Duffing-Van der pol系统的Hopf分岔
Duffing_vanderPol振子随机分岔的全局分析
Duffing -van der Pol 振子随机分岔的全局分析*徐 伟1)贺 群1)2)戎海武3)方 同4)1)(西北工业大学应用数学系,西安 710072)2)(武警工程学院应用数学系,西安 710086)3)(佛山科技学院应用数学系,佛山 528000)4)(西北工业大学振动工程研究所,西安 710072)(2002年9月20日收到;2002年11月18日收到修改稿)应用广义胞映射方法研究了参激和外激共同作用的Du ffing -van der Pol 振子的随机分岔.以系统参数通过某一临界值时,如果系统的随机吸引子或随机鞍的形态发生突然变化,则认为系统发生随机分岔为定义,分析了参激强度和外激强度的变化对于随机分岔的影响.揭示了随机分岔的发生主要是由于系统的随机吸引子与系统的随机鞍碰撞产生的.分析表明,广义胞映射方法是分析随机分岔的有力工具,这种全局分析方法可以清晰地给出随机分岔的发生和发展.关键词:随机分岔,全局分析,广义胞映射方法,随机吸引子,随机鞍PACC :0547,0545*国家自然科学基金(批准号:10072049)资助的课题.1 引言由于随机噪声干扰在实际系统中总是存在的,考虑随机噪声的影响,特别是对分岔现象的影响成为人们关心的主题之一,随机分岔的研究尚处于起步阶段,如何给出随机分岔的合理定义是研究的核心问题之一.目前的定义主要分为两大类,一类是基于系统的稳态概率密度形状,随参数的变化突然发生变化给出的定义,例如从单峰突然变为双峰,这类定义称为P 分岔[1];另一类是基于系统的最大Lya -punov 指数随参数的符号变化给出的定义,这类定义称为D 分岔[1].研究表明,这两类定义给出的结果并不完全相同.Baxendale [2]给出了一个例子,当Lya -punov 指数符号发生变化时,系统的稳态概率密度形状不依赖分岔参数;另一方面,Crauel 和Flandoli [3]展示了一个相反的例子,当系统的稳态概率密度由单峰变为双峰时,系统的Lyapunov 指数符号不发生变化.究竟如何选择合适的定义展示随机系统的拓扑性质的变化,如何确切的描述随机分岔的发生,这是目前研究的焦点.此外,Meunuer [4],Arnold [1]研究表明,对于一类系统,稳态概率密度的形状变化与随机干扰的变化联系并不密切.这种基于稳态概率密度形状变化的定义,有时很难说明系统的拓扑性质,在噪声干扰下是否发生了真正意义上的变化.而对于Lyapunov 指数的精确计算仍是一个困难的问题,目前虽然有一些算法,例如Wolf [5],但精度并不理想,这直接影响到最大Lyapunov 指数是否为零的判断.这两类定义,均要求系统具有遍历性,而许多系统不满足这一要求,仅能进行局部分析.目前的文献,主要以平均方法进行讨论,通过平均方程的研究,得出原系统的有关结论,但对于许多系统,特别是一类非自治系统,平均方程与原系统的等价性无法保证,这时得出的关于平均方程的有关结论多少能反映原系统的性态,让人产生怀疑.此外,一般的数值计算,采用的是点映射方法,总要进行人为的有限步截断,这在许多讨论中,使得我们对于何时达到稳态产生异议,多少步可以认为是达到了最终的稳态,这对于稳态概率密度的讨论,对于随机跃迁的讨论至关重要.综上所述,对于随机分岔的讨论,仍然存在许多困难和问题,既要表征系统轨线的拓扑性质,又能体现系统的随机特性,确实很困难.我们认为随机分岔定义的关键是如何表征随机系统的拓扑性质,找到随机系统的合适的相对不变量.本文提出以系统的随机吸引子(包括随机鞍)的形态(包括大小、尺寸、周期等)的突然变化表征随机系统的拓扑性质变化,第52卷第6期2003年6月1000-3290 2003 52(06) 1365-07物 理 学 报AC TA PHYSIC A SINICAVol.52,No.6,June,20032003Chin.Phys.Soc.用来描述随机系统的分岔.Duffing-van der Pol振子是一个重要的模型,许多现象经过简化和模型化后可以用这一模型描述.对于确定情形分岔的研究,目前已有不少成熟的结果.Holmes和Rand[6],Guckenheimer和Holmes[7]针对这一模型,讨论了Pitchfork分岔和Hopf分岔,给出了全局分析和局部分析.对于噪声激励的Duffing-van der Pol振子的研究,目前已有一些成果,主要是利用随机平均法,随机规范形方法,在P分岔和D 分岔的定义下,讨论随机分岔的局部分析,这些结果参见Na machchivaya[8]Arnold[1]等,Schenk-Hoppe[9]等人的工作.2 广义胞映射图论方法胞映射的基本思想是把动力系统的状态空间离散化为大量状态胞的集合,用胞映射来描述原系统的动力学行为.Hsu提出两类胞映射方法,一种称为简单胞映射(SC M),一种称为广义胞映射(GC M).广义胞映射与简单胞映射相比,每个胞可以具有多个象胞.广义胞映射方法将原动力系统对应于一个胞映射动力系统.对于一个胞映射动力系统的分析方法可分为两个发展阶段,在早期的分析过程中,Hsu 将胞映射动力系统等价于一个有限时齐的马尔可夫链.采用马尔可夫链的分析方法对相应的胞映射动力系统进行分析,这种分析方法可以计算出相应动力系统的吸引子和吸引域,边界集合,确定吸引子的极限概率分布,以及奇怪吸引子的空间概率特征.所以广义胞映射是研究随机动力系统自然而有力的工具.Guder和Kreuzer[10]证明在一定条件下,胞映射的吸引子、吸引域和边界收敛于原动力系统的吸引子、吸引域和边界.从1995年开始,Hsu[11]在以前的分析方法的基础上,借助于图论方法,对胞映射动力系统的分析方法进一步发展.突出了对系统的拓扑特性的分析.对于胞映射系统,将每个胞对应于一个有向图的一个顶点,如果两个胞之间存在一步可达关系,则相应的顶点之间存在一条有向边.因而胞映射动力系统就完全等价于一个有向图.进而,对一个胞映射动力系统的分析就变为对一个有向图的分析.在对有向图进行分析时,可以得到图的强连通子图,强连通子图是指有向图顶点集的一个子集合,该子集合中的任何两个顶点相互可达.强连通子图对应的是相应动力系统的稳定和不稳定解集,即系统的吸引子和鞍.而不稳定解集(鞍)是其他方法不易得到的.当有向图的某一顶点不属于强连通子图时,则其对应的胞称为瞬态胞.如果一个瞬态胞可以达到某一永久自循环胞(闭的强连通子图)时,则称这个永久自循环胞为这个瞬胞的一个驻处,一个瞬态胞可以有多个驻处,按照瞬态胞所具有的驻处的数目,瞬胞被分为单驻处瞬态胞和多驻处瞬态胞,仅具有一个驻处的瞬态胞称为单驻处瞬态胞,具有多于一个驻处的瞬态胞称为多驻处瞬态胞,单驻处瞬态胞对应于吸引子的吸引域,多驻处瞬态胞对应于吸引域的边界.在Hsu[11]的论文中,详细讨论了广义胞映射,有向图和偏序集的拓扑对应,给出了实现的算法和步骤.基于Hsu[11]的工作,Xu和Hong提出了广义胞映射图方法的新版本,采用warshall算法.并将这一方法成功地用于激变的研究[12 16].本文的算法仍采用文献[11]第9章所提的算法.此外,Tongue和Gu[17]提出插值胞映射(IC M),Guder和Kreuzer[10]提出GC M的自适应方法和自适应细化方法.Sun[18,19]发表系列论文,基于短时高斯逼近研究了非线性随机系统的动力学行为,但未涉及随机分岔及不稳定解的研究.相关的研究见文献[20 25].3 参激和外激共同作用下的Duffing-van der Pol振子的随机分岔考虑如下参激和外激共同作用下的Duffing-van der Pol系统:x- x+x+x3+x2 x= 1 1(t)x+ 2 2(t),(1)式中 1, 2是两个正态白噪声过程, 1, 2为噪声的强度系数.取感兴趣的区域为D={-2 x 2,-2x 2},在这一区域内的状态胞为正规胞,区域以外的所有胞看作一个胞,称为陷胞.把区域分为200 200+1个正规胞.对于每个胞,取15 15个均匀分布的内点.对于每个内点产生50个随机样本,运用6阶龙格-库塔方法从该内点出发积分,求每个点所映射到的胞,从而在庞加莱截面上确定每个胞的象胞,则对每个胞有15 15 50=11250个轨线出发来确定其象胞.噪声的生成参见文献[26].当 1=0.0, 2= 0 0时,即不存在激励时,由图1可见,除去陷胞的影响,系统(1)有两个永久自循环胞集(吸引子);一个瞬态自循环胞集(鞍);两个单驻处瞬胞集(吸引1366物 理 学 报52卷域)和一个多驻处瞬胞集(边界).图1 系统在 1=0.0, 2=0.0时的吸引子、吸引域和鞍 图1至图12中,吸引子 的标记符号为 ;它的吸引域标记为空白;吸引子 的标记符号为 ;它的吸引域标记为空白;鞍的标记符号为 ;吸引域的边界用符号 表示考虑参数 1, 2的变化产生的随机分岔现象,讨论系统随机分岔的生成和演化,图2给出了 1- 2平面上随机分岔区域.图2 1- 2平面上的随机分岔区域计算表明,当参数 1, 2变化,在一定的参数范围内存在两次随机分岔.在区域 ,系统存在两个随机吸引子,一个随机鞍,两个随机吸引域和一个边界.在区域 ,存在一个随机吸引子,一个随机鞍,一个随机吸引域.区域 和区域 的交界形成第一次随机分岔曲线.在区域 ,存在一个随机吸引子,一个随机吸引域.区域 和区域 的交界形成第二次分岔曲线.下面分三种情况展开详细讨论.下述的讨论,为简单起见,简称随机吸引子,随机鞍,随机吸引域为吸引子,鞍,吸引域.图3 系统在 1=0.070, 2=0.000时的吸引子、吸引域和鞍图4 系统在 1=0.097, 2=0.000时的吸引子、吸引域和鞍3 1 1 0 0, 2=0.0时随机分岔的全局分析考虑仅存在参激时, 1的变化对随机系统全局特性产生的影响.随着系统参数 1的增大,吸引子及其吸引域的边界上的鞍变大,图3给出当 1=0 070时的全局图.随着系统参数 1的逐渐增大,其中的一个吸引子逐渐伸向边界上的鞍,见图4( 1=0.097),这时吸引子的指端即将接触边界上的鞍点.当随机参数 1从0 097变到0 098时,这个吸引子与在吸引域边界上的鞍发生碰撞,导致这个吸引子连同它的吸引域突然消失,在相空间原吸引子的位13676期徐 伟等:Duffing -van der Pol 振子随机分岔的全局分析置留下一个鞍,见图5( 1=0.098),此时,在我们关心的区域,仅有一个吸引子,也就是说,当系统参数 1从0 097变到0 098时,系统发生首次随机分岔,吸引子的数目由两个变为一个,吸引子的形状发生了突然变化,其中的一个吸引子变为鞍,即稳定集变为不稳定集.图5 系统在 1=0.098, 2=0.000时的吸引子、吸引域和鞍图6 系统在 1=0.099, 2=0.000时的吸引子、吸引域随着激励参数 1的进一步增大,鞍逐渐变大,并向另一个吸引子伸展,当激励参数 1由0 098变到0 099时,这个吸引子与鞍相碰撞,合而为一,突然形成一个大的吸引子,见图6( 1=0.099),即吸引子的形状突然发生变化,我们认为发生了随机分岔,此时,鞍变为吸引子,即不稳定集变为稳定集.表1给出了随参数 1变化,吸引子,吸引域,鞍的胞的变化情况.表1 随参数 1的变化吸引子、吸引域和鞍的胞数目的变化( 2=0)参数 1吸引子吸引域 吸引子吸引域 鞍0 0002516347122299020 0103016133312291040 0207015943602275250 070507145595032163080 080637141166412163090 0908001338378820883150 097940113149217598400 098961380210 00 010180 0992012379880 00 00 0图7 系统在 1=0.000, 2=0.034时的吸引子、吸引域和鞍3 2 1=0 0, 2 0.0时随机分岔的全局分析考虑仅存在外激时, 2的变化对随机系统全局特性产生的影响.随着参数 2的增大,吸引子及其吸引域的边界上的鞍变大,图7给出当 2=0 034时的全局图.随着参数 2的逐渐增大,其中的一个吸引子逐渐伸向边界上的鞍.当参数 2从0 034变到0 035时,这个吸引子与在吸引域边界上的鞍发生碰撞,导致这个吸引子连同它的吸引域突然消失,在相空间原吸引子的位置留下一个鞍,见图8( 2=0.035),此时,在我们关心的区域,仅有一个吸引子,也就是说,当系统随机参数 2从0 034变到0 035时,系统发生首次随机分岔,吸引子的数目由两个变为一个,吸引子的形状发生了突然变化,其中的一个吸引子变为鞍,即稳定集变为不稳定集.