2015-2016淄博市高一期末数学试卷

2015-2016学年山东省淄博市高1期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共30分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=}，B={x|0＜x＜2}，则（∁U A）∪B=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（1，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x2+1 B．y=cosx C．y=2x D．y=lnx3．（5分）在平行四边形ABCD中，若=，=，则=（）A．（+）B．（﹣）C．（﹣）D．+4．（5分）从甲、乙、丙三人中任选2人作代表，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）某高中学校有男生1800人，女生1500人，为了解该校学生的身高状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中有男生60人，则n为（）A．180 B．150 C．120 D．1106．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．（5分）已知sin（θ+）=，θ∈（﹣，0），则tan（﹣θ）=（）A．B．C．﹣ D．﹣8．（5分）若a＞b＞0，c＞1，则（）A．a c＜b c B．c a＜c b C．log a c＞log b c D．log c a＞log c b9．（5分）过点P（1，2）的直线l将圆x2+y2=9分成两部分，当这两部分的面积之差最大时，直线l的方程为（）A．2x﹣y=0 B．y﹣2=0 C．x+2y﹣5=0 D．x+3y﹣7=010．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆，且每个圆中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．B．4πC．D．11．（5分）过直线y=x上的一点P作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=x对称时，则∠APB=（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则函数F（x）=f（x）﹣a（﹣1＜a＜0）的所有零点之和为（）A．1﹣2﹣a B．2﹣a﹣1 C．2a﹣1 D．1﹣2a二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=3，则输出的a的值为．14．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2，E为BC的中点，则•=．15．（5分）若直线ax+2y+1=0和直线（3﹣a）x﹣y+a=0平行，则实数a=．16．（5分）已知点P，Q为圆C：x2+y2=25上的任意两点，且|PQ|≤8，若PQ的中心点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M内的概率为．三、解答题17．（10分）某学习小组共有6名学生，随机抽取了他们某次考试的成绩作为样本，其茎叶图如图所示，已知样本平均数为83．（1）求图中x的值；（2）若成绩大于样本平均数的学生为优秀生，从这6名学生中任选2人，求恰有1名优秀生的概率．18．（12分）已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t∈R）．（1）若α=，求||最小值；（2）若向量⊥，且﹣与夹角的余弦值为，求t的值．19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AD⊥CD，M，N分别为AC，BC的中点，且△BMC为正三角形．求证：（1）MN∥平面ABD；（2）平面ABD⊥平面ACD．20．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若f（α+）=f（α﹣），且f（α）=f（β），角α，β的终边不共线，求tan（α﹣β）的值．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=ax﹣2a+1（a∈R）．（1）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围．（2）定义区间[m，n]的长度为n﹣m，若函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域区间为D，是否存在常数t，使得区间D的长度为7﹣2t？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．22．（12分）已知圆O：x2+y2=9和点M（1，m）（m∈R）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求m的值及切线的方程；（2）若m=，且经过点M的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|+BD|的最大值及此时四边形ABCD的面积．2015-2016学年山东省淄博市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共30分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=}，B={x|0＜x＜2}，则（∁U A）∪B=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：根据题意，集合A={x|y=}={x|x≤1}，又由全集U=R，则∁U A={x|x＞1}，则（∁U A）∪B={x|x＞0}=（0，+∞），故选：D．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x2+1 B．y=cosx C．y=2x D．y=lnx【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、函数y=x2+1为二次函数，是偶函数但没有零点，不符合题意；对于B、函数y=cosx为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，对于C、函数y=2x为指数函数，是非奇非偶函数，不符合题意；对于D、函数y=lnx为对数函数，是非奇非偶函数，不符合题意；故选：B．