边形P AQO的面积为（）A．7B．10C．4+2D．4﹣28．如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形ABCO的面积是（）A．6B．5C．4D．39．直线y1＝k1x与双曲线y2＝分别交于第一，三象限A、B两点，其中点A的横坐标为1，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞1B．﹣1＜x＜1且x≠0C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞110．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为2，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝2BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（）A．B．C．D．11．如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC 绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（）A．9B．12C．15D．1812．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）A．2B．6C．4D．2二．填空题（共8小题）13．如图，△OAB的顶点A在双曲线y＝（x＞0）上，顶点B在双曲线y＝﹣（x＜0）上，AB中点P恰好落在y轴上，则△OAB的面积为．14．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，P5，它们的横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，则点P1的坐标为，阴影部分的面积S1+S2+S3+S4＝．15．已知▱OABC的顶点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点B的坐标为（3，4），且B，C不在同一象限内，若反比例函数y＝的图象经过线段AB的中点D，则四边形ODBC的面积为．16．函数y＝（k﹣1）x|k|﹣2是y关于x反比例函数，则它的图象不经过象限．17．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形ABCD的面积是9，则k的值为．18．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y＝（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S10＝．（n≥1的整数）19．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1y2．（填“＜”、“＞”或“＝”）20．已知直线y＝x+2与y轴交于点A，与双曲线y＝有一个交点为B（2，3），将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C，D，与双曲线的一个交点为P，若＝，则点D的坐标为．三．解答题（共5小题）21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；（3）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标．22．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD∥x轴，直线y＝2x+b与x轴交于点B，与反比例函数y＝（k＞0）图象交于点D和点E，OB＝3，OA＝4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P为线段BE上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当△CDE被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标．23．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y＝与直线y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点AB ⊥x轴于B，且S△ABO＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）直线与双曲线交点为A、C，记△AOC的面积为S1，△AOB的面积为S2，求S2：S2．24．如图所示，已知A点的横坐标为2，将A点向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到B点，且A、B两点均在双曲线上．（1）求反比例函数的解析式．（2）若直线OB于反比例函数的另一交点为B'，求△OAB'的面积．25．直线y＝k1x+b与双曲线y＝只有一个交点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B、C两点，AD垂直平分OB，交x轴于点D．（1）求直线y＝k1x+b、双曲线y＝的解析式．（2）过点B作x轴的垂线交双曲线y＝于点E，求△ABE的面积．参考答案一．选择题（共12小题）1．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，2），∴k＝2×3＝6，∴y＝，∴图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减小，故A，B，C错误，选项D正确，故选：D．2．【解答】解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＞0，即k＜0，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项正确；C、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项错误．故选：B．3．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＜0，∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，∵函数的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2）、（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，∴y2＜y1＜y3，故选：B．4．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，∵A（4，0），OA＝OB，∴OA＝AB＝4，∴∠AOB＝∠ABO＝30°，∴∠BAE＝2∠AOB＝60°，∴BE＝AB•sin∠BAE＝4×＝2，AE＝AB•cos∠BAE＝4×＝2，∴OE＝OA+AE＝4+2＝6，∴点B的坐标为（6，2），∵点C为OB中点，∴点C的坐标为（3，），又∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，∴k＝3×＝3．故选：B．5．【解答】解：∵三角形OAB的面积为3，∴k＝6或k＝﹣6，而选项中只有（﹣2）×（﹣3）＝6，因此选项B符合题意，故选：B．6．【解答】解：∵点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且a＜0＜b，∴点P在第二象限，点Q在第四象限，∴m＞0＞n；故选：B．7．【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2），∴﹣4a+b＝0，b＝2，∴a＝，∴一次函数的关系式为：y＝x+2，设P（﹣4，n），∴＝，解得：n＝±1，由题意知n＝﹣1，n＝1（舍去），∴把P（﹣4，﹣1）代入反比例函数y＝，∴m＝4，反比例函数的关系式为：y＝，解得，，，∴Q（﹣2+2，+1），∴四边形P AQO的面积＝×4×1+4×2+2×（﹣2+2）＝4+2，故选：C．8．【解答】解：过点B作BM⊥OC，垂足为M，设点B（m，n），则OM＝m，MB＝ON＝n，mn＝3，∵y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）关于y轴对称，∴AN＝BN＝2m，∴S四边形OABC＝AB•ON＝2m×n＝6，故选：A．9．【解答】解：∵点A的横坐标为1，根据对称性可知，点B的横坐标为﹣1，∴观察图象可知：当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1，故选：C．10．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．设BD＝a，则OC＝2a．∵△AOB为边长为2的等边三角形，∴∠COE＝∠DBF＝60°，OB＝2．在Rt△COE中，∠COE＝60°，∠CEO＝90°，OC＝2a，∴∠OCE＝30°，∴OE＝a，CE＝a，∴点C（a，a）．同理，可求出点D的坐标为（2﹣a，a）．∵反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，∴k＝a×a＝（2﹣a）×a，∴a＝，k＝，故选：C．11．【解答】解：作A′H⊥y轴于H．∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠A′BH，∵BA＝BA′，∴△AOB≌△BHA′（AAS），∴OA＝BH，OB＝A′H，∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），∴OA＝2，OB＝6，∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，∴OH＝4，∴A′（6，4），∵BD＝A′D，∴D（3，5），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝15．故选：C．12．【解答】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…其斜边的中点C1在反比例函数y＝，∴C（2，2）即y1＝2，∴OD1＝D1A1＝2，设A1D2＝a，则C2D2＝a此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，解得：a＝，即：y2＝，同理：y3＝，y4＝，……∴y1+y2+…+y10＝2+++……＝，故选：A．二．填空题（共8小题）13．【解答】解：过点AB分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∴AM∥OP∥BN，∵P是AB的中点，∴OM＝ON，∴OP是梯形AMNB的中位线，∴OP＝（AM+BN）∵A在双曲线y＝（x＞0）上，顶点B在双曲线y＝﹣（x＜0）上，∴S△AOM＝AM•OM＝×8＝4，∴S△BON＝BN•ON＝×6＝3，∴S△ABC＝S△AOP+S△BOP＝OP•OM+OP•ON＝（AM+BN）•2OM＝AM•OM+BN•ON＝4+3＝7，故答案为：7．14．【解答】解：当x＝2时，y＝＝10，∴点P1的坐标为（2，10），如图所示，将右边三个矩形平移，把x＝10代入反比例解析式得：y＝2，∴P1C＝AB＝10﹣2＝8，则S1+S2+S3+S4＝S矩形ABCP1＝2×8＝16，故答案为：（2，10）；16．15．【解答】解：如图，分别过点B，D作x轴的垂线，垂足为E，F，∵B（3，4），∴OE＝3，BE＝4，∵BE⊥x轴，DF⊥x轴，点D是AB的中点，∴DF是△ABE的中位线，∴DF＝BE＝2，∵点D在反比例函数y＝上，∴当y＝2时，有2＝，解得x＝4，∴D（4，2），即OF＝4，∴EF＝4﹣3＝1，∴AE＝2EF＝2，∴OA＝5，∴S四边形ODBC＝S▱OABC﹣S△OAD＝OA•BE﹣OA•DF＝5×4﹣×5×2＝15．故答案为：15．16．【解答】解：由题意得：k﹣1≠0，且|k|﹣2＝﹣1，∴k＝﹣1，当k＝﹣1时，k﹣1＝﹣2＜0，图象在二四象限，因此图象不经过一、三象限．故答案为：一、三．17．【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，∵点A在双曲线y＝上，∴矩形EODA的面积为：4，∵矩形ABCD的面积是9，∴矩形EOCB的面积为：4+9＝13，则k的值为：xy＝k＝13．故答案为13．18．【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S＝|k|＝1．又因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5所以S1＝|k|，S2＝|k|，S3＝|k|，S4＝|k|，S5＝|k|…依此类推：S n的值为．当n＝10时，S10＝．故答案是：．19．【解答】解：∵k＝3＞0，∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限，∴在每一个象限内y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．20．