随着随机激励参数 2的进一步增大,鞍逐渐变大,并向另一个吸引子伸展,当参数 2由0 075变到0 076时,这个吸引子与鞍相碰撞,合而为一,突然形成一个大的吸引子,见图9( 2=0.075),图101368物 理 学 报52卷图8 系统在 1=0.000, 2=0.035时的吸引子、吸引域和鞍( 2=0.076),即吸引子的形状突然发生变化,此时,鞍变为吸引子,即不稳定集变为稳定集.图9 系统在 1=0.000, 2=0.075时的吸引子、吸引域和鞍图10 系统在 1=0.000, 2=0.076时的吸引子、吸引域表2给出了随参数 2变化,吸引子,吸引域,鞍的胞的变化情况.表2 随参数 2的变化吸引子、吸引域和鞍的胞数目的变化( 1=0)参数 2吸引子吸引域 吸引子 吸引域 鞍0 0338012579108218752390 03410511566117218412530 03512239257006210 03612539237006380 03713039213006570 075434382300013360 0762384376160000 0772423375770000 078245737543图11 系统在 1=0.099, 2=0.010时的吸引子、吸引域和鞍3 3 1 0 0, 2 0.0时随机分岔的全局分析考虑参激和外激共同存在时, 1, 2的变化对随机系统全局特性产生的影响.计算表明,当参数 1, 2均不为零时,类似上述的讨论,在一定的参数范围内存在两次随机分岔.但情况更为复杂一些,参激和外激的交互作用,可能使部分稳定集变为不稳定集,随着参数的增加,又可能使不稳定集变为稳定集.例如,在分岔图图2上取定 1=0.099,由图6可知,在 1=0.099, 2=0.000时,存在一个吸引子,一个吸引域.考虑参数 2的变化带来的影响,随着参数 2的增加,从吸引子中分离出一部分变为鞍,13696期徐 伟等:Duffing -van der Pol 振子随机分岔的全局分析部分稳定集变为不稳定集,这时一个吸引子,一个吸引域变为一个吸引子,一个吸引域和一个鞍.噪声起着使系统不稳定的作用,图11给出在 1=0.099, 2=0.010时的情况.随着参数 2的进一步增加,当参数 2由0 056变到0 057时,这个吸引子与鞍相碰撞,合而为一,突然形成一个大的吸引子,见图12( 1=0.099, 2=0.056),图13( 1=0.099, 2=0 057),这时部分不稳定集再次变为稳定集,又从一个吸引子,一个吸引域和一个鞍变为一个吸引子,一个吸引域,噪声起着使系统稳定的作用.表3给出了随参数 2变化,吸引子,吸引域,鞍的胞的变化情况.表3 随参数 2的变化吸引子、吸引域和鞍的胞数目的变化( 1=0 099)( 1, 2)吸引子 吸引域 吸引子吸引域鞍(0 099,0 000)201237988000(0 099,0 010)80438081001115(0 099,0 046)84437520001636(0 099,0 047)84937502001649(0 099,0 053)87737380001743(0 099,0 055)89937324001777(0 099,0 056)91037293001797(0 099,0 057)291337087000(0 099,0 058)294337057图12 系统在 1=0.099, 2=0.056时的吸引子、吸引域和鞍图13 系统在 1=0.099, 2=0.057时的吸引子、吸引域4 结 论本文引入了新的随机分岔的定义,以系统的随机吸引子(包括随机鞍)的形态(包括大小、尺寸、周期等)的突然变化表征随机系统的拓扑性质变化,用来描述随机系统的分岔.证实了对于参激和外激共同作用下的Duffing -van der Pol 系统,随机分岔主要是由于吸引子与鞍相碰撞产生的.当参数通过临界值时,这个吸引子连同它的吸引域突然消失,在原来这个吸引子的位置上留下了一个鞍,这个稳定集变为不稳定集.当随机激励参数进一步增大,通过另一个临界值时,另一个吸引子与这个鞍碰撞,鞍突然消失,这个吸引子突然变大,不稳定集变为稳定集.系统存在着两次随机分岔,图2给出了 1- 2平面上随机分岔的全局分析图.由于参激和外激交互作用,随机分岔也可能是由于当参数通过临界值时,吸引子突然分离出鞍产生的.例如,在 1=0.099, 2=0 000时,系统仅存在一个吸引子,一个吸引域,如果参数 2增加一个微小量,即 2变得不为零,则会突然从吸引子中分离出一部分变为鞍.1370物 理 学 报52卷[1]Arnold L 1998Random Dynamical Syste ms (Berli n,Berlin Heide-l berg Ne w York:Springer)1[2]Baxendale P 1986In K.Ito and T.Hida,editors Stoc hastic proce sses and their applications 1203o f LN in M athe matics ,1.[3]Crauel H and Flandoli F 1998Journal o f Dynamics and Di fferential Equations 10259[4]M eunuer C and Verga A D 1988Journal o f Statist ic al Physics 50345[5]Wol f A,Swift J B,Swinney H L,Vastano J A 1985Physica D 16285[6]Holmes P and Rand D 1980International Journal o f Non -linear Me -chanic s 15449[7]Guckenhei mer J and Holmes P 1983Nonline ar Oscillation Dynamical Syste ms and Bi furcation o f Vec to r Fields (Berlin:Springer -Verlag)[8]Namachchivaya N S 1990Applied Mathe matics and Co mputation 38101[9]Schenk -Hoppe K R 1996Nonlinear D ynamics 11255[10]Guder R and Kreuzer E 1997International Journal o f Bi furcation and Chaos .72487[11]Hsu C S 1995Inte rnational Journal o f Bi furcation and Chaos .51085[12]Xu J X and Hong L 1999Acta Me chanica Sinica 31724(in Chinese)[徐键学、洪 灵1999力学学报31724][13]Hong L and Xu J X 1999Phys .Lett .A 262361[14]Hong L and X u J X 2000Ac ta Phys .Sin .491228(i n Chi nese)[洪 灵、徐键学2000物理学报491228][15]Hong L and Xu J X 2001Acta Phys .Sin .50612(in Chinese)[洪 灵、徐键学2001物理学报50612][16]Hong L and X u J X 2002Ac ta Mec hanica Sinica 34136(in Chinese)[洪 灵、徐键学2002力学学报491228][17]Tongue B H and Gu K O 1988Journal o f Sound and Vibration 125169[18]Sun J Q and Hsu C S 1990Journal o f applied me chanics 571018[19]Sun J Q 1995Journal o f Sound and Vibration 180785[20]To C W and Li D M 1999Journal o f Sound and Vibration 219359[21]Leung H K 1998Physic al A 254146[22]He D H and Xu J X 2000Acta Phys .Sin .49833(in Chinese)[何岱海、徐键学2000物理学报49833][23]Huang Xiangao and Xu J X 2001Chin .Phys .101113[24]Li Z and Han C S 2002Chin .Phys .119[25]Lou X Z 2001Chin .Phys .1017[26]Zhu W Q,Lu M Q and Wu Q T 1993Journal o f Sound and V ib ration 165285G lobal analysis of stochastic bifu rcation in a Duffing -van der Pol system *Xu Wei 1) He Qun 1)2) Rong Ha -i Wu 3) Fang Tong 4)1)(De pa rtmen t o f Applie d Ma the ma tics ,North we ste rn Polyte chn ica l U ni versi ty ,Xi an 710072,Ch ina )2)(Department o f Appl ie d Math ematic s ,Eng inee rin g Colle ge o f Armed Polic e Force ,Xi a n 710086,China )3)(De pa rtmen t o f Applied Ma the ma tics ,Foshan Institute o f Sc ienc e an d Tech nolog y ,Foshan 528000,Ch ina )4)(In stitu te o f V ib rat ion al En gine ering ,North western Polylechn ica l Un ive rsity ,Xi an 710072,China )(Received 20September 2002;revised manu scrip t received 18November 2002)AbstractStochastic bifurcation of the Duffing -van de r Pol oscillators under both additive and multiplicative random e xcitations is stud -ied in de tail by the generalized cell mapping method using digraph.As an alternative definition,stochastic bifurcation may be de -fined as a sudde n change in charac ter of a stochastic attrac tor when the bifurcation pa ra meter of the system passe s through a c rit-i cal value.It is found that under cer tain condit ions stoc hastic bifurca tion mostly occurs when a stochastic attractor c ollides with a stochastic saddle.Our study reveals that the generalized cell mapping method with digraph is also a po we rful tool for global analy -sis of stochastic bifurcation.By this global analysis ,the mechanism of development,occurrence,and e volut ion of a stoc hastic b-i furcation can be explored clearly and vividly.Keywords :stoc hastic bifurc ation,global analysis,generalized cell mapping,stochastic attractor,stochastic saddle PACC :0547,0545*Project supported by the Nati onal Natural Science Foundati on of China (Grant No.10072049).13716期徐 伟等:Duffing -van der Pol 振子随机分岔的全局分析。
