【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明 2.1.
18学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修1_2
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 观察如图所示的“三角数阵”
记第n(n>1)行的第2个数为an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角 数阵”的特征,完成下列各题: (1)第6行的6个数依次 为 、 、 、 、 、 ; (2)依次写出a2,a3,a4,a5; (3)归纳出an+1与an的关系式.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思归纳推理具有从特殊到一般,从具体到抽象的认知功能.在求 数列的通项或前n项和的问题中,经常用归纳推理得出关于前面有 限项的结论,此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一,以 便于寻找规律,归纳猜想.其具体步骤是: (1)通过条件求得数列中的前几项; (2)观察数列的前几项,寻求项的规律,猜测数列的通项公式.
)
解析:根据所给出的数塔的构成规律,经分析、比较,可猜测123 456×9+7的值是由7个1排成的正整数,故选B. 答案:B
2.合情推理
含 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后 义 提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理 过 程
平面图形 点 线 圆 三角形 角 边长 周长 面积 … 空间图形 线 面 球 四面体 二面角 面积 表面积 体积 …
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图所示,在△ABC中,射影定理可表示为 a=b· cos C+c· cos B,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边.类比上述定理, 写出对空间四面体性质的猜想.
2 3 1 2 2 3 2 3 2 3 1 2 1 2
= −1,2 015=671×3+2, = − 2.
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理优化练习新人教A版选修2-2(2
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2。
1.1 合情推理［课时作业］［A组基础巩固]1．下列推理是归纳推理的是（)A．A，B为定点，动点P满足|PA｜＋|PB｜＝2a＞｜AB｜,得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆错误!＋错误!＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.答案：B2．数列｛a n}：2，5,11,20，x，47，…中的x等于( ）A．28 B．32C．33 D．27解析：因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2，20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5,推知x＝32.故应选B.答案：B3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（）A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案：A4．观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，(cos x）′＝－sin x，由归纳推理可得:若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f(x）,记g(x）为f（x）的导函数，则g(－x）＝（）A．f(x) B．－f（x)C．g(x）D．－g(x)解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D。
2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件5 新人教B版选修2-2
类ห้องสมุดไป่ตู้推理
由两类对象具有某些类似特征和其 中一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理.
探究
试将平面上的圆与空间的球进行类比.
.
.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
球的定义：空间中到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
=641 6700417
四色猜想：“任何一张地图只用四种颜色 就能使具有共同边界的国家着上不同的颜 色。”也就是说在不引起混淆的情况下一 张地图只需四种颜色来标记就行。
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
具有发现的功能;
结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
n＝1时，a 1 ＝1 第1个圆环从1到3.
2
1
3
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时，a 1 ＝1 第1个圆环从1到3.
n＝2时，a 2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
2
1
3
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半 径的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
【配套K12】[学习](全国通用版)2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明章末复习学案 新
2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明章末复习学案 新](https://img.taocdn.com/s3/m/ea064eeb58f5f61fb636661c.png)
第二章推理与证明章末复习学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法； ②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法． 4．数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n ＝n 0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n ＝k 时结论成立，推得当n ＝k ＋1时结论也成立．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × ) 4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )类型一 合情推理与演绎推理 例1 (1)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 43n (n ＋1)解析 第一个等式中1＝3－12，2＝3＋12；第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12；第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12.由此可推得第n 个等式等于43×2n ＋1－12×2n ＋1＋12＝43n (n ＋1)．(2)根据图(1)的面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC＝________.考点 类此推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC解析 题干两图中，与△PAB ，△PA ′B ′相对应的是三棱锥P －ABC ，P －A ′B ′C ′；与△PA ′B ′两边PA ′，PB ′相对应的是三棱锥P －A ′B ′C ′的三条侧棱PA ′，PB ′，PC ′.与△PAB 的两条边PA ，PB 相对应的是三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC ＝PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC.(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 1和3解析 由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故甲的卡片上的数字是1和3.反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．跟踪训练1 (1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒．考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案13 3n＋1解析设第n个图形中火柴棒的根数为a n，可知a4＝13.通过观察得到递推关系式a n－a n－1＝3(n≥2，n∈N*)，所以a n＝3n＋1.(2)若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质“若S m＝S n(m，n∈N*且m≠n)，则S m ＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n}为等比数列时，写出一个正确的性质：________________.考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案数列{b n}为等比数列，T m表示其前m项的积，若T m＝T n(m，n∈N*，m≠n)，则T m＋n＝1 解析由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算．累加类比为累乘，由此，等差数列{a n}的性质类比到等比数列{b n}中为：数列{b n}为等比数列，T m表示其前m项的积，若T m＝T n(m，n∈N*，m≠n)，则T m＋n＝1.类型二综合法与分析法例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α. 考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明方法一分析法要证2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只需证4sin αcos α≤sin α1－cos α，∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 只需证4cos α≤11－cos α，∵1－cos α>0，∴4cos α(1－cos α)≤1， 可变形为4cos 2α－4cos α＋1≥0， 只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立． 方法二 综合法 ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0， ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α，∴2sin 2α≤sin α1－cos α.反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 设a ，b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题证明 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 即需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立． 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而由已知条件可知，a ≠b ，所以a －b ≠0，所以(a －b )2>0显然成立． 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 类型四 数学归纳法例4 已知在数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．