2021高考数学一轮复习 第7章 不等式、推理与证明 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问
2021高考数学一轮复习第7章不等式推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式课件文北师大版
1.若 a，b，c∈R，且 a＞b，则下列不等式一定成立的
是( )
A．a＋c≥b－c
B．(a－b)c2≥0
C．ac＞bc
D.ba≤ba＋＋cc
B [(不等式的性质法)a，b，c∈R，且 a＞b，可得 a－b＞0，因 为 c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选 B.]
则 3x－x2≥0，
即 x2－3x≤0，
解得 0≤x≤3.]
2．设 A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则 A 与 B 的大小关系为( )
A．A≥B
B．A＞B
C．A≤B
D．A＜B
B [∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝x2－6x＋9－x24．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成 立⇒a≤f(x)max.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＞b⇔ac2＞bc2.
()
(2)若不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集为(x1，x2)，则必有 a＞0.( )
(3)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋
课堂考点探究
⊙考点 1 比较大小与不等式的性质 比较大小的五种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、 配方、有理化、通分等)．
(2)作商法：直接作商与 1 的大小比较，注意两式的符号．
(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值， 根据函数的单调性比较．
法二： (特殊值排除法)令 a＝b＝－1，则 p＝q＝－2，排除选项 A、C; 令 a＝－1，b＝－2，则 p<q，排除选项 D.故选 B.]
2021届高考数学一轮总复习第7章不等式第2节一元二次不等式及其解法跟踪检测文含解析
第七章 不等式第二节 一元二次不等式及其解法A 级·基础过关|固根基|1.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，2} B ．{0，1，2} C ．{1}D ．{1，2，3}解析：选A ∵A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x|0<x≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．故选A.2．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x<2，则m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．(－∞，0)解析：选D 由不等式的解集形式知m<0.故选D.3．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.4．(2019届内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为( )解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数f(x)＝－x 2－x ＋2，那么y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.5．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5]D ．[－2，4]解析：选D 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0可化为(x －1)(x －a)<0， 当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a 的取值范围是a∈[－2，4]，故选D.6．不等式2x ＋1<1的解集是________．解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1x ＋1>0⇒x>1或x<－1.答案：{x|x>1或x<－1}7．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，则实数c 的值为________．解析：因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，所以函数的最小值为0，可得Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝14a 2.又因为关于x 的不等式f(x)<c 可化成x 2＋ax ＋b －c<0，所以x 2＋ax ＋14a 2－c<0，若不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，也就是方程x 2＋ax ＋14a 2－c ＝0的两根分别为x 1＝m ，x 2＝m ＋8，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝14a 2－c ， 可得|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即(－a)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－c ＝64，解得c ＝16.答案：168．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则a ＝________，b 的取值范围是________．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min ＝f(－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2. 又因为f(x)>0恒成立，即b 2－b －2>0成立， 解得b<－1或b>2.答案：2 (－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函数f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0；当x∈(－3，2)时，f(x)>0.(1)求f(x)在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 当x∈(－3，2)时，f(x)>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－ba ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5，所以f(x)＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max ＝f(0)＝18，f(x)min ＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c≤0，要使－3x 2＋5x ＋c≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512. 10．解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0.解：对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a< 2 时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0时，即a ＝± 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个相等的实根，当a ＝2时，原不等式的解集为{x|x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x|x ＝－2}；当Δ>0，即a>2或a<－ 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}．综上，当a>2或a<－ 2 时，解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}；当a ＝ 2 时，解集为{x|x ＝2}；当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－2}；当－2<a<2时，解集为∅.B 级·素养提升|练能力|11.设f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]，当a∈[－1，1]时都成立，则t 的取值范围是( )A ．－12≤t ≤12B ．t ≥2或t≤－2或t ＝0C ．t ≥12或t≤－12或t ＝0D ．－2≤t≤2解析：选B 若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]时都成立，由已知易得f(x)的最大值是1，∴1≤t 2－2at ＋1对a∈[－1，1]时都成立，即2ta －t 2≤0对a ∈[－1，1]都成立．设g(a)＝2ta －t 2(－1≤a≤1)，欲使2ta －t 2≤0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0⇒t ≥2或t ＝0或t≤－2.故选B.12．(一题多解)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：选C 解法一：令f(x)＝x 2＋ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1－a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.当0<－a 2<12，即－1<a<0时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1－a 24，要使不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，只需1－a 24≥0，显然成立．当－a 2≥12，即a≤－1时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54＋a2，同理，要使原不等式恒成立，需有54＋a 2≥0，解得a≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a≥0时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，f(x)>f(0)＝1>0恒成立． 综上，a 的取值范围是a≥－52，其最小值为－52.故选C.解法二：因为x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以不等式x 2＋ax ＋1≥0可化为a≥－x －1x ，令f(x)＝－x －1x ，则f′(x)＝－1＋1x 2＝（1－x ）（1＋x ）x 2>0，所以f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52，由题意得a≥－52，故a 的最小值为－52.故选C.13．(2019届云南昆明适应性检测)关于x 的不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，则b －a ＝________．解析：画出函数f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象，如图．可得f(x)min ＝f(2)＝1，由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤34x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，所以a≤1<b，f(a)＝f(b)＝b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b ，34b 2－3b ＋4＝b ，由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝43或b ＝4.当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83，不符合题意，舍去．所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 答案：414．函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1)当x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)因为当x∈R 时，x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立， 只需Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即a 2＋4a －12≤0， 所以实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g(x)的图象恒在x 轴或x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2. ②如图②，g(x)的图象与x 轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g （－2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≥4，a ≤73，解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x 轴有交点， 但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a2≥2，7＋a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.所以－7≤a≤－6，综上，实数a 的取值范围是[－7，2]．(3)令h(a)＝xa ＋x 2＋3，当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h （4）≥0，h （6）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
