九年级数学第一轮复习数学测试卷(含答案)
2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《一次函数》同步自主基础达标测评(附答案)
2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《一次函数》同步自主基础达标测评（附答案）一、单选题（满分40分）1．关于函数y＝（k－3）x＋k，给出下列结论：①此函数一定是一次函数；②无论k 取什么值，函数图象必经过点（－1，3）；③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k＜0；④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴可得k＜3，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，一次函数y＝kx+b的图像经过点（2，0）、（0，1），则下列结论正确的是（）A．k＝1 B．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2C．b＝2 D．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝13．将直线y=2x向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的表达式为（）A．y=2x-1 B．y=2x C．y=2x+4 D．y=2x-24．某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系．若23码鞋子的长度为16.5cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（）A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm5．今年暑假期间，小东外出爬山．他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（）A．小明中途休息用了20分钟B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米C．小明在上述过程中所走的路程为3800米D．小明休息前爬山的平均速度小于休息后爬山的平均速度6．已知点A（3，y1）和点B（﹣2，y2）是一次函数y＝﹣2x＋3图象上的两点，比较y1与y2的大小关系（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定7．如图，观察函数y1=k1x1+b1和y2=k2x2+b2的图案，当x=1，两个函数值的大小为（）．8．如图，在平面直角坐标系中，函数 y ＝2x 和 y ＝﹣x 的图象分别为直线 l 1， l 2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l 1于点 A 1，过 A 1点作 y 轴的垂线交 l 2于点 A 2，过点 A 2作 x 轴的垂线交 l 1于点 A 3，过点 A 3作 y 轴的垂线交 l 2于点 A 4，… 依次进行下去，则点 A 2021的坐标为（ ）A ．（1012，1016）B ．（-1012，1014）C ．（10102，10112）D ．（10102-，10122-）二、填空题（满分40分）9．若一次函数y ＝kx ﹣1（k 为常数，k ≠0）的图象经过第一、三、四象限，则k 的取值范围是___．10．如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象，填空：（1）当30x =时，y =______；（2）当30y =时，x =______．11．八个边长为2的正方形如图摆放在平面直⻆坐标系中，经过P 点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l 的解析式为____．12．如图，过点A （0，3）的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点B ，这个一次函数的表达式是____．13．若函数y ＝2x +b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么b ＝_______． 14．如图，在平面直角坐标系中(2,1),(3,4)A B -，连接,,,OA OB AB P 是y 轴上的一个动点，当||PB PA -取最大值时，点P 的坐标为_______．15．小强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x 表示时间，y 表示小强离家的距离．图象提供的信息，有以下四个说法：①体育场离小强家2.5千米；②在体育场锻炼了15分钟；③体育场离早餐店4千米；④小强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时．其中正确的说法为____ （填正确序号）．16．某周末小明到公园画画写生，小明家到彩云湖公园的路程为3.5km ，小明步行20分钟后，在家的妈妈发现小明画画的工具没有拿，立即通知小明原地等待，把工具送过去，小明妈妈追上小明把工具交给小明后立即以原来的速度返回，同时，小明以原来1.2倍的速度前往目的地．如图是小明与小明妈妈距家的路程（千米）与小明所用时间（分钟）之间的函数图象，根据图象回答下列问题：（1）前20分钟小明的速度为 千米/时．（2）图中A 点的实际意义是 ．（3）小明妈妈的速度是 千米/时．（4）小明妈妈返回家的时间比小明到达目的地早 分钟．三、解答题（满分40分）17．出租车车费计价标准为：3km以内（含3km）7元，超出3km的部分1.4元/km．（1）直接写出车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系式．（其中x≥3）（2）佳佳乘出租车行驶4km，应付车费多少元？（3）佳佳付车费14元，那么出租车行驶了多少千米？18．狗头枣产于陕西省延安市一带，久负盛名，其性味甘平，有润心肺、止咳、补五脏、治虚损的功效，已成为革命圣地延安最为著名的特产．某经销商购进了一批狗头枣，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：当单价为38元/千克时，每天可以销售50千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，若设单价下调了x元/千克，销售量为y千克．（1）y与x之间的关系式为；（2）当售价为28元/千克，这天的销售量是多少？（3）如果这批狗头枣的进价是20元/千克，某天的售价定为30元/千克，则这天的销售利润是多少元？19．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示）与x 之间的函数关系．根据图象进行以下探究：[信息读取]（1）甲，乙两地相距______千米，两车出发后______小时相遇；（2）普通列车到达终点共需______小时，普通列车的速度是______千米/小时：[解决问题]（3）求动车的速度：（4）求点C的坐标．20．如图，直线y=kx +6与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点 A 的坐标为（-6，0），点P （x ，y ））是第二象限内的直线上的一个动点，（1）求k 的值；（2）在点 P 的运动过程中，写出△OPA 的面积S 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究，当点P 运动到什么位置（求P 的坐标）时，△OPA 的面积是27421．已知，一次函数()()20y kx k k =+-≠，k 取不同数值时，可得不同直线．探究；这些直线的共同特征．（1）当k ＝______时，一次函数()2y kx k =+-是正比例函数：（2）当k ＝1时，一次函数()2y kx k =+-的关系式为______，画出它的图象直线1I ；当1k =-时，一次函数()2y kx k =+-的关系式为______．请画出它的图象直线2I ； （3）观察图象，猜想：直线()2y kx k =+-必经过定点（___，___）：证明你的猜想．22．如图，直线l1：y1=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，3)为直线l 1上x+b过点P．一点，另一直线l2：y2=12（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动至A，设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，APQ的面积S与t的函数关系式；②是否存在t的值，使APQ面积为APC的一半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．③是否存在t的值，使APQ为以AQ为底的等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．B解：①当k ﹣3≠0时，函数是一次函数；当k ﹣3＝0时，该函数是y ＝3，此时是常数函数，故①不符合题；②y ＝（k ﹣3）x +k ＝k （x +1）﹣3x ，当x ＝﹣1时，y ＝3，过函数过点（﹣1，3），故②符合题意；③函数y ＝（k ﹣3）x +k 经过二，三，四象限，则300k k -<⎧⎨<⎩，解得：k ＜0，故③符合题意； ④当k ﹣3＝0时，y ＝3，与x 轴无交点；当k ≠3时，函数图象与x 轴的交点始终在正半轴，即﹣03k k >-，解得：0＜k ＜3，故④不符合题； 故正确的有：②③，共2个故选B2．B解：一次函数y kx b =+图象经过点()2,0、()0,1点，可得：021k b b =+⎧⎨=⎩， 解得：121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数112y x =-+， ∴A 、C 选项错误；根据一次函数与方程的关系可得：0kx b +=的解为：2x =，故D 选项错误，B 选项正确，故选：B ．3．A解：取直线y =2x 上点（0，0），它向右平移1个单位，再向上平移1个单位后变为点(1,1) 设平移后的直线解析式为y =2x +b由题意，点(1,1)在直线y =2x +b 上，则有2+b =1解得：b =－1故y =2x －1故选：A4．B解：设y kx b =+，分别将()23,16.5和()44,27代入可得：16.5232744k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得125k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ， ∴152y x =+， 当38x =时，138524cm 2y =⨯+=，故选：B ．5．D解：A 、小明中途休息用了60−40＝20分钟，正确，不符合题意；B 、小明休息前爬山的速度为2800÷40＝70（米/分钟），正确，不符合题意；C 、小明在上述过程中所走的路程为3800米，正确，不符合题意；D 、小明休息前爬山的速度为2800÷40＝70（米/分钟），小明休息后爬山的速度是（3800−2800）÷（100−60）＝25（米/分钟），小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，错误，符合题意；故选：D ．6．C解：∵20-<，∴y 随x 的增大而减小，又∵32>-，∴12y y <；故选C ．7．D解：如图所示，∵直线x =1与直线y 2=k 2x 2+b 2的交点在上方，∴y 1 <y 2；故选：D ．8．C解：当1x =时，y 2=，∴点1A 的坐标为()1,2；当2y x =-=时，2x =-，∴点2A 的坐标为()2,2-；同理可得：()32,4--A ，()44,4A -，()54,8A ，()68,8A -，()78,16A --，()816,16A -，()916,32A ，⋯，∴()221412,2n n n A ++，()2121422,2n n n A +++-，()2122432,2n n n A +++--，()2222442,2(n n n A n +++-为自然数) 202150541=⨯+，∴点2021A 的坐标为()5052505212,2⨯⨯+，即()101010112,2. 故选C ．9．k >0解：∵一次函数y ＝kx ﹣1（k 为常数，k ≠0）的图象经过第一、三、四象限， ∴k ＞0．故答案为：k ＞0．10．18- 42-解：（1）由函数图像可知一次函数y kx b =+经过点（0，2），（3，0）， ∴302k b b +=⎧⎨=⎩， ∴232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数解析式为223y x =-+， 当30x =时，2302183y =-⨯+=-，故答案为：-18；（2）∵一次函数解析式为223y x =-+， ∴当30y =时，22303x -+=， ∴42x =-，故答案为：-42．11．58y x =+ 解： 过P 作PB ⊥OB 于B ，设直线l 与y 轴的交点为D ∵，∴OBPB =∴(P∵经过P 点的一条直线l 将这8个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积都为分别是8，∴△PBA 的面积为10， ∴1102BP AB ⋅=，∴AB =∴OA OB AB =-==∴A ⎛ ⎝⎭设直线l 的解析式为y kx b =+∴b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得58k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线l的解析式为58y x =故答案为：58y x =．12．y ＝−x ＋3y =3-x解：由图可知：A （0，3），x B ＝1．∵点B 在直线y ＝2x 上，∴y B ＝2×1＝2，∴点B 的坐标为（1，2），设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有：32b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝−x ＋3；故答案为：y ＝−x ＋3．13．±4解：∵当y ＝0时，0＝2x +b ， ∴2b x =-； 当x ＝0时，y ＝b ，∴一次函数y ＝2x +b 的图象与坐标轴所围成的三角形面积：1422b b ⨯-⨯=， 解得4b =±，故答案为：4±．14．（0，-5）解：如图，作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于一点，即为点P ，此时||PB PA -值最大，∵A （-2,1），∴N （2,1），设直线BN 的解析式为y=kx +b ，将N （2,1），B （3,4）代入，得2134k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得35k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BN 的解析式为35y x =-，当x =0时，y =-5，∴P （0，-5），故答案为：（0，-5）．15．①②解：①由纵坐标看出，体育场离张强家2.5千米，故①正确；②由横坐标看出，30-15=15分钟，张强在体育场锻炼了15分钟，故②正确； ③由纵坐标看出，2.5-1.5=1千米，体育场离早餐店1千米，故③错误；④由纵坐标看出早餐店离家1.5千米，由横坐标看出从早餐店回家用了100-65=35分钟=3576012=小时，7181.5127÷=（千米/小时），故④错误； 故答案为①②．16．（1）4.2；（2）小明妈妈追上小明（3）5.6；（4）10解：（1）由图象知，小明前20分钟行驶了1.4千米而20分钟=13小时 则前20分钟小明的速度为：11.4 4.23÷=（千米/时） 故答案为：4.2（2）A 点的实际意义：小明妈妈追上小明故答案为：小明妈妈追上小明（3）由图象知，小明妈妈从家到追上小明用时15分钟，行驶了1.4千米而而15分钟=14小时则小明妈妈的速度为：11.4 5.64÷=（千米/时） 故答案为：5.6 （4）因小明妈妈原速返回，时间仍为15分钟，小明拿到工具后离目的地的距离为3.5－1.4=2.1（千米），小明此时的速度为：1.2 4.2 5.04⨯=（千米/时） 则小明拿到工具后到达目的地要行驶的时间为：52.1 5.0412÷=（小时） 而512小时=25分钟 25-15=10（分钟）即小明妈妈返回家的时间比小明到达目的地早10分钟故答案为：1017．（1）y ＝1.4x +2.8．（2）8.4元；（3）8km ；解：（1）由题意可得，当x ≥3时，y ＝7+1.4（x ﹣3）＝1.4x +2.8，即应收费y （元）与出租车行驶路程x （km ）之间的函数表达式是：y ＝1.4x +2.8． （2）佳佳乘出租车行驶4km ，应付车费为：y ＝1.4x +2.8＝8.4（元）；答：佳佳乘出租车行驶4km ，应付车费8.4元；（3）佳佳付车费14元，肯定超过3km ，把y =14代入关系式，14＝1.4x +2.8，解得：x ＝8，答：佳佳付车费14元，那么出租车行驶了8km ；18．（1）502y x =+；（2）79千克；（3）这天销售利润是660元解：（1）由题意得：502y x =+．（2）当售价为28元/千克时，则单价下调了10元，∴当10x =时，销售量5021070y =+⨯=（千克）；（3）当售价定为30元/千克时，则38308x =-=，∴502866y =+⨯=，66(3020)660⨯-=（元）．答：这天销售利润是660元．19．（1）1800；4；（2）12；150；（3）300km/h ；（4）()6,900解：（1）由图像可知，甲地与乙地相距1800千米，两车出发后4小时相遇； 故答案为：1800，4；（2）由函数图像可知，普通列车12小时到达，则速度为1800÷12=150千米/小时 故答案为：12；150；.（3）由题意得：动车的速度为：180********÷-= （km/h ）；（4）18003006÷=，∴6m =，1506900n =⨯=，∴点C 的坐标为()6,900．20．（1）34k =；（2）S 918(80)4x x =+-<<；（3）点P 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA 的面积是274． 解：（1）点E 的坐标为()8,0-，且在直线6y kx =+上，∴860k -+=， 解得，34k =； （2）如图所示：点(),P x y 是第二象限内的直线上的一个动点，∴364y x =+， ∴136624S x ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭918(80)4x x =+-<<． （3）由题意得，9271844x +=， 解得，5x =-，则：39(5)644y =⨯-+=．∴点P 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA 的面积是274． 21．（1）2；（2）1y x =+，3y x =-+；（3）()1,2解：（1）根据正比例函数的标准形式为：()0y kx k =≠可得： 20k -=，解得：2k =，故答案为：2；（2）当1k =时，代入函数解析式为：1y x =+，当1k =-时，代入函数解析式为：3y x =-+故答案为：1y x =+；3y x =-+；作出图象如下图所示：（3）()1,2证明： 由()2y kx k =+-得：2y kx k -=-，即()21y k x -=-， 因为0k ≠，且直线经过定点与k 的取值无关，所以10x -=，且20y -=，所以1x =，2y =，∴直线()2y kx k =+-必经过定点()1,2．22．（1）P (1-，3)，72b =；（2）①32722S t =-+；②存在，92t =；③存在，3t = 解：（1）∵点P (m ，3)为直线l 1上一点，∴32m =-+，解得：1m =-，∴P (1-，3)，∵y 2=12x +b 过点P ， ∴13(1)2b =⨯-+， 解得：72b =； （2）①由（1）得：y 2=12x +72， 点20y =时，17022x =+， 解得：7x =-，∴点(7,0)C -， 当10y =时，02x =-+，解得2x =，∴点(2,0)A ，根据题意：点(70)Q t -+，∴2(7)9AQ t t =--+=-， ∴112733(9)32222APQ S AQ t t =⨯=⨯-⨯=-， 即32722S t =-+； ②()11273273222APC S AC ⎡⎤=⨯⨯=⨯--⨯=⎣⎦, ∴3271272222S t =-+=⨯ 解得：92t =， ∴92t =时，APQ 面积为APC 的一半； ③根据题意可知AP PQ =，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，∵P(1-，3)，(2,0)A，AD=，∴3∴3DQ=，AQ=,∴6∴963=-=-=,CQ AC AQ∴33t==，1t=时，APQ为以AQ为底的等腰三角形．∴当3。
九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：相交线与平行线(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：相交线与平行线（附答案）1．下列说法正确的是（）A．直线AB和直线BA是同一条直线B．直线是射线的2倍C．射线AB与射线BA是同一条射线D．三条直线两两相交，有三个交点2．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，如果∠AOD＝104°，那么∠BOM 等于（）A．38°B．104°C．140°D．142°3．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°16′，则∠2的度数是（）A．35°44′B．34°84′C．34°74′D．34°44′4．如图，AC⊥BC于点C，点D是线段BC上任意一点，若AC＝6，则AD的长不可能是（）A．5.5B．6C．7D．85．已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN上，P A＝2.5cm，PB＝3cm，PC＝2.2cm，则点P到直线MN的距离（）A．等于3cm B．等于2.5cmC．不小于2.2cm D．不大于2.2cm6．下列说法错误的是（）A．对顶角相等B．两点之间所有连线中，线段最短C．等角的补角相等D．不相交的两条直线叫做平行线7．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；其中正确的有（）个．A．0B．1C．2D．38．如图，直线a、b都与直线c相交，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠8＝∠1；④∠6+∠7＝180°．其中，能够判断a∥b的是（）A．①②③④B．①③C．②③④D．①②9．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（）A．∠α+∠β﹣∠γ＝90°B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°C．∠γ+∠β﹣∠α＝180°D．∠α+∠β+∠γ＝180°10．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵AB∥CD，∴∠BCD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）11．观察下列图形，2条直线相交，有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，10条直线相交最多有个交点．12．如图，直线a，b相交于点O，若∠1+∠2＝220°，则∠3＝．13．如图，已知AO⊥BC于O，∠BOD＝120°，那么∠AOD＝°．14．如图，为了把河中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是．15．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，则点A到直线l1的距离是．16．如图，∠B的内错角是．17．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是．18．若直线a∥b，a∥c，则直线b与c的位置关系是．19．如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是．20．如图，AB∥CD，点M为CD上一点，MF平分∠CME．若∠1＝57°，则∠EMD的大小为度．21．为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴趣小组的同学们讨论得出如下方法：当n＝2，3，4时，画出最多直线的条数分别是：过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出1+2+3+…+9＝45条直线．请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析）（1）平面上的20条直线最多有多少个交点？（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上n条直线最多可以把平面分成多少个部分？22．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．（1）求∠BOE的度数；（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．23．如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数．24．如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l 上画出车站的位置（用点M表示），依据是；（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是．25．已知点A，B，C如图所示，根据要求完成下列各题．（1）画直线BC，线段AB和射线CA．（以（2）过点A画BC的垂线段AD，垂足为D，并量出点A到直线BC的距离为cm．答题纸为测量依据，结果精确到0.1cm）．26．如图，已知AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E、F，EG平分∠MEB，FH平分∠MFD．∵AB∥CD，根据可知∠MEB＝∠MFD．又∵EG平分∠MEB，FH平分∠MFD，于是可得∠MEG和∠MFH的大小关系是∠MEG ∠MFH．而∠MEG和∠MFH是EG、FH被直线MN所截得的角，根据，可判断角平分线EG、FH的位置关系是．27．（1）补全下面的图形，使之成为长方体ABCD﹣EFGH的直观图，并标出顶点的字母；（2）图中与棱AB平行的棱有；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是．28．如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？29．如图，已知：∠DGA＝∠FHC，∠A＝∠F．求证：DF∥AC．（注：证明时要求写出每一步的依据）30．如图，AO∥CD，OB∥DE，∠O＝40°，求∠D的度数．（1）请完成下列书写过程．∵AO∥CD（已知）∴∠O＝＝40°（）又∵OB∥DE（已知）∴＝∠1＝°（）（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝°．参考答案1．解：A、直线AB和直线BA是同一条直线，故本选项说法正确．B、直线和射线不能度量，故本选项说法不正确．C、射线AB与射线BA方向相反，不是同一条射线，故本选项说法不正确．D、三条直线两两相交有三个或一个交点，故本选项说法不正确．故选：A．2．解：∵∠AOD＝104°，∴∠AOC＝76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝×76°＝38°，∴∠BOM＝180°﹣∠AOM＝180°﹣38°＝142°．故选：D．3．解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠1＝55°16′，∴∠2＝90°﹣55°16′＝34°44′．故选：D．4．解：∵AC⊥BC于点C，点D是线段BC上任意一点，AC＝6，∴AD≥6，故选：A．5．解：当PC⊥MN时，PC的长是点P到直线MN的距离，即点P到直线MN的距离等于2.2cm，当PC不垂直于MN时，点P到直线MN的距离小于PC的长，即点P到直线MN的距离小于2.2cm，综上所述：点P到直线MN的距离不大于2.2cm，故选：D．6．解：A、对顶角相等，正确；B、两点之间所有连线中，线段最短，正确；C、等角的补角相等，正确；D、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；故选：D．7．解：①相等的角不一定是对顶角，故说法错误；②同位角不一定相等，故说法错误；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确；故选：B．8．解：①∵∠1＝∠2，∴a∥b，故本小题正确；②∵4＝∠5，∴a∥b，故本小题正确；③∵∠8＝∠1，∠8＝∠2，∴∠1＝∠2，∴a∥b，故本小题正确；④∵∠6+∠7＝180°，∠6+∠2＝180°，∴∠7＝∠2，∴a∥b，故本小题正确．故选：A．9．解：∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故选：B．10．解：A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确；B．∵AB∥CD，∴∠BCD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；C．∵AD∥BC，∴∠BCD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），故C选项错误；D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），正确；故选：C．11．解：两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有1+2＝3个交点，四条直线相交最多有1+2+3＝6个交点，五条直线相交最多有1+2+3+4＝10个交点，……十条直线相交最多有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个交点；故答案为：45．12．解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝220°，∴∠1＝∠2＝110°，∴∠3＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．13．解：∵AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∵∠BOD＝120°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝120°﹣90°＝30°，故答案是：30．14．解：过D点引CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可使所开渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．15．解：∵AB⊥l1，则点A到直线l1的距离是AB的长＝4；故答案为：4．16．解：∠B的内错角是∠BAD；故答案为：∠BAD．17．解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，故答案为：平行和相交．18．解：若直线a∥b，a∥c，则直线b与c的位置关系是平行，故答案为：平行．19．解：由图形得，有两个相等的同位角存在，这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．20．解：∵AB∥CD，∴∠CMF＝∠1＝57°，∵MF平分∠CME，∴∠CME＝2∠CMF＝114°．又∵∠CME+∠EMD＝180°，∴∠EMD＝180°﹣∠CME＝180°﹣114°＝66°．故答案为：66．21．解：（1）当有2，3，4条直线时最多交点的个数分别是：∴20条直线最多有1+2+3+…+19＝190个交点；（2）当有1，2，3条直线时最多可把平面分成的部分分别是：∴100条直线最多可把平面分成1+（1+2+3+…+100）＝5051个部分，同理n条直线最多可把平面分成1+（1+2+3+…+n）＝1+＝．22．解：（1）∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝×60°＝30°；（2）OA平分∠DOF，理由如下：∵∠BOE＝30°，∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°，∵∠AOF：∠EOF＝2：3，∴∠AOF＝60°，∠EOF＝90°，∵∠AOD＝∠BOC＝60°，∴∠AOD＝∠AOF，∴OA平分∠DOF．23．解：∵∠BON＝20°，∴∠AOM＝20°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝20°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．24．解：（1）如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短（2）如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短．25．解：（1）如图所示：（2）经测量AD＝1.8cm，故答案为：1.8．26．解：如图，已知AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E、F，EG平分∠MEB，FH平分∠MFD．∵AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等可知∠MEB＝∠MFD．又∵EG平分∠MEB，FH平分∠MFD，于是可得∠MEG和∠MFH的大小关系是∠MEG ＝∠MFH．而∠MEG和∠MFH是EG、FH被直线MN所截得的同位角，根据同位角相等，两直线平行，可判断角平分线EG、FH的位置关系是平行．故答案为：两直线平行，同位角相等；＝；同位、同位角相等，两直线平行、平行．27．解：（1）如图即为补全的图形；（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；故答案为：CD、EF、GH；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行．故答案为：平行．28．解：∠BFC等于30度，理由如下：∵AB∥GE，∴∠B+∠BFG＝180°，∵∠B＝110°，∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，∵AB∥CD，AB∥GE，∴CD∥GE，∴∠C+∠CFE＝180°，∵∠C＝100°．∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．29．证明：∵∠DGA＝∠FHC＝∠DHB，∴AE∥BF，（同位角相等，两直线平行）∴∠A＝∠FBC，（两直线平行，同位角相等）又∵∠A＝∠F，∴∠F＝∠FBC，（等量代换）∴DF∥AC．（内错角相等，两直线平行）30．解：（1）∵AO∥CD（已知），∴∠O＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等），又∵OB∥DE（已知），∴∠D＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等）．故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等；（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝（40或140）°．故答案为：（40或140）。
2021年九年级数学中考一轮复习练习题函数---一次函数【含答案】