【解答】解：∵B（2，3）在双曲线y＝上，∴k＝2×3＝6，故双曲线解析式为：y＝，当D点在y轴的正半轴时，如图1所示，设D的坐标为（0，m），∵将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C，D，∴CD∥AB，∴直线CD的解析式为y＝x+m，作PM⊥x轴于M，∴PM∥y轴，∴，∵＝，∴＝＝，∴PM＝3OD＝3m，∵P是双曲线的一个交点，∴3m＝×+m，解得m＝±，∵m＞0，∴D（0，）；P在第三象限时，＝，∵＝，∴＝＝1，∴PM＝OD＝m，∵P是双曲线的一个交点，∴P（﹣，﹣m），∴﹣m＝×（﹣）+m，解得m＝±，∵m＞0，∴D（0，）；当D点在y轴的负半轴时，如图2所示，作PM⊥x轴于M，∴PM∥y轴，∵＝，∴＝＝1，∴PM＝OD＝﹣m，∵P是双曲线的一个交点，∴P（﹣，﹣m），∴﹣m＝×（﹣）+m，解得m＝±，∵m＜0，∴D（0，﹣）；P在第三象限时，＝，∵＝，∴＝＝，∴PM＝3OD＝3m，∵P是双曲线的一个交点，∴P（﹣，﹣3m），∴﹣3m＝×（﹣）+m，解得m＝±，∵m＜0，∴D（0，﹣）；综上，点D的坐标为（0，±）或（0，±），故答案为：（0，±）或（0，±）．三．解答题（共5小题）21．【解答】解：（1）把A（3，5）代入，可得m＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为；把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，∴B（﹣5，﹣3）．把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y1＝x+2；（2）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．（3）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∴．22．【解答】解：（1）∵OB＝3，OA＝4．∴AB＝5，B（3，0），把B（3，0）代入y＝2x+b得，0＝2×3+b，∵b＝﹣6，∴一次函数的解析式为y＝2x﹣6；∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5，∵AD∥x轴，∴D（5，4），∴k＝20，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）解得，，，∴E（﹣2，﹣10），设P作x轴的平行线交CE于Q，∵BC＝AD＝5，∴C（8，0），∴直线CE的解析式为y＝x﹣8，设P（m，2m﹣6），则Q（2m+2，2m﹣6），∵△CDE被这条平行线分成面积相等的两部分，∴S△PEQ＝S△CDE，∴（2m+2﹣m）[10+（2m﹣6）]＝×[×5×10+×5×4]，解得：m＝﹣2，当m＝﹣2﹣（不合题意），∴m＝﹣2+，∴P（﹣2+，﹣10+）．23．【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，则S△ABO＝•|BO|•|BA|＝•（﹣x）•y＝，∴xy＝﹣3，又∵y＝，即xy＝k，∴k＝﹣3．∴所求的反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）由（1）知，一次函数的解析式为y＝﹣x+2，解﹣x+2＝﹣得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，3），C（3，﹣1），设直线AC于x轴交于D，∴D（2，0），∴S1＝OD•AB+OD|y C|＝4，∵S2＝，∴S2：S2＝8：3．24．【解答】解：（1）设A点坐标为（2，m），则点B的坐标为（4，m﹣2），∵点A、B均在反比例函数y＝的图象上，∴2m＝4（m﹣2）＝k，∴m＝4，k＝8，∴反比例函数的关系式为y＝；（2）如图：由（1）得：A（2，4），B（4，2），由题意可知点B'与点B关于原点对称，∴点B'坐标为（﹣4，﹣2）因此设直线AB′为y＝mx+b，将A（2，4）和B'（﹣4，﹣2）代入得，解得，；∴直线AB′的解析式为y＝x+2，因此直线AB'与y轴交于点M∴M（0，2），即：OM＝2∴S△AOB′＝S△AOM+S△B′OM＝×2×2+×2×4＝6．25．【解答】解：（1）∵双曲线过点（1，2），∴2＝，∴k2＝2，∴双曲线的解析式为：y＝；由题设知点D的坐标为（1，0），∵AD垂直平分OB，∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）∴解得∴一次函数的解析式为：y＝﹣2x+4；（2）当x＝2时，y＝＝1，∴BE＝1，∴△ABE的面积＝BE•BD＝＝．。
2020-2021中考数学反比例函数(大题培优)含答案
2020-2021 中考数学反比率函数 (大题培优 )含答案一、反比率函数1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的极点 C 与原点 O 重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 A 在反比率函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点 D 的坐标为（，2）．（1）求 k 的值；（2）若将菱形ABCD 沿 x 轴正方向平移，当菱形的一个极点恰巧落在函数y=（k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形 ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作 DE⊥BO， DF⊥ x 轴于点 F，∵点 D 的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A 点坐标为：（， 5），∴k=5；（2）解：∵将菱形 ABCD向右平移，使点 D 落在反比率函数y=（x＞0）的图象上D′，∴D F=D ′ F，′ =2∴D′点的纵坐标为2，设点 D′（ x， 2）∴2=，解得x=，∴FF ′ =OF﹣OF=′﹣=，∴菱形 ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点 B 落在反比率函数y=（x＞0）的图象上，菱形 ABCD平移的距离为，综上，当菱形 ABCD平移的距离为或时，菱形的一个极点恰巧落在函数图象上．【分析】【剖析】（ 1）依据菱形的性质和 D 的坐标即可求出 A 的坐标，代入求出即可；（2） B 和 D 可能落在反比率函数的图象上，依据平移求出即可．2．如图，一次函数y=kx+b（ k＜ 0）与反比率函数y=的图象订交于A、 B 两点，一次函数的图象与 y 轴订交于点C，已知点A（ 4，1）（1）求反比率函数的分析式；（2）连结 OB（ O 是坐标原点），若△ BOC的面积为 3，求该一次函数的分析式．【答案】（1）解：∵点 A（ 4， 1）在反比率函数y=的图象上，∴ m=4×1=4，∴反比率函数的分析式为y=（2）解：∵点 B 在反比率函数y=的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将 y=kx+b 代入 y=中，得：kx+b=，整理得： kx2+bx﹣ 4=0，∴4n=﹣，即 nk=﹣ 1 ① ．令y=kx+b 中 x=0，则 y=b，即点 C 的坐标为（ 0， b），∴S△BOC=bn=3，∴b n=6 ②．∵点 A（ 4， 1）在一次函数y=kx+b 的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的分析式为y=﹣x+3【分析】【剖析】（ 1）由点 A 的坐标联合反比率函数系数k 的几何意义，即可求出m 的值；（ 2）设点 B 的坐标为（ n，），将一次函数分析式代入反比率函数分析式中，利用根与系数的关系可找出n、 k 的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、 n 的关系，再由点 A 在一次函数图象上，可找出 k、 b 的关系，联立 3 个等式为方程组，解方程组即可得出结论．3．你吃过拉面吗？实质上在做拉面的过程中就浸透着数学知识：必定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y（ m）是面条的粗细（横截面积） s（ mm2）的反比率函数，其图象如图．（1）写出 y 与 s 的函数关系式；（2）求当面条粗 3.2mm 2时，面条的总长度是多少m？【答案】（1）解：设 y 与 x 的函数关系式为y=，将x=4，y=32 代入上式，解得： k=4×32=128，故 y=．答： y 与 x 的函数关系式y=（2）解：当x=3.2 时， y==40．答：当面条粗 3.2mm 2时，面条的总长度是40 米【分析】【剖析】（ 1）依据图象可设出关系式，再把一个点的坐标代入可求出关系式；（2）把 x=3.2 代入关系式可求出y 的值，即得答案.4．如图，一次函数的图象与反比率函数的图象交于第一象限C， D 两点，坐标轴交于A、 B 两点，连结OC，OD（ O 是坐标原点） .（1）利用图中条件，求反比率函数的分析式和m 的值；（2）求△ DOC的面积 .（3）双曲线上能否存在一点 P，使得△ POC 和△ POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因 .【答案】（1）解：将C(1， 4)代入反比率函数分析式可得：k=4，则反比率函数分析式为：，将 D(4， m)代入反比率函数分析式可得：m=1（2）解：依据点 C 和点 D 的坐标得出一次函数的分析式为： y=－ x+5 则点A 的坐标为 (0， 5)，点B 的坐标为 (5， 0)∴S△DOC=5 × 5÷2－5× 1÷2－5× 1÷ 2=7.5（3）解：双曲线上存在点 P(2,2),使得 S△ POC=S△ POD，原因以下：∵C 点坐标为： (1,4),D 点坐标为： (4,1)，∴OD=OC=，∴当点 P 在∠ COD 的均分线上时，∠ COP=∠ POD，又OP=OP，∴△ POC≌ △ POD，∴S△POC=S△POD.∵C 点坐标为： (1,4),D 点坐标为： (4,1)，可得∠ COB=∠ DOA，又∵ 这个点是∠ COD 的均分线与双曲线的y= 交点，∴∠ BOP=∠ POA，∴P 点横纵坐标坐标相等，即 xy=4， x2=4，∴x= ±2，∵x>0，∴x=2， y=2，故 P 点坐标为 (2,2)，使得△ POC和△ POD的面积相等利用点 CD 对于直线 y=x 对称 ,P(2,2)或 P(-2,-2).答：存在， P(2， 2)或 P(-2， -2)【分析】【剖析】（ 1）察看图像，依据点 C 的坐标可求出函数分析式及m 的值。
中考数学培优(含解析)之反比例函数含详细答案
中考数学培优(含解析)之反比例函数含详细答案一、反比例函数1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称，∴k=6，C（﹣2，﹣3），即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，∵点A（2，3），k=6，∴AN=2，∵△APO的面积为2，∴，即，得OP=2，∴点P（0，2），设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，，得，∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4，∴点D的坐标为（﹣4，0），设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，则，得，∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，∴点D到直线AC的直线得距离为：= ．【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．3．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；（4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．【答案】（1）解：y=2x+1中k=2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9．∵y= 中k=2＞0，∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19（2）解：令y= ≤2，解得：x＜0或x≥1．∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1（3）解：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0（4）解：①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2=1，解得：m1=1，m2= （舍去）；②当2≤m≤4时，有m﹣2=1，解得：m3=3；③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2=1，整理得：2m2﹣15m+29=0．∵△=（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．∴m的值为1或3．①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；【解析】【分析】（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）令y= ≤2，解之即可得出x的取值范围；（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，于是得到结论；（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．4．如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8）、B （m，-2）两点，交x轴于点C．