2021高考数学复习第7章不等式、推理与证明第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理北师大版
43Βιβλιοθήκη ≥x，(1)已知 z＝2x＋y，其中实数 x，y 满足x＋y≤2， 且 x≥a，
z 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是( )
2
1
11
A.11
B.4
C.4
D. 2
3x－y－1≥0，
(2)(2019·湖南湘东六校联考)若变量 x，y 满足3x＋y－11≤0， y≥2，
]
31
[母题探究] 本例条件不变，试求 z＝3x－2y 的范围． [解] z＝3x－2y 变形为 y＝23x－12z，由本例可行域知直线 y＝32x －12z 过 A 点时截距取得最小值，而 z 恰好取得最大值，即 z＝6. 过 C 点时截距取得最大值而 z 恰好取得最小值，即 z＝－6， ∴z＝3x－2y 的范围为[－6,6]．
28
考点 2 求目标函数的最值 求线性目标函数的最值 截距型：形如 z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截 式，通过求直线的截距bz的最值间接求出 z 的最值．注意平面区域要 画对，特别是图中涉及到直线的斜率大小关系．
29
(2018·全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件
22
y≤－x＋2，
3．(2019·南昌模拟)已知不等式组y≤kx－1， y≥0
所表示的平面
区域为面积等于14的三角形，则实数 k 的值为( )
A．－1
B．－12
C．21
D．1
23
y≤－x＋2，
D [由题意知 k>0，且不等式组y≤kx－1， 所表示的平面区 y≥0
域如图所示．
且 z＝ax－y 的最小值为－1，则实数 a 的值为________．
高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划课件 文
x－1≥0，
5．(2015·全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－y≤0，
则
x＋y－4≤0，
yx的最大值为________．
[解析] 由约束条件可画出可行域，利用yx的几何意义求解． 画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的 直线的斜率， ∴点(x，y)在点 A 处时xy最大．
[跟踪演练]
x≤0， 已知由不等式组yy≥－0kx，≤2，
y－x－4≤0
确定的平面区域 Ω 的面积为
7，则 k 的值为( ) A．－3 B．－1 C．3 D．1
[解析]
x≤0， 作出不等式组y≥0，
y－x－4≤0
所表示的平面区域，如
图阴影部分所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为 8.由于
[答案] －23，23
3 ． (2018·山 东 聊 城 期 末 ) 如 果 点 P(x ， y) 在 平 面 区 域
2x－y＋2≥0， x－2y＋1≤0， x＋y－2≤0
上，则 x2＋(y＋1)2 的最大值和最小值分别是
()
A．3，
3 5
B．9，95
C．9,2
∴zmax＝2×6－(－3)＝15.
[答案] 15
[ 拓 展 探 究 2] ________．
本
例
条
件
不
变
，
求
y＋6 x－2
的
取
值
范
围
是
[解析] 如图，yx＋ －62的几何意义为可行域内的点 M(x，y)与点 P(2，－6)连线的斜率，由本例知 B(6，－3)，A(－6，－3)，∴kPB ＝－63－＋26＝34，kPA＝－ －36＋ －62＝－38.
【第一方案】高三数学一轮复习-第七章-不等式、推理与证明第三节-二元一次不等式(组)与简单的线性规划
【第一方案】高三数学一轮复习-第七章-不等式、推理与证明第三节-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题(6×5分＝30分)1．(2010·重庆高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：作出如图阴影所示的可行域，易得A (2,2)，B (0，－2)，把B 坐标代入目标函数，得z max ＝3×0－2×(－2)＝4，故选C.答案：C答案：D3．(2010·改编题)已知点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤03x ＋4y ≥4y －2≤0上，点Q 在曲线(x ＋2)2＋y 2＝1上，那么|PQ |的最小值是( )A ．1B ．2C.2103－1 D.2103解析：如图，画出平面区域(阴影部分所示)，由圆心C (－2,0)向直线3x ＋4y －4＝0作垂线，圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y －4＝0的距离为|3×－2＋4×0－4|32＋42＝2，又圆的半径为1，所以可求得|PQ |的最小值是1.答案：A4．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0.2x ＋3y －5≤0，4x ＋3y －1≥0，点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析：可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由⎩⎨⎧2x ＋3y －5＝0，4x ＋3y －1＝0，得A (－2,3)．∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6， d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案：B5．(2009·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：由⎩⎨⎧ y ＝ax ＋1，x ＝1，得A (1，a ＋1)，由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得B (1,0)，由⎩⎨⎧y ＝ax ＋1，x ＋y －1＝0，得C (0,1)．∵△ABC 的面积为2，且a >－1， ∴S △ABC ＝12|a ＋1|＝2，∴a ＝3.答案：D6．(2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)解析：可行域为△ABC ，如图．当a ＝0时，显然成立．当a >0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a2>k AC ＝－1，a <2.当a <0时，k ＝－a2<k AB ＝2，∴a >－4.综合得－4<a <2. 答案：B二、填空题(3×5分＝15分)7．(2011·济宁模拟)设z ＝x ＋y ，其中x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析：如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，B (－6,3)，∴z min ＝－6＋3＝－3. 答案：－38．(2011·安徽师大附中第一次质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，y ≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y －2)2的最小值是_______________________．解析：作出约束条件的可行域如图，z ＝(x＋1)2＋(y －2)2，可看作可行域内的点到定点A (－1,2)的距离的平方，其最小值为点A (－1,2)到直线x ＋2y ＋1＝0的距离的平方，∴z min ＝(|－1＋2×2＋1|12＋22)2＝165. 答案：1659．(2011·大连调研)若P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过P 中的那部分区域的面积为________．解析：根据题意作图．图中阴影部分为所求的区域，设其面积为S，S＝S△AOD －S△ABC＝12×2×2－12×1×12＝74.答案：74三、解答题(共37分)10．(12分)当x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≤x2x＋y＋k≤0(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值．解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A (－k 3，－k 3)时，z 取到最大值，等于－4k 3. 令－4k 3＝12，得k ＝－9. ∴所求实数k 的值为－9.11．(12分)某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A 型或B 型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型或B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100单位，工时为120单位，且A 或B 型电视的产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解析：设生产A 型电视机x 台，B 型电视机y台，则根据题意线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ≤100，4x ＋2y ≤120，x ≥5，y ≥10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ≤100，2x ＋y ≤60，x ≥5，y ≥10.线性目标函数为z ＝6x ＋4y .根据约束条件作出可行域如图所示，作3x ＋2y ＝0.当直线l 0平移至过点A 时，z 取最大值，解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝100，2x ＋y ＝60，得⎩⎨⎧ x ＝20.y ＝20.生产两种类型电视机各20台，所获利润最大．12．(13分)(2011·深圳模拟)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解析：设搭载产品A x 件，产品B y 件，预计总收益z ＝80x ＋60y .则⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域，如图．作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎨⎧ x ＝9，y ＝4，即M (9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．∴搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.4 基本不等式 考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × ) (2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 D解析 ∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －21x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 2．函数y ＝4－x －1x(x <0)( ) A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案 B解析 y ＝4＋(－x )＋1－x ≥4＋2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；④2ab a ＋b≤ab . 答案 ②③ 解析 当b a为负时，①不成立． 当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为( ) A.94 B ．4 C.92D ．9 答案 C解析 y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有( ) A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3解析 ∵x <23， ∴3x －2<0， f (x )＝3x －2＋93x －2＋3＝－⎣⎡⎦⎤2－3x ＋92－3x ＋3≤－22－3x ·92－3x ＋3＝－3.当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”．(3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案 －1解析 因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·1－x 2＋11－x＝－12⎣⎡⎦⎤1－x ＋11－x≤－12·21－x ·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2 常数代换法例2 (2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是() A ．1 B ．2C.94 D.92解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1， 所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋12b ＝12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案 2解析 方法一 (换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二 (代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1＝x ＋1＋4x ＋1－2≥2x ＋1·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究 本例条件不变，求xy 的最大值．