； ； ； ．2021 年九年级数学中考一轮复习练习题函数——一次函数时间 90 分钟 满分：120 分一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ）1. 如果y 关于x 的函数y = (k 2+ 1)x 是正比例函数，那么k 的取值范围是（ ） A.k ≠ 0B. k ≠± 1C. 不能确定D.一切实数2. 在直角坐标平面内，任意一个正比例函数的图像都经过点（ ）A.(1, 1)B.(1, 0)C.(0, 1)D.(0, 0)3. 下列正比例函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的是（ ）A.y = 0.2xB. 1 y = xC. 5D.y = 2x4. 下列函数中，是一次函数的有（ ）1(1)y = πx ；(2)y = 2x−1 (3)y = x (4)y = 2−3x (5)y = x 2−1A.4个B.3个C.2个D.1个 A (x ,3) B (x ,5) x x5. 一次函数y = 2x + m 的图象上有两点 1 2 ， 2 ，则 1与 2的大小关系是（ ）A. x 1 < x 2B. x 1 > x 2C.x 1 = x 2D.无法确定6. 一次函数y = −4x−2的图象和性质，叙述正确的是（ ）A.y 随x 的增大而增大B.在y 轴上的截距为2C. 与x 轴交于点(−2,0)D. 函数图象不经过第一象限7. 已知一次函数y = kx + b(k < 0, b < 0)，那么一次函数的图象不经过第（ ） 象限．A.一B.二C.三D.四8. 已知直线y = kx + b 经过点(2, 1)，则方程kx + b = 1的解为（ ）A.x = 0B.x = 1C.x = 2D.x =± 29. 一次函数y = kx + b (k ≠ 0)中变量x 与y 的部分对应值如下表x ⋯ −1 0 1 2 3 ⋯y ⋯ 8 6 4 2 0 ⋯下列结论： ①随的增大而减小；②点(6,−6)一定在函数y = kx + b 的图像上；③当x > 3时， y > 0；④当x < 2时，(k−1)x + b < 0.其中正确的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1 10. 如图，已知直线l:y = 3 3 x ，过点A(0, 1)作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为（ ）A.(0, 128)B.(0, 256)C.(0, 512)D.(0, 1024)二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计 12 分 ）11. 把直线y = −2x 沿y 轴向上平移6个单位，所得到的直线解析式是. 12. 直线y = x−a 不经过第四象限，则关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0有 个实数解．13. 在平面直角坐标系内，若点(3,0),(m,2),(0,−3)在同一直线上，则m 的值为. 14. 某高速列车公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y （元）是行李质量x （kg ）的一次函数．已知行李质量为30kg 时，需付行李费4元；行李质量为40kg 时，需付行李费12元．则旅客最多可免费携带kg 行李． 三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计 78 分 ）15.(9 分) 已知一次函数y = (2m + 1)x + 3 + m.(1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围；(2)若图象经过点(−1,1)，求m的值，画出这个函数图象．16.(9 分) 在平面直角坐标系中，直线l1:y1= k1x + b1与x轴交于点B(12, 0)，与直线l2:y2= k2x交于点A (6, 3)．(1)分别求出直线l1和直线l2的表达式；(2)直接写出不等式k1x + b1 < k2x的解集.17.(10 分) 平面直角坐标系xOy内，一次函数y = 2x−2经过点A(−1,m)和B(n,2)(1)求m，n的值；(2)求该直线与x轴的交点坐标．18.(10 分) 已知一次函数y1= kx + b和y2= mx + n的图象如图所示．(1)求y1和y2的函数表达式，并求出它们的交点坐标．(2)利用图象直接写出当y1 < y2时，x的取值范围．19.(10 分) 如图：已知函数y = x + 1和y = ax + 3的图象交于点P，点P的横坐标为1.{x−y = −1，(1)关于x，y的方程组ax−y = −3的解是；(2)a = ；(3)求出函数y = x + 1和y = ax + 3的图象与x轴围成的几何图形的面积．20.(10 分) 某水果超市以每千克20元的价格购进一批水果，规定每千克水果售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，水果的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示.每千克售价x（元）⋯25 30 35 ⋯日销售量y（千克）⋯110 100 90 ⋯(1)求y与x之间的函数解析式；(2)当每千克水果的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？21.(10 分) 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0,15)，点B的坐标为(20,0).(1)求直线AB的表达式；(2)若点C的坐标为(m,9)，且S △ ABC = 30，求m的值；(3)若点D的坐标为(12,0)，在射线AB上有两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△ OPD全等，求点P的坐标．22.(10 分) 某商店购进一批冬季保暖内衣，每套进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80套．现因临近春节，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20套．设保暖内衣售价为x元，每星期的销量为y件．(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元？(2)求y与x之间的函数关系式；(3)当每件售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大销售利润是多少？参考答案一、 选择题1.D【解答】解：∵ 函数y = (k 2+ 1)x 是正比例函数，∴ k 2 + 1 ≠ 0，∴ k 取全体实数.故选D ．2.D【解答】解：由题意，设正比例函数的解析式为y = kx(k ≠ 0)， 则当x = 0时，y = 0，所以任意一个正比例函数的图像都经过点(0, 0)． 故选D .3.B【解答】解：由题意可知，在正比例函数中，y 的值随着x 值的增大而减小， 则k < 0，故只有B 选项正确.故选B .4.B【解答】解：(1)y = πx 是正比例函数，是特殊的一次函数；(2)y = 2x−1是一次函数；(3)y = 1x 不满足一次函数的定义，不是一次函数；(4)y = 2−3x 是一次函数；2 (5)y = x 2−1不满足一次函数的定义，不是一次函数． 所以是一次函数的有3个．故选B ．5.A【解答】解：在一次函数y = 2x + m 中，∵ k = 2 > 0，∴ y 随x 的增大而增大.3 ∵ 2 < 5，∴x 1 < x 2. 故选A .6.D【解答】解：A ，由y = −4x−2可知，y 随x 的增大而减小，故A 选项错误；B ，令x = 0，得y = −2，则在y 轴上的截距为−2，故B 选项错误；1 C ，令y = 0，得x = − ， (−1，0)则与x 轴交于点 2 ，故C 选项错误； D ，k = −4，b = −2，根据一次函数的性质可知，函数图象不经过第一象限，故D 选项正确.故选D .7.A【解答】解：∵ k < 0，∴ 一次函数y = kx + b 的图象经过第二、四象限．{又∵ b < 0时，∴ 一次函数y = kx + b 的图象与y 轴交与负半轴．综上所述，该一次函数图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限． 故选A ．8.C【解答】解：∵ 直线y = kx + b 经过点(2, 1)，∴ 当x = 2时，1 = kx + b ，∴ 方程kx + b = 1的解为x = 2.故选C .9.C【解答】解：把x = 0，y = 6和x = 1，y = 4分别代入y = kx + b ，得b = 6, k + b = 4.{k = −2,解得： b = 6.∴ 该一次函数的表达式为y = −2x + 6.∵ k = −2 < 0，∴ y 随x 的增大而减小，故①正确；∵ 当x = 6时，则y = −2 × 6 + 6 = −6，∴ 点(6,−6)在一次函数图像上，故②正确；∵ 当x = 3时，y = 0，y 随x 的增大而减小，∴ 当x > 3时，y < 0，故③错误；∵ k = −2，b = 6，∴ y = (k−1)x + b = −3x + 6.∵ −3 < 0，∴ 函数y = −3x + 6，y 随x 的增大而减小，又∵ 当 x=2 时，y = −3 × 2 + 6 = 0，∴ 当x < 2时，y > 0，即当x < 2时，(k−1)x + b = −3x + 6 > 0，故④错误. 综上所述，正确的有①②共2个.， ＝ ， A 4 4 256 故选C .10.B【解答】3 ∵ 直线l 的解析式为；y = 3 x ，∴ l 与x 轴的夹角为30 ∘，∵ AB // x 轴，∴ ∠ABO ＝30 ∘ ，∵ OA ＝1，∴ OB ＝2，∴ AB = 3，∵ A 1B ⊥ l ，∴∠ABA 1＝60 ∘ ∠BA 1O 30 ∘ ∴A 1O ＝4， ∴A 1(0, 4)，同理可得A 2(0, 16)， …4 ∴ 纵坐标为 ＝ ，∴ A 4(0, 256)．二、 填空题11.y = −2x + 6【解答】解：∵ 直线y = −2x 沿y 轴向上平移6个单位长度，所得到的直线解析式是y = −2x + 6.故答案为：y = −2x + 6.12.2或1【解答】解：∵ 直线y = x−a不经过第四象限，∴ −a ≥ 0，∴ a ≤ 0，∴ −4a ≥ 0.∵ ax2 + 2x + 1 = 0，当a ≠ 0时，Δ = b2−4ac = 22−4a = 4−4a > 0，此时方程有2个实数解；当a = 0时，方程为2x + 1 = 0，此时有1个实数解；∴ 方程ax2 + 2x + a = 0有2个或1个实数解.故答案为：2或1.13.5【解答】解：设这三点所在的直线的解析式为y = kx + b.把点(3,0)，(0,−3)代入y = kx + b，得{3k + b = 0,b = −3，{ k = 1,解得b = −3.∴ 这三点所在的直线的解析式为y = x−3.把(m,2)代入y = x−3，得m−3 = 2.{ 解得m = 5.故答案为：5.14.25【解答】解：设一次函数y = kx + b (k ≠ 0)，由题意，得4 = 30k + b ， 12 = 40k + b ， 4 k = ，5 解得： b = −20.4y = x−20 故一次函数的解析式为： 5 .4 当y = 0时，5x−20 = 0，解得x = 25，故旅客最多可免费携带25kg 行李． 故答案为：25．三、 解答题15.解：(1)由题意得：2m + 1 < 0，1m < − 解得：2． (2)将点(−1,1)代入可得：1 = −(2m + 1) + 3 + m ，解得：m = 1，∴ y = 3x + 4.令x = 0，则y = 4，∴ 函数图象经过点(−1,1)，(0,4)，作出函数图象如图所示.{ l 1 1 2 2 l 2 216.解：(1)把点A(6, 3)，B(12, 0)代入直线l 1:y 1 = k 1x + b 1，1{ 6k 1 + b 1 = 3， k = − ， 2 得 12k 1 + b 1 = 0， 解得 b 1 = 6， 1y = − x + 6 ∴ 直线 的表达式为 2 .将A(6, 3)代入直线l 2:y 2 = k 2x ，1 k = 解得 ，1 y = x ∴ 直线 的表达式为2 .(2)由图象可知：不等式k 1x + b 1 < k 2x 的解集为x > 6.17.解：(1)将A(−1,m)和B(n,2)代入一次函数y = 2x−2中，{m = −1 × 2−2,得 2 = 2n−2,{m = −4,解得 n = 2.(2)令y = 0，得2x−2 = 0，解得x = 1，所以该直线与x 轴的交点坐标为(1,0).18. 1 {解：(1)由图象可知y 1过点(0,3)，(3,0)，代入y 1 = kx + b ，得y 1 = −x + 3．y 2过点(0,5)，(−5,0)，代入y 2 = mx + n ，得y 2 = x + 5．{y = −x + 3, {x = −1,联立方程组 y = x + 5, 解得 y = 4,所以y 1和y 2交点的坐标为(−1,4)．(2)依图象可得当y 1 < y 2时，x > −1．19.解：(1)把x = 1代入y = x + 1，得出y = 2，所以点P 的坐标为(1, 2)，函数y = x + 1和y = ax + 3的图象交于点P(1, 2)，即x = 1，y = 2同时满足两个一次函数的解析式．{x−y = −1， {x = 1， 所以关于x ，y 的方程组 {x = 1， ax−y = −3 的解是 y = 2. 故答案为： y = 2.(2)把P(1, 2)代入y = ax + 3中，可得2 = a + 3，解得a =−1． 故答案为：−1.(3)因为函数y = x + 1与x 轴的交点为(−1, 0)，y = −x + 3与x 轴的交点为(3, 0)，所以这两个交点之间的距离为3−(−1) = 4，因为P(1, 2)，所以函数y = x + 1和y = ax + 3的图象与x 轴围成的几何图形的面积为： 1 × 4 × 2 = 42 ． 20.时， ， 解：(1)设y = kx + b(k ≠ 0)，将(25, 110)，(30, 100)代入，{110 = 25k + b ， 得： 100 = 30k + b ， {k = −2， 解得： b = 160，∴ y = −2x + 160.(2)设超市日销售利润为w 元，w = (x−20)(−2x + 160)= −2x 2 + 200x−3200= −2(x−50)2 + 1800，∵ −2 < 0，∴ 当20 ≤ x ≤ 40时，w 随x 的增大而增大，∴ 当x = 40时，w 取得最大值为：w = −2(40−50)2 + 1800 = 1600.答：当每千克水果的售价定为40元时，日销售利润最大，最大利润是1600元. 21.解：(1)∵ 点A (0,15)在直线AB 上，故可设直线AB 的表达式为y = kx + 15.又∵ 点B (20,0)在直线AB 上，∴ 20k + 15 = 0，3k = − ∴ 4，3 ∴ 直线AB 的表达为y = −4x + 15 .(2) 过C 作CM//x 轴交AB 于M ，∵ 点C 的坐标为(m,9)，∴ 点M 的纵坐标为9.3当y = 9 −4x + 15 = 9152 + 202 时， ， 解得x = 8，∴ M(8,9)，∴ CM = |m−8|，∴S △ ABC = S △ AMC + S △ BMC1 = CM ⋅ (y A −y M ) +2 1 CM ⋅ (y M −y B ) 21 = CM ⋅ OA =2 15 |m−8| 2 .∵ S △ ABC = 30，15 ∴ 2 |m−8| = 30，解得m = 4或m = 12 .(3) ①当点P 在线段AB 上时，若点P 在B ，Q 之间，当OQ = OD = 12，且∠POQ = ∠POD 时，△ OPQ ≅ △ OPD .∵ OA = 15，OB = 20，∴ AB = = 25.设△ AOB 中AB 边上的高为h ，则AB ⋅ h = OA ⋅ OB ，∴ h = 12，∴ OQ ⊥ AB ，∴ PD ⊥ OB ，∴ 点P 的横坐标为12.3当x = 12y = −4x + 15 = 6 ∴ P 1(12,6) .若点P 在A ，Q 之间，当PQ = OD = 12，且∠OPQ = ∠POD 时有 △ POO ≅ △ OPD ，则 ，时， ， 则BP = OB = 20，∴ BP:AB = 20:25 = 4:5，4∴ S △ POB = 5S △ AOB .作PH ⊥ OB 于H ，1 S △ POB = 2OB ⋅ PH 1 4 OB ⋅ PH = ∴2 5 1 × OB ⋅ OA2 ，∴ PH = 4 4 OA = 5 5 × 15 = 12 .3 当y = 12时，−4x + 15 = 12， 解得x = 4，∴ P 2(4,12).②当点P 在AB 的延长线上时，若点Q 在B ，P 之间，且PQ = OD ，∠OPQ = ∠POD 时， △ POQ ≅ △ OPD ， 作OM ⊥ AB 于M ，PN ⊥ OB 于N ，则PN = OM = 12，∴ 点P 的纵坐标为−12，3当y = −12−4x + 15 = −12 解得x = 36，∴ P 3(36,−12).若点Q 在BP 的延长线上或BP 的反向延长线上，都不存在满足条件的P ，Q 两点． 综上所述，满足条件的点P 为P 1(12,6)，P 2(4,12)，P 3(36,−12). 22.解：(1)由题意得：(130−100) × 80 = 2400（元），∴ 商家降价前每星期的销售利润为2400元 .(2)y = 130−x × 20 + 80 5 由题意可得：，即y = −4x + 600 ．(3) 设每星期的销售利润为w 元，则w = (x−100)y= (x−100)(−4x + 600)= −4(x−125)2+ 2500，∴ 当每件售价定为125元时，每星期的销售利润最大，最大销售利润是2500元.。
2020年九年级中考数学一轮复习 平面直角坐标系 练习(含答案)
2020年中考数学一轮复习平面直角坐标系一、单选题1．初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）2．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在平面直角坐标系的第四象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）4．如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( )A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2)5．若点P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜0 B．0＜a＜2C．a＞2 D．a＜06．在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，3），B（2，1），将线段AB平移后，A点的坐标变为（﹣3，2），则点B的坐标变为（）A．（﹣1，2）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（1，2）7．小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是()A．(5，30) B．(8，10) C．(9，10) D．(10，10)8．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）9.在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（））C．（）D．（﹣1，1）A．（1，1）B．（010．直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（）A．（3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（﹣2，﹣1）D．（+1，+1）二、填空题11．某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m - i,n - j]，并称a+b为该生的位置数.若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m•n的最大值为_____________.12．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.13．定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P ，Q 的“实际距离”.如图，若()P 1,1-，()Q 2,3，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS SQ 5+=或PT TQ 5.+=环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具.设A ，B 两个小区的坐标分别为()A 3,1，()B 5,3-，若点()M 6,m 表示单车停放点，且满足M 到A ，B 的“实际距离”相等，则m =______．14．正方形111A B C O 、2221A B C C 、3332A B C C 、…按如图所示的方式放置.点1A 、2A 、3A 、…和点1C 、2C 、3C 、…分别在直线1y x =+和x 轴上，则点n B 的坐标是__________．（n 为正整数）三、解答题15．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2）（1）A3的坐标为______，A n的坐标（用n的代数式表示）为______．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？16．已知△ABC中，点A(-1，2)，B(-3,-2)，((3，-3)，试解決下列问题:(1)在直角坐标系中画出△ABC．(2)求△ABC的面积17．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC沿AA′的方向平移，使得点A移至图中的点A′的位置．（1）在直角坐标系中，画出平移后所得△A′B′C′（其中B′、C′分别是B、C的对应点）．（2）(1)中所得的点B′，C′的坐标分别是，．（3）求出△ABC的面积．18．在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b﹣6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．（1）a= ，b= ，点B的坐标为；（2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．19．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b满足关系式：|a+3|+(b-a+1)2=0.（1）a=___，b=___，△BCD的面积为______；（2）如图2，若AC⊥BC，点P线段OC上一点，连接BP，延长BP交AC于点Q，当∠CPQ=∠CQP时，求证:BP平分∠ABC；（3）如图3，若AC⊥BC，点E是点A与点B之间一动点，连接CE,CB始终平分∠ECF,当点E在点A与点B之间运动时，BECBCO∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.答案1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．D10．A11．3612．（-2，-2）13．0．14．1(21,2)n n --15．解：（1）∵A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2），∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的横坐标依次大3， ∴A 3（5+3，2），A n （()132333n -++++n L 个，2），即A 3（8，2），A n （3n ﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n ﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．16.解：（1）△ABC 如图所示：（2）△ABC的面积是13.17.（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；(2)点B′的坐标是;(5,3),点C′的坐标是：(8,4)；故答案为(5,3),(8,4)；(3)△ABC的面积为：6−12×1×2−12×1×2−12×3=52.18.(1)∵a、b60.b-=∴a−4=0，b−6=0，解得a=4，b=6，∴点B的坐标是(4,6)，故答案是：4,6,(4,6)；(2)∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O−C−B−A−O的线路移动，∴2×4=8，∵OA=4，OC=6，∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：8−6=2，即当点P移动4秒时,此时点P在线段CB上,离点C的距离是2个单位长度,点P的坐标是(2,6)；(3)由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是：5÷2=2.5秒，第二种情况，当点P在BA上时,点P移动的时间是：(6+4+1)÷2=5.5秒，故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒.19.（1）解：如图1中，∵|a+3|+（b-a+1）2=0，∴a=-3，b=4，∵点C（0，-3），D（-4，-3），∴CD=4，且CD∥x轴，∴△BCD的面积=1212×4×3=6；故答案为-3，-4，6．（2）证明：如图2中，∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB，AC⊥BC，∴∠CBQ+∠CQP=90°，又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，∴∠ABQ=∠CBQ，∴BQ平分∠CBA．（3）解：如图3中，结论：BECBCO∠∠=定值=2．理由：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°，∵CB平分∠ECF，∴∠ECB=∠BCF，∴∠ACD+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠ACD=∠ACE，∴∠DCE=2∠ACD，∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ACD=∠BCO，∵C（0，-3），D（-4，-3），∴CD∥AB，∠BEC=∠DCE=2∠ACD，∴∠BEC=2∠BCO，∴BEC BCO∠∠=2。
2023年九年级中考数学一轮复习：锐角三角函数(含答案)
2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数（含答案）一、单选题1．如图，在ABC 中， 45B ∠=︒ ， 30C ∠=︒ ，分别以 A 、 B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 D 、 E ．作直线 DE ，交 BC 于点 M ；同理作直线 FG 交 BC 于点 N ，若 6AB = ，则 MN 的长为（ ）A ．1B 3C ．3D ．232．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则sin∠OMN 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2 D 33．如图，在 Rt ABC 中， 9053C AB BC ∠=︒==，， ，则 sin B 的值为（ ）A ．45B ．34C ．35D ．43二、填空题4．cos60︒ = .5．两块等腰直角三角形纸片 AOB 和 COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，210AB = ， 4CD = .保持纸片 AOB 不动，将纸片 COD 绕点O 逆时针旋转 α()090α<<︒ .当BD 与 CD 在同一直线上（如图2）时， α 的正切值等于 .6．在 ABC ∆ 中， 903016ACB A AB ︒︒∠=∠==，， ，点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作PQ AB ⊥ ，垂足为 P ，交边 AC （或边 CB ）于点 Q ，设 AP x = ，当 APQ ∆ 的面积为 3时， x 的值为 .三、综合题7．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4，将∠ABC 绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落在点E 处，点C 落在点D 处．P 、Q 分别为线段AC 、AD 上的两个动点，且AQ ＝2PC ，连接PQ 交线段AE 于点M ．（1）AQ ＝ ，∠APQ 为等边三角形；（2）是否存在点Q ，使得∠AQM 、∠APQ 和∠APM 这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ 的长；若不存在请说明理由； （3）AQ ＝ ，B 、P 、Q 三点共线．8．（1）计算：3tan30°-(cos60°)-1+8 cos45°+()1tan 60-︒（2）先化简，再求代数式 221(1)122x x x --÷++ 的值，其中x=4cos30°-tan45° 9．如图，AB 是∠O 的直径，点P 在∠O 上，且PA ＝PB ，点M 是∠O 外一点，MB 与∠O 相切于点B ，连接OM ，过点A 作AC OM 交∠O 于点C ，连接BC 交OM 于点D ．（1）求证：MC是∠O的切线；（2）若152OB=，12BC＝，连接PC，求PC的长．10．如图，在∠ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF.（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长.11．如图，∠ABC内接于∠O，AB是∠O的直径，∠O的切线AP与OC的延长线相交于点P，∠P＝∠BCO.（1）求证：AC＝PC；（2）若AB＝6 3，求AP的长.12．（12744 sin603233-︒-（2）先化简，再求值：342111xxx x-⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中22x=.13．如图，以AB为直径作O，过点A作O的切线AC，连接BC，交O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证： 2AEB C ∠=∠ ； （2）若 5AB = ， 3cos 5B =，求 DE 的长． 14．（1）计算： 2cos 45sin 30tan 45︒︒︒+⋅ . （2）求二次函数 21212y x x =++ 图象的顶点坐标. 15． 如图，直线y =-x +b 与反比例函数 3y x=-的图象相交于点A （a ，3），且与x 轴相交于点B ．（1） 求a 、b 的值；（2） 若点P 在x 轴上，且∠AOP 的面积是∠AOB 的面积的12，求点P 的坐标． 16．如图， PA 、 PB 为O 的切线，A 、B 为切点，点C 为半圆弧的中点，连 AC 交 PO于E 点.（1）求证： PB PE = ； （2）若 3tan 5CPO ∠=，求 sin PAC ∠ 的值. 17．（120313213(202248)64---⨯--（）．（2）先化简，再求值：2243()22ab a ba b a b b a a b---⨯÷+-+，代入你喜欢的a ，b 值求结果． 18．矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数 ky x= （k ＞0）的图象与边AC 交于点E.（1）当点F 为边BC 的中点时，求点E 的坐标； （2）连接EF ，求∠EFC 的正切值.19．如图1，已知矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，O 是对角线AC 的中点，点E 从A 点沿AB 向点B运动，运动过程中连接OE ，过O 作OF∠OE 交BC 于F ，连接EF ，（1）当点E 与点A 重合时，如图2，求 tan OEF ∠ 的值；（2）运动过程中， tan OEF ∠ 的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由； （3）当EF 平分∠OEB 时，求AE 的长.20．如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()10A -，、()20B ，，与y 轴交于点C ，且2tan OAC ∠=.（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBCBCDSS=，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q.设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQOQ的最大值. 21．如图1，四边形 ABCD 内接于O ， BD 为直径， AD 上存在点E ，满足AE CD = ，连结 BE 并延长交 CD 的延长线于点F ， BE 与 AD 交于点G.（1）若 DBC α∠= ，请用含 α 的代数式表列 AGB ∠ . （2）如图2，连结 ,CE CE BG = .求证； EF DG = . （3）如图3，在（2）的条件下，连结 CG ， 2AG = . ①若 3tan 2ADB ∠=，求 FGD 的周长. ②求 CG 的最小值.22．如图，直线364y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 为线段AB 上一动点（不与A 、B 重合），以C 为顶点作OCD OAB ∠=∠，射线CD 交线段OB 于点D ，将射线OC 绕点O 顺时针旋转90︒交射线CD 于点E ，连接BE .（1）证明：CD ODDB DE=；（用图1） （2）当BDE 为直角三角形时，求DE 的长度；（用图2） （3）点A 关于射线OC 的对称点为F ，求BF 的最小值.（用图3）23．如图，在二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D.其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F.连接AC ，BD.（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求 OBC ∠ 的度数； （2）若 ACO CBD ∠=∠ ，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象上，始终存在一点P ，使得 75ACP ∠=︒ ，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.24．如图，已知 AB 是O 的直径，点 E 是O 上异于 A ， B 的点，点 F 是 EB 的中点，连接 AE ， AF ， BF ，过点 F 作 FC AE ⊥ 交 AE 的延长线于点 C ，交 AB 的延长线于点 D ， ADC ∠ 的平分线 DG 交 AF 于点 G ，交 FB 于点 H ．（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）求 sin FHG ∠ 的值； （3）若 GH 42=， HB 2= ，求 O 的直径．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 ()240y ax bx a =++≠ 的图象经过 ()3,0A - ，()4,0B 两点，且与 y 轴交于点 C .点 D 为 x 轴负半轴上一点，且 BC BD = ，点 P ，Q 分别在线段 AB 和 CA 上.（1）求这个二次函数的表达式.（2）若线段 PQ 被 CD 垂直平分，求 AP 的长. （3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点 G ，使得 GCBGCASS= ，再在这个二次函数的图象上取一点 E （不与点 A ， B ， C 重合），使得 45GBE ∠=︒ ，求点 E 的坐标.参考答案1．【答案】A【解析】【解答】如解图，连接AM、AN，由作法可知，DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，∴AM=BM，AN=CN．∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAM=45°，∠CAN=30°．∴∠AMB=∠AMC=90°．∴∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°．∵AB= 6，∴AM= 3，∴MN=AM·tan30°=1，故答案为：A．【分析】利用线段垂直平分线的性质得到AM=BM，AN=CN，∠BAM=45°，∠CAN=30°．求得∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解。
2023年九年级数学中考一轮基础复习--有理数(含解析)
2023年数学中考一轮基础复习--有理数一、单选题1．下列各数： 2-1（）， --3（） ， 3-2（） ， -1-2⨯（）（） 其中负数有( )个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．下列四个算式中运算结果为2022的是（ ）A ．2021(1)+-B ．2021(1)--C ．2021(1)-⨯-D ．2022(1)÷-3．在课题学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．甲：如图1，盒子底面的四边形ABCD 是正方形； 乙：如图2，盒子底面的四边形ABCD 是正方形；丙：如图3，盒子底面的四边形ABCD 是长方形，AB=2AD ．将这三位同学所折成的无盖长方体的容积按从大到小的顺序排列，正确的是A ．甲＞乙＞丙B ．甲＞丙＞乙C ．丙＞甲＞乙D ．丙＞乙＞甲4．若|2|b +与2(3)a -互为相反数，求a b 的值为（ ）．A ．8-B ．8C ．18-D ．185．2019年7月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为400000万平方米，将数据400000用科学记数法表示应为（ ） A ． 60.410⨯ B ．9410⨯ C ．44010⨯D ．5410⨯6．在算式 123-- 中，“□”内填入下列运算符号中的一种，计算结果最大的是（ ） A ．+B ．-C ．×D ．÷7．已知a ＝2 0162，b ＝2 015×2 017，则( )A ．a ＝bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．a ≤b8．已知 23x <≤ ，则 3x -的值为（ ）A ．25x -B ．-1C ．1D ．52x -9．有理数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则a bab+ 的值是( )A ．负数B ．正数C ．0D ．正数或10．据中央电视台新闻联播报道：今年4月我国国际收支口径的国际货物和服务贸易顺差337亿美元.用科学记数法表示337亿正确的是（ ） A ．337×108B ．3.37×1010C ．3.37×1011D ．0.337×1011二、填空题11． 2019年国庆 7 天长假期间，河南、山西、湖北、西和陕西等 5 省份接待游客总数均超过 6000 万人次，这个数据用科学记数法表示为 人次.12．﹣2021的相反数是 ．13．若 ()2230x y -++= ，则 x y ＝ 14．绝对值不大于10的所有整数的和等于 .15．某学习小组在“设计自己的运算程序”这一综合与实践课题的研究中发现，任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，就能得到一个固定的数字，他们称它为“数字黑洞”．这个固定的数字是 ．16．已知 2(3)60a b -++= ，则方程ax=b 的解为 ．17．据统计，2018年国家公务员考试报名最终共有1 659 745人通过了招聘单位的资格审查，这个数据用科学记数法可表示为 （精确到万位）18．“辽宁号”航空母舰的满载排水量为67500吨，将数67500用科学记数法表示为 ．三、计算题19．计算： 2012sin 45124sin 60(2020)122π-⎛⎫----++-- ⎪⎝⎭20．计算题（1）30×（124235-- ） （2）－14－（1－0.5）×13×[1－（－2）3] 21．计算：()()235248-----÷22．计算： 225323(2)23⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、解答题23．把下列各数填入相应的大括号里：(){}160-0.618-3.14,2602015--2---2,0.337⋅-+⎡⎤⎣⎦，，，，，，， 正分数集合｛ …｝； 整数集合｛ …｝； 非正数集合｛ …｝； 有理数集合｛ …｝24．若a ，b ，c 是ABC 的三边的长，化简|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|.25．有理数a 的绝对值为5，有理数b 的绝对值为3，且a ，b 一正一负，求a ﹣b 的值．26．在数轴上表示下列各数：﹣3，4，﹣213，1.5，并按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来．27．已知1-12 = 12 , 12 - 13 = 16 , 13 - 14 = 112 , 14 - 15 = 120………根据这些等式求值。
