广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标
广东省六所2010届高三第三次联考(数学文)
广东省六所名校2010届高三第三次联考数学（文科） 20091218命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积Sh V 31=（其中S 是底面积，h 是高）．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图1，正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BD 与D A 1 所成的角等于A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒902．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42cos x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位3．设],[b a X =，],[d c Y =都是闭区间，则“直积”},|),{(Y y X x y x Y X ∈∈=⨯表示直角坐标平面上的A ．一条线段B ．两条线段C ．四条线段D ．包含内部及边界的矩形区域 4．设4324641)(x x x x x f +-+-=，则导函数)('x f 等于A ．3)1(4x -B ．3)1(4x +-C ．3)1(4x +D ．3)1(4x --5．设0>a ，1≠a ，若函数)21(≤≤=x a y x 的最大值比最小值大2a，则实数a 的值是 A ．2或21 B ．21或23 C ．23或32 D ．32或26．公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ，0=⋅b a ，且⎩⎨⎧-=+-=y x b yx a 2，则|y ||x |+等于A ．32+B ．52+C ．53+D ．78．如果二次方程02)1(22=-++-a x a x 有一个根比1大，另一个根比1-小，则实数a 的取值范围是A ．（3-，1）B ．（2-，0）C ．（1-，0）D ．（0，2） 9．若偶函数)(x f 在]0,(-∞内单调递减，则不等式)(lg )1(x f f <-的解集是BCDA 1B 1C 1D 1A 1图A．)10,0(B．)10,101(C．),101(∞+D．),10()101,0(∞+10．已知点),(yx所在的可行域如图2所示．若要使目标函数yaxz+=取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为A．4 B．41C．35D．53二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上．（一）必做题（11～13）11．若△ABC的三个内角满足CCBBA222sinsinsinsinsin++=，则A∠等于．12．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数关系式分别是x ey=甲和2xy=乙．显然，当1≥x时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是．13．给出下列四个命题：①设∈21,xx R，则11>x且12>x的充要条件是221>+xx且121>xx；②任意的锐角三角形ABC中，有BA cossin>成立；③平面上n个圆最多将平面分成4422+-nn个部分；④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．其中真命题的序号是（要求写出所有真命题的序号）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线θρcos11-=的准线的极坐标方程是．15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB是圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，且︒=∠120APB，则ABCD等于．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=tI，)6100sin(2ππ-=tI，把它们合成后，得到电流21III+=．（1）求电流I的最小正周期T和频率f；（2）设0≥t，求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值．2图O3图17．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，P、Q分别是侧棱1BB、1CC上的三等分点，131BBBP=，CCQC1131=．（1）证明：平面⊥APQ平面CCAA11；（2）求四面体APQA1的体积．18．（本小题满分14分）已知函数)(xf满足Cxxfxxf+-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f为)(xf在点32=x处的导数，C为常数）．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若方程0)(=xf有且只有两个不等的实数根，求常数C．19．（本小题满分14分）已知数列}{na的前n项和)1(23-=nnaS，+∈Nn．（1）求}{na的通项公式；（2）若对于任意的+∈Nn，有14+≥⋅nakn成立，求实数k的取值范围．20．（本小题满分14分）如图5，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．（1）设λ=，将用λ、OP、OQ表示；B CA1A1C1BPQ4图（2）设x=，y=，证明：yx11+是定值．21．（本小题满分14分）已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=xaxaxf．设命题p：“)(xf的定义域为R”；命题q：“)(xf的值域为R”．（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真，求实数a的取值范围；（3）问：p⌝是q的什么条件？请说明理由．数学（文科）参考答案及评分标准20091218命题：深圳实验学校高中部高三数学备课组本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上．（一）必做题（11～13）11．120°．12．xe x2>．13．②④．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）OA BPQMG5图14．1cos -=θρ． 15．21．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=t I ，)6100sin(2ππ-=t I ，把它们合成后，得到电流21I I I +=．（1）求电流I 的最小正周期T 和频率f ；（2）设0≥t ，求电流I 的最大值和最小值，并指出I 第一次达到最大值和最小值时的t 值． 解：（1）（法1）∵21I I I +=)3100sin(3ππ+=t )6100sin(ππ-+t)100cos 23100sin 21(3t t ππ+=)100cos 21100sin 23(t t ππ-+ …2分t t ππ100cos 100sin 3+=)6100sin(2ππ+=t ，…………………………………………………4分∴电流I 的最小正周期5011002==ππT ，频率501==Tf ． ………………………………………6分 （法2）∵21I I I +=)3100sin(3ππ+=t )6100sin(ππ-+t)3100sin(3ππ+=t ]2)3100sin[(πππ-++t)3100sin(3ππ+=t )3100cos(ππ+-t …………………………2分)6100sin(2ππ+=t ……………………………………………4分∴电流I 的最小正周期5011002==ππT ，频率501==Tf ．………………………………………6分 （2）由（1）当ππππk t 226100+=+，即300150+=k t ，N ∈k 时，2max =I ； 当π+π=π+πk t 2236100，即75150+=k t ，N ∈k 时，2min -=I ．…9分 而0≥t ，∴I 第一次达到最大值时，3001=t ；I 第一次达到最小值时，751=t ．…………………………12分17．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，P、Q分别是侧棱1BB、1CC上的三等分点，131BBBP=，CCQC1131=．（1）证明：平面⊥APQ平面CCAA11；（2）求四面体APQA1的体积．证明：（1）连结AQ，取AC中点D，AQ中点E，连结BD、DE、EP．由正三棱柱的性质，平面⊥ABC平面CCAA11，……………2分而ACBD⊥，⊂BD平面ABC，平面ABC平面ACCCAA=11，∴⊥BD平面CCAA11．………………………………………………4分又由（1）知，BPCQDE==//21//，∴四边形BDEP是平行四边形，从而BDPE//．∴⊥PE平面CCAA11．………………………………………………8分而⊂PE平面APQ，∴平面⊥APQ平面CCAA11．………………10分（2）由（1）知PE为三棱锥AQAP1-底面AQA1上的高，23==BDPE．………………………………………………………12分又△AQA1的面积21211=⨯=ACAAS，∴三棱锥AQAP1-的体积123232131=⨯⨯=V，即四面体A P QA1的体积为123．………………14分18．（本小题满分14分）已知函数)(xf满足Cxxfxxf+-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f为)(xf在点32=x处的导数，C为常数）．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若方程0)(=xf有且只有两个不等的实数根，求常数C．解：（1）由Cxxfxxf+-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭⎫⎝⎛+=xfxxf．取32=x，得13232'232332'2-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⎪⎭⎫⎝⎛ff，解之，得132'-=⎪⎭⎫⎝⎛f，∴Cxxxxf+--=23)(．……………………………………………………………4分从而()1313123)('2-⎪⎭⎫⎝⎛+=--=xxxxxf，列表如下：B CA1A1C1BPQ4图B CA1A1C1BPQDE∴)(xf的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(xf的单调递减区间是)1,31(-．………………8分（2）由（1）知，CCfxf+=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=27531313131)]([23极大值；CCfxf+-=+--==1111)1()]([23极小值．…………………………………10分∴方程0)(=xf有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值xf或0)]([=极小值xf．………12分∴常数275-=C或1=C．…………………………………14分19．（本小题满分14分）已知数列}{na的前n项和)1(23-=nnaS，+∈Nn．（1）求}{na的通项公式；（2）若对于任意的+∈Nn，有14+≥⋅nakn成立，求实数k的取值范围．解：（1）因为)1(23-=nnaS，+∈Nn，所以)1(2311-=++nnaS．两式相减，得)(2311nnnnaaSS-=-++，即)(2311nnnaaa-=++，∴nnaa31=+，+∈Nn．……………………………………………………………4分又)1(2311-=aS，即)1(2311-=aa，所以31=a．∴}{na是首项为3，公比为3的等比数列．从而}{na的通项公式是nna3=，+∈Nn．………………………………………7分（2）由（1）知，对于任意的+∈Nn，有14+≥⋅nakn成立，等价于nnk314+≥对任意的+∈Nn成立，等价于max314⎪⎭⎫⎝⎛+≥nnk．………………10分而1312281)14(35431431)1(41<+--=++=++++nnnnnnnn，+∈Nn，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn314是单调递减数列．……………………………………………12分∴3531143141max=+⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+nn，实数k的取值范围是),35[∞+．……………………14分20．（本小题满分14分）如图5，G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．（1）设λ=，将用λ、OP 、表示；（2）设x =，y =，证明：y x 11+是定值．解：（1）)(-+=+=+=λλλλ+-=)1(．…………………………………………4分（2）一方面，由（1），得y x λλλλ+-=+-=)1()1(； ① …………6分另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴3131)(213232+=+⨯==． ② ………………………8分 而OA 、OB 不共线，∴由①、②，得⎪⎩⎪⎨⎧==-.31,31)1(y x λλ ……………………………10分解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.31,331λλyx，∴311=+y x （定值）． …………………………14分21．（本小题满分14分）已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=x a x a x f ．设命题p ：“)(x f 的定义域为R ”；命题q ：“)(x f 的值域为R ”． （1）若命题p 为真，求实数a 的取值范围； （2）若命题q 为真，求实数a 的取值范围； （3）问：p ⌝是q 的什么条件？请说明理由．解：（1）命题p 为真，即)(x f 的定义域是R ，等价于01)1()1(22>+++-x a x a 恒成立，…2分等价于1-=a 或⎩⎨⎧<--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a …………………………………4分 解之，得1-≤a 或35>a ． ∴实数a 的取值范围为-∞(，35(]1 -，)∞+．……………………………6分 （2）命题q 为真，即)(x f 的值域是R ，等价于1)1()1(22+++-=x a x a u 的值域),0(∞+⊇， ……………8分OA PQMG5图等价于1=a 或⎩⎨⎧≥--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a ………………………………10分 解之，得351≤≤a ． ∴实数a 的取值范围为1[，]35．…………………………………………12分 （3）由（1）（2），知p ⌝：]35,1(-∈a ；q ：]35,1[∈a ．而]35,1[]35,1(≠⊃-，∴p ⌝是q 的必要而不充分的条件．……………………14分。
