山西省四校2019届高三上学期第二次联考数学理试题
山西省四校2019届高三第二次联考理综
山西省四校2019届高三第二次联考理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分，考试时间150分钟第Ⅰ卷（选择题，共126分）可能用到的相对原子质量：H：1 C: 12 N: 14 O: 16 Na：23 Mg：24Al：27 Cl：35．5 K：39 Fe：56 Cu：64一、选择题：（本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．细胞是生命的基本单位，细胞的特殊性决定了个体的特殊性，因此，对细胞的深入研究是揭开生命奥秘、改造生命和征服疾病的关键。
下列关于细胞结构和功能的叙述中，正确的是（）①蓝藻、霉菌、水绵的细胞不是都含有核糖体、DNA和RNA②人和动物细胞在无氧条件下也能分解有机物，释放能量并产生二氧化碳③能进行光合作用的细胞不一定有叶绿体；无线粒体的细胞不能进行有氧呼吸④抑制细胞膜上载体活性或影响线粒体功能的毒素，会阻碍根细胞吸收矿质离子⑤性激素的合成与内质网有关⑥细菌和植物细胞都有细胞壁，但其主要成分不同⑦在一个细胞周期中，T和U两种碱基被大量利用时，细胞一定处于分裂间期A．①②③④B．④⑤⑥⑦C．①③⑤⑦D．①②④⑥2．某生物兴趣小组为了探究种子贮存的合适条件，做了下列实验，结果如下表。
分析下列说法正确的是（）实验操作方法贮存时间（年）发芽率（%）实验一①500g水稻种子充氮气密封保存 5 95②500g水稻种子普通保存 1 85实验二①500g含水10%的大豆种子于300C环境保存 1 12②500g含水10%的大豆种子于100C环境保存 5 75实验三①500g小麦种子用无水CaCl2吸湿密封保存10 80②500g小麦种子普通保存 1 10A．该实验的目的是研究温度与水对种子贮存和发芽率的影响B．实验一、三中设置的②的实验材料互换对实验结论不会产生影响C．种子发芽率的高低与其贮存过程中发生的生理过程无关D．由该实验可知，种子贮存应注意除湿、去氧，还要有适宜的温度条件3．育种专家在稻田中发现一株十分罕见的“一秆双穗”植株，经鉴定该变异性状是由基因突变引起的。
山西晋中2019年高三第二次四校联考数学(理)试题
山西晋中2019年高三第二次四校联考数学（理）试题〔总分值150分，考试时间120分〕【一】选择题(5×12＝60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号)1、设全集U ＝R ，集合{|24},{3,4},()U A x x B A C B =<≤=⋂则＝ A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4)D.(2,3)∪(3,4]2、复数2(1)1i i+-＝A.1i +B.1i -C.1i --D.1i -+3、等差数列{}n a 各项都不相等，214832a a a a d =+==且，则 A.0 B.12C.2D.0或124、阅读如下图的程序框图，那么输出的S ＝A 、14B 、20C 、30D 、555、从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为A 、6B 、12C 、18D 、246、设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，假设在双曲线右支上存在一点P ，满足2122||||,PF F F F =且到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，那么双曲线离心率为 A.45B.54C.35D.537、向量,||1,||7a b a a b =+=满足，3π=，那么b ｜｜＝A.2B.3D.48、假设椭圆2222+1x y a b=过抛物线28y x =的焦点，且与双曲线221x y -=有相同的焦点，那么该椭圆的方程为A.22+142x y =B.22+13x y =C.22+124x y =D.22+13y x = 9、将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，那么所得的图象的解析式为 A.5sin(2)()12yx x R π=+∈ B.5sin()()212x y x R π=+∈C.sin()()212x y x R π=-∈D.5sin()()224x y x R π=+∈ 10、函数xx y ||log 2=的图象大致是⎩⎪⎨⎪⎧-2≤−→OM ·−→OA ≤21≤−→OM ·−→OB ≤2，那么−→OM ·−→OC 的最大值为 A.1B.-1C.4D.-412、定义域为R 上的函数)(,2),2()2()(x f x x f x f x f 时当满足<--=+单调递增，假如)()(,0)2)(2(,4212121x f x f x x x x +<--<+则且的值A 、可能为0B 、恒大于0C 、恒小于0D 、可正可负【二】填空题:(本大题共4小题,每题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上) 13、那么实数k 的取值范围为、62)21(x x -的展开式中，x 5的系数为、14、在15、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .假设(3b －c )cos A ＝a cos C ，那么cos A ＝________、 16、()x f 是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x -<-，且()x f 的最大值为1，那么满足()1log 2<x f 的解集为、17、〔本小题总分值10分〕 函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2、 (Ⅰ)求函数)(x f 的对称轴方程和最小正周期；(Ⅱ)求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的最大值和最小值、 18、〔本小题总分值12分〕数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且*(1)()2n n n a a S n N +=∈ 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设121,...2n n n nb T b b b S ==+++，求n T 、 19、〔本小题总分值12分〕高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第【一】第二两小组各任选2人分析选课情况.〔Ⅰ〕求选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率；〔Ⅱ〕设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望、 20、〔本小题总分值12分〕 函数1()ln(1)f x a x x=++、 〔Ⅰ〕当2a =时，求()f x 的单调区间和极值；〔Ⅱ〕假设()f x 在[2，4]上为增函数，求实数a 的取值范围、21、〔本小题总分值12分〕椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上的任意一点到它的两个焦点)0,(1c F -，)0,(2c F )0(>c 的距离之和为22，且其焦距为2、〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕直线0=+-m y x 与椭圆C 交于不同的两点Ａ，Ｂ、问是否存在以Ａ，Ｂ为直径的圆过椭圆的右焦点2F 、假设存在，求出m 的值；不存在，说明理由、 22、〔本小题总分值12分〕 函数()ln()x f x e a =+〔a 为常数，e 是自然对数的底数〕是实数集R 上的奇函数，函数xx f x g sin )()(+=λ是区间[－1，1]上的减函数、 〔Ⅰ〕求a 的值；〔Ⅱ〕假设2()1g x t t λ≤++在[1,1]x ∈-及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围； 〔Ⅲ〕试讨论函数m ex x x f xx h -+-=2)(ln )(2的零点的个数、 2018届高三年级第二次四校联考数学参考答案〔理〕【一】选择题 1、C 2、D 3、B 4、C 5、D 6、D 7、A 8、A 9、B 10、A 11、C 12、C 13.［1，3］14.-160 15、3 16、1,44⎛⎤⎥⎝⎦17.解(Ⅰ)1)62sin(2122cos 12sin 23)(--=-+-=πx x x x f 〔3分〕 那么)(x f 的对称轴是，k ∈Z,最小正周期是是ππ==22T .〔5分〕 (Ⅱ〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4ππx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴3,3262πππx 〔8分〕 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-23,1)62sin(πx ，因此最大值为123-，最小值为-2.〔10分〕 18.解：〔Ⅰ〕∵(1)2n n na a S +=，∴22n n n S a a =+① 21112(2)n n n S a a a ---=+≥②由①－②得：22112n n n n n a a a a a --=-+-(2分)11()(1)0n n n n a a a a --+--=，∵0n a > ∴11(2)n n a a n --=≥，又∵1111(1)2a a a S +==，∴11a = ∴1(1)(2)na a n d n n =+-=≥---------------(5分)当1n =时，11a =，符合题意.n a n =----------〔6分〕 〔Ⅱ〕∵(1)(1)22n n na a n n S ++==∴111(1)1n b n n n n ==-++-----〔10分〕 那么11111111223111nnT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++---------(12分) 19、解：〔Ⅰ〕设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A ，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B.由于事件A 、B 相互独立，且25262()3C p A C ==,24262()5C P B C ==.…………………4分因此选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=……………………………6分〔Ⅱ〕设ξ可能的取值为0,1,2,3.得κπ π + =3 x24(0)15P ξ==, 21112552442222666622(1)45C C C C C P C C C C ξ===+=, 15226611(3).45c p c c ξ===2(2)1(0)(1)(3)9p p p p ξξξξ==-=-=-==……………9分 ξ的分布列为∴ξ的数学期望012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………12分 20.解：〔1〕由010()(1,0)(0,)x x fx ≠+>-⋃+∞且得函数的定义域为，〔2分〕又22221121(1)(21)()1(1)(1)x x x x f x x x x x x x ---+'=-+==+++，由()f x '>0得 ，因此()f x 的单调增区间为1(1,)(1,)2--+∞和，单调递减区间为1(0)(01)2-，和，.〔4分〕()f x 和()f x '随x 的变化情况如下表：由表知()f x 的极大值为极小值为(1)12ln 2f =+.--〔6分〕〔Ⅱ〕221()(1)ax x f x x x --'=+，假设()f x 在区间[2，4]上为增函数，那么当[2,4]x ∈时，()0f x '≥恒成立，即2210(1)ax x x x --≥+，----------------------------------------〔8分〕21、解：〔Ⅰ〕依题意可知⎩⎨⎧==22222c a又∵222c a b -=，解得⎩⎨⎧==12b a ——————————————————〔2分〕那么椭圆方程为1222=+y x 、—————————————————————〔4分〕 〔Ⅱ〕联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+,0,1222m y x y x 消去y 整理得：0224322=-++m mx x 〔6分〕那么0)3(8)22(1216222>+-=--=∆m m m解得33<<-m ①————————————————————〔7分〕解得m =—〔11分〕 检验都满足①，∴m =〔12分〕22.解：〔Ⅰ〕)ln()(a e x f x +=是奇函数，那么)ln()ln(a e a e x x+-=+-恒成立、∴()() 1.xx ea e a -++=即211,x x ae ae a -+++=∴()0,0.xxa e ea a -++=∴=……………4分〔Ⅱ〕由〔I 〕知(),f x x =∴()sin g x x x λ=+∴'()cos g x x λ=+又)(x g 在[－1，1]上单调递减，0)(≤'x g 在[－1，1]上恒成立。
