解析几何练习题2
第二章《平面解析几何初步》同步练习二(新人教B版必修2)[1]
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第二章《平面解析几何初步》一、选择题(解析：选D.由3a (a －23)＋(－1)×1＝0，得a ＝－13或a ＝1.2．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是图中的( )解析：选C.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，设k 1＝a ，m 1＝b .直线l 2：bx －y ＋a ＝0，斜率为b ，在y 轴上的截距为a ， 设k 2＝b ，m 2＝a .由A 知：因为l 1∥l 2，k 1＝k 2>0，m 1>m 2>0，即a ＝b >0，b >a >0，矛盾． 由B 知：k 1<0<k 2，m 1>m 2>0，即a <0<b ，b >a >0，矛盾． 由C 知：k 1>k 2>0，m 2>m 1>0，即a >b >0，可以成立． 由D 知：k 1>k 2>0，m 2>0>m 1，即a >b >0，a >0>b ，矛盾． 3．解析：选 B.点A 关于x 轴对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为5＋12＋7＋12＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.4．解析：选D.圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距0<2－1＝1，所以两圆内含．5．解析：选B.圆心(a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2，依题意⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝2－1. 6．解析：选D.∵所求直线平行于直线2x ＋3y －6＝0， ∴设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0， 由|2－3＋c |22＋32＝|2－3－6|22＋32，∴c ＝8，或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 7．解析：选B.数形结合答案容易错选D ，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．8．解析：选C.直线y ＝ax ＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部． 9．解析：选B.∵圆C 的圆心为(1,1)，半径为 5. ∴|PC |＝5－12＋4－12＝5，∴|PA |＝|PB |＝52－52＝25，∴S ＝12×25×5×2＝10.10． 解析：选C.圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m ＋2n －4＝0，即m ＋n ＝2，mn ＝m (2－m )＝－m2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n ＝1，与“m ≠n ”矛盾，所以mn ＜1.11解析：选C. 曲线y ＝1－x 2表示单位圆的上半部分，画出直线l 与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l 在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l 与曲线有两个交点．当直线l 过点(－1,0)时，m ＝1；当直线l 为圆的上切线时，m ＝2(注：m ＝－2，直线l 为下切线)． 12．解析：选A.∵点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0. 又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0.故两平行直线的距离为d ＝|0－20|42＋－32＝4.二、填空题13解析：易求得AB 的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y ＝x ，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x ＋y －2＝0联立得到圆心O (1,1)，半径r ＝|OA |＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝414．解析：过P 作圆的切线PC ，切点为C ，在Rt △POC 中，易求|PC |＝3，由切割线定理，|PA |·|PB |＝|PC |2＝3.答案：3 15．解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a2.∵两直线垂直，∴(－2)·(－a 2)＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，∴c ＝±5，故ac ＝±5.答案：±5 16．．解析：将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d ＝|3×1＋4×－2＋m |32＋42＝|m －5|5＞1，∴m ＜0或m ＞10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解：AC 边上的高线2x －3y ＋1＝0，所以k AC ＝－32.所以AC 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0. 下面求直线BC 的方程， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得顶点C (7，－7)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得顶点B (－2，－1)．所以k BC ＝－23，直线BC ：y ＋1＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.18．解：圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1.(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线的方程x ＋y ＝0即为光线l 所在直线的方程．(2)A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)， 设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．当该直线与圆C 相切时，有|2k －2＋3k －3|1＋k2＝1，解得k ＝43或k ＝34，所以过点A ′的圆C 的两条切线分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝34(x ＋3)．令y ＝0，得x 1＝－34，x 2＝1，所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－34，1]．19．解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85.(3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125.∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45，∴MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85.又|MN |＝⎝⎛⎭⎫125＋452＋⎝⎛⎭⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165.20.解：(1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|PA |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2 ＝1＋|PA |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2， 故2a ＋b －3＝0.(2)由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上， 所以|PQ |min ＝|PA |min ，为A 到直线l 的距离，所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.(或由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255.)(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1， 又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.21．有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程．解：法一：由题意可设所求的方程为(x －3)2＋(y －6)2＋λ(4x －3y ＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＋6－b 2＝r 2，5－a 2＋2－b 2＝r 2，b －6a －3×43＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝92r 2＝254.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y －92)2＝254.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由CA ⊥l ，A (3,6)，B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.法四：设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 的方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0.又因为k AB ＝6－23－5＝－2，所以k BP ＝12，所以直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.所以P (7,3)．所以圆心为AP 的中点(5，92)，半径为|AC |＝52.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y －92)2＝254.22．如图在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－4|1＋k2，从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝|5＋1k4－a －b |1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．。
