【课件】第8章-第8节 曲线与方程
第8节 函数与方程
索引
角度2 根据零点的范围求参数
【例 3】 (1)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，对任意的 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2
＋x)，且当 x∈[－2，0]时，f(x)＝12x－1，若关于 x 的方程 f(x)－loga(x＋2)＝
索引
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象 与 x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0)
零点个数
2
Δ＝0
(x1，0) 1
Δ<0
无交点 0
索引
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的 零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. 2. 由 函 数 y ＝ f(x)( 图 象 是 连 续 不 断 的 ) 在 闭 区 间 [a ， b] 上 有 零 点 不 一 定 能 推 出 f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充 分不必要条件.
B.(－2，1) D.(1，3)
索引
解析 当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，所以x＝－1(舍去正根)， 故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减， 又f(x)＝ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增， 则函数f(x)的图象如图所示.
B.3
C.4
D.5
解析 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2， 令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|. 作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示. 由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点.
曲线与方程 课件(人教版)
即xy11＝＝22yx.，
又因为 x12＋(y1－3)2＝9， 所以 4x2＋4(y－32)2＝9， 即 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)． [一点通] 求曲线的方程的常用方法及特点
动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关 直接法 系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式
就得到曲线的轨迹方程 动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再 定义法 确定其中的基本量
所以 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)．
法二：(定义法) 如图所示，因为 Q 是 OP 的中 点，所以∠OQC＝90°，则 Q 在以 OC 为直径的圆上，故 Q 点的轨迹方
程为 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)． 法三：(代入法) 设 P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，
得x＝x21， y＝y21，
则点M(2,1)
()
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：将M点的坐标代入直线l、曲线C的方程验证可知
点M在直线l上，也在曲线C上．
答案：B
4．如果曲线 ax2＋by2＝4 过 A(0，－2)，B(12， 3)，则 a＝ ________，b＝________. 解析：曲线过 A(0，－2)，B(12， 3)两点， ∴A(0，－2)，B(12， 3)的坐标就是方程的解．
[例1] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关 系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间 的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝ 0之间的关系． [思路点拨] 按照曲线的方程与方程的曲线的定义进 行分析．
曲线和方程一PPT课件
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课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所
列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的
折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方
⑵若 (x0 , y0 ) 是方程 y kx b 的解,则 M (x0 , y0 ) 是经过点 P (0, b) 和斜率为 k 的直线 l 上的一点.
继续
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课外练习3：
设圆M的方程为
, 直线
l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1)，那
么（C
）
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
两边开方取算术根，得：
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这 个圆上的一点.
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由(1)、(2)可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心，半径等于5的圆的方程.
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归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
y
f(x,y)=0
这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0
0
x
的曲线.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
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2.方程的曲线与曲线的方程的关系:
第八节 曲线与方程课件 理 新人教A版课件
[练一练]
(2013·中山模拟)平面上有三个点
A(－2，y)，B0，2y，C(x，y)，若
uuur AB
uuur ⊥ BC ，则动点 C 的轨迹方程为________．
uuur 解析：AB
＝2，－2y，uBuCur
＝x，2y，由
uuur AB
⊥
uuur BC
，得
(2)过点 D(0，－2)作直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，设 N 是过
点0，－147且平行于
x
轴的直线上一动点，满足
uuur ON
uuur uuur ＝OA＋OB
(O 为
原点)，问是否存在这样的直线 l，使得四边形 OANB 为矩形，若存在，
求出直线 l 的方程；若不存在说明理由．
若 l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|＝2 3. 若 l 的倾斜角不为 90°，由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则||QQMP||＝rR1，可求得 Q(－4,0)，所以可设 l：
y＝k(x＋4)．由 l 与圆 M 相切得
1|3＋k|k2＝1，解得
设 N(x0，y0)，由ON ＝OA＋OB得 y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)－4 ＝11＋6k42k2－4＝－147，即 N 点在直线 y＝－147上，
故存在四边形 OANB 为矩形，直线 l 的方程为 y＝±2x－2.
[类题通法] 代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征 是：点 P 的运动与点 Q 的运动相关，且点 Q 的运动有规律(有方程)， 只需将 P 的坐标转移到 Q 的方程中，整理即可得 P 的轨迹方程．
[针对训练]
已知 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点的椭圆经过 A，
第八章电化学分析法
二、电化学分析法的特点
（1）灵敏度、准确度高，选择性好 被测物质的最低量可以达到10-12mol/L数量级。 （2）电化学仪器装置较为简单，操作方便 直接得到电信号，易传递，尤其适合于化工生产中的自动控 制和在线分析。 （3）应用广泛 传统电化学：无机离子分析H+、F-、Cl-、K+； 有机电化学分析：蛋白质、氨基酸 药物分析：磺胺类药物含量分析 活体分析：肌苷含量、酶活性分析
1、直接电位法:电极电位与溶液中电活性物质活度有关，通 过测量溶液的电动势，根据能斯特方程计算被测物质的含量 如饮用水中氟离子含量测定 研制各种高灵敏度、高选择性的电极是电位分析法最活跃的 研究领域之一。目前应用最多、选择性最好的是膜电极
2、理论基础：能斯特方程（电极电位与溶液中待测离子间 的定量关系式）。
对于氧化还原体系： Ox + ne- = Red
O Ox/RedR nFTlnaaROedx
对于金属电极（还原态为金属，活度定为1）：
M On/MR nF TlnaMn
二、离子选择性电极种类、结构与原理 1、种类
离子选择性电极(又称膜电极)。
1976年IUPAC基于膜的特征，推荐将其分为以下几类： 重点使用 原电极（primary electrodes）
电池工作时，电流必须在电池内部和外 部流过，才能构成回路。
溶液中的电流：正、负离子的移动。
1、原电池
负极：发生氧 化反应的电极。
正极：发生还 原反应的电极。
电极电位较高 的为正极
电极电位较低 的为负极
电池总反应是 两个电极反应 的加合
2、电解电池
阳极：与直流 电源正极相连 的一段，发生 氧化反应。
电化学分析的学习参考资料
第八章-航空发动机数字模型PPT演示课件
环节相串联的框图。图中燃油泵作为一个
环节，输出量为供油量Wf，输入量为发
动机转速n（由于泵的转速与发动机转速
之比一定，故常用n来代表）及油泵调节
机构位置m。
带传动燃油泵的
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基本发动机框图
❖ 考虑燃油延误时的动态方程
在推导基本发动机动态方程时，假设（6）曾忽略了燃油室 内的燃烧过程的时间滞后。实际上，燃料供给和燃料吸热、 汽化、氧化、放热以及燃气温度上升到稳定值，这整个过程 是需要一定时间来完成的，通常把这段时间称为燃烧延误时 间，用т表示，т在0.05~0.2s范围内变化，其值一般由试验 测定。燃烧延误会影响发动机的动态特性，有时甚至会使发 动机控制系统的工作产生不稳定现象。因此，在对发动机的 动态特性作精确分析时应予考虑。
考虑燃烧延误和基本
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发动机结构图
线性模型的建立
❖ 上述基本发动机动态方程的推导方法，只适用于求取以供油
量作为输入，转速作为输出的动态方程。动态方程系数TT和KT 的估算不方便。在生产和科学研究实际中，动态参数的估算，
往往不是从发动机剩余扭矩偏导数进行计算，而是根据发动机
压气机特性、涡轮特性、设计点发动机热力参数，以及发动机
5
基本发动机简图
❖ 基本假设 由于发动机内部的气动热力过程比较复杂，为了简化发动
机数学模型的推导，特作以下假设。 （1）只考虑发动机转子惯性对发动机动态特性的影响，忽略 热惯性和部件通道容积动力学的影响； （2）只研究发动机在其稳态点附近的小偏离运动，并认为动 态过程部件效率及总压损失系数保持不变； （3）涡轮导向器及尾喷口都处于临界以上状态工作； （4）飞行条件不变; （5）燃油泵不由发动机带动； （6）忽略燃烧延误及燃气与空气流量的差别。
曲线与方程 课件(人教版)
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
注意点的坐标与点到坐标轴距离的区别
方程．
动点 P 到两坐标轴的距离相等，求 P 点的轨迹
[错解] 设P(x，y)，由条件知y＝x，∴P点的轨迹方程为x －y＝0.
