理：2.3 数学归纳法(2)
数学归纳法(二)
一、用数学归纳法证明等式问题 练习1. 求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立. ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
1、三个步骤缺一不可:第一步是是奠基步 骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第 二步是归纳关键，是推理的依据，是判断命题 的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无 限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归 纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成 立)。如果没有第一步，第二步就没有了意义； 如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就 没有可靠性； 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳 假设，否则就不是数学归纳法了。 注意：完成一,二步后,最后第三步对命题做 6 一个总的结论一定不要忘了。
上述证明方法叫做数学归纳法。
2
例1.试判断下列两例的证明过程是否正确，若不正确 请说明理由. （1）用数学归纳法证明
1 3 5 ... (2n 1) n 1(n N )
2 *
证明： 2 假设n=k时命题成立，即1 3 5 ... (2k 1) k 1 ，
13
五、小结
（1）理解数学归纳法原理。 （2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者 是基础，后者是递推的依据，也是证明中的难 点和关键。 （3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关 的数学问题。
第2章 2.3 数学归纳法
比较即可.
(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的
度.
【自主解答】
(1)当n＝k＋1时左边的代数式是
1 k＋2
＋
1 k＋3
＋…＋
1 2k＋1
＋
2k＋1 2，增加了两项2k＋1 1与2k＋1 2，但是少了一项k＋1 1，故不等式的左边增加的式
子是2k＋1 1＋2k＋1 2－k＋1 1＝2k＋112k＋2.
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[小组合作型]
用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋32n＋4(n∈N*)
时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________.(填序号)
①1；
②1＋2；
③1＋2＋3；
④1＋2＋3＋4.
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(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈ N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.
k
k＋1＋1 k＋1
<
k2＋ k＋k＋1 12＋1＝2kk＋＋11＝2
k＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立.
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[再练一题] 2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式. 【证明】 ①当n＝2时，2＋1 1＋2＋1 2＝172>1234. ②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立， 即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k>1234， 那么当n＝k＋1时， k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1
数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
20
山东省临沂第一中学
练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题 练习 下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n + +L+ = 1• 2 2 • 3 n • ( n + 1) n + 1
的过程.你认为他的证法正确吗 为什么 的过程 你认为他的证法正确吗?为什么 你认为他的证法正确吗
1 1 = , 右边 (1).当n=1时,左边 左边= 右边= 当 时 左边 1 • 2 2
12
山东省临沂第一中学
思考6 数学归纳法由两个步骤组成， 思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其 中第一步是归纳奠基 第二步是归纳递 归纳奠基， 中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递 完成这两个步骤的证明， 推，完成这两个步骤的证明，实质上解 决了什么问题？ 决了什么问题？ 逐一验证命题对从n 逐一验证命题对从n0开始的所有正整数 都成立. n都成立.
山东省临沂第一中学
2.3 数学归纳法
临沂一中数学组
1
问题提出
山东省临沂第一中学
1.归纳推理的基本特征是什么？ 1.归纳推理的基本特征是什么？ 归纳推理的基本特征是什么 由个别事实概括出一般结论. 由个别事实概括出一般结论. 2.综合法， 2.综合法，分析法和反证法的基本思 综合法 想分别是什么？ 想分别是什么？ 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立， 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证明. 证明.
9
探究（ 探究（二）：数学归纳法的基本原理
山东省临沂第一中学
an 思考1 已知数列{a 思考1：已知数列{an}满足 an + 1 = 1 + an 1 a n∈N*），假设当n ），假设当 （n∈ ），假设当n＝k时，k = ，
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修2-2
即n=k+1时等式也成立. 综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N*等式恒成立.
【补偿训练】用数学归纳法证明：
1 1 1 1 n (n N*). 2 4 4 6 68 2n(2n 2) 4(n 1) 1 1 【证明】(1)当n=1时，等式左边= ， 2 1 (2 1 2) 8 1 1 等式右边= . 4 (1 1) 8
n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小正整
数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基
要稳”是第一个关键点.
(2)递推是关键. 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，
弄清由n=k到n=k+1时，等式的两边会增加多少项.增加怎样的
【知识拓展】数学归纳法证题的口诀 数归证题真是妙， 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
【微思考】 (1)用数学归纳法证明不等式时是否通常与直接证明的方法同 时使用? 提示：是.尤其是证明n=k+1这一步时，会经常使用分析、综合、 放缩等方法. (2)与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法? 提示：不能.数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一 种方法.