考点 数学归纳法证明数列问题 题点 数学归纳法证明数列通项问题 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即当n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想均成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子 2＋3＋4＝9 第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1， 猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立， 即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 根据①②知，猜想对任意n ∈N *都成立.1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63D ．128考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1， 归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋y b＝1表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1D ．ax ＋by ＋cz ＝1考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 A解析 ∵在平面直角坐标系中，方程x a ＋y b＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ”．类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为x a ＋y b ＋zc＝1.故选A.3．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －a B.b 2a <2b －a C.b 2a≥2b －a D.b 2a≤2b －a 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 因为b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，所以b 2a≥2b －a .4．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A. 5．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 解 (1)当n ＝1时，左边＝12×1×(2×1＋2)＝18，右边＝14×(1＋1)＝18.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2] ＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1].所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *，等式都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．一、选择题1．证明命题：“f (x )＝e x＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f (x )＝e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝e x －1e x .因为x >0，所以e x >1,0<1e x <1.所以e x－1e x >0，即f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．以上都不是考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 A解析 这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A. 2．若a <b <0，则下列不等式中成立的是( ) A.1a <1bB ．a ＋1b >b ＋1aC ．b ＋1a>a ＋1bD.b a <b ＋1a ＋1考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 答案 C解析 取a ＝－2，b ＝－1，验证可知C 正确．3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为“正方形点数”，这是因为这些数量的点可以排成一个正方形，如图所示，则第n 个正方形点数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．(n ＋1)2D ．n 2考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 D解析 由题意可知第n 个正方形点数为n 2.4．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( )A．25 B．7C．6 D．8考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析由所给的数列规律知，第25项为7.5．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案 D解析由等差数列的性质a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5可知D正确．6．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案 C解析当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，即第一个能使2n>n2＋1成立的n值为5，故选C.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0考点综合法及应用题点综合法的应用答案 D解析因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，又因为a2＋b2＋c2≥0，所以2(ab＋bc＋ca)≤0，即ab＋bc＋ca≤0.8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 B解析 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号． 若a >63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61≤a ≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意； 若a ＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意； 若a ≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意． 综上可知，5号进入30秒跳绳决赛． 二、填空题9．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah 1＝3×12ar ⇒r ＝13h 1(其中a 是正三角形的边长，h 1是高，r 是内切圆半径)．类比，用等体积法，V ＝13Sh 2＝4×13R ·S ⇒R ＝14h 2(其中S 为底面正三角形的面积，h 2是高，R是内切球的半径)． 10．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 41解析 由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b，b ＝62－1＝35，a ＝6. ∴a ＋b ＝6＋35＝41.11．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．① 因为7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为________．② 而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③ ②与③矛盾，故p 为偶数． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用答案 a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 奇数 0解析 由假设p 为奇数可知，(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾． 三、解答题12．用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用证明 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg(ab )＝lg a ＋lg b2. (2)要证6＋10>23＋2， 只需证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， ∴原不等式成立．13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＞0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立． 四、探究与拓展14．设S ，V 分别表示表面积和体积，如△ABC 的面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示，对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形时，应该有：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有__________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝015．给出下列等式：1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，……(1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n (n ∈N *)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜想的等式． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明(1)解 第5个等式为1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， 第6个等式为1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)． 猜想第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·(1＋2＋3＋…＋n )．(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1＝1，左边＝右边，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k ＋1)－k 2＝(－1)k·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2，故当n ＝k ＋1时，猜想也成立由①②可知，对于任意n ∈N *，猜想均成立．。
2018版高中数学第2章推理与证明2.1.3推理案例赏析课件
跟踪训练2 如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当F→B⊥A→B时，其 离心率为 5－1 ，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可
2 5＋1
推算出“黄金双曲线”的离心率e＝____2____.
解析 由题意，得b2＋c2＋c2＝(c＋a)2，
即c2－ac－a2＝0，
所以e2－e－1＝0，
第2章 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.3 推理案例赏析
学习目标
1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推 理的作用，特点以及两者之间的联系. 2.掌握合情推理和演绎推理研究某些数学问题的思路与方法，提高分 析问题、探究问题的能力.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
跟踪训练1 下列图形中线段有规则地排列，猜出第n个图形中线段的条 数为_2_n_＋_1_－__3_.
解析 第1个图只有一条线段，第2个图比第1个图增加4条线段，即线段上 的端点上各增加2条，第3个图比第2个图增加8条线段，第4个图比第3个图 增加2×8＝24(条)线段， 则第n个图形中线段的条数为1＋22＋23＋24＋…＋2n＝21－2n －1
知识点一 合情推理与演绎推理的区别与联系
合情推理
演绎推理
根据已有的事实和正确的结 _根__据__已__有__的__事__实__和__正__确__的___
论(包括实验和实践的结果)， _结__论__(_包__括__定__义__、__公__理__、__定__ 定义
以及个人的经验和直觉等推 _理__等__)_，__按__照__严__格__的__逻__辑__法__
2n＋1 解 由例 1 知，an＝n2＋1，
故 bn＝2nn2＋＋11－n2＋1 1＝n22＋n 1＝n＋2 n1≤1(当且仅当 n＝1 时等号成立).