2010年天河区高一数学竞赛获奖学生名单
34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
张晋宁 庄裕山 邝颖聪 张国昊 陈梓滔 周诗韵 卢路明 杨林伟 梁润钊 谭瑙泽 黄日广 吴崇雄 詹仲舟 孔兆明 陈天宇 刘泽涛 陈健武 黄家杨 蔡玉莹 黄颖欣 陈润玲 张炜杰 龙 乙 周子博 毕鑫 朱伟平 江晓妹 熊意林 郑嘉鑫 倪楠 梁延东 高彦 吴敏怡 曾俊鹏 黄漂雄 游丰析
一等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖
成东 谌小为 姚正喜 段锦矿 陈望胜 段锦矿 成东 袁伟林 林俊平 林俊平 袁伟林 武瑞恒 林俊平 林俊平 林俊平 段锦矿 谌小为 谌小为 袁伟林 成东 袁伟林 黄少华 姚正喜 林俊平 李宏伟 吴治平 成东 姚正喜 林俊平 林俊平 陈望胜 王翠娜 王翠娜 李琼 袁伟林 黄少华
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2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高一年级上册学期阶段二考数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高一上学期阶段二考数学试题一、单选题1．设集合{}{}|1,|12=≥=-<<A x x B x x ，则A B ⋃=（ ） A ．{|1}x x >- B ．{}|1x x ≥C ．{}|11x x -<<D ．{}|12x x ≤<【答案】A【分析】根据并集的概念运算可得结果.【详解】因为集合{}{}|1,|12=≥=-<<A x x B x x ， 所以A B ⋃={|1}x x >-. 故选：A2．已知指数函数x y a =的图象过点(2,4)，则log 4=a （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】C【分析】由指数函数过点代入求出a ，计算对数值即可. 【详解】因为指数函数x y a =的图象过点(2,4)， 所以24a =，即2a =， 所以2log 4log 42a ==， 故选：C3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．y 与y =B ．1y =与0y x =C ．2y x =+与2s t =+D ．1y x=与2y = 【答案】C【分析】先判断定义域是否相同，再判断化简以后的解析式是否相同.【详解】对于A ，∵||y x ==，y ==x ，对应关系不同，∴不是同一函数； 对于B ，1y =的定义域时R ，0y x =的定义域是{}0,x x x ≠∈R ，∴不是同一函数；对于C ，两函数的定义域，对应法则相同，∴是同一函数；对于D ，1y x=的定义域为{}0,x x x ≠∈R ，2y =的定义域为{0,}x x x >∈R ，不是同一函数． 故选：C ．4．若0.5a e =，ln 2b =，2log 0.2c =，则有（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数x y e =为增函数，则0.501a e e =>=； 对数函数ln y x =为增函数，则ln1ln 2ln e <<，即01b <<； 对数函数2log y x =为增函数，则22log 0.2log 10c =<=. 因此，a b c >>. 故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值0、1的大小关系，考查推理能力，属于基础题. 5．不等式22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ） A ．132x -<< B ．16x -<<C ．102x -<<D ．132x <<【答案】B【分析】解不等式22530x x --<，根据必要不充分条件的定义确定正确选项. 【详解】22530x x --<可化为()()3210x x -+<，解得132x -<<，由必要不充分条件的定义可得不等式22530x x --<的一个必要不充分条件是16x -<<， 故选：B6．已知函数())0f x x x =>，()xg x x e =+，()ln h x x x =+的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ）．A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<【答案】C【分析】转化函数()0)f x x x =>，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.【详解】函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震级数M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+．2020年12月29日19时19分在克罗地亚发生6.5级地震它所释放出来的能量大约是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生5.1级地震的（ ）倍 A ．65 B ．100 C ．126 D ．349【答案】C【解析】计算21lg lg E E -，得出21E E 的大致范围，确定正确选项． 【详解】由题意12lg lg (4.8 1.5 6.5)(4.8 1.5 5.1) 2.1E E -=+⨯-+⨯=， 从而得：()2.12 2.5121010,10E E =∈，而52.52101010349==<， 故选：C ．8．已知函数()32log 2xf x x-=+， 若()()10f a f a +->， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()2,2- D ．1,2【答案】B【解析】由函数()f x 的解析式，求得函数的定义域，再根据函数的奇偶性和复合函数的单调性，得出函数()f x 为奇函数且为单调递减函数，再根据函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()32log 2x f x x -=+有意义，则满足202x x ->+，即202x x -<+，解得12x -<<， 又由()()3322log log 22x xf x f x x x+--==-=--+，所以函数()f x 为奇函数， 令()24241222x x g x x x x---===-+++，可得函数()g x 为单调递减函数， 根据复合函数的单调性，可得函数()f x 为定义域上的单调递减函数， 因为()()10f a f a +->，即()()1(1)f a f a f a >--=-，则满足222121a a a a-<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩，解得112a -<<.故选：B.【点睛】求解函数不等式的方法：1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、多选题9．已知α是第二象限角，则2πα+的终边位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD【解析】由α是第二象限角，可得23,4k k k Z παππππ+<<+∈+，再对k 分奇数与偶数两种情况讨论，进而可得答案.【详解】因为α是第二象限角， 所以22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ，则23,4k k k Z παππππ+<<+∈+， k 是偶数时，令2k n =，则2322,4n n n Z παππππ+<<+∈+，2πα+的终边位于第二象限，B 正确；k 是奇数时，令21k n =-，则222,4n n n Z παπππ-<++<∈，2πα+的终边位于第四象限，D 正确．故选：BD.10．下列命题正确的有（ ） A ．若a b >，则22a b > B ．若,a b c d >>，则a c b d +>+C ．若0a b c >>>，则c c a b> D ．若1a >，则131a a +≥- 【答案】BD【分析】利用不等式的性质、特值法和基本不等式逐个选项进行判定即可. 【详解】对于A 选项，当1,2a b ==-时，满足a b >，但是22a b <，故A 不正确； 对于B 选项，根据不等式的性质可知准确，故B 正确；对于C 选项，当3,2,1a b c ===时，满足0a b c >>>，但是1132<，故C 不正确；对于D 选项，因为1a >，所以10a ->，()111131a a -++≥=-，当且仅当111a a -=-，即2a =时，等号成立，故D 正确； 故选：BD.11．关于函数()22x f x e-=，(),x ∈-∞+∞．下列说法正确的有（ ）A ．()f x 的图像关于y 轴对称B ．()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减C ．()f x 的值域为(]0,1D ．不等式()2f x e ->的解集为()(),22,∞∞--⋃+【答案】ABC【分析】根据函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A ，B ，C 均正确，而选项D 也可由单调性转化为关于x 的二次不等式求解，解集应为(2,2)-，则D 错误.【详解】因为函数22(),(,)x f x ex -=∈-∞+∞，22()22()()x x f x eef x ----===，则该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，故选项A 说法正确； 令22x t =-，在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，又t y e =在(,0]-∞单调递增， 则由复合函数的单调性可知()f x 在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，故选项B 说法正确；由(,0]t ∈-∞可得(0,1]y ∈，即()f x 的值域为(0,1]，故选项C 说法也正确；由不等式2f x e ->（）即222x e e --> 222x ->-，则24x <，22x -<< 故的不等式2()f x e ->解集为(2,2)-，选项D 说法错误. 故选：ABC.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值【答案】BC【分析】根据[]x 的定义，将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据函数图象判断函数的性质.【详解】由题意：[]2,211,10=0,011,12x x x x x ⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<-⎨≤<⎪⎪≤<⎪⎩，所以()f x 3,212,10=1,01,12x x x x x x x x ⎧⎪+-≤<-⎪⎪+-≤<-⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎩ 所以()f x 的图象如下图，由图象分析： (0)1f =，所以A 不正确；()1f x =⎡⎤⎣⎦，所以B 正确；()f x 在()01，上单调递增，所以C 正确；()f x 有最小值无最大值，所以D 不正确. 故选：BC.三、填空题13．写出一个同时具有下列三个性质的函数：()f x =___________. ①()f x 为幂函数；②()f x 为偶函数；③()f x 在(),0∞-上单调递减. 【答案】2x （或4x ，23x ，答案不唯一） 【分析】结合幂函数的图象与性质可得．【详解】由幂函数a y x =，当函数图象在一二象限时就满足题意，因此2()f x x =，或4()f x x =，23()f x x =等等．故答案为：2x （或4x ，23x ，答案不唯一）．14．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm ，内弧线的长为20cm ，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm ，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【答案】209【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得9cm OC =，进而可得该扇形的中心角的弧度数. 【详解】解：如图，依题意可得弧AB 的长为60cm ，弧CD 的长为20cm ，设扇形的中心角的弧度数为α则,AB OA CD OC αα=⋅=⋅，则60320OA OC ==，即3OA OC =． 因为18cm AC =，所以9cm OC =，所以该扇形的中心角的弧度数209CD OC α==． 故答案为：209. 15．已知函数())5ln3f x x x =++，若()2022f k =，则()2022f -=___________.【答案】6k -##6k -+ 【分析】构造函数())5ln =+g x x x ，判断出是奇函数，则()2022+g ()20220-=g ，由此可计算()2022f -． 【详解】设())5ln=+g x x x ，x ∈R ，则()()3-=f x g x ，())55ln -=-=x xg xx x x，)()55ln==--=-x x x g x ，即()g x 为奇函数，所以()2022+g ()20220-=g ，()()20223202230-+--=f f ， 由()2022f k =得()20226-=-f k . 故答案为：6k -.16．已知函数()|lg(1)|=--f x x k 有两个零点分别为a ，b ，则a b +的取值范围是_____________． 【答案】(4,)+∞【分析】根据函数零点可转化为|lg(1)|x k -=有2个不等的根，利用对数函数的性质可知111b a -=-，由均值不等式求解即可. 【详解】不妨设a b <，因为函数()|lg(1)|=--f x x k 有两个零点分别为a ，b ， 所以|lg(1)||lg(1)|a b k -=-=， 所以lg(1)lg(1)a b --=-， 即111b a -=-，且10a ->， 112241a b a a ∴+=-++≥=-， 当且仅当111a a -=-，即2a =时等号成立，此时a b =不满足题意， 4a b ∴+>，即(4,)a b +∈+∞， 故答案为：(4,)+∞四、解答题 17．计算：(1))211302270.002102π8---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭(2)7log 23log lg 25lg 47++. 【答案】(1)1679- (2)154【分析】根据指数和对数的运算性质，以及根式与分数指数的转化，即可化简求解. 【详解】（1）解：原式 213281127500-⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23132500132⨯⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭42019=++ 1679=-（2）解：原式3433log lg(254)23=+⨯+1243log 3lg102-=++1224=-++154=18．