Duffing振子和Van der Pol振子耦合的动力学行为分析
Duffing振子和Van der Pol振子耦合的动力学行为分析王晓东;杨绍普;赵志宏【摘要】针对耦合非线性混沌振子复杂的动力学行为,本文将Duffing振子和Van der Pol振子进行耦合,建立了Duffing振子和Van der Pol振子的耦合模型.与单个振子相比,耦合Duffing振子和Van der Pol振子表现出了更加丰富的动力学特性,采用Simulink仿真的方法,通过不同策动力幅值、不同耦合系数、不同频率下耦合非线性振子的相图和庞加莱截面图分析了耦合非线性振子的动力学行为,研究了耦合振子对微弱周期信号的敏感性和对噪声的免疫力,并将此模型应用于微弱信号检测的研究中.【期刊名称】《石家庄铁道大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(028)004【总页数】6页(P53-57,80)【关键词】混沌;耦合振子;微弱信号检测;仿真【作者】王晓东;杨绍普;赵志宏【作者单位】石家庄铁道大学机械工程学院,河北石家庄050043;河北省交通安全与控制重点实验室,河北石家庄050043;石家庄铁道大学机械工程学院,河北石家庄050043;河北省交通安全与控制重点实验室,河北石家庄050043;河北省交通安全与控制重点实验室,河北石家庄050043【正文语种】中文【中图分类】TH165+.3近年来, 对混沌的研究从低维时间系统转向高维时空系统。
将若干不同的非线性振子(如Van der Pol振子、Duffing振子等)相互耦合, 构成的耦合非线性振子系统, 是研究时空混沌的较为理想的模型[1-2]。
由于耦合系统兼有两个振子的共同特性，会表现出更加复杂的动力学行为，所以耦合振子的动力学行为在理论和应用中具有重要意义, 因而日益受到重视。
经典的Duffing 及Van der Pol振子虽然在表达形式上很简单，但是由于具有丰富的动力学特性而极具代表性，它们常常被用来模拟系统的非线性特性，比如用耦合非线性振子系统描述和处理生物学、化学、光学、凝聚态物理学等众多领域的物理过程。
双频激励下Filippov系统的非光滑簇发振荡机理
双频激励下Filippov系统的非光滑簇发振荡机理曲子芳;张正娣;彭淼;毕勤胜【摘要】旨在揭示含双频周期激励的不同尺度Filippov系统的非光滑簇发振荡模式及分岔机制.以Duffing和Van der Pol耦合振子作为动力系统模型,引入周期变化的双频激励项,当两激励频率与固有频率存在量级差时,将两周期激励项表示为可以作为一慢变参数的单一周期激励项的代数表达式,给出了当保持外部激励频率不变,改变参数激励频率的情况下,快子系统随慢变参数变化的平衡曲线及因系统出现的fold分岔或Hopf分岔导致的系统分岔行为的演化机制.结合转换相图和由Hopf分岔产生稳定极限环的演化过程,得到了由慢变参数确定的同宿分岔、多滑分岔的临界情形及因慢变参数改变而出现的混合振荡模式,并详细阐述了系统的簇发振荡机制和非光滑动力学行为特性.通过对比两种不同情形下的平衡曲线及分岔图,指出虽然系统有相似的平衡曲线结构,却因参数激励频率取值的不同,致使平衡曲线发生了更多的曲折,对应的极值点的个数也有所改变,并通过数值模拟,对结果进行了验证.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2018(050)005【总页数】11页(P1145-1155)【关键词】多频激励;Filippov系统;簇发振荡;多滑分岔【作者】曲子芳;张正娣;彭淼;毕勤胜【作者单位】江苏大学理学院,江苏镇江212013;山东工商学院数学与信息科学学院,山东烟台264005;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学土木工程与力学学院,江苏镇江212013【正文语种】中文【中图分类】O322引言非光滑动力系统因其在模拟各种物理和工程技术系统方面表现出强大的功能而备受关注.带有摩擦的机械系统、步行机器人系统、基因调控网络系统、电子变换器系统等皆因非光滑因素的存在而表现出不同的动力学行为[1-3].通常,系统相空间可被划分为若干个与系统向量场的不同功能形式相关联的区域.当系统的部分轨线在相空间的不同区域之间的边界相切时,系统的轨迹会发生一系列奇特的变化[4].由于轨线与分界面接触点的不同特性和系统向量场的特点,当系统参数变化时轨线可能发生的滑动、转迁、穿越、黏滞等多种非线性现象会频繁出现[5-9].在分段光滑系统中同样有非光滑特性体现,如系统在转换边界平衡点发生的分岔行为,极限环经历的擦边和滑动分岔等[10]及线性碰振系统周期解的擦边分岔[11].在自然科学和工程实践中,非线性系统的动力学行为不仅仅是各子系统行为的简单叠加,而是一定数量的子系统耦合而成,即由子系统层面的动力学行为到整个系统层面的动力学行为的演变,于是多尺度耦合现象应运而生[12-15].通常所讲的两尺度耦合,指的是由于含不同时间尺度的对象,导致在无量纲数学模型中,状态变量或其不同形式的组合可以分为两个不同的组,而各组之间随时间变化的速率存在着明显量级上的差异[16-20].在对两个或多个单向的或双向振荡器的耦合现象的研究基础上,可深入地了解系统中的相互同步、准周期振荡、混沌等现象的产生机制[21-24].目前,针对多尺度耦合系统的研究,国内外学者大都遵循着耦合系统的模型分析、近似求解、数值模拟和实验分析等环节进行[25-27],研究方法缺乏针对性,而直到Izhikevich[28]快慢分析法的提出,才使研究方法得以丰富,并能深入地分析各种动力学行为的演化机制,其主旨是将不同尺度耦合系统分解为相互耦合的快慢两子系统,通过对快子系统的平衡态及其分岔分析,得到沉寂态和激发态之间相互转化的分岔机制,从而揭示相应簇发振荡的产生机理.虽然含一个慢变周期参数的系统的周期簇发振荡分析已有诸多成果[29-30],但由于实际系统中往往存在着多种激励共存的现象,因此含多频激励的系统的动力学行为分析也激起了学者们浓厚的兴趣,特别是含参数激励和外部激励共同作用的系统表现出了更为丰富和神奇的周期簇发振荡等动力学行为[31].尽管分别关于非光滑系统,多尺度耦合系统,含多频激励的系统都有各自针对性的研究成果,但对于含两个慢变周期参数的非光滑耦合系统的簇发振荡分析却仍有进一步的研究空间.本文以Duffing和VanderPol耦合振子为例,研究了含两慢变激励的具有非光滑向量场的Filippov系统的簇发振荡模式及非光滑行为演化机制.给出了平衡曲线和分岔图及在非光滑边界产生非光滑行为的演化行为分析;结合转换相图,得到了在外部激励频率不变的情况下,参数激励频率改变引起的系统簇发振荡模式及非光滑演化行为机理;通过数值模拟,分析了平衡曲线在不同参数激励频率下发生的曲折变化情况.1 计算模型以Duffing和Van der Pol耦合振子为例,引入一个双边二极管作为调和开关,考虑含双频激励的具非光滑向量场的Filippov系统,无量纲化后的数学模型为其中w1=A1cos(Ω1τ)为外部激励项,w2=A2cos(Ω2τ)为参数激励项,A1,A2表示振幅,Ω1,Ω2表示频率,α1,α2,α3,µ是常系数,ξ代表两子系统的耦合强度.以δsgnx1定义的非光滑分界面Σ={(x1,y1,x2,y2)|x1=0}按照两个非自治光滑子系统F+和F−将向量场分为两个光滑区域,分别以D+和D−表示在应用快慢分析法分析含双频激励的系统的簇发振荡时,考虑各激励间并非相互独立,往往以一个激励项作为慢变参数,其他激励项表示为该慢变参数的函数表达式的方法进行分析讨论.这里保持Ω1=0.0005不变,改变Ω2的值,其他参数取常规量,此时两激励频率与系统的固有频率之间存在了量级差,于是产生了尺度效应,即不同频域尺度之间的耦合,导致簇发等特殊的振荡模式.2 分岔分析系统(1)中各状态变量振荡行为主要由系统的固有频率ω决定,然而,ω同时又受到外部激励项w1和参数激励项w2的调制.就外部激励项w1而言,对一任意周期TN,定义TN=2π/ω,有t∈[t0,t0+TN],外部激励项w1将在wA=Acos(Ωt0)和wB=Acos(Ωt0+2πΩ/ω)之间变化.而Ω1≪ϖ意味着0<Ω1/ω=1,因此有wA≈wB.这意味着在一相应周期内,外部激励项几乎为一常数.同理可得:参数激励项也几乎为一常数.根据上述分析,相对于状态变量而言,由于整个外部激励项w1和参数激励项w2在更慢的时间尺度上变化,因此可以视w1和w2为慢变参数,而又因为外激频率Ω1和参激频率Ω2存在共振关系,这里假设W=cos(Ω1τ)=cos(0.0005τ),外部激励可表示为w1=A1cos(Ω1τ)=A1W,参数激励表示为w2=A2cos(Ω2τ)=A2fi(W)(i=1,2). 于是实际上可以将W看作一个慢变参数,此时这里的w1和w2仅是普通参数,而不再具有w1=A1cos(Ω1τ)和w2=A2cos(Ω2τ)的形式.此时称含慢变参数W 的系统(1)为广义自治系统.即整个系统(1)可视为快慢两个系统的耦合.快子系统为其中,当Ω1=0.0005,Ω2=0.002时,当Ω1=0.0005,Ω2=0.003时,慢子系统为W=cos(0.0005τ).为揭示快慢耦合系统复杂行为的产生机制,首先分析快子系统(2)的分岔行为.由于系统(1)为广义自治系统,其中的参数w1和w2此时已是普通参数,于是可以看作是一个自治系统[30].根据快慢分析法[28],系统(1)由快子系统(2)和慢子系统耦合而成,所以系统(2)也是一个自治系统.于是可以求出平衡点为:当x0>0时,平衡点可表示为其中x0满足当x0<0时,平衡点为其中x0满足平衡点的稳定性可通过其特征方程表征,表示为其中当参数满足时,平衡点EQ±是稳定的.当参数满足a4=0(a1>0,a1a2−a3>0,a3>0),即系统可能会发生fold分岔,导致不同平衡点之间的跳跃现象.根据系统可能会发生Hopf分岔的判定条件,具体到系统(2),三个判定条件列举如下: (I)分岔条件(II)非退化条件快子系统(2)可以改写为1=Jx+F(x),x∈R4,其中,J是雅可比矩阵,可以表示为其中,JT是雅可比矩阵 J 的转置矩阵,⟨·,·⟨是 R4中的标准内积.F(x)=O(∥x∥2)是一个光滑函数,在x=0附近,其Taylor展开为式中B(x,y)和C(x,y,z)是多重线性函数,在坐标下的分量为通过matcont软件可以验证其中(III)横截性条件讨论当Ω1=0.0005,Ω2=0.002时的情形,当Ω1=0.0005,Ω2=0.003时可类似讨论. 对特征方程(7)两边关于W求偏导,得将代入式(9)并令λ=iω,得整理式(10)并分离的实部,得将参数赋值后可以判定得出证明系统会出现Hopf分岔,平衡点可能会因Hopf分岔而失稳.3 数值模拟固定参数α1=8,α2=1,α3=1,ξ=0.7,µ=0.2,δ=−1,讨论当双频激励振幅及外激频率不变,参激频率改变的情况下,系统出现的不同周期簇发振荡模式和轨线与非光滑分界面接触后发生的特殊非光滑动力学行为.主要阐述:(1)Ω1=0.0005,Ω2=0.002;(2)Ω1=0.0005,Ω2=0.003.两种情形下系统周期簇发振荡的产生机制与非光滑行为演化分析.3.1 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时簇发振荡机理分析固定振幅 A1=7,A2=3,取Ω1=0.0005,Ω2=0.002.