MBA联考数学-平面几何与解析几何(二)
MBA联考数学-平面几何与解析几何(二)一、问题求解(总题数：37，分数：111.00)1.三角形的周长为10，有一条边长为4，则它的面积的最大值为( )．A.B.C.D.E. √利用13题的结论．2.设A，B是两个圆(x-2)2+(y+3)2=5和(x-1)2+(y+1)2=3的交点．求过A，B的直线方程．填空项1:__________________ （正确答案：2x-4y-9=0．）见30题．3.两个半径都为r的圆盘的圆心间的距离也是r，则它们的公共部分的面积为( )．A.B.C.D. √E.见图6-87，所求面积=两个扇形面积-菱形面积．4.如图6-58中，△ABC的面积为1，且△AEC，△DEC，△BED的面积相等，则△AED与△ABC的面积之比是( )．A.B. √C.D.E.5.过点A(2，0)向圆x2+y2=1作两条切线AM和AN，(如图6-59)，则两切线与圆所围成的图形面积(图中阴影部分)为( )．A.B.C.D.E. √6.球内接等边圆锥体积与球体积之比为( )．A.B.C.D. √E.7.在边长为1的正方形ABCD内画两条半径1的圆弧：以A为圆心的BD弧，以B为圆心的AC弧，它们的交点为E，如图6-66．则曲边三角形CDE的面积为( )．A.B.C. √D.E.如图6-93，连接BE，AE，△ABE是等边三角形，∠CBE=∠EAD=30°．S曲边△CDE=S正方形ABCD-2S扇形BCE-S△ABE8.过点A(-1，2)，且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程为( )．(A) x-y+3=0 (B) x+y-1=0 (C) x-y+3=0或y=-2x(D) x+y-1=0或y=-2x (E) x-y+1=0或y=2xA.B.C.D. √E.(1)直线过原点．y=kx，点A(-1，2)在直线上，k=-2，y=-2x．9.已知两点P1(3，-2)，P2(-9，4)，线段P1P2与25轴的交点Pλ，则有( )．A.B.C.D. √E.10.已知△ABC的两个顶点的坐标：A(1，0)和B(5，0)，并且C在Y轴上，要使得△ABC的外接圆和Y轴相切，则C的坐标为( )．A.B. √C.D.E.11.直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4a=( )．(A) -1 (B) 1 (C) 2 (D) O (E) 以上结论均不正确A.B.C.D. √E.12.已知点M1(6，2)和M2(1，7)，直线y=mx-7与线段M1M2的交点M3:2，则m的值为( )．A.B.C.D.E. √13.球的表面积为S，则它的体积为( )．A.B.C. √D.E.14.等边圆柱轴截面的面积是32，那么它的侧面积是( )．(A) 8π (B) 16π (C) 32π (D) 48π (E) 64πA.B.C. √D.E.15.一个棱长为3 cm的正方体所有表面油成红漆，再切割成棱长为1 cm的小正方体，仅一面为红色的小正方体的个数为( )．(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12A.B. √C.D.E.16.平行四边形ABCD的边AB和BC所在直线分别为2x-y-5=0，3x+2y+6=0BD所在直线的方程．填空项1:__________________ （正确答案：17x+2y-2=0．）用直线束比较简单．17.如图6-70，直角△ABC中，AB为圆的直径，且AB=20，若面积Ⅰ比面积Ⅱ大7，那么△ABC的面积S△ABC 等于( )．(A) 70π (B) 50π (C) 50π+7 (D) 50π-7 (E) 70πA.B.C.D. √E.18.把一个半球削成底半径为球半径一半的圆柱，则球体积与圆柱体积之比为( )．A.B.C.D.E. √19.A，B是两个不同点，则一个圆到A和B距离相等的切线( )．(A) 有2条，3条或4条 (B) 一定有4条 (C) 有2条或4条(D) 一定有2条 (E) 一定有3条A. √B.C.D.E.到A和B距离相等的切线有两类，和AB平行或过AB的中点．前者有两条，后者的条数随AB的中点的位置而不同．20.直角三角形的一条直角边长度等于斜边长度的一半，则它的外接圆面积与内切圆面积的比值为( )．A.B.C.D.E. √21.实数x，y，满足(x-1)2+(y+2)2=5，求x-2y的最大值．填空项1:__________________ （正确答案：10．）最大值在平行于x-2y=0的切线(下面那条)上达到．22.两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0公共弦所在的直线方程是( )．(A) x+2y+4=0 (B) x-2y-4=0 (C) x+2y-4=0(D) x-2y+4=0 (E) 以上结果均不正确A.B.C.D. √E.C2-C1：4x-8y+16=0，x-2y+4=0．23.如图6-71，直角梯形ABCD上底长5，下底长7，高为4，△ADE，△ABF与四边形AECF面积相等，则△AEF的面积是( )．A. √B.C.D.E.24.三角形的面积为60cm2，有一条边长为10cm，则它的周长的最小值为( )cm．(A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 35 (E) 36A.B.C.D.E. √见图6-89．设AB边长10 cm，则C在平行于AB，并且和AB的距离为12 cm的直线l上变动．设A'是A 关于直线l的对称点，则三角形的周长=10 cm+折线A'CB长，当A'，C，B共线时最短．25.底半径为5的等边圆锥，它的侧面积为( )．(A) 15π (B) 20π (C) 25π (D) 40π (E) 50πA.B.C.D.E. √26.如图6-65，长方形ABCD中，AB=10 cm，BC=5 cm，以AB和AD的面积为( )cm2．A.B.C.D. √E.图中阴影部分的面积等于的面积减去曲边四边形ABCF的面积，而曲边四边形ABCF的面积又等于长方形ABCD的面积减去的面积．27.直角三角形ABC的斜边AB=13 cm，直角边AC=5cm，把AC对折到AB上去与斜边相重合，点C与点E重合，折痕为AD，如图6-63．则图中阴影部分的面积为( )cm2．A.B. √C.D.E.设DE=x，则CD=DE=x．28.z=5x+y的最大值为( )．(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 以上结果均不正确A.B.C.D. √E.29.如图6-67，⊙O直径AB=10 cm，C是AB弧的中点，ABD是以AB为半径的扇形，则图中阴影部分的面积是( )cm2．A.B. √C.D.E.如图6-94，连接OC，△OBC是等腰直角三角形．注：如果我们连接AC，S弓形AC=S弓形BC，则可直接得到S阴影=S扇形ABD-S△ABC．30.梯形ABCD(AB∥DC)中，∠A=∠DBC(见图6-49)，AB:DC=25:16，则AD:BC=( )．(A) 2 (B) 16:25 (C) 4:5 (D) 25:16 (E) 5:4A.B.C.D.E. √两个三角形相似．注意对应关系．31.如图6-62，已知BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=65°，∠EDF=50°，则在下列四个结论中正确的是( )．①BC∥AE ②ABCD是平行四边形③∠C=65°④△EFD是正三角形(A) ①② (B) ①③ (C) ①②③ (D) ②③④ (E) ③④A. √B.C.D.E.∠C=180°-(∠CBF+∠CFB)=50°=∠EDF，有BC∥AE，①正确；③不正确．由BC∥AE得∠E=∠CBF=65°，④不正确．∠ABF=∠CBF=65°，∠A=180°-(∠E+∠ABF)=50°=∠EDF，AB∥DC，ABCD是平行四边形，②正确．32.梯形ABCD下底AB和上底CD的长度比为3:2，E是两腰延长线的交点，则△ABE面积和梯形面积比为( )．(A) 3:2 (B) 9:4 (C) 9:5 (D) 3:1 (E) 2:1A.B.C. √D.E.33.y=kx+(m+n)一定经过( )．(A) 第一、二、三象限 (B) 第一、二象限 (C) 第二、三象限(D) 第一、四象限 (E) 无法确定A.B. √C.D.E.34.若一个圆柱和圆锥的底的直径和高都与一个球的直径相等，则圆柱、圆锥与球的体积之比为( )．(A) 6:4:3 (B) 6:3:4 (C) 5:1:3 (D) 3:2:1 (E) 3:1:2A.B.C.D.E. √35.等腰直角三角形的外接圆的面积和内切圆的面积的比值为( )．A.B.C.D.E. √面积比即半径比的平方．36.从点P(5，4)作圆：(x-3)2+(y+2)2=4的切线PA，PB，则切点A，B间的距离为( )．A.B.C.D. √E.设圆的圆心为Q(3，-2)．PQ交AB于R，切点B的坐标为(5，-2)．BR是Rt△PBQ斜边PQ上的高，37.一个圆的半径为r，圆外点P到圆心O的距离h＞r，过P的圆的两条切线的切点为A和B．(1)求AB的长度．(2)求O到AB的距离d．填空项1:__________________见图6-90．记M是OP和AB的交点．利用直角△AOP和直角△OMA相似求d．利用△AOP的面积求AB．二、条件充分性判断(总题数：1，分数：39.00)A．条件(1)充分，但条件(2)不充分．B．条件(2)充分，但条件(1)不充分．C．条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分．D．条件(1)充分，条件(2)也充分．E．条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．（分数：39.00）(1).梯形ABcD(AB∥DC)有外接圆．(1)∠A=∠B； (2)AB和DC中点的连线和AB垂直．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)梯形有外接圆㈢它是等腰梯形．两个条件都可以推出是等腰梯形．(2).平面上两条不同直线l1，l2平行．(1)l1，l2都垂直于直线l；(2)l1上有两个点P，Q到l2距离相等．