已知函数()f x A ，函数()2x g x =，[0,1]x ∈的值域为集合.B (1)求;AB(2)若集合{|21}C x a x a =-，且C B B =，求实数a 的取值范围．【答案】(1)[1,2]A B =；(2)3(,]2-∞【分析】（1）由函数定义域求出[0,)A =+∞，由函数值域求出[1,2]B =，从而求出交集； （2）由CB B =得到C B ⊆，分C =∅与C ≠∅两种情况，进行求解，最后求出数a 的取值范围．【详解】（1）由()f x ()2log 10x +≥， 故11x +，即0x ，故[0,)A =+∞，由()2x g x =，[0,1]x ∈得到()[1,2]g x ∈，即[1,2]B =， 故[1,2]A B =； （2）CB B =，.C B ∴⊆当21a a -<时，即1a <时，C =∅，满足条件； 当21a a -时，即1a 时，C ≠∅，要使C B ⊆，则1212a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得：312a ，综上所述，实数a 的取值范围为3(,]2-∞.19．已知定义在R 上的二次函数()f x 满足()01f =，且对于定义域内的任意x ，()()12f x f x x +-=恒成立. (1)求()f x ； (2)若函数()()f x mg x x+=且()14g =，求函数()g x 的最小值. 【答案】(1)()21f x x x =-+(2)函数()g x 无最小值.【分析】（1）由已知利用待定系数法即可求解函数解析式；（2）先求出()g x 的解析式，然后根据解析式分当0x >时，0x <时，结合基本不等式得()g x 的取值情况，从而得()g x 最小值．【详解】（1）解：设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意得()01f c ==，所以()()()()()2211122f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=，所以22a =，0a b +=，则1a =，1b ，1c =，则()21f x x x =-+；（2）解：由（1）得()()11f x mm g x x x x++==+-， 因为()114g m =+=，所以3m =，()41g x x x =+-，且0x ≠所以当0x >时，()4113g x x x =+-≥=，当且仅当4x x =，即2x =，()g x 取到最小值3； 所以当0x <时，()4115g x x x =+-≤-=-，当且仅当4x x -=-，即2x =-，()g x 取到最大值5-，此时()5g x ≤-无最小值.综上，函数()g x 无最小值.20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆）需另投入成本y （万元），且210100,040100005014500,40x x x y x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润S （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） (2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)2104003000,040()100001500,40x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩(2)100百辆，最大利润为1300万【分析】（1）根据题意分情况列式即可；（2）根据分段函数的性质分别计算最值.【详解】（1）由题意得当040x <<时，22()500(10100)3000104003000S x x x x x x =-+-=-+-， 当40x ≥时，1000010000()500501450030001500S x x x x x x ⎛⎫=-+--=-- ⎪⎝⎭， 所以2104003000,040()100001500,40x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩, （2）由（1）得当040x <<时，2()104003000S x x x =-+-，当20x 时，max ()1000S x =，当40x ≥时，1000010000()15001500()S x x x x x =--=-+10000200x x +≥=，当且仅当10000x x =，即100x =时等号成立， ()150********S x ∴≤-=，100x ∴=时，max ()1300S x =，13001000>，100x ∴=时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元.21．已知函数2()21x x a f x -=+为奇函数. （1）求实数a 的值并证明()f x 是增函数；（2）若实数满足不等式1(1)02f f t ⎛⎫+-> ⎪-⎝⎭，求t 的取值范围. 【答案】（1）1a =，证明见解析；（2）(2,3)t ∈.【解析】（1）依题意可得()()f x f x -=-，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；【详解】（1）因为()y f x =是定义域为R 奇函数，由定义()()f x f x -=-，所以222121x x x x a a ----=-++ 所以2(1)1x a a -=-，∴1a =. 所以21()21x x f x 证明：任取12x x -∞<<<+∞，121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++． 12x x -∞<<<+∞，1222x x ∴<．12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．()f x ∴在定义域上为增函数．（2）由（1）得()y f x =是定义域为R 奇函数和增函数1(1)(1)2f f f t ⎛⎫>--= ⎪-⎝⎭112t ⇒>- 302t t -⇒>-(2)(3)0t t ⇒--<23t ⇒<<所以(2,3)t ∈.【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．22．已知函数()g x 对一切实数,x y R ∈，都有()()(22)g x y g y x x y +-=+-成立，且(1)0g =，()f x = ()g x x. （1）求(0)g 的值；（2）求()f x 的解析式；（3）若关于x 的方程()2213021x x k f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(0)1g =；（2）1()2f x x x=+-；（3）(0,)+∞. 【分析】（1）在()()(22)g x y g y x x y +-=+-中，令1,0x y ==可求得结果；（2）在()()(22)g x y g y x x y +-=+-中，令0y =可得2()21g x x x =-+，从而可得()f x 的解析式；（3）令|21|0x t =-≠,结合函数|1|2x t =-的图象将关于x 的方程()2213021x x k f k -+-=-有三个不同的实数解转化为方程2(23)120t k t k -+++=在(0,1)内有一个实根，在[1,)+∞内有一实根，再利用二次函数图象列式可求得结果.【详解】（1）在()()(22)g x y g y x x y +-=+-中，令1,0x y ==，得(1)(0)121g g -=-=-，又(1)0g =，所以(0)1g =.（2）在()()(22)g x y g y x x y +-=+-中，令0y =，得()(0)(2)g x g x x -=-，得2()21g x x x =-+， 所以2()211()2g x x x f x x x x x-+===+-. （3）令|21|0x t =-≠，则0x ≠，则函数|1|2x t =-的图象如图：方程()2213021x x k f k -+-=-化为2()30k f t k t +-=，即12230k t k t t+-+-=，即2(23)120t k t k -+++=， 因为方程()2213021x x k f k -+-=-有三个不同的实数解，由函数|1|2x t =-的图象可知， 方程2(23)120t k t k -+++=有两个不等实根12,t t ，不妨设12t t <，则101t <<，21t ≥，令2()(23)12h t t k t k =-+++，则(0)210(1)0h k h k =+>⎧⎨=-<⎩，此时解得0k >，或(0)210(1)023012h k h k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，此时无解， 综上所述：实数k 的取值范围是(0,)+∞.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
广东省六所2010届高三第三次联考(数学理)
广东省六所名校2010届高三第三次联考数学（理科） 2009.12.18命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积Sh V 31=（其中S 是底面积，h 是高），球体体积334R V π=（其中R 是半径）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图1，正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BD 与D A 1 所成的角等于A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒902．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42cos x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位3．设],[b a X =，],[d c Y =都是闭区间，则“直积”},|),{(Y y X x y x Y X ∈∈=⨯表示直角坐标平面上的A ．一条线段B ．两条线段C ．四条线段D ．包含内部及边界的矩形区域4．设4443342241404)(x C x C x C x C C x f +-+-=，则导函数)('x f 等于 A ．3)1(4x - B ．3)1(4x +- C ．3)1(4x + D ．3)1(4x -- 5．函数)1(log 913x x y +=在定义域内有A ．最大值41 B ．最小值41C ．最大值22D ．最小值226．公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ，0=⋅b a ，且⎩⎨⎧-=+-=y x b yx a 2，则|y ||x |+等于A ．32+B ．52+C ．53+D ．7 8．已知点),(y x 所在的可行域如图2所示．若要使目标函数BCD A1B 1C 1D 1A 1图yaxz+=取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为A．4 B．41C．35D．53二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上．9．将编号分别为1，2，3，4，5的五个红球和五个白球排成一排，要求同编号球相邻，但同色球不相邻，则不同排法的种数为（用数字作答）．10．若△ABC的三个内角满足CCBBA222sinsinsinsinsin++=，则A∠等于．11．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数关系式分别是x ey=甲和2xy=乙．显然，当1≥x时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是．12．若偶函数)(xf在]0,(-∞内单调递减，则不等式)(lg)1(xff<-的解集是．13．如图3，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水的高度为h，放入一球后，水面恰好与球相切，则球的半径为（用h表示）．14．给出下列四个命题：①设∈21,xx R，则11>x且12>x的充要条件是221>+xx且121>xx；②任意的锐角三角形ABC中，有BA cossin>成立；③平面上n个圆最多将平面分成4422+-nn个部分；④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．其中真命题的序号是（要求写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=tI，)6100sin(2ππ-=tI，把它们合成后，得到电流21III+=．（1）求电流I的最小正周期T和频率f；（2）设0≥t，求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值．2图3图16．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，P、Q分别是侧棱1BB、1CC上的点，且使得折线1APQA的长1QAPQAP++最短．（1）证明：平面⊥APQ平面CCAA11；（2）求直线AP与平面PQA1所成角的余弦值．17．（本小题满分14分）已知函数)(xf满足Cxxfxxf+-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f为)(xf在点32=x处的导数，C为常数）．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若方程0)(=xf有且只有两个不等的实数根，求常数C；（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f，求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积．18．（本小题满分14分）如图5，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．（1）设λ=，将用λ、OP、OQ表示；（2）设OAxOP=，y=，证明：yx11+是定值；（3）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T．求ST的取值范围．19．（本小题满分14分）已知数列}{na的前n项和)1(23-=nnaS，+∈Nn．（1）求}{na的通项公式；B CA1A1C1BPQ4图OA BPQMG5图（2）设∈n N +，集合},,|{+∈≤==N i n i a y y A i n ，},14|{+∈+==N m m y y B ．现在集合n A 中随机取一个元素y ，记B y ∈的概率为)(n p ，求)(n p 的表达式．20．（本小题满分14分）如果对于函数)(x f 的定义域内任意的21,x x ，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数)(x f 是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是否是“平缓函数”；（2）若函数)(x f 是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证明：对于任意 的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． （3）设a 、m 为实常数，0>m ．