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）解：∵反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8），∴k=4×（-8）=-32．∵双曲线y= 过点B（m，-2），∴m=16．由直线y=kx+b过点A，B得：，解得，，∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为（2）解：观察图象可知，当0＜x＜4或x＞16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2），分三种情况：①若OB∥AP，OA∥BP，∵O（0，0），A（4，-8），∴由平移规律，点B（16，-2）向右平移4个单位，向下平移8个单位得到P点坐标为（20，-10）；②若OP∥AB，OA∥BP，∵A（4，-8），B（16，-2），∴由平移规律，点O（0，0）向右平移12个单位，向上平移6个单位得到P点坐标为（12，6）；③若OB∥AP，OP∥AB，∵B（16，-2），A（4，-8），∴由平移规律，点O（0，0）向左平移12个单位，向下平移6个单位得到P点坐标为（-12，-6）；∴以O，A，B，P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m，-2）代入反比例函数y= （x＞0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b中，列方程组求k、b即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B （0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y= （k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．（1）填空：OA=________，k=________，点E的坐标为________；（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣ x2+bx+c的顶点．①当点P在双曲线y= 上时，求证：直线MN与双曲线y= 没有公共点；②当抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．【答案】（1）6；-6；（﹣，4）（2）解：①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1由题意得：解得∵抛物线y=﹣过点M、N∴解得∴抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣）∵P在双曲线y=﹣上∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6∴t=此时直线MN解析式为：联立∴8x2+35x+49=0∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点∴4=5t﹣2，得t=当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点∴，得t=∴t= 或t=③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）∴y P=5t﹣当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大此时，点P在直线x=﹣1上向上运动∵点F的坐标为（0，﹣）∴y F=﹣∴当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动∴1≤t≤4当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）当t=4﹣时，直线MN过点A．当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为S=【解析】【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）∴OA=6∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=∴k=﹣6y=4时，x=﹣∴点E的坐标为（﹣，4）故答案为：6，﹣6，（﹣，4）【分析】（1）根据A点的坐标即可得出OA的长，将C点的坐标代入双曲线y=，即可求出k的值，得出双曲线的解析式，根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点得出点E的纵坐标为4，将y=4代入双曲线的解析式即可算出对应的自变量的值，从而得出E点的坐标；（2）①用待定系数法求出直线MN解析式，将M,N两点的坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，根据顶点坐标公式表示出P点的坐标，再将P点的坐标代入双曲线即可求出t的值，从而得出直线MN解析式，解联立直线MN解析式与双曲线的解析式组成的方程组，根据根的判别式的值小于0，得出直线MN与双曲线没有公共点；②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，故4=5t﹣2，求解得出t的值，当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，故,求解得出t的值，综上所述得出答案；③根据P点的坐标判断出当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大，此时，点P在直线x=﹣1上向上运动进而表示出F点的坐标，将F点的纵坐标配成顶点式，得出当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大，此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动，故1≤t≤4，当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），当t=4﹣时，直线MN过点A．根据割补法算出当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积。
中考数学培优(含解析)之反比例函数含答案
中考数学培优(含解析)之反比例函数含答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），∴k=﹣1×4=﹣4；（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，∴C（﹣2，0），∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△OCD= ×2×2=2（3）解：存在．当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），∵S△ODQ=S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为﹣b，当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣或b= （舍去），∴b的值为﹣．【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．2．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.3．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，∴2×3n=（5n+2）×1=m，∴n=2，m=12，∴A（2，6），B（12，1），∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，∴，解得，∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，解得a=7±2 ．（3）（0，6）或（0，8）【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），由题意，PE=|m﹣7|．∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．∴|m﹣7|=1．∴m1=6，m2=8．∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．故答案为（0，6）或（0，8）．【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.4．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.5．如图，已知直线与x、y轴交于M、N，若将N向右平移个单位后的N，，恰好落在反比例函数的图像上．（1）求k的值；（2）点P为双曲线上的一个动点，过点P作直线PA⊥x轴于A点，交NM延长线于F 点，过P点作PB⊥y轴于B交MN于点E.设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示点E、F的坐标②找出图中与△EOM 相似的三角形，并说明理由．【答案】（1）解：当时，，，.把代入得，（2）解：①由（1）知 ..当时， ,.当时，，，∴E(2 －， ).② , ， , ，，，,由一次函数解析式得∠OME=∠ONF=45°【解析】【分析】（1）当x=0时，求出y=2，得出N(0,2) ，由平移的性质得出N'(3,2) .把 (3,2) 代入 y=得k=6.（2）①由（1）可设P(m,) .当x=m时，求出y=−m+2 ,即F(m,2-m) ；当y=时，求出x=2−，即E(2 -，).②∵ON=2 , EM=， OM=2 , NF=，从而得出OMNF=EMON.由一次函数解析式得∠OME=∠ONF=45°；推出ΔEOM∼ΔOFN.6．如图，P1、P2是反比例函数y= （k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．（1）求反比例函数的解析式．（2）①求P2的坐标．②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．【答案】（1）解：过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B ∵点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形∴OB=2，P1B= OA1=2∴P1的坐标为（2，2）将P1的坐标代入反比例函数y= （k＞0），得k=2×2=4∴反比例函数的解析式为（2）①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C ∵△P2A1A2为等腰直角三角形∴P2C=A1C设P2C=A1C=a，则P2的坐标为（4+a，a）将P2的坐标代入反比例函数的解析式为，得a= ，解得a1= ，a2= （舍去）∴P2的坐标为（，）②在第一象限内，当2＜x＜2+ 时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．【解析】【分析】（1）先根据点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据△P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x与反比例函数y= 在第一象限内的图象相交于点A（m，3）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）将直线y= x沿y轴向上平移8个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，连接AB，这时恰好AB⊥OA，求tan∠AOB的值；（3）在（2）的条件下，在射线OA上存在一点P，使△PAB∽△BAO，求点P的坐标．【答案】（1）解：∵点A（m，3）在直线y= x上∴3= m，∴m=3 ，∴点A（3 ，3），∵点A（3 ，3）在反比例函数y= 上，∴k=3 ×3=9 ，∴y=（2）解：直线向上平移8个单位后表达式为：y= x+8∵AB⊥OA，直线AB过点A（3 ，3）∴直线AB解析式：y=﹣ x+12，∴ x+8=﹣ x+12，∴x= ．∴B（，9），∴AB=4在Rt△AOB中，OA=6，∴tan∠AOB=（3）解：∵△APB∽△ABO，∴，由（2）知，AB=4 ，OA=6即∴AP=8，∵OA=6，∴OP=14，过点A作AH⊥x轴于H∵A（3 ，3），∴OH=3 ，AH=3，在Rt△AOH中，∴tan∠AOH= = = ，∴∠AOH=30°过点P作PG⊥x轴于G，在Rt△APG中，∠POG=30°，OP=14，∴PG=7，OG=7∴P（7 ，7）．【解析】【分析】（1）先确定出点A坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）先求出直线AB解析式，进而得出点B坐标秒即可得出结论；（3）利用相似三角形的性质得出AP，进而求出OP，再求出∠AOH=30°，最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．8．如图，在菱形ABCD中，， ,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 ,①求证：△△；②求DF的长.