2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教A版选修1_22017071
2.1.1 合情推理1．了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点、易混点) 2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点) 3．了解合情推理在数学发现中的作用．[基础·初探]教材整理 1 归纳推理和类比推理阅读教材 P 22～P 26“例 4”以上内容，完成下列问题.定义特征归纳 推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理， 或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理是由部分到整 体、由个别到一般的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对类比 类比推理是由特殊到特 象的某些已知特征，推出另一类对象也具有 推理 殊的推理这些特征的推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是 180°×(3－2)，四边形的内角和是 180°×(4－2)，…，所以n 边形的内角和是 180°×(n －2)，使用的是类比推理．( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) (3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )【解析】 (1)错误．它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理． (2)错误．类比推理不一定正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2合情推理阅读教材P27～P29的内容，完成下列问题．1．含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．合情推理的过程从具体问观察、分析、→→→题出发比较、联想归纳、类比提出猜想类比a(b＋c)＝ab＋ac，则下列结论正确的是()A．log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．a x＋y＝a x＋a yD．a·(b＋c)＝a·b＋a·c【解析】由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时，才能用类比推理，而A、B、C中的两对象没有相似特征，故不适合应用类比推理．【答案】 D[小组合作型]归纳推理1(1)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝－，则a2 017等于()a n＋11A．2B．－2C．－2 D．1(2)根据图211中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：81092010】图2111【解析】(1)a1＝1，a2＝－，a3＝－2，a4＝1，…，数列{a n}是周期为3的数列，2 017＝2672×3＋1，∴a2 017＝a1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】(1)D(2)5091．由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．2．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：续表[再练一题]1．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图212的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()图212A．26B．31C．32D．36(2)把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图213)，试求第六个三角形数是________．图213【解析】(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 …个数 6 11 16 …由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1) 外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第六个三角形数为3＋3＋4＋5＋6＋7＝28.【答案】(1)B(2)28类比推理在几何中的应用如图214所示，在平面上，设h a，h b，h c分别是△ABC三条边上的高，P为△ABCp a p b p c内任意一点，P到相应三边的距离分别为p a，p b，p c，可以得到结论＋＋＝1. 【导学号：h a h b h c81092011】图214证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．【精彩点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．1BC·p ap a 2 S △PBC【自主解答】＝＝，h a 1 S △ABCBC·h a2p b S △PAC p c S △PAB同理，＝，＝.h b S △ABC h c S △ABC∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，p a p b p c S △PBC＋S △PAC＋S △PAB∴＋＋＝＝1.h a h b h c S △ABC类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设h a，h b，h c，h d分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为p a，p b，p a p b p c p dp c，p d，可以得到结论＋＋＋＝1.h a h b h c h d1S △BCD·p ap a 3 V PBCD证明如下：＝＝，h a 1 V ABCDS △BCD·h a3p b V PACD p c V PABD p d V PABC同理，＝，＝，＝.h b V ABCD h c V ABCD h d V ABCD∵V PBCD＋V PACD＋V PABD＋V PABC＝V ABCD，p a p b p c p d∴＋＋＋h a h b h c h dV PBCD＋V PACD＋V PABD＋V PABC＝＝1.V ABCD1．一般地，平面图形与空间图形类比如下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．[再练一题]2．在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cosC＋c·cos B可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.[探究共研型]类比推理在其他问题中的应用探究1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理．a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1探究2在等差数列{a n}中，对任意的正整数n，有＝a n.类比这一n性质，在正项等比数列{b n}中，有什么性质？【提示】由a1＋a2＋…＋a2n－1类比成b1·b2·b3…b2n－1，除以n，即商类比成开n次方，即在正项等比数列{b n}中，有＝b n.n b1·b2·b3…b2n－1探究3观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式是什么？【提示】观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的x2 y2定值，试写出双曲线－＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．a2 b2【精彩点拨】双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明x2 y2【自主解答】类似性质：若M，N为双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个a2 b2点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)是双曲线上的点，b2 b2所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.a2 a2y－n y＋n y2－n2 b2 x2－m2 b2则k PM·k PN＝·＝＝·＝(定值)．x－m x＋m x2－m2 a2 x2－m2 a21．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．[再练一题]T20 T30 T40 3．在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有，，也成等T10 T20 T30比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n}中，若S n是{a n} 的前n项和．可类比得到的结论是________.【导学号：81092012】【解析】因为等差数列{a n}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.【答案】数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为3001．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图215)．图215则第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2 D．(n＋1)2【解析】观察前4个正方形数，恰好是序号加1的平方，所以第n个正方形数应为(n＋1)2.【答案】 D2．如图216所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()图216A．a n＝3n－1 B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3【解析】∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1.【答案】 A底×高3．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积2公式为() 【导学号：81092013】r2 l2A. B.2 2lrC. D．无法确定2【解析】扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积lr公式S＝.2【答案】 C4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】1∶81 3a n5．已知在数列{a n}中，a1＝，a n＋1＝.2 a n＋3(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想a n.13 ×3a1 2 3【解】(1)a2＝＝＝，a1＋3 1 7＋323a2 3 3 3同理a3＝＝，a4＝，a5＝.a2＋3 8 9 103 3 3 3 3(2)由a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，可猜想a n＝.2＋5 3＋5 4＋5 5＋5 n＋5学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误【解析】合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B 对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．【答案】 B2．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”a＋b a bC．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”c c cD．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n”【解析】由实数运算的知识易得C项正确．【答案】 C3．用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示，图217按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2【解析】从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.【答案】 C4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．【答案】 D5．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是()A．(2,10) B．(10,2)C．(3,5) D．(5,3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】 A二、填空题6．观察下列特殊的不等式：52－22 7≥2×，5－2 245－35 5 7≥2×(2 )3， 42－3298－28 8 11≥×5，93－233 (2 )910－510≥2×75，95－55…a s－b s由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有≥________.a r－b r52－22 7 2 5＋2【解析】≥2×＝1×( 2 )2－1，5－2 245－35 5 7 5 4＋3≥2×(2 )3＝2×( 2 )5－2， 42－3298－28 8 11 8 9＋2≥×5＝3×( 2 )8－3，3 (2 )93－23910－510 10 9＋5≥2×75＝5×( 2 )10－5， 95－55a s－b s由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有≥a r－b rs a＋br( 2 )s－r.s a＋b【答案】s－rr( 2 )7．