(2k 1)(2k 2) =2(2k+1). k 1
f (k)
答案：2(2k+1)
(2)证明如下：当n=1时，左边= 1 1 1 ，右边= 1 ，所以等式
2 2 2
成立. 假设n=k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即 1 1 1 1
1 1 1 成立，那么n=k+1时， k 1 k 2 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2k 1 2k 2(k 1) 1 2(k 1) 1 1 1 1 1 k 1 k 2 2k 2k 1 2(k 1) 1 1 1 1 1 1 [ ] k 2 k 3 2k 2k 1 k 1 2(k 1) 1 1 1 1 ， (k 1) 1 (k 1) 2 (k 1) k 2(k 1) 2 3 4 1 1 2k 1 2k
2.3 数学归纳法
②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,
即ak= (k-1)-(k-2)a ,
k -(k -1)a
则当n=k+1时,ak+1=
1 2-ak
=
2-
1 (k -1)-(k -2)a
k -(k -1)a
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
=
k -(k -1)a
2[k -(k -1)a]-[(k -1)-(k -2)a]
2 | 数学归纳法的步骤
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. ( ✕ ) 2.数学归纳法的第一步中n0的初始值一定为1. ( ✕ ) 3.数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( √ ) 4.用数学归纳法证明命题时,归纳假设一定要用上. ( √ )
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 选修2-2 人教A版
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2.3 数学归纳法
1 | 数学归纳法的概念 一般地,证明一个与① 正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行: 1.证明当n取第一个值② n0(n0∈N*) 时命题成立; 2.假设③ n=k(k≥n0,k∈N*) 时命题成立,证明当④ n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
= k(2k 3) 1
(2k 1)(2k 3)
= 2k 2 3k 1
(2k 1)(2k 3)
= (2k 1)(k 1)
(2k 1)(2k 3)
= k 1 .
2(k 1) 1
故当n=k+1时,等式也成立.
2020高中数学 第二章 推理与证明 2. 数学归纳法讲义 2-2
2.3 数学归纳法1．数学归纳法的内容如下:一个错误!与正整数有关的命题，如果(1）错误!当n取第一个值n0（例如n0＝1或n0＝2等）时结论正确,(2）错误!假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0)时结论正确,能够证明当n＝k＋1时结论也正确,那么可以断定错误!这个命题对n∈N＊且n≥n0的所有正整数都成立．2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是错误!递推的基础，第二步的作用是错误!递推的依据．3．数学归纳法实质上是错误!演绎推理法的一种，它是一种错误!严格的证明方法，它只能错误!证明结论,不能发现结论，并且只能证明错误!与正整数相关的命题．4．常把归纳法和数学归纳法结合起来,形成错误!归纳—猜想-证明的思想方法，既可以错误!发现结论，又能错误!给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法．5．用数学归纳法证明命题时，两步错误!缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用错误!归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然,知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1）有n个骨牌排成如图所示的一排,现推倒第一张骨牌，会有什么现象?（2）要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度）（3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果?(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下）（4）如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5）能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是:①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下）错误!错误!错误!错误!错误!错误!…运用类比的方法,我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华,进而得到数学归纳法证明的步骤：（1)当n＝1时，结论成立；（2)假设当n＝k时结论成立,证明n＝k＋1时结论也必定成立．错误!错误!错误!错误!错误!错误!…1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×")（1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．（)(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.（)（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )答案(1)×(2）×(3）√2．做一做（1)已知f（n）＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则f（n）共有________项，f(2)＝________。
2.3《数学归纳法》
1、证明：
1+2 +2 ++2 2
1 2 n
n1
1(n N )
找准起点 奠基要稳
证明：①当n 1时，左边=1+21 3， 右边=211 1=3，左边=右边，命题成立
②假设当n k时，命题成立,即 1+2 +2 + +2 2
1 2 k k 1
1成立
k 1
生成概念
两个步骤 证明一个与正整数n有关的命题,按下列步骤进行 一个结论
(1)证明当n取 第一个值n0(n0∈N+) 时命题成立归纳奠基 ; （k≥n (2)假设 当n=k 时命题成立， 0,k∈N+) 证明当n=k+1时命题也成立 从而命题对所有的正整数n都成立. 归纳递推 .