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((A)．)由条件(2)不能得出平行，因为当相交时l1上也可找到两个点P，Q到l2距离相等．(3).凸四边形是正方形．(1)它的两条对角线的交点到4个顶点的距离相等；(2)它的两条对角线的交点到4条边的距离相等．__________________________________________________________________________________________正确答案：((C)．)见7题．(4).△ABC是等边三角形．(1)它的内切圆和外接圆是同心圆；(2)它的重心和垂心(三条高的交点)重合．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)(1)成立时，各边的中垂线和所对顶角的分角线都重合，推出3边等长．(2)成立时，各边的中线和高都重合，推出3边等长．(5).两个相外切的圆的公切线的长度为4．(1)这两个圆的半径为1和4；(2)这两个圆的半径的乘积为4．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)设这两个相外切的圆的半径为r和R，则公切线长度的平方=(r+R)2+(r-R)2=4rR．(6).直线ax+by=3和圆x2+y2=3没有交点．(1)点P(a，b)在圆x2+y2=3的外面；(2)点P(a，b)在圆x2+y2=3上．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((E)．)直线ax+by=3和圆x2+y2=3没有交点圆心(0，0)到ax+by=3(7).动点(x，y)的轨迹为圆周．(1)|x-1|+|y|=4； (2)3(x2+y2)+6x-9y+1=0．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((B)．)(8).圆(x-1)2+(y-2)2=4和(x-4)2+(y+2)2=r2相切．(1)r=-3； (2)r=7．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)=两半径和或两半径差的绝对值．(9).直线l和圆周(x-1)2+(y+2)2=5相切．(1)l的方程为x+2y-2=0；(2)l的方程为2x-y+1=0．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)(10).直线l被圆周(x+1)2+(y-3)2=9(1)直线l的方程为x+7y-5=0；(2)直线l的方程为7x+y-11=0．填空项1:__________________ （正确答案：(D)．）利用直线被圆截得的弦长度和圆心到直线距离的关系．(11).圆心分别为(0，1)和(3，5)，半径分别为r1，r2的两个圆的公切线有3条．(1)r1=2，r2=3； (2)r1=4，r2=1．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)两个圆的公切线有3条即它们外切．(12).(x-a)2+(y-b)2=9和x2+y2=1的公切线有2条．(1)a2+b2＜16； (2)a2+b2＞4．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((C)．)两个圆的公切线有2条即它们相交．(13).直线Ax+By+C=0和圆(x-2)2+(y+3)2=5相切．(1)A=1，B=2，C=-1； (2)A=2，B=1，C=3．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((A)．)直线和相切即圆心到直线的距离等于半径．。
解析几何2
[课堂练通考点]1. (2013·银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．3或－1解析：选C 由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a， 即a ＝－1.2．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( ) A.23B ．－1C ．2D ．－1或2解析：选A 由a ×1＋(a －1)×2＝0∴a ＝23. 3．(2014·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0 解析：选D 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0. 4. 已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5. 又|15－3a |5≤3， 即|15－3a |≤15，解之得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]5．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，b ＝a 1－a， 故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a＝0， (a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. [课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1. (2014·成都模拟)若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 由⎝⎛⎭⎫－a ＋12×1a ＝－1，得a ＋1＝2a ，故a ＝1. 2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．3. 已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：选A ∵l 2，l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3.即y ＝12x ＋32. ∴l 2的斜率为12. 4. 已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 由已知k AB ＝2，即4m －1＝2，解得m ＝3. 5. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：选D 由|P A |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且P A 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线P A ，PB 关于直线x ＝3对称，直线P A 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.6. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k (k ≠0)，则折痕所在直线的方程为________．解析：设将矩形折叠后A 点落在线段CD 上对应的点为G (a,1)(0≤a ≤2)，所以A 与G关于折痕所在的直线对称，设所求直线的斜率为k ，则有k AG ·k ＝－1，即1a·k ＝－1，得a ＝－k ，故G 点的坐标为(－k,1)(－2≤k <0)，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－k 2，12 ，折痕所在直线的方程为y －12＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12(－2≤k <0)． 答案：y ＝kx ＋12k 2＋12(－2≤k <0) 7．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案：－13或－798. (创新题)若实数x ，y 满足x |x |－y |y |＝1，则点(x ，y )到直线y ＝x 的距离的取值范围是________．解析：①当x ≥0且y ≥0时，x |x |－y |y |＝x 2－y 2＝1；②当x ＞0且y ＜0时，x |x |－y |y |＝x 2＋y 2＝1；③当x ＜0且y ＞0时，无意义；④当x ＜0且y ＜0时，x |x |－y |y |＝y 2－x 2＝1.作出图象如图所示，因为直线y ＝x 为两段等轴双曲线的渐近线，四分之一个单位圆上的点到直线y ＝x 的距离的最大值为1.∴取值范围为(0,1]．答案：(0,1]9．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2， 当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.10. 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－y x ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎨⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③ y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.第Ⅱ组：重点选做题1. 已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 点A 关于直线y ＝2x 对称的点为(4，－2)，且点A 关于y ＝2x 对称的点在BC 上，于是BC 所在的直线方程为3x ＋y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，得点C 的坐标为(2,4)． 2．若点(1,1)到直线x cos α＋y sin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是________． 解析：依题意有d ＝|cos α＋sin α－2|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2. 于是当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1时，d 取得最大值2＋ 2. 答案：2＋ 2。
高中数学竞赛专题讲座之五：解析几何_2_
高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。