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；4 三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已3知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.【解析】因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.【答案】2πr48．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{a n}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9三、解答题112 19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝－且S n＋＋2＝a n(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，3 S n并猜想S n的表达式．【解】先化简递推关系：n≥2时，a n＝S n－S n－1，1∴S n＋＋2＝S n－S n－1，S n1∴＋S n－1＋2＝0.S n2当n＝1时，S1＝a1＝－.31 4 3当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－.S2 3 41 5 4当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－.S3 4 51 6 5当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.S4 5 6n＋1猜想：S n＝－，n∈N＋.n＋21 1 110．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，AD2 AB2 AC2类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【证明】如图所示，由射影定理，得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，1 1AC2＝BC·DC，∴＝AD2 BD·DCBC2 BC2＝＝.BD·BC·DC·BC AB2·AC21 AB2＋AC2 1 1又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.AD2 AB2·AC2 AB2 AC21 1 1 1猜想，在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.AE2 AB2 AC2 AD2证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.12在Rt△ABF中，AE⊥BF，1 1 1∴＝＋.AE2 AB2 AF2在Rt△ACD中，AF⊥CD，1 1 1 1 1 1 1∴＝＋，∴＝＋＋.AF2 AC2 AD2 AE2 AB2 AC2 AD2[能力提升]1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝11 111；12 345×9＋6＝111 111；A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.【答案】 BAG 2．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝GD 2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为AOM，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝()OMA．1 B．2C．3 D．46此【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝，3时易知点O即为正四面体内切球的球心设，其半径为r利，用等体积法有1 3 1 3 6 6 6 6 64××r＝××⇒r＝故，AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶3 4 3 4 3 12 3 12 46 6OM＝∶＝3∶1.4 12【答案】 C→→3．如图218所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为5－1，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e2等于_____________________________________．13【导学号：81092015】图218x2 y2【解析】如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，a2 b2则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，→→所以FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)．→→又因为FB⊥AB，→→所以FB·AB＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，1＋5 1－5所以e＝或e＝(舍去)．2 21＋5【答案】24．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解】(1)选择②式，计算如下：1 1 3sin215°＋cos215°－sin 15°cos15°＝1－sin 30°＝1－＝.2 4 43(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.4证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cosα＋sin 30°sinα)2－sin α(cos 30°·cosα＋sin 30°sinα)143 3 1 3 1＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α4 2 4 2 23 3 3＝sin2α＋cos2α＝.4 4 415。
推荐学习K122018高中数学 第2章 推理与证明 第1节 合情推理与演绎推理学案 理 苏教版选修2
第1节合情推理与演绎推理一、学习目标：1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；2. 体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
二、重点、难点重点：会用合情推理提出猜想，会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别与联系。
难点：发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律，利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明。
三、考点分析：推理是数学的基本思维过程，高中数学课程的重要目标就是培养和提高学生的推理能力，因此本部分内容在高中数学中占有重要地位，是高考的重要内容。
由于解答高考试题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中。
在学习时，应注意理解常用的推理的方法，了解其含义，掌握其过程以解决具体问题。
今后的高考中若考查推理内容，最有可能是把推理渗透到解答题中考查，因为解答与证明题本身就是一种推理，合情推理与演绎推理作为一种推理工具是很容易被解答与证明题接受的。
一、知识导图二、推理根据一个或几个事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫推理。
从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论。
三、合情推理：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。
合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
四、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
配套K12高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教B版选修2_2
2.1.1 合情推理1．理解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理． 2．体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用．1．推理的结构与合情推理(1)从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做______；一部分是由已知推出的判断，叫做______．(2)前提为真时，结论______为真的推理，叫做合情推理．推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．【做一做1】下列说法正确的是( )． A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提有结论 C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误 2．归纳推理(1)根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________(简称______)．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；(3)人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一不定期的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；(4)归纳推理能够发现前的事实、获得新结论，是科学发现的重要手段。
【做一做2－1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( )． A ．28 B ．32 C ．33 D ．27【做一做2－2】已知等式sin 230°＋sin 230°＋sin 30°·sin 30°＝34，sin 240°＋sin 220°＋sin 40°·sin 20°＝34，下面的等式中具有一般性且包含了已知等式的是( )．A ．sin 2α＋sin 2(60°－α)＋sin α·sin(60°－α)＝34B ．sin 2α＋sin 2(60°＋α)＋sin α·sin(60°＋α)＝34C ．sin 2(60°＋α)＋sin 2(60°－α)＋sin(60°＋α)·sin(60°－α)＝34D ．sin 2α＋sin 2α＋sin α·sin α＝343．类比推理(1)根据____________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做________(简称______)．它属于合情推理．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； (3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．【做一做3－1】在平面内，两条相交直线将整个平面分成四部分，类似地，在空间，两个相交平面将整个空间分成________．【做一做3－2】十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中，数码2 004折合成十进制为( )．A ．29B ．254C ．602D ．2 004归纳推理的一般步骤是什么？剖析：(1)实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性结论．题型一 归纳推理【例题1】在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1，b 2，b 3，并归纳出b n 的计算公式．反思：归纳法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般性结论，形成猜想．题型二 类比推理【例题2】在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，且cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．分析：考虑到平面几何中为长方形，故可联想到立体几何中的长方体．反思：(1)类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳，提出猜想．(2)也可类比为：长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ，则有cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(3)(2)中的结论是不对的，实际上此时cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2，由此可知类比的结论不是唯一的，也不一定正确．题型三 易错辨析易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误，解决这类问题的关键是：先充分认识两类事物的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比．错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的3.