山西省2018-2019年高三第二次诊断考试数学试题(理)及答案
山 西 省2018-2019年度高三第二次诊断考试数学（理）试题考生注意：1．本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在本试卷上，否则无效。
4．回答第II 卷时，须用0.5毫米黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡上相对应的答题区域内，写在本试题上无效。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|31,},{|5,},A x x k k N B x x x Q A B ==+∈=≤∈则等于A ．{1，2，4}B ．{1，2，5}C ．{1，4，5}D ．{1，2，4，5}2．已知角α的终边经过点4(,3),cos ,5P m m α-=-且则等于A ．114-B ．114C ．—4D ．43．已知A ．000,sin x x x ∃∈<RB ．000,sin x x x ∃∈≤RC ．,sin x x x ∀∈≤RD ．,sin x x x ∀∈<R4．函数ln(1)y x =-的大致图象为5．1tan12tan12ππ-等于A ．4B ．—4C ．23D ．—236．设2()()(0)11f x x ax bx c a x x =++≠==-在和处无有极值，则下列点中一定在x 轴上的是A ．(,)a bB ．(,)a cC ．(,)b cD ．(,)a b c +7．定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如图所示，则在（-2，0）上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是A ．21y x =+B ．||1y x =+C ．321(0)1(0)x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．(0)(0)x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩8．函数()s i n ()(0,||)2f x A x A πωϕϕ=+><其中的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移4π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度9．若0,2x π<<则“1sin x x <”是“1sin x x>”A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件10．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于A ．89 B ．109 C ．169D ．28911．已知2223tan tan 1()[0,]21tan x x f x m x xπ+-=-∈+在上有两个不同的零点，则m 的取值范围为 A ．（-1，2）B ．[1,2)C ．[2,2)D ．[3,2)12．已知函数211()()1x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的*,()3x N f x ∈≥恒成立，则a 的最小值等于 A ．83-B ．—3C ．423-+D ．-6第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上。
山西省四校2019届高三上学期第二次联考理科综合试题
2019 届高三年级第二次四校联考理综试题命题：康杰中学临汾一中长治二中忻州一中本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分，考试时间150分钟第Ⅰ卷（选择题共126 分）可能用到的相对原子质量H=1 C=12 N=14 O =16 Na=23 S=32 Cu=64 Ba=137一、选择题：（本题共13小题，每小题6 分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．有关酶和 ATP 的说法正确的是A．所有酶均在核糖体上合成B．检测蛋白酶的催化作用可用双缩脲试剂检验反应物是否完全分解C ．有机物氧化分解释放出的能量少部分转移到A TP 中D ．在ATP 中A 代表腺苷，P 代表磷酸基团，T 代表三个高能磷酸键 2．以下是某种分泌蛋白的合成过程示意图，下列相关叙述中正确的是A ．此过程有水生成，主要发生在细胞核中B．①上面所有的碱基都需要与③上相应的碱基配对C ．④形成后即进入高尔基体加工，然后分泌出细胞D．①上通常可以相继结合多个②3．右图 A、B、C代表不同的种群，已知 A 和 B原本属于同一物种，都以物种 C 作为食物来源。
由于地理隔离，且经过若干年的进化，现在不太清楚 A 和 B 是否还属于同一物种。
下列有关说法正确的是A．若A 和B在一起还能进行自由交配，则他们就一定不存在生殖隔离B．A 和B 的关系一定为竞争C．若A 和B 仍然为同一物种，则它们具有共同的基因库D．A 和B 种群基因频率的定向改变，导致了它们朝着一定方向进化 4．下列有关生物实验方法的描述正确的是A．用32P、35S 同时标记噬菌体，侵染未标记的大肠杆菌，证明了DNA 是遗传物质B．孟德尔设计的测交实验属于假说一演绎法的演绎内容C．采用差速离心法将大肠杆菌的各种细胞器分离开D ．探究促进生根的最适NAA 浓度需要做预实验，其目的是减小实验误差 5．下图是人体某组织结构示意图，①②③④分别表示人体内不同部位的液体。
2019届山西省五地市高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)
2019届山西省五地市高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题 1．若复数z 满足221zi =+（）1﹣i ，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】直接计算复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案． 【详解】 由题意可知，212zi i=-， (1)1z i i i ∴=-=+，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，∴复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故选：A ． 【点睛】本题考查了复数的代数形式的运算及其几何意义，是基础题．2．已知集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣3≤0}，N ＝{x ||x |（x ﹣2）＞0}，全集U ＝R ，则下列关于集合M ，N 叙述正确的是（ ） A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝NC ．（∁U M ）∩N ＝∅D ．N ⊆（∁U M ）【答案】D【解析】可以求出集合M ，N ，然后进行交集、并集和补集的运算，从而判断出每个选项的正误． 【详解】Q 3{|1},{|2}2M x xN x x =-=>剟，U =R ， {|1U C M x x ∴=<-或3}2x >∴3,|12M N M N x x x ⎧⎫=∅=-≤≤>⎨⎬⎩⎭I U 或2，(){|2}U M N x x N =>=I ð，()U N M ⊆ð．故选：D ． 【点睛】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的混合运算，子集、空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．3．双曲线2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的一个顶点到一条浙近线的距离等于243a c，则双曲线的离心率为（ ） A ．54BC ．53D【答案】C【解析】先求解双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式，可求离心率. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为by x a=±，不妨设一个顶点为(,0)a ，243c a =，22222169b a b a c =+， 因为222b c a =-，代入解得53e =. 故答案为：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据题意构建,,a b c 的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知等差数列{a n }，a 1＝2，若a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列，则S 10＝（ ） A ．852B ．132C ．﹣70或852D ．﹣16或132【答案】A【解析】先a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列求出等差数列的公差，结合求和公式可得. 【详解】设等差数列的公差为d ，因为a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列，所以()()231628a a a +=+，()()2242510d d +=+，解得12d =或2d =-， 当2d =-时，320a +=与等比数列不符，舍去； 当12d =时，10109185102222S ⨯=⨯+⨯=；故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合，等差数列的求和的关键是确定基本量，侧重考查数学运算的核心素养.5．已知实数,x y 满足约束条件121x y x y y a +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数3z x y =-的最大值为2，则a的值为（ ） A ．-1 B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由约束条件作出可行域如图所示，其中(1,)A a a --，1(,)2a B a +，(0,1)C -，目标函数3z x y =-可化为3y x z =-，当直线过点B 时z 最大，所以3(1)22a a +-=，解得1a =，故选:C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A【解析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系． 【详解】解：因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1，∴c ＜a ＜b ． 故选A ． 【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．1433B ．1333C ．43D ．33【答案】C【解析】先通过三视图还原几何体，再利用棱锥的体积公式求解. 