【答案】（1）解：连结BD（2）解：①②【解析】【分析】（1）连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长；（2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出，又∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF；②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.9．如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF.（1）当∠BAC＝30º时，求△ABC的面积；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，∴BC= AB=5，∴AC= ，∴S△ABC= AC⋅BC=（2）解：连接AD，∵∠ACB=90°，CD=BC，∴AD=AB=10，∵DE⊥AB，∴AE= =6，∴BE=AB−AE=4，∴DE=2BE，∵∠AFE+∠FAE=90°，∠DBE+∠FAE=90°，∴∠AFE=∠DBE，∵∠AEF=∠DEB=90°，∴△AEF∽△DEB，∴ =2，∴EF= AE= ×6=3（3）解：连接EC，设E(x，0)，当的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；①0°< 的度数<60°时，点E在O、B之间，∠EOF>∠BAC=∠D，又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD，∴，∵EC是Rt△BDE斜边的中线，∴CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，∴∠EOF=∠CEB，∴OF∥CE，∴△AOF∽△AEC∴，∴，即，解得x= ，因为x>0，∴x= ；②60°< 的度数<90°时，点E在O点的左侧，若∠EOF=∠B，则OF∥BD，∴OF= BC= BD，∴即解得x= ，若∠EOF=∠BAC，则x=− ，综上点E的坐标为( ，0) ；（，0）；（−，0）.【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标.10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+ QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；（2）解：将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；（3）解：存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，Q+ QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y＝﹣x+ …②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+ QC的最小值为 .【解析】【分析】（1）将坐标（1，0），B（3，0）代入计算即可得出抛物线的解析式，即可计算出D的坐标.（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式计算，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），求出x的值即可.（3）存在，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，Q+ QC最小值＝AQ+HQ＝AH，求出k值，再将A的坐标代入计算即可解答.11．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点①当点N在何处时，△CAN的周长最小？②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小．设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b，则：，解得：，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣2）；②如图2，过点C作CG⊥ED于点G．设NG=n，则NE=3﹣n．∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，则tan∠NCG=n=tan∠MNE，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n时，ME，则m的最小值为：；如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．过C作CG⊥ED于G．∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．故：m≤5．【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．12．如图，抛物线y= x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M(m， 0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【答案】（1）解：∵点A（-1，0）在抛物线y= x2 +bx-2上∴× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0解得b =∴抛物线的解析式为y= x2- x-2.y= x2- x-2 = (x2 -3x- 4 ) = (x- )2- ,∴顶点D的坐标为 ( , - ).（2）解：当x = 0时y = -2,∴C（0，-2），OC = 2。
八年级数学竞赛培优反比例函数的应用含解析
反比例函数的应用【思维入门】1．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)与体积V(单位：m3)满足函数关系式ρ＝kV(k为常数，k≠0)，其图象如图9－28－1所示，则k的值为()图9－28－1A．9B．－9C．4D．－42．为了更好保护水资源，造福人类．某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式V＝Sh(V≠0)，则S关于h的函数图象大致是()A B C D3．已知长方形的面积为20 cm2，设该长方形一边长为y cm，另一边长为x cm，则y与x 之间的函数图象大致是()A B C D4．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则y与x的函数关系式为()A．y＝400x B．y＝14xC ．y ＝100xD ．y ＝1400x5．如图9－28－2，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y ＝m x 的图象交于点B ，E .(1)求反比例函数及直线BD 的解析式；(2)求点E 的坐标．【思维拓展】 6．如图9－28－3，直线y ＝x ＋a －2与反比例函数y ＝4x 交于A ，B 两点，则当线段AB的长度取最小值时，a 的值为 ()图9－28－3A ．0B ．1C ．2D ．57．如图9－28－4，A ，B 两点在反比例函数y ＝4x 上，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1＋S 2＝ ()图9－28－4A ．3B ．4C ．5D ．68．如图9－28－5，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，反比例函数y ＝k x (k ≠0，x >0)的图象与正方形的两边AB ，BC分别交于点M ，N ，ND ⊥x 轴，垂足为D ，连结OM ，ON ，MN .下列结论：①△OCN ≌△OAM ；②ON ＝MN ；③四边形DAMN 与△MON 面积相等；④若∠MON＝45°，MN ＝2，则点C 的坐标为(0，2＋1)．其中正确结论的个数是( )图9－28－5A ．1B ．2C ．3D ．49．甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x (400≤x ＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p ⎝⎛⎭⎪⎫p ＝优惠金额购买商品的总金额，写出p 与x 之间的函数关系式，并说明p 随x 的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x (200≤x ＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．10．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．图9－28－6是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中BC 段是反比例函数y ＝k x 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时？(2)求k 的值；(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少度？图9－28－6 【思维升华】11．如图9－28－7，已知双曲线y＝－1x与两直线y＝－14x，y＝－kx⎝⎛⎭⎪⎫k＞0，且k≠14分别相交于A，B，C，D四点．(1)当点C的坐标为(－1，1)时，A，B，D三点坐标分别是A(____)，B(____)，D(____)；(2)证明：以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；(3)当k为何值时，▱ADBC是矩形．图9－28－712．阅读材料：若a，b都是非负实数，则a＋b≥2ab.当且仅当a＝b时，“＝”成立．证明：∵(a－b)2≥0，∴a－2ab＋b≥0.∴a＋b≥2ab.当且仅当a＝b时，“＝”成立．举例应用：已知x>0，求函数y＝2x＋2x的最小值．解：y＝2x＋2x≥22x•2x＝4.当且仅当2x＝2x，即x＝1时，“＝”成立．∴当x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4.问题解决：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋450x 2 L ．若该汽车以每小时x (70≤x ≤110)公里的速度匀速行驶，1 h 的耗油量为y L.(1)求y 关于x 的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结果保留小数点后一位)．反比例函数的应用【思维入门】1．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)与体积V(单位：m3)满足函数关系式ρ＝kV(k为常数，k≠0)，其图象如图9－28－1所示，则k的值为(A)图9－28－1A．9B．－9C．4D．－42．为了更好保护水资源，造福人类．某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式V＝Sh(V≠0)，则S关于h的函数图象大致是(C)A B C D3．已知长方形的面积为20 cm2，设该长方形一边长为y cm，另一边长为x cm，则y与x 之间的函数图象大致是(B)A B C D4．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则y与x的函数关系式为(C)A．y＝400x B．y＝14xC ．y ＝100xD ．y ＝1400x5．如图9－28－2，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y ＝m x 的图象交于点B ，E .(1)求反比例函数及直线BD 的解析式；(2)求点E 的坐标．解：(1)由条件可得：B (1，－2)，D (－1，0)，∵－2＝m 1，∴m ＝－2，∴反比例函数的解析式为y ＝－2x； 设直线BD 的解析为y ＝kx ＋b ，∵过B (1，－2)，D (－1，0)∴⎩⎨⎧－2＝k ＋b ，0＝－k ＋b ，∴⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－1， ∴直线BD 的函数解析式为y ＝－x －1.(2)∵直线BD 交y ＝－2x 图象于点E ，B ，∴－2x＝－x －1， 解得x 1＝1，x 2＝－2.当x 1＝1时，y ＝－2；当x 2＝－2时，y ＝1，∴点E 的坐标为(－2，1)．【思维拓展】6．如图9－28－3，直线y ＝x ＋a －2与反比例函数y ＝4x 交于A ，B 两点，则当线段AB的长度取最小值时，a 的值为 ( C) 图9－28－3A ．0B ．1C ．2D ．5【解析】 ∵根据反比例函数的对称性可知，要使线段AB 的长度取最小值，则直线y＝x＋a－2经过原点，∴a－2＝0，解得a＝2.7．如图9－28－4，A，B两点在反比例函数y＝4x上，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2＝(D)图9－28－4A．3 B．4 C．5 D．6【解析】∵点A，B是反比例函数y＝4x上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，∴S1＋S2＝4＋4－1×2＝6.8．