2021年九年级中考数学 一轮复习：多边形与平行四边形(含答案)
2021中考数学一轮复习：多边形与平行四边形一、选择题1. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°D. 124°2. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是A．180°B．360°C．540°D．720°3. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．214. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为()A．7 B．7或8C．8或9 D．7或8或95. 若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是()A．8 B．9 C．10 D．116. 若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为()A．180°×n B．180°×n－180°C．180°×n＋180°D．180°×n－360°7. (2020自贡)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2 B．C．D．8. （2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题9. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.10. 若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是________ __．11. 如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠B＋∠C＝260°，则∠D的度数为________．12. 如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__________．13.（2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）.14. 如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．15. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．16. 如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD的周长为__________．A BC三、解答题 17. （2020·淮安）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO=CO ．（1）求证∶△AOF ≌△COE ；（2）连接AE 、CF ，则四边形AECF_______________（填"是"或"不是"）平行四边形．18. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA19. （2020·扬州）如图，▱ABCD的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC ，分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接AF 、CE .（1）若OE =32，求EF 的长；（2）判新四边形AECF 的形状，并说明理由.20. （2020·贵阳）（10分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是BC 边上一点，点F在BC 的延长线上，且CF ＝BE ．（1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）连接ED ，若∠AED ＝90°，AB ＝4，BE ＝2，求四边形AEFD 的面积．21. 如图①，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，∠DBC＝90°，现将△AEF 沿BD 的方向匀速平移，速度为2cm/s ，同时，点G 从点D 出发，沿DC 的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF 停止移动时，点G 也停止运动，连接AD ，AG ，EG ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t (s)(0＜t ＜4)． (1)当t ＝1时，求EH 的长度； (2)若EG ⊥AG ，求证：EG 2＝AE ·HG ； (3)设△AGD 的面积为y (cm 2)，当t 为何值时，y 可取得最大值，并求y 的最大值．2021中考数学 一轮复习：多边形与平行四边形-答案一、选择题1. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.2. 【答案】C【解析】黑色正五边形的内角和为：(5–2)×180°=540°， 故选C ．3. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为6×3=18，故选C．4. 【答案】D[解析] 设内角和为1080°的多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝1080°，解得n＝8.则原多边形的边数为7或8或9.故选D.5. 【答案】C[解析] 设多边形有n条边，则n－2＝11，解得n＝13.故这个多边形是十三边形．故经过这一点的对角线的条数是13－3＝10.6. 【答案】D7. 【答案】B【解析】本题考查了平行四边形、全等三角形、勾股定理、一元二次方程等知识．解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QFA≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，∴AE，因此本题选B．8. 【答案】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴＝＝＝，故选：C．二、填空题9. 【答案】答案不唯一，如AD∥BC或AB=CD或∠A+∠B=180°等10. 【答案】5【解析】∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360=540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2=3+2=5．故答案为：5．11. 【答案】100°12. 【答案】50°【解析】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠FBA ＝∠C＝40°，∵FD⊥AD，∴∠ADF＝90°，∵AD∥BC，∴∠F＝∠ADF＝90°，∴∠BEF＝180°－90°－40°＝50°.13. 【答案】AD=BC【解析】当添加条件AD=BC时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形.14. 【答案】110°【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB交对角线AC于点E，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠CAB＋∠ABE＝20°＋90°＝110°.15. 【答案】36°【解析】∵在▱ABCD中，∠D＝∠B＝52°，∴∠AEF＝∠DAE ＋∠D＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF＝108°，由折叠的性质得，∠AED′＝∠AED＝108°，∴∠FED′＝∠AED′－∠AEF＝108°－72°＝36°.16. 【答案】16【解析】∵ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴BO=DO=12BD ，BD=2OB ，∴O 为BD 中点，∵点E 是AB 的中点，∴AB=2BE ，BC=2OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∴CD=2BE ． ∵△BEO 的周长为8，∴OB+OE+BE=8，∴BD+BC+CD=2OB+2OE+2BE=2(OB+OE+BE)=16， ∴△BCD 的周长是16，故答案为16．三、解答题17. 【答案】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ， 在△AOF 和△COE 中 FAO ECO AO COAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOF 和△COE （ASA ）． （2）由（1）△AOF 和△COE ， ∴OF=OE ， 又∵OA=OC ，∴四边形AEOF 为平行四边形．18. 【答案】如图，连结AC 、BD ．∵PQ 为ABC ∆的中位线∴PQ AC ∥且12PQ AC =同理MN AC ∥且12MN AC =∴MN PQ ∥且MN PQ =∴四边形PQMN 为平行四边形． 在AEC ∆和DEB ∆中AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=︒=∠ 即AEC DEB ∠=∠ ∴AEC DEB ∆∆≌ ∴AC BD =∴1122PQ AC BD PN ===.QEP NMD CBA19. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO =CO ，AB ∥DC ，∴∠OAE =∠OCF ，∵EF ⊥AC ，∴∠AOE =∠COF =90°，在△AEO 和△CFO 中，∠OAE ＝∠OCF ，AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AEO ≌△CFO ，∴OE =OF ，又OE =32，∴OE =OF =32，∴EF = OE +OF =3；（2）四边形AECF 是菱形，证明：由（1）得OE =OF ，又∵AO =CO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．解：（1）证明：∵∠四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵BE ＝CF ，∴BE+EC ＝EC+EF ，即BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形；（2）解：连接DE ，如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，在R t △ABE 中，AE 2， ∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EAD ，∵∠B ＝∠AED ＝90°，∴△ABE ∽△DEA ， ∴AE ：AD ＝BE ：AE ，∴AD 10，∴四边形AEFD 的面积＝AB×AD＝2×10＝20．21. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，又∠DBC ＝90°， ∴∠ADB ＝90°，又AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，由勾股定理得，AB ＝AD 2＋BD 2＝10cm ， 当t ＝1时，EB ＝2cm ， 则DE ＝8－2＝6cm ， ∵EH ⊥CD ，∠DBC ＝90°， ∴△DEH ∽△DCB ， ∴DE DC ＝EH BC ，即610＝EH 6， 解得EH ＝3.6cm ；(2)∵∠CDB ＝∠AEF ， ∴AE ∥CD ，∴∠AEG ＝∠EGH ，又EG ⊥AG ，EH ⊥CD ， ∴△AGE ∽△EHG ， ∴EG HG ＝AE EG ， ∴EG 2＝AE ·HG ；(3)由(1)得，△DEH ∽△DCB ，∴DE CD ＝EHBC ，即8－2t 10＝EH 6，解得，EH ＝24－6t5，∴y ＝12×DG ×EH ＝－6t 2＋24t 5＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245，∴当t ＝2时，y 的最大值为245.。
九年级最新数学中考一轮复习测试题初三数学复习检测题带图文答案100篇一轮复习6期函数(二)同步练习
中考一轮复习：函数（二）同步练习 二次函数图象与性质同步练习（答题时间：30分钟）1. 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情况是（ ）xyO -3A. 无实根B. 有两个相等实数根C. 有两个异号实数根D. 有两个同号不等实数根2. 下图中，哪个是二次函数y ＝2x 2－4x ＋3的图象（ ）123-1-2-3-1-21234yx 123-1-2-3-1-21234yx123-1-2-3-1-21234yx 123-1-2-3-1-21234yxA B C D3. （山东泰安）已知函数y ＝（x －m ）（x －n ）（其中m ＜n ）的图象如图所示，则一次函数y ＝mx ＋n 与反比例函数y ＝xnm 的图象可能是（ ）A. B.C. D.*4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴是x ＝1，则下列结论中正确的是（ ）xyOA. ac ＞0B. b ＜0C. b 2－4ac ＜0D. 2a ＋b ＝05. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则a ______0，b ______0，c ______0。
（填“>”“<”或“＝”）xyO**6. （浙江杭州）设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过A （0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__________．*7. （北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数m ＞0，对于任意的函数值y ，都满足－m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值。
例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1。
（1）分别判断函数 y ＝x1（x ＞0）和y ＝x ＋1（－4≤x ≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y ＝－x ＋1（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数 y ＝x 2（－1≤x ≤m ，m ≥0）的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足43≤t ≤1？二次函数图象与性质同步练习参考答案1. D 解析：方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0即ax 2＋bx ＋c ＝－2。
2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数(含解析)
2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数一、单选题1．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( )A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-2．若抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜1C ．m ＞﹣1D ．m ＞13．已知下列命题：①抛物线y ＝3x 2+5x ﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题4．当﹣7≤x≤a 时，二次函数y ＝﹣ 12（x+3）2+5恰好有最大值3，则a ＝ . 5．若函数y=a （x ﹣h ）2+k 的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x 2﹣2x+3相同，则此函数关系式 ．6．函数y=x 2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而 （填写“增大”或“减小”）．三、综合题7．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．8．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽 24m ，最高点离水面 8m ，以水平线 AB 为x 轴， AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高 4m ，最宽处为 18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．9．已知二次函数 223y x bx b =+- ．（1）当该二次函数的图象经过点 ()10A ， 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ，点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值；（3）若对满足 1x ≥ 的任意实数x ，都使得 0y ≥ 成立，求实数b 的取值范围．10．已知：如图，二次函数 2y ax bx c =++ 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为 ()1,0- ，点 ()C 0,5 ，另抛物线经过点 ()1,8 ，M 为它的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）求 MCB 的面积 MCB S .11．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同.（2）从第一次降价的第1天算起，第 x 天（ x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示；已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第 x 天的利润为 y 元，求 y 与(115)x x ≤< 之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？12．如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．13．已知二次函数y=﹣（a+b ）x 2﹣2cx+a ﹣b ，a ，b ，c 是△ABC 的三边．（1）当抛物线与x 轴只有一个交点时，判断△ABC 的形状并说明理由；（2）当x=﹣ 12 时，该函数有最大值 2a ，判断△ABC 的形状并说明理由． 14．某水产养殖户进行小龙虾养殖. 已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 ()y kg 与时间第 t 天之间的函数关系式为 2100y t =+ （ 180t ≤≤ ， t 为整数），销售单价 p （元/ kg ）与时间第 t 天之间满足一次函数关系如下表：（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？15．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD ，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB 的长为x 米，矩形绿化带的面积为S 平方米.（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）求围成矩形绿化带ABCD 面积S 的最大值.16．已知 y 关于 x 的二次函数 ()220.y ax bx a =--≠（1）当 24a b ==， 时，求该函数图象的顶点坐标.（2）在（1）条件下， ()P m t ， 为该函数图象上的一点，若 p 关于原点的对称点 p ' 也落在该函数图象上，求 m 的值（3）当函数的图象经过点（1，0）时，若 1211322A y B y a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 是该函数图象上的两点，试比较 1y 与 2y 的大小.17．抛物线 245y x x =-++ 与 x 轴交于点 A ， B 两点（ A 在 B 的左侧），直线 334y x =-+ 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D ．点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF x ⊥ 轴于点 F ，交直线 CD 于点 E ．． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）设点 P 的横坐标为 m ，若 5PE EF = ，求 m 的值；18．已知m,n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH△x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．19．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h) 2-4(a≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(-3，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC .求点P 的坐标；（3）设点Q 是线段AC 上的动点，作QD△x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值.20．如图，已知抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为 ．21．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线 -2y x = 交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN△x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，函数221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点()1,2 时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x ≤ 时，若函数 221y x ax =-- （a 为常数）的图象的最低点到直线 2y a = 的距离为2，求a 的值．（4）设0a < ， Rt EFG 三个顶点的坐标分别为 ()1,1E -- 、 ()1,1F a -- 、 ()0,1G a - ．当函数 221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与 EFG 的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 P ' （ P ' 与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 A ' ．若 2AA PP '=' ，直接写出a 的值．23．已知，抛物线y ＝mx 2＋ 94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B ，与y 轴交于点C ．点D （n ，0）为x 轴上一动点，且有﹣4＜n ＜0，过点D 作直线1△x 轴，且与直线AC 交于点M ，与抛物线交于点N ，过点N 作NP △AC 于点P ．点E 在第三象限内，且有OE ＝OD ．（1）求m 的值和直线AC 的解析式．（2）若点D 在运动过程中， 12AD ＋CD 取得最小值时，求此时n 的值． （3）若点△ADM 的周长与△MNP 的周长的比为5△6时，求AE ＋23CE 的最小值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 223y x x =+- 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ．对称轴为直线 l ，点 ()4,D n - 在抛物线上．（1）求直线 CD 的解析式；（2）E 为直线 CD 下方抛物线上的一点，连接 EC 、 ED ．当 ECD ∆ 的面积最大时，在直线 l 上取一点 M ，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N ，连接 EM 、 BN ．若 EM BN = 时，求 EM MN BN ++ 的值；（3）将抛物线 223y x x =+- 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线 y ' ， y ' 经过原点 O ． y ' 与 x 轴的另一个交点为 F ．设 P 是抛物线 y ' 上任意一点，点 Q 在直线 l 上， PFQ ∆ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点 P 的坐标．若不能，请说明理由．25．如图，已知抛物线 y ＝ 2ax bx c ++ 与 x 轴交于 A -（） ， B （） 两点，与 y 轴交于点 C 0,3（） ．（1）求抛物线的解析式及顶点 M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点 P ，使得 PAC 的周长最小，并求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O 、 C 重合）．过点 D 作 DE //PC 交 x 轴于点 E ．设 CD 的长为 m ，问当 m 取何值时， PDE ABMC 1S S 9 四边形 ．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，∴y=（x+4）2-16=x2+8x，故选：C．【分析】根据增加的面积=新的正方形的面积-原正方形的面积，可列出y与x之间的函数解析式.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac=4﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：B．【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；②相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；③任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；⑤圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；故答案为：B.【分析】根据抛物线与x轴的交点，弧、弦、圆心角的关系，正多边形与圆，三角形外心的性质，圆内接四边形的性质逐一判断即可. 4．【答案】-5【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴x=-3，∵x<-3时，y随x的增大而增大，∴当a<-3时，x=a时有最大值，∴y= ﹣12（a+3）2+5=3,解得a=-5，当a>-3时，x=-3时有最大值5，不符合题意，故答案为：-5.【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（-3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．5．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8【解析】【解答】解：∵函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得：ah2+k=0，∵最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k=8，又∵形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，∴二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得h=±2，∴函数解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8，故答案为：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8．【分析】根据函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得到ah2+k=0，由最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，得到顶点的纵坐标k=8，由形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，得到二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得到h=±2，得到函数解析式.6．【答案】-1；增大【解析】【解答】解：把y=0代入y=x2+2x+1，得x2+2x+1=0，解得x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；故答案为﹣1，增大．【分析】将y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．7．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=()() 221802000150120120005090x xx x⎧-++≤≤⎪⎨-+≤≤⎪⎩（2）解：当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案． 8．【答案】（1）解：∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为 ()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得 ()()8012012a =+- ，解得 118a =- ∴抛物线解析式为 21818y x =-+ ； （2）解：当x=9时，得 2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-，再将点C 代入计算即可；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：整式及其运算 (含答案)