3．（5分）在平行四边形ABCD中，若=，=，则=（）A．（+）B．（﹣）C．（﹣）D．+【解答】解：根据题意，设AC与BD相交于点O，则=，=，则=+=﹣=（﹣）=（﹣）；故选：B．4．（5分）从甲、乙、丙三人中任选2人作代表，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵从甲、乙、丙三人中任选2人作代表∴总的事件为=3，∵甲被选中的个数为=2，∴甲被选中的概率为，故选：C．5．（5分）某高中学校有男生1800人，女生1500人，为了解该校学生的身高状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中有男生60人，则n为（）A．180 B．150 C．120 D．110【解答】解：某高中学校有男生1800人，女生1500人，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中有男生60人，则，解得n=110．故选：D．6．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数的图象．故选：A．7．（5分）已知sin（θ+）=，θ∈（﹣，0），则tan（﹣θ）=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：sin（θ+）=，θ∈（﹣，0），可得cos（﹣θ）=，﹣θ∈（），sin（﹣θ）=．tan（﹣θ）==．故选：B．8．（5分）若a＞b＞0，c＞1，则（）A．a c＜b c B．c a＜c b C．log a c＞log b c D．log c a＞log c b【解答】解：由a＞b＞0，c＞1，知：在A中，当1＞a＞b＞0时，a c＞b c，故A错误；在B中，∵a＞b＞0，c＞1，∴c a＞c b，故B错误；在C中，∵a＞b＞0，c＞1，∴log a c＜log b c，故C错误；在D中，∵a＞b＞0，c＞1，∴log c a＞log c b．故选：D．9．（5分）过点P（1，2）的直线l将圆x2+y2=9分成两部分，当这两部分的面积之差最大时，直线l的方程为（）A．2x﹣y=0 B．y﹣2=0 C．x+2y﹣5=0 D．x+3y﹣7=0【解答】解：由于点P（1，2）在圆x2+y2 =9的内部，故所求直线和OP垂直时，直线将圆分成的这两部分的面积之差最大．由于OP的斜率为2，故所求直线的斜率为﹣，再根据所求直线过点P（1，2），可得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+2y﹣5=0，故选：C．10．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆，且每个圆中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．B．4πC．D．【解答】解：由已知三视图得到几何体是球挖去剩下的部分，设球半径为r，由几何体体积为得到，解得r=1，所以几何体的表面积为；故选：A．11．（5分）过直线y=x上的一点P作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=x对称时，则∠APB=（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：显然圆心（5，1）不在直线y=x上．由对称性可知，只有直线y=x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=x，从这点做切线才能关于直线y=x对称．所以该点与圆形连线所在的直线方程为：y﹣5=﹣（x﹣1）即y=6﹣x与y=x联立可求出该点坐标为（3，3），所以该点到圆心的距离为（（5﹣3）2+（1﹣3）2=2切线长、半径以及该点与圆形连线构成直角三角形，又知圆的半径为．所以夹角的一半的正弦值为=所以夹角∠APB=60°故选：C．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则函数F（x）=f（x）﹣a（﹣1＜a＜0）的所有零点之和为（）A．1﹣2﹣a B．2﹣a﹣1 C．2a﹣1 D．1﹣2a【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=，故函数f（x）的图象如下图所示：故关于x的方程f（x）=a，（0＜a＜1）共有5个根：x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2+x4+x5=0，x1+x2+x3+x4+x5=x3，由log2（x3+1）=a得：x3=2a﹣1，故关于x的方程f（x）=a，（0＜a＜1）的所有根之和为2a﹣1，故选：C．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=3，则输出的a的值为17．【解答】解：若输入a=2，b=3，则a＞15不成立，循环，a=2+3=5，则a＞15不成立，循环，a=5+3=8，则a＞15不成立，循环，a=8+3=11，则a＞15不成立，循环，a=11+3=14，则a＞15不成立，循环，a=14+3=17，则a＞15成立，输出a=17．故答案为：17．14．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2，E为BC的中点，则•=2．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•=0，故•=（+）•（+）=（+）•（﹣）=2﹣•+•﹣2=4+0﹣0﹣×4=2，故答案为2．15．（5分）若直线ax+2y+1=0和直线（3﹣a）x﹣y+a=0平行，则实数a=6．【解答】解：∵直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：（3﹣a）x﹣y+a=斜率都存在，∴k1=﹣，k2=3﹣a，∵l1∥l2，∴k1=k2，即，﹣=3﹣a．解得：a=6．故答案为：6．16．（5分）已知点P，Q为圆C：x2+y2=25上的任意两点，且|PQ|≤8，若PQ的中心点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M内的概率为．【解答】解：当|PQ|=8时，圆心到线段PQ的距离d==3．此时M位于半径是3的圆上，∴|PQ|≤8，∴PQ中点组成的区域为M是半径为3的圆与半径为5的圆组成的圆环，即9≤x2+y2≤25，PQ中点组成的区域为M如图所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为；故答案为：．