通过数值模拟研究系统所可能发生的各种簇发振荡模式和非光滑演变行为.图1和图2分别给出了系统在(x1,y1)平面上的相图和x1的时间历程图.图1 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时(x1,y1)平面上相图Fig.1 Phase portrait onthe(x1,y1)plane for Ω1=0.0005,Ω2=0.002图2 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时 x1的时间历程图Fig.2 Time history of x1forΩ1=0.0005,Ω2=0.002如图1所示,根据非光滑分界面Σ,系统向量场被划分为两个光滑的子区域D+和D−,轨线在分界面Σ和子区域D+,D−中都表现出了丰富的非光滑动力学行为.轨线或在分界面发生滑动,或穿过分界面在两子区域D+和D−间来回往返,表现为大幅振荡和微幅振荡的交替出现,即系统在沉寂态和激发态之间来回转化,呈现为簇发振荡.为揭示系统周期簇发振荡的演化机制,我们给出了系统随慢变参数W变化的平衡曲线及分岔图,如图3所示.如平衡曲线及分岔图3中所示,系统的平衡曲线被4个超临界Hopf分岔点HB±1(W,x1)=(±1.0686,±0.4282),HB±2(W,x1)=(±0.2529,±0.4270)及曲线与分界面的2个交点N1(W,x1)=(−0.1467,0)和N2(W,x1)=(−0.1467,0)分成7部分.实线代表稳定的平衡曲线,虚线代表不稳定的平衡曲线.运用微分包含理论,引入辅助参数q,以F表示系统(1),于是系统(1)可改写为其中辅助参数q可表示为式中,ys,Ws分别表示当轨线接触到非光滑分界面时状态变量y和慢变参数W的值.由于非光滑分界面的非线性动力学特性,结合微分包含理论,系统的平衡曲线中出现了一段Σ-平衡点曲线EB0,如图3所示.在(W,x1)平面上的转换相图与平衡曲线及相关分岔图的叠加能更好地诠释系统周期簇发振荡机制,如图4和图5所示.可以发现,在一个周期的簇发振荡中,轨线出现了多个激发态和沉寂态,且轨线在不同激发态之间转迁时多次接触分界面,或发生滑动行为,或进入另一子区域,如此在两子区域D+和D−中多次往返并表现出特殊的振荡模式.图3 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时平衡曲线及分岔图Fig.3 Equilibrium branches as well as the bifurcations fo rΩ1=0.0005,Ω2=0.002图4 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时(W,x1)平面转换相图Fig.4 Transformed phase portrait on the(W,x1)plane forΩ1=0.0005,Ω2=0.002图5 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时转换相图与平衡曲线的叠加图Fig.5 Overlap of equilibrium branches and transformed phase portrait on the(W,x1)forΩ1=0.0005,Ω2=0.002通过转换相图与平衡曲线及相关分岔图的叠加图5阐述系统周期簇发振荡机制.不失一般性,假设轨线从子区域D−中W取最小值W=−1处出发,之后轨线几乎严格沿焦点型稳定平衡曲线EB−2运动,表现为沉寂态QS1,当轨线穿越Hopf分岔点HB−2(W,x1)=(−0.2529,−0.4270)时,Hopf分岔出现,平衡点失稳,产生稳定的极限环LC.由于极限环LC在随着慢变参数W变化的过程中会与非光滑分界面有接触,因而受到非光滑因素的影响,轨线的振荡结构会发生明显的变化.为更好地展现轨线在光滑区域的振荡形式及接触到分界面后发生的簇发振荡行为.图6∼图9给出了因Hopf分岔产生的不同慢变参数情形下的稳定极限环的演变过程.当W=−0.2529时,超临界 Hopf分岔点HB−2(W,x1)=(−0.2529,−0.4270)出现,产生了围绕位于平衡线EB−3的不稳定焦点振荡的极限环LC.图6给出了对应于慢变参数W=−0.2529的极限环,可以发现,其在围绕平衡曲线HB−3逆时针振荡的过程中完全处于光滑区域D−,并未接触非光滑分界面Σ.随着慢变参数W的增大,极限环LC的振幅在光滑区域D−内逐渐增加.当慢变参数W增大到W=−0.2476时,极限环在P1(x1,y1)=(0,0.6847)点接触到非光滑分界面,然后沿向上箭头方向在分界面上开始滑动,经过一段时间滑动到点P2(x1,y1)=(0,0.9857)后,又沿向下箭头方向运动到点P3(x1,y1)=(0,1.6601),之后离开分界面Σ,即表现为从光滑区域D−进入分界面滑动一段时间之后,然后脱离分界面,后又再次返回光滑区域D−继续运行.所以,慢变参数W=−0.2476对应着Filippov型广义自治系统的同宿分岔.当慢变参数增加至W=−0.1650时,极限环LC从位于分界面上的P1(x1,y1)=(0,0.1066)点进入分界面后沿向上箭头方向滑动到P2(x1,y1)=(0,1.9943)点,之后立刻穿过分界面Σ进入光滑区域D+,然后继续在区域D+短暂运动后又于P3(x1,y1)=(0,2.1560)点返回到分界面,沿分界面按向下箭头方向继续滑动到位于分界面上的P4(x1,y1)=(0,0.5775)点,继而返回到区域D−继续运动.所以,慢变参数W=−0.1650对应着Filippov型广义自治系统的非常规分岔——多滑分岔[32].图9给出的是W=0时轨线呈现的一种对称的振荡模式.极限环仍然是在P1(x1,y1)=(0,−1.0336)点接触到分界面后沿向上箭头方向滑动到P2(x1,y1)=(0,1.0336)点,然后立刻穿过分界面Σ进入光滑区域D+,在区域D+内进行大幅振荡后于P3(x1,y1)=(0,0.6990)点再次进入分界面,继续按向下箭头方向滑动到P4(x1,y1)=(0,−0.6990)点,之后进入区域D−开始大幅振荡.在区域D+和D−内轨线表现为对称的簇发振荡.图6 W=−0.2529时的稳定极限环Fig.6 Stable limit c ycle with W=−0.2529图7 W=−0.2476时的稳定极限环Fig.7 Stable limit cycle with W=−0.2476图8 W=−0.1650时的稳定极限环Fig.8 Stable limit cycle with W=−0.1650图9 W=0时的稳定极限环Fig.9 Stable limit cycle with W=0W值随时间继续增大,轨线振荡幅值逐渐减小,当W增大到最大值W=1时,轨线收敛到平衡曲线EB+2.之后,W的值将开始逐渐减小,轨线几乎严格沿稳定的平衡曲线EB+2运动,表现为沉寂态 QS2,直到遇到Hopf分岔点HB+2(W,x1)=(0.2529,0.4270),再次出现 Hopf分岔,仍然产生稳定的极限环,呈现出与由HB−2(W,x1)=(0.2529,0.4270)产生的极限环LC在不同参数下的相似且对称的演化状态,此时轨线处于激发态.随着W值继续减小,轨线振荡幅值逐渐减小,当W减小到最小值W=−1时,轨线收敛到平衡曲线EB−2.至此,轨线完成一个周期的簇发振荡.3.2 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时簇发振荡机理分析固定振幅A1=7,A2=3,取Ω1=0.0005,Ω2=0.003.通过数值模拟研究系统所可能发生的各种簇发振荡模式以及非光滑演变行为.图10和图11分别给出了系统在(x1,y1)平面的相图和x1的时间历程图.图10 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时(x1,y1)平面上相图Fig.10 Phase portrait on the(x1,y1)plane for Ω1=0.0005,Ω2=0.003图11 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时x1的时间历程图Fig.11 Time history of x1for Ω1=0.0005,Ω2=0.003为揭示系统周期簇发振荡的演化机制,我们仍然给出了系统随慢变参数W变化的平衡曲线及分岔图,在(W,x1)平面上的转换相图,在(W,x1)平面上的转换相图与平衡曲线的叠加图,如图12∼图14所示.同时图15∼图18给出了在(W,x1)平面上转换相图的局部放大图.如平衡曲线及分岔图12中所示,系统的平衡曲线被2个超临界Hopf分岔点HB±1(W,x1)=(±1.0285,±0.4282),2 个 fold 分岔点FB±1(W,x1)=(±0.1874,±0.3821)和曲线与分界面的 2个交点N1(W,x1)=(−0.1467,0)和 N2(W,x1)=(0.1467,0)分成7部分.实线代表稳定的平衡曲线,虚线代表不稳定的平衡曲线.对比Ω1:Ω2=1:4时,平衡曲线发生了多次曲折,对应极值点的个数也由2个变为6个.从(W,x1)平面上的转换相图与平衡曲线的叠加图14看出,在一个周期的簇发振荡中,轨线出现了2个激发态SP±i(i=1,2)和2个沉寂态QS±i(i=1,2).轨线在不同激发态之间转迁时会接触到分界面,沿分界面滑动之后,进入另一区域发生簇发振荡现象,并经一段时间之后又返回分界面,回到之前所在区域,如此在两子区域D+和D−中往返并表现为簇发振荡.图12 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时平衡曲线及分岔图Fig.12 Equilibrium branches as well as the bifurcations forΩ1=0.0005,Ω2=0.003图13 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时(W,x1)平面上转换相图Fig.13 Transformed phase portrait on the(W,x1)plane forΩ1=0.0005,Ω2=0.003图14 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时转换相图与平衡曲线的叠加图Fig.14 Overlap of equilibrium branches and transformed phase portrait on the(W,x1)forΩ1=0.0005,Ω2=0.003图15 Ω1=0.0005,Ω2=0.003 时 (W,x1)平面上的转换相图的局部放大图1Fig.15 Locally enlarged part one of the transformed phase portrait onthe(W,x1)for Ω1=0.0005,Ω2=0.003图16 Ω1=0.0005,Ω2=0.003 时 (W,x1)平面上的转换相图的局部放大图2Fig.16 Locally enlarged part two of the transformed phase portrait onthe(W,x1)for Ω1=0.0005,Ω2=0.003不失一般性,假设轨线从子区域D−中W取最小值W=−1处出发,之后轨线几乎严格沿焦点型稳定平衡曲线EB−2运动,表现为沉寂态Q S−1,直到轨线抵达 fold分岔点FB−1(W,x1)=(0.1874,−0.3821),fold分岔出现导致轨线开始跳跃,使得轨线表现为激发态SP−1,在PS1(W,x1)=(0.1909,0)点 (如图 10)到达分界面,滑动至点PS2(W,x1)=(0.1918,0)后穿过分界面,到达区域D+后轨线继续大幅振荡,表现为激发态SP+1.随着W值的增大,振荡幅值逐渐减小,当W增大到最大值W=1时,轨线收敛到平衡曲线EB+2.随着时间的延长,W值将逐渐减小,轨线几乎严格沿稳定的平衡曲线EB+2运动,表现为沉寂态QS+1,直到轨线抵达FB+1(W,x1)=(−0.1874,0.3821),fold分岔再次发生,轨线开始跳跃,表现为激发态SP+2,在PS3(W,x1)=(−0.1909,0)点到达分界面,滑动至点PS4(W,x1)=(−0.1918,0)后穿过分界面.