《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件
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第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量及其应用PPT优秀课件
B
解检因得验为：得：xO=Cx－=1－ ,,y1=,5,y2,=，2或．x=1，y=－2．
M． ．
所所以以向向量量OCOC的的坐坐标标为为(-(1-,12,)2．)．
D
AO
x
例6．如图在 ABC中，已知AB=3 ,AC=2 ,D为BC边的中
点，求 AD BC 的值．
A
分析:本题给出的条件仅是AB,AC 长度,因此问题中的两个向量应与
AB AC
(1) BAC的平分线AD上,(2)高线AE上,(3)中线AF
上 ,(4)BC边的垂直平分线上.
解答:设
uuur uAuBur
uuur AB'
uuur , uAuCur
uuuur AC '
AB
AC
B
B′
D
P
uuur uuuur
uuur uuur
则 AB', AC' 是分别与 AB, AC 同向
同所学以们即点还向P可在量以边P选CA与C择上向其.量它A向P量共进线行,且分P拆为.A也C可的以一设个点三A等，分B点，, C，P的所坐以标点,P利在用边坐A标C上运.算对条件进行化简、变形，同学 们不仿试试看.
变式:设动O点是P满平足面:上O u 一uP u r定点O uu,A u rA ,B,C(是u u A u uB u u rr平 面u u A 上u uC u urr不),共线0 的,三则个点点P在,
B
24 22
1u A u D u r21u A u B u r23u A u D u ru A u B u r 4 88
141163 48
同学们不仿试试,仿照上述例题自己编题解答.
例7．如图,平面上有三个向量 OA ,OB ,OC , OA = OB =1,
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
平面向量的概念及线性运算(课堂PPT)
3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别
《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (向量的加法运算)
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探究三 向量加法的实际应用
[例 3] 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长
江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为
向东 6 km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解析：设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按 南偏东 55°的方向飞行 800 km， 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600 (km)， 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
→ 因为 tan ∠CAB＝|B→C|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.
|AB| 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约ห้องสมุดไป่ตู้ 68°.
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向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的 相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量． (2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题 转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
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1．如图，已知 a、b，求作 a＋b. 解析： ①A→C＝a＋b ②A→C＝a＋b
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探究二 向量加法的运算律 [例 2] (1)化简下列各式： ①A→B＋B→C＋C→D＋D→A； ②(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M. (2)如图，四边形 ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD， CD＝2AB，E 为 CD 的中点．试求： ①A→B＋A→E；②A→B＋A→C＋E→C； ③C→D＋A→C＋D→B＋E→C.
《平面向量的概念》平面向量及其应用 PPT教学课件
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知识梳理
名称 大小 方向
零向量 0
任意的
单位向量 1 规定了方向
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知识点五 向量的关系 预习教材，思考问题 (1)向量由其模和方向所确定．对于两个向量 a，b，就其模等与不等，方向同与不同 而言，有哪几种可能情形？
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探究三 相等向量与共线向量 [例 3] 如图，四边形 ABCD 为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交 点，从中选取两个交点作为向量，则与A→C平行且长度为 2 2的向量个数有________ 个．
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[解析] 如图所示，满足与A→C平行且长度为 2 2的向量有A→F，F→A， E→C，C→E，G→H，H→G，→IJ，→JI共 8 个．
[答案] 8
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相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是 同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向 与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终 点的向量． 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.
[自主检测] )
B．拉力 D．压强
解析：拉力既有大小又有方向，是向量，其余均是数量．
答案：B
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2．下列说法正确的是( ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为 1 的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件优秀课件
(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量.向量a与b相等，记作a=b. (4)平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量，也叫做共线向量.向量a平行于b，记作 a∥b.规定零向量平行于任意向量.
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【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且 |0|=0.0有方向，其方向是任意的.
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②字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b， c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字 母 a，b，c ….
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(3)向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如 a，AB 的模分别记做|a|,| AB |.
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提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征 ，方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是 否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以 只描述其中一个方面不可以.