错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的12.1已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33等于( )． A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－62已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可推知扇形的面积公式S 扇等于( )．A ．r 22B ．l 22C ．12lr D ．不可类比 3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( )．A ．为定值B ．为变数C ．有时为定值，有时为变数D ．与正四面体无关的常数4如图所示，由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．5设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案：基础知识·梳理1．(1)前提 结论 (2)可能 【做一做1】B2．(1)归纳推理 归纳【做一做2－1】B ∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32. 【做一做2－2】A 等式右边为34，左侧两角和为60°.3．(1)两类不同事物 类比推理 类比 【做一做3－1】四部分【做一做3－2】B 找到十进制与五进制的相似之处．十进制中由低到高的单位依次为100,101,102，…，五进制中由低到高的单位依次为50,51,52，…，那么在五进制中2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝4＋2×53＝4＋250＝254，∴五进制中的数码2 004折合成十进制为254.故选B.典型例题·领悟【例题1】解：由题意可得，b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝ ⎛⎭⎪⎫45r ＋15p ， b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫452r ＋15p ＋452p ，b 3＝a ·b 2＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ，所以归纳得b n ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p . 【例题2】解：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1. 【例题3】错因分析：错解一中“三角形周长”的类比错误，错解二中“12”的类比错误．“三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和”；“12”应类比为“13”．正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13.随堂练习·巩固1．A 由题意可得，a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，归纳出每6项一个循环，则a 33＝a 3＝3.2．C 由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得S 扇＝12lr .3．A4．13 3n ＋15．3 2 ∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2·2x＝12， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝6×12＝3 2.。
2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理(二)学案新人教B版选修2_2
2．1.1 合情推理(二)明目标、知重点 1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断．1．类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．探究点一平面图形与立体图形间的类比阅读下面的推理，回答后面提出的问题：1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．2．根据等式的性质猜想不等式的性质．等式的性质：(1)a＝b⇒a＋c＝b＋c；(2)a＝b⇒ac＝bc；(3)a＝b⇒a2＝b2等等．猜想不等式的性质：(1)a>b⇒a＋c>b＋c；(2)a>b⇒ac>bc；(3)a>b⇒a2>b2等等．思考1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？答这两个推理实例都是根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质． 思考2 猜想正确吗？ 答 不一定正确．思考3 类比圆的特征，填写下表中球的有关特征例1 如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于多少？解 对平面凸四边形：S ＝12a 1h 1＋12a 2h 2＋12a 3h 3＋12a 4h 4＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4)＝k2(h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4)， 所以h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk；类比在三棱锥中，V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝13(KH 1＋2KH 2＋3KH 3＋4KH 4) ＝K3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)． 故H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3VK.反思与感悟 解决此类问题注意用类比推理的方法去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质有哪些不同，有哪些变化，如本题中平面图形中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的距离．平面图形中的面积类比三棱锥中的体积，进而计算出结果．跟踪训练1 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC2＝BC 2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是________________________________________________．答案 设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD解析 类比条件：两边AB 、AC 互相垂直――――――――――――→平面→空间、边垂直→面垂直侧面ABC 、ACD 、ADB 互相垂直．结论：AB 2＋AC 2＝BC 2―――――→边长→面积S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD .探究点二 定义、定理或性质中的类比例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N＋)成立，并类比上述性质相应在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．答案 b 1 b 2…b n ＝b 1b 2…＋b 17－n (n <17，n ∈N ＋)解析 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n . 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n . 相应地，类比此性质在等比数列{b n }中， 可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ≤17，n ∈N ＋)．反思与感悟 (1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键．(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)．跟踪训练2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 81．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提、有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误 答案 B解析 根据合情推理可知，合情推理必须有前提、有结论．2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 ∵两个正三角形是相似的三角形， ∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8. 3．若数列{c n }是等差数列，则当d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn时，数列{d n }也是等差数列，类比上述性质，若数列{a n }是各项均为正数的等比数列，则当b n ＝________时，数列{b n }也是等比数列． 答案na 1a 2…a n4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．答案中心[呈重点、现规律]1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想。
2018学年高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.1.1
2．合情推理的过程
观察、分析 从具体问题出发 → → 归纳、类比 → 提出猜想 比较、联想
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象
比较合适的是( A．三角形 C．平行四边形 ) B．梯形 D．矩形
解析： 由类比推理的定义和特点判断，易知选C.
答案： C
2．下列关于归纳推理的说法错误的是(
＝2，可以发现 a5＝a1，{an}是以 4 为周期的数列，且 a1· a2· a3· a4 ＝ 1 ，故 a1· a2· a3· „· a2
1 3)×－2＝3.
a2 014· a2 015 ＝ a1· a2· a3 ＝ 2×( － 015 ＝ a2 013·
1＋an 方法二：由 an＋1＝ ，联想到两角和的正切公式，设 a1 1－an ＝2＝tan θ，则有
答案： 3V S1＋S2＋S3＋S4
4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3„) (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an.
解析： (1)a1＝1，
a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1. (2)可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
个别事实 概括出 特征的推理，或者由__________ 一般结论 的推理，称为归纳推理 __________
个别到一般 由____________
的推理
1．归纳推理的特点与应用
(1) 归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结
论，该结论超越了前提所包含的范围． (2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明
2018学年高中数学选修2-2配套课件：第二章 推理与证明2-1-1 精品
两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，
而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的 外接球的半径R＝ a2＋b2＋c2.
2
解析答案
易错易混 合情推理的应用
归纳推理、类比推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别到 一般的推理；而类比推理则是通过某两类对象在对比中启发猜想结论.这些 结论未必正确，要进一步验证(或证明)其正确性. 例3 设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值， 同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确.
思考 由合情推理得到的结论可靠吗？ 答案 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠， 例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 归纳推理的应用 例1 已知数列{an}的第1项a1＝2，且an＋1＝1＋anan (n＝1,2，…)，试归纳出 这个数列的通项公式.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 “若直角三角形两直角边的长分别为a，b，将其补成一个矩形， 则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r＝ a2＋b2 ”.对于
2 “若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c”，类比上述处理
a2＋b2＋c2 方法，可得该三棱锥的外接球的半径R＝______2______.
解析答案
(2)猜想该数列的前n项和Sn并证明. 解 猜想 Sn＝2nn＋1(n∈N*).证明如下： ∵2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1，
∴Sn＝121－31＋13－15＋51－17＋…＋2n1－1－2n1＋1 ＝2nn＋1(n∈N*).
