【备战2015】高考数学 热点题型和提分秘籍 专题06 函数的奇偶性与周期性 理(含解析)
专题06 函数的奇偶性与周期性 复习资料(解析版)
小正周期．
3．函数的对称性常见的结论
a＋b (1)函数 y＝f(x)关于 x＝ 对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
2
特殊：函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)； 函数 y＝f(x)关于 x＝0 对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)． (2)函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函数 y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称． [知识拓展]
数
f(x)就叫做奇函数
称
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，
那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最
综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数.
【解法小结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
高考数学复习考点知识与题型专题讲解6---函数的奇偶性、周期性与对称性
高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的奇偶性、周期性与对称性考试要求1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)．(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0.(×)(2)若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f (x )g (x )为奇函数．(×)(3)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈N *)也是函数的一个周期．(√)(4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称．(√)教材改编题1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x|D．y＝2－x答案B解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．2．若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝2－x，则f(2023)＝______.答案1 2解析∵f(x)的周期为2，∴f(2023)＝f(1)＝2－1＝1 2.3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一 函数的奇偶性命题点1判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0； (3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3， 即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋(－x)2＋1]＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．命题点2函数奇偶性的应用例2(1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(e x＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为()A．－2B．0C．2D．4答案C解析依题意，令g(x)＝x(e x＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋e x)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.答案1解析方法一(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f (1)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2＝2a －12，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.方法三(转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数，所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.教师备选1．已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )() A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数答案C解析由9－x 2≥0且|6－x |－6≠0，解得－3≤x ≤3且x ≠0，可得函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤3且x ≠0}，关于原点对称，所以f (x )＝9－x 2|6－x |－6＝9－x 26－x －6＝9－x 2－x， 又f (－x )＝9－(－x )2x ＝－9－x 2－x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数，但不是偶函数．2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________. 答案－1解析∵f (x )为奇函数且f (－1)＝g (－1)，∴f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1，∴g (－1)＝1，∴f (g (－1))＝f (1)＝－1.思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练1(1)(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则下列函数中为奇函数的是() A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案B解析f(x)＝1－x1＋x＝2－(x＋1)1＋x＝21＋x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f(x－1)＋1.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________.答案－1－2－x－2x＋1解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1.题型二函数的周期性例3(1)(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132等于() A ．－94B ．－14C.14D.94答案A解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－32 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94. (2)函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，且f (1)＝2，则f (2023)＝________.答案－2解析f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2023)＝f (3)＝－f (1)＝－2.教师备选若函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2023)＝________.答案－1解析当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练2(1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)等于() A．336B．338C．337D．339答案B解析因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝337×1＋1＝338.(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2021)＋f(2022)＝________.答案0解析∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2021)＋f(2022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2021)＋f(2022)＝0.题型三函数的对称性例4(1)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是________．(填序号)①f(x)的图象关于直线x＝2对称；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)的周期为4；④y＝f(x＋4)为偶函数．答案①③④解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故③正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确．(2)函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程为________．答案x＝1 2解析内层函数t＝|2x－1|的对称轴是x＝12，所以函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程是x ＝12.教师备选已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋1的图象关于点(0,1)对称，且f ′(1)＝4，则a －b ＝________. 答案－1解析因为f (x )关于点(0,1)对称，所以f (x )＋f (－x )＝2，故f (1)＋f (－1)＝2，即1－a ＋b ＋1＋(－1)－a －b ＋1＝2，解得a ＝0，所以f (x )＝x 3＋bx ＋1，又因为f ′(x )＝3x 2＋b ，所以f ′(1)＝3＋b ＝4，解得b ＝1，所以a －b ＝－1.思维升华 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题． 跟踪训练3(1)函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2025)＝________.答案1解析∵f (x )的周期为6，则f (2025)＝f (3)，又f (x ＋2)为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (3)＝f (1)＝1，∴f (2025)＝1.