若x a x f ln )(=是区间),[∞+m 上的“平缓函数”，试估计a 的取值范围（用m 表示，不必证明．．．．）．数学（理科）参考答案及评分标准 20091218命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上． 9． 240 ． 10． 120° ． 11．xe x 2>．12．),10()101,0(∞+ ． 13． 153h． 14． ②④ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=t I ，)6100sin(2ππ-=t I ，把它们合成后，得到电流21I I I +=．（1）求电流I的最小正周期T和频率f；（2）设0≥t，求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值．解：（1）（法1）∵21III+=)3100sin(3ππ+=t)6100sin(ππ-+t)100cos23100sin21(3ttππ+=)100cos21100sin23(ttππ-+……2分ttππ100cos100sin3+=)6100sin(2ππ+=t，………………………………4分∴电流I的最小正周期5011002==ππT，频率501==Tf．………………6分（法2）∵21III+=)3100sin(3ππ+=t)6100sin(ππ-+t)3100sin(3ππ+=t]2)3100sin[(πππ-++t)3100sin(3ππ+=t)3100cos(ππ+-t……………………………2分)6100sin(2ππ+=t……………………………………………4分∴电流I的最小正周期5011002==ππT，频率501==Tf．………………6分（2）由（1）当ππππkt226100+=+，即300150+=kt，N∈k时，2max=I；当π+π=π+πkt2236100，即75150+=kt，N∈k时，2min-=I．…9分而0≥t，∴I第一次达到最大值时，3001=t；I第一次达到最小值时，751=t．………………………12分16．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，P、Q分别是侧棱1BB、1CC上的点，且使得折线1APQA的长1QAPQAP++最短．（1）证明：平面⊥APQ平面CCAA11；（2）求直线AP与平面PQA1所成角的余弦值．解：（1）∵正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形""''11AAAA（如图），B CA1A1C1BPQ4图B CA1A1C1BPQ'A'1A"A"1A从而，折线1APQA的长1QAPQAP++最短，当且仅当'A、P、Q、"A四点共线，∴P、Q分别是1BB、1CC上的三等分点，其中311==QCBP．…………………2分（注：直接正确指出点P、Q的位置，不扣分）连结AQ，取AC中点D，AQ中点E，连结BD、DE、EP．由正三棱柱的性质，平面⊥ABC平面CCAA11，而ACBD⊥，⊂BD平面ABC，平面ABC平面ACCCAA=11，∴⊥BD平面CCAA11．………………………………………………4分又由（1）知，BPCQDE==//21//，∴四边形BDEP是平行四边形，从而BDPE//．∴⊥PE平面CCAA11．而⊂PE平面APQ，∴平面⊥APQ平面CCAA11．………………………8分（2）（法一）由（2），同理可证，平面⊥PQA1平面BBAA11．…………………10分而⊂AP平面BBAA11，平面PQA1平面APBBAA=11，∴PA1即为AP在平面PQA1上的射影，从而1APA∠是直线AP与平面PQA1所成的角．……………………12分在△1APA中，11=AA，31022=+=BPABAP，313212111=+=PBBAPA，由余弦定理，130130731331021913910cos1=⨯⨯-+=∠APA，即直线AP与平面PQA1所成角的余弦值为1301307．…………………………14分（法二）取BC中点O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO-，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：)0,0,23(A，)1,0,23(1A，)31,21,0(-P，)32,21,0(Q．从而)31,21,23(--=AP，)32,21,23(1---=A，)31,21,23(1--=A．…………………10分设平面PQA1的一个法向量为),,(zyx=n，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥AA11nn，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅11AAnn，B CA1A1C1BPQDEB CA1A1C1BPQB即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=---03121230322123z y x z y x ，解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 3133，………………………12分取3-=z ，得3=x ，1=y ，∴)3,1,3(-=n ．从而()()1309313312123331121323,cos 222222-=-++⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-⨯-=⨯>=<|n |||n AP ，即直线AP 与平面PQ A 1所成角的正弦值为1309|,cos |=><n AP ， ∴直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值为1301307130912=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-． …………14分 17．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ，求函数)(x f 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．解：（1）由C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭⎫⎝⎛+=x f x x f ．取32=x ，得13232'232332'2-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，解之，得132'-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，∴C x x x x f +--=23)(． ……………………………………2分从而()1313123)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=x x x x x f ，列表如下：∴)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,31(-．………………4分 （2）由（1）知，C C f x f +=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27531313131)]([23极大值；C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值．………………………………6分∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值x f 或0)]([=极小值x f ． ………8分∴常数275-=C 或1=C ． ……………………………………9分（3）由（2）知，275)(23---=x x x x f 或1)(23+--=x x x x f ．而031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ，所以1)(23+--=x x x x f ．………………10分令01)(23=+--=x x x x f ，得)1()1(2=+-x x ，11-=x ，12=x ．……………………………12分∴所求封闭图形的面积()⎰-+--=1 1231dx x x x 11234213141-⎪⎭⎫⎝⎛+--=x x x x 34=．………………14分18．（本小题满分14分）如图5，G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．（1）设λ=，将用λ、、表示；（2）设x =，y =，证明：yx 11+是定值；（3）记△OAB 与△OPQ 的面积分别为S 、T ．求ST的取值范围．解：（1）)(-+=+=+=λλλλ+-=)1(．…………………………………………2分（2）一方面，由（1），得y x λλλλ+-=+-=)1()1(；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心， ∴3131)(213232+=+⨯==．② ……………4分而、不共线，∴由①、②，得⎪⎩⎪⎨⎧==-.31,31)1(y x λλ……………………6分解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.31,331λλyx，∴311=+y x （定值）． …………………8分OAP QMG5图（3）xy OB OA AOB POQ ST ==∠⋅∠⋅=||||sin ||||21sin ||||21．……………………10分 由点P 、Q 的定义知121≤≤x ，121≤≤y ， 且21=x 时，1=y ；1=x 时，21=y ．此时，均有21=S T ．32=x 时，32=y ．此时，均有94=S T ．以下证明：2194≤≤S T ．（法一）由（2）知13-=x xy ，∵0)13(9)23(94139422≥--=--=-x x x x S T ，∴94≥S T ．…………………………12分 ∵0)13(2)12)(1(2113212≤---=--=-x x x x x S T ，∴21≤S T ． ∴S T的取值范围]21,94[．………………………………14分 （法二）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-==32)31(91)31(31132x x x x xy S T ，令31-=x t ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++=329131t t S T ，其中3261≤≤t ．利用导数，容易得到，关于t 的函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=329131t t S T 在闭区间]31,61[上单调递减，在闭区间]32,31[上单调递增．………………………………12分∴31=t 时，9432313131min =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ． 而61=t 或32=t 时，均有2132326131max =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ． ∴S T的取值范围]21,94[．…………………………14分 注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和)1(23-=n n a S ，+∈N n ． （1）求}{n a 的通项公式；（2）设∈n N +，集合},,|{+∈≤==N i n i a y y A i n ，},14|{+∈+==N m m y y B ．现在集合n A 中随机取一个元素y ，记B y ∈的概率为)(n p ，求)(n p 的表达式． 解：（1）因为)1(23-=n n a S ，+∈N n ，所以)1(2311-=++n n a S ． 两式相减，得)(2311n n n n a a S S -=-++，即)(2311n n n a a a -=++，∴n n a a 31=+，+∈N n ．…………………………3分又)1(2311-=a S ，即)1(2311-=a a ，所以31=a ． ∴}{n a 是首项为3，公比为3的等比数列．从而}{n a 的通项公式是n n a 3=，+∈N n ．………………………6分 （2）设n i i A a y ∈==3，n i ≤，+∈N n ． 当k i 2=，+∈N k 时，∵++=+===-110288)18(93k k k k k k k C C y …kk k k C C ++-81++⨯=--211088(24k k k kC C …1)1++-k k C ，∴B y ∈． ………………………9分 当12-=k i ，+∈N k 时，∵++⨯=+⨯==------21110111288(3)18(33k k k k k k C C y …)81121----++k k k k C C ++⨯=----31120188(64k k k k C C …3)21++--k k C ，∴B y ∉．…………………12分又∵集合n A 含n 个元素，∴在集合n A 中随机取一个元素y ，有B y ∈的概率⎪⎩⎪⎨⎧-=. , 21, , 21)(为偶数为奇数n nn n n p ．……………………14分20．（本小题满分14分）如果对于函数)(x f 的定义域内任意的21,x x ，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数)(x f 是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是否是“平缓函数”；（2）若函数)(x f 是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证明：对于任意 的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． （3）设a 、m 为实常数，0>m ．若x a x f ln )(=是区间),[∞+m 上的“平缓函数”，试估计a 的取值范围（用m 表示，不必证明．．．．）． 证明：（1）对于任意的∈21,x x ]1,0[，有11121≤-+≤-x x ，1|1|21≤-+x x ．…………………………2分从而|||1||||)()(||)()(|21212122212121x x x x x x x x x x x f x f -≤-+-=---=-． ∴函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是“平缓函数”． ………………………4分（2）当21||21<-x x 时，由已知得21|||)()(|2121<-≤-x x x f x f ； ……………6分当21||21≥-x x 时，因为∈21,x x ]1,0[，不妨设1021≤<≤x x ，其中2112≥-x x ， 因为)1()0(f f =，所以=-|)()(|21x f x f |)()1()0()(|21x f f f x f -+-|)()1(||)0()(|21x f f f x f -+-≤|1||0|21x x -+-≤121+-=x x 21121=+-≤. 故对于任意的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． ………………………10分 （3）结合函数x a x f ln )(=的图象性质及其在点m x =处的切线斜率，估计a 的取值范围是闭区间],[m m -．…………………………（注：只需直接给出正确结论）…………14分。