正确答案为C. 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（线（ ）上）上A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定．不确定8．（05四川）双曲线12222=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定为直径的两圆一定 （ ）A ．相交．相交B ．内切．内切C ．外切．外切D ．相离．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△PF F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线．双曲线 B ．椭圆．椭圆 C ．椭圆的一部分．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O的直线。
专题12平面解析几何(第二部分)
专题12平面解析几何（第二部分）一、单选题1．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（ ）A ．7B ．6C ．5D ．42．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP二、填空题3．抛物线216y x =的焦点坐标为．4．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为； MNF V 的面积为．5．设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为． 6．已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为.7．设0a >，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减；②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的序号是．三、解答题8．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠ 都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 11．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()()2,0,0,1A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．12．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.13．已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．14．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交3y =-交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．15．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为 (1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．17．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .18．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．19．已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u v u u u v ，QN QO μ=u u u v u u u v ，求证：11λμ+为定值． 21．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．。
解析几何练习题及答案
解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。
解析几何(二)含答案
1．双曲线 的左右顶点分别为 ，曲线 上的一点 关于 轴的对称点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则当 取到最小值时，双曲线离心率为（ ）
A． B．2C．3D．6
2．已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数m的取值范围（）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线C： 的焦点为F，过点F且倾斜角 的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若 的面积 ，则线段AB的中点M到y轴的距离是（）
【详解】设 ，由 ，得 ，
因为 ，则由余弦定理可得
，
解得 ，
则 ，即 ①，
又 经过点 ，
所以 ②
联立①②，解得 ，则
所以 的虚轴长为
故选:C
7．D
【分析】抛物线 的准线为 ，焦点为 ，当 ， ， 三点共线时， 到点 的距离 与点 到抛物线的焦点距离 之和最小，从而 的最小值为 ．
【详解】解：如图所示，
17．已知 ， 分别是双曲线C： 的左右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足 ，O为坐标原点，直线 与该双曲线的左支交于P点，且 ，则双曲线C的渐近线方程为______．
18．已知椭圆 的离心率为 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上且在以 为直径的圆上．线段 与 轴交于点 ， ，则椭圆 的长轴长为_____．
(1)证明：直线 的斜率为定值；
(2)在 中，记 ， ，求 最大值.
22．平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，椭圆 .设点 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 .
(1)求 的值；
(2)求 面积的最大值.
23．平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，椭圆 .设点 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 .
全国卷高考数学导数、解析几何大题专项训练含答案(二)
全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练（二）一、解答题1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。
（I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。
2.(本小题满分12分） 已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。
3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*∈N n ． 4.已知x=1是()2ln bf x x x x =-+的一个极值点（1）求b 的值； （2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设x x f x g 3)()(-=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。
5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <.（Ⅰ）证明：1ln 2x <；（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.6.设函数2()ln 4f x a x x =-，2()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.（Ⅰ）当32b =时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数()()()g x p x f x x =+在区间2[1,]e 上的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.8.已知函数2()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=（1）若()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求、a b 的值；（2）对于任意的实数k，且、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与()y g x '=的图象有公共点；（3）在（1）的条件下，设112212(,),(,),()A x yB x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-，证明：102x x x <<9.（本小题满分13分）已知函数21()ln (,0).2f x x ax a R a =-∈≠（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）已知点1111(1,),(,)(1):()2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C上是否存在点00(,)M x y 满足：①1012x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ？请说明理由。
南京邮电大学《线性代数与解析几何》期末试卷2
−1 −1 0 0 0 0
1
3 −1 −1 1 0 −1
1
当 = 4 时， E − A = −1 1 −1 → 0 1 2 2 = 2 ,
−1 −1 3 0 0 0
1
第2页共3页
《线性代数与解析几何》练习册参考解答——期末试卷二
1 1 1
−1
当 = 0 时， E − A = −A → 0 1 0 3 = 0 ,
《线性代数与解析几何》练习册参考解答——期末试卷二
期末试卷二
一、填空题：
A11 A12 A13 1. A21 A22 A23 = ( A* )T = A* = A 2 = 4 .
A31 A32 A33
2. 消去 z 得投影柱面： x2 + 2y2 = 16, 投影曲线为 x2 + 2y2 = 16 z=0
5. A 与 B 相 似 ， 故 它 们 具 有 相 同 特 征 值 ， 从 而 矩 阵 B−1 − I 的 特 征 值 分 别 为
1
=
1 3
−1,
2
=
1 4
−1,
3
=
1 5
−1,
B−1 − I
=
123
=
−
2 5
.