(2)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题，其中正确的是________．(填序号)①f (x )的图象关于y 轴对称；②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④f (x )的图象关于点(π，0)对称．答案②③④解析∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故①错误，②正确．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确．又f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋1sin (x ＋2π)＝sin x ＋1sin x ，f (－x )＝－sin x －1sin x ，∴f (x ＋2π)＝－f (－x )，∴f (x )的图象关于点(π，0)对称，故④正确．课时精练1．如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上()A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－5答案C解析因为奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称， 所以f (x )在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.2．若函数f (x )＝12x －1＋a 为奇函数，则a 的值为() A ．－2B ．－12C.12D ．2答案C解析方法一(定义法)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴12－x －1＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ， ∴2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12x －1＝1， ∴a ＝12.方法二(特值法)f (x )为奇函数，且x ≠0，∴f (－1)＝－f (1)，∴a －2＝－(a ＋1)，∴a ＝12.3．(2022·南昌模拟)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案B解析f(x)＝32x＋13x＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2021)等于()A．2B．0C．－2D．－4答案A解析依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2021)＝f(－3＋506×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2021)＝2.5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x答案D解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，为偶函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．6．(2022·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于()A．0B．－1C．－2D．2答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－a2＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.答案1 3解析因为f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则有(a－1)＋2a＝3a－1＝0，则a＝13，同时f(－x)＝f(x)，即ax2＋bx＋1＝a(－x)2＋b(－x)＋1，则有bx ＝0，必有b ＝0.则a ＋b ＝13.8．已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝12，则m ＝______. 答案12解析由f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x )的周期为4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， ∴14＋12m ＝12，∴m ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11．(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，则f (－2)等于()A ．－7B ．－3C ．3D ．7答案B解析设g (x )＝f (x )－2＝ax 5＋bx 3，则g (－x )＝－ax 5－bx 3＝－g (x )，即f (x )－2＝－f (－x )＋2，故f (－2)＝－f (2)＋4＝－3.12．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝2x ＋a ，则g (1)等于()A ．a ＋54B.54C.34D ．a ＋34答案C解析依题意⎩⎨⎧ f (1)＋g (1)＝2＋a ①f (－1)＋g (－1)＝12＋a ，②又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴②式可化为f (1)－g (1)＝12＋a ，③由①③可得g (1)＝34. 13．已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则下列结论正确的是________．(填序号)①f (x )的图象关于点(2,0)对称；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )的周期为4；④f (x )的周期为8.答案①④解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称，f (－x )＝f (x )，又∵f (x ＋2)是奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)，∴f (x )的图象关于(2,0)对称，又∵f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )为周期函数且周期为8.14．已知函数f (x )对任意实数x 满足f (－x )＋f (x )＝2，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝x ＋1有三个交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则y 1＋y 2＋y 3＝________.答案3解析因为f (－x )＋f (x )＝2，则f (x )的图象关于点(0,1)对称，又直线y ＝x ＋1也关于点(0,1)对称，因为y ＝f (x )与y ＝x ＋1有三个交点，则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，则y 1＋y 2＋y 3＝2＋1＝3.15．已知函数f (x )＝4x 4x ＋2，则f (x )＋f (1－x )＝____________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝________. 答案11011解析因为f (x )＝4x4x ＋2， 所以f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x 44x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x 4＋2·4x 4x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x＝2·4x ＋44＋2·4x ＝1，设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝m ，① 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＝m ，② ①＋②得2022＝2m ，即m ＝1011，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝1011. 16．(2022·北京西城区模拟)设函数f (x )的定义域为R .若存在常数T ，A (T >0，A >0)，使得对于任意x ∈R ，f (x ＋T )＝Af (x )成立，则称函数f (x )具有性质P .(1)判断函数y ＝x 和y ＝cos x 是否具有性质P ？(结论不要求证明)(2)若函数f (x )具有性质P ，且其对应的T ＝π，A ＝2.已知当x ∈(0，π]时，f (x )＝sin x ，求函数f (x )在区间[－π，0]上的最大值．解(1)因为函数y ＝x 是增函数，所以函数y ＝x 不具有性质P ，当A ＝1，T ＝2π时，函数y ＝cos x 对于任意x ∈R ， f (x ＋T )＝Af (x )成立，所以y ＝cos x 具有性质P .(2)设x ∈(－π，0]，则x ＋π∈(0，π]， 由题意得f (x ＋π)＝2f (x )＝sin(x ＋π)， 所以f (x )＝－12sin x ，x ∈(－π，0]，由f (－π＋π)＝2f (－π)，f (0＋π)＝2f (0)， 得f (－π)＝14f (π)＝0，所以当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－12sin x ，所以当x ＝－π2时，f (x )在[－π，0]上有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝12.。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中，研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点：（1）关于y轴对称，即函数的图像关于y轴对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点：（1）关于原点对称，即函数的图像关于原点对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称：如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x)，则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数：如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质：（1）在一个周期内，函数具有相同的性质和特点；（2）相邻两个周期之间的函数值关系相同；（3）周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中，我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
高考数学知识点精讲函数的奇偶性与周期性