第二章 圆锥曲线与方程
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[辨析] 点P到坐标轴的距离不一定就是点P的坐标，点 P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.
[正解] 设P(x，y)，由条件知|x|＝|y|，∴y2＝x2，即P点的 轨迹方程为x2－y2＝0.
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
2．根据曲线方程的意义，可以由两条曲线的方程，求出这 两条曲线的交点的坐标．
已知两条曲线 C1 和 C2 的方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分别为 F(x，y)＝0，G(x，y) ＝0，则交点的坐标必须满足上面的两个方程．反之，如果(x0， y0)是上面两个方程的公共解，则以(x0，y0)为坐标的点必定是两 条曲线的交点．因此，求两条曲线 C1 和 C2 的交点坐标，只要
第二章 圆锥曲线与方程
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方程的曲线 方程 x(x2＋y2－1)＝0 和 x2＋(x2＋y2－1)2＝0 所表 示的图形是( ) A．前后两者都是一条直线和一个圆 B．前后两者都是两点 C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点 D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆 [答案] C
高考数学 第八章第八节 抛物线课件 新A
∴(y1＋y2)·xy11－－yx22＝a，
∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.
答案：y2＝4x
1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线， 点F 叫做 抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
B．y2＝－8x D．y2＝－4x
()
解析：设抛物线方程为 y2＝2px(p<0)， 由抛物线定义知，|－p2＋3|＝5，解得 p＝－4， ∴抛物线方程为 y2＝－8x.
答案： B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于 ( )
图形
范围
y≥0，x∈R
x2＝－2py(p>0) y≤0，x∈R
对称轴 顶点坐标
焦点坐标
(0，p2)
y轴
原点O(0,0) (0，－p2)
准线方程 离心率 焦半径
y＝－p2
y＝p2 e＝1
|PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
考点一 抛物线的定义及应用
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离 之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
3．直线与抛物线的位置关系 (1)设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线Ax＋By＋C＝0，将
直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋ q＝0， ①若m≠0，当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点． ②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线 的对称轴平行．
微积分第八章
利用函数全增量的概念，连续定义可用另一种形式表述.
三、 二元函数的连续性
函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义， 当自变量x,y分别由x0变到x0+Δx，y0变到y0+Δy时， 函数z=f(x,y)有增量
f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0) 称其为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量，记 为Δz，即
P0(x0,y0)处连续.
如果函数z=f(x,y)在区域D内各点都连续，则称函数
z=f(x,y)在区域D内连续.
三、 二元函数的连续性
对于闭区域上的连续函数z=f(x,y)，则要求
函数z=f(x,y)在区域D内和边界上都连续.当点
P0(x0,y0)
D
中的P→P0是指P在区域D内所取的路线趋近于点
P0(x0,y0)，极限中满足0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ
图 8-7
一、多元函数的概念
定义域D就是曲面在xOy面上的投影区域. 例如，函数z=a2－x2－y2(a>0)的图形是球心在原点、 半径为a的上半球面(见图8-8).
图 8-8
二、 二元函数的极限
与一元函数情况类似，对于二元函数z=f(x,y)，我们 需要考察当自变量x,y无限趋近于常数x0,y0时，即当点 P(x,y)无限逼近于点P0(x0,y0)时，对应的函数值的变化趋 势，这就是二元函数的极限问题.
第8节 函数与方程--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第八节函数与方程课标解读考向预测1.理解函数的零点与方程解的联系，掌握函数的零点、方程的根、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.会用二分法求方程的近似解.从近三年高考情况来看，函数零点(方程的根)个数的判断、由零点存在定理判断零点(方程的根)是否存在、利用函数零点(方程的根)确定参数的取值范围等是考查的热点．本节内容也可与导数结合考查，难度较大．预计2025年高考函数与方程仍会出题，可能以选择题或填空题考查三种形式的灵活转化，也可能与导数结合考查，难度较大.必备知识——强基础1．函数的零点对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．2．方程的根与函数零点的关系方程f (x )＝0有实数解⇔函数y ＝f (x )有零点⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有公共点．3．函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有01f (a )f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，c 也就是方程f (x )＝0的解．4．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且02f (a )f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．求方程f (x )＝0的近似解就是求函数y ＝f (x )零点的近似值．函数零点的相关技巧：(1)若连续函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点．(2)连续不断的函数f (x )，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．(3)连续不断的函数f (x )通过零点时，函数值不一定变号．(4)连续不断的函数f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点，不一定能推出f (a )f (b )<0.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.()(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A必修第一册4.5.1例1改编)已知函数f(x)＝23x＋1＋a的零点为1，则实数a的值为()A．－2B．－12D．2C.12答案B(2)下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是()答案A解析根据题意，利用二分法求函数零点的条件是函数在零点的左、右两侧的函数值符号相反，即图象穿过x轴，据此分析，知选项A中的函数不能用二分法求零点．故选A. (3)(人教A必修第一册习题4.5T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为()x123456y126.115.15－3.9216.78－45.6－232.64A.2B．3C．4D．5解析由表可知，f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，所以函数f (x )在区间[1，6]上至少有3个零点．故选B.(4)若函数f (x )＝kx ＋1在[1，2]上有零点，则实数k 的取值范围是________．答案－1，－12考点探究——提素养考点一函数零点所在区间的判断例1(1)(2024·湖南长沙长郡中学高三月考)函数f (x )＝5－2x －lg (2x ＋1)的零点所在的区间是()A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)答案C解析因为函数f (x )＝5－2x －lg (2x ＋1)－12，＋，所以函数f (x )最多只有一个零点，因为f (0)f (1)＝5(3－lg 3)>0，f (1)f (2)＝(3－lg 3)(1－lg 5)>0，f (2)f (3)＝(1－lg 5)(－1－lg 7)<0，f (3)f (4)＝(－1－lg 7)×(－3－lg 9)>0，所以函数f (x )＝5－2x －lg (2x ＋1)的零点所在的区间是(2，3)．故选C.(2)用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：f (1.6000)≈0.200f (1.5875)≈0.133f (1.5750)≈0.067f (1.5625)≈0.003f (1.5562)≈－0.029f (1.5500)≈－0.060据此数据，可得方程3x －x －4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01)．答案 1.56(答案不唯一，在[1.5562，1.5625]上即可)解析注意到f (1.5562)≈－0.029和f (1.5625)≈0.003，显然f (1.5562)f (1.5625)＜0，又|1.5562－1.5625|＝0.0063<0.01，所以近似解可取1.56.【通性通法】确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【巩固迁移】1．(2023·广东梅州高三二模)用二分法求方程log 4x －12x＝0的近似解时，所取的第一个区间可A．(0，1)B．(1，2) C．(2，3)D．