三、解答题17．（10分）某学习小组共有6名学生，随机抽取了他们某次考试的成绩作为样本，其茎叶图如图所示，已知样本平均数为83．（1）求图中x的值；（2）若成绩大于样本平均数的学生为优秀生，从这6名学生中任选2人，求恰有1名优秀生的概率．【解答】解：（1）∵样本平均数为83，∴由茎叶图知：=83，解得x=4．（2）∵成绩大于样本平均数的学生为优秀生，∴由茎叶图得这6名学生中优秀生有3人，从这6名学生中任选2人，基本事件总数n=，恰有1名优秀生包含的基本事件个数m=，∴恰有1名优秀生的概率p=．18．（12分）已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t∈R）．（1）若α=，求||最小值；（2）若向量⊥，且﹣与夹角的余弦值为，求t的值．【解答】解：（1）向量=（1，2），=（cosα，sinα），∴=+t=（1+tcosα，2+tsinα）（t∈R）；当α=时，=（1+t，2+t），∴||===，∴当t=﹣时，||取得最小值为=；（2）向量⊥，则=cosα+2sinα=0①；又﹣=（1﹣cosα，2﹣sinα），且﹣与夹角的余弦值为，∴（﹣）•=|﹣|×||×cosθ，即（1+tcosα）（1﹣cosα）+（2+tsinα）（2﹣sinα）=××②；由①②化简得5﹣t2=，整理得3t4﹣38t2+35=0，解得t2=35或t2=，即t=±或t=±．19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AD⊥CD，M，N分别为AC，BC的中点，且△BMC为正三角形．求证：（1）MN∥平面ABD；（2）平面ABD⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵M，N分别为AC，BC的中点，∴MN∥AB，∵MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴MN∥平面ABD．（2）∵AB⊥BD，M，N分别为AC，BC的中点，∴MN∥AB，∴MN⊥BD，∵△BMC为正三角形，N分BC的中点，∴MN⊥BC，∵BC∩BD=B，∴MN⊥平面BCD，∵CD⊂平面BCD，∴MN⊥CD，∴AB⊥CD，∵AD⊥CD，AB∩AD=A，∴CD⊥平面ABD，∵CD⊂平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD．20．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若f（α+）=f（α﹣），且f（α）=f（β），角α，β的终边不共线，求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），求得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）．（2）f（α+）=f（α﹣），2sin（2α+）=sin（2α），即2cos2α=sin2α，tan2α=．若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），∴2sin（2α+）=2sin（2β+），∴2α++2β+=2kπ+π，k∈z，∴α+β=kπ+，故tan（α+β ）=．tan（α﹣β ）=tan[2α﹣（α+β ）]===﹣．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=ax﹣2a+1（a∈R）．（1）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围．（2）定义区间[m，n]的长度为n﹣m，若函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域区间为D，是否存在常数t，使得区间D的长度为7﹣2t？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g （x2）成立，只需f（x）的值域为g（x）的值域的子集，x∈[1，4]时，f（x）的值域是[﹣1，3]，下面求g（x）的值域；（i）a=0时，g（x）=1是常数，不合题意；（ii）a＞0时，g（x）的值域是[1﹣a，1+2a]，要使[﹣1，3]⊆[1﹣a，1+2a]，当且仅当，解得：a≥2；（iii）a＜0时，g（x）的值域是[1+2a，1﹣a]，要使[﹣1，3]⊆[1+2a，1﹣a]，当且仅当，解得：a≤﹣2；综上，实数m的范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；（2）由题意得，解得：t＜，（i）当t≤0时，在区间[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，故f（t）﹣f（2）=7﹣2t，即t2﹣2t﹣3=0，解得：t=3（舍）或t=﹣1；（ii）0＜t≤2时，在区间[t，4]上，f（4）最大，f（2）最小，故f（4）﹣f（2）=7﹣2t，即2t﹣3=0，解得：t=；（iii）当2＜t＜时，在区间[t，4]上，f（4）最大，f（t）最小，故f（4）﹣f（t）=7﹣2t，即t2﹣6t+7=0，解得：t=3±（舍去），综上，存在实数t满足题意，t=﹣1或．22．（12分）已知圆O：x2+y2=9和点M（1，m）（m∈R）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求m的值及切线的方程；（2）若m=，且经过点M的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|+BD|的最大值及此时四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）由条件知点M在圆O上，∴1+m2=9，m=±2．当m=2时，此时切线方程为：x+2y﹣9=0．当m=﹣2时，此时切线方程为：x﹣2y﹣9=0．（2）设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|OM|2=6，于是|AC|=2，|BD|=2，得|AC|+BD|=2+2则（|AC|+|BD|）2=4（9﹣d12+9﹣d22+2）=4（12+2）=4（12+2）≤4（12+2）=96，（当且仅当d1=d2=时取等号），∴所以|AC|+|BD|的最大值为4，此时四边形ABCD的面积得S ABCD=AC|•|BD|=．。