【详解】根据三视图可知，该几何体可由一个大正四棱锥挖去一个小正四棱锥而得，如图所示，2233332⎛⎫-=⎪⎝⎭几何体的体积为22132133314333⨯-⨯= 故选C. 【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的体积，一般步骤是根据三视图还原出原几何体的形状，得出几何体中各量的大小，再求几何体的体积. 注意三视图中正视图与侧视图能够反映几何体的高.8．函数f （x ）101101x x -=+（）lgx 2的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】结合所给函数的性质及特殊值可求. 【详解】因为()22()101110()()lg ()lg 101110x x x xf x f x x x --+==----=-+，所以()f x 为奇函数，排除选项C ；当10x =时，(10)2f ≈，排除选项D ；当0.1x =时，(0.1)0f ≈，排除选项A. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，利用函数性质结合特殊值是常用求解方法，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养. 9．已知角α4π+的终边与单位圆x 2+y 2＝1交于P （x 0，13），则sin 2α等于（ ） A ．19B ．79-C ．23-D ．13【答案】B【解析】先根据三角函数的定义求解sin()4πα+，然后利用倍角公式可得.【详解】 因为角4πα+的终边与单位圆x 2+y 2＝1交于P （x 0，13），所以1sin()43πα+=， 即2sin cos αα+=，212sin cos 9αα+=，所以7sin 29α=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，熟记倍角公式和基本关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-【答案】D【解析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案． 【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．11．已知抛物线()2:80C y ax a =>的焦点F 与双曲线()22:102x y D a a a-=>+的焦点重合，过点F 的直线与抛物线C 交于点,A B ，则2AF BF +的最小值为（ ） A．3+B．6+C ．7D ．10【答案】B【解析】由双曲线方程求出焦点坐标，设AB 的方程为：2x my =+，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合基本不等式求||2||AF BF +的最小值．【详解】由题意得，2a =1a =，则(2,0)F ，设AB 的方程为：2x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，得28160y my --=．设211(,)8y A y ，22(8y B ，2)y ，则1216y y =-． 222212122||2||22(2)6888y y y y AF BF +∴+=+++=+66+=+…当且仅当22122y y =，即12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质、考查直线与抛物线位置关系的应用、基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．12．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 是线段A 1C 的中点，则△ADE 在翻折过程中，下列命题：①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ③点M 的运动轨迹是一个圆； ④存在某个位置，使得MB ⊥面A 1DE . 正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】利用翻折过程中的不变关系进行逐个验证. 【详解】取CD 的中点F ，连接,MF BF ，则1//,//MF A D BF DE ， 所以平面//BMF 平面1A DE ，所以//MB 平面1A DE ，故④不正确； 不妨设2AB a =，因为11=A D A E ，所以14A DE MFB π∠=∠=，11=22aMF A D =是定值，=2BF DE a =也是定值，由余弦定理可知MB 也是定值，故①正确，③不正确，因为M 在以B 为球心的球面上；由题意可得=2DE CE a =，2CD a =，所以222CD DE CE =+，即DE CE ⊥;若②成立，可得DE ⊥平面1A EC ，此时1DE A E ⊥，矛盾，故②不成立； 故选：A.【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，翻折问题的处理要明确，翻折过程中哪些量发生变化是关键，侧重考查直观想象的核心素养.二、填空题13．已知向量a =r （x ，2），b =r （﹣2，1），若a r 与2a b -r r 共线，则b a=r r _____. 【答案】12. 【解析】根据平面向量共线定理列方程求出x 的值，再计算||||b a r r 的值．【详解】向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，则2(22,3)a b x -=+rr ，又a r与2a b -rr共线，所以32(22)0x x -+=，4x =-，所以2a b =r r ，即12b a =r r ，所以||1||2b a =rr ．故答案为：12． 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．14．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，其前n 项和为S n ，且S 2＝6，S 4＝30，数列{b n }满足b n ＝log 2a n 2﹣1，则数列{11n n b b +}前n 项和T n ＝_____.【答案】21nn +. 【解析】先根据S 2＝6，S 4＝30，求出n a ，然后可求n b ，利用裂项求和可得n T . 【详解】因为S 2＝6，S 4＝30，所以234422124a a S S q S a a +-===+， 因为0q >，所以2q =；由2121(1)6S a a a q =+=+=得12a =，所以2nn a =；22log 121n n b a n =-=-，()()111111()212122121n n b b n n n n +==--+-+， 所以11111111(1)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++L . 故答案为：21nn +. 【点睛】本题主要考查数列的求和，求和问题一般是根据通项公式的特点选择合适的求和方法，侧重考查数学运算的核心素养.15．一个五位自然数12345a a a a a 数称为“跳跃数”，如果同时有12233445a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＞＜＜＞或12233445a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＞＜＞＜（例如13284，40329都是“跳跃数”，而12345，54371，94333都不是“跳跃数”），则由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，4不相邻的“跳跃数”共有_____个. 【答案】14【解析】根据1，4不相邻及“跳跃数”的特点分类进行求解. 【详解】 若为“M ”型：①第二位和第四位是4、5时，4、5的排法有2种，则1只有1种排法，2、3安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数； ②第二位和第四位是3、5时，3、5的排法有2种，则4只有1种排法，1、2安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数； 若为“W ”型：③第二位和第四位是1、2时，1、2的排法有2种，则4只有1种排法，3、5安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数；④第二位和第四位是1、3时，1、3的排法有2种，此时只有2个跳跃数； 则一共有4+4+4+2＝14个跳跃数； 故答案为：14. 【点睛】本题主要考查排列问题，限制条件较多的排列问题一般是先分类再分步处理，注意要优先考虑特殊元素和特殊位置，侧重考查逻辑推理的核心素养.三、解答题16．已知函数()xae f x x =，[]1,2x ∈，且[]12,1,2x x ∀∈，12x x ≠，()()12121f x f x x x <--恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】24e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】先由()()12121f x f x x x <--恒成立，得到()()1122120---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦<-f x x f x x x x 恒成立，令()()g x f x x =-，得到()()12120g x g x x x -<-在[]1,2x ∈上恒成立，所以函数()()g x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，对函数求导，得到()2110--≤x ae x x在[]1,2x ∈上恒成立，推出()21≤-x x a x e 在(]1,2x ∈上恒成立，令()2()1=-x x h x x e，用导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果. 【详解】因为[]12,1,2x x ∀∈，12x x ≠，()()12121f x f x x x <--恒成立，即()()121210--<-f x f x x x 恒成立，即()()1122120---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦<-f x x f x x x x 恒成立， 令()()g x f x x =-，则()()12120g x g x x x -<-在[]1,2x ∈上恒成立，即函数()()g x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，又()221()()111--''=-=-=-x x xae x axe ae g x f x x x，因此()2110--≤x ae x x在[]1,2x ∈上恒成立， 当1x =时，不等式可化为10-≤显然成立；当(]1,2x ∈时，不等式()2110--≤x ae x x 可化为()21≤-x x a x e ， 令()2()1=-x x h x x e，则()()()()23322222222(1)22()0111--+---+-'===<---x xxxxx x x x x e x e x x xh x x ex ex e在区间(]1,2x ∈上恒成立，所以函数()2()1=-x x h x x e 在区间(]1,2x ∈上单调递减，因此min 24()(2)==h x h e ，所以24≤a e ，即实数a 的取值范围是24e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，. 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数，熟记导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.17．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，cos cos 0c A C +=，3tan(20192)4A π+=. （1）求tan C 的值；（2）若C 为钝角且c =△ABC 的周长的取值范围. 