如图9－28－5，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝kx(k≠0，x>0)的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，ND⊥x轴，垂足为D，连结OM，ON，MN.下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON ＝45°，MN＝2，则点C的坐标为(0，2＋1)．其中正确结论的个数是(C)图9－28－5A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△ONC ＝S△OAM＝12k，即12OC·NC＝12OA ·AM ，而OC ＝OA ，则NC ＝AM ，再根据“SAS ”可判断△OCN ≌△OAM ；根据全等的性质得到ON ＝OM ，由于k 的值不能确定，则∠MON 的值不能确定，无法确定△ONM 为等边三角形，则ON ＝MN 不能确定；根据S △OND ＝S △OAM ＝12k 和S △OND ＋S四边形DAMN ＝S △OAM ＋S △OMN ，即可得到S 四边形DAMN ＝S △OMN ；若∠MON ＝45°，作NE ⊥OM 于E 点，则△ONE 为等腰直角三角形，设NE ＝x ，则OM ＝ON ＝2x ，EM ＝2x －x ＝(2－1)x ，又∵MN ＝2，在Rt △NEM 中，利用勾股定理可求出x 2＝2＋2，所以ON 2＝(2x )2＝4＋22，易得△BMN 为等腰直角三角形，得到BN ＝22MN ＝2，设正方形OABC 的边长为a ，在Rt △OCN 中，利用勾股定理可求出a 的值为2＋1，从而得到C 点坐标为(0，2＋1)．9．甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x (400≤x ＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p ⎝⎛⎭⎪⎫p ＝优惠金额购买商品的总金额，写出p 与x 之间的函数关系式，并说明p 随x 的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x (200≤x ＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．解：(1)根据题意，得510－200＝310(元)．所以顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付310元．(2)p 与x 之间的函数关系式为p ＝200x(400≤x ＜600)，p 随x 的增大而减小． (3)由题意，可得甲商场需花(x －100)元，乙商场需花0.6x 元，由x －100＞0.6x ，得250＜x ＜400，乙商场花钱较少，由x －100＜0.6x ，得200≤x ＜250，甲商场花钱较少，由x －100＝0.6x ，得x ＝250，两家商场花钱一样多．10．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．图9－28－6是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中BC 段是反比例函数y ＝k x 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时？(2)求k 的值；(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少度？解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10 h.(2)∵点B (12，18)在反比例函数y ＝k x 上，∴18＝k 12，∴k ＝216.(3)当x ＝16时，y ＝21616＝13.5(℃)，所以当x ＝16时，大棚内的温度约为13.5 ℃.【思维升华】11．如图9－28－7，已知双曲线y ＝－1x 与两直线y ＝－14x ，y ＝－kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＞0，且k ≠14分别相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)当点C 的坐标为(－1，1)时，A ，B ，D 三点坐标分别是A (__－2，12__)，B (__2，－12__)，D (__1，－1__)；(2)证明：以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形；(3)当k 为何值时，▱ADBC 是矩形．解：(1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，D (1，－1)．(2)证法一：∵反比例函数y ＝－1x 的图象关于原点对称，过原点的直线y ＝ －14x 也关于原点对称．∴OA ＝OB .同理：OC ＝OD .∴四边形ADBC 是平行四边形．证法二：∵y ＝－1x 与y ＝－14x 交于A ，B 两点，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12. ∴由勾股定理知，OA 2＝(－2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝174，OB 2＝22＋(－12)2＝174，∴OA 2＝OB 2.∴OA ＝OB .∵y ＝－kx 与y ＝－1x 交于C ，D 两点，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k ，k ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ，－k . ∴OC 2＝OD 2.∴OC ＝OD .∴四边形ADBC 是平行四边形．(3)当k ＝4时，▱ADBC 为矩形．理由：当OA ＝OC 时，AB ＝2OA ＝2OC ＝CD ，▱ADBC 为矩形．此时由OA 2＝OC 2得1k ＋k ＝174，k 2－17k 4＋1＝0. ∴k 1＝4，k 2＝14.又∵k ≠14，∴k ＝4.∴当k ＝4时，▱ADBC 为矩形．12．阅读材料： 若a ，b 都是非负实数，则a ＋b ≥2ab .当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．证明：∵(a －b )2≥0，∴a －2ab ＋b ≥0.∴a ＋b ≥2ab .当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．举例应用： 已知x >0，求函数y ＝2x ＋2x 的最小值．解：y ＝2x ＋2x ≥22x •2x ＝4.当且仅当2x ＝2x ，即x ＝1时，“＝”成立．∴当x ＝1时，函数取得最小值，y 最小＝4.问题解决：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋450x 2 L ．若该汽车以每小时x (70≤x ≤110)公里的速度匀速行驶，1 h 的耗油量为y L.(1)求y 关于x 的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结果保留小数点后一位)．解：(1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋450x 2＝x 18＋450x (70≤x ≤110)． (2)y ＝x 18＋450x ≥2x 18•450x ＝10 当且仅当x 18＝450x ，即x ＝90时，“＝”成立．∴当x ＝90时，函数取得最小值，y 最小＝10.此时，百公里耗油量为⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋450902×100≈11.1(L)． 答：该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量约为 11.1 L ．。
精品反比例函数培优讲解(含答案)
反比例函数专题综合讲解(解答题)1．（2010 四川成都）如图，已知反比例函数ky x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．【答案】解：（1）∵已知反比例函数ky x=经过点(1,4)A k -+， ∴41kk -+=，即4k k -+= ∴2k = ∴A(1，2) ∵一次函数y x b =+的图象经过点A(1，2)， ∴21b =+ ∴1b = ∴反比例函数的表达式为2y x=， 一次函数的表达式为1y x =+。
（2）由12y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，得220x x +-=。
即(2)(1)0x x +-=,∴2x =-或1x =。
∴1y =-或2y =。
∴21x y =-⎧⎨=-⎩或12x y =⎧⎨=⎩ ∵点B 在第三象限，∴点B 的坐标为(21)--，。
由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是2x <-或01x <<。
2．（2010江苏徐州）如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b-xm<0的解集(直接写出答案)． 【答案】3．（2010 浙江义乌）如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点P ，点P 在第一象限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ， 且S △PBD =4，12OC OA =．（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例 函数的值的x 的取值范围.【答案】解：（1）在2y kx =+中，令0x =得2y = ∴点D 的坐标为（0，2） （2）∵ AP ∥OD ∴Rt △P AC ∽ Rt △DOC∵12OC OA = ∴13OD OC AP AC == ∴AP =6 又∵BD =624-= ∴由S △PBD =4可得BP =2∴P (2，6) 把P (2，6)分别代入2y kx =+与my x=可得 一次函数解析式为：y =2x +2反比例函数解析式为：12y x=（3）由图可得x ＞2 4．（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？【答案】⑴①当1≤x ≤5时，设ky x=，把（1，200）代入，得200k =，即200y x=；②当5x =时，40y =，所以当x ＞5时，4020(5)2060y x x =+-=-；⑵当y =200时，20x -60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元； ⑶对于200y x=，当y =100时，x =2；对于y =20x -60，当y =100时，x =8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月．5．（2010 山东）如图,已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4. （1）求k 的值；y xPBD AO C（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．【答案】(1）∵点A 横坐标为4 ， ∴当 x = 4时，y = 2∴ 点A 的坐标为（4，2 ） …………2’ ∵点A 是直线12y x =与双曲线8y x=（k>0）的交点， ∴ k = 4×2 = 8 ………….3’(2)解法一：∵ 点C 在双曲线上，当y = 8时，x = 1 ∴ 点C 的坐标为（1，8）………..4’ 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON S 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 S △AOC = S 矩形ONDM －S △ONC －S △CDA －S △OAM = 32－4－9－4 =15 ………..6’解法二：过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点C 在双曲线8y x=上，当y = 8时，x = 1。
八下 反比例函数应用题 (3) 含答案
反比例函数的实际应用通常所用的思路有两种：1、通过问题提供的信息，明确变量间的函数关系，在此条件下可设出函数解析式，再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数；2、已知反比例函数模型的解析式，然后利用函数的图像及其性质解决问题。
考点一：反比例函数在实际问题中的应用例1：在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强P 与它的体积V 成反比例。
当200V =时，50P =；则当25P =时，V = 。
例2：小王骑自行车以的15/km h 平均速度从甲地到乙地，共用了4h 。
（1）他坐出租车从原路返回，出租车的平均速度v (/)km h 与所用时间t ()h 有怎样的函数关系？（2）如果小王必须在40min 之内赶回，那么返程时的速度至少为多少？跟踪练习：1、在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：3/kg m ）是体积V （单位：3m ）的反比例函数，它的图像如图所示，当310V m =时，气体的密度是（ ）A ．35/kg mB ．32/kg mC ．3100/kg mD ．31/kg m2、近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，求近视眼镜的度数y 与镜片焦距x 的函数解析式。