1、用数学归纳法证明的对象是与 正整数 有关的命题。 2、在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。 3、书写必须规范 (1)证明当n取第1个值时，命题成立 (2)假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题 也成立
( k 1)( 2k 2 7k 6) 6 (k 1)(k 2)(2k 3) 6
用上假设 递推才真
(k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 6
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
写完结论 才算完整 由（1）和（2），可知的等式对任何 n N 都成立
n(n 1)(2n 1) 1 +2 + +n = ，其中n N 6
2 2 2
证明：
1 (1 1)(2 1 1) (1)当n 1时， 左边=1， 右边 = 1, 6 左边=右边，所以等式成立。
课件2 ：2.3 数学归纳法
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
数学归纳法(2)
2.设n ,求证： 是64的倍数。
3.设n ,n>1，求证：1+ >
课后作业
1.是否存在常数使a、b、c，使等式 对一切正整数n成立？证明你的结论。
2.设 为常数，且
证明对任意 ；
反思：
自我评价：
我对本节课的内容掌握情况：（）
A．很好
B．较好
C．一般
D．较差
错题备忘录：
课后反思：
2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
二、典型例题
例1．设 ， ．
（1）当 时，计算 的值；
（2）你对 的连续自然数的立方和能被9整除
例2．在平面上画 条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点．问：这条直线将平面分成多少个部分？
（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
(4)数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
课题
§2.3数学归纳法
课型
新授课
课时
1课时
学习目标
1理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；
2.通过数学归纳法的学习，用数学归纳法证明规律的途径；
3.学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用．
学习重点：
学习难点：
用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用．
用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用．
第二章2.3数学归纳法
第二章推理与证明数学归纳法级基础巩固一、选择题．用数学归纳法证明等式＋＋＋…＋(＋)＝(∈*)时，第一步验证＝时，左边应取的项是( )．．＋．＋＋．＋＋＋解析：当＝时，左边应取的项为＋＋＋.故选.答案：．用数学归纳法证明“＞＋对于≥的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取( )．．．．解析：当取、、、时＞＋不成立，当＝时，＝＞＋＝，第一个能使＞＋的值为.答案：．用数学归纳法证明某命题时，左式为＋α＋α＋…＋(－)α(α≠π，∈，∈*)，在验证＝时，左边所得的代数式为( )＋α＋α＋α＋α＋α＋α解析：令＝，左式＝＋α.答案：．用数学归纳法证明“当为正奇数时，＋能被＋整除”，第二步归纳递推应写成( )．假设＝＋(∈*)时正确，再推＝＋时正确．假设＝－(∈*)时正确，再推＝＋时正确．假设＝(∈*)时正确，再推＝＋时正确．假设＝(∈*)时正确，再推＝＋时正确解析：因为为正奇数，所以在证明时，归纳递推应写成：假设＝－(∈*)时正确，再推出＝＋时正确．故选.答案：．用数学归纳法证明(＋)(＋)……(＋)＝·×……(＋)(∈*)，从“到＋”左端需增乘的代数式为( )．(＋)．＋解析：当＝时左端为(＋)(＋)…(＋)，当＝＋时，左端为(＋)(＋)…(＋＋－)(＋＋)(＋＋＋)，即(＋)(＋)……(＋)(＋)(＋)．观察比较它们的变化知增乘了＝(＋)．答案：二、填空题．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋＝()”从＝推导＝＋时原等式的左边应增加的项数是．解析：观察不等式左边的分母可知，由＝到＝＋左边多出了＋＋…＋共＋－项．答案：＋－．已知数列{}的前项和为，且＝，＝(∈*)依次计算出、、、后，可猜想的表达式为．解析：＝，＝，＝＝，＝，猜想＝.。
第二章 2.3 数学归纳法
§2.3 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点 数学归纳法 (1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示思考 数学归纳法的第一步n 0的初始值是否一定为1?答案 不一定，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，第一个值n 0＝3.1．与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( × )2．在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．( × ) 3．用数学归纳法证明等式时，由n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的项数不一定增加了一项．( √ ) 4．用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )一、用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ≥1，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ≥1，n ∈N *，等式均成立． 反思感悟 数学归纳法证明等式需要注意： (1)搞清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；(2)弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n ＝k ＋1时证明目标的表达式进行变形． 跟踪训练1 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 证明 (1)当n ＝1时，左边＝121×3，右边＝1×22×3，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可得，对于任意的n ∈N *等式都成立． 二、用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 反思感悟 用数学归纳法证明不等式需要注意(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n ＝k ＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，便于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 跟踪训练2 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n>2(n ＋1－1)(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，不等式显然成立， (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，1＋12＋ (1)>2(k ＋1－1)，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1>2(k＋1－1)＋1k＋1，∵2(k＋2－1)－2(k＋1－1)－1k＋1＝2k＋2－2k＋1－1k＋1＝2(k＋1)(k＋2)－2(k＋1)－1k＋1＝2(k＋1)(k＋2)－2k－3k＋1＝4k2＋12k＋8－4k2＋12k＋9k＋1<0，∴2(k＋1－1)＋1k＋1>2(k＋2－1)，∴1＋12＋…＋1k＋1k＋1>2(k＋2－1)，∴当n＝k＋1时，不等式也成立，综上，对任意n∈N*，原不等式都成立．归纳—猜想—证明典例已知数列{a n}满足关系式a1＝a(a>0)，a n＝2a n－11＋a n－1(n≥2，n∈N*)，(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想a n的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明．解(1)a2＝2a1＋a，a3＝2a21＋a2＝2×2a1＋a1＋2a1＋a＝4a1＋3a，a 4＝2a 31＋a 3＝2×4a 1＋3a 1＋4a 1＋3a ＝8a1＋7a.(2)因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ，a 2＝21a1＋(21－1)a ，…，猜想a n ＝2n －1a1＋(2n －1－1)a .