(3，4)答案B解析令f(x)＝log4x－12x，因为函数y＝log4x，y＝－12x在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－12x在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－12<0，f(2)＝log42－14＝12－14＝14>0，所以函数f(x)＝log4x－12x在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－12x＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B.2．已知2<a<3<b<4，函数y＝log a x与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．答案2解析依题意，x0为方程log a x＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝log a x＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log a2＋2－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>0，∴x0∈(2，3)，即n＝2.考点二函数零点个数的判断例2(1)已知函数f(x)2－4，x≤1，2(x－1)，x>1，则函数y＝f(x)零点的个数为________．答案2解析当x≤1时，由f(x)＝x2－4＝0，可得x＝2(舍去)或x＝－2；当x>1时，由f(x)＝log2(x －1)＝0，可得x＝2.综上所述，函数y＝f(x)零点的个数为2.(2)方程ln x＋cos x＝13在(0，1)上的实数根的个数为________．答案1解析解法一：ln x＋cos x＝13，即cos x－13＝－ln x，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝cos x－13和y＝－ln x的大致图象，如图所示，在(0，1)上两函数的图象只有一个交点，即方程ln x＋cos x＝13在(0，1)上的实数根的个数为1.解法二：令f(x)＝ln x＋cos x－13，则f′(x)＝1x－sin x，显然在(0，1)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，又ln 1e ＋cos 1e －13＝－1－13＋cos 1e <0，f (1)＝ln 1＋cos1－13＝0＋cos1－13>cos π3－13＝12－13>0，所以在(0，1)上函数f (x )的图象和x 轴有且只有一个交点，即方程ln x ＋cos x ＝13在(0，1)上的实数根的个数为1.【通性通法】求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点．(2)构造函数法：判断函数的性质，并结合零点存在定理判断．(3)图象法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．【巩固迁移】3．(2024·江苏无锡模拟)函数f (x )2－2，x ≤0，x －6＋lg x ，x >0的零点的个数为________．答案2解析当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，根据二次函数的性质可知，此时f (x )单调递减，零点为x ＝－2；当x >0时，f (x )＝2x －6＋lg x ，∵y ＝2x －6单调递增，y ＝lg x 单调递增，∴f (x )＝2x －6＋lg x 单调递增．f (1)＝－4<0，f (3)＝lg 3>0，由零点存在定理知，在区间(1，3)必有唯一零点．综上所述，函数f (x )的零点的个数为2.4．函数f (x )|－|log 2x |的零点有________个．答案2解析f (x )|－|log 2x ||＝|log 2x |的根的个数，即为y |与y ＝|log 2x |图象交点的个数，画出大致图象如图所示，则由图象可知交点有2个，即函数f (x )的零点有2个．考点三函数零点的应用(多考向探究)考向1利用零点比较大小例3已知函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为()A ．a <c <bB ．a <b <cC．b<a<c D．b<c<a答案A解析解法一：因为函数y＝3x，y＝x均为R上的增函数，故函数f(x)＝3x＋x为R上的增函数，因为f(－1)＝13－1<0，f(0)＝1>0，所以－1<a<0.因为函数y＝log2x，y＝x在(0，＋∞)上均为增函数，故函数g(x)＝log2x＋x在(0，＋∞)上为增函数，因为1＋12<0，g(1)＝1>0，所以12<b<1.由h(c)＝c(c2＋1)＝0可得c＝0，因此a<c<b.故选A.解法二：由题设，3a＝－a，log2b＝－b，c3＝－c，所以问题可转化为直线y＝－x与y＝3x，y＝log2x，y＝x3的图象的交点问题，函数图象如图所示，由图可知a<c＝0<b.故选A.【通性通法】(1)直接利用方程研究零点．(2)利用图象交点研究零点．(3)利用零点存在定理研究零点．【巩固迁移】5．(2023·江西南昌模拟预测)已知函数f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝e x＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．c<a<b答案C解析由已知条件得f(x)的零点可以看成y＝2x的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，g(x)的零点可以看成y＝e x的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝ln x 的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，在同一坐标系内分别画出函数y＝2x，y＝e x，y＝ln x，y＝4－x的图象，如图所示，由图可知b<a<c.故选C.考向2根据零点个数求参数例4(2023·山东济南高三三模)已知函数f (x )x ＋1)2，x ≤0，x |，x >0，若函数g (x )＝f (x )－b 有四个不同的零点，则实数b 的取值范围为()A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(0，1)D ．(1，＋∞)答案A解析依题意，函数g (x )＝f (x )－b 有四个不同的零点，即f (x )＝b 有四个解，转化为函数y ＝f (x )与y ＝b 的图象有四个交点，由函数y ＝f (x )可知，当x ∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y ∈[0，＋∞)；当x ∈(－1，0]时，函数单调递增，y ∈(0，1]；当x ∈(0，1)时，函数单调递减，y ∈(0，＋∞)；当x ∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y ∈[0，＋∞)．结合图象，可知实数b 的取值范围为(0，1]．故选A.【通性通法】根据零点个数求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y ＝a ，y ＝g (x )的图象的交点个数问题．【巩固迁移】6．(2024·安徽蚌埠高三摸底)已知函数f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，则实数a 的值为()A ．1B ．－1C ．0D ．－2答案B解析函数f (x )＝2|x |＋x 2＋a 的定义域为R ，f (－x )＝2|－x |＋(－x )2＋a ＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2＋a ，则f (x )在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则当x ＝0时，f (x )min ＝a ＋1，由函数f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，得a ＋1＝0，解得a ＝－1，所以实数a 的值为－1.故选B.7．设a ∈R ，对任意实数x ，记f (x )＝min{|x |－2，x 2－ax ＋3a －5}．若f (x )至少有3个零点，则实数a 的取值范围为________．答案[10，＋∞)解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a －5，h (x )＝|x |－2，由|x |－2＝0可得x ＝±2.要使得函数f (x )至少有3个零点，则函数g (x )至少有一个零点，则Δ＝a 2－12a ＋20≥0，解得a ≤2或a ≥10.①当a ＝2时，g (x )＝x 2－2x ＋1，作出函数g (x )，h (x )的图象如图所示，此时函数f (x )只有2个零点，不符合题意；②当a <2时，设函数g (x )的2个零点分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，要使得函数f (x )至少有3个零点，则x 2≤－2，－2，－2)＝4＋5a －5≥0，无解；③当a ＝10时，g (x )＝x 2－10x ＋25，作出函数g (x )，h (x )的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点个数为3，符合题意；④当a >10时，设函数g (x )的2个零点分别为x 3，x 4(x 3<x 4)，要使得函数f (x )至少有3个零点，则x 3≥2，，＝4＋a －5≥0，解得a >4，所以a >10.综上所述，实数a 的取值范围是[10，＋∞)．考向3根据零点范围求参数例5已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1，3]上有零点，则实数m 的取值范围为________．答案－53，解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x在区间(1，3]上单调递增，所以函数f (x )在(1，3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1，3]上有零点，，≥0，<0，＋53≥0，解得－53≤m <0.因此实数m 的取值范围是－53，【通性通法】根据零点范围求参数的方法(1)利用零点存在定理构建不等式(组)求解．(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题，从而构建不等式(组)求解．【巩固迁移】8．(2024·湖北荆州中学高三月考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案解析作出函数f (x )＝|x 2－2x ＋12|，x ∈[0，3)的图象，可见f (0)＝12，当x ＝1时，f (x )极大值＝12，方程f (x )－a ＝0在[－3，4]上有10个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 在[－3，4]上有10个交点，由于函数f (x )的周期为3，因此直线y ＝a 与函数f (x )＝|x 2－2x ＋12|，x ∈[0，3)的图象有4个交点，则有a课时作业一、单项选择题1．