【配套K12】[学习]2018高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理(1)学案 苏教版选
![【配套K12】[学习]2018高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理(1)学案 苏教版选](https://img.taocdn.com/s3/m/dda000ae71fe910ef12df8f0.png)
2．1.1 合情推理[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．(2)归纳推理的特点：①归纳推理是从特殊到一般的推理；②由归纳推理得到的结论不一定正确；③归纳推理是一种具有创造性的推理．2．类比推理(1)类比推理的定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论3．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理．要点一归纳推理的应用例1 观察如图所示的“三角数阵”1 (1)2 2 (2)3 4 3 (3)4 7 7 4 (4)51114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1. 解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.猜想a n＝2n＋1－1，n∈N*.(2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a， a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a. 猜想a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a (n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1， 即2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1. 又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3. 同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用 例2如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形的类比：跟踪演练2 已知P (x 0，y 0)P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p y，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是________．①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． 答案 ①②③解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.1．下列推理中，是归纳推理的有________．①A ，B 为定点，动点P 满足PA ＋PB ＝2a ＞AB ，得P 的轨迹为椭圆； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列的前n 项和S n 的表达式；③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ②解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 是从特珠到一般的推理．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色是________．答案 白色解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数N (n,4)＝n 2， 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n ………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ， 可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1100－100＝1000.1.合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．下面几种推理是合情推理的是________． ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和是180°；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形内角和是(n －2)·180°. 答案 ①②④2．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________”，这个类比命题的真假性是__________． 答案 夹在两平行平面间的平行线段相等 真命题 3．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n 个等式为________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·(1＋2＋3＋…＋n )4．如图(1)有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，则图(2)有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________.答案PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC解析 把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC. 5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________________________________________________________________________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________________________________________________________________________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥PA ，PC ⊥PB 得PC ⊥面PAB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝hPC ，cos β＝h PA ，cos γ＝h PB， ∵V P －ABC ＝16PA ·PB ·PC ＝13⎝ ⎛12PA ·PB cos α＋12PB ·⎭⎪⎫PC cos β＋12PC ·PA cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos αPC ＋cos βPA ＋cos γPB h ＝1， 即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝________. 答案3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.9．观察分析下表中的数据：答案 F ＋V －E ＝2解析 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2. 10．观察下列等式：12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …照此规律，第n 个等式可为________________________________________________________________________． 答案 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°·cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．(1)证明 设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0＋a (x ＋a )． 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 2＝b 2a 2(a 2－x 20)， 所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)解 定值为－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13．在平面几何中，对于Rt △ABC ，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，C ＝90°.则(1)a 2＋b 2＝c 2；(2)cos 2A＋cos 2B ＝1；(3)Rt △ABC 的外接圆的半径r ＝12a 2＋b 2；(4)S △ABC ＝12ab .把上面的结论类比到空间，写出相类似的结论．解 (1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. (检验：设PA ，PB ，PC 两两互相垂直，PA ＝m ，PB ＝n ，PC ＝t ，PE ⊥AB 于点E ，则 S 2＝14(m 2＋n 2)·(t 2＋m 2n 2m 2＋n 2)＝S 21＋S 22＋S 23) (2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(检验：因为S 1＝S cos α，S 2＝S cos β，S 3＝S cos γ)(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m 、n 、t ，则这个直四面体的外接球的半径R ＝m 2＋n 2＋t 22.(检验：补形为长、宽、高分别为m 、n 、t 的长方体)1 6mnt.(4)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的体积为V＝。
2018年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课件4新人教B版
2.类比推理的一பைடு நூலகம்步骤：
⑴ 找出两类对象之间相似性或一致性；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类 对象的特征，从而得出一个命题(猜想)；
观察、比较 联想、类推 猜想新结论
但命题的结论不一定正确 一般地，如果类比的相似性越多，相似的 性质与推测的性质之间越相关，那么类比得 出的命题就越可能为真。
例3．找出圆与球的相似性质，并用圆的下 列性质类比球的有关性质： （1）圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于 弦； （2）与圆心距离相等的两弦相等； （3）圆的周长C=πd（d是直径）； （4）圆的面积S=πr2.
在创造发明中， 人们经常应用 类比
两类不同事物 某些类似 根据两类不同事物之间具有某些类似 （或一致）性，推测其中一类事物具有与 另一类事物 类似（或相同）的性质 另一类事物类似（或相同）的性质的推理， 叫做类比推理（简称类比）.
例1. 根据等式的性质猜想不等式的性质
等式的性质 ⑴. ⑵. 不等式的性质
T8 T4
T12 T8
探索与研究：
类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出 空间中四面体性质的猜想．
A Ｂ
c2=a2+b2
c
o
a
Ｃ
b
Ａ
B
C
2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC
课时小结
1、运用类比方法解决问题，其基本过程可用 框图表示如下：
原问题
原问题解法
×
练习 练习题 2： 09浙江文第16题 ) (直击高考： 设等差数列an 的前n项和为S n , 则S4，S8 S4， 设等比数列bn 的前n项积为Tn , S12 S8，S16 S12成等差数列.类比以上结论：
18版高中数学推理与证明2.1.1合情推理一学案新人教B版1_218030642
2.1.1 合情推理(一)明目标、知重点 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发展中的作用.1.推理根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理.推理一般由两部分组成：前提和结论.2.合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.3.归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳).4.归纳推理具有如下的特点(1)归纳推理是从特殊到一般的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.[情境导学]佛教《百喻经》中有这样一则故事.从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买.”仆人拿好钱就去了.到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看.”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠.”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去.带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了.想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理.探究点一归纳推理的定义思考1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理. 思考2 观察下面两个推理，回答后面的两个问题： (1)哥德巴赫猜想： 6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 16＝5＋11 ……1 000＝29＋971 1 002＝139＋863 ……猜想：任何一个不小于6的偶数都可写成两个奇质数之和.(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电. 问题： ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？ ②其结论一定正确吗？答 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般.(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确. 探究点二 归纳推理的应用例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式.解 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n.反思与感悟 归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n 项和公式.跟踪训练1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…) (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n .解 (1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31.(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n－1(n ∈N ＋).例2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝______；f (n )＝______(答案用含n 的代数式表示).答案 10n n ＋1 n ＋26解析 观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n n ＋1 2.将以上(n －1)个式子相加可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋1 2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12[16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n n ＋1 2] ＝n n ＋1 n ＋26.反思与感悟 解本例的关键在于寻找递推关系式：f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12，然后用“叠加法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前n 项和的变化规律.跟踪训练2 在平面内观察： 凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， …由此猜想凸n (n ≥4且n ∈N ＋)边形有几条对角线？ 解 凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条， 凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条， ……于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线.因此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4且n ∈N ＋).1.已知2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b ＝6a b(a 、b 均为实数).请推测a ＝______，b ＝________. 答案 6 35解析 由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________.答案n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.[呈重点、现规律] 归纳推理的一般步骤(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想，注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.。
2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件7 新人教B版选修2-2
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存 有生命存在（事实）
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在（猜想）
（二）类比推理：由两类对象具有某些 类似特征和其中的一类对象的某些特征,推 出另一类对象也具有这些特征的推理,称为 类比推理(简称类比).