广东省广州市第一一三中学2020-2021学年第一学期期中考试高一年级数学试卷
广州市第一一三中学2020-2021学年第一学期期中考试高一年级 数学试题命题时间：2020年10月 命题人：周纯 审题人 尹伊本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷子两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡上． 2．答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}10A x R x =∈+>，{}1B x Z x =∈≤，则AB （ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}11x x -<≤C ．D ．{}12．下列函数中，是同一函数的是（ ）A ．2y x =与y x x =B ．y =2y =C ．2x xy x+=与1y x =+D ．21y x =+与21y t =+3a ==）A ．3B ．2C ．1D ．04．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（ ）ABCD 5．函数9ny x =（N n ∈且9n >）的图像可能是（ ）A BCD6．若3412a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1234b ⎛⎫=⎪⎝⎭，3log 4c =则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若2log 13a<，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为21 5.060.15L x x =-和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ） A ．45.606 B ．45.6C ．45.56D ．45.5110．已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若函数()()1y f f x =+有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-1，0）B ．（-∞，0）C ．（0，+∞）D ．（0，1）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上）．11．已知幂函数()y f x =的图像经过点（4，2），则这个函数的解析式是_________________． 12．____________．13．函数的定义域为____________（结果用区间表示） 14．设函数()()2121log 112xf x x=+++，则使得成立的x 的取值范围是____________（结果用区间表示）15．设奇函数()f x 在（0，+∞）是增函数，且()10f =，则不等式的解集为______________16．已知，若关于x 的方程()()0f x f a x t +--=有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则t的取值范围是____________．（结果用区间表示）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．函数()()110f x x a x=->． （1）用函数单调性的定义证明：()f x 在（0，+∞）上是增函数； （2）若()f x 在上的值域是，求a 的值．18．（10分）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈，记()f x ，()g x 的值域分别为集合A ，B ，若AB A =，求实数k 的取值范围．19．已知函数()2,0log ,0a x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩且点（4，2）在函数()f x 的图象上．（1）求函数()f x 的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数()f x 的图象； （2）求不等式()1f x <的解集；（3）若方程()20f x m -=有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．20．经市场调查，某种端口在过去50天的销量和价格均为销售时间t （天）的函数，且销售量近似地满足，前30天价格为()()130,130,2g t t t t N =+≤≤∈，后20天价格为． （1）写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系式； （2）求日销售额S 的最大值．21．一次函数()f x 是R 上的增函数，，已知．（1）求()f x ；（2）若()g x 在单调递增，求实数m 的取值范围； （3）当[]1,3x ∈-时，()g x 有最大值13，求实数m 的值． 22．已知函数()1log 1ax f x x -=+（其中0a >且1a ≠），()g x 是的反函数． （1）已知关于x 的方程()()()log 17amf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当01a <<时，讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）当01a <<，0x >时，关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围．广州市第一一三中学2020-2021学年第一学期期中考试高一年级 数学试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11．【答案】12．【答案】1； 13．【答案】 14．15．解集为{}1001x x x -<<<<，或． 16．312t <<三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）证明见解析；（2）25． 【解析】（1）证明：任取120x x >>，则()()121212121111x x f x f x a x a x x x --=--+=， ∵120x x >>，∴120x x ->，120x x >，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，∴()f x 在上是增函数． （2）由（1）可知，()f x 在上为增函数， ∴，且()11222f a =-=，解得25a =． 18．【答案】（1）0m =；（2）．【解析】（1）依题意得：，解得0m =或2m =．当2m =时，()2f x x -=在上单调递减，与题设矛盾，故舍去，∴0m =； （2）由（1）知，()2f x x =，当[]1,2x ∈时，()f x 、()g x 单调递增， ∴[]1,4A =，，∵AB A =，∴B A ⊆，∴，故实数k 的范围．19．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．（1）∵点（4，2）在函数的图象上，∴()4log 42a f ==，∴2a =．∴()22,0,log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩画出函数的图象如下图所示．（2）不等式()1f x <等价于或解得02x <<，或1x <-， 所以原不等式的解集为．（3）∵方程()20f x m -=有两个不相等的实数根，函数2y m =的图象与函数()y f x =的图象有两个不同的交点．结合图象可得22m ≤，解得1m ≤，∴实数m 的取值范围为．20．【答案】（1）（2）6400．【解析】（1）根据题意得 即（2）①当130t ≤≤，时，()2206400S t =--+， 当20t =时，S 的最大值为6400； ②当，时，909000S t =-+为减函数， 当31t =时，S 的最大值为6210；∵6210＜6400，∴当20t =时，日销售额S 有最大值6400． 21．【解析】（1）先设，然后由恒成立得方程组（3分），求解方程组即可，注意取0a >的解 （2） 5分 对称轴418m x +=-，根据题意可得 6分 解得94m ≥-∴m 的取值范围为 8分 （3）①当时，即94m ≥-时 ()()max 3391313g x g m ==+=，解得2m =-，符合题意 9分②当时，即94m <-时 ()()max13313g x g m =-=-=，解得103m =-，符合题意 11分 由①②可得2m =-或103m =-12分． 22．【答案】（1）［5，9］；（2）函数为奇函数，在定义域内时减函数；（3）；试题解析：（1）转化为求函数在[]2,6x ∈上的值域，该函数在［2，4］上递增，在［4，6］上递减，所以m 的最小值5，最大值9，即m 的取值范围为［5，9］()1log 1ax f x x -=+的定义域为，定义域关于原点对称，又 ，，所以函数()f x 为奇函数． 下面讨论在上函数的增减性．任取()12,1,x x ∈+∞，设12x x <，令()11x t x x -=+，则()11111x t x x -=+，()22211x t x x -=+，所以()()()()()121212211x x t x t x x x --=++因为11x >，21x >，12x x <，所以()()()()()1212122011x x t x t x x x --=<++．又当01a <<时，log a y x =是减函数，所以．由定义知在上函数是减函数． 又因为函数()f x 是奇函数，所以在上函数也是减函数．（3）的反函数是()311x xa g x a-=-， ∵01a <<，∴()312311x x xa g x a a-==-+--，令xa u =，01u << ∴()23011y u u -=-+<<-，令()()0g x t t =≥， 则方程2230t mt m +++=的解应满足：1201t t <<≤或 ∴或32m =-（舍），所以．。
广东省广州市第一一三中学高三数学押题二【会员独享】
广州市第一一三中学2011届高三数学20110607猜题二一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知复数1z i =+，则21z z+=（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i -+ 2、已知01a <<，则函数|||log |x a y a x =-的零点的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、二项式1022⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中常数项是( )A.第10项B.第9项C.第8项D.第7项4、下列结论错误的是（ ）A ．若“p 且q ”与“⌝p 或q ”均为假命题，则p 真q 假B ．若命题01,:2<+-∈∃x x R x P ，则01,:2≥+-∈∀⌝x x R x P . C ．幂函数y=f(x)的图象经过点（4，12），则f(14)的值为2. D ．函数|21)62cos(|++=πx y 的最小正周期为2π.5、已知数列{}n a 中，n a a a n n +==+11,1，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是( )A ．n ≤8B ．n ≤9C ．n ≤10D ．n ≤116、若将函数)3sin(2φ+=x y 的图象向右平移4π个单位后得到的图象关于点(0,3π)对称，则||φ的最小值是( )A ．4πB ．3π C ．2π D ．43π 7、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+，且O A A B =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为（ ）A ． C.12- D. 128、设A 、B 、C 、D 是表面积为4π的球面上的四点，且AB 、AC 、AD 两两互相垂直，则ACD ABD ABC ∆∆∆、、的面积之和ACD ABD ABC S S S ∆∆∆++的最大值为（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题） 9.．若函数)()(32Z n x x f nn ∈=-是偶函数，且)(x f y =在(0,)+∞上是减函数，则=n▲ ．10.设(32()log f x x x =++，则不等式2()(2)0f m f m +-≥（m R ∈）成立的充要条件是 ▲ .（注：填写m 的取值范围）.11.已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为F 1、F 2，则12||2F F c =，点A 在椭圆上且2112120AF F F AF AF c ==且，则椭圆的离心率为 ．12．当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP xAB yAC =+，x 、y R ∈，则2y x +的取值范围是 ▲（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．(坐标系与参数方程选做题) 设直线1l 的参数方程为1,3.x t y a t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系得另一直线2l 的方程为sin 3cos 40ρθρθ-+=，若直线1l 与2l a 的值为 ．15．（几何证明选做题）已知P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为切点，割线PEF经过圆心O ，若12,PF PD ==则EFD ∠的度数为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.已知函数R x x x x f ∈--+=,12cos 3)4(sin 2)(2π（1）若函数)()(t x f x h +=的图像关于点)0,6(π-对称，且),0(π∈t ，求t 的值；（2）设,3)(:,2,4:<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈m x f q x p ππ若q p 是的充分条件，求实数m 的取值范围17设不等式224x y +≤确定的平面区域为U ，1x y +≤确定的平面区域为V ．（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；（2）在区域U 内任取3个点，记这3个点在区域V 的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．18.如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，ABC ∠和AC A 1∠均为60，ABCD 11平面平面⊥C C AA 。
