推荐学习K122018年秋高中数学 第二章 随机变量及其分布 阶段复习课 第2课 随机变量及其分布学
高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习课练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解．(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为—A ·—B ；恰有一个发生为(—A ·B)∪(A·—B )；至多有一个发生为(—A ·—B )∪(—A ·B)∪(A·—B )．4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E (ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(2)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D (aξ＋b )≠aD (ξ)＋b ，D (aξ＋b )≠aD (ξ)．6．对于正态分布，要特别注意N (μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x ＝μ.专题一 条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42， 根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24. 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1242＝27.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝27÷47＝12. 法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24， 所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224＝12.归纳升华解决概率问题的步骤．第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.[变式训练] 已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次每次抽取1件，求下列事件的概率：(1)第一次取到次品，第二次取到正品； (2)两次都取到正品．解：设A ＝{第一次取到次品}，B ＝{第二次取到正品}．(1)因为100件产品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率为P (A )＝4100，第二次取到正品的概率为P (B |A )＝9699，所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B |A )＝4100×9699＝32825. (2)因为A ＝{第一次取到次品}，且P (A )＝1－P (A )＝96100， P (B |A )＝9599，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96100×9599＝152165. 专题2 独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．[例2] 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率．(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值X 围．解析：(1)因为P 1＝23，P 2＝12，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23()P 2·P 2＝89P 2－49P 22， 又ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤1.[变式训练] 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率． (2)2人中恰有1人射中目标的概率． (3)2人中至少有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，与B ， A 与B ，与为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B 发生)．根据题意，知事件A 与B 互斥，所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )＝P (A )P ()＋P ()P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A )＋P (B )]＝0.72＋0.26＝0.98.专题三 独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式P n (k )＝C kn ·p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n ，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3道题解答． (1)求X 同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示X 同学答对题的个数，求X 为1和3的概率．解：(1)设事件A ＝“ X 同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“X 同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (— A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (— A )＝56.(2)P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝3)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫25·45＝36125. 归纳升华解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式P n (k )＝C k n ·p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．[变式训练] 口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()A.80243B.100243C.80729D.100729解析：每次摸球中奖的概率为C 14C 15C 29＝2036＝59，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验， 所以3次摸球恰有1次中奖的概率P ＝C 13×59×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－592＝80243.答案：A专题四 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容． [例4] (2016·某某卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P415715415随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出均值，然后利用D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 求出方差．[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差．(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P （300≤X ＜900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.专题五 正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)． 归纳升华正态分布概率的求法1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．[变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．解析：设X 表示此镇农民的平均收入，则X ～N (5 000，2002)． 由P (5 000－200＜X ≤5 000＋200)＝0.682 6. 得P (5 000＜X ≤5 200)＝0.682 62＝0.341 3.故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．[例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P （A — B ）＝14，P （B — C ）＝112，P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14， ①P （B ）[1－P （C ）]＝112，②P （A ）P （C ）＝29. ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0.解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③可得P (A )＝13，P (B )＝14.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．则P (D )＝1－P (— D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p 1≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1，列出方程或不等式求出未知数．(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P9a 2－a3－8a求常数a 解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝23(舍去)或a ＝13.所以，随机变量的分布列为：ξ 0 1 P2313。
随机变量及其分布复习课PPT学习教案
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10、离散型随机变量的均值
数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
E X x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
11、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
之间通过的概第率16页/共．42页
[解析] 记 Ai 表示事件：电流能通过 Ti，i＝1,2,3,4， A 表示事件：T1，T2，T3 中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过． (1)－A ＝－A 1·－A 2·－A 3，A1，A2，A3 相互独立， P(－A )＝P(－A 1·－A 2·－A 3)＝P(－A 1)P(－A 2)P(－A 3)＝(1－p)3. 又 P(－A )＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001， 故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.