当轨线到达区域D−后,继续大幅振荡,表现为激发态SP−2.随着W取值的减小,振荡幅值也逐渐减小,当W减小到最小值W=−1时,轨线稳定到平衡曲线EB−2,表现为沉寂态QS−2.至此,轨线完成一个周期的非光滑簇发振荡.图17 Ω1=0.0005,Ω2=0.003 时 (W,x1)平面上的转换相图的局部放大图3Fig.17 Locally enlarged part three of the transformed phase portrait onthe(W,x1)for Ω1=0.0005,Ω2=0.003图18 Ω1=0.0005,Ω2=0.003 时 (W,x1)平面上的转换相图的局部放大图4Fig.18 Locally enlarged part four of the transformed phase portrait onthe(W,x1)for Ω1=0.0005,Ω2=0.0034 两种情形下平衡曲线的演化趋势观察两种情形下的平衡曲线图3和图12可以发现,虽然平衡曲线具有相似的结构,但随着参数激励频率的改变,平衡曲线发生曲折的次数有所增加,致使极值点个数也随之增多,相应簇发振荡的转换相图也变得复杂,而导致这一现象产生的原因是两激励的频率存在明显的量级差.以Ω1=0.0005,Ω2=0.002为例,当频率小的变量运动一个周期时,频率大的变量却已经运动了4个周期,而此两者的耦合恰好形成一个新周期.为描述平衡曲线极值点个数的变化,图19和图20给出了两种情形下极值点个数的变化趋势,其中,图19和图20中的黑色标识点分别对应图3和图12中的平衡曲线中的极值点.图19中的曲线对应的函数表达式分别为y1=32W3−16W和.图20中的曲线对应的函数表达式分别为y1=192W5−192W3+36W和图19 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时极值点个数情况Fig.19 Variation of extreme points with Ω1=0.0005,Ω2=0.002图20 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时极值点个数情况Fig.20 Variation of extreme points with Ω1=0.0005,Ω2=0.003如图 19和图 20所示,当Ω1=0.0005,Ω2=0.002时,平衡曲线的极值点个数为2,当Ω1=0.0005,Ω2=0.003时,极值点增加为6个.将图19和图20分别与图3和图12进行对比,发现图19和图20中黑色标识的极值点的个数分别与图3和图12所示的平衡曲线中的极值点个数相一致,并且各极值点坐标也与平衡曲线所示的相吻合.当Ω1=0.0005,Ω2=0.002时,对应极值点的W的坐标是W= ±0.7435,当Ω1=0.0005,Ω2=0.003时,对应极值点的W 的坐标是W±1=±0.1756,W±2=±0.4547.5 结论对于含双频激励的Filippov系统进行非光滑簇发振荡机理分析时,引入周期变化的双频激励项,当两激励频率之间存在共振关系,且周期激励频率远小于系统的固有频率时,将两周期激励项转换为单一周期激励项的函数表达式,并将该单一周期激励项视为慢变参数,利用快慢分析法,在固定两激励振幅的取值,保持外激频率不变,改变参激频率的情形下,得到了快子系统随慢变参数变化的平衡曲线及其分岔行为的演化机制.结合转换相图和不同慢变参数情形下的稳定极限环的演变过程,发现随着慢变参数的改变,轨线会出现同宿分岔、多滑分岔及多种复杂振荡模式,而参激频率的改变,使得系统的分岔模式增加,系统的簇发振荡机制变得复杂,从而非光滑动力学行为特性也更明显.通过对比两种不同参激频率下的平衡曲线及分岔图,发现虽然系统有相似的平衡曲线结构,却因参激频率取值的不同,致使平衡曲线发生曲折的次数增加,极值点个数也由Ω1=0.0005,Ω2=0.002时的2个变为Ω1=0.0005,Ω2=0.003时的6个,数值模拟也很好地验证了这一结果.必须指出的是,本文讨论的是保持外激频率Ω1=0.0005不变,改变参激频率Ω2的值时系统产生的簇发振荡及非光滑行为特性.若固定Ω2不变,改变Ω1的值,系统可能会有不同的非线性动力学行为,我们将另外讨论这种情形.参考文献【相关文献】1 秦志英,李群宏.一类非光滑映射的边界碰撞分岔.力学学报,2013,45(1):25-29(Qin Zhiying,Li Qunhong.Border-collision bifurcation in a kind of non-smooth maps.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2013,45(1):25-29(in Chinese))2 高雪,陈前,刘先斌.一类分段光滑隔振系统的非线性动力学设计方法.力学学报,2016,48(1):192-200(Gao Xue,Chen Qian,Liu Xianbin.Nonlinear dynamics design for piecewise smooth vibration isolation system.Chinese Journal of Theoretical and AppliedMechanics,2016,48(1):192-200(in Chinese))3 范新秀,王琪.车辆纵向非光滑多体动力学建模与数值算法研究.力学学报,2015,47(2):301-309(Fan Xinxiu,Wang Qi.Research on modeling and simulation of longitudinal vehicle dynamics based on non-smooth dynamics of multibody systems.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2015,47(2):301-309(in Chinese))4 Leine RI,Van Campen DH,Van De Vrande BL.Bifurcations in nonlinear discontinuous systems.Nonlinear Dyn,2000,23:105-1645 Kowalczyk P,Bernardo MD.Two-parameter degenerate sliding bifurcations in Filippov systems.Physica D,2005,204:204-2296 Fuhrmann G.Non-smooth saddle-node bifurcations III:Strange attractors in continuous time.J Differ Equations,2016,261:2109-21407 Bernardo MD,Nordmark A,Olivar G.Discontinuity-induced bifurcations of equilibria in piecewise-smooth and impacting dynamical systems.Physica D,2008,237:119-1368 Xiong YQ.Limit cycle bifurcations by perturbing non-smooth Hamiltonian systems with 4 switching lines via multiple parameters.Nonlinear Anal-Real,2018,41:384-4009 张舒,徐鉴.时滞耦合系统非线性动力学的研究进展.力学学报,2017,49(3):565-587(Zhang Shu,Xu Jian.Review on nonlinear dynamics in systems with coupling delays.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3):565-587(in Chinese))10 Colombo A,Bernardo MD,Hogan SJ,et al.Bifurcations of piecewise smoothflows:Perspectives,methodologies and open problems.Physica D,2012,241:1845-186011 张思进,周利彪,陆启韶.线性碰振系统周期解擦边分岔的一类映射分析方法.力学学报,2007,39(1):132-136(Zhang Sijin,Zhou Libiao,Lu Qishao.A map method for grazing bifurcation in linear vibro-impact system.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2007,39(1):132-136(in Chinese))12 卓小翔,刘辉,楚锡华等.非均质材料动力分析的广义多尺度有限元法.力学学报,2016,48(2):378-386(Zhuo Xiaoxiang,Liu Hui,Chu Xihua,et al.A generalized multiscale finite element method for dynamic analysis of heterogeneous material.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(2):378-386(in Chinese))13 Zhao XJ,Sun YP,Li XM,et al.Multiscale transfer entropy:Measuring information transferon multiple time mun Nonlinear Sci Numer Simulat,2018,62:202-21214 Li QQ , Wang YH, Vasilyeva M. Multiscale model reduction for fluid infiltration simulation through dual-continuum porous media with localized uncertainties.J Comput Appl Math,2018,336:127-14615 Chinkanjanarot S,Radue MS,Gowtham S,et al.Multiscale thermal modeling of cured cycloaliphatic epoxy/carbon fiber composites.J Appl Polym Sci,2018,135(25):4637116 Lameu EL,Borges FS,Borges RR,et work and external perturbation induce burst synchronisation in cat cerebral mun Nonlinear Sci,2016,34:45-5417 张正娣,毕勤胜.自激作用下洛伦兹振子的簇发现象及其分岔机制.中国科学:物理学力学天文学,2013,43:511-517(Zhang Zhengdi,Bi Qinsheng.Bursting phenomenon as well as the bifurcation mechanism of self-excited Lorenz system.Sci Sin-Phys MechAstron,2013,43(4):511-517(in Chinese))18 Bi QS.The mechanism of bursting phenomena in Belousov Zhabotinsky(BZ)chemical reaction with multiple time scale.Sci China-Technol Sci,2010,53(1):748-76019 李向红,毕勤胜.铂族金属氧化过程中的簇发振荡及其诱发机理.