解 ∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0， 即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于() A ．16 B ．6 C ．18 D ．12答案 B解析 因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2xy ＋8yx≥10＋22xy ·8yx ＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4 答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案 52解析 ∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12 ≥21x －12·⎝⎛⎭⎫x －12＋12＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案 12解析 令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝4时等号成立． ∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2，∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是() A ．a ＋b <4aba ＋bB.ab <2aba ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案 D解析 对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2aba ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2a 2＋b 2>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a都是正数，根据基本不等式求最值， a b ＋b a ≥2a b ×b a ＝2，故D 正确． 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则p是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数，∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32 ≥x 1－x 32＋y 1－y 32.一、利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案 6437 解析 (x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437， 当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2 已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案 3解析 (ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3 函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． 答案 6 3 解析 y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 (a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2， 所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 当x <0时，y ＝x ＋2x<0，故A 错误； y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， 当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2， 即x 2＝－1时取等号，∵x 2≠－1，故B 错误；y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确；当x ∈(0,1)时，y ＝log 3x <0，故D 错误．2．(2022·汉中模拟)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12取得最小值时x 的值为( ) A.15 B.14 C.24 D.13答案 A解析 f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4C ．7D ．3＋17答案 C解析 ∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2x －2y －1＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( )A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则( )A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13 D ．f (x )有最大值13答案 D解析 f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“aba ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab2ab ＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a ＝2，b ＝10，此时aba ＋b ≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立，因此“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件． 8．已知正实数a ，b 满足a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列不等式恒成立的有( ) ①2a ＋2b ≥22；②a 2＋b 2<1； ③1a ＋1b<4； ④a ＋1a >2. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②③④答案 C解析 ∵2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴①正确； ∵a 2＋b 2<a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误；∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴0<a <1，∵a ＋1a ≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确． 9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案 2解析 ∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 24－x 2≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤a ＋b 24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案 27解析 因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x＝1， 所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝⎛⎭⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x＝27， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号， 所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋a b2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎣⎡⎦⎤－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－223，223 答案 A解析 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233， 即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号， ∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b >ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.答案 ①③④解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确； 因为a ＋b ≥2ab >0， 所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________． 答案 174解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎤0，14， 因为函数y ＝1t＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 3＋2 2解析 因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得x x －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝⎛⎭⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1， 即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”， 所以x x －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。
2021年高考数学一轮复习第七章不等式7.1一元二次不等式讲义
2021年高考数学一轮复习第七章不等式7.1一元二次不等式讲义答案:8解析:∵sin A=2sin Bsin C,∴sin(B+C)=2sin Bsin C,即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,亦即tan B+tan C=2tan Btan C,∵tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-=,又△ABC为锐角三角形,∴tan A=>0,tan B+tan C>0,∴tan Btan C>1,∴tan Atan Btan C=·tan B·tan C=,令tan Btan C-1=t,则t>0,∴tan Atan BtanC==2≥2×(2+2)=8,当且仅当t=,即tan Btan C=2时,取“=”.∴tan Atan Btan C的最小值为8.考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度xx xx xx xx xx不等式的解法1.解不等式2.由不等式求参数C填空题解答题★★★分析解读一元二次不等式很少单独命题,一般和其他知识融合在一起考查.五年高考考点不等式的解法1.(xx浙江理改编,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)= .答案(-2,3]2.(xx课标全国Ⅰ理改编,1,5分)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=.答案3.(xx安徽理改编,6,5分)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为.答案{x|x<-lg 2}4.(xx陕西理改编,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是.答案[10,30]5.(xx四川理,14,5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是.答案(-7,3)教师用书专用(6)6.(xx安徽理,17,12分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.解析(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=,故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}.因此区间I=,I的长度为.(2)设d(a)=,则d'(a)=.令d'(a)=0,得a=1.由于0<k<1,故当1-k≤a<1时,d'(a)>0,d(a)单调递增;当1<a≤1+k时,d'(a)<0,d(a)单调递减.所以当1-k≤a≤1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而==<1.故d(1-k)<d(1+k).因此当a=1-k时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值.三年模拟A组xx模拟·基础题组考点不等式的解法1.(xx江苏东台安丰高级中学月考)设f(x)=若f(t)>2,则实数t的取值范围是.答案t<0或t>32.(xx江苏扬州中学高三月考)已知函数f(x)=x2-2x,x∈[a,b]的值域为[-1,3],则b-a的取值范围是.答案[2,4]3.(苏教必5,三,2,变式)若关于x的不等式m(x-1)>x2-x的解集为{x|1<x<2},则实数m的值为.答案 24.(苏教必5,三,2,变式)对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.答案x<1或x>35.(xx江苏苏州期中)函数y=的定义域为.答案(-2,1]6.(xx江苏南京三模,7)记不等式x2+x-6<0的解集为集合A,函数y=lg(x-a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为.答案(-∞,-3]B组xx模拟·提升题组(满分:50分时间:25分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(xx江苏海安中学阶段测试)已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b 的取值集合为.