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【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且 |0|=0.0有方向，其方向是任意的.
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②字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b， c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字 母 a，b，c ….
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(3)向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如 a，AB 的模分别记做|a|,| AB |.
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提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征 ，方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是 否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以 只描述其中一个方面不可以.
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
6.1平面向量的概念课件共45张PPT
即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
第6章平面向量的概念优秀课件PPT
·
返 首 页
·
情 境 导
[解]
(1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有O→D，B→C，A→O，F→E.
课 堂 小
学
结
探 新
(2)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O，A→O，D→A，
·
提 素
知
养
合 A→D.
作
课
探 究
(3)与
a
相等的向量有E→F，D→O，C→B；与
b
素 养
合 米到达 D 点．
作
课
探 究
(1)作出向量A→B，B→C，C→D；
时 分 层
释
作
疑 难
(2)求A→D的模．
业
·
返 首 页
·
情 境
[解] (1)作出向量A→B，B→C，C→D，如图所示：
课 堂
导
小
学
结
探
(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中
·
提
新
素
知 ∠BDC＝90°，BC＝10 2米，CD＝10 米，所以
合
作 探
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
课 时
究
分
释 疑
④向量A→B与C→D是共线向量，则
A，B，C，D
四点必在同一直线上．
层 作
业
难
其中正确命题的序号是________．
·
返 首 页
·
情 境
③ [①错误．若 b＝0，则①不成立；
课 堂
导
小
学
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；
相等向量
长度相等且方向相同 的向量．
平面向量概念ppt课件
其中正确命题是_①___④__⑤__⑥___(填命题的序号)．
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
2．(2014 浙江)记 max{x，y}＝xy，，xx<≥yy，，min{x， y}＝yx，，xx≥<yy，，设 a，b 为平面向量，则( D )
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【学习目标】 1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 理解向量的几何表示． 2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意 义． 3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向 量共线的含义． 4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
【解析】取 AE 的三等分点 M，使 |AM|＝
13|AE|，连结 DM. 设|AM|＝t，则|ME|＝2t. 又|AE|＝14|AC|， ∴|AC|＝12t，|EC|＝9t， ||AADB||＝||AAME||＝13，
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一、向量及其几何意义 例1给出下列命题： ①已知 λ，μ∈R，则(λ＋μ)a 与 a 共线； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与C→D是共线向量，则 A，B，C，D 必在同一 直线上； ④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是A→B＝D→C； ⑤已知 A，B，C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一 点，若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心； ⑥O 是平面内一定点，A，B，C 是平面内不共线的三 个点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ|AA→ →BB|＋|AA→ →CC|，λ∈[0，＋∞)， 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．
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2．(2014 浙江)记 max{x，y}＝xy，，xx<≥yy，，min{x， y}＝yx，，xx≥<yy，，设 a，b 为平面向量，则( D )
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【学习目标】 1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 理解向量的几何表示． 2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意 义． 3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向 量共线的含义． 4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
【解析】取 AE 的三等分点 M，使 |AM|＝
13|AE|，连结 DM. 设|AM|＝t，则|ME|＝2t. 又|AE|＝14|AC|， ∴|AC|＝12t，|EC|＝9t， ||AADB||＝||AAME||＝13，
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一、向量及其几何意义 例1给出下列命题： ①已知 λ，μ∈R，则(λ＋μ)a 与 a 共线； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与C→D是共线向量，则 A，B，C，D 必在同一 直线上； ④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是A→B＝D→C； ⑤已知 A，B，C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一 点，若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心； ⑥O 是平面内一定点，A，B，C 是平面内不共线的三 个点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ|AA→ →BB|＋|AA→ →CC|，λ∈[0，＋∞)， 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT
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)
(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ×
)
(3)向量的模是一个正实数．(× )
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栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．向量的有关概念
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(3)向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如 a，AB 的模分别记做|a|,| AB |.
【思考】 (1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪 方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？
提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征 ，方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是 否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以 只描述其中一个方面不可以.