1+3+5+7+9 = 25= 5 2 …… 猜测一个等式：
二、抽象思维形成概念
【分组讨论】：
1、以上推理的特点是什么？
2、（一）归纳推理：由某类事物的部分对象 具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具 有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一 般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 特点：部分到整体 个别到一般
3个面两两垂直的四面体
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
三、实践应用训练升华
【活动二】：我们一起来推理
练习4、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每 一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个
数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已5式知，。a1数求8列a的n 值是和等这和个数数列列，的且前an1项Sn和2
，公和为 的计算公
类比推理可以提供 解决问题的思路和
方向
四、趣味再尝试
1、观察图形规律，在其右下角的空格处的图形为（ ）
A、
B、
C、
D、
2、将所有的自然数按如图规律排列： 2 3 6 7 10 11
推荐学习K12(全国通用版)2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎
2．1.2 演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一演绎推理思考分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理演绎推理的概念知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案分为三段．大前提：所有的金属都能导电．小前提：铜是金属．结论：铜能导电．梳理三段论的基本模式1．演绎推理的结论一定正确．( ×)2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断．( √)3．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．( √)类型一演绎推理与三段论例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；③通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．考点“三段论”及其应用题点三段论的应用解①平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论②等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B. 结论③在数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提当通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案 B解析对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．类型二演绎推理的应用命题角度1 证明几何问题例2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用证明因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF. 结论反思与感悟(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论．(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．跟踪训练2 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示，求证：EF ∥平面BCD .考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提 点E ，F 分别是AB ，AD 的中点， 小前提 所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行， 大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提 所以EF ∥平面BCD .结论命题角度2 证明代数问题例3 设函数f (x )＝exx 2＋ax ＋a ，其中a 为实数，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在函数中的应用解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R ， 大前提 因为f (x )的定义域为R ， 小前提 所以x 2＋ax ＋a ≠0恒成立．结论所以Δ＝a 2－4a <0，所以0<a <4. 即当0<a <4时，f (x )的定义域为R . 引申探究若本例的条件不变，求f (x )的单调递增区间．解 ∵f ′(x )＝x (x ＋a －2)e x (x 2＋ax ＋a )2，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2－a . ∵0<a <4，∴当0<a <2时，2－a >0.∴在(－∞，0)和(2－a ，＋∞)上，f ′(x )>0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)．当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当2<a<4时，2－a<0，∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞)．综上所述，当0<a<2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)；当a＝2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当2<a<4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞)．反思与感悟 应用演绎推理解决的代数问题(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．(3)三角函数的图象与性质．(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质． (5)不等式的证明．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在函数中的应用 证明 方法一 (定义法)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝2x a ＋x 2－2x 2＋1－1xa －x 1－2x 1＋1＝2x a -1xa ＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝1xa (21x x a -－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝1xa (21x x a-－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 2－x 1>0，且a >1，所以21x x a->1，而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 方法二 (导数法)f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a xln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3(x ＋1)2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x>0， 所以a xln a >0，所以f ′(x )>0. 所以f (x )＝a x＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式考点 演绎推理的含义与方法 题点 判断推理是否为演绎推理 答案 A解析 A 是演绎推理，B ，D 是归纳推理，C 是类比推理．2．指数函数y ＝a x (a >1)是R 上的增函数，y ＝2|x |是指数函数，所以y ＝2|x |是R 上的增函数．以上推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．正确考点 “三段论”及其应用题点 小前提或推理形式错误导致结论错误 答案 B解析 此推理形式正确，但是，函数y ＝2|x |不是指数函数，所以小前提错误，故选B. 3．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________； 小前提：____________； 结论：____________. 考点 “三段论”及其应用 题点 三段论的结构答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y ＝x 2＋x ＋1是二次函数 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线4．设m 为实数，利用三段论证明方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根． 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面中的应用证明 因为如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两个相异实根．大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝4m2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3>0，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论考点演绎推理的含义与方法题点判断推理是否为演绎推理答案 C解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．2．对于三段论“因为对数函数y＝log a x是减函数(大前提)，又y＝ln x是对数函数(小前提)，所以y＝ln x是减函数(结论)”，下列说法正确的是( )A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．以上都不对考点“三段论”及其应用题点大前提错误导致结论错误答案 A解析“y＝log a x是减函数”错误，故大前提错误．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确考点“三段论”及其应用题点小前提或推理形式错误导致结构错误答案 C解析由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A．①④ B．②④C．①③ D．②③考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案 A解析根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．5．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是( )A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案 B解析由三段论的一般模式知选B.6．若a>0，b>c>0，则下列不等式中不成立的是( )A．－a＋b>－a＋c B．ab－ac>0C.1b >1cD.3b >3c考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 C解析 在A 中，b >c 两边同时加－a ，不等号方向不变，不等式成立； 在B 中，b >c 两边同时乘a ，因为a >0，所以不等号方向不变，不等式成立； 在C 中，若b ＝2，c ＝1，则1b <1c，不等式不成立；易知D 中不等式成立．7．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 C解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ， ∴－x 2＋x ＋a 2－a <1.即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， 则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， ∴4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.二、填空题8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________________． 考点 “三段论”及其应用 题点 三段论的结构答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞) 解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4. 9．有一段演绎推理： 大前提：整数是自然数； 小前提：－3是整数； 结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是______错误．(填“大前提”“小前提”“结论”) 考点 “三段论”及其应用题点 大前提错误导致结论错误答案 大前提10．以下推理过程省略的大前提为：________.因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab .考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构答案 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c解析 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .11．