广东省广州市第一一三中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题
绝密★启用前 广东省广州市第一一三中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若点(,)p x y 是330︒角终边上异于原点的一点,则x y 的值为( ) A B ． C D ．2．已知圆的半径为cm π，则120o 的圆心角所对的弧长是（ ） A ．3cm π B ．23cm π C ．23cm π D ．223cm π 3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表： 由此可以判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根所在的区间是 ( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞) 4．sin 600tan 240+o o 的值是（ ）11…………○…………装……※※请※※不※※要※※在※…………○…………装……5．函数12cos[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π,2-,4π B ．3π,2,12π C ．6π,2,712π D ．6π,2,4π 6．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3 7．为了得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin(2)3y x π=-的图象A ．向左平行移动3π个单位 B ．向左平行移动6π个单位C ．向右平行移动3π个单位 D ．向右平行移动6π个单位8．函数f (x )＝|tan 2x |是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数9．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）A ．24sin()33xy π=+B ．224sin()33xy π=-C ．24cos()33x y π=+D ．224cos()33xy π=-………线…………线…10．在()0,2π内,使sin cos x x >成立的x 的取值范围为( ) A ．(,)4ππ B ．5(,)44ππ C ．5(,)424ππππ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭， D ．53(,)444ππππ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭， 11．函数是周期为π的偶函数，且当[0,)2x π∈时，()3tan 1f x x =-，则8()3f π的值是（ ）. A ．4- B ．2- C ．0 D ．2 12．给下面的三个命题: ①函数sin(2)3y x π=+ 的最小正周期是2π ②函数3sin()2y x π=-在区间3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增 ③54=x π是函数5sin(26y x π=+）的图象的一条对称轴． 其中正确的命题个数( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．63log 2714125g g -++=_______ 14．一个扇形的面积为1，周长为4，则此扇形中心角的弧度数为____． 15．函数224sin 4cos y x x =--的最大值是_______函数取最大值时对应的x 的值是_______ 16．已知函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪⎩，，，＞若对任意的x R ∈，不等式()234f x m m ≤-恒成立,则实数m 的取值范围是________.○…………装※※请※※不※※要○…………装17． 已知02πα<<,4sin 5α=. （1）求tan α的值； （2）求sin()2cos 2sin()cos()παπααπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++的值. 18．(1)利用“五点法”画出函数1()sin()26f x y x π==+在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:作图:(2)并说明该函数图象可由sin (R)y x x =∈的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数()f x 图象的对称轴方程.19．已知()()2sin 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求ω的值，并求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.………装…………○…………○……________姓名：___________班级__________………装…………○…………○……20． 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)－1(a ＞0，且a ≠1)，g (x )＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭x －1. (1)若函数y ＝f (x )的图象恒过定点A ，求点A 的坐标； (2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，试证明函数F (x )在x ∈(1,2)上有唯一零点． 21．如图，函数2sin()y x πϕ=+，x ∈R 其中02πϕ≤≤的图象与y 轴交于点(0,1)． （1）求ϕ的值； （2）求函数2sin()y=x πϕ+的单调递增区间； （3）求使1y ≥的x 的集合． 22．已知函数()cos()(0)2f x x A πωϕωω=+>，>0,0<<的部分图象,如图所示. (1)求函数解析式; (2)若方程()f x m =在13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个不同的实根,求m 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】 由三角函数的定义知tan 330y x ︒=，计算即可. 【详解】解：由题意知，tan 330tan 30y x ︒︒==-=，则x y= 故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题.2．D【解析】试题分析：由弧长公式得：，故选项为D.考点：弧长公式.3．A【解析】 由表格可得二次函数f x （） 对称轴为011022x a +==，＞， 再根据310240f f f f --（）（）＜，（）（）＜ ，可得f x （）的零点所在的区间是31--（，） 和24（，），即方程20ax bx c ++= 的两个根所在的区间是31--（，）和24（，）， 故选A ．4．B【解析】【分析】由题意结合诱导公式求解三角函数式的值即可.由诱导公式得()()sin 600tan 240sin 180360tan 18060+=⨯+++o o o o o o sin 60tan 60=-+oo ==故选B.【点睛】 本题主要考查诱导公式及其应用，特殊角的三角函数值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C【解析】【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，写出函数的振幅、周期和初相即可.【详解】 解：由已知函数1172cos()2sin()312312y x x ππ=+=+， 振幅是2A =， 周期是2613T p p ==， 初相是712πϕ=. 故选：C.【点睛】本题考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质的应用问题，是基础题.6．D【解析】【详解】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f （x ）=2x +2x+b （b 为常数），∴f （0）=1+b=0，∴f （1）=2+2-1=3．∴f （-1）=-f （1）=-3．故选D ．7．B【解析】【分析】由函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】∵将函数y ＝sin （2x 3π-）的图象向左平行移动6π个单位得到sin[2（x 6π+）3π-]= sin2x ， ∴要得到函数y ＝sin2x 的图象，只需将函数y ＝sin （2x 3π-）的图象向左平行移动6π个单位．故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题． 8．D【解析】【详解】∵f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．结合图象可得函数f (x )的周期为π2T =． 故选D ．9．A【解析】试题分析：设，根据函数的最大值，得到,函数的周期,所以，，当时，，解得，所以，若要设，那么时，，解得，那么，故选A.考点：的图像 【易错点睛】考察了的图像，属于基础题型，本题中的振幅，周期都好求，就是容易求出，函数与X 轴的一个交点是，会错写成，当时，这样求得的，注意是函数与x 轴的交点，是减区间的交点，所以此时代入,这时本题容易出错的一个地方.10．B【解析】【分析】 直接利用三角函数线写出满足不等式的解集即可.【详解】解：在()0,2π内，画出sin x 与cos x 对应的三角函数线是MT ，OM ，如图：满足在()0,2π内，使sin cos x x >的即MT OM >，所以所求x 的范围是：5(,)44ππ， 故选：B.【点睛】本题考查三角函数线解答不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用.注意三角函数线与线段的区别.11．D因为函数()f x 是周期为π的偶函数，所以8()()()123333f f f ππππ=-==-= 12．C 【解析】 【分析】①根据函数sin(2)3y x π=+的最小正周期判断正误；②利用函数3sin()2y x π=-在区间上的单调递增区间判断；54=x π代入函数5sin(26y x π=+）的求出最值，说明是否是对称轴，判断③的正误. 【详解】 解：sin(2)3y x π=+的最小正周期22T ππ==，故sin(2)3y x π=+的最小正周期是2π，①正确；33,,0222x x ππππ⎡⎫⎡⎫∈⇒-∈-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，故3sin()2y x π=-在区间3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，②正确；5523463ππππ⨯+=+，故sin 13(3y ππ+=≠±），故54=x π不是5sin(26y x π=+）图象的对称轴，③不正确. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦函数的基本性质，能够利用三角函数的基本性质解决函数的选择问题，是高考常考题型，是基础题. 13．71 【解析】 【分析】利用指数，对数的运算性质运算即可.解：()66633233log 271412532log 31425g g g -++=⨯-+⨯983271=⨯-+=，故答案为：71. 【点睛】本题考查指数，对数的运算性质，是基础题. 14．2 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式,列出关于圆心角和半径的方程,即可求出 【详解】设扇形的半径为r ,中心角为α,所以211242r r rαα⎧=⎪⎨⎪=+⎩,解得2α=,1r =, 故答案为2． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式的应用． 15．6 2,2x k k Z ππ=-∈【解析】 【分析】化余弦为正弦，然后利用二次函数最值的求法求得函数的最值，并求得使函数取得最值时x 的取值. 【详解】解：()222124sin 41sin 24sin 44sin 2c s 3o x x x y x x ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭=--，当sin 1x =-，即2,2x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最大值，最大值为24(1)4(1)26⨯--⨯--=.故答案为：6；2,2x k k Z ππ=-∈.【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，也考查了二次函数在闭区间上的最值问题，是基础题. 16．14m ≤-或m 1≥ 【解析】 【分析】求出分段函数的最大值，不等式23()4f x m m ≤-恒成立等价于2max 3()4f x m m ≤-，又max 1()4f x =，解不等式求出实数m 的取值范围即可. 【详解】解：①当1x ≤时，211()()24f x x x x =-+=--+，则1(),4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，②当1x >时，13()log f x x =，即 ()(),0f x ∈-∞，综上可知：max 1()4f x =， 则21344m m ≤-， 解得14m ≤-或m 1≥，故答案为: 14m ≤-或m 1≥.【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，主要考查了由不等式恒成立求参数的范围，重点考查了运算能力，属中档题. 17．(1) 4tan 3α=；(2) 4. 【解析】 【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出3cos 5α=,即可求得tan α的值；(2)把要求的式子利用诱导公式化为sin sin cos ααα-,进而而求得结果.【详解】(1) 因为02πα<<，4sin 5α=， 故3cos 5α=，所以4tan 3α=，(2) sin()2cos sin 2sin 2sin()cos()sin cos παπααααπααα⎛⎫+-+ ⎪-+⎝⎭=--++-4sin tan 44sin cos ta 1313n ααααα====--- 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,属于基础题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.18．(1)见解析(2) 见解析(3) 22,3x k k Z ππ=+∈. 【解析】 【分析】(1)先列表如图确定五点的坐标，后描点并画图，利用“五点法”画出函数1sin()26y x π=+在长度为一个周期的闭区间的简图；(2)依据sin y x =的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再把所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到12sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；(3)令1262x kx ππ+=+，求出x 即可. 