高考数学知识点精讲函数的奇偶性与周期性高考数学知识点精讲：函数的奇偶性与周期性在高考数学中，函数的奇偶性与周期性是非常重要的知识点，理解并掌握它们对于解决函数相关问题具有关键作用。
接下来，咱们就一起来详细探讨一下这两个重要的概念。
一、函数的奇偶性1、奇函数如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。
比如说，常见的奇函数有 y ＝ sin x ，y ＝ x 等。
我们以 y ＝ x 为例来直观地理解一下奇函数的特点。
当 x 取某个值时，比如 x ＝ 3 ，那么 f(3) ＝ 3 ；而当 x 取－3 时，f(－3) ＝－3 ，也就是 f(－3) ＝ f(3) ，这就体现了奇函数的性质。
奇函数的图象关于原点对称。
这意味着，如果我们知道了函数在原点一侧的图象，就可以通过原点对称的方式得到另一侧的图象。
2、偶函数如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。
像 y ＝ cos x ，y ＝｜x| 等都是偶函数。
以 y ＝｜x| 为例，当 x ＝3 时，f(3) ＝ 3 ；当 x ＝－3 时，f(－3) ＝ 3 ，即 f(－3) ＝ f(3) ，这符合偶函数的定义。
偶函数的图象关于 y 轴对称。
同样，如果知道了函数在 y 轴一侧的图象，通过 y 轴对称就能得到另一侧的图象。
判断一个函数是奇函数还是偶函数，通常有以下几种方法：（1）定义法：就是根据奇函数和偶函数的定义，分别计算 f(x) 和f(x) 或者 f(x) ，看是否相等。
（2）图象法：通过观察函数的图象是否关于原点对称（奇函数）或者关于 y 轴对称（偶函数）来判断。
二、函数的周期性1、周期函数的定义对于函数 y ＝ f(x) ，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x) 都成立，那么就把函数 y ＝ f(x) 叫做周期函数，周期为 T 。
高考数学中的函数奇偶性与周期性总结
高考数学中的函数奇偶性与周期性总结在高考数学中，函数的奇偶性与周期性是一个重要的考点，掌握好这些概念对于解决数学问题有非常大的帮助。
在这篇文章中，我们将对函数奇偶性与周期性进行总结，并提供一些实例，以帮助读者更好地理解这些概念。
函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数值的对称性质。
如果函数在自变量取相反数的情况下，函数值不变，那么该函数为偶函数；如果函数在自变量取相反数的情况下，函数值变为相反数，那么该函数为奇函数；如果函数在自变量取相反数的情况下，函数值既不变也不变为相反数，那么该函数既不是偶函数也不是奇函数。
举个例子，我们来看一下函数$y=x^2$ 。
当自变量取相反数时，函数值不变，即 $y=(-x)^2=x^2$ ，因此它是偶函数。
再来看一下函数 $y=x^3$ ，当自变量取相反数时，函数值变为相反数，即$y=-x^3$ ，因此它是奇函数。
最后，我们来看一下函数$y=x^2+1$ ，当自变量取相反数时，函数值既不变也不变为相反数，因此它既不是偶函数也不是奇函数。
我们利用函数的奇偶性可以快速求出某些函数的积分、导数和方程的根。
例如，对于偶函数，它的图像在$y$ 轴上具有对称性，因此它在 $(-a,a)$ 内积分的值与 $(-a,a)$ 之外积分的值相等；对于奇函数，它的图像在原点具有对称性，因此在 $(-a,a)$ 内积分的值为 $0$ 。
类似地，对于偶函数，它在 $x=0$ 的导数为 $0$ ；对于奇函数，在 $x=0$ 的导数为非 $0$ 常数。
函数的周期性函数的周期性是指函数图像在一个固定的距离上重复出现。
一个具有周期 $T$ （$T$ 为正实数）的函数 $y=f(x)$ 满足$f(x+T)=f(x)$ ，即在自变量增加 $T$ 时，函数值不变。
我们分以下几种情况来讨论函数的周期性。
1. 正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数，它们的周期都是$2\pi$ 。
例如， $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 周期都是 $2\pi$ 。
高考数学 热点题型和提分秘籍 专题06 函数的奇偶性与
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题06 函数的奇偶性与周期性 理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 【热点题型】题型一 函数奇偶性的判定例1、(1)下列函数不具有奇偶性的有________． ①f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x； ②f (x )＝x 3－x ； ③f (x )＝x 2＋|x |－2； ④f (x )＝lg x 2＋lg 1x2；⑤f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x <0，－x 2＋x x >0(2)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】 (1)① (2)B 【解析】④定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)＝lg x2＋lg 1x2＝lg x2＋lg(x2)－1＝lg x2－lg x2＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．⑤【提分秘籍】(1)判定函数奇偶性的常用方法及思路：①定义法：②图象法：③性质法：a.“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；b．“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；c．“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．(2)判断函数奇偶性时应注意问题：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．②“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．【举一反三】设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.题型二函数的周期性例2、已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 014)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2【答案】 A【解析】【提分秘籍】函数周期性的判断要结合周期性的定义，还可以利用图象法及总结的几个结论，如f(x ＋a)＝－f(x)⇒T＝2a.【举一反三】函数f(x)＝lg|sin x|是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】C【解析】易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，关于原点对称，又f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg|sin x |是最小正周期为π的偶函数．题型三 函数奇偶性、周期性等性质的综合应用例3、设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.【答案】 2【提分秘籍】1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数值．(2)与函数图象有关的问题． (3)奇偶性、周期性单调性的综合． 2.应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性. 【举一反三】设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则下列命题：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中正确命题的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】【高考风向标】【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( )A ．y =．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】．【解析】记，则，，那么，，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知、、依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选．【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+【答案】A【解析】由选项可知，,B C 项均不是偶函数，故排除,B C ，,A D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A.【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +-+ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. （2014·福建卷） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)【答案】D【解析】（2014·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】C【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．【答案】(－1，3)【解析】根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－2，2)，若f(x－1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x<3.（2013·广东卷）定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2 sin x中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】函数y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．（2013·江苏卷）已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)（2013·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】A【解析】∵f ()x 为奇函数，∴f ()－1＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎪⎫12＋11＝－2.（2013·四川卷） 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．