已知在三边不等的三角形中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，若想得到A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足的条件是a 2________b 2＋c 2.(填“>”“<”“＝”)考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 > 解析 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，知b 2＋c 2－a 2<0， 故a 2>b 2＋c 2.12．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________．考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 [0,2]解析 ∵不等式ax 2＋2ax ＋2<0无解，则不等式ax 2＋2ax ＋2≥0的解集为R .∴当a ＝0时，2≥0，显然成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a ≤0，解得0<a ≤2.∴a 的取值范围为[0,2]．三、解答题13．下面给出判断函数f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1的奇偶性的解题过程：解由于x∈R，且f(x)f(－x)＝1＋x2＋x－11＋x2＋x＋1·1＋x2－x＋11＋x2－x－1＝(1＋x2)－(x－1)2(1＋x2)－(x＋1)2＝2x－2x＝－1.∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．试用三段论加以分析．考点“三段论”及其应用题点三段论的应用解判断奇偶性的大前提“若定义域关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；若定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)．四、探究与拓展14.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α，β所成的角相等考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案 D解析只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，故选D.15．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义，单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x2)＝2f(x)；(2)求f(1)的值；(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在函数中的应用(1)证明 因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )．(2)解 因为f (1)＝f (12)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(3)解 因为f (x )＋f (x ＋3)＝f (x (x ＋3))≤2＝2f (2)＝f (4)， 且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ＋3>0，x (x ＋3)≤4，解得0<x ≤1.所以x 的取值范围为(0,1]．。
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2.1.2 演绎推理学习目标：1.理解演绎推理的含义．(重点)2.掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．2．三段论[提示]在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．[基础自测]1．思考辨析(1)“三段论”就是演绎推理．( )(2)演绎推理的结论是一定正确的．( )(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( )(4)演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等B [得出“四边形ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．] 3．三段论：“①小宏在2018年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2018年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．③ [在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．] 4．下列几种推理过程是演绎推理的是________．①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A ＝∠B ；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．① [①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．][合 作 探 究·攻 重 难](1)A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数(2)将下列推理写成“三段论”的形式：①向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；②0.332·是有理数；③y ＝sin x (x ∈R )是周期函数.【导学号：48662057】(1)[解析] 对于A ，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B ，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C ，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D ，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．[答案] B(2)[解] ①大前提：向量是既有大小又有方向的量． 小前提：零向量是向量．结论：零向量也有大小和方向． ②大前提：所有的循环小数都是有理数．小前提：0.332·是循环小数．结论：0.332·是有理数．③大前提：三角函数是周期函数． 小前提：y ＝sin x (x ∈R )是三角函数． 结论：y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的________是错误的．小前提 [f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．] 2．将下列演绎推理写成三段论的形式．①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； ②等腰三角形的两底角相等，∠A ，∠B 是等腰三角形的底角，则∠A ＝∠B ； ③通项公式为a n ＝2n ＋3的数列{a n }为等差数列．[解] ①大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平行四边形， 结论：菱形的对角线互相平分． ②大前提：等腰三角形的两底角相等， 小前提：∠A ，∠B 是等腰三角形的底角， 结论：∠A ＝∠B .③大前提：数列{a n }中，如果当n ≥2时，a n －a n －1为常数，则{a n }为等差数列， 小前提：通项公式为a n ＝2n ＋3时，若n ≥2， 则a n －a n －1＝2n ＋3－[2(n －1)＋3]＝2(常数)， 结论：通项公式为a n ＝2n ＋3的数列{a n }为等差数列．求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理.【导学号：48662058】2111[解](1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DE＝AF.(结论)[规律方法]1．用“三段论”证明命题的格式2①理清楚证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．[跟踪训练]3．如图2112所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD.图2112[证明] 三角形的中位线平行于底面，大前提 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提 所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线， 则这条直线与此平面平行，大前提EF 平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提 EF ∥平面BCD .结论1．数的大小比较常见方法有哪些？提示：作差法、作比法、函数性质法(单调性、奇偶性等)、图象法、中间量法(常取0或1作为媒介)等．2．证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是什么？试以函数单调性给予说明． 提示：证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是函数性质的相关定义及有关的知识原理。
如函数单调性的证明常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明．3．判断数列是等差(等比)数列的依据是什么？提示：判断数列是等差(等比)数列的依据是等差(等比)数列的定义．(1)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z(2)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数. 【导学号：48662059】思路探究：(1)借助于指对互化及不等式大小的比较方法求解；(2)利用函数的单调性或导数法求解．(1)[解析] 法一：取对数：x ln 2＝y ln 3＝z ln 5，x y ＝ln 3ln 2>32，∴2x >3y ；x ln 2＝z ln 5则x z ＝ln 5ln 2<52，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z ，故选D.法二：令2x＝3y＝5z＝k ，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k . ∴2x 3y ＝2lg k lg 2·lg 33lg k ＝lg 9lg 8>1，则2x >3y2x 5z ＝2lg k lg 2·lg 55lg k ＝lg 25lg 32<1，则2x <5z ，故选D. [答案] D(2)[解] 法一：(定义法)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)， 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1) ＝ax 2＋x 2－2x 2＋1－ax 1－x 1－2x 1＋1＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝ax 1(ax 2－x 1－1)＋x 1＋x 2－－x 1－x 2＋x 2＋x 1＋＝ax 1(ax 2－x 1－1)＋x 2－x 1x 2＋x 1＋.因为x 2－x 1>0，且a >1， 所以ax 2－x 1>1， 而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 法二：(导数法)f (x )＝a x＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1. 所以f ′(x )＝a xln a ＋3x ＋2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0， 所以3x ＋2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x>0， 所以a xln a >0.所以f ′(x )>0. 于是得f (x )＝a x＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．]＋－2x＋1的定义域为R.－＋2x＋1＝－x)＝－f(x)x2＋x1＋，2x1－x2<0，)为增函数．函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式数列问题：数列的通项公式，前不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题1．平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为( ) A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理D[本题的推理模式是三段论，故该推理是演绎推理．]2．三段论①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的，其中大前提是 ( )【导学号：48662060】A．①B．②C．①②D．③A[根据三段论的定义，①为大前提，③为小前提，②为结论，故选A.]3．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在( )A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错A[要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．]4．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：________.小前提：________________.结论：________________.一次函数的图象是一条直线y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线[本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．]5. 用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.【导学号：48662061】[证明]因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．。