记为 X N(, 2 )
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19.正态曲线的性质
1
( x)
y
2
y
e
(
x )2 2 2
, x (, )
y
μ= -1
μ= 0
μ= 1
σ=0.5
σ=0.5
σ=0.5
-2
-1
0
2
-2
-1
0
2
-2
-1
0
2
-3
1
x
-3
1
x
-3
1
x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
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12、如果随机变量X服从两点分布，
随机变量及其分布专题复习(二)二项分布及其应用教学课件
二项分布及其应用（专题复习）
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求) 概率的相互独立事件的积事件． (3)代入概率的积、和公式求解．
独立重复试验与二项分布
(1)位于直角坐标系原点的一个质点 P 按下面规则移动： 质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移
二项分布及其应用（专题复习）
2．事件的相互独立性 (1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝___P_(A__)P__(B__)_，则 称事件 A 与事件 B 相互独立． (2)性质： ①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝_P_(_B_)_， P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝__P_(_A_)_P_(_B_)__． ②如果事件 A 与 B 相互独立，那么__A__与__－B____，_－_A_与___B___， __－_A_与__－_B__也相互独立．
(2) 若 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 相 互 独 立 ， 则 P(A1A2 … An) ＝ P(A1)P(A2)…P(An)．
条件概率
(1)(一题多解)现有 3 道理科题和 2 道文科题共 5 道题，
若不放回地依次抽取 2 道题，则在第 1 次抽到理科题的条件下，
第 2 次抽到理科题的概率为( )
动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点 P 移动五次后位于
点(1，0)的概率是( )
4 A.243
8 B.243
40 C.243
80 D.243
(2)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每 次击鼓要么出现音乐，要么不出现音乐．设每次击鼓出现音乐 的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．设每盘游戏出现音 乐的次数为 X，则 P(X≥1)＝________．玩三盘游戏，则恰有 两盘出现音乐的概率是________． 【解析】 (1)由题意得，质点 P 移动五次后位于点(1，0)，则 这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所 求的概率等于 C25·132·233＝28403.
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时 两点分
所以P(X＝0)＝CC06C13034＝310，P(X＝1)＝CC16C13024＝330， P(X＝2)＝CC26C13014＝12，P(X＝3)＝CC36C13004＝130. 所以X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
1 30
3 10
1
1
2
6
(2)由(1)知他能及格的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝
4．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则 所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布， 其中N＝6，M＝2，n＝3，
则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝CC02C36 34＋CC12C36 24＝45. 答案：45
5．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝
复习课件
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时 两点分布与超几何分布同步课件 新人教A版选修2-3
1
第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 离散型随机变量的分布列 第 2 课时 两点分布与超几何分布
[学习目标] 1.理解两点分布，并能进行简单的应用 (重点)． 2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简 单的应用(重点、难点)．
X0
1 …M
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随
机变量 X 服从超几何分布．
温馨提示 两点分布的随机变量 X 只能取 0 和 1，否 则，只取两个值的分布不是两点分布．
2018版高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列教案 新人教A版选修2-3
有 1 张中奖或 2 张都中奖．
故所求概率 P＝C41C16C＋120C24C06＝3405＝23. ②Y 的所有可能取值为 0,10,20,50,60，且 P(Y＝0)＝CC04C21062＝1455＝13，P(Y＝10)＝CC31C12016＝1485＝25， P(Y＝20)＝CC23C21006＝435＝115，P(Y＝50)＝CC11C21061＝465＝125， P(Y＝60)＝CC11C21013＝435＝115. 因此随机变量 Y 的分布列为
【解析】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 X 的
取值只有 0 和 1 两种情况． P(X＝1)＝CC11410＝140＝25，则 P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35. 因此 X 的分布列为
X01
P
3 5
2 5
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的 2 张奖券中
答案：D
4．一批产品共 10 件，次品率为 20%，从中任取 2 件，则恰好
取到 1 件次品的概率为( )
28 A.45
16
11
B.45 C.45
17 D.45
解析：由题意知 10 件产品中有 2 件次品，故所求概率为 P(X ＝1)＝CC12C21081＝1465.