【详解】解:（1）先列表,后描点并画图；（2）把sin y x =的图象上所有的点向左平移6π个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到1sin()26y x π=+的图象，即1sin()26y x π=+的图象； （3）由12,2,2623x kx x k k Z ππππ+=+=+∈， 所以函数的对称轴方程是22,3x k k Z ππ=+∈. 【点睛】本题考查五点法作函数sin()y A x ωϕ=+的图象，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，考查计算能力，是基础题. 19．（1）1ω=，(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]1,2-【解析】试题分析：（1）由最小正周期为π，得1ω=，由222262k x k πππππ-+≤-≤+，()k Z ∈，即可解得()f x 的单调递增区间； （2）由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而可得值域.试题解析：解：(1)由()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，得22ππω=， ∵0ω>，∴1ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令26z x π=-，则2sin y z =，sin z 的单调递增区间为()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由2222k z k ππππ-+≤≤+得63k x k ππππ-+≤≤+，故()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. (2)因为50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故()f x 的值域为[]1,2-.点睛：研究三角函数()()f x Asin x ωϕ=+的性质，最小正周期为2πω，最大值为A .求对称轴只需令π2,2x k k Z ωϕπ+=+∈，求解即可， 求对称中心只需令,x k k Z ωϕπ+=∈，单调性均为利用整体换元思想求解. 20．(1) 过点A (－1，－1),(2) 函数F (x )在(1,2)上有唯一零点 【解析】试题分析:(1)由对数函数log ay x =恒过点(1,0)可得,令x+2=1,则()log 2log 10a a x +==,即图象恒过A(－1，－1);(2)先求出函数F(x)的解析式,根据图象恒过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求出a 值,代回进而确定函数在(1,2)上是增函数,根据零点存在性定理可判断出零点唯一. 试题解析:(1)∵函数y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，∴函数f (x )＝log a (x ＋2)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点A (－1，－1)．(2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (x ＋2)－1－12⎛⎫⎪⎝⎭x －1， ∵函数F (x )的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴F (2)＝12，即log a 4－1－12⎛⎫⎪⎝⎭2－1＝12， ∴a ＝2.∴F (x )＝log 2(x ＋2)－12⎛⎫⎪⎝⎭x －1－1. ∴函数F (x )在(1,2)上是增函数． 又∵F (1)＝log 23－2＜0，F (2)＝12＞0， ∴函数F (x )在(1,2)上有零点， 故函数F (x )在(1,2)上有唯一零点．21．（1）6π,（2）2212233k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ,（3）2|22,3x k x k k ⎧⎫≤≤+≡⎨⎬⎩⎭Z 【解析】 【分析】（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解； （2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可； （3）由1y ≥，求解不等式1sin 62x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】解：（1）因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin 1=ϕ，即1sin 2ϕ=．因为02πϕ≤≤，所以6π=ϕ．（2）由（1）得2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以当22262k x k ππππππ-+≤+≤+，k Z ∈，即212233k x k -+≤≤+，k Z ∈时， 2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是增函数，故2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为212,233k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （3）由1y ≥，得1sin 62x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 所以522666k x k ππππππ+≤+≤+，k Z ∈， 即2223k x k ≤≤+，k Z ∈， 所以1y ≥时，x 的集合为2|22,3x k x k k Z ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题. 22．(1) ()cos(2)3f x x π=+ (2) 1m =,或者(1,0)m ∈-【解析】 【分析】(1)由图象可得周期，进而得ω，由五点作图的知识可得ϕ； (2)作出函数()cos(2)3f x x π=+在13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，以及直线y m = 可得结论. 【详解】解答(1)由题中的图象知,5263T ππ=-,即T π=， 所以22Tπω==,根据五点作图法， 令23πϕπ⨯+=,得到3πϕ=,所以()cos(2)3f x x π=+；(2)由()cos(2)3f x x π=+在13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象知，当1m =,或者(1,0)m ∈-上有两个不同的实根. 【点睛】本题是由三角函数图象和函数方程的结合,主要训练学生运用五点作图法来找出五角函数,利用函数方程的观点进行分析和解决求根问题.。
广东省广州市2010届高三一模(数学理)
试卷类型：A2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理科）2010．3 本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：球的体积公式343V R π=，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数()3i 1i - 的共轭复数．．．．是 A ．3i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i -2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ﹐球面上有两个点A ，B 的坐标分别为()1,2,2A ，()2,2,1B -，则AB =A ．18B ．12C ．D ．3．已知集合{}1,1A =-，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-4．若关于x 的不等式1x a -<的解集为()1,3，则实数a 的值为A ．2B ．1C ．1-D ．2-5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款． 据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为A ．2160B ．2880C ．4320D ．86407．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若()4,3PA =，()1,5PQ =，则BC =A ．()2,7-B ．()6,21-C ．()2,7-D ．()6,21-8．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数 的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为A ．11260B ．1840 C ．1504D ．1360二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30（一）必做题（9～13题）9．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =则n 的值为 ．10．某算法的程序框如图3所示，若输出结果为12，则输入的实数x 的值 是________．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“：=”）1112 12 13 16 1314 112 112 1415 120 130120 15………………………………………11．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ．12．已知函数()()21,1,log , 1.aa x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．13．如图4，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图5,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =,设COD θ∠=, 则tan θ的值为 .15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,6π⎛⎫⎪⎝⎭，则△AOB （其中O 为极点）的面积 为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<）． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数24y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称，求ϕ的值．17．（本小题满分12分）某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），图5B CDO ① ② ③ ④图4ABCDE FOA 'B 'C 'D '公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．18．（本小题满分14分）如图6，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，3AE =，圆O 的直径为9． （1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；（2）求二面角D BC E --的平面角的正切值．19．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设1DA l =，2DB l =，求1221l l l l +的最大值． 21．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有0n a >，n S =．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）证明：21221n n nn n n a a a +-+≥．2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．7 10 11．2312．(]2,3 13．①②③14．215．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()()sin f x x ϕ=+，∴函数()f x 的最小正周期为2π． （2）解：∵函数2sin 244y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又sin y x =的图像的对称轴为2x k ππ=+（k ∈Z ），令242x k ππϕπ++=+，将6x π=代入，得12k πϕπ=-（k ∈Z ）．∵0ϕπ<<，∴1112πϕ=． 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0． 则ξ的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0． 依题意得()()()110008006004P P P ξξξ======， ()()()()1500400300016P P P P ξξξξ========， 则ξ的分布列为()()1110008006005004003000416E ξ=++++++ 675=元．答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元． 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上，∴AE ⊥CD ．在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，∵AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ．∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE ．（2）解法1：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴CD DE ⊥．∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，222281DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，22229DE AD AE a =-=-，由22819a a -=-，解得，a =．∴6DE ==．过点E 作EF AD ⊥于点F ，作FG AB 交BC 于点G ，连结GE ，由于AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF AB ⊥． ∵AD AB A =，∴EF ⊥平面ABCD ． ∵BC ⊂平面ABCD ， ∴BC EF ⊥．∵BC FG ⊥，EF FG F =，∴BC ⊥平面EFG ． ∵EG ⊂平面EFG ， ∴BC EG ⊥．∴FGE ∠是二面角D BC E --的平面角．