【答案】（1）（2）（2【解析】（1）先根据条件求解tan A ，然后结合正弦定理可得tan C ；（2）求解角C ，结合正弦定理表示出三角形的周长，结合角的范围可得周长的取值范围. 【详解】（1）因为3tan(20192)4A π+=， 所以22tan 3tan 21tan 4A A A ==-.A ∈（0，π）.解得1tan 3A =或tan 3A =-. 因为cos 33cos 0c A a C +=，所以sin cos 33sin cos 0C A A C +=， 所以tan 33tan 3C A =-=-或93.（2）若C 为钝角，所以tan 3C =-，C ∈（0，π）. 所以23C π=. 又3c =，所以A +B 3π=，322sin sin sin 3a b A B π===. 所以2sin ,2sin a A b B ==.△ABC 的周长＝2sin 2sin 3A B ++2sin 2sin()33A A π=+-+2sin()33A π=++A ∈（0，3π），A 3π+∈（3π，23π），所以3sin()(,1]3A π+∈. 所以△ABC 的周长的范围为(23,23]+. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理求解三角形，三角形中的范围问题一般是转换为角的表达式，然后根据角的范围求解，侧重考查数学运算的核心素养.18．如图所示的多面体ABCDEF 满足：正方形ABCD 与正三角形FBC 所在的两个平面互相垂直，FB ∥AE 且FB ＝2EA ．（1）证明：平面EFD ⊥平面ABFE ； （2）求二面角E ﹣FD ﹣C 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）155-【解析】（1）先证明AB ⊥平面BCF ，然后可得平面EFD ⊥平面ABFE ； （2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，然后利用向量的夹角公式可求. 【详解】（1）由题可得，因为ABCD 是正方形且三角形FBC 是正三角形，所以BC ∥AD ，BC ＝AD ，FB ＝BC 且∠FBC ＝60°，又因为EA ∥FB ，2EA ＝FB ，所以∠EAD ＝60°，在三角形EAD 中，根据余弦定理可得：ED ⊥AE.因为平面ABCD ⊥平面FBC ，AB ⊥BC ，平面ABCD ∩平面FBC ＝BC ，且AB ⊆平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCF ，因为BC ∥AD, E A ∥FB ，FB ∩BC ＝B ，且FB 、BC ⊆平面FCB ，EA 、AD ⊆平面EAD ，所以平面EAD ∥平面FBC ，所以AB ⊥平面EAD ， 又因为ED ⊆平面EAD ，所以AB ⊥ED ，综上：ED ⊥AE ，ED ⊥AB ，EA ∩AB ＝A 且EA 、AB ⊆平面ABFE ，所以DE ⊥平面ABFE ， 又DE ⊆平面DEF ，所以平面EFD ⊥平面ABFE.（2）如图，分别取BC 和AD 的中点O ，G ，连接OF ，OG ， 因为BO ＝OC 且三角形FBC 为正三角形，所以FO ⊥BC ， 因为AG ＝GD ，BO ＝OC ，所以OG ∥AB ，由（1）可得，AB ⊥平面FBC ，则OG ⊥平面FBC ，故OF 、OB 、OG 两两垂直，分别以OB 、OG 、OF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝4，则(()0023200F C -，，，，，，()(240143D E ---，，，，， 设平面DEF 的法向量为()111n x y z =r ，，，平面DCF 的法向量为()222m x y z =u r，，，则00DF n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v⇒1111124030x y x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩⇒(11n =r，，， 则00DF m DC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u uv r⇒222224040x y y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩⇒)1m =-ur ，，所以cos 5n m n m n m ⋅===r u rr u r r u r ， 又二面角E ﹣FD ﹣C 是钝二面角，所以二面角E ﹣FD ﹣C的余弦值为. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明及二面角的求解，空间向量是求解二面角的最有效工具，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养.19．2022年北京冬季奥运会即第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4至2月20日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学学生中抽取了120人进行调查，经统计男生与女生的人数之比为11：13，男生中有30人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人表示对冰壶运动没有兴趣.（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰壶有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望和方差.附：参考公式22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（）（）（）（）（），其中n ＝a +b +c +d.临界值表：【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”（2）详见解析【解析】（1）先根据比例关系求解男女同学的人数，完成表格，求解观测值得出结论；（2）根据二项分布的特点求解分布列和期望、方差.【详解】（1）因为男生与女生的人数之比为11：13，且总人数为120，所以男生共有55人，女生共有65人；表格如下：根据表格求出K22120301525509606.713 6.63555654080143⨯-⨯==≈⨯⨯⨯（）＞，故有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”.（2）由列表可知，对冰壶有兴趣的学生频率为8021203=，将其视为概率，由题意X～B（5，2），E（X）＝np210533=⨯=，D（x）＝npq21105339=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查独立性检验和随机变量的分布列、期望和方差，利用特殊分布的公式能简化求解过程，侧重考查数据处理的核心素养.20．已知椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率e 2=，且点P ，1）在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，点M （s ，t ）（t ＞0）是椭圆C 上的动点，直线AM 与y 轴交于点D ，点E 是y 轴上一点，EF ⊥DF ，EA 与椭圆C 交于点G ，若△AMG 的面积为，求直线AM 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）x ﹣2＝0【解析】（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，可以求解方程；（2）设出直线方程，联立方程组，结合三角形的面积为可得直线斜率，从而可得方程. 【详解】（1）由题意得e 2c a ==，22211a b +=，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2， 所以椭圆的方程：22142x y +=.（2）由（1）得左焦点F （0），A （2，0），设直线AM ：y ＝k （x ﹣2），由题意得D （0，﹣2k ），∴k DF==，∵EF ⊥DF ，∴k EF=∴直线EF 的方程：x = 令x ＝0，则y 1k=，所以点E （0，1k ），所以k EA 1122kk==--， 所以直线EA ：x ＝﹣2ky +2，联立与椭圆的方程整理得：∴y 22842412k kk k ==++，x 222412k k-=+，所以点G （222412k k -+，2412k k +）； 联立直线AM 与椭圆的方程整理得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣4＝0，解得：x 1＝2，x 2224212k k-=+，∴y 22412k k =-+，所以点M （224212k k -+，2412k k -+）， 所以点M ，G 关于原点对称，即直线MG 过原点，∴S △AMG 12OA =⋅⋅2|y M |22881221212k k k k =⋅⋅=++，由题意得：2812k k=+，解得：k =，由点M （s ，t ）（t ＞0）得，k 2=-AM 为：y 2=-（x ﹣2），即直线AM ：x +﹣2＝0.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，明确三角形面积的转换方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 21．已知2()e ,()e ax x f x x g x ==.（1）若()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a ≥；（2）(0,1).【解析】（1）利用等价转化，求解2ln x xy x+=的最大值即可； （2）把()()f x g x =的解的情况等价转化为2ln x xa x+=有两解，结合图象变化趋势可求. 【详解】（1）因为2()e ,()e ax x f x x g x ==.若x ≤0时，f （x ）≤0，g （x ）＞0，f （x ）≤g （x ）恒成立； 若x ＞0，f （x ）≤g （x ）恒成立等价为2e e x ax x ≤，即2ln x x x a +≤，即有max 2ln ()x xa x+≥， 设2ln ()x x h x x +=， 312ln ()x xh x x--'=， 令2()12ln ,()10u x x x u x x'=--=--<，可得()u x 在x ＞0递减，当x ＞1时，()(1)0u x u <=，即()0h x '<，()h x 在x ＞1递减；当0＜x ＜1时，()(1)0u x u >=，即()0h x '>，()h x 在0＜x ＜1递增， 则()h x 在x ＝1处取得极大值，且为最大值1，max ()(1)1h x h ==， 所以1a ≥.（2）若x ≤0时，()0,()0f x g x ≤>，()()f x g x =无解； 当x ＞0时，()()f x g x =恒成立等价为2e e x x a x =，即2ln x x x a +=，即有2ln x xa x +=有两解， 设2ln ()x xh x x +=， 由（1）可知()h x 在x ＝1处取得极大值，且为最大值1，max ()(1)1h x h ==， 且x →+∞，()0h x →，当,()x h x →-∞→-∞，可得0＜a ＜1时，关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的解， 故a 的范围是(0,1). 【点睛】本题主要考查恒成立问题及利用导数研究函数的性质，恒成立问题一般转化为最值问题，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.22．在平面直角坐标系xOy 中.直线1的参数方程为112x y a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ. （1）若曲线C 关于直线l 对称，求a 的值； （2）若A 、B 为曲线C 上两点.且∠AOB 3π=，求|OA |+|OB |的最大值.【答案】（1）a ＝0（2）【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及极径的应用求出结果． 