考点二：反比例函数在几何问题中的应用例1：已知一个长方体的体积为3100cm ，它的长是y cm ，宽是5cm ，高是x cm 。
（1）写出y 与x 的函数解析式。
（2）写出自变量x 的取值范围。
例2：李大爷准备在一块空地上用篱笆围成一个面积为264m 的长方形菜地。
（1）该菜地的宽()y m 与长()x m 有什么样的函数关系？（2）小明建议把长定为8m ，那么按小明的想法，李大爷要准备多长的篱笆？（3）通过测量，发现宽最多为5m ，那么长至少为多少，才能保证菜地面积不变？跟踪练习：1、如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m 2的矩形科技园ABCD ，其中一边AB 靠墙，墙长为12m ，设AD的长为x m ，DC 的长为y m 。
初二数学培优小专题六——反比例函数与等腰三角形的综合运用问题
小专题六、反比例函数与等腰三角形的综合应用问题【解惑】如图，点()2A m m ，在反比例函数()80y x x =>的图象上，点B 是y 轴上一点，且A B O ，，三点构成的三角形是等腰三角形，则线段OB =______．方法：两圆一线——1.两圆——分别一两个定点A.O 为圆心，AO 长度为半径画圆与y 轴交点，求解即可；2.一线——做AO 的垂直平分线，与y 轴交点（解设“x”勾股定理）【融会贯通】1．如图，AOB V 是等腰三角形，AB AO =，反比例函数()0k y k x=≠的图象经过点A ，且A O B V 的面积是则k 的值是（ ）A ．B ．-CD ．2．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．10y x =B ．5y x =C ．20y x =D ．20x y = 3.如图，ABC V 是等腰三角形，AB 过原点O ，底边BC x ∥轴，双曲线k y x=过A ，B 两点，过点C 作CD y ∥轴交双曲线于点D ，若16BCD S =V ，则k 的值是__________．【知不足】1.如图，平面直角坐标系中，过原点的直线AB 与双曲线交于A 、B 两点，在线段AB 左侧作等腰三角形ABC ，底边BC x ∥轴，过点C 作CD x ⊥轴交双曲线于点D ，连接BD ，若16BCD S =V ，则k 的值是（ ）A ．4-B ．6-C ．8-D ．16-2.如图，已知等腰三角形ABC 的底边BC 落在x 轴上，延长CA 到点D ，使得AD AC =，延长AB 交y 轴于点E ，连接CE ，点D 落在反比例函数k y x=（0k ≠）的图象上．若BCE V 的面积等于k =_____．3．如图，点()3,4A -在反比例函数()0k y k x=≠的图象上，点B 在坐标轴上，若OAB V 是以OA 为腰的等腰三角形，则AOB V 的面积为______________．4．在平面直角坐标系中，直线12y x =经过点(),2A m ，反比例函数()0k y k x=≠的图像经过点A 和点()8,B n ．(1)求反比例函数的解析式；(2)在x 轴上找一点C ，ABC V 为等腰三角形，求点C 的坐标．【一览众山小】1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =+的图像与反比例函数()0k y k x=≠的图像交于一、三象限内的A 、B 两点，直线AB 与x 轴交于点C ，点B 的坐标为()4,n -．(1)求反比例函数的解析式；(2)求AOB V 的面积；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使AOP V 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，一次函数()110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()220k y k x=≠的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(2,1)-，点B 的坐标为(1,)n ．(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象，直接写出满足21k k x b x+>的取值范围； (3)求ABO V 的面积；(4)点P 在x 轴上，当PAO V 为等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．3．一次函数1y k x b =+和反比例函数2k y x =的图象的相交于()2,3A ，()3,B m -，与x 轴交于点C ，连接OA ，O B ．(1)请直接写出m 的值为______，反比例函数2k y x =的表达式为____________； (2)利用（1）中的数值求AOB V 的面积；(3)观察图象，请直接写出210k k x b x +->的解集______； (4)点P 在x 的正半轴上，当PAO V 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．4．如图，一次函数y bc b =+的图象与反比例函数m y x=图象交于()()231A B n -，，，．(1)求线段AB 的长度；(2)在x 轴上存在一点C ，使AOC V 为等腰三角形，求此时点C 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(4,2)，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别是C ，A ，反比例函数4(0)y x x=>的图象分别交AB ，BC 于点E ，F ．(1)求直线EF 的解析式；(2)求EOF V 的面积；(3)若点P 在y 轴上，且POE △是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．【温故为师】1.如图1，在平面直角坐标系中，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，2BC =，AB =顶点A 在第一象限，点B ，C 在x 轴的正半轴上，（C 在B 的右侧），ABC V 可沿x 轴左右移动，ADC △与ABC V 关于AC 所在直线对称．(1)当2OB =时，直接写出点A 和点D 坐标．(2)判断（1）中的A ，D 是否在同一个反比例函数图象上，说明理由，如果不在，试问OB 多长时，点A ，D 在同一个反比例函数1k y x=的图象上，求1k 的值． (3)如图2，当点A ，D 在同一个反比例函数图象上，把四边形ABCD 向右平移，记平移后的四边形为1111D C B A ，过点1D 的反比例函数2k y x=的图象与BA 的延长线交于点P ，当1P DD V 是以1PD 为底边的等腰三角形，求2k 的值．2．如图，一次函数y ax b =+的图像与反比例函数k y x=的图像交于M 、N 两点(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接OM 、ON ，求三角形OMN 的面积(3)连接OM ，在x 轴的正半轴上是否存在点Q ，使MOQ △是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标，若不存在，说明理由3．已知一次函数y kx b =+与反比例函数m y x=的图象交于()31A -，、1B n ，两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求AOB V 的面积；(3)点P 在x 轴上，当PAO V 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数2y x =-的图像与反比例函数k y x=的图像交于点()2,A n -．(1)求反比例函数k y x=的解析式． (2)结合图像直接写出不等式20k x x+<的解集为______． (3)若P 是x 轴上一点，且AOP V 是以OA 为腰的等腰三角形，求点P 的坐标．5．已知：正比例函数1y k x =的图像与反比例函数2k y x=的图像相交于点A 、B （如图），点A 在第一象限，且点A 的横坐标为1，作AD ⊥x 轴，垂足为D 点，1AOD S =△．(1)求点A 的坐标；(2)求这两个函数的解析式；(3)如果OAC V 是以OA 为腰的等腰三角形，且点C 在x 轴上，求点C 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x =的图象相交于A ，B 两点，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，5AO =，4sin 5AOD ∠=，B 点的坐标为()6n -，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求AOB V 的面积；(3)P 是y 轴上一点，且AOP V 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P 点坐标．7．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知点A 坐标为(3,1)，点B 的坐标为(2,)m -(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；(2)连接OA 、OB ，求AOB V 的面积；(3)观察图象直接写出k ax b x+>时x 的取值范围是 ； (4)直接写出：P 为x 轴上一动点，当三角形OAP 为等腰三角形时点P 的坐标 ．8．正方形ABCD 的边长为4，AC ，BD 交于点E ．在点A 处建立平面直角坐标系如图所示．(1)如图（1），双曲线1k y x=过点E ，完成填空：点C 的坐标是___________．点E 的坐标是___________，双曲线的解析式是___________；(2)如图（2），双曲线2k y x=与BC ，CD 分别交于点M ，N （反比例图像不一定过点E ）．求证MN BD ∥； (3)如图（3），将正方形ABCD 向右平移()0m m >个单位长度，使过点E 的双曲线3k y x =与AB 交于点P ．当AEP V 是以AE 为腰的等腰三角形时，求m 的值．9．已知一次函数y kx b =+与反比例函数m y x=的图像交于A (－4，3)、B (2，n )两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求V AOB 的面积；(3)点P 在x 轴上，当V P AO 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．(1)求点B的坐标；(2)在y轴上是否存在一点P，使V ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点B 、D正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．11．已知反比例函数1myx（m为常数）的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．答案与解析1．如图，AOB V 是等腰三角形，AB AO =，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点A ，且AO B V 的面积是则k 的值是（ ）A ．B ．-CD ．∴BC OC =．设点(,)A a b ，则BC OC a ==-，AC b =，112．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．10y x=B ．5y =C ．20y x=D ．20x y =3.如图，ABC V 是等腰三角形，AB 过原点O ，底边BC x ∥轴，双曲线ky x=过A ，B 两点，过点C 作CD y ∥轴交双曲线于点D ，若16BCD S =V ，则k 的值是__________．设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点,k B a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴2BE a =，∵ABC V 是等腰三角形，k ⎛⎫【知不足】1.如图，平面直角坐标系中，过原点的直线AB 与双曲线交于A 、B 两点，在线段AB 左侧作等腰三角形ABC ，底边BC x ∥轴，过点C 作CD x ⊥轴交双曲线于点D ，连接BD ，若16BCD S =V ，则k 的值是（ ）A ．4-B ．6-C ．8-D ．16-设点(,)k A a a ，∵直线AB 过原点，∴(,).kB a a--，∵ABC V 是等腰三角形，2.如图，已知等腰三角形ABC 的底边BC 落在x 轴上，延长CA 到点D ，使得AD AC =，延长AB 交y 轴于点E ，连接CE ，点D 落在反比例函数ky x=（0k ≠）的图象上．若BCE V 的面积等于k =_____．∵AD AC =，∴,ABD ABC EAD EAC S S S S ==V V V V ∴23BED BEC S S ∆∆==3．如图，点()3,4A -在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，点B 在坐标轴上，若OAB V 是以OA 为腰的等腰三角形，则AOB V 的面积为______________．4．在平面直角坐标系中，直线12y x =经过点(),2A m ，反比例函数()0ky k x=≠的图像经过点A 和点()8,B n ．