答案{-2,8}2.(xx江苏淮安、宿迁高三期中)不等式x6-(x+2)3+x2≤x4-(x+2)2+x+2的解集为.答案[-1,2]3.(苏教必5,三,2,变式)已知函数f(x)=,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是.答案{a|a>-3}4.(xx江苏前黄高级中学第一次学情调研,6)已知函数f(x)=若对于任意x∈R,不等式f(x)≤-t+1恒成立,则实数t的取值范围是.答案(-∞,1]∪[3,+∞)二、解答题(共30分)5.(xx江苏金陵中学高三月考)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.(1)求函数g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.解析(1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y).则即∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x.(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|≤0.当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解.当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为.(3)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1.①当λ=-1时,h(x)=4x+1,在[-1,1]上是增函数,符合题意.②当λ≠-1时,抛物线h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1的对称轴方程为x=.(i)当λ<-1,且≤-1时,h(x)在[-1,1]上是增函数,解得λ<-1.(ii)当λ>-1,且≥1时,h(x)在[-1,1]上是增函数,解得-1<λ≤0.综上,λ≤0.6.(xx江苏淮安高中阶段检测,19)设A=[-1,1],B=,函数f(x)=2x2+mx-1.(1)设不等式f(x)≤0的解集为C,当C⊆(A∪B)时,求实数m的取值范围;(2)若对任意x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,试求x∈B时,f(x)的值域.解析(1)A∪B=[-1,1],因为二次函数f(x)=2x2+mx-1的图象开口向上,且Δ=m2+8>0恒成立,故图象始终与x轴有两个交点,若C⊆A∪B,则这两个交点的横坐标x1,x2∈[-1,1],所以解得:-1≤m≤1.(2)因为对任意x∈R,都有f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以-=1,故m=-4.所以f(x)=2(x-1)2-3,所以f(x)在上为减函数.所以f(x)min=-2,f(x)max=2,故x∈B时,f(x)的值域为[-2,2].C组xx模拟·方法题组方法1 一元二次不等式的解法及应用1.(xx江苏南京溧水中学质检,15)已知集合A={x|(x-6)(x-2a-5)>0},集合B={x|[(a2+2)-x]·(2a-x)<0}.(1)若a=5,求集合A∩B;(2)已知a>,且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)当a=5时,由(x-6)(x-15)>0,解得x<6或x>15,所以A=(-∞,6)∪(15,+∞),由(27-x)·(10-x)<0,即(x-27)(x-10)<0,解得10<x<27,所以B=(10,27),∴A∩B=(15,27).(2)当a>时,2a+5>6,a2+2>2a,∴A=(-∞,6)∪(2a+5,+∞),B=(2a,a2+2),∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,∴B⫋A,显然2a<2a+5,∴a2+2≤6,∵a>,∴<a≤2.方法2 分式不等式的解法2.(xx江苏金陵中学月考)不等式<3的解集为.答案(-∞,0)∪3.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=,则实数a的取值范围是.答案4.已知f(x)=则f(x)>-1的解集为.答案(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞)方法3 解含参数的一元二次不等式5.(xx泰州第一次质量检测)已知二次函数f(x)=mx2-2x-3,关于实数x的不等式f(x)≤0的解集为[-1,n].(1)当a>0时,解关于x的不等式ax2+n+1>(m+1)x+2ax;(2)是否存在实数a∈(0,1),使得关于x的函数y=f(a x)-3a x+1(x∈[1,2])的最小值为-5?若存在,求实数a的值;若不存在,请说明理由.解析由不等式mx2-2x-3≤0的解集为[-1,n]知,关于x的方程mx2-2x-3=0的两根为-1和n,且m>0,由根与系数的关系,得解得(1)原不等式可化为(x-2)(ax-2)>0,①当0<a<1时,原不等式化为(x-2)>0,且2<,解得x>或x<2;②当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,解得x∈R且x≠2;③当a>1时,原不等式化为(x-2)>0,且2>,解得x<或x>2.综上所述,当0<a<1时,原不等式的解集为;当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠2};当a>1时,原不等式的解集为.(2)存在.假设存在满足条件的实数a,易知f(x)=x2-2x-3,则y=f(a x)-3a x+1=a2x-(3a+2)a x-3.令a x=t(a2≤t≤a),则y=t2-(3a+2)t-3,函数y=t2-(3a+2)t-3的图象的对称轴为直线t=,因为a∈(0,1),所以a2<a<1,1<<,所以函数y=t2-(3a+2)t-3在[a2,a]上单调递减,所以当t=a时,y取得最小值,最小值为y=-2a2-2a-3由-2a2-2a-3=-5,解得a=或a=(舍去).D组xx模拟·突破题组(xx江苏南通调研,19)设函数f(x)=(x+k+1),g(x)=,其中k是实数.(1)若k=0,解不等式·f(x)≥·g(x);(2)若k≥0,求关于x的方程f(x)=x·g(x)实根的个数.解析(1)k=0时,f(x)=(x+1),g(x)=.由得x≥0.此时,原不等式为(x+1)x≥(x+3),即2x2+x-3≥0,解得x≤-或x≥1.因为x≥0,所以原不等式的解集为[1,+∞).(2)由方程f(x)=x·g(x)得,(x+k+1)=x.①由得x≥k,所以x≥0,x+k+1>0.方程①两边平方,整理得(2k-1)x2-(k2-1)x-k(k+1)2=0(x≥k).②当k=时,由②得x=,因为>,所以原方程有唯一解.当k≠时,方程②整理为[(2k-1)x+k(k+1)](x-k-1)=0,解得x1=,x2=k+1.i)k=时,x1=x2,方程②有两个相等的实数根,此时x=,因为>,所以原方程有唯一的解. ii)0≤k<且k≠时,x1≠x2,且x2=k+1>k,x1-k=≥0,即x1≥k.故原方程有两解.iii)k>时,x1-k=<0,即x1<k,故x1不是原方程的解.而x2=k+1>k,故原方程有唯一解. 综上所述:当k≥或k=时,原方程有唯一解;当0≤k<且k≠时,原方程有两解.。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.1 等式性质与不等式性质 考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b . (a ，b ∈R )2．等式的性质性质1 对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 可加(减)性：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 可乘性：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 可除性：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c. 3．不等式的性质性质1 对称性：a >b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b . 2．若a >b >0，m >0⇒b a <b ＋ma ＋m ； 若b >a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(√ )(2)若ba >1，则b >a .( × )(3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b ，则b <a .( × )教材改编题1．设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式不正确的是( )A ．12a <12b B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>ab D ．ac 3<bc 3答案 D解析 因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以12a <12b ，A 正确；因为y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b ，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2b －ab ＋2b >0，所以a ＋2b ＋2>ab ，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3<b <5，则a ＋2b 的取值范围是______．答案 (－7,12)解析 ∵－3<b <5，∴－6<2b <10，又－1<a <2，∴－7<a ＋2b <12.题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( ) A ．p <q B ．p ≤q C ．p >q D ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝b 2－a 2b －a ab ＝b －a 2b ＋aab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c 答案 B解析 令函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .教师备选已知M ＝e 2 021＋1e 2 022＋1，N ＝e 2 022＋1e 2 023＋1，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋1e 2 023＋1－e 2 022＋12e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021e －12e 2 022＋1e 2 023＋1>0. ∴M >N .方法二 令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e e x ＋1＋1＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1， 显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0. ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝21－ab1＋a 1＋b >0，∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－eππ－e ＝⎝⎛⎭⎫eππ－e ，又0<eπ<1,0<π－e<1，∴⎝⎛⎭⎫eππ－e <1，即e π·πee e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.题型二 不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是() A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2C ．若c >a >b >0，则a c －a <bc －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c 答案 D 解析 对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题； 对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但不满足a 2<ab <b 2，故B 选项为假命题；对于C 选项，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b ＝12，故C 选项为假命题； 对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c＝a b ＋c －b a ＋c b b ＋c ＝ac －bc b b ＋c＝a －b c b b ＋c>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题． (2)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是________．(填序号) ①1a ＋b <1ab ； ②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b； ④ln a 2>ln b 2.答案 ①③解析 由1a <1b <0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b<0， 则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域 (0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c | D.a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，故B 错误；对于C ，若c ＝0，a |c |＝b |c |，故C 错误；对于D ，因为c 2＋1≥1，所以1c 2＋1>0，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华 判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析 因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．