(2024·江苏扬中第二高级中学高三期初检测)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是()A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)答案B解析因为函数f (x )＝2x ＋3x 在定义域内单调递增，f (－1)＝12－3＝－52<0，f (0)＝1＋0＝1>0，所以由函数零点存在定理可知，函数f (x )的零点所在的区间为(－1，0)．故选B.2．已知函数f (x )x －1，x ≤1，＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为()A ．2B ．－2，0C.12D ．0答案D解析当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x＝12(舍去)．综上所述，函数f (x )的零点为0.故选D.3．函数f (x )＝e x |ln x |－1的零点个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析令f (x )＝e x |ln x |－1＝0，即|ln x |＝e －x ，则函数f (x )＝e x |ln x |－1的零点个数等价于两个函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |图象的交点个数，y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象如图所示，由图可知，两个函数的图象有2个交点，故函数f (x )＝e x |ln x |－1的零点个数是2.故选B.4．(2023·河南扶沟期末)若关于x 的方程log 12x ＝m1－m在区间m 的取值范围是()(1，＋∞)答案B解析y ＝log 12x，则1<y <2，即1<m 1－m<2，解得12<m <23.故选B.5．已知三个函数f (x )＝2x －1＋x －1，g (x )＝e x －1－1，h (x )＝log 2(x －1)＋x －1的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a答案D解析∵函数f (x )＝2x －1＋x －1为增函数，又f (0)＝2－1－1＝－12<0，f (1)＝1>0，∴a ∈(0，1)，由g (x )＝e x －1－1＝0，得x ＝1，即b ＝1，∵h (x )＝log 2(x －1)＋x －1在(1，＋∞)上单调递增，又log ＋32－1＝－12<0，h (2)＝log 2(2－1)＋2－1＝1>0，∴32<c <2，∴c >b >a .故选D.6．若方程m x －x －m ＝0(m >0，且m ≠1)有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是()A ．(0，1)B ．(2，＋∞)C ．(0，1)∪(2，＋∞)D ．(1，＋∞)答案D解析方程m x －x －m ＝0有两个不同的实数根等价于函数y ＝m x 与y ＝x ＋m 的图象有两个不同的交点，当m >1时，如图1所示，由图可知，当m >1时，函数y ＝m x 与y ＝x ＋m 的图象有两个不同的交点，满足题意；当0<m <1时，如图2所示，由图可知，当0<m <1时，函数y ＝m x 与y ＝x ＋m 的图象有且仅有一个交点，不满足题意．综上所述，实数m的取值范围为(1，＋∞)．故选D.7．已知函数f (x )x ，x ≤0，x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )＋x －m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是()A ．[0，1]B ．(－1，1)C ．[0，1)D ．(－∞，1]答案D解析由题意，函数f (x )x ，x ≤0，x ，x >0，当x ≤0时，函数f (x )＝e x 为增函数，其中f (0)＝1，当x >0时，函数f (x )＝ln x 为增函数，且f (1)＝0，又由函数g (x )＝f (x )＋x －m 恰有两个不同的零点，即为g (x )＝0有两个不等的实数根，即y ＝f (x )与y ＝－x ＋m 的图象有两个不同的交点，如图所示，当y ＝－x ＋m 恰好过点(1，0)，(0，1)时，两函数的图象有两个不同的交点，结合图象，要使得函数g (x )＝f (x )＋x －m 恰有两个不同的零点，实数m 的取值范围是(－∞，1]．故选D.8．已知函数f (x )x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是()A ．(1，10)B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)答案C解析函数f (x )的图象如图所示，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6∈(0，1)，所以ab＝1，0<－12c ＋6<1，所以ab ＝1，10<c <12，所以10<abc <12.故选C.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A ．函数y ＝x 2－3x －4的零点是(4，0)，(－1，0)B ．方程e x ＝3＋x 有两个解C ．函数y ＝3x ，y ＝log 3x 的图象关于直线y ＝x 对称D ．用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内的近似解的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间(1.25，1.5)上答案BCD解析对于A ，令y ＝x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4，所以函数y ＝x 2－3x －4的零点是－1和4，故A错误；对于B，分别作出y＝e x，y＝3＋x的图象，y＝e x与y＝3＋x的图象有两个交点，即方程e x＝3＋x有两个解，故B正确；对于C，因为同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x对称，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，故C正确；对于D，因为y＝3x＋3x－8单调递增，由零点存在定理知，因为f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以方程的根落在区间(1.25，1.5)上，故D正确．故选BCD.10．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是()A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3B．m>－14C．当m>0时，2<x1<x2<3D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3答案ABD解析对于A，易知当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0的根为2，3，故A正确；对于B，设y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6－14≥－14，因为y＝(x－2)(x－3)的图象与直线y＝m有两个交点，所以m>－14，故B正确；对于C，当m>0时，y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位长度得到，x1<2<3<x2，故C错误；对于D，由(x－2)(x－3)＝m 展开得，x2－5x＋6－m＝0，利用根与系数的关系求出x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，代入y＝(x－x1)(x－x2)＋m可得y＝(x－x1)(x－x2)＋m＝(x－2)(x－3)－m＋m＝(x－2)(x－3)，所以二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3，故D正确．故选ABD.11．已知函数f(x)x－1|，x<1，4x2＋16x－13，x≥1，函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是()A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3＋x4＝4D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3x4答案BCD解析令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝a图象的交点个数，故作出函数y ＝f (x )的图象如图，由图可知，若g (x )有3个不同的零点，则a 的取值范围是[1，2)∪{0}，故A 错误；若g (x )有4个不同的零点，则a 的取值范围是(0，1)，故B 正确；若g (x )有4个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，此时x 3，x 4关于直线x ＝2对称，所以x 3＋x 4＝4，故C 正确；由C 项可知x 3＝4－x 4，所以x 3x 4＝(4－x 4)x 4＝－x 24＋4x 4，由于g (x )有4个不同的零点，a 的取值范围是(0，1)，故0<－4x 24＋16x 4－13<1，所以134<－x 24＋4x 4<72，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．已知函数f (x )＝log 2(x －1)＋a 在区间(2，3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为________．答案(－1，0)解析由对数函数的性质，可得f (x )为增函数，又函数f (x )在(2，3)上有且仅有一个零点，所以f (2)f (3)<0，即a (a ＋1)<0，解得－1<a <0，所以实数a 的取值范围是(－1，0)．13．已知函数f (x )x －1|＋1，x >0，x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝f (x )－kx －1有m 个零点，函数y ＝f (x )－1k x－1有n 个零点，且m ＋n ＝7，则非零实数k 的取值范围是________．答案，13∪[3，＋∞)解析f (x )的图象与直线y ＝kx ＋1和y ＝1kx ＋1共7个交点，f (x )的图象如图所示，所以①k <3，3，解得0<k ≤13；0<1k <3，≥3，解得k ≥3.综上，非零实数k ，13∪[3，＋∞)．14．(2024·河北衡水中学高三月考)已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sinπx ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2，6]内所有零点的和为________．