(1)求反比例函数的解析式；(2)在x 轴上找一点C ，ABC V 为等腰三角形，求点C 的坐标．8k ，∴反比，设直线8⎝⎭【一览众山小】1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =+的图像与反比例函数()0ky k x=≠的图像交于一、三象限内的A 、B 两点，直线AB 与x 轴交于点C ，点B 的坐标为()4,n -．(1)求反比例函数的解析式； (2)求AOB V 的面积；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使AOP V 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 8k ，AOBS =222425OA，当1(25,0)P∵2OH =，∴324OP OH ==，∴3(4,0)P ，PA PO =时，如图2，过A 作4AH OP ⊥于H ，∴2OH =，4AH =，∴442P H OP =-，∵22244AH P H AP +=，2．如图，一次函数()110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()220k y k x=≠的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(2,1)-，点B 的坐标为(1,)n ．(1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出满足21k k x b x+>的取值范围； (3)求ABO V 的面积；(4)点P 在x 轴上，当PAO V 为等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．∵(2,1)A -(1,2)B -1131112222AOB ACO BCO S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=V V V （4）∵(2,1)A -，∴22215AO =+=①1PO AO =，此时有1(5,0)P ②2P O AO =，此时有2(5,0)P -③3AP AO =，此时有3(4,0)P -当AO 为底边时，则有44P O P A ,54∴45P ⎛⎫- ⎝3．一次函数1y k x b =+和反比例函数2k y x=的图象的相交于()2,3A ，()3,B m -，与x 轴交于点C ，连接OA ，O B ．(1)请直接写出m 的值为______，反比例函数2k y x=的表达式为____________； (2)利用（1）中的数值求AOB V 的面积； (3)观察图象，请直接写出210k k x b x+->的解集______； (4)点P 在x 的正半轴上，当PAO V 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标． 观察图像可知，不等式210k k x b x+->的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围，∴不等式210k k x b x+->的解集是30x -<<，或2x >（4）设点(,0)P x ，且0x >，当以OA 、OP 为腰时，222313OA OP ==+=∴(13,0)P 当以OA 、AP 为腰时，222313OA AP ==+=∴224x =⨯=，即(4,0)P 当以OP 、AP 为腰时，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ，连接AP ,∴OP AP x ==， 2PD x =-，3AD =，在Rt PAD △中，由勾股定理可得，222PD AD AP +=，即222-2)3x x +=（，解得134x =，即13(,0)4P 134．如图，一次函数y bc b =+的图象与反比例函数my x=图象交于()()231A B n -，，，．(1)求线段AB的长度；(2)在x轴上存在一点C，使AOCV为等腰三角形，求此时点C的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(4,2)，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数4(0)y xx=>的图象分别交AB，BC于点E，F．(1)求直线EF的解析式；(2)求EOFV的面积；(3)若点P在y轴上，且POE△是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．EOF AOE COF EFB ABCO S S S S S =---矩形，∴EOF S ∆，222222OE ∴=+=， 22时，点P 的坐标为()022，或()022-，； 则点P 的坐标为()0,4，∴点P 的坐标为()0,2，【温故为师】1.如图1，在平面直角坐标系中，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，2BC =，AB =顶点A 在第一象限，点B ，C 在x 轴的正半轴上，（C 在B 的右侧），ABC V 可沿x 轴左右移动，ADC △与ABC V 关于AC 所在直线对称．(1)当2OB =时，直接写出点A 和点D 坐标．(2)判断（1）中的A ，D 是否在同一个反比例函数图象上，说明理由，如果不在，试问OB 多长时，点A ，D 在同一个反比例函数1k y x=的图象上，求1k 的值． (3)如图2，当点A ，D 在同一个反比例函数图象上，把四边形ABCD 向右平移，记平移后的四边形为1111D C B A ，过点1D 的反比例函数2k y x=的图象与BA 的延长线交于点P ，当1P DD V 是以1PD 为底边的等腰三角形，求2k 的值．∵2OB =，23AB =，90ABC ∠=︒，∴点A 的坐标是()2,23A ，2．如图，一次函数y ax b =+的图像与反比例函数ky x=的图像交于M 、N 两点(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接OM 、ON ，求三角形OMN 的面积(3)连接OM ，在x 轴的正半轴上是否存在点Q ，使MOQ △是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标，若不存在，说明理由由2y x =-，当0y =时，2x =， ∴()20C ，， 2OC =， ∴MON △的面积是112123422MOC NOC S S =+=⨯⨯+⨯⨯=V V ， 答：三角形MON 的面积是4．当OM OQ =时，则210x =，∴10x =（负根舍去）3．已知一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象交于()31A -，、1B n ，两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求AOB V 的面积；(3)点P 在x 轴上，当PAO V 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．331n，∴B2222（3）解：设点P 的坐标为()0m ，，∴()()2222311031OP m OA AP m ==-+==++，，，当10OP OA ==时，则10m =，4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数2y x =-的图像与反比例函数ky x=的图像交于点()2,A n -．(1)求反比例函数ky x=的解析式． (2)结合图像直接写出不等式20kx x+<的解集为______．(3)若P 是x 轴上一点，且AOP V 是以OA 为腰的等腰三角形，求点P 的坐标．当OA AP =时，过点A 作AQ x ⊥轴于点Q ，如图所示：∵点A 的坐标为：()2,4-，∴2OQ，∵OA AP =，AQ OP ⊥，5．已知：正比例函数1y k x =的图像与反比例函数2k y x=的图像相交于点A 、B （如图），点A 在第一象限，且点A 的横坐标为1，作AD ⊥x 轴，垂足为D 点，1AOD S =△．(1)求点A 的坐标； (2)求这两个函数的解析式；(3)如果OAC V 是以OA 为腰的等腰三角形，且点C 在x 轴上，求点C 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象相交于A ，B 两点，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，5AO =，4sin 5AOD ∠=，B 点的坐标为()6n -，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求AOB V 的面积；(3)P 是y 轴上一点，且AOP V 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P 点坐标．∵点()34A ，，()62B --，，∴AOB V 的面积11()2(36)922A B S OM x x =⨯-=⨯⨯+=；（3）解：设点()0P m ，，而点A 、O 的坐标分别为：()34，、()00，，229(4)AP m =+-，2223425AO =+=，22PO m =， 当AP AO =时，25942()m +-=，解得：8m =或0（舍去0）；当AO PO =时，同理可得：5m =±；2525⎛⎫7．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知点A 坐标为(3,1)，点B 的坐标为(2,)m -(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)连接OA 、OB ，求AOB V 的面积； (3)观察图象直接写出kax b x+>时x 的取值范围是 ；(4)直接写出：P 为x 轴上一动点，当三角形OAP 为等腰三角形时点P 的坐标 ． 22(1,0)C ∴，11351112224AOB AOC BOC S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=V V V ；k(3,1)A Q ，10OA ∴=，1(10P ∴-，0)或2(10P ，0)；②当OA AP =时，如图3，(6,0)P ∴；③当OP AP =时，如图4，过A 作AE x ⊥轴于E ，设OP x =，则AP x =，3PE x =-，222AP AE PE ∴=+，5()5⎛⎫8．正方形ABCD 的边长为4，AC ，BD 交于点E ．在点A 处建立平面直角坐标系如图所示．(1)如图（1），双曲线1k y x=过点E ，完成填空：点C 的坐标是___________．点E 的坐标是___________，双曲线的解析式是___________；(2)如图（2），双曲线2k y x=与BC ，CD 分别交于点M ，N （反比例图像不一定过点E ）．求证MN BD ∥； (3)如图（3），将正方形ABCD 向右平移()0m m >个单位长度，使过点E 的双曲线3k y x =与AB 交于点P ．当AEP V 是以AE 为腰的等腰三角形时，求m 的值．9．已知一次函数y kx b=+与反比例函数myx=的图像交于A(－4，3)、B(2，n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求V AOB的面积；(3)点P在x轴上，当V P AO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．（3）设P（x，0）∵A（-4，3）8810．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．(1)求点B 的坐标；(2)在y 轴上是否存在一点P ，使V ABP 是AB 为腰的等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将正方形ABCD 沿y 轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B 、D 两点的对应点B '、D 正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式． 则90AFD AEB ∠=∠=︒，∵点A (0，-6)，D (-3，-7)，∴DF =3，AF =1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，90BAD ∠=︒，∴90DAF BAE DAF ADF ∠+∠=∠+∠=︒，∴D为(-3，-7+6=-．11．已知反比例函数1myx（m为常数）的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．1myx（m为常数）的图象在第一、三象限．（﹣3，0），∴OB。
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初中数学培优——反比例函数的综合应用一、知识储备(一)、反比例函数k 的意义代数意义：给出反比例函数图象上一点坐标（x 、y ），则k=xy当x 、y 变为-x 、-y 时，k 不变，可知双曲线的两支关于原点对称。
几何意义：（1）过反比例函数图象上一点分别作x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的面积为k（2）过图象上的任一点P 作x 轴(或y 轴)的垂线，连接OP ，则垂线段、OP 、x 轴(或y 轴)围成三角形的面积为21k .（3）k 〉0,双曲线的两支分别在一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小；k 〈0,双曲线的两支分别在二、四象限，在每一象限y 随x 的增大而增大；我们抓住反比例函数 k 的意义可以快解题。