2021年九年级数学中考一轮复习基础达标测评：整式及其运算（附答案）1．在代数式：x2，3ab，x+5，，﹣4，，a2b﹣a中，整式有（）A．4个B．5个C．6个D．7个2．代数式，4xy，，a，2009，，中单项式的个数是（）A．3B．4C．5D．63．一个含有多个字母的整式，如果把其中任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，那么称此整式是对称整式．例如，x2+y2+z2是对称整式，x2﹣2y2+3z2不是对称整式．①所含字母相同的两个对称整式求和，若结果中仍含有多个字母，则该和仍为对称整式；②一个多项式是对称整式，那么该多项式中各项的次数必相同；③单项式不可能是对称整式；④若某对称整式只含字母x，y，z，且其中有一项为x2y，则该多项式的项数至少为3．以上结论中错误的个数是（）A．4B．3C．2D．14．已知无论x，y取什么值，多项式（2x2﹣my+12）﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，则m+n等于（）A．5B．﹣5C．1D．﹣15．已知a﹣b＝3，c+d＝2，则（a+c）﹣（b﹣d）的值为（）A．1B．﹣1C．5D．﹣56．下列说法中错误的是（）A．（3.14﹣π）0＝1B．若x2+＝9，则x+＝±3C．a﹣n（a≠0）是a n的倒数D．若a m＝2，a n＝3，则a m+n＝67．下列等式中正确的个数是（）①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．A．0个B．1个C．2个D．3个8．计算x5m+3n+1÷（x n）2•（﹣x m）2的结果是（）A．﹣x7m+n+1B．x7m+n+1C．x7m﹣n+1D．x3m+n+19．下列各式运算正确的是（）A．3y3•5y4＝15y12B．（ab5）2＝ab10C．（a3）2＝（a2）3D．（﹣x）4•（﹣x）6＝﹣x1010．下列说法正确的是（）A．多项式乘以单项式，积可以是多项式也可以是单项式B．多项式乘以单项式，积的次数等于多项式的次数与单项式次数的积C．多项式乘以单项式，积的系数是多项式系数与单项式系数的和D．多项式乘以单项式，积的项数与多项式的项数相等11．已知a、b、c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，如果S＝（a+n+1）+（b+2n+2）+（c+3n+3），那么（）A．S是偶数B．S是奇数C．S的奇偶性与n的奇偶性相同D．S的奇偶不能确定12．下列运算正确的是（）A．a2•a5＝a10B．（a﹣2）2＝a2﹣4C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）4＝a813．下列式子中：①﹣；②a+b，③，④，⑤a2﹣2a+1，⑥x，是整式的有（填序号）14．单项式2πx2y的系数是．15．当k＝时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含xy项．16．若代数式﹣（3x3y m﹣1）+3（x n y+1）经过化简后的结果等于4，则m﹣n的值是．17．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n＝﹣2，mn＝﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为．18．若x m＝2，x n＝3，则x m+2n的值为．19．若a n＝2，a m＝5，则a m+n＝．若2m＝3，23n＝5，则8m+2n＝．20．已知2x＝3，2y＝5，则22x+y﹣1＝．21．计算2a•a2﹣a3的结果是．22．已知，则（y﹣z）m+（z﹣x）n+（x﹣y）t的值为．23．已知多项式x4﹣y+3xy﹣2xy2﹣5x3y3﹣1，按要求解答下列问题：（1）指出该多项式的项；（2）该多项式的次数是，三次项的系数是．（3）按y的降幂排列为：．（4）若|x+1|+|y﹣2|＝0，试求该多项式的值．24．已知A＝3x2+x+2，B＝﹣3x2+9x+6．（1）求2A﹣B；（2）若2A﹣B与互为相反数，求C的表达式；（3）在（2）的条件下，若x＝2是C＝2x+7a的解，求a的值．25．化简求值：3x2y﹣[2xy2﹣2（xy﹣x2y）+xy]+3xy2，其中x＝3，y＝﹣．26．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝log a N，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，log a（M•N）＝log a M+log a N．（I）解方程：log x4＝2；（Ⅱ）求值：log48；（Ⅲ）计算：（lg2）2+lg2•1g5+1g5﹣2018．27．x2•（﹣x）2•（﹣x）2+（﹣x2）328．已知（a x）y＝a6，（a x）2÷a y＝a3（1）求xy和2x﹣y的值；（2）求4x2+y2的值．29．计算：（1）（）﹣2﹣（﹣2）0+（﹣0.2）2014×（﹣5）2014（2）（﹣2×1012）÷（﹣2×103）3÷（0.5×102）2（3）（﹣4xy3）•（﹣xy）3﹣（﹣x2y3）2（4）5a2b•（﹣2a3b5）+3a•（﹣4a2b3）230．化简：（a+3）2﹣a（a+2）．31．化简：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2．32．已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．参考答案1．解：x2，3ab，x+5，﹣4，，a2b﹣a是整式，故选：C．2．解：根据单项式的定义，可知单项式有：4xy，a，2009，，．一共5个．故选：C．3．解：①假设两个对称整式分别为M和N（含相同的字母），由题意可知：任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，则M+N的结果不变，故①正确；②反例：x3+y3+z3+x+y+z为对称整式，但是次数并不相同，故②不正确；③反例：xyz为单项式，但也是对称整式，故③不正确；④对称整式只含字母x，y，z，且其中有一项为x2y，若x，y互换，则x2y：y2x，则有一项为y2x；若z，x互换，则x2y：z2y，则有一项为z2y；若y，z互换，则x2y：x2z，则有一项为x2z；所以该多项式的项数至少为4，故④不正确．所以以上结论中错误的是②③④，三个．故选：B．4．解：（2x2﹣my+12）﹣（nx2+3y﹣6）＝2x2﹣my+12﹣nx2﹣3y+6＝（2﹣n）x2+（﹣m﹣3）y+18，∵无论x，y取什么值，多项式（2x2﹣my+12）﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，∴，得，∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，故选：D．5．解：∵a﹣b＝3，c+d＝2，∴原式＝a+c﹣b+d＝（a﹣b）+（c+d）＝3+2＝5．故选：C．6．解：任何不为0的0次幂均等于1，因此选项A正确；当x2+＝9时，x+＝，因此选项B不正确；因为a﹣n＝，因此选项C正确；因为a m+n＝a m•a n＝3×2＝6，因此选项D正确；故选：B．7．解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10故②的答案不正确；③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；④25+25＝2×25＝26．所以正确的个数是1，故选：B．8．解：x5m+3n+1÷（x n）2•（﹣x m）2＝x5m+3n+1÷x2n•x2m＝x5m+3n+1﹣2n+2m＝x7m+n+1．9．解：A.3y3•5y4＝15y7，故本选项错误；B．（ab5）2＝a5b10，故本选项错误；C．（a3）2＝（a2）3，故本选项正确；D．（﹣x）4•（﹣x）6＝x10，故本选项错误；故选：C．10．解：A、多项式乘以单项式，单项式不为0，积一定是多项式，单项式为0，积是单项式，故本选项正确；B、多项式乘以单项式，积的次数等于多项式的次数与单项式次数的和，故本选项错误；C、多项式乘以单项式，积的系数是多项式系数与单项式系数的积，故本选项错误；D、由选项A知错误．故选：A．11．解：（a+n+1）+（b+2n+2）+（c+3n+3）＝a+b+c+6（n+1）．∵a+b+c为偶数，6（n+1）为偶数，∴a+b+c+6（n+1）为偶数∴S是偶数．故选：A．12．解：A、a2•a5＝a7，故选项计算错误；B、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故选项计算错误；C、a6÷a2＝a4，故选项计算错误；D、（﹣a2）4＝a8，故选项计算正确；13．解：①﹣，是单项式，符合题意；②a+b，是多项式符合题意，③，是单项式，符合题意；④，是分式不合题意，⑤a2﹣2a+1，是多项式符合题意，⑥x，是单项式，符合题意；即是整式的有：①②③⑤⑥．故答案为：①②③⑤⑥．14．解：单项式2πx2y的系数是2π，故答案为：2π．15．解：整理只含xy的项得：（k﹣3）xy，∴k﹣3＝0，k＝3．故答案为：3．16．解：﹣（3x3y m﹣1）+3（x n y+1）＝﹣3x3y m+1+3x n y+3，＝﹣3x3y m+3x n y+4，∵经过化简后的结果等于4，∴﹣3x3y m与3x n y是同类项，∴m＝1，n＝3，则m﹣n＝1﹣3＝﹣2，故答案为：﹣2．17．解：∵m+n＝﹣2，mn＝﹣4，∴原式＝2mn﹣6m﹣6n+3mn＝5mn﹣6（m+n）＝﹣20+12＝﹣8．故答案为：﹣8．18．解：∵x m＝2，x n＝3，∴x m+2n＝x m x2n＝x m（x n）2＝2×32＝2×9＝18；故答案为：18．19．解：∵a n＝2，a m＝5，∴a m+n＝a m•a n＝5×2＝10；∵2m＝3，23n＝5，∴8m+2n＝（23）m+2n＝23m+6n＝23m×26n＝（2m）3×（23n）2＝33×52＝27×25＝675．故答案为：10；675．20．解：22x+y﹣1＝22x×2y÷2＝（2x）2×2y÷2＝9×5÷2＝，故答案为：．21．解：2a•a2﹣a3＝2a3﹣a3＝a3．故答案为：a3．22．解：设＝k，则m＝k（y+z﹣x），n＝k（z+x﹣y），t＝k（x+y﹣z）．所以（y﹣z）m+（z﹣x）n+（x﹣y）t＝k（y+z﹣x）（y﹣z）+k（z+x﹣y）（z﹣x）+k（x+y﹣z）（x﹣y）＝k[y2+yz﹣xy﹣yz﹣z2+xz+z2+xz﹣yz﹣xz﹣x2+xy+x2+xy﹣xz﹣xy﹣y2+yz]＝k×0＝0故答案为：023．解：（1）该多项式的项为：x4，﹣y，3xy，﹣2xy2，﹣5x3y3，﹣1；（2）该多项式的次数是6，三次项的系数是﹣2；故答案为：6，﹣2；（3）按y的降幂排列为：﹣5x3y3﹣2xy2﹣y+3xy+x4﹣1；故答案为：﹣5x3y3﹣2xy2﹣y+3xy+x4﹣1；（4）∵|x+1|+|y﹣2|＝0，∴x＝﹣1，y＝2，∴x4﹣y+3xy﹣2xy2﹣5x3y3﹣1＝（﹣1）4﹣2+3×（﹣1）×2﹣2（﹣1）×22﹣5（﹣1）3×23﹣1＝1﹣2﹣6+8+40﹣1＝40．24．解：（1）2A﹣B＝2（3x2+x+2）﹣（﹣3x2+9x+6）＝6x2+2x+4+x2﹣3x﹣2＝7x2﹣x+2；（2）依题意有：7x2﹣x+2+＝0，14x2﹣2x+4+C﹣3＝0，C＝﹣14x2+2x﹣1；（3）∵x＝2是C＝2x+7a的解，∴﹣56+4﹣1＝4+7a，解得a＝﹣．故a的值是﹣．25．解：原式＝3x2y﹣（2xy2﹣2xy+3x2y+xy）+3xy2，＝3x2y﹣2xy2+2xy﹣3x2y﹣xy+3xy2，＝xy2+xy，当中x＝3，y＝﹣时，原式＝3×+3×（﹣）＝﹣1＝﹣．26．解：（I）log x4＝2；∴x2＝4，∵x＞0，∴x＝2；（II）解法一：log48＝log4（4×2）＝log44+log42＝1+＝；解法二：设log48＝x，则4x＝8，∴（22）x＝23，∴2x＝3，x＝，即log48＝；（II）（lg2）2+lg2•1g5+1g5﹣2018，＝lg2（lg2+1g5）+lg5﹣2018，＝lg2•1g10+lg5﹣2018，＝lg2+1g5﹣2018，＝1g10﹣2018，＝1﹣2018，＝﹣2017．27．解：原式＝x2•x2•x2﹣x6＝x6﹣x6＝0．28．解：（1）∵（a x）y＝a6，（a x）2÷a y＝a3∴a xy＝a6，a2x÷a y＝a2x﹣y＝a3，∴xy＝6，2x﹣y＝3．（2）4x2+y2＝（2x﹣y）2+4xy＝32+4×6＝9+24＝33．29．解：（1）（）﹣2﹣（﹣2）0+（﹣0.2）2014×（﹣5）2014，＝4﹣1+（﹣0.2）2014×（﹣5）2014，＝4﹣1+1＝4；（2）（﹣2×1012）÷（﹣2×103）3÷（0.5×102）2，＝（﹣2×1012）÷（﹣8×109）÷（0.25×104），＝（0.25×103）÷（0.25×104），＝0.1；（3）（﹣4xy3）•（﹣xy）3﹣（﹣x2y3）2，＝（﹣4xy3）•（﹣x3y3）﹣x4y6，＝﹣x4y6，＝x4y6；（4）5a2b•（﹣2a3b5）+3a•（﹣4a2b3）2，＝﹣10a5b6+3a•16a4b6，＝﹣10a5b6+48a5b6，＝38a5b6．30．解：原式＝a2+6a+9﹣a2﹣2a＝4a+9。
九年级最新数学中考一轮复习测试题初三数学复习检测题带图文答案100篇一轮复习9期四边形同步练习
中考一轮复习：四边形同步练习平行四边形同步练习（答题时间：30分钟）1.（广东）如图，平行四边形ABCD 中，下列说法一定正确的是（ ）A. AC ＝BDB. AC ⊥BDC. AB ＝CDD. AB ＝BC2.（新疆）四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A. OA ＝OC ，OB ＝ODB. AD ∥BC ，AB ∥DCC. AB ＝DC ，AD ＝BCD. AB ∥DC ，AD ＝BC*3.（孝感）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，则平行四边形ABCD 的面积是（ ）A. 21ab sinαB. ab sinαC. ab cosαD. 21ab cosα **4.（浙江湖州）在连接A 地与B 地的线段上有四个不同的点D 、G 、K 、Q ，下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B 地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）A BC D**5.（襄阳）在平行四边形ABCD 中，BC 边上的高为4，AB ＝5，AC ＝25，则平行四边形ABCD 的周长等于__________。
**6. （安徽）如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是__________。
（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF＝12∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF。
7. （广西贺州）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2。
（1）求证：BE＝DF；（2）求证：AF∥CE。
8. （广东汕尾）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F。
2024年九年级中考数学一轮复习专项练习题：相似(含答案)
2024年九年级中考数学一轮复习专项练习题：相似一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．各有一个角是70°的等腰三角形相似B ．各有一个角是95°的等腰三角形相似C ．所有的矩形相似D ．所有的菱形相似2．如图，在 △ABC 中， DE//BC ， AD =6 ， DB =3 ， AE =4 ，则 AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为（ ）A ．323B ．163C ．103D ．83 4．如图，在三角形ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，AM ＝ 14 AB ，AN ＝ 14 AC ，则三角形AMN 的面积与四边形MBCN 的面积比（ ）A ．12B ．115C ．14D ．116 5．如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ， OC 的中点， 则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1:6B ．1:5C ．1:4D ．1:26．如图， △ABC 中， AB =AC =3 ，将 △ABC 绕点 B 顺时针方向旋转得到 △DEB ，当点 D 落在 BC 边上时， ED 的延长线恰好 B 经过点 A ，则 AD 的长为（ ）A ．3√5−3B ．3√5−32C ．92D ．92√5 7．如图，四边形 ABCD 中， P 为对角线 BD 上一点，过点 P 作 PE//AB ，交 AD 于点E ，过点 P 作 PF//CD ，交 BC 于点F ，则下列所给的结论中，不一定正确的是（ ）．A ．PE AB =PF CD B ．AE DE =BF CFC ．CF BC +AE AD =1 D ．PE AB +PF CD =1 8．如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ，对角线 AC 、 BD 交于点 O 有以下四个结论其中始终正确的有（ ）①ΔAOB ∽ΔCOD ； ②ΔAOD ∽ΔACB ；③S ΔDOC :S ΔAOD =DC:AB ； ④S ΔAOD =S ΔBOCA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ，使AE=13AB ，AF=14AD ，连接EF 交对角线AC 于G ，则AG的值是．AC10．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC= ．11．已知：如图，PAB、PCD是⊙O的割线，PA=4cm，AB=6cm，CD=3cm .则PD = cm .12．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为cm．13．如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE 相交于点D，连接OD，AB=√2，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是．三、解答题14．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上的一点，连接EC交AD于点F.求证：△BEC∽△DCF .15．如图，在边长为1的正方形网格内有一个三角形ABC（1）把△ABC沿着轴向右平移5个单位得到△A1B1C1，请你画出△A1B1C1（2）请你以O点为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；（3）请你写出△A2B2C2三个顶点的坐标。
2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：二次函数(含解析)
2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：8二次函数一．选择题（共14小题）1．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4 2．（2022•宁波）点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞2B ．m ＞32C ．m ＜1D ．32＜m ＜2 3．（2022•湖州）将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝x 2+3B ．y ＝x 2﹣3C ．y ＝（x +3）2D ．y ＝（x ﹣3）24．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2与y 轴正半轴的交点为C ，一1＜x 1＜0，x 2＝2，则下列结论正确的是（ ）A ．b 2﹣4ac ＜0．B ．9a +3b +c ＞0C ．abc ＞0D ．a +b ＞05．（2022•景宁县模拟）关于二次函数y ＝﹣3（x ﹣2）2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值56．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝2，则下列说法中正确的有（ ） ①abc ＜0；②4ac−b 24a ＞0；③16a +4b +c ＞0；④5a +c ＞0；⑤方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x ＜﹣1．A．1个B．3个C．4个D．5个7．（2022•温州校级模拟）已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．m≥1B．0≤m≤2C．1≤m≤2D．1≤m≤3 8．（2022•萧山区校级二模）已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（）A．若x1+x2＞1，则y1＞y2B．若x1+x2＜1，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2 9．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④10．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5 11．（2022•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C ．D ．12．（2022•金华模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，与x 轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc ＜0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（其中m ≠1）．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个13．（2022•温州）已知点A （a ，2），B （b ，2），C （c ，7）都在抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣2上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（ ）A ．若c ＜0，则a ＜c ＜bB ．若c ＜0，则a ＜b ＜cC ．若c ＞0，则a ＜c ＜bD ．若c ＞0，则a ＜b ＜c14．（2022•下城区校级二模）关于x 的二次函数y ＝ax 2+2ax +b +1（a •b ≠0）与x 轴只有一个交点（k ，0），下列正确的是（ ）A ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＞k bB ．若k a ＞k b ，则0＜a ＜1C ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＜k bD ．若k a ＜k b ，则0＜a ＜1 二．填空题（共6小题）15．（2022•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A （2，4）在抛物线y ＝a （x ﹣4）2上，过点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点B ，点C ，D 在线段AB 上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD 的长为．16．（2022•西湖区校级二模）已知y＝﹣x2+6x+12（﹣7≤x≤5），则函数y的取值范围是．17．（2022•宁波模拟）如图，点P在x轴的负半轴上，⊙P交x轴于点A和点B（点A在点B的左边），交y轴于点C，抛物线y＝a（x+1）2+2√2−a经过A，B，C三点，CP的延长线交⊙P于点D，点N是⊙P上动点，则⊙P的半径为；3NO+ND的最小值为．18．（2022•富阳区一模）已知二次函数y＝（a2+1）x2﹣2022ax+1的图象经过（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），则y1+y32y2（选择“＞”“＜”“＝”填空）．19．（2022•东阳市模拟）抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是．20．（2022•兰溪市模拟）已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝x2﹣x﹣2a，若这两个抛物线与x 轴共有3个交点，则a的值为．三．解答题（共13小题）21．（2022•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？22．（2022•吴兴区校级二模）某公司电商平台在之前举行的商品打折促销活动中不断积累经验，经调查发现，某种进价为a元的商品周销售量y（件）关于售价x（元/件）的函数关系式是y＝﹣3x+300（40≤x≤100），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的一组对应值数据．【周销售利润＝（售价﹣进价）×周销售量】x y W401803600（1）求该商品进价a；（2）该平台在获得的周销售利润额W（元）取得最大值时，决定售出的该商品每件捐出m元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求m的最大值．23．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点A与点C．（1）求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴．（2）现将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，向上平移n（n＞0）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B与点C，求m，n的值．24．（2022•婺城区模拟）4月16日，婪城区开展全域大规模核酸检测筛查．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0～90分钟，y是x的二次函数，在90～110分钟，y是x的一次函数．（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式．（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？0）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？时间x（分）0153045759095100110人数y（个）60115160195238240180120025．（2022•吴兴区校级二模）如图1，抛物线y=12x2+bx+c(c＜0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于另一点D，直线BC与AD相交于点M．（1）已知点C的坐标是（0，﹣4），点B的坐标是（4，0），求此抛物线的解析式；（2）若b=12c+1，求证：AD⊥BC；（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线BC上一点，是否存在这样的点P，使得△PGQ是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足∠GQP＝∠OCA，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．26．（2022•鹿城区校级模拟）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为m（m＞30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．27．（2022•丽水模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上不同的两点．①若y1＝y2，求x1，x2之间的数量关系．②若x1+x2＝2（x1﹣x2），求y1﹣y2的最小值．28．（2022•义乌市模拟）如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求．（1）求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD 之间的水平距离）．（2）求电缆AC形成的抛物线的二次项系数．29．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D 点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a=19时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24）30．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．31．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．32．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．33．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m 的代数式表示n，并求出n的最大值．2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：8二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4 【解答】解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ，∵y 的最小值为﹣4，∴﹣a ＝﹣4，∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a =−12；综上所述：a 的值为4或−12，故选：D ．2．（2022•宁波）点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞2B ．m ＞32C ．m ＜1D ．32＜m ＜2 【解答】解：∵点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上， ∴y 1＝（m ﹣1﹣1）2+n ＝（m ﹣2）2+n ，y 2＝（m ﹣1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m ﹣2）2+n ＜（m ﹣1）2+n ，∴（m ﹣2）2﹣（m ﹣1）2＜0，即﹣2m +3＜0，∴m ＞32，故选：B．3．（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：y＝x2+3．故选：A．4．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标为x1，x2与y轴正半轴的交点为C，一1＜x1＜0，x2＝2，则下列结论正确的是（）A．b2﹣4ac＜0．B．9a+3b+c＞0C．abc＞0D．a+b＞0【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故A错误，不符合题意；由图象可知当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故B错误，不符合题意；∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线与x轴的交点是（x1，0）和（2，0），其中﹣1＜x1＜0，∴对称轴x=−b2a＞0，∴b＞0．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故C错误，不符合题意；∵﹣1＜x1＜0，x2＝2，∴1＜x1+x2＜2，∴12＜x 1+x 22＜1， ∴−b 2a ＞12，∴b ＞﹣a ，即a +b ＞0，故D 正确，符合题意．故选：D ．5．（2022•景宁县模拟）关于二次函数y ＝﹣3（x ﹣2）2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值5【解答】解：∵y ＝﹣3（x ﹣2）2+5，∴抛物线开口向下，x ＝2时，y 有最大值为y ＝5，故选：C ．6．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝2，则下列说法中正确的有（ ） ①abc ＜0；②4ac−b 24a ＞0；③16a +4b +c ＞0；④5a +c ＞0；⑤方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x ＜﹣1．A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0，又−b 2a=2，所以b ＝﹣4a ＞0， ∴abc ＜0，故①正确；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴b 2﹣4ac ＞0，∵a ＜0，∴4ac−b 24a ＞0，故②正确；∵16a +4b +c ＝16a ﹣16a +c ＝c ＞0，∴16a +4b +c ＞0，故③正确；当x ＝5时，y ＝25a +5b +c ＜0，∴25a ﹣20a +c ＜0，∴5a +c ＜0，故④错误；∵抛物线对称轴为直线x ＝2，其中一个交点的横坐标在4＜x ＜5，∴方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣1＜x ＜0，故⑤错误．故选：B ．7．（2022•温州校级模拟）已知函数y ＝x 2﹣2x +3，当0≤x ≤m 时，有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．0≤m ≤2C ．1≤m ≤2D ．1≤m ≤3【解答】解：如图所示，∵二次函数y ＝x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，当y ＝3时，x ＝0或2，∵当0≤x ≤m 时，y 最大值为3，最小值为2，∴1≤m ≤2．故选：C ．8．（2022•萧山区校级二模）已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（）A．若x1+x2＞1，则y1＞y2B．若x1+x2＜1，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2【解答】解：∵y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，∴抛物线对称轴为直线x=−m+1+m2=12，开口向下，当x1+x2＝1时，点A（x1，y1），B（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，即y1＝y2，∴当x1+x2＞1时，点A到抛物线对称轴的距离小于点B到抛物线对称轴的距离，∴y1＞y2，故选：A．9．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1，则−a2=1，解得a＝﹣2，∵函数的图象经过点（3，0），∴3a+b+9＝0，解得b＝﹣3，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；故命题②③④都是正确，①错误，故选：A．10．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴−m2×1=2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故选：D．11．（2022•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，A选项不符合题意；B选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线开口向下，一次函数y＝0时，x＜0，即−ba＜0，抛物线的对称轴−b2a＜0，B选项符合题意；C选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，一次函数y＝0时，x＜0，即−ba＜0，抛物线的对称轴−b2a＜0，C选项不符合题意；D选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线应该开口向下，一次函数y＝0时，x＞0，即−ba＞0，抛物线的对称轴−b2a＞0，D选项不符合题意；故选：B．12．（2022•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴右侧，函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确，符合题意；②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；③∵函数图象的对称轴为x＝1，∴x＝0时和x＝2时的函数值相等，∵x＝0时，y＞0，∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；④∵函数图象的对称轴为x＝1，∴−b2a=1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＝0，∴﹣2a+2b﹣2c＝0，∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＝0，故④错误，不符合题意；⑤∵函数图象的对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＝1时，函数值取得最大值，∴a+b+c＞m（am+b）+c，∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意，∴正确的结论有3个，故选：A．13．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜cC．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；故选：D．14．（2022•下城区校级二模）关于x的二次函数y＝ax2+2ax+b+1（a•b≠0）与x轴只有一个交点（k ，0），下列正确的是（ ）A ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＞k bB ．若k a ＞k b ，则0＜a ＜1C ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＜k bD ．若k a ＜k b ，则0＜a ＜1 【解答】解：∵关于x 的二次函数y ＝ax 2+2ax +b +1（a •b ≠0）与x 轴只有一个交点（k ，0），令y ＝0，∴ax 2+2ax +b +1＝0，∴（2a ）2﹣4a （b +1）＝0，∴4a 2﹣4ab ﹣4a ＝0，4a （a ﹣b ﹣1）＝0，∵关于x 的二次函数，∴a ≠0，∴a ﹣b ﹣1＝0，∴a ＝b +1，∴（b +1）x 2+2（b +1）x +b +1＝0，∵因为方程有两个相等的实数根，∴x +x =−2(b+1)b+1=−2， 解得x 1＝x 2＝﹣1，∴k ＝﹣1，k a −k b =−1a −1a−1=1a(a−1)，A 、当﹣1＜a ＜0时，a ﹣1＜0，a （a ﹣1）＞0，∴k a−k b ＞0， ∴k a ＞k b ，当0＜a ＜1，a ﹣1＜0，a （a ﹣1）＜0，k a −k b ＜0， ∴k a＜k b ， ∴无法确定大小，∴A、C错误；当0＜a＜1，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0，k a ＜kb，∴B、错误；D、正确；故选：D．二．填空题（共6小题）15．（2022•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝a（x ﹣4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD 的长为3或4．【解答】解：把A（2，4）代入y＝a（x﹣4）2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝（x﹣4）2，设点C横坐标为m，则CD＝CF＝8﹣m，∴点F坐标为（m，m﹣4），∴（m﹣4）2＝m﹣4，解得m＝5或m＝4．∴CD＝3或4．故答案为：3或4．16．（2022•西湖区校级二模）已知y＝﹣x2+6x+12（﹣7≤x≤5），则函数y的取值范围是﹣79≤y≤21．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x+12＝﹣（x﹣3）2+21，∴x＞3时，y随x的增大而减小，x＜3时，y随x的增大而增大，∵﹣7≤x≤5，∴当x ＝3时，取得最大值为21， 当x ＝﹣7时，取得最小值为﹣79，∴当﹣7≤x ≤5时，函数y 的取值范围为﹣79≤y ≤21． 故答案为：﹣79≤y ≤21．17．（2022•宁波模拟）如图，点P 在x 轴的负半轴上，⊙P 交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，抛物线y ＝a （x +1）2+2√2−a 经过A ，B ，C 三点，CP 的延长线交⊙P 于点D ，点N 是⊙P 上动点，则⊙P 的半径为 3 ；3NO +ND 的最小值为 6√3 ．【解答】解：如图1，连接AC ，BC ， ∵AB 为⊙P 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵OC ⊥AB ，∴可得：△AOC ∽△COB ， ∴OA OC=OC OB，∴OC 2＝OA •OB ，∵y ＝a （x +1）2+2√2−a ＝ax 2+2ax +2√2， ∴当x ＝0时，y ＝2√2， ∴OC ＝2√2，当y ＝0时，ax 2+2ax +2√2=0，∴x 1•x 2=2√2a， ∴OA •OB =−2√2a ， ∴−2√2a =（2√2）2， ∴a =√24， ∴−√24x 2−√22x +2√2=0，∴x 1＝﹣4，x 2＝2， ∴AB ＝6， ∴⊙P 的半径为3， 如图2，在PB 的延长线上截取PM ＝9，作DQ ⊥AB 于Q ， ∵PB ＝3，OB ＝2， ∴OP ＝1， ∴PN OP=PM PN=3，∵∠OPN ＝∠MPN ， ∴△OPN ∽△NPM ， ∴MN ON=OP PN=3，∴MN ＝3ON ， ∴DN +3ON ＝DN +MN ，∴当D 、N 、M 共线时，DN +3ON 最小， ∵PQ ＝OP ＝1， ∴MQ ＝PM +PQ ＝10，在Rt △MQD 中，DQ ＝OC ＝2√2，∴DM=√DQ2+MQ2=√(2√2)2+102=6√3，故答案为：3，6√3．