(2)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是________．(填序号)①1ac>1bc；②ba c>ab c；③(1－c)a<(1－c)b；④log b(a＋c)>log a(b＋c)．答案③④解析由题意知，a>b>1>c>0，所以对于①，ac>bc>0，故1ac<1bc，所以①错误；对于②，取a＝3，b＝2，c＝1 2，则ba c＝23，ab c＝32，所以ba c<ab c，故②错误；对于③，因为0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故③正确；对于④，a＋c>b＋c>1，所以log b(a＋c)>log b(b＋c)>log a(b＋c)，故④正确．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.(2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，2解析 ∵4<b <9，∴19<1b <14， 又3<a <8，∴19×3<a b <14×8， 即13<a b<2. 延伸探究 若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 教师备选已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0， 又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2， 又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2. 思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12 答案 A解析 因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a>－3， 将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得c a <－1，所以－3<c a <－1. (2)已知1<a <b <3，则a －b 的取值范围是________，a b的取值范围是________． 答案 (－2,0) ⎝⎛⎭⎫13，1解析 ∵1<b <3，∴－3<－b <－1，又1<a <3，∴－2<a －b <2，又a <b ，∴a －b <0，∴－2<a －b <0，又13<1b <1a ，∴a3<ab <1，又a3>13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a <b ，则a 2b <ab 2，故B 不成立；若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,3<b <4，则a 2b 的取值范围为( )A ．(1,3) B.⎝⎛⎭⎫43，94C.⎝⎛⎭⎫23，34D.⎝⎛⎭⎫12，1答案 A解析 因为－3<a <－2，所以a 2∈(4,9)，而3<b <4，故a 2b 的取值范围为(1,3)．4．若a >1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析 由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．已知a ，b ∈R ，则“|a |>|b |”是“a b >1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 不妨令a ＝1，b ＝0，故|a |>|b |不能推出a b >1，若a b >1，故a ，b 同号，若a ，b 都大于0，则a >b >0，从而|a |>|b |；若a ，b 都小于0，则a <b <0，从而|a |>|b |，故a b >1能推出|a |>|b |，从而“|a |>|b |”是“a b >1”成立的必要不充分条件．6．(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式恒成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 B解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．设a ，b ，c ，d 为实数，且a >b >0>c >d ，则下列不等式正确的是( )A ．c 2>cdB ．a －c <b －dC ．ac <bdD.c a －d b >0 答案 D解析 因为a >b >0>c >d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 错误；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b， 故c a －d b>0，故选项D 正确． 8．若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a <1B.c －a b －a >c b C ．c a －1<b a －1D ．log c a <log b a答案 D解析 对于A ，∵b >c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 错误；对于B ，若c －a b －a >c b， 则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·宜丰模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b>2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析 因为1a <1b<0， 所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b 解析 方法一 令a ＝13，b ＝23， 则2ab ＝49，a 2＋b 2＝19＋49＝59， 故a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 方法二 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12， 即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12， 即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.13．(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式恒成立的是( )A ．c <bB ．b ≤1C ．b ≤aD ．a <c 答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2， 两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .那么a ，b ，c ，d 的大小关系是________．答案 b >d >c >a解析 由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析 因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。
高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件
1 y－－2 (3)z＝2· 表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1， x－－1 1 －2)连线的斜率的两倍， 7 3 3 7 因此kQA＝4，kQB＝8，故z的范围为[4，2]．
•【方法探究】 线性规划求最值问题，要充 分理解目标函数的几何意义，比如直线的截距 问题，两点间的距离问题，点到直线的距离， 过两点的直线的斜率等，只有把握好这点才能 准确求出．
• (2)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系 中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的 平面区域 且不 含边界，直线作图时边界直线画成 虚线 ，当我们在 坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时， 此区域应包括边界直线，此时边界直线画 成 ． •(3)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平 面点集的 实线 ，因而是各个不等式所表示平面区域 的 交集 公共部分 ．
•【方法探究】 利用线性规划解实际问题的 一般步骤 •(1) 认真分析并掌握实际问题的背景，收集有 关数据． •(2) 将影响问题的各项主要因素作为决策量， 设为未知数． •(3)根据问题特点，写出约束条件． •(4) 根据问题特点，写出目标函数，并求出最 优解或其他要求的解．
•3 ． (2009· 四川高考 ) 某企业生产甲、乙两种 产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、 每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个 生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、 B 原料不 超过 18 吨，那么该企业可获得的最大利润是 ( ) •A．12万元 B．20万元 •C．25万元 D．27万元
•【思路导引】 本题以三峡水电为背景，实 际上谈的是电力调度分配问题，解这类问题的 重要数学模型是线性规划．由于江浙地区日均 电需求量至少需要1.35亿度，因此在安排时需 将每个电厂及其发电机组的发电能力结合起来， 显然与线性规划的整数解有关．
2021高考数学一轮复习 第7章 不等式、推理与证明 第3
第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[最新考纲] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(对应学生用书第113页)1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[常用结论]1．确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx ＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C ＝0的下方．2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一． ( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、教材改编1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是()C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]2．不等式2x －y ＋6＞0表示的区域在直线2x －y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方D ．左下方B [不等式2x －y ＋6＞0可化为y ＜2x ＋6，结合直线2x －y ＋6＝0的位置可知，选B.] 3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400200x ＋100y ≤900x ≥0y ≥0[由题意知，x ，y 满足的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0.]4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．3 [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z . 作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值． 由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3.](对应学生用书第114页)⊙考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域1．求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．2．根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为________．(2)已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为3，则实数k 的值为________．(1)1 (2)12[(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求平面区域的面积．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.(2)直线kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则A (2,2k ＋2)，B (2,0)，C (0,2)，由题意知 12×2×(2k ＋2)＝3，解得k ＝12.] 解答本例T (2)时，直线kx －y ＋2＝0恒过定点(0,2)是解题的关键．1.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34C [由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C.]2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7C [如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.]3．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ [直线2x －3y ＋6＝0上方的点满足不等式y ＞23x ＋2，∴t ＞23×(－2)＋2，即t ＞23.]