【详解】（1）直线1的参数方程为112x y a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.转换为直角坐标方程为x 10--=.曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，整理得ρ2＝2ρcosθ，转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝2x ，转换为（x ﹣1）2+y 2＝1.由于曲线关于直线l 对称，所以圆心（1，0）在直线l 上， 故a ＝0.（2）由点A 、B 在圆ρ＝2cosθ上，且∠AOB 3π=，所以设∠AOx ＝α，02πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，3BOx π∠α=-，则：|OA |+|OB |＝2cos 233cosππααα+-=+≤（）（），当且仅当6πα=时，等号成立.故OA |+|OB |的最大值为【点睛】本题主要考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +2|. （1）若a ＝1.解不等式f （x ）≤x 2﹣1；（2）若a ＞0，b ＞0，c ＞0.且f （x ）的最小值为4﹣b ﹣c .求证：112a b c+≥+. 【答案】（1）{x |x ≤﹣2或x≥1（2）证明见解析 【解析】（1）对绝对值函数进行分段讨论，解不等式即可；（2）求出()f x 的最小值，得到2a b c ++=，利用柯西不等式证明即可． 【详解】（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|+|x +2|212321211x x x x x --≤-⎧⎪=-⎨⎪+≥⎩，，＜＜，， 当x ≤﹣2时，﹣2x ﹣1≤x 2﹣1，得x 2+2x ≥0，所以x ≤﹣2； 当﹣2＜x ＜1时，3≤x 2﹣1，得x 2≥4，无解当x≥1时，由2x+1≤x2﹣1，得x2﹣2x﹣2≥0，得x≥1综上，不等式的解集为{x|x≤﹣2或x≥1；（2）证明：因为f（x）＝|x﹣a|+|x+2|≥|x﹣a﹣x﹣2|＝|a+2|＝a+2＝4﹣b﹣c，得a+b+c＝2，所以11a b c+=+21111(1122a b ca b c+++≥+=+)[(）]（）2，当且仅当a+b＝c＝1时成立，故原命题得证.【点睛】考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．第 21 页共 21 页。
2019年山西省高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2019年山西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案） 1．已知全集U=R ，A={x |x 2﹣2x ＜0}，B={x |x ≥1}，则A ∪（∁U B ）=（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣∞，1） C ．（﹣∞，2） D ．（0，1） 2．已知复数，则（ ）A ．z 的共轭复数为1+iB ．z 的实部为1C ．|z |=2D ．z 的虚部为﹣13．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为（ ）A ．a=45，c=15B ．a=40，c=20C ．a=35，c=25D ．a=30，c=30 4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4033是函数的极值点，则log 6a 2017=（ ） A ．1 B ．2 C ． D ．﹣15．已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域上一个动点，则•的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．06．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（）A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.1517．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A．B．C．或D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B． C．7 D．9．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A．60 B．72 C．84 D．9610．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．11．已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，直线l：y=kx﹣kc．若k=，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若k=，则l与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为（）A．（1，2）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，16）12．已知函数，如在区间（1，+∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得比值==…=成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{2，3，4}二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知=（，），=（2cosα，2sinα），与的夹角为60°，则|﹣2|=．14．已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为．（用数字作答）15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为．（容器壁的厚度忽略不计）16．对于正整数n，设x n是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记a n=[（n+1）x n]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）=．三．解答题17．如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．18．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份的市场占有率；（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，=17.5．参考公式：回归直线方程为其中=，=﹣．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且．（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点A（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能在直线y=上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2﹣x．（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2h（x2）﹣x1＞0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）求不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集．（Ⅱ）设a，b，均为正数，，证明：h≥2．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1．已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁U B）=（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．（0，1）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R及B，求出B 的补集，找出A与B补集的并集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0＜x＜2，∴A=（0，2），∵全集U=R，B={x|x≥1}，∴∁U B=（﹣∞，1），则A∪（∁U B）=（﹣∞.2），故选：C．2．已知复数，则（）A．z的共轭复数为1+i B．z的实部为1C．|z|=2 D．z的虚部为﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简复数为：a+bi的形式即可判断选项． 【解答】解：复数==﹣1﹣i ，可得，复数的虚部为：﹣1． 故选：D ．3．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为（ ）A ．a=45，c=15B ．a=40，c=20C ．a=35，c=25D ．a=30，c=30 【考点】BO ：独立性检验的应用． 【分析】根据题意，a 、c 相差越大，与相差就越大，由此得出X 与Y 有关系的可能性越大．【解答】解：根据2×2列联表与独立性检验的应用问题， 当与相差越大，X 与Y 有关系的可能性越大；即a 、c 相差越大，与相差越大；故选：A ．4．正项等比数列{a n}中的a1，a4033是函数的极值点，则log6a2017=（）A．1 B．2 C．D．﹣1【考点】88：等比数列的通项公式；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f′（x）=x2﹣8x+6，由正项等比数列{a n}中的a1，a4033是函数的极值点，利用韦达定理得a1×a4033=6，从而a2017．=，由此能求出log【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣8x+6，∵正项等比数列{a n}中的a1，a4033是函数的极值点，∴a1×a4033=6，∴=，∴log6a2017=．故选：C．5．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上一个动点，则•的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=•，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=•，∵A（﹣1，1），M（x，y），∴z=•=﹣x+y，即y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当y=x+z，经过点B（0，2）时，直线截距最大，此时z最大为z=﹣0+2=2．故选：B．6．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（）A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.151【考点】EF：程序框图．【分析】我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的x，y，z，求x2+y2+z2＜1的概率，计算x2+y2+z2＜1发生的概率为=，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为=，当输出结果为521时，i=1001，m=521，x2+y2+z2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.126，故选B．7．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A．B．C．或D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】当点A在第一象限，通过抛物线定义及|AF|=2|BF|可知B 为CE中点，通过勾股定理可知|AC=2|BC|，进而计算可得结论．