18．（2022•富阳区一模）已知二次函数y＝（a2+1）x2﹣2022ax+1的图象经过（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），则y1+y3＞2y2（选择“＞”“＜”“＝”填空）．【解答】解：y1+y3﹣2y2＝（a2+1）m2﹣2022am+1+（a2+1）（m+2）2﹣2022a（m+2）+1﹣2[（a2+1）（m+1）2﹣2022a×（m+1）+1]整理得：y1+y3﹣2y2＝2a2+2＝2（a2+1）＞0，故答案为：＞．19．（2022•东阳市模拟）抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是（1，﹣6）．【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣8+2，即y＝2（x ﹣1）2﹣6．所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，﹣6）．故答案是：（1，﹣6）．20．（2022•兰溪市模拟）已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝x2﹣x﹣2a，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为−18或1或3．【解答】解：令y1＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线y1＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），∵两个抛物线与x轴共有3个交点，∴抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个交点或与抛物线y1＝x2﹣2x﹣3有一个公共点，令y2＝0，则x2﹣x﹣2a＝0，①当抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个交点时，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2a）＝1+8a＝0，解得：a=−1 8；②当抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与抛物线y1＝x2﹣2x﹣3有一个公共点时，当（﹣1，0）是两条抛物线的公共点时，1+1﹣2a＝0，解得：a＝1；当（3，0）是两条抛物线的公共点时，9﹣3﹣2a＝0，解得：a＝3．故答案为：−18或1或3．三．解答题（共13小题）21．（2022•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？【解答】解：（1）设y＝kx，把（1，2）代入，得：k＝2，∴y＝2x，（0≤x≤40）；（2）当0≤x≤8时，设y＝a（x﹣8）2+64，把（0，0）代入，得：64a+64＝0，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣8）2+64＝﹣x2+16x，当8＜x≤15时，y＝64；（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤x≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40﹣x）分钟，当0≤x≤8时，W＝﹣x2+16x+2（40﹣x）＝﹣x2+14x+80＝﹣（x﹣7）2+129，当x＝7时，W max＝129；当8≤x≤15时，W＝64+2（40﹣x）＝﹣2x+144，∵W随x的增大而减小，∴当x＝8时，Wmax＝128，综上，当x＝7时，W取得最大值129，此时40﹣x＝33，答：此“高效课堂”模式分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使这学生在40分钟的学习收益总量最大．22．（2022•吴兴区校级二模）某公司电商平台在之前举行的商品打折促销活动中不断积累经验，经调查发现，某种进价为a元的商品周销售量y（件）关于售价x（元/件）的函数关系式是y＝﹣3x+300（40≤x≤100），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的一组对应值数据．【周销售利润＝（售价﹣进价）×周销售量】x y W401803600（1）求该商品进价a；（2）该平台在获得的周销售利润额W（元）取得最大值时，决定售出的该商品每件捐出m元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求m的最大值．【解答】解：（1）由题意得，（40﹣a）×180＝3600，解得a＝20，即该商品进价为20元；（2）∵利润＝（售价﹣进价）×数量，∴W＝（x﹣20）（﹣3x+300）＝﹣3（x﹣60）2+4800，当x＝60元时，W取得最大值为4800元，售出的该商品每件捐出m 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，由题意得，60−20−m20×100%≥20%，解得m ≤36，即m 的最大值为36元．23．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC ，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A 与点C ． （1）求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴．（2）现将抛物线向左平移m （m ＞0）个单位，向上平移n （n ＞0）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B 与点C ，求m ，n 的值．【解答】解：（1）由题意，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（2，2）、（0，2）， 将（2，0）、（0，2）代入y ＝x 2+bx +c 中，得{c =24+2b +c =0，解得{b =−3c =2，∴二次函数的表达式为y ＝x 2﹣3x +2， 该抛物线的对称轴为直线x =−−32=32； （2）y =x 2−3x +2=(x −32)2−14，则平移后的抛物线的表达式为y =(x +m −32)2−14+n ， ∵平移后的抛物线恰好经过点B 与点C ，BC ∥x 轴， ∴平移后的对称轴为直线x ＝1，则m =32−1=12， ∴y =(x −1)2−14+n ，将（0，2）代入，得12−14+n =2，解得：n =54．24．（2022•婺城区模拟）4月16日，婪城区开展全域大规模核酸检测筛查．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0～90分钟，y是x的二次函数，在90～110分钟，y是x的一次函数．（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式．（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？0）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？时间x（分）0153045759095100110人数y（个）601151601952382401801200【解答】解：（1）设二次函数解析式为：y＝a（x﹣90）2+240，将A（0，60）代入得a=−1 45，∴曲线AB部分的函数解析式为：y=−145x2+4x+60；（2）设BC的解析式为：y＝kx+b，将B（90，240），C（110，0）代入，解得：k＝﹣12，b＝1320，∴BC的解析式为：y＝﹣12x+1320，将y＝220代入y=−145x2+4x+60中，解得：x＝60或x＝120（舍去），将y＝220代入y＝﹣12x+1320中，解得：x =2753， ∵2753−60=953， ∴满负荷状态的时间为953分；（3）设至少需要新增m 个窗口，1个窗口1分钟采样的人数为：240÷20÷6＝2， 10：15分时的排队人数为： 将x ＝75代入y =−145x 2+4x +60中， 解得：y ＝235，9：45分至10：15分之间采样的人数为： 2×30×6＝360， 235+360＝595，∴10点15分后，采样可以随到随采表示595人需要在30分钟内采样完毕， ∴2×（m +6）×30≥595， 解得：m ≥4712， ∵m 为整数， ∴m ＝4，∴至少需新增4个采样窗口．25．（2022•吴兴区校级二模）如图1，抛物线y =12x 2+bx +c(c ＜0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，与抛物线交于另一点D ，直线BC 与AD 相交于点M ．（1）已知点C 的坐标是（0，﹣4），点B 的坐标是（4，0），求此抛物线的解析式； （2）若b =12c +1，求证：AD ⊥BC ；（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，点P 是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P 的横坐标为t ，点Q 是直线BC 上一点，是否存在这样的点P ，使得△PGQ 是以点G 为直角顶点的直角三角形，且满足∠GQP ＝∠OCA ，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：由题意得：{c =−412×16+4b +c =0，解得：{b =−1c =−4，故抛物线的表达式为：y =12x 2﹣x ﹣4；（2）证明：若b =12c +1，则抛物线的表达式为：y =12x 2+（12c +1）x +c ，令y =12x 2+（12c +1）x +c ＝0，解得：x ＝﹣2或﹣c ，即点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）、（﹣c ，0）， ∵点C （0，c ），则点D （﹣c ﹣2，c ），由OC ＝BO ＝﹣c 知，直线BC 和x 轴负半轴的夹角为45°， 设直线AD 的表达式为：y ＝k （x +2）， 将点D 的坐标代入上式得：c ＝k （﹣c ﹣2+2）， 解得：k ＝﹣1，即直线AD 和x 轴正半轴的夹角为45°， ∴AD ⊥BC ；（3）解：存在，理由：在Rt △AOC 中，tan ∠ACO =OACO =24=12=tan ∠GPQ ， 由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣4， 设点P （t ，12t 2﹣t ﹣4），点Q （s ，s ﹣4），当点Q 在点P 的下方时，如下图，过点Q 、P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵∠MGQ +∠NGP ＝90°，∠NGP +∠PGN ＝90°， ∴∠MGQ ＝∠PGN ， ∵∠QMG ＝∠GNP ＝90°， ∴△QMG ∽△GNP ， ∴QMGN =GMPN =GQGP =tan∠GPQ =12，即|s−4||t−1|=|1−s||12t 2−t−4|=12，解得：t ＝2+√22（不合题意的值已舍去）； 当点Q 在点P 的上方时，如下图，同理可得：MQ GN=GMPN =2， 即|s−1||12t 2−t−4|=|s−4||t−1|=2，解得：t ＝2+√13或√13（不合题意的值已舍去）； 综上，t ＝2+√22或2+√13或√13．26．（2022•鹿城区校级模拟）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为m（m＞30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．【解答】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，由题意，得：1000 x+30=400x，解得：x＝20，经检验：x＝20是原方程的解；当x＝20时：x+30＝20+30＝50；∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；（2）①设利润为w，由表格，得：当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，∵k＝100＞0，∴w随着x的增大而增大，。
2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：三角形(含解析)
2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：9三角形一．选择题（共14小题）1．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 2．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．3B．4C．5D．6 3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线4．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN ＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A ．4√2B ．6C ．2√10D ．3√55．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 延长线上一点，且∠BAC ＝2∠CAD ，已知BC ＝4，AD ＝7，则△ACD 的面积为（ ）A ．7B ．14C ．21D ．286．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB ，EC ．若∠EBC ＝45°，BC ＝6，则△EBC 的面积是（ ）A ．12B ．9C ．6D ．3√27．（2022•浦江县模拟）如图，已知△AHB 是等腰直角三角形．∠AHB ＝90°，△AHG ，△BHC ，△ABE 是等边三角形，GH 交AE 于点F ．CH 交BE 于点D ．记四边形EFHD 的面积为S 1，△BCD 的面积S 2，则S 1S 2的值为（ ）A ．3−√33B ．2√3−√25C ．3√2−√66D ．√6−√28．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（ ）A ．超市B ．医院C ．体育场D ．学校9．（2022•龙湾区模拟）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，以△ABC 的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形按图2所示放置，连结MG ，DG ．若MG ⊥DG ，且BQ ﹣AF =32，则AB 的长为（ ）A ．4√3B ．5√2C ．152D ．25310．（2022•瑞安市校级三模）如图（1）是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，图（2）中，在线段AE 和CG 上分别取点P 和点Q ，使AP ＝CQ ，连接PD 、PB 、QD 和QB ，则构成了一个“压扁”的弦图．“压扁”的弦图（四边形PBQD ）中，4个直角三角形的面积（如图（2）中的阴影部分）依次记作S 1，S 2，S 3，S 4，连接PQ 并延长交BC 于点M ．若AE ＝3EF ＝3，S 1＝S 3＝S 2+S 4，则CM 的长为（ ）A ．√2B ．3√1314C ．1411D ．605311．（2022•奉化区二模）如图，等边△ABC 和等边△DEF 的边长相等，点A 、D 分别在边EF ，BC 上，AB 与DF 交于G ，AC 与DE 交于H ．要求出△ABC 的面积，只需已知（ ）A ．△BDG 与△CDH 的面积之和B ．△BDG 与△AGF 的面积之和C ．△BDG 与△CDH 的周长之和D ．△BDG 与△AGF 的周长之和12．（2022•永嘉县三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周辞算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD ．连结CE ，若CE ＝AD ，则tan ∠BCE 的值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．4513．（2022•温州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作GM ⊥CF 于点M ，BJ ⊥GM 于点J ，AK ⊥BJ 于点K ，交CF 于点L ．若正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，CE =√10+√2，则CH 的长为（ ）A ．√5B ．3+√52C ．2√2D ．√1014．（2022•江北区模拟）如图，在锐角三角形△ABC 中，分别以三边AB ，BC ，CA 为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S 1，三角形内的阴影面积为S 2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S 1﹣S 2的是（ ）A ．已知△ABC 的三条中位线的长度B ．已知△ABC 的面积C ．已知BC 的长度，以及AB ，AC 的长度和D ．已知AB ，AC 的长度及∠ACB 的度数 二．填空题（共8小题）15．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．16．（2022•丽水模拟）如图，已知∠B＝∠D，请再添上一个条件，使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．17．（2022•婺城区校级模拟）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形ABCD的面积为S1，△CDE的面积为S2，四边形DEFG的面积为S3，四边形FGHI的面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出．18．（2022•嘉兴二模）一副含45°和30°角的直角三角形纸板ABC和DEF按图1摆放，BC＝DE＝12，∠ABC＝∠DEF＝90°．现将点D从B点向A点滑动，边DE始终经过BC上一点G，BG＝2．H是DF边上一点，满足DH＝DG（如图2），当点E到达G点时运动停止．当E到达G点时BD的长为；运动过程中AH的最小值是．19．（2022•龙港市模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P在边CD上，M，N 分别是AP，EF的中点，连结AC，MN，且MN＝AM，MN⊥AM，则AC的长为，△ACP的面积为．20．（2022•乐清市三模）研究任务画出平分直角三角形面积的一条直线研究成果中线法分割法等积法BD是AC边上的中线若AEBE =n，则AFCF=n+1n−1DE∥BF成果应用如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直线EF平分△ABC的面积．①若EF⊥AC，AFCF=2，则AC的值为；②若BE＝CF，AE＝EF，则AC的值为．21．（2022•西湖区模拟）如图，Rt△ABC≌Rt△EFD，∠BAC＝∠FED＝90°，tan B=43，点D为BC中点，连结AD，在Rt△EFD绕点D旋转的过程中，当点E落在直线AB上时，AEAB的值为．22．（2022•温州模拟）如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，AB∥DC，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的距离是cm．三．解答题（共9小题）23．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：√2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：√2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．24．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC 于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．25．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点B，C分别作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为E，F．（1）求证：BF＝CE．（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的长．26．（2022•温州校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD，BF⊥AD交AD的延长线于点F．（1）求证：△CDE≌△BDF；（2）若AE＝3，BF＝2，求AC的长．27．（2022•萧山区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：DE＝DF．（2）若AB＝13，BC＝10，求DE的长．28．（2022•下城区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．29．（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等腰直角三角形是标准三角形．（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为．【概念应用】（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的√5倍，求最小角的正弦值．30．（2022•婺城区模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．（1）若∠ABD＝20°，求∠BCD的度数；（2）若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE长．31．（2022•衢江区二模）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6，过点C作CD∥AB，O是BC中点，E是线段AB上的动点，射线EO交CD于点F．圆圆想探究在点E运动过程中，AE与EF的数量关系，她设AE＝x，EF＝y，利用几何画板绘图、测量，得到如表所示的几组对应值，并在图②中描出了以各组对应值为坐标的点．x01234 4.556y9.497.62 5.83 3.16 3.00 3.16（1）当x＝3时，求EF的长；（2）在图②中描出y关于x的函数图象，并根据图象填空：当y最小时，x≈（保留1位小数）；（3）当EF﹣AE＝2时，利用函数图象求AE的长（保留1位小数）．2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：9三角形参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2022•金华）如图，AC 与BD 相交于点O ，OA ＝OD ，OB ＝OC ，不添加辅助线，判定△ABO ≌△DCO 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【解答】解：在△AOB 和△DOC 中， {OA =OD∠ADB =∠DOC OB =OC， ∴△AOB ≌△DOC （SAS ）， 故选：B ．2．（2022•衢州）线段a ，b ，c 首尾顺次相接组成三角形，若a ＝1，b ＝3，则c 的长度可以是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：∵线段a ＝1，b ＝3， ∴3﹣1＜c ＜3+1，即2＜c ＜4． 观察选项，只有选项A 符合题意， 故选：A ．3．（2022•杭州）如图，CD ⊥AB 于点D ，已知∠ABC 是钝角，则（ ）A ．线段CD 是△ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是△ABC 的AB 边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．4．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN ＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP=√22+42=2√5，则PM=√MN2+PN2=2√10．故选：C．5．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CAD，已知BC＝4，AD＝7，则△ACD的面积为（）A．7B．14C．21D．28【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，因为AB＝AC，BC＝4，所以∠BAE=∠CAE，BE=CE=12BC=2，因为∠BAC＝2∠CAD，所以∠BAE＝∠CAE＝∠CAD，过点C作CF⊥AD于点F，根据角的平分线的性质，得到CF＝CE＝2，所以S△ACD=12AD⋅CF=12×7×2=7．故选A．6．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（）A ．12B ．9C ．6D ．3√2【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线， ∴BD ＝CD =12BC ＝3，AD ⊥BC ， 在Rt △EBD 中，∠EBC ＝45°， ∴ED ＝BD ＝3， ∴S △EBC =12BC •ED =12×6×3＝9， 故选：B ．7．（2022•浦江县模拟）如图，已知△AHB 是等腰直角三角形．∠AHB ＝90°，△AHG ，△BHC ，△ABE 是等边三角形，GH 交AE 于点F ．CH 交BE 于点D ．记四边形EFHD 的面积为S 1，△BCD 的面积S 2，则S 1S 2的值为（ ）A ．3−√33B ．2√3−√25C ．3√2−√66D ．√6−√2【解答】解：连接DF ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，连接EH 并延长交AB 于M ，设CH ＝a ，∵△AHB 是等腰直角三角形．∠AHB ＝90°，△AHG ，△BHC ，△ABE 是等边三角形， ∴∠ABH ＝45°，∠ABD ＝∠C ＝∠BHC ＝60°， ∴∠HBD ＝15°，∠CDH ＝30°，∠CBD ＝45°， ∴DH ＝BH =√3a ，CD ＝2a ，∴BD =√6a ，BH ＝CH ＝BC ＝（1+√3）a ， ∴BE ＝AB =√2a +√6a ， ∴DE ＝BE ﹣BD =√2a ， ∵AE ＝BE ，AH ＝BH ， ∴EH 垂直平分AB ， ∴∠BEM ＝30°，∵∠CDB ＝∠EDH ＝∠HBD +∠BHC ＝75°， ∴∠EHD ＝∠EDH ＝75°， ∴EH ＝DE =√2a ，同理可得∠HAF ＝15°，∠AHF ＝60°， 在△HAF 和△HBD 中， {∠HAF =∠HBD∠AHF =∠BHD AH =BH， ∴△HAF ≌△HBD 中（AAS ）， ∴AF ＝BD ， ∴DF ∥AB ， ∴EH ⊥DF ，∴△EDF 是等边三角形， ∴DF ＝DE =√2a ，∴四边形EFHD 的面积为S 1=12DF •EH =12×√2a ×√2a ＝a 2， △BCD 的面积S 2=12BC •DH =12×（1+√3）a ×√3a =12（3+√3）a 2， ∴S 1S 2=a 212(3+√3)a 2=3−√33，故选：A ．8．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：√22+12=√5，点O到学校的距离为：√32+12=√10，点O到体育场的距离为：√42+22=√20，点O到医院的距离为：√12+32=√10，∵√5＜√10=√10＜√20，∴点O到超市的距离最近，故选：A．9．（2022•龙湾区模拟）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形按图2所示放置，连结MG，DG．若MG⊥DG，且BQ﹣AF=3 2，则AB 的长为（ ）A ．4√3B ．5√2C ．152D ．253【解答】解：延长HG 交AD 于P ，延长FG 交DE 于I ， 则四边形DIGP 为正方形， ∴∠GDM ＝45°，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则c 2＝a 2+b 2①，BQ ＝c ﹣b ，AF ＝c ﹣a ， ∵BQ ﹣AF =32， ∴a ﹣b =32②， ∵MG ⊥DG ， ∴∠GMD ＝45°， ∴MP ＝PD ， ∴c ﹣a ＝a ﹣b ③，联立①②③得{c 2=a 2+b 2a −b =32c −a =a −b，解得{ a =6b =92c =152． 则AB 的长为152．故选：C ．10．（2022•瑞安市校级三模）如图（1）是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，图（2）中，在线段AE 和CG 上分别取点P 和点Q ，使AP ＝CQ ，连接PD 、PB 、QD 和QB ，则构成了一个“压扁”的弦图．“压扁”的弦图（四边形PBQD ）中，4个直角三角形的面积（如图（2）中的阴影部分）依次记作S 1，S 2，S 3，S 4，连接PQ 并延长交BC 于点M ．若AE ＝3EF ＝3，S 1＝S 3＝S 2+S 4，则CM 的长为（ ）A ．√2B ．3√1314C ．1411D ．6053【解答】解：如图，过点M 作MS ⊥CG 于点S ，设PQ 交BF 、DG 于点T 、K ，根据题意得：AE ＝CG ＝BF ＝DH ，BE ＝DG ，四边形EFGH 是正方形，∠AEB ＝∠DGC ＝90°， ∵AE ＝3EF ＝3，∴CG ＝AE ＝DH ＝3，EF ＝FG ＝EH ＝1，EH ∥FG ， ∵AP ＝CQ ， ∴PE ＝GQ ，∴△BPE ≌△DQG （SAS ）， ∴S △BPE ＝S △DQG ，即S 4＝S 2， ∵S 1＝S 3＝S 2+S 4， ∴S 1＝S 3＝2S 4，∴12DH ⋅(PE +EH)=2×12PE ⋅(BF +EF)，即12×3×(PE +1)=2×12PE ⋅(3+1)∴PE =GQ =35， ∴CQ =CG −GQ =125， ∵EH ∥FG ， ∴∠PET ＝∠GQK ，∵∠PET ＝∠KGQ ＝90°，PE ＝GQ ， ∴△PET ≌△QGK ， ∴ET ＝KG ，设KG ＝ET ＝a ，则FT ＝1﹣a ， ∵HG ∥EF ， ∴△KGQ ∽△TFQ ， ∴KG FT=GQ FQ，即a1−a=351+35， 解得：a =311，即KG =311， ∴tan ∠KQG =KGGQ =511 ∵∠SQM ＝∠KQG ， ∴tan ∠SQM =511，在Rt △BCF 中，BF ＝3，CF ＝CG +FG ＝4， ∴tan ∠BCF =BFCF =34，∴可设SM＝3x，则CS＝4x，∴SQ=CQ−CS=125−4x，CM＝5x，∴tan∠SQM=SMSQ=3x125−4x=511，解得：x=12 53，∴CM=60 53．故选：D．11．（2022•奉化区二模）如图，等边△ABC和等边△DEF的边长相等，点A、D分别在边EF，BC上，AB与DF交于G，AC与DE交于H．要求出△ABC的面积，只需已知（）A．△BDG与△CDH的面积之和B．△BDG与△AGF的面积之和C．△BDG与△CDH的周长之和D．△BDG与△AGF的周长之和【解答】解：如图，连接AD，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥EF于N，则∠BAM＝∠FDN＝30°，∵等边△ABC和等边△DEF的边长相等，∴AM＝DN，∵AD＝AD，∴Rt△ADM≌Rt△DNA（HL），∴∠DAM＝∠NDA，∴∠BAD＝∠FDA，∵等边△ABC和等边△DEF的边长相等，∴BC＝AC＝AB＝DF，∠B＝∠F＝60°，∵AD＝AD，∴△ABD≌△DF A（ASA），∴S△ABD＝S△DF A，∴S△BDG＝S△F AG，同理：△ACD≌△DEA（SAS），∴S△ACD＝S△DEA，∴S△CDH＝S△EAG，选项A：当△BDG与△CDH的面积之和已知时，S△BDG+S△CDH可求出，而四边形AGDH的面积没办法求出，即△ABC的面积没办法求出，故选项A不符合题意；选项B：当△BDG与△AGF的面积之和已知时，S△BDG可以求出，而四边形AGDC的面积没办法求出，即△ABC的面积没办法求出，故选项B不符合题意；选项C：当△BDG与△CDH的周长之和时，BD+BG+DG+CD+DH+CH可以求出，∵△ABD≌△DF A，∴BD＝AF，∠BAD＝∠FDA，∴BG＝AG，∵AB＝DF，∴BG＝FG，同理：CD＝AE，DH＝AH，CH＝EH，∴BD+BG+DG+CD+DH+CH＝BD+BG+AG+CD+AH+CH＝（BD+CD）+（BG+AG）+（AH+CH）＝BC+AB+AC＝3BC，即BC可以求出，过点A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴BM=12BC，根据勾股定理得，AM=√32BC，∴S△ABC=12BC•AM=√34BC2，即可求出△ABC的面积；选项D：当△BDG与△AGF的周长之和已知时，可以求出BD+BG+DG，但求不出△ABC 的边长，即△ABC 的面积没办法求出，故选项B 不符合题意； 故选：C ．12．（2022•永嘉县三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周辞算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD ．连结CE ，若CE ＝AD ，则tan ∠BCE 的值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【解答】解：如图，令CE 交BG 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 于点N ，设CH ＝4x ，∵Rt △AFB ≌Rt △BGC ≌Rt △CHD ≌Rt △DEA ， ∴AF ＝BG ＝CH ＝DE ＝4x ，FB ＝GC ＝HD ＝EA ， ∵四边形EFGH 是正方形，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ，∠CHE ＝∠AFG ＝90°， ∵CE ＝AD ，∴HD ＝EH ＝EF ＝FG ＝FB ＝CG ＝GH ＝2x ， ∴BC =√BG 2+CG 2=2√5x ， 在△EFM 和△CGM 中， {∠EFM =∠CGM =90°∠FME =∠GMC EF =CG，∴△EFM ≌△CGM （AAS ）， ∴FM ＝GM ＝x ， 在△BMN 和△BCG 中， {∠MBN =∠CBG ∠BNM =∠BGC =90°， ∴△BNM ∽△BGC （AA ）， ∴BM BC =MN GC，即2√5x=MN 2x，BN BG=BM BC，即BN 4x=2√5x，∴MN =3√55x ，BN =6√55x ， ∴CN =BC −BN =2√5x −6√55x =4√55x ，∴tan ∠BCE =MNCN =3√55x 4√55x =34．故选：C ．13．（2022•温州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作GM ⊥CF 于点M ，BJ ⊥GM 于点J ，AK ⊥BJ 于点K ，交CF 于点L ．若正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，CE =√10+√2，则CH 的长为（ ）A ．√5B ．3+√52C ．2√2D ．√10【解答】解：设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，如图：设正方形JKLM 边长为m ， ∴正方形JKLM 面积为m 2，∵正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5， ∴正方形ABGF 的面积为5m 2， ∴AF ＝AB =√5m ，由已知可得：∠AFL ＝90°﹣∠MFG ＝∠MGF ，∠ALF ＝90°＝∠FMG ，AF ＝GF ， ∴△AFL ≌△FGM （AAS ）， ∴AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，则FL ＝FM +ML ＝x +m ， 在Rt △AFL 中，AL 2+FL 2＝AF 2， ∴x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2， 解得x ＝m 或x ＝﹣2m （舍去）， ∴AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ， ∵tan ∠AFL =APAF =ALFL =m2m =12， ∴√5m=12，∴AP =√5m2，∴FP =√AP 2+AF 2=(√5m2)2+(√5m)2=52m ，BP ＝AB ﹣AP =√5m −√5m 2=√5m2， ∴AP ＝BP ，即P 为AB 中点， ∵∠ACB ＝90°， ∴CP ＝AP ＝BP =√5m2，∵∠CPN ＝∠APF ，∠CNP ＝90°＝∠F AP ， ∴△CPN ∽△FP A ， ∴CP FP=CN AF=PNAP ，即√5m 252m=√5m=√5m 2，∴CN ＝m ，PN =12m ， ∴AN ＝AP +PN =√5+12m ，∴tan ∠BAC =BC AC =CN AN =m √5+12m=2√5+1，∵△AEC 和△BCH 是等腰直角三角形， ∴△AEC ∽△BCH ， ∴BC AC=CH CE，∵CE =√10+√2， ∴√5+1=√10+√2，∴CH ＝2√2， 故选：C ．