下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ， 所以当n ＝1时猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝2k －1a 1＋(2k －1－1)a，所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k1＋a k ＝2k a1＋(2k －1－1)a1＋2k －1a1＋(2k －1－1)a＝2k a1＋(2k －1－1)a ＋2k －1a ＝2k a1＋2×2k －1a －a ＝2(k ＋1)－1a1＋[2(k ＋1)－1－1]a，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据①与②可知，猜想对一切n ∈N *都成立． [素养提升] (1)“归纳—猜想—证明”的一般步骤(2)归纳—猜想—证明，就是先得出数学结论，再进行严格证明，让学生学会有逻辑地思考问题，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养．1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<4答案 B解析 ∵n ∈N *，n >1，∴n 所取的第一个正整数为2，故第一步应验证1＋12＋13<2.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3 D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C. 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D解析 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2.4．用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________． 答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除， ∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任意n ∈N *，等式都成立． 上述证明，错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立的基础上证明n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．1．知识清单：数学归纳法的定义，证题步骤．2．方法归纳：归纳猜想证明，数学归纳法． 3．常见误区：(1)证题时搞错n ＝n 0时的情况． (2)归纳假设没有使用．1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，第一步验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3D ．n ＝42．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立 答案 B3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题也成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立．在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.4．用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n ，在验证n ＝2正确后，归纳假设应写成( ) A ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题成立 B ．假设n ≥k (k ∈N *)时命题成立 C ．假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立 D ．假设n ＝2(k ＋1)(k ∈N *)时命题成立 答案 C解析 因为题目要求n 为正偶数，所以应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立．5．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确解析 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推出当n ＝2k ＋1时正确，故选B.6．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步应验证n ＝________.答案 3解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形．7．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1左端需要增乘的代数式为________． 答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．10．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．11．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1答案 C 解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，① 得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1). 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1). 12．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( )A.24n －3B.26n －5C.24n ＋3D.22n －1答案 B解析 结合题意，得a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B. 13．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2(n ∈N *)．假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________．答案 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3 解析 当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 14．数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1(n ∈N *)能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为______________________．答案 25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2解析 当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝81·34k ＋2＋25·52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2.15．设平面内有n 条直线(n ≥3，n ∈N *)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )－f (n －1)＝________(用含n 的数学表达式表示)．答案 5 n －1解析 最初的三条直线产生2个交点，即f (3)＝2.每增加1条直线，与前面的每条直线都产生1个交点，故f (4)＝f (3)＋3＝5，故新增加的第n 条直线与前面的(n －1)条直线产生(n －1)个交点，即f (n )－f (n －1)＝n －1.16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13. (1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解 (1)a 2＝S 22×(2×2－1)＝a 1＋a 26， 又a 1＝13，则a 2＝115， 类似地，求得a 3＝135. (2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，……， 猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由(1)可知猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1). 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，∵S k＝k(2k－1)a k＝k(2k－1)1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，S k＋1＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1，∴a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1－k2k＋1，∴k(2k＋3)a k＋1＝k2k＋1，∴a k＋1＝1(2k＋1)(2k＋3)＝1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1].∴当n＝k＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意n∈N*都成立．∴{a n}的通项公式为a n＝1(2n－1)(2n＋1).。
[数学]_数学归纳法2
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故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n 2.