答案16解析令F (x )＝f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f (x )＝1＋1x －2与g (x )＝1－sinπx 的图象，如图所示，又f (x )，g (x )的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f (x )与g (x )的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F (x )＝f (x )－g (x )的零点，由对称性可得，所有零点的和为4×2×2＝16.15．已知函数f (x )＋1x ，x <0，x ，x >0，则方程f (f (x ))＋3＝0的解的个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析已知函数f (x )＋1x ，x <0，x ，x >0，∴令f (x )＝－3，则当x >0时，ln x ＝－3，解得x ＝1e 3；当x <0时，x ＋1x ＝－3，解得x ＝－3±52.∵f (f (x ))＋3＝0，即f (f (x ))＝－3，则f (x )＝1e 3或f (x )＝－3±52.由f (x )＝1e 3，得ln x ＝1e 3，此方程只有一个根，∵当x <0时，f (x )＝x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，∴f (x )＝－3＋52仅在x >0时有一个根，f (x )＝－3－52在x <0时有两个根，在x >0时有一个根．综上，方程f (f (x ))＋3＝0的解的个数为5.故选C.16．(多选)(2024·湖北荆州模拟)已知函数f (x )|log 12x |，0<x<4，4≤x ≤14，若方程f (x )＝m 有四个不等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则下列结论正确的是()A ．0<m <2B ．x 1x 2＝12C ．x 3x 4∈(48，55)D ．x 1x 3∈(1，5)答案ACD解析对于A ，当0<x <1时，log 12x >0，则f (x )＝log 12x ，易得f (x )在(0，1)上单调递减，且f (x )>f (1)＝0，当1≤x <4时，log 12x ≤0，则f (x )＝－log 1x ，易得f (x )在[1，4)上单调递增，且f (1)≤f (x )<f (4)，即0≤f (x )<2，当4≤x ≤14时，f (x )＝则由f (x )＝x ∈[4，14]的图象，可知f (x )在[4，8)上单调递减，在[8，14]上单调递增，且f (4)＝2，f (5)＝0，f (8)＝4，f (11)＝0，f (14)＝＝4，从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出f (x )的图象，如图所示，因为方程f (x )＝m 有四个不等实根，所以f (x )与y ＝m 的图象有四个交点，所以0<m <2，故A 正确；对于B ，结合A 项分析可得log 12x 1＝－log 12x 2，所以log 12(x 1x 2)＝0，则x 1x 2＝1，故B 错误；对于C ，D ，由正弦函数的性质及结合图象可知(x 3，m )与(x 4，m )关于直线x ＝8对称，所以x 3＋x 4＝16，又当0<x <1时，f (x )＝log 12x ，令f (x )＝2，得x ＝14，所以14<x 1<1，4<x 3<5，所以x 1x 3∈(1，5)，x3x 4＝x 3(16－x 3)＝－x 23＋16x 3＝－(x 3－8)2＋64，因为x 3∈(4，5)，所以x 3x 4∈(48，55)，故C ，D 正确．故选ACD.17．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x <0时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＋12＝0在[－2，6]内的所有根之和为________．答案12解析因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又函数y ＝f (x )在R 上为奇函数，且当－1≤x <0时，f (x )＝x 2，由此画出f (x )在区间[－2，6]上的图象如图所示．f (x )＋12＝0⇒f (x )＝－12，由图可知，y ＝－12与f (x )的图象有4个交点，其中两个关于直线x ＝1对称，两个关于直线x ＝5对称，所以方程f (x )＋12＝0在[－2，6]内的所有根之和为2×1＋2×5＝12.18．(2024·山东泰安高三期末)已知函数f (x )2(x ＋1)，x >3，x ＋3|，－9≤x ≤3，若x 1<x 2，x 1<x 3，且f (x 1)＝f (x 2)，f (x 1)＋f (x 3)＝4，则x 3x 1＋x 2的取值范围是________．答案－52，－12解析对于f (x )2(x ＋1)，x >3，＋3|，－9≤x ≤3，当x >3时，f (x )>2，当－9≤x ≤3时，0≤f (x )≤2，并且图象关于直线x ＝－3对称，函数f (x )的图象如下图所示，如果x 1>3，则f (x 1)＝f (x 2)不成立，∴x 1∈[－9，3]，x 2∈[－9，3]，并且有x 1＋x 2＝－6，0<f (x 1)≤2.由f (x 1)＋f (x 3)＝4可知，2≤f (x 3)<4，∴2≤log 2(x 3＋1)<4，3≤x 3<15.∴x 3x 1＋x 2＝－16x 3－52，－12.。
曲线和方程课件
例题中用到的求轨迹方程的方法通常叫做“代入法”
这类求轨迹方程的问题的特点是: 问题中一般含有两个（或两个以上）的相关联的 动点, 其中一个动点在已知曲线上运动, 所以 “代入法”又叫做相关点法.
例题讲解
例4：已知两点A 2，0和B(2,0),动点M与点
A及点B的连线的斜率之积等于1 ，求点M 3
的轨迹方程。
复习引入
• 曲线的方程和方程的曲线的定义 • 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线
C（看作适合某种条件下的点的集合或轨迹） 上的点与一个方程f(x,y)=0有以下的关系: • （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； • （2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线 上。那么，这个方程叫曲线的方程，这条 曲线叫做方程的曲线（图形）。
总结
求曲线的方程一般步骤 1.建立适当的坐标系（如果已给出, 本步骤省 2.设曲线上任意一点的坐标为(x.y)
3.根据曲线上所适合的条件, 写成等式 4.用坐标x.y表示这个等式（方程）, 并化简 5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点（在本教材中, 这一步不做要求）
例题讲解
例3：已知定点A（4，0）和曲线
新课讲授
平面解析几何研究的两个基本问题:
1.根据条件, 求出表示题讲解
例1：已知两定点A(1,0）和B(3,0) 求到点A和B的距离的平方和是16 的点的轨迹方程。
例题讲解
例2：动点M与距离为4的两个定点
A、B满足MA• MB 5,建立适当的 坐标系，求动点M的轨迹方程。
第八章 第8节 椭圆、双曲线的两个斜率积结论-解析版
第8节 椭圆、双曲线的两个斜率积结论知识与方法1．椭圆的第三定义：如图1所示，设椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 和B ，点P为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅=-=-.推广：如图2所示，A 、B 为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>上关于原点对称的任意两点，P 为椭圆C 上的动点且直线PA 、PB 的斜率均存在，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅=-=-2．椭圆中点弦结论：如图3所示，设AB 是椭圆2222:1x yC a b+=()0a b >>的任意一条不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则直线OM 与直线AB 的斜率之积2221OM AB b k k e a⋅=-=-.3．双曲线的第三定义：如图4所示，设A 、B 分别为双曲线2222:1x yC a b-=()0,0a b >>的左、右顶点，P 为双曲线上不同于A 、B 的任意一点，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅==-推广：如图5所示，设A 、B 为双曲线2222:1x yC a b-=()0,0a b >>上关于原点O 对称的任意两点，P 为双曲线C 上的动点，且PA 、PB 的斜率都存在，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅==-4．双曲线中点弦结论：如图6所示，设AB 是双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M 为AB 中点，则直线OM 与直线AB 的斜率之积2221OM AB b k k e a⋅==-.提醒：若是焦点在y 轴上的椭圆或双曲线，则上述四个斜率积的结果都要取倒数.典型例题【例1】设椭圆22:12x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的任意一点，则直线PA 、PB 的斜率之积为______.【解析】由题意，()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，02x ≠±220012x y +=，所以220012x y =-，所以20200022000011222222PA PBx y k k x x x x -⋅====---+-.【答案】12-变式1 设椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的左、右顶点分别为A 和B ，点P 为椭圆C 上一点且直线PA 、PB 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由题意，2112PA PB k k e ⋅=-=-，所以椭圆C 的离心率2e =.【答案】22变式2 设A 为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>上第一象限的一点，B 与A 关于原点对称，点P 在椭圆C 上且直线PA 、PB 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由题意，可设()11,A x y ，则()11,B x y --，且2211221x y a b+=，所以()222222111221x b y b x a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设()22,P x y ，则2222221x y a b +=，所以()222222222221x b y b x a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，从而()()22222221222222121212222221212121PA PBb b x a x a a a y y y y y y b k k x x x x x x x x a ⎡⎤-----⎢⎥-+-⎣⎦⋅=⋅===--+--， 由题意，2212b -=-，所以222a b =，从而22222a ac =-，故椭圆C 的离心率2c e a ==.2【反思】上面的求解过程其实就是椭圆第三定义推广结论的推导过程，熟悉了这一结论，小题中可直接根据21PA PB k k e ⋅=-求得离心率.