⊙考点2 求目标函数的最值问题求线性目标函数的最值 求线性目标函数最值的一般步骤(1)(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x－y 的最大值是________．(2)(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． (1)9 (2)3 [(1)作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)， 故z max ＝3×3－0＝9.(2)x ＋1≤y ≤2x 可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋1，y ≤2x ，其表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2y－x ，易知z ＝2y －x 在点A (1，2)处取得最小值，最小值为3.]解答本例T (2)时，首先要把约束条件变为⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋1，y ≤2x ，其次设目标函数为z ＝2y －x .[教师备选例题](2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为______．9 [画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，作出直线y＝－x ，并平移，当平移后的直线经过点B 时，z 取得最大值．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4，所以B (5,4)，故z max ＝5＋4＝9.]求非线性目标函数的最值常见的两种非线性目标函数及其意义(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方；(2)斜率型：形如z ＝y －bx －a，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝y x，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率．因此y x的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1,5]． [母题探究]1．保持本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围． [解] z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率，所以z 的取值范围是(－∞，0]．2．保持本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值． [解] z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1－1＋1|12＋－122＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.求定点到区域内动点的距离的最小值时，要数形结合，可能转化为点到直线的距离问题．线性规划中的参数问题求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．(1)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，3x －y ≤3，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－6,2]B ．(－6,2)C ．[－3,1]D ．(－3,1)(2)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，其中m ＞0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝________.(1)B (2)1 [(1)作出约束条件所表示的平面区域，如图所示．将z ＝ax ＋2y 化成y ＝－a 2x ＋z 2，当－1＜－a2＜3时，直线y ＝－a 2x ＋z2的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值，即目标函数z ＝ax ＋2y 在点(1,0)处取得最小值，解得－6＜a ＜2，故选B.(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过点A时，x ＋y 有最大值，此时x ＋y ＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9，2x －y －3＝0得A (4,5)，将A (4,5)代入x －my ＋1＝0得4－5m ＋1＝0，解得m ＝1.]当参数在目标函数中时，应把斜率值的大小对最优解的影响作为解题突破口．1.(2019·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为________，最大值为________．－3 1 [x ，y 满足的平面区域如图所示． 设z ＝y －x ， 则y ＝x ＋z .把z 看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z 的几何意义是直线y ＝x ＋z 的纵截距，通过图像可知，当直线y ＝x ＋z 经过点A (2,3)时，z 取得最大值，此时z max ＝3－2＝1.当经过点B (2，－1)时，z 取得最小值，此时z min ＝－1－2＝－3.]2．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，x －1≥0，则y －1x的最小值为________．－32 [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1x表示平面区域内的点与定点P (0,1)连线的斜率．由图知，点P 与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x min ＝k PA＝－12－11－0＝－32.] 3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝x ＋3y 的最小值为2，则常数k ＝________.－2 [作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z 3，结合图形可知当直线y ＝－13x＋z3过点A 时，z 最小， 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＋k ＝0，得A (2，－2－k )，此时z min ＝2＋3(－2－k )＝2，解得k ＝－2.] ⊙考点3 线性规划的实际应用解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲 70 5 60 乙60525不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解](1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点．- 11 -(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一组平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z 25取得最大值时，z 的值就最大． 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z 25最大，即z 最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．本例中x ，y ∈N ，因此二元一次不等式组所表示的平面区域是整数点组成的．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元B [设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N *，z ＝2x ＋y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过直线2x ＋3y＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)时，z 取得最大值，为360.]。
2021版高考数学一轮复习第七章不等式第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题教案文新人教A版
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题一、知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C>0(<0)不包括边界直线直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题常用结论1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、习题改编(必修5P91练习T1改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为 ，最大值为 ．答案：－3 1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区(1)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (2)不理解目标函数的几何意义； (3)平面区域内点满足关系不理解．1．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是 ． 解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2≥0，x －2≤0，2x －y ＋1≥0.则z ＝x ＋y 的最大值与最小值的比值为 ．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过A 点时，z 最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，2x －y ＋1＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故A (2，5)，此时z ＝7；当直线y ＝－x ＋z 经过B 点时，z 最小，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0，2x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－2，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，此时z ＝－72，故最大值与最小值的比值为－2.答案：－23．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为 ．解析：作出可行域如图，问题转化区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.答案：3二元一次不等式(组)表示的平面区域(典例迁移)(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D ．34(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[2，5]D ．(－∞，2]∪[5，＋∞)【解析】 (1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l ：y＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1，3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2，2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2，5]．【答案】 (1)C (2)C【迁移探究】 (变问法)本例(2)中条件不变，求平面区域M 的面积，结果如何？ 解：可知平面区域M 为等腰直角三角形，可求出B (1，3)和C (2，2)，所以|BC |＝2，所以S ＝12×2×2＝1.二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选 C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C符合．故选C.2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a所表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43解析：选D.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.求线性目标函数的最值(范围)(多维探究)角度一 求线性目标函数的最值(范围)(2019·高考全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y的最大值是 ．【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x －y ＝0，并平移，当直线经过点(3，0)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝3x －y 取得最大值，且z max ＝9.【答案】 9(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋z b(b ≠0)．①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；②若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大．(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解； ②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解． 角度二 求非线性目标函数的最值(范围)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝y x，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝y x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)， 所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1，5]．