物理学报,2012,61:020504(Li Xianghong,Bi Qinsheng.Bursting oscillations and the bifurcation mechanism in oxidation on platinum group metals.Acta Phys Sin,2012,61:020504(in Chinese))20 Chen XK,Li SH,Zhang ZD,et al.Relaxation oscillations induced by an order gap between exciting frequency and natural frequency.Sci China Tech Sci,2017,60:289-29821 Jensen RV.Synchronization of driven nonlinear oscillators.Am J Phys,2002,70:607-61922 Peng J,Wang L,Zhao Y,et al.Synchronization and bifurcation in limit cycle oscillators with delayed coupling.Int J Bifurcat Chaos,2011,21:3157-316923 Pereda E, De La Cruz DM, Manas S, et al. Topography of EEG complexity in human neonates:Effect of the postmenstrual age and the sleep state.NeurosciLett,2006,394(2):152-15724 Naidu DS.Analysis of non-dimensional forms of singular perturbation structures for hypersonic vehicles.Acta Astronaut,2010,66(1):577-58625 Chumakov GA,Chumakova NA,Lashina EA.Modeling the complex dynamics of heterogeneous catalytic reactions with fast,intermediate,and slow variables.Chem Eng J,2015,282:11-1926 Tsaneva-Atanasova K,Osinga HM,Riess T,et al.Full system bifurcation analysis of endocrine bursting models.J Theor Biol,2010,264:1133-114627 Alexandrov DV,Bashkirtseva IA,Ryashko LB.Excitability,mixedmode oscillations and transition to chaos in a stochastic ice ages model.Physica D,2017,343(15):28-3728 Izhikevich EM.Neural excitability,spiking and bursting.Int J BifurcatChaos,2000,10:1171-126629 Yue Y,Zhang ZD,Han XJ.Periodic or chaotic bursting dynamics via delayed pitchforkbifurcation in a slow-varying controlled mun Nonlinear Sci Numer Simulat,2018,56:380-39130 Bi QS, Chen XK, Juergen K,et al. Nonlinear behaviors as well as the mechanismin a piecewise-linear dynamical system withtwo time scales.Nonlinear Dyn,2016,85:2233-2245 31 Han XJ,Xia FB,Zhang C,et al.Origin of mixed-mode oscillations through speed escape of attractors in a Rayleigh equation with multiple-frequency excitations.NonlinearDyn,2017,88:2693-270332 Bernardo MD,Kowalczyk P,Nordmark A.Bifurcations of dynamical systems with sliding:Derivation of normal-form mappings.Physica D,2002,170:175-205。
随机噪声激励下Van Der Pol-Duffing振子模型的稳定性及分岔分析
随机噪声激励下Van Der Pol-Duffing振子模型的稳定性及分岔分析随机噪声激励下Van Der Pol-Duffing振子模型的稳定性及分岔分析摘要：本文研究了随机噪声激励下Van Der Pol-Duffing振子模型的稳定性及分岔现象。
我们首先介绍了Van DerPol-Duffing振子模型及其常微分方程描述，然后讨论了在无噪声激励下的稳定性分析，进一步引入随机噪声激励条件下的稳定性问题。
接着，我们利用数值仿真方法分析了系统参数对稳定性的影响，并探讨了不同参数值下的分岔现象。
研究结果表明，随机噪声激励下的Van Der Pol-Duffing振子模型可能出现新的稳定态和周期解，并且表现出分岔现象。
关键词：Van Der Pol-Duffing振子模型、随机噪声激励、稳定性、分岔分析1. 引言Van Der Pol-Duffing振子模型是描述非线性振动系统的常用数学模型之一。
在许多实际应用中，振动系统往往受到随机噪声的干扰，因此研究随机噪声激励下的系统稳定性和分岔分析具有重要意义。
本文旨在通过数值仿真方法，对随机噪声激励下的Van Der Pol-Duffing振子模型进行稳定性和分岔分析，进一步揭示系统行为的规律。
2. 模型描述及无噪声激励下的稳定性分析Van Der Pol-Duffing振子模型可以基于如下常微分方程进行描述：$$ \frac{{d^2x}}{{dt^2}} - (\alpha - \betax^2)\frac{{dx}}{{dt}} + x = \gamma \cos(\omega t) $$其中，$\alpha$、$\beta$、$\gamma$和$\omega$分别表示系统的非线性度、振荡特性、外力激励幅度和激励频率。
在无噪声激励下，我们可以通过稳定性分析来探究系统的动力学性质。
通过线性化方法，我们可以将Van Der Pol-Duffing振子模型近似为如下形式：$$ \frac{{d^2x}}{{dt^2}} + \alpha \frac{{dx}}{{dt}} + x = 0 $$通过求解上述线性方程的特征值和特征向量，我们可以得到系统稳定性的条件。
非线性动力系统的两类分岔控制与混沌控制研究
硕士学位论文
摘
要
分岔控制作为非线性科学中的前沿研究课题，极具挑战性。分岔控制的目的 是对给定的非线性动力系统设计一个控制器，用来改变系统的分岔特性，从而去 掉系统中有害的动力学行为，使之产生人们需要的动力学行为。本文在全面分析 和总结非线性动力系统分岔控制研究现状的基础上，基于非线性动力学、非线性 控制理论、分岔理论等非线性科学的现代分析方法，对倍周期分岔、Hopf 分岔等 进行控制，工作具有较大的理论意义和应用价值。研究内容如下： 第一章对非线性控制理论、分岔控制的研究方法、现状和进展进行综述，介 绍本文的研究目的、研究内容和创新点。 第二章介绍动力学研究的一些基本概念，简述发生鞍结分岔、跨临界分岔、 叉形分岔的充分必要条件，以及这三种静态分岔相互转换的条件；介绍分岔控制 器设计及分析的主要方法。 第三章设计了线性和非线性的状态反馈控制器，对 Logistic 模型的倍周期分 岔进行了控制， 得到了系统在控制前和控制后的分岔图 , 通过设计不同的参数控制 器，改变了动力系统的分岔特性。根据实际应用目的，设计了不同的控制器改变 了存在的分岔点的参数值，并且调整了分岔链的形状。通过优化控制器可以使 Logistic 模型的分岔行为满足一定的要求。 第四章设计了状态反馈控制器和 washout filter 控制器对 van der Pol-Duffing 系统的 Hopf 分岔的极限环幅值进行了控制。通过对控制方程的分析，了解了控 制参数和极限环幅值的影响情况，进而提出控制策略，设计了状态反馈控制器对 系统的 Hopf 分岔进行了控制。 第五章设计了线性反馈控制器对 Lorenz 系统的平衡点和周期轨道进行了控 制，首先利用 Routh-Hurwitz 准则对受控系统进行了稳定性分析，严格证明了达 到控制目标反馈系数的选择原则，最后通过数值计算证明了该方法能够有效地控 制混沌系统到稳定的平衡点同时也能使系统控制到 1P 周期轨道，并且得到了控 制到稳定的 1P 周期轨道的控制参数的选取范围。 本文的主要创新点在于将分岔控制理论应用于非线性振动系统的研究，丰富 了非线性控制理论研究的内容，加深了分岔理论研究的深度。具体表现在：对 Logistic 模型的倍周期分岔进行了反馈控制；首次将 washout filter 技术应用于二 维 van der Pol-Duffing 系统的 Hopf 分岔控制；应用线性反馈控制成功实现了对 Lorenz 系统平衡点的混沌控制和 1P 周期轨道控制。 关键词：分岔控制；非线性动力系统；状态反馈控制；多尺度法； Hopf 分岔
磁悬浮系统的HOPF分岔自适应控制研究
隙； 息淳间 是 隙的变 化速度； 是重力加速度； ｇ 是
是 电磁铁常数 ， 由电磁铁 自身参数决定 ； 是悬浮
维普资讯
第１ 期
佘龙华等 ： 磁悬 浮系统的 Ｈ Ｆ（ 自适应 控制研究 ＯＰ ｒ ￣
５ ５
物质量 ； 是控制电流； 是 电磁铁线圈的电阻 ； ， 尺 Ｕ
０ ２～ Ｒ一 一 ２
当 ｃ，＝０ 系统 中存在－Ｘ ＮＮ根 ， ３ １ ， － ￣ 且另外一
√ ＝，＝ ， ０ 。 Ｕ
０ １ ０
系统在这个奇点处的 Ｊｃｂ ｎ ａｏｉ 矩阵为 ａ
Ａ（ ， ）＝ ＫＰ ＫＤ
（ 个根是负实根 ．， ）±Ｏ（ ， ） ２ ） 一＝优（ 这对纯虚根是 ＫＤ Ｊ 鲤 ｄ Ｋｐ ＫＤ ．Ｋｐ Ｊ
处和它所对应 的近似线 性系统具有相 同的拓扑结 构， 因此系统（ ） １ 在该点附近也稳定 ． 当 ｃ． ＝０ ４ １ 处和 ｃ． ３ １＝０处分别存在两个分
是电磁铁 线圈两端 的电压； ｐ是 比例反馈 系数 ； Ｋ
Ｋ Ｄ是微分反馈系数 ． 其中 Ｋ Ｐ和Ｋ Ｄ是系统中可以调节的参数．
磁 悬 浮 系统 的 ＨＯＰ Ｆ分 岔 自适应 控 制 研 究
佘 龙华 柳贵东 施晓红
（ 国防科技大学机电工程与 自动化学院磁悬浮技术研究 中心 ， 长沙 ４０７ ） １０ ３
摘要
磁悬 浮固有系统是非线性的 ， 也是本质不稳定的 ， 稳定性设 计 比较复 杂 ， 别是在受 到较大 干扰 和 其 特
一
与悬浮对象的重量相平衡 ， 悬浮对象就能悬浮在空 中． 当然 ， 要使悬浮对象能稳定的悬浮 ， 还需要一个 高性能的悬浮控制器．
定程度上保证磁悬浮系统的稳定性… ． 但由于客
【国家自然科学基金】_极限环振动_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140729
科研热词 极限环 非线性振荡 自激振子 同宿解 同宿分岔 双曲函数l-p法 颤振抑制 非线性状态反馈控制器 间隙 薄翼 自激摆振 电动伺服机构 流线型箱梁 活塞理论 气动迟滞 气动弹性 极限环曲率系数 智能凝胶 无刷直流电机 改进多尺度法 振幅控制 振动与波 强非线性 大振幅 周期性调控 动态吸振器 分岔 优化设计 五次非线性 三轮汽车 washout滤波器 hopf分岔 bz反应 "8字环"