【答案】(－7，3)【解析】当x ＋2≥0时，f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4(x ＋2)＝x 2－4，由f(x ＋2)＜5，得x 2－4＜5，即x 2＜9，解得－3＜x ＜3，又x ＋2≥0，故－2≤x＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x ＋2)的图像关于直线x ＝－2对称，于是－7＜x ＜－2也满足不等式．【高考押题】1．函数f (x )＝lg 1－x2|x ＋3|－3是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【 答案】A 【解析】2．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【答案】C【解析】∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴对任意的x ∈R ，f (x )＝f (－x )恒成立． 即x 2＋(1－a )x －a ＝x 2－(1－a )x －a 恒成立， ∴1－a ＝－(1－a )，解得a ＝1.3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 【答案】A【解析】由题意，得|2x －1|＜13，∴－13＜2x －1＜12，∴13＜x ＜23.4．若函数f (x )、g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足于f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)＜f (3)＜g (0) B ．g (0)＜f (3)＜f (2) C ．f (2)＜g (0)＜f (3) D ．g (0)＜f (2)＜f (3) 【答案】D【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f x －g x ＝e x，－f x －g x ＝e －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝e x －e－x2，gx ＝－e x＋e－x2.故g (0)＝－1，f (x )为R 上的增函数，0＜f (2)＜f (3)，故g (0)＜f (2)＜f (3).5．若函数f (x )＝log a 2x －2log a x ，(a ＞0且a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)∪(1,2]B ．(0,1)∪(2，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(1，＋∞) 【答案】C 【解析】6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (1)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11) 【答案】D 【解析】7．设函数f (x )＝x ＋1x ＋ax为奇函数，则a ＝__________.【答案】－1【解析】∵f (x )为奇函数， ∴由f (－1)＝－f (1)，得a ＝－1.8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝__________.【答案】－19．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝f (x )．若方程f (x )＝0有2 009个实数解，则这2 009个实数解之和为__________．【答案】0【解析】∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．非零解成对出现，且互为相反数，另必有一解为0，故这2 009个实数解之和为0. 10．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＜0的解集． 【解析】11．设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，(1)证明：f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图像；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数，还是减函数；(4)求函数的值域．解析：(1)∵x∈[－3,3]，∴f(x)的定义域关于原点对称．f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )．即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－2 0≤x ≤3，x ＋12－2 －3≤x ≤0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像(如图)．12．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)， ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)方法一：要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 等价于f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立， 即f ′(x )＝2x －a x2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立， 故a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min ＝16.∴a 的取值范围是 (－∞，16]． 方法二：设2≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 12＋a x 1－x 22－ax 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f (x 1)－f (x 2)＜0恒成立． ∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立， 又∵x 1＋x 2＞4，x 1x 2＞4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)＞16. ∴a 的取值范围是(－∞，16]．。
高考数学中的奇偶性与周期性知识点总结
高考数学中的奇偶性与周期性知识点总结高考数学中，奇偶性与周期性是两个比较重要的知识点。
这两个知识点是数学中一些问题求解的基础，也是一些问题的关键所在。
在考试中，掌握好这两个知识点可以帮助我们更好地解决一些难题。
一、奇偶性奇偶性的概念是指数的性质，根据它是否为偶数或奇数来划分。
具体来说，若一个整数能被2整除，那么它就是偶数，否则就是奇数。
根据这个定义，我们可以得到以下几点结论：1. 奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数也等于偶数2. 奇数加偶数等于奇数，偶数加奇数也等于奇数3. 奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数基于这些结论，我们可以在解决一些复杂的问题时，通过奇偶性来进行归纳或推理，从而简化问题的求解过程。
二、周期性周期性是指某个函数或者一段数据具有重复的特性，它将在一定的时间或空间范围内不断的变化，但是在一定的间隔内会出现相同的数值。
周期性的应用非常广泛，下面列出一些常见的周期数：1. 正弦曲线的周期是2π，即sin(x+2π)=sin(x)2. 余弦曲线的周期也是2π，即cos(x+2π)=cos(x)3. tan(x)的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)4. 指数函数e的周期是2πi，即e^(x+2nπi)=e^x，其中n是任意整数通过这些周期数的关系，我们可以在求解复杂的数学问题时，通过对周期数的分析来推导答案。
例如，在求解正弦方程时，我们可以通过对周期2π的分析，将其转化为更加简单的问题，而得到更加简单的答案。
三、奇偶性与周期性的应用在解题时，常常会遇到一些既有奇偶性，又有周期性的问题，这时候我们就可以综合运用这两个知识点来解决。
以下是一些例题：1. 已知函数f(x)=sin(x)，求函数f(x+a)与f(x+2a)的奇偶性。
解：显然，f(x+a)=sin(x+a)，这个函数的奇偶性与sin(x)相同，即为奇函数。
而f(x+2a)=sin(x+2a)，这个函数的周期为2π，因此根据周期性的知识，我们可以将其转化为f(x)，即为偶函数。
高考数学中的函数的奇偶性与周期性总结
高考数学中的函数的奇偶性与周期性总结函数是数学中一个十分重要的概念，而在高考数学中，函数的奇偶性和周期性更是具有重要的意义。
本文旨在对高考数学中函数的奇偶性与周期性进行总结，帮助学生更好地掌握这一知识点。
奇偶性首先，我们来看函数的奇偶性。
一个函数的奇偶性指的是函数在定义域上是否满足一定的对称性质。
定义域上的对称性质可以分为两种：奇对称和偶对称。
如果对于定义域上任意一个实数$x$，函数$f(x)$满足$f(-x)=-f(x)$，则称该函数在定义域上是奇对称的。
如果对于定义域上任意一个实数$x$，函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，则称该函数在定义域上是偶对称的。
有些函数既不是奇对称也不是偶对称，这样的函数称为一般函数。
下面我们来看一些具体的例子。
1. 奇函数最简单的奇函数当属平凡函数$y=x$。
因为对于任意实数$x$，有$(-x)=-x$，因此$f(-x)=-(-x)=x=f(x)$，故平凡函数是奇函数。
另一个常见的奇函数是正弦函数$y=\sin{x}$。
由于$\sin{(-x)}=-\sin{x}$，所以正弦函数是奇函数。
2. 偶函数最简单的偶函数当属常量函数$y=c$。
由于对于任意实数$x$，有$(-x)=x$，因此$f(-x)=f(x)$，故常量函数是偶函数。
另一个常见的偶函数是余弦函数$y=\cos{x}$。
由于$\cos{(-x)}=\cos{x}$，所以余弦函数是偶函数。
3. 一般函数最简单的一般函数当属同学们都非常熟悉的二次函数$y=ax^2+bx+c$。
显然，一般函数既不是奇函数也不是偶函数。
那么，大家可能会问，为什么要研究奇偶性呢？因为当我们知道一个函数的奇偶性之后，就可以轻松地求出函数的对称轴，从而更好地画出函数图像、解决一些简单的函数方程等问题。
周期性接下来，我们来看函数的周期性。
一个函数的周期性指的是函数在其自变量上是否具有一定的重复性或周期性。
定义域上的周期性可以分为两种：正周期和负周期。
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1.函数的奇偶性奇偶性定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个偶函数x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个奇函数x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
2.函数的周期性1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。