【解答】解：如图，点A在第一象限．过A、B分别作抛物线的垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=2|BF|，∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B为CE中点，∴|AB|=3|BC|，在Rt△ABC中，|AC|=2|BC|，∴直线l的斜率为=2；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为﹣2，∴直线l的斜率为±2，故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B． C．7 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体切去一个底面边长为1的直角三角形，高为2的三棱锥和切去一个底面为边长为1和2的直角三角形，高为2的三棱柱．从而可得该几何体的体积．【解答】解：由已知的三视图，可知该几何体是一个正方体切去一个底面边长为1的直角三角形，高为2的三棱锥和切去一个底面为边长为1和2的直角三角形，高为2的三棱柱．从而可得该几何体的体积．∴三棱锥的体积，三棱柱的体积．正方体的体积V=2×2×2=8．故得：该几何体的体积．故选D．9．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A．60 B．72 C．84 D．96【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故选：C．10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3O：函数的图象．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，结合x1，x2∈[﹣2π，2π]，可得答案．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得：x1，x2∈{﹣，﹣，， }，当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，故选：A11．已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，直线l：y=kx﹣kc．若k=，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若k=，则l与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为（）A．（1，2）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，16）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知双曲线的渐近线斜率＜＜，根据e==，即可求得Γ的离心率的取值范围．【解答】解：由题意可知：直线l：y=k（x﹣c）过焦点F（c，0）．双曲线的渐近线方程y=x，可得双曲线的渐近线斜率＜＜，∵e==，由3＜＜15，4＜1+＜16，∴2＜e＜4，∴双曲线离心率的取值范围为（2，4）．故选C．12．已知函数，如在区间（1，+∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得比值==…=成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{2，3，4}【考点】5B：分段函数的应用．【分析】==…=的几何意义为点（x n，f（x n））与原点的连线有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵的几何意义为点（x n，f（x n））与原点的连线的斜率，∴==…=的几何意义为点（x n，f（x n））与原点的连线有相同的斜率，函数的图象，在区间（1，+∞）上，与y=kx的交点个数有1个，2个或者3个，故n=2或n=3，即n的取值集合是{2，3}．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知=（，），=（2cosα，2sinα），与的夹角为60°，则|﹣2|=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的模的公式，求出||，||，再由向量数量积的定义可得•，运用向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：=（，），=（2cosα，2sinα），与的夹角为60°，可得||==1，||==2，•=||•||•cos60°=1×2×=1，则|﹣2|====．故答案为：．14．已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为120．（用数字作答）【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，求出n=5，将（2x2+x﹣y）5=[（x2+x）﹣y]5，利用通项公式，求出x5y2的项，可得其系数．【解答】解：由题意，（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，∴n=5，那么（2x2+x﹣y）5=[（x2+x）﹣y]5，通项公式T r+1=，展开式中含有x5y2，可知r=2．那么（2x2+x）3中展开必然有x5，由通项公式，可得含有x5的项：则t=1，∴展开式中x5y2的系数为=120．故答案为120．15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为41π．（容器壁的厚度忽略不计）【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，该球形容器的半径的最小值为=，即可求出该球形容器的表面积的最小值．【解答】解：由题意，该球形容器的半径的最小值为=，∴该球形容器的表面积的最小值为=41π．故答案为41π16．对于正整数n，设x n是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记a n=[（n+1）x n]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）=2017．【考点】8E：数列的求和．【分析】根据条件构造f（x）=nx3+2x﹣n，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可．【解答】解：设f（x）=nx3+2x﹣n，则f′（x）=3nx2+2，当n是正整数时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，∵当n≥2时，f（）=n×（）3+2×（）﹣n=•（﹣n2+n+1）＜0，且f（1）=2＞0，∴当n≥2时，方程nx3+2x﹣n=0有唯一的实数根x n且x n∈（，1），∴n＜（n+1）x n＜n+1，a n=[（n+1）x n]=n，因此（a2+a3+a4+…+a2015）=（2+3+4+…+2015）==2017，故答案为：2017．三．解答题17．如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△CBE中，正弦定理求出sin∠BCE；（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，得CB．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC⇒sin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°即可【解答】解：（Ⅰ）在△CBE中，由正弦定理得，sin∠BCE=，（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，即7=1+CB2+CB，解得CB=2．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=．⇒sin∠BEC=，sin∠AED=sin=，⇒cos∠AED=，在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，⇒DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°=49∴CD=7．18．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份的市场占有率；（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，=17.5．参考公式：回归直线方程为其中=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；（Ⅱ）分别计算相应的数学期望，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=3.5，=16，==2，=﹣•=16﹣2×3.5=9，∴=2x+9，x=7时，=2×7+9=23，即预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率为23%；（Ⅱ）由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴每辆A款车的利润数学期望为×0.2+×0.35+×0.35+×0.1=175元；每辆B款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴每辆B款车的利润数学期望为×0.1+×0.3+×0.4+×0.2=150元；∵175＞150，∴应该采购A款车．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且．（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LT：直线与平面平行的性质．【分析】（Ⅰ）取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即为所求；（Ⅱ）以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A，E，B，C，F的坐标，进一步求出平面ECF的法向量及，设直线EB与平面ECF所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=．【解答】解：（Ⅰ）取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即为所求．如图所示：（Ⅱ）以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），∴，，，设平面ECF的法向量为，由，得，取y=1，得平面ECF的一个法向量为，设直线EB与平面ECF所成的角为θ，∴sinθ=|cos＜＞|=||=．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点A（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能在直线y=上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得a，由a，b，c的关系，可得b=1，进而得到椭圆方程；方法二、运用A在椭圆上，代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，D为线段MN的中点，则D为线段PQ的中点，求得y4的范围，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因为A（1，）在椭圆C上，|+|AF2|=+=2，所以2a=|AF因此a=，b2=a2﹣c2=1，故椭圆C的方程为+y2=1；方法二：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因为A（1，）在椭圆C上，所以c=1，a2﹣b2=c2， +=1，解得a=，b=c=1，故椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由消去x，得9y2﹣2ty+t2﹣8=0，所以y1+y2=，且△=4t2﹣36（t2﹣8）＞0故y0==且﹣3＜t＜3，由=，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，所以y0==，可得y4=，又﹣3＜t＜3，可得﹣＜y4＜﹣1，因此点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l．