二、填空题：
1. ( B )
2. ( D )
3. ( A)
4. ( A)
5. ( A)
阵.
第3页共3页
3
1 1 1 A = 4b
七、 解：二次型的矩阵 A = 1 3 1 ，令
a = 1, b = 0 .且矩阵 A 的特征值分别
1 1 a trA = 5 + b
是 1 = 1，2 = 4，3 = 0 .
专题37平面解析几何解答题(第二部分)
专题37平面解析几何解答题（第二部分）一、解答题1．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.2．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r r ．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．3．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足NP u u u v u u u v .（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u v u u u v .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．5．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222PF PF ==（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e6．已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．7．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点，且离心率e =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.8．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9．设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b +=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为 ()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足 2BM MA =，直线OM （Ⅰ）求E 的离心率e ； （Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为 72，求E 的方程.10．已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB =(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=u u u u r u u u r ，求MFN △面积的最小值．11．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB V 面积的最大值．12．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.13．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.14．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．15．在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 16．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M e 与l 相切．（1）求C ，M e 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M e 相切．判断直线23A A 与M e 的位置关系，并说明理由．17．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =u u u v u u u v ，求|AB |．18．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．19．已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.。
解析几何(2)师
解析几何(2) 1.如图，把椭圆162522yx＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________. 解析：设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知，|P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋ (|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.答案：352.已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为__________． 解析：如图，设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动圆圆心P 到两定点，即定点A (－3,0)和定圆圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.所以点P 的轨迹是以A 、B 为两焦点，长半轴长为4，短半轴长为b ＝42－32＝7的椭圆，方程为：x 216＋y 27＝1.3. 曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1 (m <6)与曲线x 25－n ＋y 29－n＝1 (5<n <9)的( )A ．焦距相等B ．离心率相等C ．焦点相同D ．有两顶点相同解析：∵m <6，∴10－m >6－m >0，∴曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其焦距为2(10－m )－(6－m )＝4.∵5<n <9，∴5－n <0,9－n >0.∴曲线x 25－n ＋y 29－n ＝1，即y 29－n －x 2n －5＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线，其焦距为2(9－n )＋(n －5)＝4.故选A.4. 设F 是椭圆x 225＋y 216＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点P i (x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…，|FP 2011|的长度成等差数列，若|FP 1|＝2，|FP 2011|＝8，则点P 2010的横坐标为 ( )A.20082011B.1005201C.1004201D.53667解析：∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴F (－3,0)，由|FP 1|＝2＝a －c ，|FP 2011|＝8＝a ＋c ，可知点P 1为椭圆的左顶点，P 2011为椭圆的右顶点，即x 1＝－5，x 2011＝5＝－5＋2010d ，∴d ＝1201，则数列{x i }是以－5为首项，1201为公差的等差数列，∴x 2010＝－5＋2009×1201＝1004201. 5. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为 ( )解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.6.椭圆25922yx+＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是________解析：设椭圆上点P 到两焦点的距离分别为u 、v ，则u ＋v ＝10，u v ＝m ；设∠F 1PF 2＝θ，由余弦定理可知cos θ＝u 2＋v 2－(2c )22u v ，即u 2＋v 2－2u v cos θ＝64⇒m ＝181＋cos θ，显然，当P 与A 或B 重合时，m 最大．答案：(－3,0)或(3,0)7. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM →＝λAB →.(1)证明：λ＝1－e 2；(2)确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．解析：(1)证明：因为A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－ae ，0，(0，a )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ex ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c ，y ＝b 2a .这里c ＝a 2－b 2.所以点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .由AM →＝λAB →得⎝⎛⎭⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝⎛⎭⎫a e ，a .即⎩⎨⎧a e －c ＝λa eb2a ＝λa，解得λ＝1－e 2.(2)解：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2＝90°＋∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|＝|F 1F 2|，即12|PF 1|＝c .设点F 1到l 的距离为d ，由12|PF 1|＝d ＝|e (－c )＋0＋a |1＋e 2＝|a －ec |1＋e 2＝c ，得1－e 21＋e 2＝e ，所以e 2＝13，于是λ＝1－e 2＝23.即当λ＝23时，△PF 1F 2为等腰三角形．8.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8解析：由题易知F (－1,0)，设P (x ，y )，其中－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2当x ＝2时，(OP →·FP →)max ＝6.9. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析] 由题意知：F (－c,0)，A (a,0)．∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c .又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2，∴e ＝c a ＝12.故选D.10. 已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则椭圆的离心率为 ( )A.12B.23C.13D.53[解析] 由PF 1→·PF 2→＝0知∠F 1PF 2为直角，设|PF 1|＝x ，由tan ∠PF 1F 2＝12知，|PF 2|＝2x ，∴a ＝32x ，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2得c ＝52x ，∴e ＝c a ＝53.11. 椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.12. 已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆92522yx+＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF | ∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |.同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |，13. 已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程kyx223+＝1表示椭圆的概率为________．[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.14.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[解析] (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63a ＝3，∴c ＝2，b ＝1，∴所求椭圆方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)，把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∵k ≠0，∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值，S ＝12×|AB |max ×32＝32.15. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为 ( )A.33B.32 C.22D.23[解析] 据已知可得|PF 2|＝b 2a ，在直角三角形PF 1F 2中可得|PF 1|＝2|PF 2|＝2b 2a ，由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a ＝2a ⇒b 2a 2＝23，则椭圆离心率e ＝1－b 2a2＝1－23＝33. 16.一个圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一个定点，M 是圆上一个动点，把纸片折叠使得F 与M 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 的交点为P ，则P 点的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 [答案] B[解析] 由条件知，点P 在线段MF 的垂直平分线上，故|PM |＝|PF |，∵|PM |＋|PO |＝|OM |，∴|PF |＋|PO |＝|OM |，∵点F 在⊙O 内，∴|OM |>|OF |， 又|OM |为⊙O 的半径为定值，故点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆．17. 若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 21＋1e 22＝A ．2B. 2C. 3D ．3[解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得：|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2，18.若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为 ( )A.38B.516C.58D.316[答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b 2<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝⎛⎭⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝⎛⎭⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P＝582＝516. 19.若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得|C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．20.在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围． [解析] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2，∴圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|P A |、|PO |、|PB |成等比数列得，(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2，由此得y 2<1.所以P A →·PB →的取值范围为[－2,0)．21.分别过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎫22，1D.⎝⎛⎦⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B.。
解析几何(2) 双曲线(含答案)
第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．【梳理自测】一、双曲线的概念已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．答案：x 29－y27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 32．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414 B .324 C .32D .434．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．答案：1.D 2.A 3.C 4.－1 4◆此题主要考查了以下内容：考向一双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( ) A．19 B．26C．43 D．50(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y23＝1【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为x 29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15【审题视点】 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 【典例精讲】 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .【答案】 (1)C (2)B【类题通法】 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝ 1＋b2a2＝ 2.答案： 2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．【审题视点】 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 【典例精讲】 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a2a 2－1，①x 1x 2＝2a2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③ 由①③，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②， 得517×1217×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－1713舍去. 【答案】1713【类题通法】 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k∈________．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪ (1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 【正解】 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 【答案】 D【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．【警示】 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba 的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255 D .455解析：选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255. 2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B .x 24－y25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y25＝1 解析：选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ. 故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。
解析几何1 (2)
学后反思 (1)对直线 的大致位置分析，界定了斜率的存在性及其范围，指 明了解题方向，这种分析是避免解题盲目性的重要技能. （2）本题将面积表示为k的函数，再用基本不等式求最小值，方程选择不同， 自然参数不同，但是求最值的方法首先考虑基本不等式，然后是函数单调性、 换元等方法.