变式3 椭圆22:12x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，点P 在C 上，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围是______.【解析】由椭圆第三定义，1212k k =-，所以2112k k =-，111111*********k k k ≤≤⇒≤≤⇒-≤-≤-，故2k 的取值范围是11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【答案】11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【反思】看到椭圆左、右顶点与椭圆上另外一点的连线，想到椭圆第三定义的斜率积结论.变式4 已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，若椭圆C 上存在不与A 、B 重合的点P ，使得120APB =∠︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______. 【解析】如图，不妨设P 在x 轴上方，120APB =∠︒，记PAB α∠=，PBA β∠=，则18060APB αβ+=︒-∠=︒，所以()tan tan tan 31tan tan αβαβαβ++==-从而)tan tan 31tan tan αβαβ+=-①，由椭圆第三定义，()2tan tan tan tan 1PA PB k k e απβαβ⋅=⋅-=-=-，所以2tan tan 1e αβ=-， 代入①可得2tan tan 3e αβ+=，显然α，β均为锐角， 所以tan 0α>，tan 0β>，223tan tan 2tan tan 21e e αβαβ=+≥- 当且仅当tan tan αβ=时取等号， 故42344e e ≥-，结合01e <<61e ≤<.【答案】6⎫⎪⎪⎣⎭【例2】不与坐标轴垂直且不过原点O 的直线l 与椭圆22:12x C y +=相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，则直线OM 与直线l 的斜率之积为______.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2222121202x x y y -+-=，整理得：1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以直线OM 与直线l 的斜率之积为12-. 【答案】12-【反思】上面的求解过程是用点差法推导中点弦结论，熟悉结论之后，小题中可直接根据21OM AB k k e ⋅=-求得结果.变式1 直线l 与椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>相交于A 、B 两点，O 为原点，M 为AB 的中点，若直线OM与直线l 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由中点弦结论，21212OM AB k k e e ⋅=-=-⇒=.2变式2 已知直线l 与椭圆22:12x C y +=相交于A 、B 两点，若AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l 的方程为______.【解析】由中点弦结论，12OM AB k k ⋅=-，又AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12OM k =，故1AB k =-，显然M 在直线l 上，所以直线l 的方程为()112y x -=--，化简得：2230x y +-=【答案】2230x y +-=变式3 （2013·新课标Ⅰ卷）已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为（ ）A.2214536x y +=B.2213627x y +=C.2212718x y +=D.221189x y += 【解析】如图，设AB 中点为M ，由中点弦结论，22AB OM b k k a⋅=-，由题意，1OM k =-，由图可知，()011312AB MFk k --===-，所以()22112b a⨯-=-，整理得：222a b =又椭圆E 的右焦点为()3,0F ，所以229a b -=，故218a =，29b =，从而椭圆E 的方程为221189x y +=【答案】D【反思】看到椭圆的弦中点，联想到中点弦斜率积结论22AB OMb k k a⋅=-【例3】设P 是左、右顶点分别为A 、B 的双曲线221x y -=上的一点，若直线PA 的倾斜角为23π，则直线PB 的倾斜角为（ ） A.6π B.34π C.56π D.1112π 【解析】由题意，()1,0A -，()1,0B ，设()00,P x y ，则22001x y -=，所以22001y x =-， 从而220000220000111111PA PBy y y x k k x x x x -⋅=⋅===+---， 直线PA 的倾斜角为22tan 333PA k ππ⇒==- 所以13PB PA k k ==，故直线PB 的倾斜角为56π. 【答案】C变式1 已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积为1，则该双曲线的离心率为______.【解析】由题意，可设()11,A x y ，()11,B x y --，()22,P x y ，则2211221x y a b-=，所以()222222111221x b y b x a a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，同理，()2222222b y x a a =-，从而()()()22222222222212121222b b b y y x a x a x x a a a-=---=-，故222212121222212121PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==-+-，由题意，1PA PB k k ⋅=，所以221b a=，故b a =，不妨设1a b ==，则2c =22变式2 （2015·新课标Ⅱ卷）已知A 、B 是双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） 5B.232【解析】解法1：设双曲线2222:1x y E a b -=()0,0a b >>，如图，不妨设P 在第一象限，过M 作MN x ⊥轴于N ，由题意，120ABM =∠︒，2AB BM a ==， 所以18060MBN ABM ∠=︒-∠=︒，从而cos60BN BM a =⋅︒=，sin 603AB BM a =⋅︒=，故M 点的坐标为()23a a ， 代入双曲线方程得：())2222321a a a b -=，化简得：22a b =，所以222a c a =-，故离心率2ce a==. 解法2：设双曲线2222:1x y E a b-=()0,0a b >>，由题意，120ABM =∠︒，30BAM BMA ∠=∠=︒，18060MBN ABM ∠=︒-∠=︒所以直线AM 和直线BM 33由双曲线第三定义，23311MA MB k k e ⋅===-，所以离心率2e【答案】D【例4】过点()1,2M 作斜率为12的直线与双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>相交于A 、B 两点，若M 点恰为弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为______.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：22221212220x x y y a b ---=， 整理得：2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=+-，即22122OM AB b k k a ⋅=⨯=，所以22a b =，从而222a c a =-，故2ce a ==. 2变式1 已知双曲线22:122x y C -=，过点()1,2M 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为______.【解析】设直线l 的斜率为k ，由中点弦结论，221OM b k k a ⋅==，又点M 的坐标为()2,1，所以12OM k =，故2k =，显然直线l 过点M ，所以直线l 的方程为()122y x -=-，化简得：23y x =- 【答案】23y x =-变式2 已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右焦点为()2,0F ，过点F 的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若AB 中点为()1,3M --，则双曲线C 的方程为______. 【解析】由中点弦结论，22303312OM ABb k k a--⋅=⨯==--，所以223b a =，又双曲线C 的右焦点为()2,0F ，所以224a b +=，从而21a =，23b =，故双曲线C 的方程为2213y x -=【答案】2213y x -=强化训练1.（★★★）过点()1,1M -作斜率为13的直线与椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>相交于A 、B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为______.【解析】用中点弦结论，21113AB OM k k e ⋅=-⨯=-，所以椭圆C 的离心率6e =.62.（★★★）已知椭圆22:162x y C +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的一点，若直线PA 的斜率的取值范围是[]1,2，则直线PB 的斜率的取值范围是______.【解析】设PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，由椭圆第三定义，1213k k =-，所以2113k k =-，由题意，112k ≤≤，所以11112k ≤≤，故1111336k -≤-≤-，即直线PB 的斜率的取值范围是11,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】11,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3.（★★★）已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的离心率为2，A 、B 为双曲线C 的左、右顶点，P 为C 上不与A 、B 重合的一点，若直线PA 的斜率的取值范围是[]2,3，则直线PB 的斜率的取值范围是______. 