21．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2﹣x．（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2h（x2）﹣x1＞0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程；（Ⅱ）求出h（x）的解析式和导数，讨论a＜0，0＜a＜1，a≥1，求出极值点和单调区间，由2h（x2）﹣x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，=，可得a=1﹣x22，即证明2（1﹣x22）ln（x2+1）+x22﹣x2＞0，由x由0＜x2＜1，可得1﹣x2＞0，即证明2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x，0＜x＜1，求出导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+1）的导数为f′（x）=，设切点为（x0，y0），则切线的斜率为k=，点（x0，y0）在f（x）=ln（x+1）上，则y0=ln（1+x0），可得=，解得x0=e﹣1，可得切线的斜率为，则切线方程为y﹣0=（x+1），即为x﹣ey+1=0；（Ⅱ）证明：h（x）=af（x）+g（x）=aln（x+1）+x2﹣x，导数h′（x）=+x﹣1=，x＞﹣1，当a﹣1≥0时，即a≥1时，h′（x）≥0，h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；=﹣，x2=，当0＜a＜1时，由h′（x）=0得，x故h（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；=，h（x）在（﹣，）当a＜0时，由h′（x）=0得，x上单调递减，在（，+∞）上单调递增．=﹣，x2=，当0＜a＜1时，h（x）有两个极值点，即x可得x1+x2=0，x1x2=a﹣1，由0＜a＜1得，﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1，由2h（x2）﹣x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，即为2aln（x2+1）+x22﹣x2＞0，=，可得a=1﹣x22，即证明2（1﹣x22）ln（x2+1）+x22﹣x2＞0，由x由0＜x2＜1，可得1﹣x2＞0，即证明2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x，0＜x＜1，t′（x）=2（1+x）•+2ln（x+1）﹣1=1+2ln（1+x）＞0，t（x）在（0，1）上单调递增，又t（0）=0，所以t（x）＞0在（0，1）时恒成立，即2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0成立则2h（x2）﹣x1＞0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0的方程为y=，极坐标方程为tanθ=；直线C（2）直线C与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，设A，B两点对应的极径分别为ρ，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，∴+==．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）求不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集．（Ⅱ）设a，b，均为正数，，证明：h≥2．【考点】R5：绝对值不等式的解法；72：不等式比较大小．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到﹣2＜﹣2x﹣1＜0，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出h3≥8，从而求出h的范围．【解答】解：（Ⅰ）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0，解得：﹣＜x＜，则不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）证明：，，故h≥2．。
山西2019年高三第四次四校联考-数学(理)
山西2019年高三第四次四校联考-数学（理）2018届高三第四次四校联考数学〔理〕试题〔总分值150分，考试时间120分〕【一】选择题(5×12＝60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号) 1、集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，那么=N MA 、),1[+∞-B 、]2,1[-C 、),2[+∞D 、φ2、以下说法错误的选项是．．．．．． A 、“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件 C 、假设命题2:,10p x R x x ∃∈-+=，那么2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠ D 、假设命题“p ⌝”与命题“p 或q ”基本上真命题，那么命题q 一定是真命题3、函数)20)(2sin(πϕϕ<<+=x y 图象的一条对称轴在〔π6，π3〕内，那么满足此条件的一个ϕ值为 A 、12πB 、6πC 、3πD 、65π4、一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图基本上半径为1的圆，且那个几何体是球体的一部分， 那么那个几何体的表面积为 A 、3πB 、4πC 、6πD 、8π5、假设实数x ，y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数24z x y =+的最大值为 A 、10B 、12C 、13D 、146、运行下图所示框图的相应程序,假设输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,那么输出M 的值是A 、0B 、1C 、2D 、－17、数列{n a }满足)(log log 1133++∈=+N n a a n n ，且2469a a a ++=，那么15793log ()a a a ++的值是A 、15B 、15-C 、5D 、5-8、一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为34π的球体与棱柱的所有面均相切，那么那个三棱柱的表面积是 A 、36B 、312C 、318D 、3249、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 且a=1，B=45°，ABC S ∆=2，那么b 等于 A 、5B 、25C 、41D 、2510、函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，假设曲线C 存在与直线x y 21=垂直的切线，那么实数m 的取值范围是A 、2≤mB 、2>mC 、21-≤m D 、21->m 11、假设定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =那么方程()x x f 3log =的零点个数是A 、2个B 、3个C 、4个D 、多于4个12、A B P 、、是双曲线22221x y a b -=上的不同三点，且A B 、连线通过坐标原点，假设直线PA PB 、的斜率乘积23PA PB k k ⋅=，那么该双曲线的离心率e =A、B、CD、【二】填空题:(本大题共4小题,每题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13、假设函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象过点〔2，－1〕，且函数)(x f y =的图像与函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像关于直线xy =对称，那么)(x f =、14、i 为虚数单位，那么复数i i 43105-+的虚部是、15、某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，假如甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有、 16、函数M,最小值为m,那么mM=、 【三】解答题(本大题6小题,共70分,解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17、〔本小题总分值12分〕 点A 〔4，0〕、B 〔0，4〕、C 〔ααsin 3,cos 3〕 〔1〕假设),0(πα∈=，求α的大小；〔2〕⊥，求αααtan 12sin sin 22++的值、18、〔本小题总分值12分〕为了解甲、乙两厂的产品质量，采纳分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量〔单位：毫克〕.下表是乙厂的5件产品的测量数〔1〔2〕当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75，该产品为优等品，①用上述样本数据可能乙厂生产的优等品的数量；②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其期望、 19、〔本小题总分值12分〕如图，长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM . 〔1〕求证：BM AD ⊥；〔2〕假设点E 是线段DB 的中点，求二面角D AM E --的余弦值.20、〔本小题总分值12分〕21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且21MF MF ⋅的最大值为1，最小值为-2.〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕过点),(056-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为椭圆的左顶点。
2019年山西省高考数学二模试卷(理科)
2019年山西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣2＜x＜2}2．（5分）设命题p：∃x0＜0，，则￢p为（）A．∀x≥0，e x﹣x＞1B．∀x＜0，e x﹣x≤1C．D．3．（5分）若向量，满足||＝1，||＝2，且||＝，则，的夹角为（）A．B．C．D．π4．（5分）椭圆C：的右焦点为F，过F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若△OAB是直角三角形（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）内是增函数的是（）A．y＝xlnx B．y＝x2+x C．y＝sin2x D．y＝e x﹣e﹣x6．（5分）如图1，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q﹣BMN的正视图如图2所示时，此三棱锥俯视图的面积为（）A．1B．2C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出x的值为（）A．﹣2B．C．D．38．（5分）以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数在[0，π]上的值域为（）A．B．C．D．10．（5分）双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C的右支相交于P，若|PF1|＝2|PF2|，则双曲线C渐近线方程为（）A．B．C．D．11．（5分）电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte）”是更大的存储单位，1Byte＝8bit，因此1字节可存放从00000000（2）至11111111（2）共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（）A．254B．381C．510D．76512．（5分）函数的零点个数是（）A．0B．1C．2D．与a有关二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．。