2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论1) 如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2) 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)。
3) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。
4) 奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。
5) 运算性质：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“XXX”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇。
2.函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；2) 若f(x＋a)＝f(x)，则T＝2a；3) 若f(x＋a)＝－1/f(x)，则T＝2a.(a>0)3.函数对称性的三个常用结论1) 若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；2) 若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；3) 若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在数学中，函数可以根据其性质进行分类，其中包括奇偶性和周期性。
本文将介绍函数的奇偶性与周期性，并探讨它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性描述的是函数图像关于原点的对称性。
具体来说，如果对于函数f(x)，当x取正值时，有f(x) = f(-x)，即函数的值对称，那么该函数被称为偶函数。
相反，如果对于函数f(x)，当x取正值时，有f(x) = -f(-x)，即函数的值关于原点对称，那么该函数被称为奇函数。
1. 偶函数的特点偶函数的特点在于其图像关于y轴对称。
举个例子，y = x^2就是一个典型的偶函数。
当x取正值时，x^2的值保持不变。
2. 奇函数的特点奇函数的特点在于其图像关于原点对称。
比如，y = x^3就是一个典型的奇函数。
当x取正值时，x^3的值和其相反数互为相反数。
函数的奇偶性在数学中有广泛的应用。
例如，在解方程时，可以通过判断方程中的函数是偶函数还是奇函数，来确定方程的解的性质。
奇函数的图像通过原点，因此只要找到正解即可，而偶函数的图像关于y轴对称，因此需要找到两个解。
二、函数的周期性函数的周期性描述的是函数图像在一个周期内的重复性。
具体来说，如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T) =f(x)，那么该函数被称为周期函数，T被称为函数的周期。
1. 周期函数的特点周期函数的特点在于其图像在一个周期内重复出现。
一个常见的周期函数是正弦函数sin(x)。
对于任意的x，在一个周期2π内，sin(x)的值会不断重复。
周期函数在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如，在分析电流、振动等周期性现象时，可以使用周期函数来描述这些现象的规律。
函数的奇偶性与周期性是数学中重要的性质，通过研究函数的奇偶性与周期性，可以更深入地理解函数的行为规律。
同时，掌握函数的奇偶性与周期性也有助于解决实际问题，提高数学建模的能力。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述自然界和社会现象中的各种关系。
在数学中，函数的奇偶性和周期性是两个常见的性质，它们描述了函数图像的对称性和重复性。
本文将深入探讨函数的奇偶性和周期性，并说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标轴上的对称性质。
具体而言，对于定义域内的任意 x 值，如果函数 f(-x) = f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是偶函数；如果函数 f(-x) = -f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是奇函数。
以数学中常见的函数 y = x^2 和 y = x^3 为例，前者是偶函数，后者是奇函数。
通过将 x 值取负，我们可以验证它们的对称性。
对于偶函数 y = x^2，有 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)；对于奇函数 y = x^3，有 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
函数的奇偶性不仅仅是一种几何上的对称性，还可以对函数的性质进行推理和证明。
例如，奇函数与奇函数相加、相减或与偶函数相乘的结果仍然是奇函数；而偶函数与偶函数相加、相减或与奇函数相乘的结果仍然是偶函数。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在特定区间内的重复性质。
具体而言，如果存在一个正数 T，对于定义域内的所有 x，有 f(x + T) = f(x) 成立，那么函数就是周期函数，而 T 则是函数的周期。
常见的周期函数包括三角函数（如正弦函数和余弦函数）、指数函数和对数函数等。
例如，正弦函数具有周期2π，即sin(x + 2π) = sin(x)；指数函数 e^x 则是自变量连续取整数时的周期函数，即 e^(x + 1) = e^x。
周期函数在数学和物理中有广泛的应用。
例如，三角函数可以用来描述物体的振动、电流的变化和天体运动等。
周期函数的性质使得我们能够准确地描述和预测这些现象。
结语函数的奇偶性和周期性是数学中常见且重要的概念。
【备战】高考数学 热点题型和提分秘籍 专题06 函数的奇偶性与周期性 文(含解析)
专题06 函数的奇偶性与周期性【高频考点解读】从近几年的高考试题来看，函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点．主要是奇偶性与单调性的小综合，周期性的考查常以利用周期性求函数值，以选择题、填空题的形式出现，这部分知识对学生要求很高，属中低档题.1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 【热点题型】题型一 函数奇偶性的判定 例1、判断下列各函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg x 2＋lg 1x2；(2)f (x )＝(x －1)1＋x1－x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0－x 2＋x ，x >0；(4)f (x )＝－x2|x －2|－2.【提分秘籍】(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．【举一反三】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.【热点题型】题型二函数奇偶性的应用(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( ) A．－3 B．－1C．1 D．3(2)若函数f(x)＝xx ＋x－a为奇函数，则a＝( )A.12B.23C.34D．1(3)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－2)＜f(2)的x的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(0，2)C．(0,22) D．(2，＋∞)【举一反三】在本例(1)中的条件下，求f(x)在R上的解析式．【热点题型】题型三函数的周期性例3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．【提分秘籍】1．深化奇函数和偶函数的定义(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．在利用定义时，可应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．3．若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2a 的周期函数．4.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．【举一反三】已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2012)＋f (－2013)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【热点题型】题型四利用奇偶性破解函数的最值例4、设函数f(x)＝x＋2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.【提分秘籍】本题看似复杂，其实并不难，破解本题的关键就是把函数f(x)＝x＋2＋sin xx2＋1的解析式分解成1＋g(x)，其次利用奇函数的图象关于原点对称这一性质得出g(x)max＋g(x)min＝0，突出转化思想，问题得到圆满解决．【举一反三】已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.【高考风向标】1．（2014·重庆卷） 下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x－2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x2．（2014·安徽卷） 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝______．【答案】516 【解析】由题易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.3．（2014·广东卷） 下列函数为奇函数的是( ) A ．2x －12x B ．x 3sin xC ．2cos x ＋1D ．x 2＋2x4．（2014·湖北卷） 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}5．（2014·湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x【答案】A 【解析】由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对．6．（2014·湖南卷）若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．7．（2014·江苏卷）已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x30＋3x0)成立．试比较e a－1与a e－1的大小，并证明你的结论．8．（2014·全国卷）奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )A．－2 B．－1C．0 D．19．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．10．