14．（2022•江北区模拟）如图，在锐角三角形△ABC 中，分别以三边AB ，BC ，CA 为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S 1，三角形内的阴影面积为S 2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S 1﹣S 2的是（ ）A ．已知△ABC 的三条中位线的长度B ．已知△ABC 的面积C ．已知BC 的长度，以及AB ，AC 的长度和D ．已知AB ，AC 的长度及∠ACB 的度数【解答】解：∵S1＝S3个半外圆﹣S6个弓形＝S3个外半圆﹣（S3个内半圆﹣2S△ABC﹣S2），∴S1＝2S△ABC+S2，∴S1﹣S2＝2S△ABC．A：若已知△ABC的三条中位线的长度，即可得到△ABC三边的长度，再根据海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)（a，b，c是三角形的三边，p=12（a+b+c）），据此求得三角形的面积，即可得到S1﹣S2的值，故A选项不符合题意；B：已知△ABC的面积，代入S1﹣S2＝2S△ABC即可求得，故B选项不符合题意；C：∵已知AB，AC两边长度和，∴AB，AC的长度不确定，∴△ABC的面积也不确定，∴不一定能求出S1﹣S2的值，故C选项符合题意；D：如解图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AD＝AC•sin∠ACB，在△ADC和△ADB中，∴CD=√AC2−AD2，BD=√AB2−AD2，∴S△ABC=12•AD•（BD+CD），据此即可求得S1﹣S2的值，故D选项不符合题意．故选C．二．填空题（共8小题）15．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件∠B＝60°（答案不唯一）．【解答】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， 故答案为：∠B ＝60°．（答案不唯一）16．（2022•丽水模拟）如图，已知∠B ＝∠D ，请再添上一个条件 ∠BCA ＝∠DCA （答案不唯一） ，使△ABC ≌△ADC （写出一个即可）．【解答】解：添加的条件是∠BCA ＝∠DCA ， 理由是：在△ABC 和△ADC 中， {∠BCA =∠DCA∠B =∠D AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ），故答案为：∠BCA ＝∠DCA （答案不唯一）．17．（2022•婺城区校级模拟）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形ABCD 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，四边形DEFG 的面积为S 3，四边形FGHI 的面积为S 4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 S 2 ．【解答】解：设大正方形的面积为c ，中正方形的面积为b ，小正方形的面积为a ，如图2，∵S1+S阴影=12（c﹣a），S1+S2=12b，∵c＝a+b，∴b＝c﹣a，∴S1+S阴影＝S1+S2，∴S2＝S阴影，∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S2，故答案为：S2．18．（2022•嘉兴二模）一副含45°和30°角的直角三角形纸板ABC和DEF按图1摆放，BC＝DE＝12，∠ABC＝∠DEF＝90°．现将点D从B点向A点滑动，边DE始终经过BC上一点G，BG＝2．H是DF边上一点，满足DH＝DG（如图2），当点E到达G点时运动停止．当E到达G点时BD的长为2√35；运动过程中AH的最小值是6√3−1．【解答】解：当E与G重合时，在Rt△BDG中，DG＝DE＝12，BG＝2，∴BD=√DG2−BG2=√122−22=2√35，如图2中，以BG为边，在BC的上方作等边△BGJ，作直线HJ交AB于点K，连接GH，过点A作AT⊥JH于点T．∵DG＝DH，∠GDH＝60°，∴△DGH是等边三角形，∴GD＝GH，∵∠JGB＝∠DGH＝60°，∴∠DGB＝∠HGJ，∵GB＝GJ，GD＝GH，∴△DGB≌△HGJ（SAS），∴∠HJG＝∠DBG＝90°，∴点H在过点J且垂直JG的直线上运动，根据垂线段最短可知，当AH与AT重合时，AH的值最小，∵∠KBJ＝∠KJB＝30°，∴BK＝KJ，∵GB＝GJ，GK＝GK，∴△GKB≌△GKJ（SSS），∴∠BGK＝∠JGK＝30°，∴BK＝BG•tan30°=2√3 3，∴AK＝AB＝BK＝12−2√3 3，∵AT⊥KT，∠AKT＝60°，∴AT＝AK•sin60°＝（12−2√33）×√32=6√3−1，∴AH的最小值为6√3−1．故答案为：2√35，6√3−1．19．（2022•龙港市模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P在边CD上，M，N分别是AP，EF的中点，连结AC，MN，且MN＝AM，MN⊥AM，则AC的长为2√3，△ACP的面积为3．【解答】解：如图，作MG∥CD交AC于G，∵M是AP的中点，∴G是AC的中点，连接EM，∴EM∥CD，∴∠MEF＝60°，过点N作NH⊥ME于点H，∵N是EF的中点，∴EN=12EF＝1，∴HE=12EN=12，∴NH=√3HE=√3 2，∵MN⊥AM，∴∠AMG+∠NMH＝90°，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝2，∴AB＝AF＝BC＝EF＝2，∠ABC＝∠AFE＝∠BCD＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴∠AGM ＝90°， ∴∠GAM +∠GMA ＝90°， ∴∠NMH ＝∠GAM ， 在△AGM 和△MHN 中， {∠AGM =∠MHN =90°∠GAM =∠HMN AM =MN，∴△AGM ≌△MHN （AAS ）， ∴GM ＝NH =√32，∵GM ∥CP ，GM =12CP ， ∴CP ＝2GM =√3， 连接BG ，∵AB ＝BC ，且G 是AC 中点， ∴AC ＝2AG ，AC ⊥BG ，∴BG =12AB ＝1，AG =√3BP =√3，BE ∥CD ， ∴AC ＝2AP =2√3；∴△ACP 的面积=12×AC •CP =12×2√3×√3=3． 故答案为：2√3；3． 20．（2022•乐清市三模）研究任务 画出平分直角三角形面积的一条直线研究成果中线法分割法等积法BD 是AC 边上的中线若AE BE=n ，则AF CF=n+1n−1DE ∥BF成果应用如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，直线EF 平分△ABC 的面积．①若EF ⊥AC ，AF CF=2，则AC 的值为 3√2 ；②若BE ＝CF ，AE ＝EF ，则AC 的值为 163．【解答】解：①如图1，连接BF ， 设AC ＝b ，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4， ∴BC =√AC 2−AB 2=√b 2−42=√b 2−16， ∴S △ABC =12AB •BC =12×4×√b 2−16=2√b 2−16， 由研究成果分割法得：若AE BE=n ，则AF CF=n+1n−1，∵AF CF=2， ∴n+1n−1=2，解得：n ＝3， ∴AE BE=3，∵AB ＝4， ∴AE ＝3，BE ＝1，∵AF +CF ＝b ，AF CF =2，∴AF =23b ，CF =13b ， ∵S △AEF =12S △ABC ， ∴12AF •EF =12×12AB •BC ，即12×23b ×EF =12×12×4×√b 2−16， ∴EF =3√b 2−16b， 在Rt △AEF 中，AF 2+EF 2＝AE 2， ∴（23b ）2+（3√b 2−16b）2＝32，且b ＞0，解得：b ＝3√2， 故答案为：3√2；②如图2，设D 是AC 的中点，连接DE 、BD 、BF ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ， 由研究成果等积法得：点D 是AC 的中点，DE ∥BF ， ∴AE BE =AD DF，AD =12AC ，设AE BE=n ，则AE BE=AD DF=12AC DF =n ， 根据研究成果分割法得：若AE BE=n ，则AF CF=n+1n−1，∴AE ＝n •BE ， ∵AE +BE ＝AB ＝4， ∴（n +1）BE ＝4， ∴BE =4n+1，AE =4nn+1， 又∵BE ＝CF ， ∴CF =4n+1， ∴AF =n+1n−1CF =n+1n−1×4n+1=4n−1， ∴AC ＝AF +CF =4n−1+4n+1=8n(n−1)(n+1)， ∵AE ＝EF ，EG ⊥AF ， ∴AG =12AF =12×4n−1=2n−1，∵cos A =AG AE =ABAC， ∴AG •AC ＝AB •AE ，163即2n−1×8n (n−1)(n+1)=4×4nn+1， ∵n ＞0， ∴n ＝2，∴AC =8n(n−1)(n+1)=8×2(2−1)×(2+1)=163， 故答案为：163．21．（2022•西湖区模拟）如图，Rt △ABC ≌Rt △EFD ，∠BAC ＝∠FED ＝90°，tan B =43，点D 为BC 中点，连结AD ，在Rt △EFD 绕点D 旋转的过程中，当点E 落在直线AB 上时，AE AB的值为4√3−36或4√3+36．【解答】解：设AB ＝6m ，则在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，tan B =43，∴AC ＝8m ，BC ＝10m ， ∵Rt △ABC ≌Rt △EFD ，∴EF ＝AB ＝6m ，DE ＝AC ＝8m ，DF ＝BC ＝10m ． ∵点D 为BC 的中点， ∴AD ＝BD ＝CD ＝5m ． 过点D 作DM ⊥AB 于点M ， ∴AM ＝BM ＝3m ， ∴DM ＝4m ．根据题意可知，需要分两种情况： 当点E 在射线BA 的上时，如图，在Rt △DME 中，由勾股定理可知，ME ＝4√3m ， ∴AE ＝（4√3−3）m ， ∴AE AB=4√3−36．当点E 在射线AB 上时，如图，在Rt △DME 中，由勾股定理可知，ME ＝4√3m ， ∴AE ＝（4√3+3）m ， ∴AE AB=4√3+36．综上，AEAB的值为4√3−36或4√3+36．故答案为：4√3−36或4√3+36． 22．（2022•温州模拟）如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD ，AB ∥DC ，BC ⊥AB ，底座AB 上装着两个半径为30cm 的轮胎切于水平地面，AB ＝169cm ，BC ＝120cm ．挡货架AE 上有一固定点T 与AD 的中点N 之间由液压伸缩杆TN 连接．当TN ⊥AD 时，TN 的延长线恰好经过B 点，则AD 的长度是 130 cm ；一个长方体物体准备装卸时，AE 绕点A 左右旋转，托物体的货叉PQ ⊥AE （PQ 沿着AE 可上下滑动），PQ ＝65cm ，AE ＝AD ．当AE 旋转至AF 时，PQ 下降到P 'Q '的位置，此时F ，D ，C 三点共线，且FQ '＝52cm ，则点P '到地面的距离是 77 cm ．【解答】解：连接BD ，过D 点D 作DG 交DG ⊥AB 于点G ，如图2，∵N 为AB 的中点，且TN ⊥AD ， ∴AN ＝DN ，∠ANB ＝∠DNB ＝90°， ∵BN 为△ABN 与△DBN 共公共边， 在Rt △ABN 和Rt △DBN 中， ∴BD ＝AB ＝169cm ， ∵AB ∥DC ，BC ⊥AB ， ∴∠DCB ＝90°，∴CD=√BD2−BC2=119（cm），∵BC⊥AB，DG⊥AB，∴BC∥DG，∴四边形DGBC为矩形，∴BG＝DC＝119cm，DG＝BC＝120cm，∴AG＝AB﹣BG＝169﹣119＝50cm，∴AD=√DG2+AG2=√1202+502=130cm．如图3，过P′作P′H∥AB，过点Q′作Q′L⊥AB延长线，交AB延长线于点LL，交P′H于点I，过AA作AK⊥FC于点KK，则AK＝BC＝120cm，∠Q′HP′＝∠Q′AL＝∠F，∵AF＝AD＝130cm，∴FK=√AF2−AK2=√1302−1202=50（cm），∴cos∠F=513，tan∠F=125，sin∠F=1213，∵DF∥P′H，∴∠F＝∠P′HQ′，在Rt△P′Q′H中，P′Q′＝65cm，∴Q′H=P′Q′tan∠P′HQ=65125=32512（cm），在Rt△Q′IH在，Q′I＝Q′H•sin∠Q′H′I=32512×1213=25（cm），在Rt△Q′AL中，Q′A＝AF﹣FQ′＝130﹣52＝78（cm），∴IL＝Q′L﹣LQ′＝72﹣25＝47，∵轮胎的半径为30cm，∴点P'到地面的距离是77cm．故答案为：130，77．三．解答题（共9小题）23．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：√2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：√2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．【解答】解：（1）赞同，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，∴cos45°=ACAB=√22=√2，∵AC＝AP，∴APAB =√2，∴点P为线段AB的“趣点”．（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，∴∠ACP=∠APC=12×(180°−45°)=67.5°，∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，∵△DPE ∽△CPB ，D ，A 重合，∴∠DPE ＝∠CPB ＝112.5°，∴∠CPE ＝∠DPE +∠CPB ﹣180°＝45°；②点N 是线段ME 的趣点，理由如下：当点D 为线段AC 的趣点时（CD ＜AD ），∴AD AC =√2，∵AC ＝AP ，∴AD AP =√2， ∵ACAB =√2，∠A ＝∠A ，∴△ADP ∽△ACB ，∴∠ADP ＝∠ACB ＝90°，∴∠APD ＝45°，DP ∥CB ，∴∠DPC ＝∠PCB ＝22.5°＝∠PDE ，∴DM ＝PM ，∴∠MDC ＝∠MCD ＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴MD ＝MC ，同理可得MC ＝MN ，∴MP ＝MD ＝MC ＝MN ，∵∠MDP ＝∠MPD ＝22.5°，∠E ＝∠B ＝45°，∴∠EMP ＝45°，∠MPE ＝90°，∴MPME =√2=MNME ，∴点N 是线段ME 的“趣点”．24．（2022•绍兴）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝40°，∠ACB ＝90°，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ．P 是边BC 上的动点（不与B ，C 重合），连结AP ，将△APC 沿AP 翻折得△APD ，连结DC ，记∠BCD ＝α．（1）如图，当P 与E 重合时，求α的度数．（2）当P 与E 不重合时，记∠BAD ＝β，探究α与β的数量关系．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，P与E重合，∴D在AB边上，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；答：α的度数为25°；（2）①当点P在线段BE上时，如图：∵将△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，∴（90°﹣α）+β＝40°+α，∴2α﹣β＝50°，②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：∵将△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，∴90°﹣α＝40°+α+β，∴2α+β＝50°；综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°．25．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点B，C分别作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为E，F．（1）求证：BF＝CE．（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD∵BF⊥AD，CE⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°在△BFD和△CED中{∠BFD =∠CED∠BDF =∠CDE BD =CD，∴△BFD ≌△CED （AAS ），∴BF ＝CE ；（2）解：在△AEC 中，CE ＝BF ＝3，AE ＝2，∴AC =√AE 2+CE 2=√22+32=√13．26．（2022•温州校级模拟）如图，AD 是△ABC 的中线，CE ⊥AD ，BF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ．（1）求证：△CDE ≌△BDF ；（2）若AE ＝3，BF ＝2，求AC 的长．【解答】（1）证明：∵CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠CED ＝∠BFD ＝90°，∵AD 为BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，在△CED 和△BFD 中，{∠CED =∠BFD∠CDE =∠BDF CD =BD，∴△CED ≌△BFD （AAS ）；（2）解：由（1）得：△CED ≌△BFD ，∴CE ＝BF ＝2，∵AE ＝3，∴AC =√AE 2+CE 2=√32+22=√13．27．（2022•萧山区校级二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．（1）求证：DE ＝DF ．（2）若AB ＝13，BC ＝10，求DE 的长．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF ．（2）解：∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，∴BD ＝CD =12BC =12×10＝5，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴AD =√AB 2−BD 2=√132−52=12，∵12AB •DE =12BD •AD ＝S △ABD ， ∴12×13DE =12×5×12， ∴DE =6013，∴DE 的长为6013．28．（2022•下城区校级二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 边上（不与点A ，点C 重合），连接BD ，BD ＝AB ．（1）设∠C ＝50°时，求∠ABD 的度数；（2）若AB ＝5，BC ＝6，求AD 的长．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，∵BD＝AB，∴∠BDA＝∠A＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°，（2）解：过点A作AM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，设AN＝x，则CN＝5﹣x，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴M是BC的中点，∵AB＝5，BC＝6，∴AM=√AB2−BM2=4，∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，∴x=7 5，∴AD＝2AN=14 5．29．（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等腰直角三角形是标准三角形．√（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．×【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为1：1：√2或√5：√5：2．【概念应用】（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的√5倍，求最小角的正弦值．【解答】解：【概念感知】（1）如图1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，∵AB＝AC，∴等腰直角三角形是标准三角形，故答案为：√；（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，∵∠A＝30°，∴CD=12AC，∵CA＝AB，∴CD=12AB，∴△ABC不是标准三角形；如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，此时AE＞BC，∴△ABC不是标准三角形；故答案为：×；【概念理解】如图1，当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：√2；如图4，当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，∴BE＝EC=12BC=12AE，设BE＝x，则AE＝2x，在Rt△ABE中，AB=√5x，∴AB：AC：BC=√5：√5：2；故答案为：1：1：√2或√5：√5：2；【概念应用】（1）如图5，过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，∵AB＝CD＝1，∴AA'＝2，在Rt△ABA'中，A'B=√5，∴AC+BC的最小值为√5；（2）在△ABC中，AB＝CD，AB⊥CD，∴AC＞CD，BC＞CD，∴AC＞AB，BC＞AB，∴△ABC的最小角为∠ACB，①如图6，当AC=√5AB时，AC=√5CD，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则AC=√5a，∵S△ABC=12×AB×CD=12×AC×BE，∴BE=√55a，在Rt△ACD中，AD＝2a，∴BD＝AD﹣AB＝a，在Rt△BCD中，BC=√2a，在Rt△BCE中，sin∠BCE=√10 10；②如图7，当BC=√5AB时，BC=√5DC，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC=√5a，在Rt△BCD中，BD＝2a，∴AD＝3a，。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：函数综合(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：函数综合（附答案）1．如图，一个粒子在第一象限和x，y轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒运动一个单位长度，那么2020秒时，这个粒子所处位置为（）A．（4，44）B．（5，44）C．（44，4）D．（44，5）2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，3），AB∥y轴，AB＝5，则点B的坐标为（）A．（1，3）B．（﹣4，8）C．（﹣4，8）或（﹣4，﹣2）D．（1，3）或（﹣9，3）3．在平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是（）A．3B．4C．5D．±54．如果每盒笔售价16元，共有10支，用y（元）表示笔的售价，x表示笔的支数，那么y 与x的关系式为（）A．y＝10x B．y＝16x C．y＝x D．y＝x5．函数y＝自变量的取值范围是（）A．x≠2020B．x≠﹣2020C．x≠2021D．x≠﹣20216．根据如图所示的计算程序，若输入x＝﹣2，则输出结果y的值为（）A．﹣3B．3C．﹣7D．77．已知关于x的函数的图象如图所示，根据探究函数图象的经验，可以推断常数a，b的值满足（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＞08．如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（）A．11B．15C．16D．249．在平面直角坐标系中，点（2，3）到x轴的距离是．10．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为．11．如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2，90°），B 的位置为（4，210°），则C的位置为．12．在平面直角坐标系中有一点P（a+1，a﹣3），其中a为任意实数，m，n分别表示点P 到x轴和y轴的距离，则m+n的最小值为．13．已知变量x与y的四种关系：①y＝|x|；②|y|＝x；③2x2﹣y＝0；④x+y2＝1，其中y是x的函数的式子有个．14．如图，三角形ABC的高AD＝4，BC＝6，点E在BC上运动，若设BE的长为x，三角形ACE的面积为y，则y与x的关系式为．15．函数y＝中，自变量x的取值范围是．16．已知f（x）＝kx，f（）＝2，那么k＝．17．如图是某物体的抛射曲线图，其中s表示物体与抛射点之间的水平距离，h表示物体的高度．那么此次抛射过程中，物体达到的最大高度是m．18．如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止．在动点K 运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是，则①BC＝；②AC＝．19．已知当m，n都是实数．且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“开心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．20．已知点A（3a+2，2a﹣4），试分别根据下列条件，求出a的值并写出点A的坐标．（1）点A在x轴上；（2）点A与点A'（﹣4，﹣）关于y轴对称；（3）经过点A（3a+2，2a﹣4），B（3，4）的直线，与x轴平行；（4）点A到两坐标轴的距离相等．21．育新实验学校八（二）班的学生从学校O点出发，要到某基地进行为期一周的校外实践活动，他们第一天的任务是进行体能训练，学生们先向正西方向行走了2km到A处，又往正南方向行走3km到B处，然后又折向正东方向行走6km到C处，再向正北方向走5km才到校外实践基地P处．如图，以点O为原点，取O点的正东方向为x轴的正方向，取O点的正北方向为y轴的正方向，以500m为一个单位长度建立平面直角坐标系．（1）在平面直角坐标系中，画出学生体能训练的行走路线图；（2）分别写出A，B，C，P点的坐标．（3）请在横线上直接写出O，P两点之间的距离．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿A→B→C向终点C匀速运动，在边AB，BC上分别以4cm/s，3cm/s的速度运动，同时点Q从点A出发，沿A→D→C向终点C匀速运动，在边AD，DC上分别以3cm/s，4cm/s的速度运动，连接PQ，设点P的运动时间为t（s），四边形PBDQ的面积为S（cm2）．（1）当点P到达边AB的中点时，求PQ的长；（2）求S与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．23．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）补全表格，并用一条光滑曲线将所描的点顺次连接起来，作出函数图象；（2）点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，若0＜x1＜x2≤1，则y1y2；若x1•x2＝1，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）；若方程x+＝k（x＞0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是；由图象可得y＝x+（x＞0）≥2，小明想换个角度说明它的正确性，请你帮他证明．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？24．电话费b与通话时间a的关系如下表：通话时间a/分电话费b/元10.2+0.820.4+0.830.6+0.840.8+0.8（1）试用含a的式子表示b；（2）计算当a＝100时，b的值．25．已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？26．在如图所示的平面直角坐标系中．画出函数y＝2x+4的图象．（1）若该函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积；（2）利用该函数图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．27．已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣k2+4．（1）k为何值时，y随x的增大而减小？（2）k为何值时，它的图象经过原点？28．设一次函数y＝kx+b﹣3（k，b是常数，且k≠0）．（1）该函数的图象过点（﹣1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由．（2）已知点A（a，y1）和点B（a﹣2，y1+2）都在该一次函数的图象上，求k的值．（3）若k+b＜0，点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，求证：k＞．29．如图所示的是某市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），若海洋极地公园的坐标为（4，0），大唐芙蓉园的坐标为（2，﹣1），请建立平面直角坐标系，并用坐标表示大明宫国家遗址公园的位置．参考答案1．解：由题意，设粒子运动到A1，A2，…，A n时所用的间分别为a1，a2，…，a n，则a1＝2，a2＝6，a3＝12，a4＝20，…，a n﹣a n﹣1＝2n，a2﹣a1＝2×2，a3﹣a2＝2×3，a4﹣a3＝2×4，…，a n﹣a n﹣1＝2n，相加得：a n﹣a1＝2（2+3+4+…+n）＝n2+n﹣2，∴a n＝n（n+1）．∵44×45＝1980，故运动了1980秒时它到点A44（44，44）；又由运动规律知：A1，A2，…，A n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．故达到A44（44，44）时向左运动40秒到达点（4，44），即运动了2020秒．所求点应为（4，44）．故选：A．2．解：∵AB∥y轴，∴A、B两点的横坐标相同，又AB＝5，∴B点纵坐标为：3+5＝8或3﹣5＝﹣2，∴B点的坐标为：（﹣4，﹣2）或（﹣4，8）；故选：C．3．解：∵点P（3，4），∴点P到原点的距离是＝5．故选：C．4．解：由题意得，y＝x＝x，故选：C．5．解：要使有意义，必须2021﹣x≠0，解得，x≠2021，故选：C．6．解：x＝﹣2时，y＝2x2﹣1＝7，故选：D．7．解：由图象可知，当x＞0时，y＜0，∴a＜0；x＝﹣b时，函数值不存在，∴﹣b＜0，∴b＞0；故选：D．8．解：∵x＝3时，及R从N到达点P时，面积开始不变，∴PN＝3，同理可得OP＝5，∴矩形的周长为2（3+5）＝16．故选：C．9．解：点（2，3）到x轴的距离是3，故答案为：3．10．解：∵正方形OABC边长为1，∴OB＝，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1＝2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2＝2，∴B2点坐标为（﹣2，2），同理可知OB3＝4，B3点坐标为（﹣4，0），B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），B6（8，﹣8），B7（16，0），B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2020÷8＝252…4，∴B2020的横纵坐标符号与点B4相同，横纵坐标相同，且都在第三象限，∴B2020的坐标为（﹣21010，﹣21010）．故答案为：（﹣21010，﹣21010）．11．解：由题意，点C的位置为（4，150°）．故答案为（4，150°）．12．解：∵P（a+1，a﹣3），其中a为任意实数，m，n分别表示点P到x轴和y轴的距离，∴m＝|a﹣3|，n＝|a+1|，∴m+n＝|a﹣3|+|a+1|，∴m+n的最小值即为|a﹣3|+|a+1|的最小值，∴①当a≤﹣1时，m+n＝|a﹣3|+|a+1|＝﹣2a+2≥4；②当﹣1＜a＜3时，m+n＝|a﹣3|+|a+1|＝4；③当a≥3时，m+n＝|a﹣3|+|a+1|＝a﹣3+a+1＝2a﹣2≥4；综上，m+n≥4，∴m+n的最小值为4，故答案为：4．13．y是x的函数的式子有：①y＝|x|；③2x2﹣y＝0，共2个，故答案为：2．14．解：由线段的和差，得CE＝6﹣x，由三角形的面积，得y＝×4×（6﹣x）化简，得y＝﹣2x+12，故答案为：y＝﹣2x+12．15．解：由题意得，≥0，则或，解得，x＞2或x≤1，故答案为：x＞2或x≤1．16．解：由题意可得：k＝2，解得．故答案为：．17．解：由函数图象可得，当S＝6时，h有最大值3，∴此次抛射过程中，物体达到的最大高度是3m，故答案为：3．18．解：由图象的曲线部分看出直线部分表示K点在AB上，且AB＝3，曲线开始AK＝3，结束时AK＝3，所以AB＝AC＝3．当AK⊥BC时，在曲线部分AK最小为5．所以BC×5＝10，解得BC＝4．故答案为4、3．19．解：（1）点A（5，3）为“开心点”，理由如下，当A（5，3）时，m﹣1＝5，，得m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“开心点”；点B（4，10）不是“开心点”，理由如下，当B（4，10）时，m﹣1＝4，，得m＝5，n＝18，则2m＝10，8+18＝26，所以2m≠8+n，所以点B（4，10）不是“开心点”；（2）点M在第三象限，理由如下：∵点M（a，2a﹣1）是“开心点”，∴m﹣1＝a，，∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3），故点M在第三象限．20．解：（1）依题意有2a﹣4＝0，解得a＝2，3a+2＝3×2+2＝8．故点A的坐标为（8，0）；（2）依题意有3a+2＝4，解得a＝．点A的坐标为（4，﹣）；（3）依题意有2a﹣4＝4，解得a＝4，3a+2＝3×4+2＝14，故点A的坐标为（14，4）；（4）依题意有|3a+2|＝|2a﹣4|，则3a+2＝2a﹣4或3a+2+2a﹣4＝0，解得a＝﹣6或a＝0.4，当a＝﹣6时，3a+2＝3×（﹣6）+2＝﹣16，当a＝0.4时，3a+2＝3×0.4+2＝3.2，2a﹣4＝﹣3.2．故点A的坐标为（﹣16，﹣16）或（3.2，﹣3.2）．21．解：（1）如图所示：（2）A（﹣4，0）；B（﹣4，﹣6）；C（8，﹣6）；P（8，4）；（3）O，P两点之间的距离为×＝2（km）．故O，P两点之间的距离为2km．故答案为：2km．22．解：（1）由题意得，当点P在线段AB上时，AP＝4t，AQ＝3t，当点P到达边AB的中点时，AP＝2，即4t＝2，解得，t＝，∴AQ＝，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）当点P在边AB上时，S＝×AB×AD﹣×AP×AQ＝×4×3﹣×4t×3t＝6﹣6t2（0＜t＜1）；当点P在边BC上时，CP＝3﹣3（t﹣1）＝6﹣3t，CQ＝4﹣4（t﹣1）＝8﹣4t，S＝×BC×CD﹣×CP×CQ＝×3×4﹣（6﹣3t）（8﹣4t）＝﹣6t2+24t﹣18（1＜t＜2）；23．解：（1）当x＝5时，y＝x+＝，故答案为，通过描点、连线绘制的函数图象如下：（2）从图象看，若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若x1•x2＝1，则y1＝y2．从图象看，若方程x+＝k（x＜0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是为k＞2；故答案为＞，＝，k＞2；∵x＞0，故＞0，则（﹣）2≥0，即y＝x+≥2；（3）①由题意，y＝1+（2x+）×0.5＝1+x+（x＞0）．②由题意1+x+≤3.5，∵x＞0，可得2x2﹣5x+2≤0，解得：≤x≤2，∴水池底面一边的长x应控制在≤x≤2的范围内．24．解：（1）由题可得，b＝0.2a+0.8；（2）当a＝100时，b＝0.2×100+0.8＝20.8（元）．25．解：（1）由题意得：m﹣2≠0，解得：m≠2；（2）由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2．26．解：∵函数y＝2x+4，∴当x＝0，y＝4，当y＝0时，x＝﹣2，即该函数图象过点（0，4），（﹣2，0），所画的函数图象如右图所示；（1）由图象可得，点A（﹣2，0），点B（0，4），则OA＝2，OB＝4，故△AOB的面积是＝4；（2）由图象可得，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣2．27．解：（1）∵一次函数y＝（2﹣k）x﹣k2+4的图象y随x的增大而减小，∴2﹣k＜0，解得：k＞2，∴当k＞2时，y随x的增大而减小；（2）∵一次函数y＝（2﹣k）x﹣k2+4的图象经过原点，∴，解得：k＝﹣2，∴当k＝﹣2时，它的图象经过原点．28．解：（1）点P（4，5k+2）在此函数的图象上，理由如下：∵该函数的图象过点（﹣1，2），∴2＝﹣k+b﹣3，∴k﹣b＝﹣5．把点P（4，5k+2）代入一次函数y＝kx+b﹣3，5k+2＝4k+b﹣3k﹣b＝﹣5．∴点P（4，5k+2）也在此函数的图象上；（2）∵点A（a，y1）和点B（a﹣2，y1+2）都在该一次函数的图象上，∴解得k＝﹣1．答：k的值为﹣1；（3）∵k+b＜0，解得b＜﹣k，∵点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，∴m＝5k+b﹣3＞0，解得b＞3﹣5k所以3﹣5k＜b＜﹣k所以3﹣5k＜﹣k解得k＞．故得证．29．解：如图所示：大明宫国家遗址公园（1，5）。