答案：B
5．在掷一枚图钉的随机试验中，令 X＝10针 针尖 尖向 向上 下， ， 如果 针尖向上的概率为 0.8，随机变量 X 的分布列为________．
Y 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
121 15 15 15
方法归纳 1.两点分布的几个特点： (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知，已知 P(X＝0)(或 P(X＝1))，便 可求出 P(X＝1)(或 P(X＝0))． 2．解决超几何分布问题的两个关键点： (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母 的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械 地记忆．
2018-2019学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差讲义 新人教A版选修2-3
• 1．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布
．其中射击比较稳定的运动员是
()
环数k P(ξ＝k) P(η＝k)
8
9
10
0.3
0.2
0.5
0.2
0.4
0.4
• A．甲
B．乙
• C．一样 D．无法比较
• [解析] E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0
P(X＝5)＝CC22C63 14＝15， P(X＝4)＝CC12C63 24＝35， P(X＝3)＝CC3436＝15．
故 X 的分布列为：
X
5
4
3
P
1 5
3 5
1 5
E(X)＝5×15＋4×35＋3×15＝4．
D(X)＝(5－4)2×15＋(4－4)2×35＋(3－4)2×15＝25．
命题方向2 ⇨两点分布、二项分布的方差
典例 2 某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个 在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13．
(1)求这位司机遇到红灯次数 X 的均值与方差； (2)若遇上红灯，则需等待 30 秒，求司机总共等待时间 Y 的
[解析] (1)由题意知司机遇上红灯次数 X 服从二项分布，且
∴E(X)＝6×13＝2，D(X)＝6×13×(1－13)＝43． (2)由已知得 Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)
• 典例 4 (1)若随机事件A在1次试验中发生的
p(0<p<1)，用随机变量ξ表示A在1次试验中发
则方差D(ξ)的最大值为______． 0.196 • (2)一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而
2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版选修2_3
抛掷一枚质地均匀的骰子，用 X 表示掷出偶数 点的次数． (1)若抛掷 1 次，求 E(X)和 D(X)； (2)若抛掷 10 次，求 E(X)和 D(X)．
解：(1)X 服从两点分布
X0 1
P
1 2
1 2
所以 E(X)＝p＝12， D(X)＝p(1－p)＝12×1－12＝14. (2)由题意知 X～B10，12， 所以 E(X)＝np＝10×12＝5， D(X)＝np(1－p)＝10×12×1－12＝52.
3．有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2，2 张标有数字 5，从中 随机地抽取 3 张卡片，设 3 张卡片数字之和为 ξ，求 E(ξ)和 D(ξ)．
解：ξ 的可能取值为 6，9，12. ξ＝6 表示取出的 3 张卡片上都标有 2， 则 P(ξ＝6)＝CC31380＝175. ξ＝9 表示取出的 3 张卡片上两张标有 2，一张标有 5， 则 P(ξ＝9)＝CC28C13012＝175.
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
n
①方差 D(X)＝
∑(xi－E(X))2pi
i＝1
．
②标准差为 D（X） ．
(2)方差的性质：D(aX＋b)＝ a2D(X)
．
随机变量与样本方差的关系
(1)随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而
变化的，因此样本的方差是随机变量．
2．已知 A1，A2 为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加
每所高校的考试获得通过的概率均为12，该同学一旦通过某所
高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设 Nhomakorabea同学通过高校
的个数为随机变量 X，则 D(X)＝( )
A.136
2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布课件新人教A版选修2_3
解：记 E＝ 甲组研发新产品成功 ， F＝ 乙组研发新产品成功 ， 2 1 3 2 由题设知 P(E)＝ ，P( E )＝ ，P(F)＝ ，P( F )＝ ，且事件 E 3 3 5 5 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立． (1)记 H＝ 至少有一种新产品研发成功 ，则 H ＝ E F ， 1 2 2 于是 P( H )＝P( E )P( F )＝ × ＝ ，故所求的概率为 P(H)＝1 3 5 15 2 13 －P( H )＝1－ ＝ . 15 15
5．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7. (2)P(μ－2σ<X≤ μ＋2σ)≈0.954 5. (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
1．求分布列时要检验概率的和是否为 1，如果不是，要重新检 查修正． 2．要注意识别独立重复试验和二项分布． 3．在记忆 D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意 D(aX＋b)≠aD(X)＋b， D(aX＋b)≠aD(X)． 4．易忽略判断随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分 布的期望和方差公式计算致误．
解析：选 C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“第 1 二次闭合后出现红灯”为事件 B， 则由题意可得 P(A)＝ ， P(AB) 2 1 ＝ ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红 5 1 P（AB） 5 2 灯的概率是 P(B|A)＝ ＝ ＝ .故选 C. P（A） 1 5 2
【解】 (1)因为 X～N(10，1)，所以，正态曲线 φμ，σ(x)关于直 线 x＝10 对称，而区间(1，2)和(18，19)关于直线 x＝10 对称，
2 19 所以 φμ，σ(x)dx＝ φμ，σ(x)dx，
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第二课随机变量及其分布[核心速填](建议用时5分钟)1．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列出，则称X为离散型随机变量．2．条件概率的性质(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．3．相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)．(2)对于互斥事件A与B有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．4．二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．5．超几何分布与二项分布的概率计算(1)超几何分布：P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(其中k为非负整数)．(2)二项分布：P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．6．期望与方差及性质(1)E(X)＝X1·P1＋X2·P2＋…＋X n P n.(2)D(X)＝(X1－E(X))2·P1＋(X2－E(X))2·P2＋…＋(x n－E(X))2·P n.(3)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.(4)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．(5)D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.7．正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈68.27%.