举一反三
3. 已知直线 L过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点， 如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线 L 的方程.
k 1
所以
S (k )
1 2
1 2 k 2
1 k 2
l 1 4 4k
1 1 4 4 4 k 2
当且仅当
4k
1 k
,即k=- 时，等号成立.
2 1
1
故直线 l 的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0. 2 x y l 方法二：设过P（2，1）的直线为 a b 1 (a＞0,b＞0), 则
2 a 1 b 1
.
l
2 1 2 1 1 ,即ab≥8, a b a b 2 1 1 1 S O AB ab 4 ,当且仅当 ,即a=4,b=2时，等号成立. a b 2 2 x y 故直线方程为 1 ,即x+2y-4=0. 4 2
由基本不等式得 2
5 3
5x+2y+1=0, 5 , ∴ l的斜率k=- ,
3
3x+2y-1=0, 得 l1 , l 2 的交点P(-1,2).
∴l :y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0. 方法二：由 l ⊥ l 3 ,可设l :5x+3y+C=0. ∵l1 ,l 2 的交点可以求得为P(-1,2). ∴5〓(-1)+3〓2+C=0,∴C=-1, ∴l :5x+3y-1=0.
高三数学专项训练：函数与导数,解析几何解答题(二)(理科)
（2）过右焦点 的直线与椭圆交于不同的两点 、 ，则 内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
35．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中 、 是过抛物线 焦点 的两条弦，且其焦点 ， ，点 为 轴上一点，记 ，其中 为锐角．
（3）求证： .
4．已知函数 .
（Ⅰ）若函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为 ，求 的值；
（Ⅱ）当 时， 为常数，且 ， ，求 的取值范围.
5．已知函数 ，函数 ．
(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间 上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列 是公差为1．首项为l的等差数列，数列 的前n项和为 ，求证：当 时， .
41．（13分） 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，
①若直线ＡＢ的斜率为 ，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；
②当Ａ、B运动时，满足 ＝ ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
(2)点Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为 ，点P的坐标是(0，－1)， 与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．
27．已知两点 及 ，点 在以 、 为焦点的椭圆 上，且 、 、 构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)如图，动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，点 是直线 上的两点，且 ，
． 求四边形 面积 的最大值．
2013年MBA数学——解析几何2
41. ★直线10x +=的倾斜角是 （ ） A ．6π B. 3π C. 23π D. 56π E.34π 答案：D，本题考查斜率的性质。
由题知直线的斜率是3-，故倾斜角是56π，选D 。
16842.(,)()55(1)2,4(2)4,2y ax b a b a b =+-====★★在平面直角坐标系中，以直线为轴与原点对称的点的坐标是答案：Ａ，本题考查点关于直线对称的性质。
由题意知原点与对称点连线的中点在直线上，即8455a b -+=，将条件（1）和条件（2）代入可知，条件（1）符合，条件（2）不符合。
故选A 。
43．★直线22(252)(4)4m m x m y -+--+=0的倾斜角为4π，则实数m 的值为 （ ）A ．2 B. 3 C.2或3 D.-3 E.-2答案：B ，本题考查直线斜率的性质。
由题知，斜率为1，故222521,4m m m -+=-解得m=3，故选B 。
44.★★已知动点P(x,y)在圆22(2)1x y -+=上运动，y/x 的最大值为（ ）A.B.C.D. 2答案：C ，解析几何以及直线与圆的位置关系令y/x=k ，所求的最大值即为直线y=kx 的斜率，问题转化为直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时k 可以取到最大值和最小值，利用作图法比较直观，可知k 的最大值为∂tan ，又1sin 30tan 23o∂=∂=⇒∂=故，选Ｃ。
45．★★圆22(3)(3)9x y -+-=上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数有（ ） A. 1 B. 2 C.. 3 D. 4 E. 5答案：选 C ，本题考查解析几何以及直线与圆的位置关系。
圆心()33，到直线的距离为243|114333|22=+-⨯+⨯=d由于圆心到直线的距离为2，半径为3，则有3个点满足条件。
故选C 。
46.★★a=-4（1）点A （1，0）关于直线L:x-y+1=0的对称点是'(,)42aa A - （2）直线1l ：(2+a)x+5y=1与直线2l ：ax+(2+a)y=2垂直 答案：选A ，本题考查解析几何以及直线与直线的位置关系（1）'(1,2)A － 1-='A A K 直线A A '与直线x-y+1=0垂直，又A 到直线L 的距离与'A 到直线的距离相等，故这两点关于直线L 对称。
线性代数与解析几何练习题(2007级秋)(2)
（2） 若AB = 0, 则B = 0
4、 设 n 阶方阵 A 不是单位方阵，且 A 2 = A ，试证明 (1) A 是不可逆矩阵，并求逆矩阵。
(2) A + I与A − 2 I 均为可逆矩阵，
6、 设同阶方阵 A, B ，其中 B 可逆，且满足 A 2 + AB + B 2 = 0 ，证明 A和A + B 可逆。
⎡1 0 1 ⎤ ⎥ ⎢ 1、设 A = 0 2 0 ，而 n ≥ 2 为正整数，求 An − 2 An −1 。 ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣1 0 1 ⎥
⎛ 0 − 2 0⎞ ⎜ ⎟ 2、假设矩阵 A, B 满足 A − B = AB ，其中 A = ⎜ 1 − 2 0 ⎟ .求。 ⎜ − 1 2 0⎟ ⎝ ⎠
7、画出由半锥面 z = x 2 + y 2 与曲面 x 2 + y 2 = 2 − z 所围成空间图形的草图。
8、由与平面 z = −1 及点 M (0, 0,1) 等距离运动的动点 P ( x, y , z ) 所生成的曲面记为 π 1 ，将
yOz 平面上曲线 ⎨
⎩
1. π 1 的方程是：
⎧
y2 + z = 5 以 z 轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为 π 2 。则： x=0
2002
⎛ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
5、设方阵 A 满足 A2 + A − 4 I = 0, 其中I 为单位矩阵, ， 则(A − I )−1 = _____________ 。
(二)选择题
1、设 n 阶矩阵 A, B, C 满足ABC = I , I 为单位矩阵 ，则必有 （A） ACB = I （B） BCA = I （C） CBA = I （D） BAC = I （ ）
解析几何大题精选四套(答案)
解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一）1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。