科研热词 推荐指数 颤振 4 极限环 3 非线性振动 2 稳定性 2 极限环振动 2 分岔 2 hopf分岔 2 驰振 1 风雨振 1 风荷载 1 频率 1 非线性颤振 1 非线性 1 闭轨分岔 1 轴向运动弦线 1 轮轨匹配 1 转向架 1 车轮打滑 1 超谐分岔 1 超临界 1 调速器 1 规范形 1 自激振动 1 自激扭转振动 1 索结构 1 等效锥度 1 空转检测 1 热效应 1 混沌响应 1 混沌 1 活塞理论 1 气动力 1 横向稳定性 1 机车 1 振幅 1 振动 1 平面二次多项式微分系统 1 平均法 1 壁板 1 地铁车辆 1 反馈控制 1 动力学 1 制动 1 伽辽金方法 1 传动系统 1 亚临界 1 二元机翼 1 临界速度 1 van der pol系统 1 poincare 截面 1 poincar(e)截面 1 lyapunov指数 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
2011年 科研热词 颤振 自激振动 稳定性 颤振分析 跨音速 规范形 舞动 自适应 翼梢小翼 粘弹壁板 粘-滑振动 液体晃动 流固耦合 活塞理论 气动弹性 模糊系统 柔性航天器 极限环 摩擦模型 振动 悬臂板 异宿轨 平衡点 干摩擦 姿态机动 四分裂输电线 同伦方法 动力特性 分叉 全局分岔 充液航天器 余维 伽辽金法 主动控制 中心流形 melnikov函数 galerkin离散法 c型机翼 推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Duffing系统的双参数分岔与全局特性分析
关于Duffing—van der Pol非线性振动系统的可视化分析
王 王 敏 丁 凡 ，
（ ． 岛理： 大学理学院 ；． １青 ［ ２ 青岛理工大学计算机科学学院 ， 山东 青 岛 ２６ ３ ） ６０ ３
摘要 ： 用 ＭＡ Ｌ Ｂ软件研究 了 Ｄ ｆｎ － ｖ ｎｄ ｒＰ ｌ 应 ＴＡ ｕ ｉｇ ａ ｅ ｏ 非线性 振 动系统 的数学 模 型。利 用该 图形用 户界 面 ， 以实 现 Ｄ ｆｎ － ｖ ｎｄｒＰ ｌ 可 ｕ ｉｇ ａ ｅ ｏ 振子数学模 型的初 始条件 没定 、 任意 参数组 合和几 何显 示 功率谱 图 、 相平面 轨 迹图 、ｏｎ ａ ６ Ｐ ｉｃ ｒ 映射 图、 位移变化 动态 模拟 图、 轨迹动态 图和质量块振 动模拟 图 ， 以直 观 、 相 可 快速 、 准确 、 形象 地研 究非线性振动 出现 的各种动力特征 ， 以全面实 现 Ｄ ｆｎ － ｖ ｎｄ ｒＰ ｌ 可 ｕｆ ｇ ａ ｅ ｏ 振动 系统的计 算机 可视化 实验 和 ｉ 研究 。
ＶＩ ＳＵＡＬＩ ＺＥＤ ＥＸＰＥＲ耵 ＥＮＴ ＴＯ ＲＥＡＬｌ ＺＥ ＤＵＦＦⅡ —ＶＡＮ Ｇ ＤＥＲ ＰＯＬ ＮＯＮ —ＬＩ ＮＥＡＲ ＢＲＡＴＩ ＶＩ ＯＮ ＹＳ Ｓ ＴＥＭ Ｗ ＡＮＧ Ｙｕ—ｍｉ ．ＤＩ ｎ ＮＧ ｎ Ｆａ
（ ． ｏ ｅｅｏ ｃｅｃ ｆ ｎｄ ｏＴｅ ｎ ｌｃ ｎｖｒｉ ．Ｑｉ ｄｏ２ ６ ３ ，Ｃ ｉａ２ Ｃ ｌｇ ｆ ｏ ｕｅ ｃ ｎｅ １ Ｃ ｕｇ ｆ ｉｎｅｏ ｇａ ｅｈ ｏｇ ａ Ｕ ｉｅ ｔ Ｓ Ｑｉ ｉ ｌ ｓｙ ｎ ａ ６ ０ ３ ｈｎ ；． ｏｌ ｅｏ ｍｐ ｔ ｓｉ ｃ ｇ ｅ Ｃ ｒ ｅ ｏ ｎｄｏＴｃ ｎｌｇ ａ Ｕ ｉｅｓｙ Ｑｎｄ ｏ ６ ０ ３， ｈｎ ） ｆ ｇａ ｅｈ ｏ ｉ ｌ ｎｖｒｉ ， ｉｇａ ６ ３ Ｃ ｉａ Ｑｉ ｏｃ ｔ ２
余维4的Duffing-Van der Pol方程全局分岔分析
ｃ ｄ ｍｅ ｓｏ ｅ ｅ．Ｔｈ ｔ ｏ ｓ ａ ｐ ｏ ｅ ｏ ｂ ｅ ｓｂ ｅ ｂ ｎ ｌｚｎ ｅ ｅ ａｉｅ ｏ ｉ ｎ ｉｎ４ ｒ ｎ — ｎ ｄ ｒＰｏ ｏ ｉ ｎ ｉｎ ｈ ｒ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｗａ ｐ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｆａ ｉ ｌ ｙ ａ ａ ｙ ｉ ｇ ａ ｇ ｎ ｒ ｌ ｄ ｃ ｄ ｍｅ ｓｏ ｚ Ｄｕ ｉ ｇ Ｖａ ｅ ｌ
Ｆｎ ｌ ｉ ａｌ ｙ，ｎ ｍ ｅ ｉａ ｉ ｕ ｒｃ ｌｓｍｕｌｔｏ ｅ ｉｉｄ ｔ ｅ ｃ ｒｅ ｔ ｅ ｓ ｏ ｈ ｈ ｏ ｅ ｔｃ ｌａ ａｙ ｉ ｅ ｕ ｔ． ａ ｉｎｓｖ ｒｆｅ ｈ ｏ ｒ ｃ ｎ ｓ ｆｔ ｅ ｔ ｅ ｒ ｃｉ ａ ｎ ｌ ｓｓｒ ｓ ｌｓ
际 系统 中复 杂 动力 学 行 为 发 展 ， 为 非 线 性 科 学 研 究 成 的热点 。在研 究 全 局 分 岔 问题 时 ， 目前 研 究 受 数 学 工
以及 利 用黎 曼流 形 和代 数 拓 扑 ”等工 具 的方 法 ， 参 可 见文献¨ 。Ｒ ｕｓｒ 将 Ｍｅ ｉｏ ｏ ｓａ ｅ ｉ ｌ ｋ ｖ函数 在 鞍 点 级 ｎ
ｅ ｕ ｔｏ ｑ ａ ｉｎ．Ｔｈ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗｅ ｈ ｔｔ ｅ ｅ ａ ｅ ｐｈ ｎｏ ｎ ｆｍｕ ｐｅ ｌｍｉ ｃ ｃｅ ｅ ｒ ｓ ｌ ｓ ｏ ｄ ｔ ａ ｈ ｒ ｒ ｅ ｍｅ ａ ｏ ｈｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｌ ｓ，ｓｎ ｌ ｉ ｔｃ ｃ ｅ ａ ｄ ｂ ｔｒ ｃ ｉ ｃ ｌｏ ｓ ｉ ｇｅ ｌ ｙ ｌ ｎ ｅ ｅ ｏ ｌ ｏ ｐ． ｍｉ ｎｉ
关键词 ：全局分岔 ； 维 ； ｈ ｋｖ函数 ； 余 Ｍｅ ｆ ｏ ｉ 异宿轨
中 图 分 类 号 ：０ ２ ； ４ ５ ６ ３２ Ｏ １ ． 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ｇｌ ｂ ｌｂ ｆ ｃ ｔｏ ｓ ｆ ｒ ａ ｇ ｎｅ ａ ｉ ｅ ｏ ｉ ｅ ｓｏ ４ Ｄｕｆｉ — ｎ ｄｅ ｌｅ ｕａ ｉ ｎ ｏ ａ ｉｕｒ ａ ｉ ｎ ｏ ｅ ｒ ｌｚ ｄ ｃ ｄ ｍ ｎ ｉ ｎ－ ｆ ｎｇ Ｖａ ｒ Ｐｏ ｑ ｔｏ
具有限时滞Van der pol方程Hopf分支的数值逼近
ｅ ｃ ｅ ｕ ｔ ｎ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｕ ｉｇ ｕｅ ｍｅｈ ｄ ｓ ｎ ｅ ｑ ａｉ ｏ ｔｉｅ ｙ ｓｎ Ｅ ｌｒ ｏ ｔｏ ｉ ｗｒｔ ｎ ａ ａ ｉｅ ｓ ｍａ Ａｃｏ ｉｇ ｏ ｔ ｅ ｈ ｏｉｓ ｆ ｂｆｒａｉｎ ｏ ｄｓｒｔ ｔ ｐ． ｃ ｄｎ ｔ ｈ ｔｅ ｒ ｏ ｉ ｃ ｔ ｆｒ ｉｃｅｅ ｅ ｕ ｏ
第 期
Байду номын сангаас
吕堂红 ，等 ：具有 限时滞 Ｖ ｎｄｒ 。方程 Ｈ ｐ分支 ａ ｅＰ１ 。ｆ
ｌ７ ０ （ ０） １
１ｔｙ） ｆ） （ －ｔ ｉ － （
Ｘ＿ Ａ ｘ ｉ — 十
）【 ３矗 （ ） ｔｒ ｂ）（ ｒ ＝ ） ｆ （ －） （ ｓ ） 一 （ ）ｆ ］ 一 一ｋ ｔ ｘ－
ｄ ｎ ｍ ｉａ ｙ ｔ ｍｓ ｔ ｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｔ ｇ ａ ａ ｔ ｅ ｈ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ Ｈｏ ｆ ｂ ｆ ｒ ａ ｉｎ ｏ ｕ ｒｃ ｌ ｐ ｒ ｘｍａ ｉ ｎ ａ ｅ ｉ ｅ ． ｙ ａ ｃ ｌ ｓｅ ｓ ， ｈ ｏ ｄｔ ｎ ｏ ｕ ｒ ｎ ｅ ｔ ｅ ｘ ｓ ｅ ｃ ｆ ｉ ｐ ｉ ｃ ｔ ｆ ｒ ｎ ｍｅ ｉａ ｕ ｏ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｒ ｇ ｖ ｎ ｏ
令 厂０＝一ｋ则 系 统 （ ） （） ， ２ 在平 衡点 Ｅ （，） 的 Ｏ处 ０ 线性 近 似系统 为 ：
（ ， 一ｚ ）一 ， ， － ） 。（—１
ｋ ｈ 。 （ １ ＋ｒ ｋ ｒ ｚ 一 ） Ｚ ”
ｌ ｒ ） 批 ） ） ｘ ＿１ （ （ ＋ ｔ
＝ 一 一
分支时，其数值逼近也在相应的参数 ｒ 处具有 Ｈｏ ｆ 支，并且 ｒ ＝ ＋ ） ｈ ｐ分 ｈ 矗 ．
关 键 词 ：Ｖａ ｅ ｏ 方程 ；欧 拉 方 法 ；Ｈｏ ｆ 支 ；数 值 逼 近 ｎ ｄｒｐ ｌ ｐ分
半导体激光器hopf分岔曲线
半导体激光器Hopf分岔曲线近年来，半导体激光器的研究逐渐成为了焦点。
其中，Hopf分岔曲线作为半导体激光器振荡模式转变的重要理论基础，吸引了众多学者的关注。
本文将会对半导体激光器Hopf分岔曲线的背景和相关理论进行介绍，并分析其在半导体激光器研究领域的应用。
一、Hopf分岔理论的发展1. Hopf分岔的概念在动力系统理论中，Hopf分岔是超临界分岔的一种特殊类型，用于描述系统中平衡点的稳定性变化和极限环的产生。
Hopf分岔可将系统从平衡状态转变成周期运动状态，具有重要的理论意义。
2. Hopf分岔的研究历程Hopf分岔理论最早由数学家Eberhard Hopf于1942年提出，并在后续的研究中得到不断深化和完善。
随着对非线性动力系统的研究，Hopf分岔理论逐渐被引入到各个领域，包括半导体激光器的研究中。
二、半导体激光器Hopf分岔曲线的特点1. 半导体激光器的基本结构半导体激光器是一种利用半导体材料发光原理制造的光源，其基本结构包括活性层、波导和反射镜等部分。
通过激发活性层，可以产生一束高度相干的激光光。
2. Hopf分岔对半导体激光器的影响在半导体激光器中，Hopf分岔曲线描述了激光振荡模式从连续振荡到间歇振荡的转变过程。
通过对Hopf分岔曲线的研究，可以深入理解半导体激光器的振荡特性和稳定性。
三、半导体激光器Hopf分岔曲线的研究进展1. 数值模拟方法通过建立适当的数学模型，可以对半导体激光器的Hopf分岔曲线进行数值模拟和分析。
数值模拟方法可以帮助研究人员深入理解系统的动力学特性，并预测Hopf分岔发生的条件和参数范围。
2. 实验验证和应用除了数值模拟，实验验证也是研究半导体激光器Hopf分岔曲线的重要手段。
通过实验观测半导体激光器的振荡模式转变，可以验证理论模型的准确性，并为实际工程应用提供支持。
四、半导体激光器Hopf分岔曲线的应用前景1. 光通信领域半导体激光器在光通信领域具有重要应用价值，而Hopf分岔曲线的研究可以帮助优化激光器的振荡特性和频率稳定性，提高光通信系统的信号传输质量和稳定性。
何谓hopf分岔
最近在做有关时滞微分方程的Hopf分岔的一些工作。
对Hopf分岔的认识还是不足，有几个问题还没搞明白，在这向大家请教一下。
1、发生Hopf分岔一定会发生稳定性变化？按Hopf分岔定理，只要实部对参数的导数不为零就满足Hopf分岔，那如果平衡点在参数没有经过分岔点时是稳定的，但实部对参数的导数在分岔点处是小于零的，意思就是说一对特征值到达分岔点后还是往下走，而不会穿过虚轴。
这样也满足Hopf分岔定理，但并没有发生稳定性变化。
2、对于实部对导数在分岔点处的值不等于零。
我觉得说得太含糊，有些文章只讨论大于零的情况，没讨论小于零的情况，按数学的理解，大于零也就是说关于参数是单调增加的，如果本来系统是稳定的，那么这时候随参数变化经过分岔点，那么稳定性是一定会发生变化的。
但如果本来系统是不稳定的，那这时候就不会穿过虚轴也就不会发生稳定性变化。
3、看过一些书有这样描述的：首先系统满足Hopf分岔定理，并且系统是稳定（不稳定）经过分岔点，变成不稳定（稳定），稳定（不稳定）周期解发生在不稳定的一侧。
这样说对不？这时候周期解的稳定性一定能确定吗？你说的第一点中“只要实部对参数的导数不为零就满足Hopf分岔”是不对的，这只是Hopf分岔定理的条件之一，发生Hopf 分岔最重要的条件是要求存在一对纯虚特征值，“实部对参数的导数不为零”成为横截条件，一般的非线性系统大都能满足。
对于非线性系统Hopf分岔的研究，一般需要解决如下三个方面的问题：（a）Hopf 分岔的存在性，即系统是否存在周期解，这是Hopf分岔研究中需要解决的基本问题。
目前，已有多种方法可作为Hopf 分岔存在性的判据；（b）Hopf 分岔的方向，即在参数的什么范围内出现分岔；（c）Hopf 分岔的稳定性，即如果存在周期解，其稳定性如何（超临界或亚临界）。
Hopf 分岔的方向及其稳定性的研究中，需要通过复杂的计算得到系统的横截系数和曲率系数（或称为Floquet指数）。
含有界随机参数的双势井Duffing-Van der pol系统的对称破裂分岔