【迁移探究1】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围． 解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率． 所以z 的取值范围是(－∞，0]．【迁移探究2】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值． 解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 角度三 求参数值或取值范围(2020·陕西咸阳模拟检测(一))若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，若z ＝ax －y (a ∈R )的最小值是－1，则a 的取值范围是 ．【解析】 画出可行域如图所示(阴影部分)，目标函数对应的直线为y ＝ax －z ，当截距－z 最大时，目标函数z 取得最小值，因为z ＝ax －y (a ∈R )的最小值是－1，所以在A (0，1)处取得最小值．由图象可知，直线y ＝ax －z 的斜率a ≤2，因为当a >2时，目标函数在B 点取得最小值，所以a 的取值范围是(－∞，2]．【答案】 (－∞，2]求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．1．(2019·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，x ≥－1，y ≥－1，则目标函数z ＝－4x＋y 的最大值为( )A. 2B. 3C. 5D ． 6解析：选C.法一：作出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝－4x ＋y 得y ＝4x ＋z ，结合图形可知当直线y ＝4x ＋z 过点A 时，z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＝－1，得A (－1，1)，故z max ＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.法二：易知目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是(－1，1)，(0，2)，(－1，－1)，(3，－1)．当直线y ＝4x ＋z 经过点(－1，1)时，z ＝5；当直线y ＝4x ＋z 经过点(0，2)时，z ＝2；当直线y ＝4x ＋z 经过点(－1，－1)时，z ＝3；当直线y ＝4x ＋z 经过点(3，－1)时，z ＝－13.所以z max ＝5，故选C.2．(2020·福州市质量检测)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≤x ，则|PA |的最小值是 ．解析：可行域为如图所示的阴影部分，|PA |表示可行域上的点到点A (0，2)的距离，所以|PA |的最小值转化成点A 到直线y ＝x 的距离，所以|PA |min ＝|－2|2＝ 2.答案： 23．(2020·安徽五校联盟第二次质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ＋2y ≤2，x ≤a目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝ ．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ＋2y ≤2x ≤a表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y＝0，平移直线2x ＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，a ＝1.答案：1线性规划的实际应用问题(师生共研)(2020·武汉市部分学校调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元【解析】 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0，6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.【答案】C解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题； 求解过程：①作图——画出约束条件所确定的平面区域和线性目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；②转化平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． (3)作答——就应用题的提问作出回答．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C.设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．[基础题组练]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≤0，x －y ＋2>0表示的平面区域是()解析：选C.用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C.2．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2，1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A解析：选D.若(2，1)∈A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32，所以当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A ，故选D.3．(2019·高考北京卷)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A ．－7 B ．1 C ．5D ．7解析：选C.令z ＝3x ＋y ，画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1－y ，y ≥－1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1－y ，x ≥0，y ≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤1－y ，x <0，y ≥－1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C (2，－1)时，z ＝3x ＋y 取得最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.4．(2020·郑州市第二次质量预测)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋y ≥1，x －y ≤1则目标函数z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133x ＋y的最大值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1311B.⎝ ⎛⎭⎪⎫133C ．3D ．4解析：选C.可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133x ＋y，设u ＝3x ＋y ，欲求z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133x ＋y的最大值，等价于求u ＝3x ＋y 的最小值．u ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋u ，该直线的纵截距为u ，作出直线y ＝－3x ，并平移，当直线y ＝－3x ＋u 经过点B (－1，2)时，纵截距u 取得最小值u min ＝3×(－1)＋2＝－1，所以z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133x ＋y 的最大值z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3.故选C.5．(2020·洛阳市统考)如果点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的取值范围是( )A ．[5－1，10－1]B ．[5－1，10＋1]C ．[10－1，5]D ．[5－1，5]解析：选D.作出点P 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q 所在圆的圆心为M (0，－2)，所以|PM |取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM |的最小值为5，最大值为4，又圆M 的半径为1，所以|PQ |的取值范围是[5－1，5]，故选D.6．(2020·安徽省考试试题)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0则z ＝2x －y 的最小值为 ．解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A 时，目标函数z ＝2x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即A (3，4)，所以z min ＝2×3－4＝2.法二：易知目标函数z ＝2x －y的最小值在可行域的顶点处取得，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2，所以可行域的顶点坐标分别为(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z 的值为2，3，8，所以z 的最小值为2.答案：27．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋10≤0x ＋2≥0x ＋2y －5≤0，则z ＝yx的取值范围为 ．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝yx表示平面区域内的点与坐标原点O 的连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，即A (－1，3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝83，即B ⎝⎛⎭⎪⎫－2，83.所以z max ＝k OB ＝83－2＝－43，z min ＝k OA ＝3－1＝－3，所以z ＝y x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－438．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＞0x ＋y ＋1＜03x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．解：平面区域如图中阴影部分所示，易得A ，B ，C 三点的坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)，C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点P (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4； 当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝（x ＋3）（－5）＋3，即x －y ＋4＝0.[综合题组练]1．(2020·新疆第一次适应性检测)若点M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，1≤x ≤2，0≤y ≤2，则x ＋y的取值集合是( )A ．[1，2＋2]B ．[1，3]C ．[2＋2，4]D ．[1，4]解析：选A.x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到|2－z |2＝1⇒z ＝2±2，易知2－2不符合题意，故z ＝2＋2，所以x ＋y 的取值范围为[1，2＋2]．故选A.2．(应用型)(2020·浙江杭州模拟)若存在实数x ，y ，m 使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥1D ．m ≥3解析：选B.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A (4，2)，B (1，1)，C (3，3)．设z ＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，可得z max ＝4－2×2＝0，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，可得z min ＝3－2×3＝－3，因此z ＝x －2y 的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m ，使不等式x －2y ＋m ≤0成立，即存在实数m ，使x －2y ≤－m 成立，所以－m 大于或等于z 的最小值，即－3≤－m ，解得m ≤3，故选B.3．(2020·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为 千克．解析：设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150，60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.答案：3604．(综合型)实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为 ．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.答案：21。
高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.3 一元二次不等式及其解法课件 理
∴3x2－2x－2>0的解集为
－∞，1－3
7∪1＋ 3
7，＋∞.