－
所以数列{an}的通项公式为
5，n＝1， an＝ n －2 5 × 2 ，n≥2.
(2)证明：①当 n＝2 时，a2＝5×22 2＝5，猜想成立．
－
②假设 n＝k 时成立，即 ak＝5×2k 2(k≥2，k∈N*)，
－
当 n＝k＋1 时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2 5(1－2k－1) ＝5＋ 1－2 ＝5×2k－1.
所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1， 所以n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1 ＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 ＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1] ＝ ak ＋ 2 ＋ (a ＋ 1)2(a2 ＋ a ＋ 1)q(a) － (a ＋ 1)2ak
2.3
数学归纳法(2)
2013.04.07
复习回顾
一.数学归纳法的作用
数学归纳法是证明一些与无限多个正 整数相关的命题的有力工具，它用有限 的步骤，取代了难以实现的无限验证。
（1）奠基 （2）递推
数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有 关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它 们的正确性： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 【命题成立的必要性】 （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 【命题成立的连 证明当n=k+1时命题也成立. 续性】 由（1）（2）得出结论全体自然数成立
＋1
＝(a＋1)2·(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)， 显然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命 题亦成立．
第二章 2.3 数学归纳法
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方法技巧 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情 况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝ k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的 表达式变形．
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法一：(分析法) 下面证(*)式≥56， 即3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3－k＋1 1≥0， 只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0， 只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0， 只需证9k＋5≥0，显然成立． 所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
较法、分析法、综合法、放缩法等．
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跟踪探究 2.用数学归纳法证明： n2＋n＜n＋1(n∈N*)
证明：①当n＝1时，左边＝ 2，右边＝2， 2＜2成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即 k2＋k＜k＋1成立． 则当n＝k＋1时，左边＝ k＋12＋k＋1 ＝ k2＋k＋2k＋2 ＜ k＋12＋2k＋2 ＝
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[自我检测]
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝
1－a2n＋2 1－a
(a≠1)”．在验证n＝1时，左
端计算所得项为( )
A．1＋a
B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3
D．1＋a＋a2＋a3＋a4
人教A选修2-211-12学年高二数学：2.3 数学归纳法 课件(人教A版选修2-2)
用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线的条数为：f(n)＝ 1 n(n－3) (n≥3)． 2
[证明] 命题成立． 1 假设 n＝k(k≥3)时，命题成立，即 f(k)＝ k(k－3)， 2 则当 n＝k＋1 时， k 边形由原来的 k 个顶点变为 k 凸 ＋1 个顶点，对角线条数增加 k－1 条． ∵三角形没有对角线，∴n＝3 时，f(3)＝0，
1 (1)当 n＝1 时，f(1)＝1＋ ，原不等式成立． 2 (2)设 n＝k(k∈N*)时，原不等式成立． k 1 1 1 1 即 1＋ ≤1＋ ＋ ＋„＋ k≤ ＋k 成立 2 2 3 2 2
当 n＝k＋1 时， 1 1 1 f(k＋1)＝f(k)＋ k ＋ k ＋„＋ k＋1 2 ＋1 2 ＋2 2 k 1 1 1 ≥1＋2＋ k ＋ ＋„＋ k＋1 2 ＋1 2k＋2 2 k 1 1 1 >1＋2＋ k＋1＋ k＋1＋„＋ k＋1 2 2 2 k＋1 k 1 ＝1＋2＋2＝1＋ 2 1 1 1 f(k＋1)＝f(k)＋ k ＋ k ＋„＋ k＋1 2 ＋1 2 ＋2 2
∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn ＋yn 能 被x＋y整除.