含有界随机参数的双势井Duffing-Van der pol系统的对称
破裂分岔
孙晓娟;徐伟;马少娟;谢文贤
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2007(24)1
【摘要】讨论谐和激励作用下含有界随机参数的双势井Duffing-Van der pol系统的对称破裂分岔现象。
首先用Chebyshev多项式逼近法将随机系统化成与其等价的确定性系统,然后通过等价确定性系统来探索随机Duffing-Van der pol系统的对称破裂分岔现象。
数值模拟显示随机Duffing-Van der pol系统与确定性均值参数系统有着类似的对称破裂分岔行为,文中的主要数值结果表明Chebyshev多项式逼近法是研究非线性随机参数系统动力学问题的一种有效方法。
【总页数】4页(P93-96)
【关键词】Chebyshev多项式;Duffing-Van;der;pol系统;对称破裂分岔
【作者】孙晓娟;徐伟;马少娟;谢文贤
【作者单位】西北工业大学
【正文语种】中文
【中图分类】O324
【相关文献】
1.Duffing-van der Pol系统的随机分岔 [J], 李爽;徐伟;李瑞红
2.参激Duffing-Van der Pol系统的对称破裂现象 [J], 张天舒;丁双安
3.含有界随机参数的双势阱Duffing-van der Pol系统的倍周期分岔 [J], 孙晓娟;徐伟;马少娟
4.相关白噪声激励下双稳态Duffing-Van der Pol系统的随机分岔 [J], 刘坤峰;靳艳飞
5.多频激励下Duffing-van der Pol系统的两参数分岔分析 [J], 秦朝红;陈予恕因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Van der Pol-Duffing方程的非线性动力学分叉特性研究
Van der Pol-Duffing方程的非线性动力学分叉特性研究许磊;陆明万;曹庆杰
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2002(19)4
【摘要】应用平均法研究VanderPol Duffing方程的幅频响应特性 ,并通过奇异性理论分析其静态分叉现象。
进一步的动态分叉研究对系统参数空间进行了划分 ,发现在不同的参数区域内 ,系统相空间具有完全不同的拓扑特性 ,并应用胞映射方法分析了特定参数区域内的多吸引子共存现象。
【总页数】4页(P130-133)
【关键词】平均系统;分叉;吸引子;胞映射
【作者】许磊;陆明万;曹庆杰
【作者单位】清华大学;山东大学数学与系统科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175;O322
【相关文献】
1.Van der Pol-Duffing系统的非共振Hopf分叉 [J], 彭解华;唐驾时;于德介;李克安
2.强共振耦合Van der Pol-Duffing振子的动力学研究 [J], 李群宏;陆启韶
3.含外激励van der Pol-Mathieu方程的非线性动力学特性分析 [J], 黄建亮;王腾;陈树辉
4.耦合 Van der Pol-Duffing 振子的强共振分叉解 [J], 甘春标;陆启韶;黄克累
5.广义分数阶van der Pol-Duffing振子的动力学响应与隔振效果研究 [J], 唐建花;李向红;王敏;申永军;李壮壮
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于Hopf分岔的周期激励Van der Pol-Duffing震荡器出现混沌的解析预测
基于Hopf分岔的周期激励Van der Pol-Duffing震荡器出
现混沌的解析预测
冉立新
【期刊名称】《电路与系统学报》
【年(卷),期】1998(003)001
【摘要】无
【总页数】7页(P1-7)
【作者】冉立新
【作者单位】无
【正文语种】中文
【相关文献】
1.控制周期激励Van der Pol-Duffing振子的混沌 [J], 崔春霞;吴锋民
2.Van der Pol-Duffing系统共振双Hopf分岔 [J], 杨平
3.van der Pol-Duffing时滞系统的稳定性和Hopf分岔 [J], 徐鉴;陆启韶;王乘
4.含平方项和5次幂项的Van der Pol-Duffing系统混沌控制 [J], 张莉;彭建奎
5.一类van der Pol-Duffing系统的Hopf分岔控制 [J], 秦爽;张建刚;杜文举;俞建宁
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
非线性转子轴承系统hopf分叉点的计算
非线性转子轴承系统hopf分叉点的计算标题：计算Hopf分叉点的非线性转子轴承系统摘要：本文旨在探讨计算Hopf分叉点的非线性转子轴承系统。
首先，我们介绍了Hopf分叉点的定义和一般特征。
接下来，我们对对象进行了模型化，并分析了关键参数的影响。
此外，我们分析了应用前后的变化，并使用基于MATLAB的数值模拟方法进行了仿真测试。
最后，有关实验结果表明，快速、准确以及精确的Hopf分叉点可以通过本文提出的方法计算得到，为相关研究和应用提供了依据。
关键词：Hopf分叉点，非线性转子轴承系统，基于MATLAB的仿真，参数分析非线性转子轴承系统的Hopf分叉点非常重要，它可以确定系统的稳定性，并使机械设备更加可靠。
因此，将Hopf分叉点应用于对机构进行优化和控制具有重要意义。
首先，我们要确定Hopf分叉点，这是通过识别特征参数（如旋转速度、弹性参数等）来完成的。
然后，我们可以基于这些参数对系统进行控制，从而改善机械设备的性能。
此外，借助Hopf分叉点，我们可以对机构的参数进行微调，以获得最佳性能。
最后，Hopf分叉点还可以用于检测机构中的异常情况，并根据系统参数的变化采取相应的调整措施，以保持机械设备的稳定性。
Hopf分叉点的应用不仅限于机构设备的优化和控制。
它也可以用于重要系统的状态监测。
通过分析Hopf分叉点，我们可以确定系统的稳定性，并对可能出现的异常情况予以及时干预。
此外，Hopf分叉点还可用于提高系统的性能，监测关键参数的变化，并进行相应的调整，以提高工作效率。
此外，Hopf分叉点还可用于赋能高级控制，如智能控制和智能机器人控制。
最后，Hopf分叉点也可以用于模拟和仿真，为机构设备的设计、优化和控制提供依据。
综上所述，Hopf分叉点对于对机构设备进行优化和控制具有重要意义，它不仅可以确定系统稳定性，而且可以提高系统性能，增强智能控制，并且可以将Hopf分叉点应用于模拟和仿真，从而为机构设备的设计和优化提供重要依据。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
， 是椭圆函数的 模。 该轨道
（ 豇 一
在 ￡＝ ０的无扰 动情况 下 ， （ ） 为 ： 式 ２成
（ ＝ （ ， ｘ一 ，） Ｙ 一Ｇ ）
）（ ３ ）
（） ４
其中， ： Ｌ 兰 ｚ
这 是保 守 Ｄ ｆｎ ｕ ｇ系统 ， 哈密顿 函数 为 ： ｉ 其
＝ 十
２ １ ４ ￣Ｇ Ｈ／“
丢 扣 十
（ ５ ）
ＮＮ，Ｎ ７ ＝ Ｋ √— ｚ （ ） ￣ ４ （） １ ２ １ ／ －一 ｋ ｜ 是第一类完全椭 ｉ ｝
，
作 者参考 文献 ［ ］ ５ 的第 十 章 的《 氏椭 圆 函数 》 雅 理 论 ， 系统 （ ） 对 ４ 进行 了严格 求解 ， 主要结 果如 下 ：
√
式， 中
￣
ｃ
，
， ） ］
（） ７
（，） ［ ｌ （ ￡ ｘｙ ＝ ￣ 倜 ） ｒｒ ｏ０ ＿ｌ ｃ ｓ ， 一－－ｈ ） － （ ｓ ｎ 。ａ Ｔｔ 倜 ｅ
这 就是 同宿 轨道 的方程 。 （ｖ ｉ）Ｇ＜ ＜０ 方程 （ ） 实 数 解 。图 １ ｄ 是 ０， ， ４无 （） 这 四种 情形所 对应 的势 能 曲线 。
，） （ ０和
玎 ，） ０
是鞍点． 其相 轨道 如 图 １ ｂ 所 示． 中连 接 Ａ、 点 （） 图 Ｂ两
可用椭 圆 函数表示 为 ：
的为异宿轨道 ， 相应 的能量 为 Ｈ＝Ｇ／ ｛ ２ Ｉ 。Ｈ＜Ｇ／ ４ ２ ４ Ｉ 有围绕 中心 ０的闭轨 ， Ｇ ／ ｆ Ｉ Ｈ＞ ４ｌ 无实数解． 其
（ ＝ （ ，）＋６ １ ｙ ｔ ， ，） （ ｙ ｇ（ ， ， ）
１ Ｄ ｆｎ ｕｆ ｇ系 统 的 闭 轨 迹 及 相 应 的 势 能 曲 线 ｉ
Ｆ ｇ １ Ｃ ｏ ｅ ｔａ ｋ ｎ ｏｅ ｔ ｌｅ ｅ ｇ ｎ Ｄｕ ｉ ｇ ｓ ｓｅ ｉ ． ｌｓ ｒ ｃ ｓａ ｄ ｐ ｔｎ ｉ ｎ ｒｙ ｉ ｆ ｎ ｙ ｔ ｍ ａ
厂 （ Ｙ ｇ （ Ｙ ｔ ） ２ ，）＋ ２ ， ， ） 其中：
（ Ｙ ｇ（ Ｙ ＼ ，） 。 ， ） （ Ｙ ｇ（ Ｙ ／ ，） ： ，）
（） ２
，
ｙ
＝
一
√
［ √ ｃ／ ， ｎ 后 （： ） ， ｓ （： ｎ ： ） ／ ， （三 ｄ ） ， ， 三 】 、 ／
究¨ 。但仍有许多 问题值得研究 。本文用 Ｍ ｌ ｋｖ ｅｉ ｎｏ 函数 方 法 研 究 Ｄ ｆｎ—ａ ｅ ｏ 方 程 的 Ｈ ｐ 分 岔 ｕ ｇｖｉｄｒｐｌ ｉ ｆ ｌ ｏｆ
问题
—
—
１ 无扰动闭轨道 的精确解
我们所 选 用 的 Ｄ ｆｎ—ａ ｅ ｏ方 程 ， 非 线 性 ｕｆｇｖｎｄｒ ｌ ｉ ｐ 其
符五久
（ 东华理工大学 物理系 ， 江西 抚州 ３ ４０ ） ４０ ０
摘 要 ：将保守 Ｄｆｎ 系统作为未扰系统， ｕ ｇ ｉ ｆ 并对它分四种情形进行 了严格求解。用 Ｍ ｌｋｖ函数方法研究了 ｅｉ ｎｏ
Ｄ ｆｎ－ ａ ｅ ｏ 系统 的次谐分岔 ， ｕ ｇＶ ｎｄｒ ｌ ｉ ｆ ｐ 获得 了 Ｄ ｆｎ— ａ ｅ ｏ 系统的 Ｈｏｆ ｕｆ ｇＶ ｎｄｒ ｌ ｉ ｐ ｐ 分岔条 件。根据这些 条件 ， 在参 数空间 中确 定 了 Ｈ ｐ 分 岔曲线 。在分岔 曲线上取参数进行 了数值模拟 ， ｏｆ 所获得 的奇 、 阶 Ｈ ｐ 分岔与理论分 析的结果完全一致。 偶 ｏｆ
（） 当 Ｇ＞ ， ０时 ， ｉ ０ ＞ 系统 （ ） ４ 的不动 点 ０ （ ０ ０， ） 是 中心 ， 闭轨如 图 １ ａ 所 示 。该周 期 轨 道参 数 方 程 其 （）
圆积分 。
（ｉ 当 Ｇ＞ ， ０时 ， ｉ ） ０ ＜ 系统 （ ） 三个 不 动点 ， ４有 其
中 ｏ ｏ０ 是中 Ａ 一 （ ，） 心，（
振 第２ ９卷第 ７期
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＶＩ ＲＡ ＯＮ ＡＮＤ Ｓ Ｂ ＴＩ ＨＯＣ Ｋ
，・＋ －’ ●一一＋
一 ＋
”十
一＋ －
｛ 科研简报 ｝ ｋ
－ ＋ － ＋ 一 ＋ 一 ＋ ＋ “ ＋
Ｄｕｆ ｇＶａ ｅ ｏ 系统 的 Ｈｏ ｆ 岔 ｆ ｎ — ｎｄ ｒｐ ｌ ｉ ｐ分
闭轨方 程 为 ：
基 金 项 目 ：江 西 省 教 育厅 科 技 项 目 （ Ｊ０ ２ ５ ＧＪ９ ６ ）
收稿 日期 ：２０ ０ ２ 修改稿收到 日期 ：０ ９－ ７—１ ０ ９— ４— ２ ２０ ０ ３ 作 者 符五久 男 ， 教授，９ ６年生 １５
第 ７期
符五久 等 ：Ｄ ｆｎ —Ｖ ｎｄｒ ｏ 系统的 Ｈ ｐ 分 岔 ｕｆ ｇ ａ ｅ ｌ ｉ ｐ ｏｆ
部分 同时含 有 ｖｎｄｒ ｏ 系统 维持 自激振 动 的非 线 性 ａ ｅ ｌ ｐ 阻尼 项及 Ｄ ｆｎ ｕ ｇ系统 三次非 线性恢 复力项 ， ： ｉ ｆ 即
＋Ｇ ＋ ＋ （ １＋＊ ＝Ｅ￣ｓ ｔ （ ） Ｉ） ｘ ｆ ｏｗ １
（） ｄ
。
｜ ＼ 厂
／
、
式（ ） １ 可写成 二维 平面 系统形 式 ：
关 键 词 ：Ｄ ｆｎ —ａ ｅ ｏ 系 统 ； ｌ ｋｖ函数 方 法 ； ｏｆ 岔 ； ｃｂ 椭 圆 函 数 ｕ ｇＶ ｎｄｒ ｌ ｉ ｆ ｐ Ｍｅ ｉｏ ｎ Ｈｐ分 Ｊ ｏｉ ａ 中 图分 类 号 ：０ ４ ５７ 文 献标 识码 ：Ａ
Ｄ ｆｎ －ａ ｅ ｏ 方 程 大 量 存 在 于 力 学 与 工程 、 ｕ ｇｖｎ ｄ ｒ ｌ ｉ ｆ ｐ 激光 物理 、 化学 、 学 以及 生 命科 学 中 ， 个 典 型 的 非 声 是 线性 系统 ， 有 丰 富 的动 力 学 行 为 ， 为 人 们 广 泛 研 具 已