（2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ． |f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数11．（2014·四川卷） 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．【答案】1 【解析】由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.【随堂巩固】1．满足f (π＋x )＝－f (x )且为奇函数的函数f (x )可能是( ) A ．cos2x B ．sin x C ．sin x2D ．cos x2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．33．若函数f (x )＝ax ＋1x(a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，函数f (x )为奇函数D ．∃a ∈R ，函数f (x )为偶函数4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( ) A ．y ＝ln 1|x |B ．y ＝x 3C ．y ＝2|x |D ．y ＝cos x5．对于定义在R 上的任何奇函数，均有( ) A ．f (x )·f (－x )≤0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )＞0D ．f (x )－f (－x )＞06．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数7.定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x ＜0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0e －x，x ＜08．f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称9．若函数f (x )＝2x＋2－x与g (x )＝2x －2－x的定义域为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ． f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数10．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( ) A ．－12B ．－14C.14D.1211．设函数f (x )＝x (e x＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．12．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋3)·f (x )＝－1，f (－1)＝2，则f (2011)＝________.14．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3 x ，x ＝，－x 2－2x －x15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >00， x ＝0x 2＋mx x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．16．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．②当x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(0)＝0；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断函数f(x)的单调性．。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第三节函数的奇偶性与周期性 理
第三节 函数的奇偶性与周期性错误!知识梳理一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及简单性质.2.若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，反之，也成立．3．若奇函数f (x )的定义域包含0，则f (0)＝0.4．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式．在定义域关于原点对称的情况下， (1)若f (x )－f (－x )＝0或f x f －x＝1[f (－x )≠0]，则f (x )为偶函数； (2)若f (x )＋f (－x )＝0或f x f －x＝－1[f (－x )≠0]，则f (x )为奇函数． 5．设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇．二、函数的周期性1．周期函数定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使得f (x ＋T )＝f (x )恒成立，则f (x )叫做________，T 叫做这个函数的________．2．周期函数的性质：1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2. 了解函数的周期性3. 会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性(1)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈Z ，k ≠0)也是它的一个周期；(2)f (x ＋T )＝ f (x )常写作f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －T 2； (3)若f (x )的周期中，存在一个最小正数t 满足f (x ＋t )＝f (x )，则称t 为f (x )的最小正周期；(4)若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )(ω≠0)也是周期函数，且周期为T|ω|.基础自测1．(2013·北京西城区期末)下列函数中，既是偶函数又在 (0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝e |x |C ．y ＝－x 2＋3D ．y ＝cos x解析：y ＝－1x是奇函数，A 错误；y ＝e |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 正确；y ＝－x 2＋3是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 错误；y ＝cos x 是偶函数且在(0，＋∞)上有时递增，有时递减，D 错误．故选B.答案：B2．函数f (x )＝1x＋x 的图象关于( ) A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：可判断f (x )＝1x＋x 为奇函数，所以图象关于原点对称．故选C. 答案：C3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝( )A ．1B ．－1C ．－114 D.114答案：B4．若偶函数f (x )是以4为周期的函数，f (x )在区间[－6，－4]上是减函数，则f (x )在[0,2]上的单调性是________．解析：∵T ＝4，且在[－6，－4]上单调递减，∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称， 由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．答案：单调递增1．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ． |f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－ g (x )是奇函数解析：因为 g (x )是R 上的奇函数，所以|g (x )|是R 上的偶函数，从而f (x )＋|g (x )|是偶函数．故选A.答案：A2．(2013·山东卷)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.故选A.答案：A3．(2013·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以易知x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x 解不等式得到f (x )＞x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案： (－5,0)∪(5，＋∞)1．(2013·南京模拟)已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为( )A. 3 B ．3 C ．9 D.32解析：∵f (log 124)＝f (log 214)＝f (－2)＝－f (2)＝－a 2＝－3，∴a 2＝3，解得a ＝±3，又a ＞0，∴a ＝ 3.答案：A2．(2013·温州高三第一次质检)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝e x ＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．解析：依题意得f (0)＝0.当x ＞0时，f (x )＞e 0＋a ＝a ＋1.若函数f (x ) 在R 上是单调函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1.答案：－1。
函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳.docx