【加练·固】 (2019·衡阳高一检测)下列说法正确的是 A.有向线段 AB 与 BA 表示同一向量 B.两个有公共终点的向量是平行向量 C.零向量与单位向a量是平行向量 D.对任意向量a， a 是一个单位向量
()
【解析】选C.向量 与 方向相反，不是同一向
量，A错误；
AB BA
有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，B错误；
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点 相同.( ) (2)任意两个单位向量都相等. ( )
(3)平行向量的方向相同或相反. ( )
(4)若
则A，B，C，D四点是平行四边形的四
个顶点.AB＝C(D， )
提示：(1)×.两个有共同起点，且长度相等的向量，方 向不一定相同，其终点也不一定相同. (2)×.任意两个单位向量只是长度相等，方向不一定相 同，故不一定相等. (3)√.由平行向量的定义可知.
A.DA和BC B.DC和AB C.DC和BC D.DC和DA
【解析】选B.结合题干图可知 与 大小相等，
方向相同 向量的概念、零向量与单位向量
【典例】1.(2019·临沂高一检测)以下选项中，都是
向量的是 ( )
A.正弦线、海拔
B.质量、摩擦力
C.三角形的边长、体积
当a=0时， 无意义，D错误；
零向量与任何向量都是平行向量，C正确.
a
a
类型二 相等向量与共线向量 【典例】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形 ABDE是矩形. 世纪金榜导学号
(1)找出与 相等的向量. (2)找出与 AB 共线的向量.
AB
【思维·引】(1)找与 相等的向量，就是找与
长度相等且方向相同的A向B量.
【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且 |0|=0.0有方向，其方向是任意的.
(2)若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？ 提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同. (3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？ 提示：向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行 包括所在直线重合的情况，故也称向量共线.
D.余弦线、速度
2.给出下列说法： ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0； ③零向量的方向是任意的； ④单位向量的模都相等， 其中正确的是________(填序号).
【思维·引】1.紧扣向量的定义解答. 2.紧扣零向量、单位向量的定义解答.
【解析】1.选D.三角函数线、摩擦力、速度既有大小 又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体 积只有大小没有方向，不是向量.
AB
(2)找与 共线的向量，就是找与 方向相同或相
反的向量.
AB
AB
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE
是矩形知，DC,E与D 的A长B 度相等且方向相同，所
以与 AB相等的向量为 DC., ED
2.理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等. (2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向. 提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不 一定相等.
【习练·破】 在下列判断中，正确的是 ( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③长度相等的向量都是单位向量；
(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量 ？ 提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确 定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.
2.特殊向量 (1)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记做0. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单 位向量.
(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量.向量a与b相等，记作a=b. (4)平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量，也叫做共线向量.向量a平行于b，记作 a∥b.规定零向量平行于任意向量.
第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念
1.向量的定义与表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)表示方法：
①几何表示法：用以A为始点，B为终点的有向线段___
表示.
AB
②字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b， c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字 母 a，b，c ….
2.由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由 零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正 确. 答案：②③④
【内化·悟】 1.零向量的大小与方向是怎样的？ 提示：零向量的长度为0，方向任意. 2.所有的单位向量有何共同特征？ 提示：所有的单位向量的长度相等，都是1.
【类题·通】 1.判断一个量是否为向量的两个关键条件 关键看它是否具备向量的两要素： (1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
(4)×.若 则A，B，C，D也可能落在同一条直
线上.
AB＝CD，
2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；
⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中不是向量的有
()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.②③④⑤既有大小，又有方向，是向量 ；①⑥⑦只有大小，没有方向，不是向量.
3.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示 的向量是 ( )
④单位向量都是同方向；
⑤向量 与向量 的长度相等.
A.①②③AB C.①②⑤
B.B①A ③⑤ D.①⑤
【解析】选D.由定义知①正确，②由于两个零向量是 平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具 体方向，故不正确.长度相等的向量其模不一定为1， ③不正确，单位向量的方向不一定相同，④不正确， ⑤正确.