A 、 快得解析式例1、某反比例函数的图象过点M （1,3）,则此反比例函数的解析式为 。
B 、 快判断点是否在图象上。
例2、在平面直角坐标系中有六个点A （1，5）,B （-3，-35）,C （-5,-1）D （-2，25），E （3，35）,F （25,2）其中有五个点在同一反比例函数的图象上，不在这个反比例函数图象上的点是 。
例3、已知反比例函数y=xk的图象经过p(-1,2)，则这个函数的图象位于第_____象限。
例4、若A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），C （3x ，3y ）是y=xk（k 〈0）上的三点，且1x 〈2x 〈0〈3x ，则从小到大排列1y 、2y 、3y 为_____E 、快得图形的面积 例5、如图，直线y=mx 与y=xk交于A 、B 两点，过A 作AM 垂直x 轴，垂足为M ，连接BM ，若k =2,则SABm=___.例6、如图，y=xk经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为_____F 、快得图象上的两点与原点构成三角形面积。
如图1，由几何意义知S △COA=S △DOB,则不重叠的两部分面积相等。
例7、已知A （1,2），B （4,b ）在同一反比例函数的图象上，求S △AOB.(二)、反比例函数与三角形合反比例函数与不同的三角形结合，展示出许多趣味横生的妙题。
本文对这一问题进行了归纳，仅供同学们学习时参考。
1、反比例函数与直角三角形例1、如图1所示，P 是反比例函数y=6x在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴， 随着x 的逐渐增大，△APO 的面积将（ ）A 、增大B 、减小C 、不变D 、无法确定2、反比例函数与底边是定长的动态三角形例2、如图2，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是 双曲线3y x=（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， OAB △的面积将会：A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小(三)、反比例函数与相似三角形例3、如图3所示，在直角坐标系中，△OBA ∽△DOC ，边OA 、OC 都在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为（6，8），∠BAO =∠OCD =90°，OD =5．反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点D ，交AB 边于点E ．（1）求k 的值．（2）求BE 的长．(四)、反比例函数与全等三角形例4、如图4所示，在平面直角坐标系中，直线AB 与Y 轴和X 轴分别交于点A 、点8，与反比例函数y=xm在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，n)．过点C 作CE 上y 轴于E ，过点D 作DF 上X 轴于F ．(1)求m ，n 的值；(2)求直线AB 的函数解析式；(3)求证：△AEC ≌△DFB ． 分析：yOAB 图2(五)、反比函数图像上四种三角形的面积反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。
A 、三角形面积的四个结论结论1、过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。
如图1所示，设P （a ，b ）是反比例函数y=xk（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ，三角形PAO 的面积是S ，则|k|=2S 。
结论2、过反比例函数图像上一点，向y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。
如图2所示，设P （a ，b ）是反比例函数y=xk（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PB ⊥y 轴，垂足为B ，三角形PBO 的面积是S ，则|k|=2S 。
结论3、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=xk（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。
如图3所示。
证明1：因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与 反比例函数y=xk（k ＞0）的图像交于A 、B 两点， 所以，x k xk1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x=11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的坐标是（11k kk ，1kk ）， 当x =-11k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（-11k kk ，-1kk ），所以，OC 的长度是11k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOC 的面积+三角形BOC 的面积 =21×OC ×AC+21×OC ×BD=21×11k kk ×1kk +21×11k kk ×|-1kk | =21k+21k=k 。
所以，与k 1无关。
证明2、根据结论1，知道三角形AOC 的面积是21k ， 三角形BOC 的面积=21×OC ×BD2111k kk |-1kk |=21k ， 所以，三角形ABC 的面积= k 。
结论4、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=xk（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，过B 点作BC ⊥y 轴，两线的交点是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。
如图4所示。
因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与 反比例函数y=xk（k ＞0）的图像交于A 、B 两点， 所以，x k xk1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x=11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的（11k kk 1kk ）， 当x =-11k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（-11k kk ，-1kk ），所以，OC 的长度是11k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOE 的面积+三角形BOD 的面积+矩形ODCE 的面积 =21×OE ×AE+21×OD ×BD+OD ×DC =21×11k kk ×1kk +21×|-11k kk |×|-1kk |+11k kk ×|-1kk | =21k+21k+k=2k 。
所以，与k 1无关。
B 、结论的具体应用 这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。
下面就举例说明。
例1、如图5，若点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ．例2、两个反比例函数y=x k 和y=x 1在第一象限内的图象，如图6所示，点P 在y=xk的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交y=x 1的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=x1的图象于点B ，当点P 在y=xk的图象上运动时，以下结论：① △ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是例3、如图8，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)ky k x=>的图象于Q ，32OQC S ∆=，则k 的值和Q 点的坐标分别为_________________________.例4、如图9，反比例函数y=x5的图象与直线y=kx （k ＞0）相交于A 、B 两点，AC ∥BC ∥轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位。
(六)、反比例函数与一次函数相交题反比例函数与一次函数，就象一对孪生姐妹，在考题中常常是成对出现，且每次出场都具有不同的色彩。
本文就给出四例，让同学们一起欣赏它们联手的精彩。
1、联手演绎无交点例1、函数xk1y-=的图象与直线x y =没有交点，那么k 的取值范围是： A 、1k > B 、1k < C 、1k -> D 、1k -<2、联手演绎已知一个交点的坐标例2、已知直线mx y =与双曲线xky =的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则m =_____；k =____；它们的另一个交点坐标是______．3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布例3、已知反比例函数y =xa (a ≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数y =-a x +a 的图象不经过．．．（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标例4、在平面直角坐标系xoy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2)A a ，，则k 的值等于 ．(七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积一般地，如图1，过双曲线上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AM 、AN ，，所得矩形AMON 的面积为：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|. 又∵y=xk，∴xy=k. ∴AMON S 矩形=|k|.∴||21k S AOM =∆. 这就是说，过双曲线上任一点，做X 轴、Y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k 的几何意义，明确了k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题： （1）、求函数的解析式例1如图2所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx =+的图象与反比例函数9y x=的图象在第一象限相交于点A ．过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点B 、C ．如果四边形OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．（2）.特殊点组成图形的面积 例2如图3，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．例3如图4，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ．2S =B ．4S =C ．24S <<D ．4S >(3)、求字母的值例4如图5，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4ACOBx图2xy ABO1S 2S 图3图4图5例5如图6，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．(4)、求线段的长度例6如图7，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．(5)、探讨面积的变化例7如图7，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线3y x=（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，OAB △的面积将会（ ）A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小(6).确定自变量的取值范围例8已知一次函数,11+=x y 点P 在反比例函数)0(2 k xky =的图象上,PA ⊥x 轴,垂足为A,PB ⊥y 轴,垂足为B,且四边形AOBP(O 为坐标原点)的面积为2. ⑴求k 值;⑵求所有满足21y y =的x;xyOAB 图8图6yO AC B图7⑶试根据这两个函数的图象,写出满足21y y 的x 的取值范围(只需直接写出结论).例题与练习答案(一)、反比例函数k 的意义代数意义：给出反比例函数图象上一点坐标（x 、y ），则k=xy当x 、y 变为-x 、-y 时，k 不变，可知双曲线的两支关于原点对称。