●高考明方向1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 .★备考知考情1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等．2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题．3.多以选择题、填空题的形式出现 .一、知识梳理《名师一号》 P18注意：研究函数奇偶性必须先求函数的定义域知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．2.一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．13.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称 .知识点二奇函数、偶函数的性质1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2.若 f(x)是奇函数，且在 x＝0处有定义，则 f (0) 0.3.若 f(x)为偶函数，则f ( x) f ( x) f (| x |) .《名师一号》 P19 问题探究问题1奇函数与偶函数的定义域有什么特点？(1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(2)判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(－x)＝－ f(x)、f(－ x)＝f(x)，而不能说存在x0使 f(－ x0)＝－ f(x0)、 f(－x0)＝ f(x0)．(补充 )1、若奇函数f ( x)的定义域包含0，则f (0)0 ．f (0) 0 是 f (x) 为奇函数的既不充分也不必要条件2．判断函数的奇偶性的方法（1）定义法：1)首先要研究函数的定义域，22) 其次要考虑f x与 f x的关系，也可以用定义的等价形式：f ( x ) f (x )0 （对数型函数用），f (x )1（指数型函数用）．f ( x)3)分段函数应分段讨论（2）图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断．（3）复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．注意：证明函数的奇偶性的方法只有定义法知识点三函数的周期性1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称非零常数 T 为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数 f ( x) a( x R) ；33. 几个重要的推论（ 1）《名师一号》 P19 问题探究问题 3若函数 f ( x) 恒满足 f ( xa)f (x) (a 0) ，则 f (x) 是周期函数， 2a 是它的一个周期；若函数 f ( x) 恒满足 f (xa)1 (a 0) ，f (x)则 f (x) 是周期函数， 2a 是它的一个周期；若函数 f ( x) 恒满足 f (xa)1 (a 0) ，f (x)则 f (x) 是周期函数，2a 是它的一个周期；( 补充 ) 若函数 f ( x) 恒满足 f ( x a) f ( x b) ，则 f (x) 是周期函数， a b 是它的一个周期；（ 2） ( 补充 ) 注意区分：若 f (ax) f (ax) （或 f ( x) f (2ax) ）则函数 f ( x) 关于 x a 对称。
掌握高考数学中的函数奇偶性与周期性判断技巧有哪些要点
掌握高考数学中的函数奇偶性与周期性判断技巧有哪些要点在高考数学中，对于函数的奇偶性与周期性的判断是非常重要的。
深入理解和掌握这些技巧，有助于我们解题更加高效准确。
本文将介绍一些判断函数奇偶性与周期性的要点，帮助同学们在高考中取得好成绩。
一、函数奇偶性的判断1. 定义法判断奇偶性：如果一个函数满足$f(x) = f(-x)$，则函数为偶函数；如果一个函数满足$f(x) = -f(-x)$，则函数为奇函数。
例如：$f(x) = x^2$是一个偶函数；$g(x) = x^3$是一个奇函数。
2. 图像法判断奇偶性：对于函数$f(x)$，通过绘制它的函数图像，可以观察函数图像的对称性。
如果函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果函数图像关于原点对称，则函数为奇函数。
例如：函数$y=x^4$关于y轴对称，因此是偶函数；函数$y=x^5$关于原点对称，因此是奇函数。
3. 利用导数性质判断奇偶性：若一个函数在定义域内可导，通过观察导数的奇偶性也可以判断函数的奇偶性。
若导数$f'(x)$为奇函数，则原函数$f(x)$为偶函数；若导数$f'(x)$为偶函数，则原函数$f(x)$为奇函数。
例如：函数$f(x) = \sin x$的导函数$f'(x)= \cos x$是奇函数，因此$f(x)$是偶函数。
二、函数周期性的判断1. 定义法判断周期性：若存在正数$T$，使得对于函数$f(x)$的任意$x$都有$f(x+T) =f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中$T$为函数的最小正周期。
例如：函数$f(x) = \sin x$是一个周期为$2\pi$的周期函数。
2. 图像法判断周期性：通过绘制函数的函数图像，可以观察函数图像的重复性。
若函数图像在某个区间内重复出现，则函数是周期函数，其周期可以通过观察重复的区间长度来确定。
例如：函数$f(x) = \cos(2x)$的函数图像在$[-\pi,\pi]$区间内重复出现，因此是一个周期为$\pi$的周期函数。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性在我们学习数学的旅程中，函数是一个非常重要的概念。
而函数的奇偶性和周期性，就像是函数世界中的两颗璀璨明珠，它们为我们理解和研究函数的性质提供了有力的工具。
首先，让我们来聊聊函数的奇偶性。
简单来说，奇偶性就是函数关于原点或者 y 轴的对称性质。
如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做偶函数。
这意味着偶函数的图像关于y 轴对称。
比如说，我们常见的二次函数 f(x) ＝ x²就是一个偶函数。
当 x 取某个值时，x对应的函数值和 x 对应的函数值是相等的。
想象一下它的图像，就像一个开口向上或者向下的抛物线，非常漂亮地对称于 y 轴。
相反，如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
一个典型的例子是 f(x) ＝ x³。
当 x 取某个值时，x 对应的函数值是 x 对应函数值的相反数。
想象一下这个图像，就像一个旋转了 180 度之后和原来重合的图形，原点就是它的对称中心。
那么，怎么判断一个函数是奇函数还是偶函数呢？这就需要我们通过函数的表达式来进行分析。
一般来说，我们会将 x 代入函数表达式中，然后看得到的结果是与 f(x) 相等还是与 f(x) 相等。
但有时候，函数的表达式可能会比较复杂，这时候就需要我们灵活运用一些数学方法和技巧来进行判断。
接下来，我们再说说函数的周期性。
周期性可以理解为函数在一定的区间内重复出现的性质。
如果存在一个非零常数 T，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期。
比如说，正弦函数 f(x) ＝ sin x 就是一个周期函数，它的周期是2π。
这意味着，每隔2π 的距离，函数的图像就会重复出现一次。
周期函数在我们的生活和科学研究中有着广泛的应用。
函数的奇偶性与周期性知识点总结
函数的奇偶性与周期性知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在学习函数的过程中，我们会遇到一些特殊的函数类型，包括奇函数、偶函数和周期函数。
本文将对这些函数类型的特点进行总结，并介绍函数的奇偶性和周期性的相关知识点。
一、奇函数和偶函数1. 奇函数：奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数以原点对称，图像在坐标系的左右两侧关于原点对称。
例如，f(x) = x^3 和 f(x) = sin(x) 都是奇函数。
2. 偶函数：偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数以y轴对称，图像在坐标系的左右两侧关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2 和 f(x) = cos(x) 都是偶函数。
二、奇偶性的性质1. 奇函数的性质：（1）奇函数的图像关于原点对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, -y）也在图像上。
（2）奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）奇函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数。
2. 偶函数的性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, y）也在图像上。
（2）偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）偶函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为偶函数。
三、周期函数周期函数是指在一定范围内，函数值呈现重复的规律性变化。
具体来说，对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)。
T称为函数的周期，一个周期内的函数值是相同的。
例如，f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 都是周期函数。
周期函数的性质：1. 周期函数的图像以某个区间为一个完整的重复单位。
2. 周期函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
3. 周期函数的一个重要性质是：周期函数与周期函数的乘积仍为周期函数。
高中数学函数的奇偶性与周期性
高中数学函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性和周期性是高中数学中一个非常重要的概念，也是解题中经常需要考虑的因素。
在这篇文章中，我将详细介绍函数的奇偶性和周期性，以及它们在解题中的应用。
首先，我们来看函数的奇偶性。
一个函数被称为奇函数，如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)成立；一个函数被称为偶函数，如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)成立。
简单来说，奇函数关于原点对称，而偶函数关于y轴对称。
奇函数和偶函数具有一些特殊的性质。
首先，奇函数和偶函数的图像都具有对称性，这一点可以通过将函数的图像沿着对称轴折叠来验证。
其次，奇函数和偶函数的性质可以用来简化函数的计算。
例如，对于奇函数，我们只需要计算正半轴上的函数值，然后利用对称性得到负半轴上的函数值。
同样地，对于偶函数，我们只需要计算一个半轴上的函数值，然后利用对称性得到另一个半轴上的函数值。
接下来，让我们来看函数的周期性。
一个函数被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。
简单来说，周期函数的图像在横轴方向上具有重复的模式。
周期函数有很多种形式，其中最简单的是正弦函数和余弦函数。
它们的周期都是2π，即f(x+2π)=f(x)。
这意味着，我们只需要计算一个周期内的函数值，就可以得到整个函数的图像。
例如，对于函数f(x)=sin(x)，我们只需要计算0≤x≤2π范围内的函数值，然后利用周期性得到其他范围内的函数值。
函数的奇偶性和周期性在解题中起着重要的作用。
让我们通过具体的例题来说明。
例题1：已知函数f(x)是一个奇函数，且f(π/2)=3，求f(3π/2)的值。
解析：由于f(x)是一个奇函数，我们知道f(-x)=-f(x)。
因此，f(π/2)=-f(-π/2)=-3。
又因为f(x)是奇函数，所以f(3π/2)=-f(-3π/2)=-(-3)=3。
因此，f(3π/2)的值为3。