（1） 求实数b 的值；（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.解析几何大题训练（二）1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I)求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。
空间解析几何练习2答案
空间解析几何练习2解答1. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(2, 9, -6), 所求平面的方程为2(x -2)+9(y -9)-6(z -6)=0, 即2x +9y -6z -121=0.2. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离.解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为1221|1012221|222=++-⨯+⨯+=d . 3. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量n 可取为直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 的方向向量, 即 k j i k j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=. 所平面的方程为-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0, 即16x -14y -11z -65=0.4. 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行. 解 直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 的方向向量分别为 k j i k j i s 531121211++=--=, k j i k j i s 15391123632---=---=. 因为s 2=-3s 1, 所以这两个直线是平行的.5. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离→||||0s s ⨯=M M d . 解 设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量→MN =s , 根据向量积的几何意义, 以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为 →→→||||00s ⨯=⨯M M MN M M ,又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→||||s ⋅=⋅d MN d . 因此→||||0s s ⨯=⋅M M d , →||||0s s ⨯=M M d . 6. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, -1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程. 解 根据题意, 有222)2()1()1(||-+++-=z y x z ,或 z 2=(x -1)2+(y +1)2+(z -2)2,化简得(x -1)2+(y +1)2=4(z -1),这就是点M 的轨迹方程.7. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使∆ABC 的面积最小.解 设所求的点为C (0, 0, z ), 则→) ,0 ,1(z AC -=, →)1 ,2 ,0(--=z BC .因为 →→k j i k j i 2)1(212001+-+=---=⨯z z z z BC AC , 所以∆ABC 的面积为→→4)1(421||2122+-+=⨯=z z BC AC S . 令04)1(4)1(284122=+-+-+⋅=z z z z dz dS , 得51=z , 所求点为)51 ,0 ,0(C . 设|a |=4, |b |=3, 6) ,(^π=b a , 求以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积. 解 (a +2b )⨯(a -3b )=-3a ⨯b +2b ⨯a =5b ⨯a .以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=⨯=-⨯+b a a b a b b a b a。
解析几何2
1. (本小题满分15分)如图，在ABC ∆中，7||||,||22AB AC BC ===，以B 、C 为焦点的椭圆恰好过AC 的中点P 。
（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点1A 作直线与圆22:(1)2E x y -+=相交于M 、N 两点，试探究点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由. (本小题满分15分) 解：（1）∵7||||,||22AB AC BC ===∴||||1,BO OC ==||OA ===∴(1,0),(1,0),B C A -∴1(2P 依椭圆的定义有：2||||a PB PC =+=97444=+= ∴2a =，…………………………………………………………………………6分又1c =，∴2223b a c =-=………………………………………………………7分∴椭圆的标准方程为22143x y +=……………………………………………8分 （求出点p 的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P 点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分。
）（2） 椭圆的右顶点1(2,0)A ，圆E 圆心为(1,0)E ，半径r =假设点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧，则90MEN ︒∠=，圆心(1,0)E 到直线的距离1d ==………………10分 当直线斜率不存在时，的方程为2x =，此时圆心(1,0)E 到直线的距离1d =（符合）……………………………11分当直线斜率存在时，设的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=， ∴圆心(1,0)E到直线的距离1d ==，无解……………………………13分综上：点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧，此时方程为2x =…15分。
2. 已知圆M ：()2244x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 是直线l 上一动点，过点P 作圆的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（Ⅰ）当P 的横坐标为165时，求∠APB 的大小； （Ⅱ）求证：经过A 、P 、M 三点的圆N 必过定点，并求出所以定点的坐标．（Ⅲ）求线段AB 长度的最小值．解：（Ⅰ）由题可知，圆M 的半径r ＝2，168(,)55P ， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以∠MAP ＝90°又因MP4=＝2r ，又∠MP A ＝30°，∠APB ＝60°； ……4分（Ⅱ）设P （2b ，b ），因为∠MAP ＝90°，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即()22(24)40x y b x y y +--+-=由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩， ……7分 解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ ……9分（Ⅲ）因圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即 222(4)40x y bx b y b +--++= ……①圆M ：()2244x y +-=即228120x y y +-+= ……②②－①得圆M方程与圆N相交弦所在直线m方程为2(4)124b x b y b+-+-=…11分点M到直线m的距离d=……13分相交弦长即AB==……15分当45b=时，AB……17分3. 河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，故通行无阻．近日水位暴涨了2．7m，为此，必须加重舰载，降低船身，才能通过桥洞．试问船身至少应该降低多少？（精确到0.01，参考99.383≈）19．解：以正常水位时河道中央O为原点，过点O垂直于水面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示。
