江苏高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ第6课函数的奇偶性与周期性课时分层训练

第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）第6课 函数的奇偶性与周期性课时分层训练A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是________． 2 [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数．]2．函数y ＝log 21＋x1－x 的图象关于________对称．(填序号)①原点；②y 轴；③y ＝－x ；④y ＝x . ① [由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数．]3．(2016·苏州期中)定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝2x －x 2，则f (－1)＋f (0)＋f (3)＝________.－2 [∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (0)＝0. 又x >0时，f (x )＝2x －x 2，∴f (－1)＋f (0)＋f (3)＝－f (1)＋0＋f (3)＝－2＋1＋0＋8－9＝－2.]4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________.－2 [∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.]5．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 【导学号：62172032】－－x －1 [∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.]6．(2017·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝ x ＋2 x ＋ax是奇函数，则实数a ＝________.【导学号：62172033】－2 [由题意知，g (x )＝(x ＋2)(x ＋a )为偶函数， ∴a ＝－2.]7．(2016·山东高考改编)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝________.2 [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则当x >0时，f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.]8．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.]9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：62172034】(－2,1) [∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为R 上的奇函数，故f (x )在(－∞，0)上单调递增．∴f (x )在R 上是单调递增函数．又f (2－a 2)>f (a )可知2－a 2>a ，解得－2<a <1.] 10．(2017·泰州中学高三摸底考试)函数y ＝1－sin xx 4＋x 2＋1(x ∈R )的最大值与最小值之和为________．2 [因为y ＝sin x x 4＋x 2＋1为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数y ＝1－sin xx 4＋x 2＋1(x ∈R )的最大值与最小值之和为2.]二、解答题11．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式．[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x 2－ －x ＋1，又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝1x 2－x ＋1，－f x ＋g x ＝1x 2＋x ＋1，两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1. 12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式. 【导学号：62172035】 [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈ 0，1 ，－2x 4x＋1，x ∈ －1，0 ，0，x ∈{－1，0，1}.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，并且f ⎝⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5>f (－m 2＋2m －2)，则m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，12 [因为函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，所以2－a ＋3＝0，所以a＝5.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5>f ()－m 2＋2m －2，即f (－m 2－1)>f (－m 2＋2m －2)，所以偶函数f (x )在[－3,0]上单调递增，而－m 2－1<0，－m 2＋2m －2＝－(m －1)2－1<0，所以由f (－m 2－1)>f (－m 2＋2m －2)得，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－m 2－1≤0－3≤－m 2＋2m －2≤0，－m 2－1>－m 2＋2m －2解得1－2≤m ≤12.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象(略)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．4．(2017·南京模拟)已知f (x )是偶函数，定义x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－x ，0≤x ≤3，x －3 a －x ，x >3.(1)求f (－2)；(2)当x <－3时，求f (x )的解析式；(3)设函数f (x )在区间[－5,5]上的最大值为g (a )，试求g (a )的表达式． [解] (1)由题意，得f (－2)＝f (2)＝2×(3－2)＝2.(2)当x <－3时，－x >3，所以f (x )＝f (－x )＝(－x －3)(a ＋x )＝－(x ＋3)(a ＋x )，所以当x <－3时，f (x )的解析式为f (x )＝－(x ＋3)(a ＋x )．(3)因为f (x )是偶函数，所以它在区间[－5,5]上的最大值即为它在区间[0,5]上的最大值．当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，0≤x ≤3，－x 2＋ a ＋3 x －3a ，x >3.①当a ≤3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，5上单调递减，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94.②当3<a <7时 ，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，3＋a 2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋a 2，5上单调递减，所以此时只需比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2＝ a －3 24的大小． (ⅰ)当3<a ≤6时，94≥ a －3 24，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94；(ⅱ)当6<a <7时，94< a －324，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2＝ a －3 24.③当a ≥7时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，[3,5]上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94<f (5)＝2(a －5)，所以g (a )＝f (5)＝2(a －5)．综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧94，a ≤6， a －324，6<a <7，2 a －5 ，a ≥7.。