2021年九年级中考数学 一轮复习：锐角三角函数及其应用(含答案)
2021中考数学一轮复习：锐角三角函数及其应用一、选择题1. （2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为（）A.21313B.31313C.23D.322. 如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（）A.62 B.2626 C.1326 D.13133. (2019•江苏苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30，则教学楼的高度是30°CDA．55.5m B．54m C．19.5m D．18m4. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是()A.12B. 1C. 3D. 25. (2019•湖南长沙•3分)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是A．303nmile B．60nmileC．120nmile D．(30+303)nmile6. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于A．asinx+bsinx B．acosx+bcosxC．asinx+bcosx D．acosx+bsinx7. （2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．a cos x+b sin x B．a cos x+b cos x C．a sin x+b cos x D．a sin x+b sin x8. 如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α)二、填空题9. 长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m .10. (2019•湖北荆门)计算23++|sin30°﹣π0|+3278-=__________．11. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的边缘光线AB ，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A 与地面的距离为1 m ，则该车大灯照亮的宽度BC 是________m ．(不考虑其他因素，参考数据：sin 8°＝425，tan 8°＝17，sin 10°＝910，tan 10°＝528)12. (2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．13. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)14. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)15. 【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，AD＝36，CD ＝1,则BC 的长为 . 16. （2020·苏州）如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC .过点A 作AD ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E .设10OA =，12DE =，则sin MON ∠=________.三、解答题17. 若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A 处沿直线方向开往对岸的B 处，AB 与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A 处到B 处约需时间几分．(参考数据：3≈1.7)18. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．19. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF.(1)求证:BF是☉O的切线;(2)若☉O的直径为3，sin∠CBF=，求BC和BF的长.20. (2019·本溪)小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE 上，支杆DF=30cm，CE：CD=1：3，∠DCF=45°，∠CDF=30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求AC的长度(结果保留根号)；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留根号)．21. 如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图22021中考数学 一轮复习：锐角三角函数及其应用-答案一、选择题1. 【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC 的正弦值转化成求∠ABC 的正弦值.连接AC 、BC ，∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧长都是AC ，∴根据圆周角定理知，∠ADC ＝∠ABC ，∴在Rt △ACB 中，根据锐角三角函数的定义知，sin ∠ABCACBC=，∵AC ＝2，CB＝3，∴AB 13=，∴sin ∠ABC 33131313==，∴∠ADC 的正弦值等于31313，因此本题选B ．2. 【答案】B【解析】过点B 作BD ⊥AC 于D 点D ， 则∠ADB=90°，设小正方形方格的边长为1，根据勾股定理得AB=222313+=，BD=122,∴在Rt △ABD 中，sin ∠BAC=22622613BD AB ==,故选B ．3. 【答案】C【解析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，183DE BC ==在Rt ADE △中，tan30AEDE=， 318318(m)AE ∴==，18 1.519.5(m)AB ∴=+=，故选C ．30°CDABE4. 【答案】D【解析】如解图，将AB平移到PE位置，连接QE, 则PQ＝210，PE＝22，QE＝42，∵△PEQ中，PE2＋QE2＝PQ2，则∠PEQ＝90°，∴tan∠QMB＝tan∠P＝QEPE＝2.5. 【答案】D【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC，∴CD=AC•cos∠ACD=60×3=303．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=303，∴AB=AD+BD=30+303．所以此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+303)nmile．故选D．6. 【答案】D【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选D．7. 【答案】A【解析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，∴∠CDE+∠ADO ＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAOODAD=，cos∠CDEDECD=，∴OD＝AD×sin∠DAO＝b sin x，DE＝D×cos∠CDE＝a cos x，∴OE＝DE+OD＝a cos x+b sin x，∴点C到x轴的距离等于a cos x+b sin x；因此本题选A．8. 【答案】C【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(cosα，sinα)．二、填空题9. 【答案】2(3－2)【解析】开始时梯子顶端离地面距离为4×sin45°＝4×2 2＝22，移动后梯子顶端离地面距离为4×sin60°＝4×32＝23，故梯子顶端沿墙面升高了23－22＝2(3－2)m .10. 【答案】1﹣3【解析】原式=2﹣3+1﹣12﹣32=1﹣3．故答案为：1﹣3．11. 【答案】1.4【解析】如解图，作AD ⊥MN 于点D ，由题意得，AD ＝1 m ，∠ABD ＝8°，∠ACD ＝10°，∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∴BD ＝AD tan 8°＝117＝7 m ，CD ＝AD tan 10°＝1528＝285＝5.6 m ，∴BC ＝BD －CD ＝7－5.6＝1.4 m .12. 【答案】0【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．13. 【答案】11【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．14. 【答案】103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m .15. 【答案】5或7【解析】本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同，此题有两种情况，①点D 在BC 延长线上，在△ABD 中 tan ∠ABD ＝BD AD ，∴3＝BD36解得6＝BD ，∴BC ＝BD － CD ＝6－1＝5；②点D 在BC 上，在△ABD 中 tan ∠ABD ＝BD AD ，∴3＝BD36解得6＝BD ，∴BC ＝BD ＋ CD ＝6＋1＝7，因此本题答案为5或7．D D A B B AC C16. 【答案】【答案】2425三、解答题17. 【答案】解：如解图，过点B 作BC 垂直于河岸，垂足为C ，则在R t △ACB 中，有AB ＝BC sin ∠BAC ＝900sin60°＝600 3. 因而时间t ＝60035×60＝23≈3.4(分) 即船从A 处到B 处约需3.4分．解图18. 【答案】【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关系．由ABCD 是正方形，BD 是角平分线，可想到连接CG ，易得CG ＝AG ，再由四边形CEGF 是矩形可得AG 2＝GE 2＋GF 2；(2)给出∠AGF ＝105°，可得出∠AGB ＝60°，再由∠ABG ＝45°，可想到过点A 作BG 的垂线，交BG 于点M ，分别在两个直角三角形中得出BM 和MG 的长，相加即可得出BG 的长．解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2；(1分)理由：连结CG ，∵ABCD 是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，(2分)∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠GFC＝90°，∴四边形CEGF是矩形，(3分)∴CF＝GE，在直角△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(4分)(2)过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，(6分)∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AMGM，∴GM＝66，(8分)∴BG＝BM＋GM＝22＋66＝32＋66.(10分)19. 【答案】解:(1)证明:连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC.∵AB=AC，∴BE=EC，∠BAE=∠CAE.∵∠BAC=2∠CBF，∴∠BAE=∠CBF.∵∠BAE+∠ABE=90°，∴∠CBF+∠ABE=90°，∴AB⊥BF，∴BF是☉O的切线.(2)由(1)得∠BAE=∠CBF，∴sin∠CBF=sin∠BAE=，∵∠AEB=90°，AB=3，∴BE=AB sin∠BAE=，∴BC=2BE=2.过点C作CH⊥BF于H点，在Rt△CBH中，CH=BC sin∠CBF=2，BH=2，∵CH⊥BF，AB⊥BF，∴AB∥CH，∴△FCH∽△F AB，∴=，∴=，∴BF=6.20. 【答案】(1)如图，过F作FH⊥DE于H，∴∠FHC=∠FHD=90°，∵∠FDC=30°，DF=30，∴FH=12DF=15，DH=323∵∠FCH=45°，∴CH=FH=15，∴3，∵CE：CD=1：3，∴DE=433∵AB=BC=DE，∴3；(2)过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，∵∠ACG=45°，∴AG=2226，答：拉杆端点A 到水平滑杆ED 的距离为(20)cm ．21. 【答案】探究 AH ＝12，AC ＝15，S △ABC ＝84．拓展 （1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ． （2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x +=． 由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14． 所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14． 发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565．。
2023年中考数学一轮综合培优测试卷：二次函数的最值【含答案】
2023年中考数学一轮综合培优测试卷：二次函数的最值一、综合题1．居民小区要在一块一边靠墙（墙长 ）的空地上修建一个矩形花园 ，花园的一边靠15m ABCD 墙，另三边用总长为 的栅栏围成.如图，若设花园的一边为 ，花园的面积为 40m AB =x(m) .y(m 2)（1）求y 与x 之间的数关系式，写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200 吗？如果能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；m 2（3）请结合题意判断：当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？2．用长为20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm ，面积为ycm 2．（1）求出y 与x 的函数关系式．（不写自变量的取值范围）（2）当边长x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？3．某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间满足关系：y=ax 2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？4．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x 表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y 表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．{ax 2,0≤x ≤30b(x−90)2+n,30<x ≤90（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？5．已知二次函数 （ 为常数）．y =−x 2+mx−m−3m （1）当 时，求二次函数的最值；m =4（2）当抛物线的顶点恰好落在 轴上时，求抛物线的顶点坐标；x （3）当 时，与其对应的函数值 的最大值为2，求二次函数的解析式．−1 ≤ x ≤ 5y 6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3（a≠0）.（1）若函数图象的对称轴为直线x ＝1，且顶点在x 轴上，求a 的值；（2）若a ＝1，b ＝2，点（m ，n ）为该二次函数图象在第三象限内的点，请分别求出m ，n 的取值范围；（3）若点P （a ，a －3）始终是函数图象上的点，求证：.a 2+b 2≥347．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c x ＝3时，y 有最小值﹣4，且图象经过点(﹣1，12).（1）求此二次函数的解析式；（2）该抛物线交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，在抛物线对称轴上有一动点P ，求PA+PC 的最小值，并求当PA+PC 取最小值时点P 的坐标.8．小佳同学在学习乘法公式（a+b ）2=a 2±2ab+b 2的多种运用后，发现可以运用所学知识上数学课时，求代数式x 2+4x+5的最小值？他的解答方法如下： 解：x 2+4x+5=x 2+4x+4+1=（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴当x=﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2=0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x 2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x= 时，代数式x 2﹣6x+12的最小值是 ；（2）知识运用：若y=﹣x 2+2x﹣3，当x=取何值时，y 取得最大值？9．一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，用这块材料剪出一个矩形CDEF ，其中D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上．（1）若设AE=x ，则AF= ；（用含x 的代数式表示）（2）要使剪出的矩形CDEF 的面积最大，点E 应选在何处？10．如图，一次函数y ＝﹣x+b 与反比例函数（x ＞0）的图象交于点A （m ，3）和B （3，1）.y =kx（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；（2）请直接写出不等式组 ≤﹣x+b 的解集是 ；kx （3）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的最大值和最小值.11．已知抛物线y=ax 2 +bx+ l 经过点（1，-2）， （-2，13）.（1）求a ，b 的值；（2）若（5，y 1），（n ，y 2）是抛物线上不同的两点，且y 2=12-y 1，求n 的值；（3）将此抛物线沿x 轴平移m （m>0）个单位长度，当自变量x 的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y 的最小值为6，求m 的值.12．已知二次函数（b 为常数）．y =x 2+bx +2b （1）若图象过，求函数的表达式．（2，8）（2）在（1）的条件下，当时，求函数的最大值和最小值．−2≤x ≤2（3）若函数图象不经过第三象限，求b 的取值范围13．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0）、C （0，4），点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO ．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．14．重庆市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y （单位：百万平方米），与时间x 的关系是y= x+5，（x16单位：年，1≤x≤6且x 为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y （单位：百万平方米），与时间x 的关系是y=- x+ （x 单位：年，7≤x≤10且x 为整数）．假设每年的公租房全部出租18194x 年投入使用的公租房的租金z （单位：元/m 2）与时间x （单位：年，1≤x≤10且x 为整数）满足一次函数关系如下表：z （元/m 2）5052545658…x （年）12345…（1）求出z 与x 的函数关系式；（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a 的值．（参考数据： ， ， ）315≈17.7319≈17.8321≈17.915．如图，斜靠在墙上的一根竹竿AB 长为13m ，端点B 离墙角的水平距离BC 长为5m ．（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，则B端将沿CB方向移动多少米？（3）在竹竿滑动的过程中，当A端下移多少距离时，△ABC面积最大？简述理由，并求出最大值．16．某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？答案解析部分1．【答案】（1）解：根据题意得：BC=40-2x ，y ＝x （40-2x)，∴y= ，−2x 2+40x ∵墙长15m ，∴0＜40-2x≤15，∴自变量x 的取值范围是 ；252≤x <20（2）解：当y ＝200时，即200＝ ，−2x 2+40x 解得： ，x 1=x 2=10∵ ，252≤x <20∴此花园的面积不能达到200m 2；（3）解：y ＝ 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝10.−2x 2+40x ∴当 时，y 随x 的增大而减小，252≤x <20∴当x ＝ 时，y 有最大值，此时y ＝ .252−2×(252)2+40×252=187.5即当时，花园面积最大，最大面积为187.5m 2.x =2522．【答案】（1）解：已知一边长为xcm ，则另一边长为（10-x ）．则y=x （10-x ）化简可得y=10x-x 2；（2）解：y=10x-x 2 = -（x 2-10x ）= -（x-5）2+25， 所以当x=5时，矩形的面积最大，最大为25cm 2．3．【答案】（1）解；y=ax 2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），∴ ，{25a +5b−75=049a +7b−75=16解得，{a =−1b =20y=﹣x 2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）当x=10时，y 最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）解；∵函数y=﹣x 2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10， 可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y=﹣x 2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．4．【答案】（1）解: 由图象可知，300=a×302，解得a= ，13n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣ ，19∴y ={13x 2(0≤x ≤30)−19(x−90)2+700(30≤x ≤90)（2）解: 由题意﹣ （x﹣90）2+700=684，19解得x=78，∴ =15，∴15+30+（90﹣78）=57分钟684−6244所以，馆外游客最多等待57分钟．5．【答案】（1）当 时，二次函数的解析式为，m =4∴当x=2时，二次函数取得最大值，最大值为．（2）当抛物线的顶点恰好落在 轴上，x 那么 ，Δ=m 2−4×(−1)×(−m−3)=0即， 解得．当m=6时，二次函数的解析式为，此时抛物线的顶点坐标为．当m=时，二次函数的解析式为，此时抛物线的顶点坐标为．∴抛物线的顶点坐标为或．（3）二次函数图象的对称轴为直线，x =m2①当 时，即 时，m2<−1m <−2在自变量 的值满足 的情况下， 随 的增大而减小，x y x∴当x= 时，y= 为最大值，∴ ，解得，此时二次函数的解析式为y=．②当时，即 时，−1≤m2≤5−2≤m ≤10当 时，二次函数的最大值为=2，x =m2∴，配方得，，解得∵ ，∴应舍去，取 ，−2≤m ≤10此时二次函数的解析式为．③当 时，即m>10时，m 2>5在自变量 的值满足 的情况下， 随 的增大而增大，x y x ∴当x=5时，y=取得最大值，∴ ，解得 ，∵m>10，∴ 舍去．综上所述：此时二次函数的解析式为y=或．6．【答案】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，0）， ∴，b 2＋12a ＝0，−b2a =1∴4a 2＋12a ＝0，∴a ＝－3，（2）解：把a ＝1，b ＝2代入，得：，y =x 2+2x−3=(x +1)2−4∴其顶点坐标（，），−1−4令y ＝0，即，解得x 1＝1，x 2＝，x 2+2x−3=0−3与x 轴的交点坐标为（1，0），（，0），−3与y 轴的交点坐标为（0，），−3∴＜m＜0，≤n＜0，−3−4（3）证明：∵P（a，a－3）始终是函数y＝ax2＋bx－3（a≠0）图象上的点，∴即a3+ab−3=a−3a3+ab−a=0∵a≠0，∴，a2+b−1=0∴a2=1−b∴a2+b2=b2+1−b=(b−12)2+34由得a2=1−b>0b<1∴(b−12)2≥0∴a2+b2≥347．【答案】（1）∵当x=3时，y有最小值-4，∴设二次函数解析式为y=a（x-3）2-4.∵二次函数图象经过点（-1，12），∴12=16a-4，∴a=1，∴二次函数的解析式为y=（x-32-4=x2-6x+5.（2）当y=0时，有x2-6x+5=0，解得：x1=1，x2=5，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）；当x=0时，y=x2-6x+5=5，∴点C的坐标为（0，5）.连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，如图所示.设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B （5，0）、C （0，5）代入y=mx+n ，得： ，解得： ，{5m +n ＝0n ＝5{m ＝−1n ＝5∴直线BC 的解析式为y=-x+5.∵B （5，0）、C （0，5），∴BC=5 .2∵当x=3时，y=-x+5=2，∴当点P 的坐标为（3，2）时，PA+PC 取最小值，最小值为5 .28．【答案】（1）3；3（2）解：y=﹣x 2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2， 则当x=1时，y 取得最大值是﹣29．【答案】（1） x3（2）解：∵四边形CDEF 是矩形， ∴∠AFE=90°，∵∠A=30°，∴EF= AE= x ，1212在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=12，∴BC= AB=6，12根据勾股定理得：AC= =6 ，122−623∴CF=AC﹣AF=6 ﹣ x ，332∴S 矩形CDEF =CF•EF= x （6 ﹣ x ）=﹣ （x﹣6）2+9 ，12333343∴当x=6时，矩形CDEF 的面积最大，即当点E 为AB 的中点时，矩形CDEF 的面积最大．10．【答案】（1）y ＝﹣x+4；y =3x（2）1≤x≤3（3）解：∵点P 是线段AB 上一点，设P （n ，﹣n+4）， ∴1≤n≤3，∴S ＝ OD•PD ＝ •n （﹣n+4）＝﹣ （n 2﹣4n ）＝﹣ （n﹣2）2+2，12121212∵﹣ ＜0，且1≤n≤3，12∴当n ＝2时，S 有最大值，且最大值是2，∴当n ＝1或n ＝3时，S 有最小值，且最小值是 .3211．【答案】（1）解：把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax 2+bx+1得，，{−2＝a +b +113＝4a−2b +1解得：；{a ＝1b ＝−4（2）解：由（1）得函数解析式为y=x 2-4x+1，把x=5代入y=x 2-4x+1得，y 1=6，∴y 2=12- y 1=6= y 1，∵（5，y 1），（n ，y 2）是抛物线上不同的两点，∴（5，y 1）与（n ，y 2）关于对称轴对称，∵对称轴为直线x=2， ∴n=4-5=-1.（3）解：由（1，y =x 2−4x +1=(x−2)2−3∵此抛物线沿x 轴平移m （m>0）个单位长度，∴①当向右平移时，平移后的解析式为，y =(x−2−m )2−3∴对称轴为，x =2+m >2当时，顶点处取最小值，此时最小值为-3，不合题意；−1≤2+m ≤3当即时，对称轴-1≤x≤3的右边，2+m ≥3m ≥1此时当-1≤x≤3时y 随x 的增大而减小，∴当时，有最小值6，即，x =36=(3−2−m )2−3解得，（舍去）；m =4m =−2②当向左平移时，平移后的解析式为，y =(x−2+m )2−3∴对称轴为，x =2−m 当时，顶点处取最小值，此时最小值为-3，不合题意；−1≤2−m ≤3当，时，当-1≤x≤3时y 随x 的增大而增大，2−m ≤−1m ≥3∴当时，有最小值6，即，x =−16=(−1−2+m )2−3解得，（舍去），m =6m =0综上所述，m 的值为4或6.12．【答案】（1）解：∵图象经过点，（2，8）∴，8=4+2b +2b 解得．b =1∴此函数解析式为．y =x 2+x +2（2）解：．y =x 2+x +2=(x +12)2+74∵抛物线的开口向上，∴当，y 随x 的增大而减小，−2≤x ≤−12∴当时，y 的最小值为，x =−1274当时，y 随x 的增大而增大，−12≤x ≤2∴当时y 的最大值为，x =2(2+12)2+74=8答：最小值，最大值8．74（3）解：∵图象不经过第三象限，且开口向上，∴，即，2b ≥0b ≥0∴对称轴直线，在y 轴左侧，x =−b 2≤0∴图象必在x 轴上方（包括x 轴），∴，△=b 2−8b ≤0∴．0≤b ≤813．【答案】（1）解：如图1，∵A （﹣3，0），C （0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC ∥AO ，AB 平分∠CAO ，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB ．∴BC=AC ．∴BC=5．∵BC ∥AO ，BC=5，OC=4，∴点B 的坐标为（5，4）．∵A （﹣3，0）、C （0，4）、B （5，4）在抛物线y=ax 2+bx+c 上，∴{9a−3b +c =0c =425a +5b +c =4解得：{a =−16b =56c =4∴抛物线的解析式为y=﹣ x 2+ x+41656（2）解：如图2，设直线AB 的解析式为y=mx+n ，∵A （﹣3，0）、B （5，4）在直线AB 上，∴{−3m +n =05m +n =4解得：{m =12n =32∴直线AB 的解析式为y= x+ ．1232设点P 的横坐标为t （﹣3≤t≤5），则点Q 的横坐标也为t ．∴y P = t+ ，y Q =﹣ t 2+ t+4．12321656∴PQ=y Q ﹣y P =﹣ t 2+ t+4﹣（ t+ ）16561232=﹣ t 2+ t+4﹣ t﹣ 16561232=﹣ t 2+ + 16t 352=﹣ （t 2﹣2t﹣15）16=﹣ [（t﹣1）2﹣16]16=﹣ （t﹣1）2+ ．1683∵﹣ ＜0，﹣3≤t≤5，16∴当t=1时，PQ 取到最大值，最大值为 ．83∴线段PQ 的最大值为 ．83（3）解：①当∠BAM=90°时，如图3所示．抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ = ．b 2a 562×(−16)52∴x H =x G =x M = ．52∴y G = × + = ．125232114∴GH= ．114∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM ．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM ，∴△AHG ∽△MHA ．∴ ．GH AH =AHMH ∴ =．11452−(−3)52−(−3)MH 解得：MH=11．∴点M 的坐标为（ ，﹣11）．52②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣ = ，DG=4﹣ = ，525211454∴BG= BD 2+DG2= (52)2+(54)2= ．554同理：AG= ．115∵∠AGH=∠MGB ，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH ∽△MGB ．∴．AG MG =GHGB ∴ = ．115MG 114554解得：MG= ．254∴MH=MG+GH= + 254114=9．∴点M 的坐标为（ ，9）．52综上所述：符合要求的点M 的坐标为（ ，9）和（ ，﹣11）．525214．【答案】（1）解：由题意，z 与x 成一次函数关系，设z=kx+b （k≠0）．把（1，50）．（2，52）代入，得 ∴z=2x+48．{k +b =502k +b =52⇒{k =2b =48（2）解：当1≤x≤6时，设收取的租金为W 1百万元，则W 1=（- x+5）•（2x+48）=- 1613x 2+2x+240，∵对称轴x=- ≠=3，而1≤x≤6，∴当x=3时，W 1最大=243（百万元）．b2a 当7≤x≤10时，设收取的租金为W2百万元，则W 2=（- x+ ）·（2x+48）18194=- x 2+ x+228．∵对称轴x=- =7，而7≤x≤10，∴当x=7时，W 2最大= （百万元）．1472b 2a 9614∵243> ，9614∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．（3）解：当x=6时，y=- ×6+5=4百万平方米=400万平方米；当x=10时，16y=- ×10+ =3.5百万平方米=350万平方．18194∵第6年可解决20万人住房问题，∴人均住房为400÷20=20平方米．由题意20×（1-1.35a ％）×20×（1+a ％）=350．设a ％=m ，化简为54m 2+14m-5=0，Δ=142-4×54×（-5）=1276，∴m= −14±1276=−7±319∵ ≈17.8，∴m 1=0.2，m 2=- （不符题意，舍去）．31962135∴a ％=0.2，∴a=20．答：a 的值为20．15．【答案】（1）解：根据题意得：∠ACB=90°， ， ，AB =A 1B 1=13m BC =5m ∴ ，AC =AB 2−BC 2=132−52=12m ∵ ，A 1C =12−1=11m ∴ ，B 1C =A 1B 12−A 1C 2=132−112=43m ∴，BB 1=B 1C−BC =(43−5)m 即B 端将沿CB 方向移动 ；(43−5)m （2）解：根据题意可设，则 ，AA 1=BB 1=ym A 1C =(12−y)m ，CB 1=(5+y)m 在 中，由勾股定理得：，Rt △A 1CB 1A 1C 2+CB 12=A 1B 12即 ，(12−y)2+(5+y)2=132解得： ，y =7即B 端将沿CB 方向移动7米；（3）解：设A 端下移的距离为 ，则 ，则 ，xm A 1C =(12−x)m B 1C =132−(12−x)2m ∴，S △ABC =S △A1B 1C =12(12−x)132−(12−x)2设 ，则，a =12−x S △ABC =12a 169−a 2∴，(2S △ABC )2=a 2(169−a 2)=169a 2−a 4=−(a 2−1692)2+16924∴当，即 时， 最大，即最大，a 2=1692a =132(2S △ABC )2S △ABC 此时当时，，12−x =132(2S △ABC )2=16924∴当时，，x =12−1322S △ABC =1694∴当A 端下移，△ABC 面积最大，最大为 ．(12−1322)m1694m 216．【答案】（1）解：设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)、(35，300)代入y ＝kx ＋b 中得 ，解得 ，{400=30k +b 300=35k +b {k =−20b =1000∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1000（2）解：设第二个月的利润为w 元，由已知得w ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1000)＝－20x 2＋1400x －20000＝－20(x －35)2＋4500，∵－20＜0，∴当x ＝35时，w 取最大值，最大值为4500.故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元。
2023年中考数学一轮综合培优测试卷：二次函数-动态几何问题【含答案】