例题2：已知函数f(x)是一个周期函数，且f(0)=2，f(π/3)=1，求f(11π/3)的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题六 函数的奇偶性与周期性【高频考点解读】从近几年的高考试题来看，函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点．主要是奇偶性与单调性的小综合，周期性的考查常以利用周期性求函数值，以选择题、填空题的形式出现，这部分知识对学生要求很高，属中低档题.1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 【热点题型】题型一 函数奇偶性的判定 例1、判断下列各函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg x 2＋lg 1x2；(2)f (x )＝(x －1)1＋x1－x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0－x 2＋x ，x >0；(4)f (x )＝lg 1－x 2|x －2|－2.(4)易知f (x )的定义域是(－1,0)∪(0,1)，∵f (x )＝－lg 1－x 2x，f (－x )＝－f (x )．【提分秘籍】(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． 【举一反三】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．【热点题型】题型二函数奇偶性的应用(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( ) A．－3 B．－1C．1 D．3(2)若函数f(x)＝x2x＋1 x－a为奇函数，则a＝( )A.12B.23C.34D．1(3)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－2)＜f(2)的x的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(0，2)C．(0,22) D．(2，＋∞)【提分秘籍】根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【举一反三】在本例(1)中的条件下，求f (x)在R 上的解析式． 解：当x ＞0时，－x ＜0， 又x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ， 又f (－x )＝－f (x )，即：－f (x )＝2x 2＋x ，∴f (x )＝－2x 2－x .综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0－2x 2－x ，x ＞0.【热点题型】题型三 函数的周期性例3、设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x －x 2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．【提分秘籍】1．深化奇函数和偶函数的定义(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．在利用定义时，可应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．3．若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x 或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2a 的周期函数． 4.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．【举一反三】已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2012)＋f (－2013)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【热点题型】题型四 利用奇偶性破解函数的最值例4、设函数f (x )＝ x ＋1 2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.【提分秘籍】本题看似复杂，其实并不难，破解本题的关键就是把函数f (x )＝ x ＋1 2＋sin xx 2＋1的解析式分解成1＋g (x )，其次利用奇函数的图象关于原点对称这一性质得出g (x )max ＋g (x )min ＝0，突出转化思想，问题得到圆满解决．【举一反三】已知y ＝f (x )是奇函数．若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.【高考风向标】1．（2014·福建卷） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)2．（2014·湖南卷）已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．C 【解析】因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， 所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.3．（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数， g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数3．C 【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.4．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．5．[2013·广东卷] 定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2 sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．12．C 【解析】函数y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．6．（2013·江苏卷）已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．7．（2013·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．A 【解析】∵f ()x 为奇函数，∴f ()－1＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎪⎫12＋11＝－2.8．（2013·四川卷） 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．【随堂巩固】1．满足f (π＋x )＝－f (x )且为奇函数的函数f (x )可能是( ) A ．cos2x B ．sin xC ．sin x2D ．cos x解析：选B.由f (π＋x )＝－f (x )，得f (2π＋x )＝f [π＋(π＋x )]＝－f (π＋x )＝－[－f (x )]＝f (x )，∴2π是奇函数f (x )的一个周期．∴只有sin x 满足此条件．2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A.∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－33．若函数f (x )＝ax ＋1x(a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，函数f (x )为奇函数D ．∃a ∈R ，函数f (x )为偶函数4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )A ．y ＝ln 1|x |B ．y ＝x 3C ．y ＝2|x |D ．y ＝cos x5．对于定义在R 上的任何奇函数，均有( )A ．f (x )·f (－x )≤0B ．f (x )－f (－x )≤0C ．f (x )·f (－x )＞0D ．f (x )－f (－x )＞0解析：选A.∵f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )·f (－x )＝－[f (x )]2≤0.6．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析：选A.由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数． 7.定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x ＜0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0e －x，x ＜08．f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称9．若函数f (x )＝2x ＋2－x 与g (x )＝2x －2－x的定义域为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ． f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数解析：选D.∵f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．又∵ g (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x)＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，故选D. 10．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( ) A ．－12 B ．－14C.14D.1211．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．12．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋3)·f (x )＝－1，f (－1)＝2，则f (2011)＝________.解析：由已知f (x ＋3)＝－1f x ， ∴f (x ＋6)＝－1f x ＋3＝f (x )，∴f (x )的周期为6.∴f (2011)＝f (335×6＋1)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.答案：－214．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3 x >0，0 x ＝0 ，－x 2－2x －3 x <0 .15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >00， x ＝0x 2＋mx x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.16．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．②当x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(0)＝0；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断函数f(x)的单调性．。