【解析】设PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，由双曲线第三定义，21213k k e =-=，所以213k k =， 由题意，123k ≤≤，所以13312k ≤≤，故直线PB 的斜率的取值范围是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）设P 是左、右顶点分别为A 、B 的双曲线2213y x -=上的一点，若直线PA 的斜率为1-，则直线PB 的斜率为______.【解析】由题意，1PA k =-，由双曲线第三定义，223PA PB b k k a⋅==，所以33PB PA k k ==-. 【答案】3-5.（★★★）设椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>上的A 和B 两点关于原点对称，点P 为椭圆C 上一点且直线PA 、PB 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由椭圆第三定义的推广结论，2114PA PB k k e ⋅=-=-，所以椭圆C 的离心率3e =36.（★★★）直线l 与椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>相交于A 、B 两点，O 为原点，M 为AB 的中点，若直线OM 与直线l 的斜率之积为13-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由中点弦结论，21613OM AB k k e e ⋅=-=-⇒=.67.（★★★）已知双曲线22:13x C y -=，过点()3,1M 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若M 恰好为AB的中点，则直线l 的方程为______.【解析】设直线l 的斜率为k ，由中点弦结论，2213OM b k k a ⋅==，又点M 的坐标为()3,1，所以13OM k =，故1k =，显然直线l 过点M ，所以直线l 的方程为13y x -=-，化简得：2y x =- 【答案】2y x =-8.（★★★★）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆C 上的动点，直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若12k k +的最小值为43，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由椭圆第三定义，21210k k e =-<，所以22121222121k k k k e e +≥=-=-当且仅当12k k =时取等号，结合120k k <知此时12k k =-，P 为椭圆短轴端点， 所以12k k +的最小值为221e -24213e -，解得：5e =59.（★★★★）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左右顶点分别为A 和B ，直线l 过点B 且与x 轴垂直，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，直线PA 与直线l 交于点M ，且OM PB ⊥，则椭圆C 的离心率为______.【解析】如图，不妨设P 在x 轴上方，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ， 由椭圆第三定义，2121k k e =-， 由图可知12tan 2tan 212OM MBMB MBk MOB MAB k OB ABAB =∠===∠=，因为OM PB ⊥，所以21OMk k ⋅=-，从而1221k k =-，即()2211e -=-，解得：2e .【答案】2210.（★★★）已知椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若AB 中点M 的坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆E 的方程为______.【解析】易求得12OM k =，12AB MF k k ==-，由中点弦结论，22OM AB b k k a ⋅=-，所以2214b a -=-，故224a b =，又椭圆E 的右焦点为()3,0F ，所以229a b -=，从而212a =，23b =，故椭圆E 的方程为221123x y +=.【答案】221123x y+=11.（★★★★）如下图所示，1A 、2A 为椭圆22195x y +=的左右顶点，O 为坐标原点，S 、Q 、T 为椭圆上不同于1A 、2A 的三点，且1QA 、2QA 、OS 、OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A.5B.35+C.9D.14【解析】解法1：125599QA QA OT OS k k k k ⋅=-⇒⋅=-，设直线OT 的斜率为k ，则OS 的斜率为59k-，联立225945y kx x y =⎧⎨+=⎩可求得224559x k =+，2224559k y k =+，所以()22245159k OT k +=+， 将k 替换成59k-整理可得：222812559k OS k +=+，从而()2222224518125145959k k OS OT k k +++=+=++. 解法2（极限位置分析法）：让点Q 无限接近1A ，此时S 无限接近1A ，T 无限接近椭圆的上顶点，所以22OS OT +无限接近9514+=，故选D.【答案】D12.（★★★★）如下图所示，直线l 交双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右支于M 、N 两点，交x 轴于点P ，M 在第一象限，N 在第四象限，O 为原点，直线MO 交双曲线C 的左支于点Q ，连接QN ，若60MPO ∠=︒，30MNQ ∠=︒，则双曲线C 的离心率为______.【解析】如图，过点Q 作x 轴的平行线交MN 于点T ，由题意，又60MPO ∠=︒，所以60MTQ ∠=︒，又30MNQ ∠=︒，所以30TQN ∠=︒，从而直线MN 和直线NQ 的斜率分别为3-3， 显然M 、Q 关于原点对称，由双曲线第三定义的推广，21MN NQ k k e ⋅=-，所以23131e ⎛-== ⎝⎭，故双曲线C 的离心率2e =213.（★★★★）如下图所示，1A 、2A 分别是椭圆22162x y +=的上、下顶点，点P 是椭圆上不与1A 、2A 重合的动点，点Q 满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥，则12PA A 与12QA A 的面积之比1212PA A QA A S S =_______.【解析】解法1：设直线1PA 的斜率为()0k k ≠，由椭圆第三定义的推广结论，1213PA PA k k ⋅=-，所以213PA k k=-，因为11QA PA ⊥，22QA PA ⊥，所以11QA k k=-，23QA k k =，显然(12A ，(20,2A -，所以直线1A Q 的方程为12y x k=-，直线2A Q 的方程为32y kx =，联立直线1A Q 和2A Q 的方程可解得：22k x =，所以点Q 的横坐标22Q kx =，直线1PA 的方程为2y kx =+，代入22162x y +=消去y 整理得：()2231620k x kx ++=，解得：0x =或26231k k -+，所以点P 的横坐标26231p kx k =-+，由图可知121222623132231PA A P QA A QkS k x Sx k k -+==+.解法2（特值法）：不妨取P 为椭圆右顶点，此时P 、Q 的位置如图所示，易求得12OA =，6OP =所以11tan 3OP OA P OA ∠==，从而160OA P ∠=︒，结合11QA PA ⊥可得130OAQ ∠=︒，故116tan OQ OA OAQ =⋅∠12123PA A QA A S OP S OQ==【答案】314.（★★★★）已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，圆()222:2D x y a a +-=与双曲线C 在第一象限的交点为P ，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若212k k -=，则双曲线C 的离心率为______.【解析】如图，记PAB α∠=，PBA β∠=，则1tan k α=，()2tan tan kπββ=-=-， 由题意，(),0A a -，(),0B a ，()0,D a ，所以ABD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，容易验证A 、B 两点都在圆D 上，所以124APB ADB π∠=∠=，从而tan 1APB ∠=，另一方面，()()tan tan tan tan tan 1tan tan APB αβπαβαβαβ+∠=--=-+=--，所以tan tan 11tan tan αβαβ+-=-①由双曲线第三定义，2121k k e =-，所以()2tan tan 1e αβ⋅-=-，从而2tan tan 1e αβ=-，又212k k -=，所以tan tan 2βα--=，故tan tan 2βα+=-，代入式①可得()22111e --=--，解得：2e =215．（★★★★）已知斜率为13-的直线l 与椭圆22197x y +=相交于不同的两点A 、B ，M 为y 轴上一点，且MA MB =，则点M 的纵坐标的取值范围是______.【解析】如图，设AB 中点为()00,N x y ，由中点弦结论，001739y x -⋅=-，所以0073y x =①，因为N 为AB 中点，所以点N 在椭圆内部，从而2200197x y +<将式①代入可解得：03232x < 因为M 在y 轴上，且MA MB =，所以点M 是AB 的中垂线与y 轴的交点，易求得AB 的中垂线的方程为()003y y x x -=- 即0033y x y x =+-，从而点M 的纵坐标003M y y x =-，将式①代入可得023M y x =-，因为0323244x -<<，所以2222M y <<.【答案】2222⎛ ⎝⎭。
人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第八章平面解析几何(选择性必修第一册)
人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第八章平面解析几何（选择性必修第一册）本节内容包括直线的定义、直线的斜率、直线的方程以及点斜式、两点式和截距式等三种直线方程的推导和应用。
重点介绍如何根据斜率和已知点确定直线方程，以及如何根据两点确定直线方程。
同时，还讲述了直线方程的性质和应用场景。
本节内容主要介绍直线与直线的位置关系，包括重合、平行和相交等情况。
通过线段之间的相交和角的关系，引入了重要的判定定理：两直线平行的充分必要条件、两直线垂直的充分必要条件等。
同时，还通过例题和题对知识点进行了巩固和拓展。
本节内容包括圆的定义、圆的标准方程以及一般方程的推导和应用。