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2019届高三年级第二次四校联考数学试题（理）命题： 康杰中学 忻州一中 临汾一中 长治二中（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号)1．设全集U ＝R ，集合{|24},{3,4},()U A x x B A C B =<≤=⋂则＝ A. (2,3)B. (2,4]C. (2,3)∪(3,4)D. (2,3) ∪(3,4]2．复数2(1)1i i+-＝A. 1i +B. 1i -C. 1i --D. 1i -+3．已知等差数列{}n a 各项都不相等，214832a a a a d =+==且，则A. 0B.12C. 2D. 0或124．阅读如图所示的程序框图，则输出的S ＝A ．14B ．20C ．30D ．555．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为A ．6B ．12C ．18D ．246．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点P ，满足2122||||,PF F F F =且到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线离心率为 A.45B.54C.35D.537．已知向量,||1,||7a b a a b =+=满足，3π=，则b ｜｜＝A. 2B. 3C.D. 48．若椭圆2222+1x y a b=过抛物线28y x =的焦点，且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的方程为A.22+142x y = B. 22+13x y = C. 22+124x y = D. 22+13y x = 9．将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为A.5sin(2)()12y x x R π=+∈B.5sin()()212x y x R π=+∈ C.sin()()212x y x R π=-∈ D.5sin()()224x y x R π=+∈ 10．函数xx y ||log 2=的图象大致是A. B. C. D.11．已知在平面直角坐标系xOy 中，O (0, 0), A (1,-2), B (1,1), C (2,-1)，动点M (x ,y ) 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧-2≤−→OM ·−→OA ≤21≤−→OM ·−→OB ≤2，则−→OM ·−→OC 的最大值为 A.1 B.-1 C.4 D.-4 12．已知定义域为R 上的函数)(,2),2()2()(x f x x f x f x f 时当满足<--=+单调递增，如果)()(,0)2)(2(,4212121x f x f x x x x +<--<+则且的值A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上) 13．已知 则实数k 的取值范围为 ． 62)21(x x -的展开式中，x 5的系数为 ．14．在15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c ) cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________．16．已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x -<-，且()x f 的最大值为1，则满足()1log 2<x f 的解集为 ．三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上) 17．（本小题满分10分）已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2． (Ⅰ)求函数)(x f 的对称轴方程和最小正周期； (Ⅱ)求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且*(1)()2n n n a a S n N +=∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设121,...2n n n nb T b b b S ==+++，求n T ．19．（本小题满分12分）高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知函数1()ln(1)f x a x x=++． （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若()f x 在[2，4]上为增函数，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上的任意一点到它的两个焦点)0,(1c F -，)0,(2c F )0(>c 的距离之和为22，且其焦距为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知直线0=+-m y x 与椭圆C 交于不同的两点Ａ，Ｂ．问是否存在以Ａ，Ｂ为直径的圆过椭圆的右焦点2F ．若存在，求出m 的值；不存在,说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()ln()x f x e a =+（a 为常数，e 是自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[－1，1]上的减函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若2()1g x t t λ≤++在[1,1]x ∈-及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）试讨论函数m ex x x f xx h -+-=2)(ln )(2的零点的个数．⎥⎦⎤⎝⎛4,412019届高三年级第二次四校联考数学参考答案（理）一、1—5 CDBCD 6—10 DAABA 11—12 CC二、13.［1，3］ 14. -16015.16 . 三、17. 解 ：(Ⅰ)1)62sin(2122cos 12sin 23)(--=-+-=πx x x x f （3分） 则)(x f 的对称轴是，k ∈Z,最小正周期是是ππ==22T . （5分）(Ⅱ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4ππx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴3,3262πππx （8分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-23,1)62sin(πx ，所以最大值为123-，最小值为-2.（10分） 18. 解：（Ⅰ）∵(1)2n n n a a S +=，∴22n n n S a a =+ ① 21112(2)n n n S a a a ---=+≥ ②由①－②得：22112n n n n n a a a a a --=-+- (2分) 11()(1)0n n n n a a a a --+--=，∵0n a > ∴11(2)n n a a n --=≥，又∵1111(1)2a a a S +==，∴11a = ∴1(1)(2)n a a n d nn =+-=≥ ---------------(5分)当1n =时，11a =，符合题意. n a n =----------（6分） （Ⅱ）∵(1)(1)22n n n a a n n S ++== ∴111(1)1n b n n n n ==-++-----（10分） 则11111111223111n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++---------(12分) 19．解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A ，“从第二小组选κπ π + = 3 x 2出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B.由于事 件A 、B 相互独立，且25262()3C p A C ==, 24262()5C P B C ==. …………………4分所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯= …………………………… 6分（Ⅱ）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得4(0)15P ξ==, 21112552442222666622(1)45C C C C C P C C C C ξ===+=, 15226611(3).45c p c c ξ===2(2)1(0)(1)(3)9p p p p ξξξξ==-=-=-==…………… 9分 ξ的分布列为∴ ξ的数学期望 012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ………12分 20. 解：（1）由010()(1,0)(0,)x x f x≠+>-⋃+∞且得函数的定义域为，（2分）又22221121(1)(21)()1(1)(1)x x x x f x x x x x x x ---+'=-+==+++，由()f x '>0得 ，所以()f x 的单调增区间为1(1,)(1,)2--+∞和，单调递减区间为1(0)(01)2-，和，.（4分） ()f x 和()f x '随x 的变化情况如下表：由表知()f x 的极大值为极小值为(1)12ln 2f =+.--（6分）（Ⅱ）221()(1)ax x f x x x --'=+，若()f x 在区间[2，4]上为增函数，则当[2,4]x ∈时，()0f x '≥恒成立，即2210(1)ax x x x --≥+，----------------------------------------（8分）21．解：（Ⅰ）依题意可知⎩⎨⎧==22222c a又∵222c a b -=，解得⎩⎨⎧==12b a ———————————————（2分）则椭圆方程为1222=+y x ．—————————————————————（4分） （Ⅱ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+,0,1222m y x y x 消去y 整理得：0224322=-++m mx x （6分）则0)3(8)22(1216222>+-=--=∆m m m解得 33<<-m ①————————————————————（7分）372±-=m 372±-=m解得 ——————————————（11分）检验都满足①，∴————————————（12分） 22. 解：（Ⅰ）)ln()(a e x f x +=是奇函数，则)ln()ln(a e a e x x+-=+-恒成立．∴()() 1.x x ea e a -++= 即211,x x ae ae a -+++=∴()0,0.xxa e e a a -++=∴=……………4分（Ⅱ）由（I ）知(),f x x =∴()sin g x x x λ=+ ∴'()c o s g x xλ=+ 又)(x g 在[－1，1]上单调递减，0)(≤'x g 在[－1，1]上恒成立。