解析几何(模拟2)
1.． 已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（1，1+2）D ．（2，1+2）2、已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合，线1:cos()4C πρθ+=与线224:4x u C y u⎧=⎨=⎩（参数u R ∈）交于A 、B 两点.写出OAB ∆的外接圆的标准方程3、点K 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点，12,F F 分别是椭圆的左右焦点，若12KF KF ∙ 的最大值为3，最小值为2；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若M 、N 是直线2a x c=上两个动点，且120F M F N ⋅=，设C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C 的位置关系； （Ⅱ）试探究满足上述条件的MN 的取值范围。
1、已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 恰好是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，且两条曲线的公共点的连线过F ，则该椭圆的离心率为（）A B 1 C D2、（坐标系与参数方程选做题）P 是曲线sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=-⎩（)2 , 0[πθ∈是参数）上一点，P 到点)2 , 0(Q 距离的最小值是 ．3. 在平面直角坐标系中，已知两个定点A （1，－1），B （4，1），动点M 满足μλ+=（O 为坐标原点），其中22205μλ+=4.（I ）求动点M 的轨迹方程；（II ）设点M 的轨迹为曲线C ，点P 是射线32(2≥=x x y ）上（非端点）任意一点， 由点P 向曲线C 引两条切线PQ 、PT （Q 、T 为切点）.求证QT 的斜率为常数.1．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________； 12F PF ∠的小大为__________.2．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:2.x t l y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．3. 已知向量(2,0) , (0,1)OA OC AB ===,动点M 到定直线1y =的距离等于d ，并且满足2()OM AM k CM BM d ⋅=⋅-，其中O 是坐标原点，k 是参数.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹方法，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e ≤，求k 的取值范围.。
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《解析几何 》练习题2
一、判断题(每题2分，共16分)
1．若→a ║→b ，则对任意→c ，有),,(→
→→c b a =0。
（ ）
2．)()(→
→→→→→•=•c b a c b a 。
（ ）
3．若)1,0,1(),1,0,1(-==b a 则b a ⊥ 。
（ ） 4.b a b a -=+，则a 与b 同向。
（ ）
5．平面8723=+-z y x 与直线723z
y
x
=-=是平行的。
（ ）
6．点P(x,y,z)关于y 轴对称的点的坐标为),,(z y x --。
（ ）
7．在空间直角坐标系中，z x 42=表示抛物线。
（ ）
8．点（1，0，2）在球面3222222=---++z y x z y x 外。
（ ）
二、选择题(每题2分，共16分)
1．下列等式中正确的是 （ ）
A. →→→→⨯=⨯a b b a B .→
→→→•=•a b b a
C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→
→→→→→c a b c b a ,,,, D. 2
22→
→→→•=⎪⎭⎫
⎝⎛•b a b a
2. 在直角坐标系下，→a ={}1,0,1-，→b ={}2,1,0，则→a ⨯→
b = （ ）
A 、}{1,2,1-
B 、 }{1,2,1
C 、 }{1,2,1--
D 、 }
{1,2,1- 3. 点)3,4,2(-M 到平面0322=++-z y x 的离差是 （
） A. 32
B. —31
C. 34
D. 31
4. 两平面3x ＋6y －2z －7＝0，3x ＋6y －2z ＋14＝0之间的距离为：（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5 .已知：Ａ（1,2,3），B （3,2,1），则AB 的中点P 的向径OP 的分量为：（ ）
A ．{1,2,1}
B ．{1,1,1}
C ．{2,2,1}
D ．{2,2,2}
6.直线12
011-=+=z y x 与平面01=-+y x 的夹角为（ ）
A 6π
B 3π
C 4π
D 6π 或6
5π 7.方程0)2)(1(32)3(23)2(11)1(11222=----+-+-y x z y x 表示的图形为：（ ）
A ．锥面
B ．柱面
C ．球面
D ．旋转曲面
8、曲线⎪⎩
⎪⎨⎧==+0122
22z b y a x ，（a>b ）绕其短轴旋转所得旋转曲面方程为：（
） A ．122
22=+b y a x B ．122
2222=++a z b y a x
C ．122
2222=++b z b y a x D ．1222222=++c
z b y a x 三、填空题(每题3分，共18分)
1．已知：A(1,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,3)，则ΔABC 的重心G 的坐标为_______。
2．平面x+y －1＝0在坐标系中的特殊位置为： 。
3．直线⎩
⎨⎧=-+-=+-+014209385z y x z y x 对XOZ 面的射影平面的方程为______________。
4. 在y 轴上且到平面0222=--+z y x 的距离为4的点为： 。
5.二次曲线
01462322=+++-y x y x 奇异点的坐标是_____________. 6．方程14942
22=-+z y x 所表示的图形为
四、计算题(共36 分)
1（9分）.已知空间三点A(1,2,3)，B(2,－1,5),C(3,2,－5)试求
（1）ΔABC 的面积
（2）ΔABC 的AB 边上的高
2（7分 ）.求二次曲线
013622=-++--y x y xy x 渐近线的一般方程. 3（9分 ）求与平面0432=-+-z y x 平行且与原点距离为1的平面。
4（9分 ）设动点与点(1,0,0) 的距离等于从这点到平面x=4 的距离的一半，试求此动点的
轨迹。
五．综合题(共14分)
已知两直线l 1:0111+=-=z y x , l 2:0
11111-=-=-z y x . （1）证明两直线l 1 ,l 2 异面
（2）求l 1 与l 2 之间的距离
（3）求l
1与l
2
的公垂线方程。