重点介绍了如何根据圆心和半径确定圆的方程，以及如何根据已知条件确定圆的方程。
同时，还讲述了圆的方程的性质和应用场景。
将上述内容按照大纲进行扩写，使用简洁的语言描述，不进行内容总结。
本节内容包括圆的定义、圆的标准方程以及一般方程的推导和应用。
重点介绍了如何根据圆心和半径确定圆的方程，以及如何根据已知条件确定圆的方程。
同时，还讲述了圆的方程的性质和应用场景。
将上述内容按照大纲进行扩写，使用简洁的语言描述，不进行内容总结。
本节内容主要介绍直线与圆的位置关系，包括相切、相交和不相交等情况。
通过切线和弦的性质，引入了切线定理和割线定理等重要的判定定理。
同时，还通过例题和题对知识点进行了巩固和拓展。
本节内容主要介绍抛物线、椭圆和双曲线的方程。
通过给出焦点、准线和离心率等已知条件，讲述了如何确定二次曲线的方程。
同时，还讲述了二次曲线的性质和应用场景。
本节内容主要介绍抛物线、椭圆和双曲线的方程。
通过给出焦点、准线和离心率等已知条件，讲述了如何确定二次曲线的方程。
同时，还讲述了二次曲线的性质和应用场景。
曲线与方程 经典课件(最新)
高中数学课件
2．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的________，用有序实数对(x，y)表示曲线上________M 的坐标； (2)写出________的点 M 的集合：P＝{M|p(M)}； (3)用________表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为________形式； (5)说明以化简后的方程的______为坐标的________都在曲线上． 注意：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，另外，也可以根据 情况省略步骤(2)．
【解析】 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1，0)，半径 r1＝1，圆 N 的圆心为 N(1，0)， 半径 r2＝3.
设动圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 r. ∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切， ∴|PM|＋|PN|＝(r＋r1)＋(r2－r)＝r1＋r2＝4>|MN|＝2.
高中数学课件
高中数学课件
【反思·升华】 化简曲线方程时要注意等价性，每一步都需等价转化，对含有绝对 值的式子须进行分类讨论，且分类要彻底，最后再综合起来分析．
高中数学课件
[强化训练 1.1] 方程(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0 表示的曲线是( )
A．两条直线
B．两条射线
C．两条线段
D．一条直线和一条射线
图3
高中数学课件
【解析】 解法 1：设点 M 坐标为(x，y)． ∵M(x，y)为线段 AB 的中点， ∴点 A，B 的坐标分别为 A(2x，0)，B(0，2y)． ∵l1⊥l2，且 l1，l2 过点 P(2，4)， ∴kPA·kPB＝－1，即20x－－42·20y－－24＝－1(x≠1)， 化简得 x＋2y－5＝0(x≠1)． 当 x＝1 时，点 A，B 分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段 AB 的中点为(1，2)， 满足方程 x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)． 综上，点 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．
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高 考 体 验 · 明 考 情
F2(x， y)＝0， 则 C1、 C2 的交点坐标即为
典 例 探 究 · 提 知 能
实数解． 若此方程组 无解 ，则两曲线无交点．
课 时 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
②曲线 C 关于坐标原点对称； 1 2 ③若点 P 在曲线 C 上，则△F1PF2 的面积不大于 a . 2 其中，所有正确结论的序号是轮总复习理科数学 · （安徽专用）
【解析】
自 主 落 实 · 固 基 础
1 因为 S△F1PF2＝ |PF1|· |PF2|sin∠F1PF2 2 1 1 2 ≤ |PF1||PF2|≤ a . 2 2 1 2 ∴△F1PF2 的面积不大于 a ，③正确． 2 【答案】 ②③
菜 单 课 时 作 业
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考向 1
1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与 一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系：
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
(1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 ． (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 ． 那么 这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做 方程的曲线 ．
)
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典 例 探 究 · 提 知 能
【解析】
∴点 P 的轨迹是以线段 MN 为直径的圆．
【答案】 A
课 时 作 业
菜
单
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1 F4，0， 直线
自 主 落 实 · 固 基 础
3． 已知点
1 l： x＝－ ， 点 B 是 l 上的动点． 若 4
过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M， 则点 M 的轨迹是( A．双曲线 C．圆 ) B．椭圆 D．抛物线
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【解析】 由已知： |MF|＝|MB|， 根据抛物线的定义知， 点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线．
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菜
单
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2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上 任意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}；
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”， 错误的打“×”) (1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要 条件( ) )
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
(2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线(
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2 ＝y2( ) )
课 时 作 业
(4)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线(
菜 单
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【解析】 由曲线与方程的定义，知(2)、(3)、(4)不正确， 只有(1)正确．
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【答案】
(1)√
(2)×
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第八节
考纲传真
曲线与方程
高 考 体 验 · 明 考 情
1. 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关
系.2.理解数形结合的思想．
典 例 探 究 · 提 知 能 课 时 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0 ； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
课 时 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
3．曲线的交点 设曲线 C1 的方程为 F1(x，y)＝0，曲线 C2 的方程为
设动点 M(x，y)是曲线 C 上任意一点．
高 考 体 验 · 明 考 情
依题意， x＋12＋y2· x－12＋y2＝a2. ∵a＞1，故原点坐标不满足曲线 C 的方程，故①错误． 以－x，－y 分别代替曲线 C 的方程中的 x、y，其方程不 变，故曲线 C 关于原点对称，即②正确．
典 例 探 究 · 提 知 能
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
x2 2y2 x2 4y2 ∴ 2＋ 2 ＝1，即 2＋ 2 ＝1. a b a b
x2 4y2 ＋ ＝1 a2 b2
课 时 作 业
【答案】
菜
单
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5． (2011· 北京高考)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(－1,0) 和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a＞1)的点的轨迹．给出下 列三个结论： ①曲线 C 过坐标原点；
【答案】 D
课 时 作 业
菜
单
高三一轮总复习理科数学 · （安徽专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
x2 y2 4． 过椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线， a b 垂足为 N，则线段 MN 中点的轨迹方程是________．
【解析】 上，
设 MN 的中点 P(x，y)，则点 M(x,2y)在椭圆
(3)×
(4)×
课 时 作 业
菜
单
高三一轮总复习理科数学 · （安徽专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
2． (人教 A 版教材习题改编)若 M、 N 为两个定点， 且|MN| →· → ＝0，则 P 点的轨迹是( ＝6，动点 P 满足PM PN A．圆 C．双曲线 B．椭圆 D．抛物线
→· → ＝0，∴PM⊥PN. ∵PM PN