(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈95.45%.(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈99.73%.[体系构建][题型探究]率是在什么条件下发生的概率．求条件概率的主要方法有： (1)利用条件概率公式P (B |A )＝P ABP A；(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.【导学号：95032213】[解] 设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n (Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12. 于是P (A )＝n An Ω＝1220＝35.(2)因为n (AB )＝A 23＝6， 所以P (AB )＝n AB n Ω＝620＝310.(3)法一(定义法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P (B |A )＝P ABP A ＝31035＝12.法二(直接法)：因为n (AB )＝6，n (A )＝12， 所以P (B |A )＝n AB n A ＝612＝12.AB P B ⎝ ⎛⎭⎪⎫或B |＝P AB P A 求ABn A求解．其中(2)常用于古典概型的1．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？[解] 法一(直接法)：记至少出现2枚正面朝上为事件A ，恰好出现3枚正面朝上为事件B ，所求概率为P (B |A )，事件A 包含的基本事件的个数为n (A )＝C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝26，事件B 包含的基本事件的个数为n (B )＝C 35＝10，P (B |A )＝n AB n A ＝n B n A ＝1026＝513.法二(定义法)：事件A ，B 同上，则 P (A )＝C 25＋C 35＋C 45＋C 5525＝2632， P (AB )＝P (B )＝C 3525＝1032，所以P (B |A )＝P AB P A ＝P B P A ＝513.清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立． (2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立．一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率． (2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率． (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望.【导学号：95032214】[解] 设事件A 为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B 为“第2次取到白球”，C 为“第3次取到白球”，(1)P (A )＝C 1416C 15＋C 13C 16C 14A 29＝23.(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响， 所以P (C －)＝610＝35. (3)设事件D 为“取一次球，取到白球”，则P (D )＝25，P (D －)＝35，这3次取出球互不影响，则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，所以P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25k⎝ ⎛⎭⎪⎫353－k(k ＝0,1,2,3)．E (ξ)＝3×25＝65. 提醒：有放回地依次取出3个球，相当于独立重复事件，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则可根据独立重复事件的定义求解．2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P (ξ≤1)．[解] (1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D －，E －，F －分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式，知P (D －)＝0.4，P (E －)＝0.5，P (F －)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F －，D E －F ，D －EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F －)＋P (D E －F )＋P (D －EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (D －E －F －)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D －E －F )＋P (D －E F －)＋P (D E －F －)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝0.45.2．应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等．3．求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差．一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列．(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E (ξ)，D (ξ)．[解] (1)由已知，随机变量η的取值为：2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为η0，则η0的分布列为：P (η0＝1)＝16，P (η0＝2)＝13， P (η0＝3)＝12，所以η的分布列为：P (η＝2)＝16×16＝136， P (η＝3)＝2×16×13＝19， P (η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518， P (η＝5)＝2×13×12＝13. P (η＝6)＝12×12＝14.(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14， 因为随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14， 所以E (ξ)＝np ＝10×14＝52，D (ξ)＝np (1－p )＝10×14×34＝158.3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解] (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1,2,3,4)．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×14＝2.(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ、σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．设X ～N (10,1)．(1)证明：P (1＜X ＜2)＝P (18＜X ＜19)． (2)设P (X ≤2)＝a ，求P (10＜X ＜18).【导学号：95032215】[解] (1)证明：因为X ～N (10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x )关于直线x ＝10对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x ＝10对称，所以⎠⎛12φμ，σ(x )dx ＝⎠⎛1819φμ，σ(x)dx即P (1＜X ＜2)＝P (18＜X ＜19)．(2)因为P (X ≤2)＋P (2＜X ≤10)＋P (10＜X ＜18)＋P (X ≥18)＝1，P (X ≤2)＝P (X ≥18)＝a ， P (2＜X ≤10)＝P (10＜X ＜18)，所以，2a ＋2P (10＜X ＜18)＝1， 即P (10＜X ＜18)＝1－2a 2＝12－a .4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图22所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )图22A ．997B ．954C ．819D ．683D [由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X ≤62.5)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 7≈683.]。