[例4] 平面内有n个圆，其中每两个圆都 交于两点，且无三个及以上的圆交于一点， 求证：这n个圆将平面分成n2－n＋2(n∈N*) 个区域． [分析] 本题关键是弄清第k＋1个圆与前k 个圆的交点个数，以及这些交点又将第k ＋1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是 怎样影响平面区域的划分的．
1 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ ＋ . k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)、(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立.
2.3数学归纳法2
法国数学ห้องสมุดไป่ตู้费马观察到：
221 1 222 1 223 1 224 1 都是质数，
费马
于是他用归纳推理提出猜想：
任何形如 22n 1 的数都是质数（费马猜想）
半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数 F5=225 1 4294967297 641 6700417 不是质数,从而推翻了费马的猜想
归纳
（2）假设当n=k时， （k ∈ N*，k≥n0 ） 结论成立，证明 n=k+1时结论也成立；
那么，对所有的正 整数n，an=0都成立.
那么，对所有的从 n0开始的正整数n都 成立.
数学运用
例1：用数学归纳法证明
12 22 32 n2 1 nn 12n 1
6
nN
小结（1）数学归纳法是一种完全归纳的证 明方法，它适用于与自然数有关的问题. （2）在证明递推步骤时，必 须使用归纳 假设进行恒等变换; （3）两个步骤、一个结论缺一不可，否则 结论不能成立；完成第1)、2）步骤的证明 后，要对命题成立进行总结.
= (k1)2 +(k+1)+1 因此，对于任何n N*等式都成立.
当堂反馈
2、小红想用数学归纳法证明: n N *时， 1+2+3+4+ n n(n 1) , 证明方法如下：
2 请同学们思考一下是否合理，并说明理由. 证明：(i)当n 1时，左边 1，右边 1，等式成立 （ii）假设n=k时，等式成立， 1+2+3+4+ k k(k1)
欧拉
. 问题情境
设a1, a2 , a3 , , an , 都是实数， 且a1 0, an1 n3 an .求an .
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理：§2.3 数学归纳法(2)
1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;
2.数学归纳法中递推思想的理解.
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;
【知识链接】
（预习教材P 107~ P 108，找出疑惑之处）
复习1：数学归纳法的基本步骤？
复习2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.
【学习过程】
※ 学习探究 探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：已知数列
1111,,,,1447710(32)(31)
n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明.
新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题. 试试：已知数列
1111,,,,,1223314(1)
n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯+ ,计算123,,S S S ,由此推测计算n S 的公式.
反思：用数学归纳法证明时,要注意从n k =时的情形到1n k =+的情形是怎样过渡的.
※ 典型例题
例1平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将
平面分成f (n )=n 2－n +2个部分
变式：证明凸n 边形的对角线的条数1()(3)(4)2
f n n n n =-≥
小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项,即几何元素从k 到1k +所证的几何量增加多少.
例2 证明:3*5()n n n N +∈能被6整除.
变式：证明:2121n n x y --+能被x y +整除.
小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出n k =的情形，从而利用归纳假设使问题获证.
※ 动手试试
练1. 已知111()123f n n =+
+++ ,求证: *(2)()2
n n f n N >∈
练2. 证明不等式*|sin ||sin |()n n n N θθ≤∈
【学习反思】
※ 学习小结
1. 数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题;
2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.
※ 知识拓展
不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明*1(1)()n n N n
+∈的单调性就难以实现.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 使不等式122
+>n n 对任意k n ≥的自然数都成立的最小k 值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2. 若命题)(n p 对n=k 成立，则它对2+=k n 也成立，又已知命题)2(p 成立，则下列结论正确的是
A. )(n p 对所有自然数n 都成立
B. )(n p 对所有正偶数n 成立
C. )(n p 对所有正奇数n 都成立
D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立 3. 用数学归纳法证明不等式1111127124264
n -++++> 成立，起始值至少应取为 A.7 B. 8 C. 9 D. 10
4. 对任意*4221,3n n n N a ++∈+都能被14整除,则最小的自然数a = .
5. 用数学归纳法证明等式
123(21)(1)(21)n n n +++++=++ 时,当1n =时左边表达式是 ;从1k k →+需增添的项的
1. 给出四个等式: 1=1
1-4=-(1+2)
1-4+9=1+2+3
1-4+9-16=-(1+2+3+4)
……
猜测第n 个等式，并用数学归纳法证明.
2. 用数学归纳法证明:
*11(11)(1)(1))321
n N n ++∙∙+>∈-。