2023年中考数学一轮综合培优测试卷：二次函数-动态几何问题一、综合题1．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，点P 为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP 面积最大时，求点P 的坐标；（3）设点D 是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q ，使以点B ，C ，D ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且EF OC ，连接OE ，CF 得四边形OCFE ．//=（1）求B 点坐标；（2）当tan ∠EOC= 时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F 的坐标；43（3）当0＜tan ∠EOC ＜3时，对于每一个确定的tan ∠EOC 值，满足条件的四边形OCFE 有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan ∠EOC ．4．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C 1：y 1=﹣2x 2+4x+2与C 2：y 2=﹣x 2+mx+n 为“友好抛物线”．（1）求抛物线C 2的解析式．（2）点A 是抛物线C 2上在第一象限的动点，过A 作AQ ⊥x 轴，Q 为垂足，求AQ+OQ 的最大值．（3）设抛物线C 2的顶点为C ，点B 的坐标为（﹣1，4），问在C 2的对称轴上是否存在点M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C 2上？若存在求出点M 的坐标，不存在说明理由．5．如图，已知抛物线 与直线AB 交于 、 两点，与y 轴交于y =−x 2+bx +c A(−1，0)B(2，3)点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABD的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(−1,0)OA=OC=4OB6．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)A,B,C图象经过三点.A,C（1）求两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；P AC PD⊥AC D PD （3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大P PD时，求此时点的坐标及的最大值.7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．8．已知，经过点A（－4，4）的抛物线y=ax2+bx与x轴相交于点B（－3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，平行于y轴的直线交线段AO于点Q，交抛物线于点P，当四边形AHPQ为平行四边形时，求∠AOP的度数；（3）如图2，试探究：在抛物线上是否存在点C，使∠CAO＝∠BAO？若存在，请求出直线AC解析式；若不存在，请说明理由．9．如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角ACE的平分线，点P是边BC B，C不重合），∠APQ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．（1）求证：△ABP∽△PCN；（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．10．已知二次函数y = -x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C （0，3），M 为它的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接MC 、BC 、BM ，画出图象并求出△MCB 的面积S △MCB ．11．已知二次函数y ＝ax 2+2x+c 的图象经过点（1，4）和（0，3）两点，与x 轴交于A 、B 两点（A点在B 点的左侧）．（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）若点P 在此抛物线上，且在x 轴上方，求△PAB 的最大面积．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y= 的图象经过点A （2，0）和点14x 2+mx +nB （1，﹣ ），直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直，垂足为Q ．34（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 1随时间t （t≥0）的变化规律为y 1=﹣ +2t ．现以线段OP 为直径作⊙C ．34①当点P 在起始位置点B 处时，试判断直线l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；在点P 运动的过程中，直线l 与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P 开始运动的同时，直线l 也向上平行移动，且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律为y 2=﹣1+3t ，则当t 在什么范围内变化时，直线l 与⊙C 相交？此时，若直线l 被⊙C 所截得的弦长为a ，试求a 2的最大值．13．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 .y =x 2+x−2x A B y CA B C（1）求点，点和点的坐标；P PB+PC P（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；M AC M ABCM （3）若点是直线下方抛物线上一动点，运动到何处时四边形面积最大，最大值面积是多少？14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）点A，B的坐标分别是A ，B ；（2）求抛物线的解析式；（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．y=ax2+bx+c C(0，−5)x15．如图，已知抛物线与y轴交于点，与轴交于点A和点B，其(5,0)x=2中点B的坐标为抛物线对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式；（2）当 时，y 的取值范围为 ．0<x <5（3）点P 为该二次函数在第四象限内图像上的一动点，过点P 作 轴，交 于点Q ，PQ//y BC 设线段 长为l ，求l 的最大值，并写出此时点P 的坐标．PQ 16．如图，对称轴为直线x= 的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）．72（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线y=ax 2+bx+c 中，得：，{a−b +c =09a +3b +c =0c =−3解得： {a =1b =−2c =−3故抛物线的解析式：y=x 2﹣2x﹣3（2）解：当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=﹣ =1，b2a 故P （1，0）（3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：x=﹣ =1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：b2a MA 2=m 2+4，MC 2=（3+m ）2+1=m 2+6m+10，AC 2=10；①若MA=MC ，则MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2+6m+10，解得：m=﹣1，②若MA=AC ，则MA 2=AC 2，得：m 2+4=10，得：m=± ；6③若MC=AC ，则MC 2=AC 2，得：m 2+6m+10=10，得：m 1=0，m 2=﹣6；当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1， ）（1，﹣ ）（1，﹣1）（1，0）．662．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a （x+1）（x﹣3），把C （0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x 2+2x+3（2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+m ，把B （3，0），C （0，3）代入得，解得 ，{3k +m =0m =3{k =−1m =3所以直线BC 的解析式为y=﹣x+3，作PM ∥y 轴交BC 于M ，如图1，设P （x ，﹣x 2+2x+3），（0＜x ＜3），则M （x ，﹣x+3），∴PM=﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x ，∴S △PCB = •3•PM=﹣ x 2+ =﹣ （x﹣ ）2+ ，1232923232278当x= 时，△BCP 的面积最大，此时P 点坐标为（ ， ）3232154（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线x=1，当四边形BCDQ 为平行四边形，设D （1，a ），则Q （4，a﹣3），把Q （4，a﹣3）代入y=﹣x 2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3，解得a=﹣2，∴Q （4，﹣5）；当四边形BCQD 为平行四边形时，设D （1，a ），则Q （﹣2，3+a ），把Q （﹣2，3+a ）代入y=﹣x 2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3，解得a=﹣8，∴Q （﹣2，﹣5）；当四边形BQCD 为平行四边形时，设D （1，a ），则Q （2，3﹣a ），把Q （2，3﹣a ）代入y=﹣x 2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3，解得a=0，∴Q （2，3），综上所述，满足条件的Q 点坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）．3．【答案】（1）解：∵y=﹣x 2+6x=﹣（x﹣3）2+9，∴B （3，9）（2）解：抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x 轴于H ，如图，∵tan ∠EOC= ，即tan ∠EOH= ，4343∴ = ，EH OH 43∴EH=4，∴E 点坐标为（3，4）或（3，﹣4），当y=4时，﹣（x﹣3）2+9=4，解得x 1=3﹣ （舍去），x 2=3+ ，55当y=﹣4时，﹣（x﹣3）2+9=﹣4，解得x 1=3﹣ （舍去），x 2=3+ ，1313∴F 点坐标为（3+ ）或（3+ ，﹣4）513（3）解：如图，∵平行四边形和平行四边形OE′F′C′等高，∴这两个四边形的面积之比为1：2时，OC′=2OC ，设OC=t ，则OC′=2t ，∴F 点的横坐标为3+t ，F′点的横坐标为3+2t ，而点F 和F′的纵坐标互为相反数，∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t 1= ，t 2=﹣ （舍去），31053105∴F 点坐标为（3+ ， ），3105275∴E （3， ），275∴tan ∠EOC= = ．2753954．【答案】（1）解：∵y 1=﹣2x 2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，∴抛物线C 1的顶点坐标为（1，4）．∵抛物线C 1与C 2顶点相同，∴ =1，﹣1+m+n=4．−m−1×2解得：m=2，n=3．∴抛物线C 2的解析式为y 2=﹣x 2+2x+3（2）解：如图1所示：设点A 的坐标为（a ，﹣a 2+2a+3）．∵AQ=﹣a 2+2a+3，OQ=a ，∴AQ+OQ=﹣a 2+2a+3+a=﹣a 2+3a+3=﹣（a﹣ ）2+ ．32214∴当a= 时，AQ+OQ 有最大值，最大值为 32214（3）解：如图2所示；连接BC ，过点B′作B′D ⊥CM ，垂足为D ．∵B （﹣1，4），C （1，4），抛物线的对称轴为x=1，∴BC ⊥CM ，BC=2．∵∠BMB′=90°，∴∠BMC+∠B′MD=90°．∵B′D ⊥MC ，∴∠MB′D+∠B′MD=90°．∴∠MB′D=∠BMC ．在△BCM 和△MDB′中，，{∠MB'D =∠BMC∠BCM =∠MDB'BM =MB'∴△BCM ≌△MDB′．∴BC=MD ，CM=B′D ．设点M 的坐标为（1，a ）．则B′D=CM=4﹣a ，MD=CB=2．∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．整理得：a 2﹣7a+10=0．解得a=2，或a=5．当a=2时，M 的坐标为（1，2），当a=5时，M 的坐标为（1，5）．综上所述当点M 的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C 2上5．【答案】（1）解：把 、 两点代入 得，A(−1，0)B(2，3)y =−x 2+bx +c ，{−1−b +c =0−4+2b +c =3解得： ，{b =2c =3∴抛物线的解析式为： y =−x 2+2x +3（2）解：∵ ，y =−x 2+2x +3=−(x−1)2+4∴D 点坐标为： ，D(1，4)设直线AB 的解析式为： ，代入A 、B 两点可得：y =kx +d ，{−k +d =02k +d =3解得： ，{k =1d =1∴直线AB 的解析式为： ，y =x +1设直线AB 与抛物线对称轴交于点E ，则 ，E(1，2)∴ ；S △ABD =12×(4−2)×3=3（3）解：假设存在，设点 ，由解析式可知C 点坐标为（0，3）P(1，m)∴ ， ， ，AC 2=12+32=10CP 2=12+(m−3)2=m 2−6m +10AP 2=m 2+4△ACP ①当 时， ，即 ，∠APC =90°AP 2+CP 2=AC 2m 2+4+m 2−6m +10=10解得： ， ，m 1=1m 2=2此时点P 的坐标为（1，1）或（1，2）；②当 时， ，即 ，∠ACP =90°AC 2+CP 2=AP 210+m 2−6m +10=m 2+4解得：，m =83此时点P 的坐标为；(1，83)③当 时， ，即 ，∠PAC =90°AP 2+AC 2=PC 2m 2+4+10=m 2−6m +10解得：，m =−23此时点P 的坐标为；(1，−23)综上所述，满足条件的P 点的坐标为（1，1）或（1，2）或或 ．(1，83)(1，−23)6．【答案】（1）解：OA ＝OC ＝4OB ＝4，故点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）（2）解：抛物线的表达式为： ，y ＝a （x +1）(x−4)=a(x 2﹣3x﹣4)即﹣4a ＝﹣4，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为： y ＝x 2−3x−4（3）解：直线CA 过点C ，设其函数表达式为： ， y ＝kx−4将点A 坐标代入上式并解得：k ＝1，故直线CA 的表达式为：y ＝x﹣4，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，∵OA ＝OC ＝4，，∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°∵PH//y 轴，，∴∠PHD ＝∠OCA ＝45°设点 ，则点H （x ，x﹣4），P （x ，x 2−3x−4）PD ＝22（x−4−x 2+3x +4）=−22x 2+22x∵ ＜0，∴PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为 ，−222此时点P （2，﹣6）.7．【答案】（1）解：在Rt △ABC 中，∠A=30°，AB=4，∴AC=2 ，3∵PD ⊥AC ，∴∠ADP=∠CDP=90°，在Rt △ADP 中，AP=2t ，∴DP=t ，AD=APcosA=2t× = t ，323∴CD=AC﹣AD=2 ﹣ t （0＜t ＜2）33（2）解：在Rt △PDQ 中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A ，∴PA=PQ ，∵PD ⊥AC ，∴AD=DQ ，∵点Q 和点C 重合，∴AD+DQ=AC ，∴2× t=2 ，33∴t=1（3）解：当0＜t≤1时，S=S △PDQ = DQ×DP= × t×t=t 2，当1＜t ＜2时，如图2，1212332CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2 t﹣2 =2 （t﹣1），333在Rt △CEQ 中，∠CQE=30°，∴CE=CQ•tan ∠CQE=2 （t﹣1）× =2（t﹣1），333∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ = × t×t﹣ ×2 （t﹣1）×2（t﹣1）=﹣ t 2+4 t﹣2 ，12312333233∴S={32t 2(0<t ≤1)−33t 2+43t−23(0<t <2)（4）解：当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时，如图3，∴∠PGF=90°，PG=12PQ= AP=t ，AF= AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t ，1212∴AP+PF=2t+2t=2，∴t= ；12当PQ 的垂直平分线过AC 的中点M 时，如图4，∴∠QMN=90°，AN= AC= ，QM= PQ= AP=t ，1231212在Rt △NMQ 中，NQ= ，MQ cos30°=233t ∵AN+NQ=AQ ，∴ + =2 t ，3233t3∴t= ，34当PQ 的垂直平分线过BC 的中点时，如图5，∴BF= BC=1，PE= PQ=t ，∠H=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H ，1212∴BH=BF=1，在Rt △PEH 中，PH=2PE=2t ，∴AH=AP+PH=AB+BH ，∴2t+2t=5，∴t= ，即：当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为 秒或 秒或 秒541234548．【答案】（1）解：抛物线的解析式为 y =x 2+3x（2）解：设点P 坐标为 ，其中 (m ，m 2+3m)−4<m <0∵点A （－4，4），∴直线OA 的解析式为 ，y =−x 从而点Q 的坐标为 ，∴ = (m ，−m)PQ =−m−(m 2+3m)−m 2−4m当四边形AHPQ 为平行四边形时，PQ=AH=4，即 ，解得 ，此时点P 坐标为 −m 2−4m =4m =−2(−2，−2)∴∠AOP=∠AOH+∠POH=45o +45o =90o .（3）解：设AC 交y 轴于点D ，由点A （－4，4）得， ， ∠AOB =∠AOD =45o∵∠CAO ＝∠BAO ， ，∴ ≌ AO =AO ΔAOD ΔAOB ∴ ，点D 坐标为（0，3）OD =OB =3设直线AC 解析式为 ，则y =px +q {−4p +q =4q =3解得， ，∴直线AC 解析式为 .p =−14q =3y =−14x +39．【答案】（1）证明：在正三角形ABC 中，∠ABP ＝∠PCN ＝60°， ∴∠BAP+∠BPA ＝120°，又∵∠APQ ＝60°，∴∠CPN+∠BPA ＝120°，∴∠BAP ＝∠CPN ，∴△ABP ∽△PCN（2）解：△ABD ≌△ACD ；△APN ∽△ACP ；△APN ∽△QCN ；△ACP ∽△QCN ；理由：∵△ABC 是正三角形，AD ⊥BC ，由三线合一可证△ABD ≌△ACD ；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP ，∴△APN ∽△ACP ；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN ∽△QCN ；∵△APN ∽△ACP ，△APN ∽△QCN ，∴△ACP ∽△QCN（3）解：能，设PB ＝x ，CN ＝y ，由第（1）题可得： ， y x=12−x12∴，又3≤x≤9，利用函数图象可知：y =−112x 2+x 当x ＝3或9时，y ＝ ，当x ＝6时，y 最大＝3；94∴点N 运动的路径长为：（3－ ）×2＝1.59410．【答案】（1）解：∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），∴c=3，∴抛物线解析式为：y = -x 2，将（﹣1，0）代入上述解析式，得：-1-b+3=0，解得：b=2，∴抛物线的解析式为：y = -x 2+2x+3，整理为顶点式为：y = -（x-1）2+4，∴顶点M 坐标为（1，4）（2）解：∵抛物线对称轴为直线x=1，A 、B 关于对称轴对称， ∴点B 的坐标为（3，0），作图如图所示，过M 点作MN ∥y 轴，交BC 于N 点，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，将B （3，0）和C （0，3）代入解得k=-1，b=3，∴直线BC 的解析式为：y=-x+3，∵MN ∥y 轴，∴M 、N 两点横坐标相同，由（1）知M 点横坐标为1，∴N 点横坐标为1，∴代入直线BC 解析式可得N 点纵坐标为2，∴MN=4-2=2，∴S △MBC = MN （x B -x C ）= ×2×（3-0）=3，1212∴△MCB 的面积为3．11．【答案】（1）解：把（1，4），（0，3）代入二次函数y ＝ax 2+2x+c 得：，{a +2+c =4c =3解得：a ＝－1，c ＝3∴y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为：直线x ＝-＝1．b2a （2）解：令y ＝0得：x 2-2x-3＝0，(x+1)(x-3)＝0，x 1＝－1，x 2＝3，∵A 点在B 点的左侧，∴A （－1，0），B （3，0），∴AB ＝3-(－1)＝4，当P 点为抛物线的顶点时，△PAB 的面积最大，把x ＝1代入y ＝-x 2+2x+3得：y ＝4，∴ P 点的坐标为（1，4），∴S △PAB ＝×4×4＝8，12即△PAB 的最大面积为8．12．【答案】（1）解：将点A （2，0）和点B （1，﹣ ）分别代入y= x 2+mx+n 中，得：3414 ，{14×4+2m +n =014+m +n =−34解得： ，{m =0n =−1∴抛物线的解析式：y= x 2﹣114（2）解：①将P 点纵坐标代入（1）的解析式，得：x 2﹣1=﹣ +2t ，x= ，14348t +1∴P （ ，﹣ +2t ），8t +134∴圆心C （ ，﹣ +t ），8t +1238∴点C 到直线l 的距离：﹣ +t﹣（﹣1）=t+ ；3858而OP 2=8t+1+（﹣ +2t ）2，得OP=2t+ ，半径OC=t+ ；345458∴直线l 与⊙C 始终保持相切．②Ⅰ、由①可知，若直线l 与⊙C 相切，则：2t﹣ =t+ ，t= ；585854∴当0＜t ＜ 时，直线l 与⊙C 相交；54Ⅱ、∵0＜t ＜ 时，圆心C 到直线l 的距离为d=|2t﹣ |，又半径为r=t+ ，545858∴a 2=4（r 2﹣d 2）=4[（t+ ）2﹣|2t﹣ |2]=﹣12t 2+15t ，5858∴t= 时，a 的平方取得最大值为 58751613．【答案】（1）由y=0，得x 2+x﹣2=0 解得 x 1=﹣2，x 2=l ，∴A （﹣2，0），B （l ，0），由x=0，得y=﹣2，∴C （0，﹣2）.（2）连接AC 与对称轴的交点即为点P.设直线AC 为y=kx+b ，则 ，{﹣2k +b =0b =﹣2得 k=﹣l ，∴y=﹣x﹣2.对称轴为x= ，当 x= 时，y=-（ ）﹣2= ，−12−12−12−32∴P （ ， ）.−12−32（3）过点M 作MN 丄x 轴与点N ，设点M （x ，x 2+x﹣2），则OA=2，ON=﹣x ，OB=1，OC=2，MN=﹣（x 2+x﹣2）=﹣x 2﹣x+2，S 四边形ABCM =S △AOM +S △OCM +S △BOC= ×2×（﹣x 2﹣x+2）+ ×2（﹣x ）+ ×1×2121212=﹣x 2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4.∵a=﹣1＜0，∴当x=﹣1时，S 四边形ABCM 的最大值为4.∴点M 坐标为（﹣1，﹣2）时，S 四边形ABCM 的最大值为4.14．【答案】（1）（0，5）；（5，0）（2）解：将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得： ， {−25+5b +c =0c =5解得： ，{b =4c =5即抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+4x+5；（3）解：抛物线的对称轴为x ＝﹣ ＝2，则点C 的坐标为（4，5）， b 2a 设点P 的坐标为（x ，﹣x 2+4x+5），则点D 坐标为（x ，﹣x+5）∵AC ⊥PD ，∴S 四边形APCD ＝ ×AC×PD ＝2（﹣x 2+4x+5+x﹣5）＝﹣2x 2+10x ，12∵a ＝﹣2＜0，∴S 四边形APCD 有最大值，当x ＝ 时，其最大值为： ，此时点P 的坐标（ ， ）．522525225215．【答案】（1）解：∵点B 的坐标为(5，0)，抛物线对称轴为直线 ， x =2∴点A 的坐标为(-1，0)，设抛物线的解析式为 ，y =a(x +1)(x−5)把点C(0，-5)代入得： ，−5=a(0+1)(0−5)解得： ，a =1∴抛物线的解析式为 ，y =(x +1)(x−5)=x 2−4x−5（2）−9≤y <0（3）解：设直线BC 的解析式为 ，y =kx−5把点B 的坐标(5，0)代入得： ，0=5k−5解得： ，k =1∴直线BC 的解析式为 ，y =x−5设P 点的坐标为(x ， )，则点Q 的坐标为(x ， )，x 2−4x−5x−5∴ ( )l =PQ =x−5−x 2−4x−5= −x 2+5x=，−(x−52)2+254当 时， ，x =52l 最大=254此时，P 点的坐标为( ， )，52−35416．【答案】（1）解：因为抛物线的对称轴是x= ，72设解析式为y=a （x﹣ ）2+k ．72把A ，B 两点坐标代入上式，得 ，{a(6−72)2+k =0a(0−72)2+k =4解得a= ，k=﹣ ．23256故抛物线解析式为y= （x﹣ ）2﹣ ，顶点为（ ，﹣ ）237225672256（2）解：∵点E （x ，y ）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y= （x﹣ ）2﹣ ，2372256∴y ＜0，即﹣y ＞0，﹣y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线，∴S=2S △OAE =2× ×OA•|y|=﹣6y=﹣4（x﹣ ）2+25．1272因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）和（6，0），所以自变量x 的取值范围是1＜x ＜6．① 根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣ ）2+25=24．72化简，得（x﹣ ）2= ．7214解得x 1=3，x 2=4．故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，﹣4），E 2（4，﹣4），点E 1（3，﹣4）满足OE=AE ，所以平行四边形OEAF 是菱形；点E 2（4，﹣4）不满足OE=AE ，所以平行四边形OEAF 不是菱形；②当OA ⊥EF ，且OA=EF 时，平行四边形OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，使平行四边形OEAF 为正方形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D中考数学第一轮复习数学测试卷（满分150分;考试时间：120分钟）一、选择题：（本大题共7小题,每小题3分,共21分）, 1.下列2个数互为相反数是A ．2与-2B ．2与0.5C ．3与1/3D ．4与±2 2. 下列事件中：确定事件是A. 在同一年出生的360名学生中,至少有两人的生日是同一天.B.从一副扑克牌中任意抽出一张牌,花色是红桃;C.任意选择电视的某一频道,正在播放动画片;D. 掷一枚六个面分别标有1～6的均匀骰子,骰子停止转动后偶数点或奇数点朝上的概率. 3.在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是A B C D4.满足不等式52〈〈-x 的未知数x 的整数解的个数是 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个5.计算0)3(30sin 2-+︒所得的结果是A ．1B ．2C ．3D ．4 6.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表：那么,当输入数据是8时,输出的数据是 A.861 B.863 C.865D.867 7.已知点),4(1y -,()2,2y 都在直线221+-=x y 上,则1y 与2y 的大小关系是 （A ）21y y 〉 （B ）21y y = （C ）21y y 〈 （D ）不能比较第16题二、填空题：（本大题共10小题,每小题4分,共40分）8.按规律在横线填上一个数：1,－2,4,－8,_____;9.电影院的8排10号用（8,10）表示,那么10排8号可用 表示; 10.因式分解=-412x ; 11.化简=-3227 ;12.如图,已知扇形的圆心角为120°,扇形的面积为27πcm 2,则扇形的弧长= ;13. 如图,已知∠1=∠2,要使△ADB ≌△ADC,还需添加一个条件是 ;14. 一个纸箱中有红、白两种颜色的球共20粒,已知红球有8粒,则抽到白球的机会是 ;15.在横线上填一个整数,使方程x 2-x+( )=0在实数范围内有解,且解为无理数;16. 如图,在矩形ABCD 中,横向阴影部分是矩形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标出的数据,则图中空白部分的面积是 （用含a,b,c 的代数式表示）;17.某市为了鼓励居民节约用水,对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12吨,则按每吨x 元收费;若超过12吨,则超过部分按每吨2x 元收费.如果某户居民十月份交纳水费20x 元,则该居民这个月实际用水__ _________吨. 三、解答题（共89分） 18.（本题满分8分） 解不等式组 ⎩⎨⎧〈--≥+423332x x 并把解集在数轴上表示出来.19. （本题满分8分）先化简1x 21x 1x 2+-++,再将x 取一个适当的数,求出代数式的值.20. （本题满分10分）如图,△ABC 和△ADE 都是顶角为44°的等腰三角形,请在不添加辅助线的情况下找出图中的一对全等三角形,并给予证明.21. （本题满分12分）我国春节、“五一”、“十一”三个长假的假日经济的发展始终保持良好势头,假日经济的成长除了不断创新外,还有两条基本规律需要遵守,即提高服务、规范价格.下表是对长（1）调查显示,64.5%的消费者感觉长假期间价格水平 , %感觉基本没变化,感觉价格水平上涨的比感觉价格水平下降的多了 个百分点;（2）对于长假期间的服务水平, %的消费者感觉有下降,感觉服务水平提升的比感觉服务水平降低的少了 个百分点;（3）由以上分析,你认为妨碍假日经济更快成长的主要原因是 （4）针对长假期间严重的扎堆现象（如找不到好住处、遭遇恶意服务、买不到车船机票、景点商场站台拥挤无秩序等）,有人建议开放法定节日外的带薪长假,某报社计划进行一次民意调查,以了解市民对这一提议的赞同程度.请你代报社确定调查对象,并设计开展调查时要提问的问题.22. （本题满分7分）我市规定学校半径200米范围内不得开设网吧,老王找到一个店面C,从校门口A向前120米到路口B,再向右转走140米到达店面C.如果老王在店面C处开设网吧,是否会被取缔？请从数学的角度说明理由.23. （本题满分10分）（1）为制作光盘的简易包装袋,需测量光盘的直径,现有一副三角板（边长超过光盘的直径）、刻度尺、笔、科测验纸,请利用提供的材料设计一个测量光盘直径的方案（可附图说明）;（2）小明同学只有一把刻度尺和一块三角板,他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上（直尺与光盘、光盘与三角板均仅有一个接触点）,并量出AB=3.5cm,他用这个方法测出了光盘的直径.请你帮他说明理由.24. （本题满分10分）已知一次函数：①x y 3=、 ② m x y +=3、 ③ x y 2-=、④ x y 21=、 ⑤ 22+-=x y 、 ⑥221+=x y (1)如果（-1,-1）在函数m x y +=3的图象上,求m ;(2)将以上6个函数分类（每类至少2个）,并说明分类的依据; (3)求直线22+-=x y 与直线221+=x y 的交角的度数.25. （本题满分12分）已知：如图BE 、CF 、AH 是ΔABC 的中线,BE 、CF 、AH 相交于G, M 、N 分别是GB 、GC 的中点（1）求证：四边形EFMN 是平行四边形; （2）①当ACAB的值为 时,四边形EFMN 是矩形; ②当BCAH 的值为 时,四边形EFMN 是菱形;（3）从第（2）小题的2个命题中,选择一题进行证明.H26. （本题满分12分）已知：x(h) 0 3 6 9 12y(m) 1.3 6.7 8.5 6.7 1.3（1）请你以上表中的各对数据（x,y）作为点的坐标,在所给的坐标系中画出y关于x的函数图象（0≤x≤12）;（2）选用一个函数来近似描述y与 x的函数关系,求出函数解析式;（3）如果上表表示某港口某日从0时至12时的时间x(h)与水深y(m)的关系,已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为3.8米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离）,在该日该船何时能进入港口？在港口能呆多久？D ECBA参考答案一、选择题： 1.A;2.D;3.C;4.C;5.B;6.C;7.A. 二、填空题： 8. 16； 9.（10，8）； 10.⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x x 11． 3；12． 6πcm ； 13.AB=AC 或∠B=∠C 14. 60%； 15.-1、-3、-4、-5、……. 16.ab-ac-bc+c 217. 16吨.三、解答题18.（本题满分8分） 解(1) x ≥-3 解(2) x ＜2 结论：-3≤x ＜219. （8分）1x 21x 1x 2+-++=1212+-+x x =()()111+-+x x x =1-xx 除-1外，其他均可代入. 20.解：△ABD 和△ACE 全等∵△ABC 和△ADE 都是顶角为44°的等腰三角形 ∴AB=AC AD=AE ∠BAC=∠DAE ∴∠BAD=∠CAE ∴△ABC ≌△ADE21.（1）价格水平上升，64.5%感觉基本没变化，多了55个百分点第16题（2）43.5%的消费者感觉服务水平有下降，少了31个百分点 （3）主要原因是价格水平上升、服务水平下降 （4）调查对象：（考虑年龄、工作性质、收入）提出问题：是否同意开放法定节日外的带薪长假，等等22. 会被取缔 解1：AB=120，BC=140，∠ABC=90°AC 2=34000 AC 2小于40000∴C 点在学校半径200米范围内，会被取缔.解2：假设直线BC 上有一点D ，AD=200， AB=120，AD=200，∠ABD=90° BD=160， BC 小于160，C 在线段BD 上， ∴C 点在学校半径200米范围内，会被取缔 23. （本题满分10分）（1） 解1：利用90度的圆周角所对的弦是直径（2） 解2：用笔在科测纸描出光盘的轮廓，对折，折痕为直径所在的直线（3） ∵直尺与光盘、光盘与三角板均仅有一个接触点，∴AC 切⊙O 于C ，AB 切⊙O 于B ，且∠CAD=60°，（4） ∴∠OAB=∠OAC=21∠BAC=60° （5） ∴∠OBA=90°∵AB=3.5cm,tan ∠OAB=ABOB∴OB=ABtan 60°=3.53∴直径为73cm (其他解相应给分)24. m=2（2） 2类：①③④ 都过（0，0）②⑤⑥ 都过（0，2） 3分，分类正确2分，理由1分或3类：①②、③⑤、④⑥ 两两平行（3）设直线22+-=x y 交y 轴于A （0，2），交x 轴于B （0，2）直线221+=x y 交y 轴于A （0，2），交x 轴于C （0，-4）利用勾股定理，AB 2=5，AC 2=20，BC 2=25 因为AB 2+ AC 2= BC 2所以两直线的交角成90度25. （本题满分12分）（1）证明：∵E 、F 分别为AC 、AB 的中点∴EF 平行且等于BC同理MN 平行且等于BD ，∴EF 平行且等于MN ∴四边形EFMN 是平行四边形 (2)1；23 （3）解①：接（1）四边形EFMN 是平行四边形 又AB=AC ，H 为BC 中点，∴AH ⊥BC 得∠MFE 为直角，∴四边形EFMN 是矩形 解②：接（1）四边形EFMN 是平行四边形 连结HN ，证得HN ∥BG ， EN ∥AH ∴EN=GH又EN=0.5AG ，∴EN=1.5AHMN=0.5BC 当BC AH =23时，MN=EN ∴四边形EFMN 是菱形26. （本题满分12分） （1）描点、连线设解析式为5.8)6(2+-=x a y解得a=-0.2∴5.8)6(2.02+--=x y（2）依题意，水深应超过5.3米当y=5.3时，求出x 为2或10∴在该日该船2时能进入港口，呆在港口不能超过8小时。
H。