12/13/2021
123456
第十一页，共五十六页。
题组三 易错自纠
4.不等式－x2－3x＋4>0的解集为______(－__4.(,1用) 区间(qū jiān)表示)
解析(jiě xī) 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0， 得－4<x<1.
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当 a<0 时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.
12/13/2021
第十九页，共五十六页。
多维探究
(tànjiū)
题型二 一元二次不等式恒成立(chénglì)问题
命题点1 在R上的恒成立问题 例3 已知函数(hánshù)f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范
∴a＋b＝－14.
12/13/2021
123456
第十三页，共五十六页。
6.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立(chénglì)，则实数a的取值范围是
A.(－∞，2]
√B.(－2,2] C.(－2,2)
D.(－∞，2)
a－2<0，
解析 ∵
∴－2<a<2，
Δ<0，
另a＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立(chénglì)，
12/13/2021
第二十四页，共五十六页。
2.若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何(rúhé)求m的取值
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[最新考纲] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3)D ．(2，－3)C [∵－1＋3－1＞0，∴点(－1,3)不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内，故选C.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＜0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )A B C DC [把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x －3y ＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x －y ＋2≥0表示的平面区域内，故选C.]3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是( )A ．3，－3B ．2，－4C ．4，－2D ．4，－4C [不等式组所表示的平面区域如图所示．其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过B 时，z max ＝4， 平移l 0过点A 时，z min ＝－2.]4．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0[用表格列出各数据：A B 总数 产品吨数 xy资金 200x 300y 1 400场地200x100y900考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)平面区域的确定：直线定界，特殊点定域．①直线定界：当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线； ②特殊点定域：常用的特殊点为(0,0)，(1,0)，(0,1)． (2)平面区域的形状问题主要有两种题型①确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； ②根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )A BC DC [(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.]2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43D [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．]3．(2019·南昌模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1D [由题意知k >0，且不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域如图所示．∵直线y ＝kx －1与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，0，直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋1，2k －1k ＋1，∴三角形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ×2k －1k ＋1＝14，解得k ＝1或k ＝27，经检验，k ＝27不符合题意，∴k ＝1.]4．若函数y ＝2x图像上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2B [在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图像及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图像上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.](1)平面区域内的点满足 “同侧同号、异侧异号”的规律，如T 1，T 4.(2)计算平面区域的面积时，根据平面区域的形状，先求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积．考点2 求目标函数的最值求线性目标函数的最值 截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．注意平面区域要画对，特别是图中涉及到直线的斜率大小关系．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．6 [作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A (2,0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6.][母题探究] 本例条件不变，试求z ＝3x －2y 的范围．[解] z ＝3x －2y 变形为y ＝32x －12z ，由本例可行域知直线y ＝32x －12z 过A 点时截距取得最小值，而z 恰好取得最大值，即z ＝6.过C 点时截距取得最大值而z 恰好取得最小值，即z ＝－6， ∴z ＝3x －2y 的范围为[－6,6]．充分理解目标函数的几何意义是求解本类问题的关键．(2019·北京高考)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( )A ．－7B ．1C ．5D ．7C [由题意⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1，作出可行域如图阴影部分所示.设z ＝3x ＋y ，y ＝z －3x ，当直线l 0：y ＝z －3x 经过点C (2，－1)时，z 取最大值5.故选C.]求非线性目标函数的最值非线性目标函数的常见代数式的几何意义主要有：(1)距离型：x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)间的距离，x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离．(2) 斜率型：y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．(2019·广州模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.则yx的取值范围为________．[2，＋∞) [作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．z ＝y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．][母题探究]1．本例条件不变，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为________． [1,5] [z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2. 易知A (0,1)，所以OA 2＝1，OB 2＝12＋22＝5，所以z 的取值范围是[1,5]．]2．本例条件不变，则目标函数z ＝y －1x －1的取值范围为______． (－∞，0] [z ＝y －1x －1可以看作点P (1,1)与平面内任一点(x ，y )连线的斜率．易知点P (1,1)与A (0,1)连线的斜率最大，为0.无最小值．所以z 的取值范围是(－∞，0]．]求非线性目标函数的最值时，注意目标函数的几何意义及转化的等价性，如x 2＋y 2是距离的平方，易忽视平方而求错，y －1x －1是点(x ，y )与(1,1)连线的斜率，易误认为点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率．(2019·海南五校模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1，则(x －3)2＋(y ＋2)2的最小值为________．13 [画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1表示的平面区域(图略)，易知(x －3)2＋(y ＋2)2表示可行域内的点(x ，y )与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x ，y )为直线x ＋y ＝2与y ＝1的交点(1,1)时，(x －3)2＋(y ＋2)2取得最小值，最小值为13.]求参数值或取值范围由目标函数的最值求参数的2种基本方法一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．(1)已知z ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.211 B.14C.4D.112(2)(2019·湖南湘东六校联考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1≥0，3x ＋y －11≤0，y ≥2，且z ＝ax －y 的最小值为－1，则实数a 的值为________．(1)B (2)2 [(1)作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的纵截距最大，z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)，z max ＝2×1＋1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最小，此时z 最小． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a ，则点B (a ，a )．∴z min ＝2×a ＋a ＝3a ， ∵z 的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a ，即a ＝14.(2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a ≥3，则直线z ＝ax －y 经过点B (1,2)时，z 取得最小值，由a －2＝－1，得a ＝1，与a ≥3矛盾；若0<a <3，则直线z ＝ax －y 经过点A (2,5)时，z 取得最小值，由2a －5＝－1，解得a ＝2；若a ≤0，则直线z ＝ax －y 经过点A (2,5)或C (3,2)时，z 取得最小值，此时2a －5＝－1或3a －2＝－1，解得a ＝2或a ＝13，与a ≤0矛盾，综上可知实数a 的值为2.](1)“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力．(2)当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1D [作出可行域(如图)，为△ABC 内部(含边界)．由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12可得a ＝－1或a ＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，成立；a ＝12时，不成立．故选D.]考点3 线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么． (2)转化——设元，写出约束条件和目标函数．(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系． (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙 5 510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由题意知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．图1(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图像是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大． 根据x ，y 满足的约束条件，由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．图2解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N ＋，y ≥0，y ∈N ＋.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]。