在Rt △ADE中，AD =3AE =，6DE =， ∵AD EF AE DE ⋅=⋅，∴AE DE EF AD ⋅===． 在Rt △EFG中，FG AB == ∴2tan 5EF EGF FG ∠==． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为25． 解法2：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD DE ⊥．∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，222281DE CE CD a =-=-，GF在Rt △ADE 中，22229DE AD AE a =-=-，由22819a a -=-，解得，a =．∴6DE ==．以D 为坐标原点，分别以ED 、CD 所在的直线为x 轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()6,0,0E -，()0,C -，()6,0,3A -，()6,B --．设平面ABCD 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0.DA DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即111630,0.x z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取11x =，则()11,0,2=n 是平面ABCD 的一个法向量． 设平面BCE 的法向量为()2222,,x y z =n ，则220,0.EB EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即222230,60.z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 取22y =，则2=n 是平面ABCD 的一个法向量．∵()(1212121,0,25,2,2cos ,===⋅n n n n n n ， ∴12sin ,=n n ． ∴122tan ,5=n n ． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为25． 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：∵()ln 1a f x x x =+-，∴221()a x a f x x x x-'=-+=． 令()0f x '=，得x a =．xyz①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减， 当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],a e 上单调递增， 所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 所以当x e =时，函数()f x 取得最小值a e． 综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值；当0a e <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ； 当a e ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为a e． （2）解：∵()()ln 1xg x x e x =-+，(]0,x e ∈，∴ ()()()()ln 1ln 11x xg x x e x e'''=-+-+()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭． 由（1）可知，当1a =时，1()ln 1f x x x=+-． 此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=，即1ln 10x x+-≥． 当(]00,x e ∈，00xe >，001ln 10x x +-≥， ∴00001()ln 1110x g x x e x ⎛⎫'=+-+> ⎪⎝⎭≥． 曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解． 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解．故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直．20．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设(),P x y ，则(),1Q x -，∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--． 即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹C 的方程24x y =．（2）解：设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，则24a b =． ①圆M 的半径为MD =圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-． 令0y =，则()()22222x a b a b -+=+-，整理得，22440x ax b -+-=． ② 由①、②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +， ∴1l =2l =．∴22212122112l l l l l l l l ++==== ③当0a ≠时，由③得，1221l l l l +==当且仅当a =±时，等号成立． 当0a =时，由③得，12212l l l l +=．故当a =±时，1221l l ll +的最大值为21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：当1n =时，有11a S ==由于0n a >，所以11a =．当2n =时，有2S =12a a +=，将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =．（2）解：由n S =，得()23331212n n a a a a a a +++=+++， ①则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++． ②②－①，得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++，由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++． ③同样有()21212n n n a a a a a -=++++()2n ≥， ④③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+．所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当n ≥1时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列．故n a n =．（3）证明1：由于()0122331C C C C nn n n n x x x x +=++++， ()0122331C C C C nn n n n x x x x -=-+-+， 所以()()13355112C 2C 2C nnn n n x x x x x +--=+++．即()()33551122C 2C nnn n x x nx x x +---=++．令12x n =，则有11111022n nn n ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．即1111122n nn n ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 即()()()21221n n nn n n ++-≥故21221n n nn n n a a a +-+≥．证明2：要证21221n n nn n n a a a +-+≥，只需证()()()21221n n nn n n ++-≥，只需证1111122n nn n ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，只需证1111122n nn n ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．由于111122n nn n ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23231230123111111C C C C C C C C 222222n n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－－ 351351112C C C 222n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦35351112C C 122n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥． 因此原不等式成立．。
广东省广州市荔湾区2010届高三第一次质量测试(数学理)
广东省广州市荔湾区2010届高三第一次质量测试数学试卷（理）一、选择题（每题5分，共40分）1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．02⎛ ⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．12⎫⎪⎪⎣⎭5．在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．8212-B ．9212-C ．10122-D ．11122-6、函数)1)(1(log >-=a a y x a 的图象只能位于 （ ）A 、第一象限；B 、第二象限；C 、第三象限；D 、第四象限。
7、已知函数),30(42)(2<<++=a ax ax x f 若21x x <且a x x -=+121；则（ ）A 、)()(21x f x f <；B 、)()(21x f x f =；C 、)()(21x f x f >；D 、)(1x f 与)(2x f 的大小不能确定。
8、方程lnx=6-2x 的根所在大致区间是 （ ）A 、（1，2）；B 、（2，3）；C 、（3，4）；D 、（5，6）. 二、填空题（每题5分，共40分）9、已知f(x)=|log 2x|，则=+)23()43(f f ; 10、已知命题"1,:"xx R x p >∈∃+，命题p 的否定为命题q ，则q 是“ ”；q的真假为（填真，假）。
广东省实验中学2010届高三第一次月考(数学文)
广东省实验中学2010届高三第一次月考（数学文）第一部分 选择题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则AB 为 ( )A ． {0,1}-B ．{1}-C ． {1,1}-D ．{0} 2. 复数21i+的虚部是（ ） A. 1 B. i - C. i D. -13．函数f(x)是以π为周期的奇函数，且f(4π-)=-1，那么f(49π)等于 ( ) A ． 1 B. -1 C. 4π- D. 4π4. 下面四个命题中，正确命题的序号是( )①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”；A ．①②B ．②③C ．②④ D. ③④5． 已知函数x x f y sin )(=的一部分图象如右图所示，则函数)(x f 可以是（ ）A x sin 2B x cos 2C x sin 2-D x cos 2-6．函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．关于原点成中心对称B ．关于y 轴成轴对称C ．关于)0,12(π成中心对称 D ．关于直线π12x =成轴对称 7．若函数(2)(2)()2(2)xf x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩，则(3)f -的值为（ ） A.18 B. 12C. 2D. 8 8、函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是 （ ）A ．0≥aB ．0>aC ．0≤aD ．0<a9．点P 在PBC ABC AP PC PB ABC ∆∆=+∆的面积是设并且内,6,的面积的m 倍，那么m=（ ）A ．38 B ．34 C ．4D ．210．如果关于x 的方程 ||21[()2]202x a ---=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A. [)+∞-,2B.(]2,1-C. (]1,2-D.[)2,1-第二部分 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．化简cos 27cos33cos63cos57-= .12．已知曲线21y x =-在0x x =点处的切线与曲线31y x =-在0x x =点处的切线互相平行，则0x 的值为 ．13．若a y a y a x3|2|,1=-=>与则函数的图象交点个数是14．若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A中的那部分区域的面积为 ____________.三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分12分）已知p ：0}m ,0)m 1x )(m 1x ({>≥--+-∈其中x x ;q ： }0,1{≠∈+=∈n R n nn x x x 且其中 ,且p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围。
广东省三山高级中学2010学年第一学期高三第一次月考数学卷(文科)
广东省三山高级中学2010学年第一学期高三第一次月考数学卷(文科)（时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中的相应位置） 1.若将复数2i i+表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位)的形式，则ba 的值为 （ ）A.2-B.12-C.2D.122.函数()cos4,f x x x R =∈是最小正周期为 （ ） A.π的偶函数 B.π的奇函数 C.2π的偶函数 D. 2π的奇函数 3.已知||||2==a b ，2⋅=-a b ，且()()t +⊥+a b a b ，则实数t 的值为 （ ）A.1-B.1C.2-D.24.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的 茎叶图，则在这几场比赛中甲得分的中位数与乙得分 的众数分别是 （ ） A ．3，2 B ．8，2 C ．23，23 D ．28，325.复数11212i i +--的虚部为 （ ） A.15 B.15i C.15- D.15i -6.从数字1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率 是 （ ） A.15 B.25 C.35D.457.已知11a -≤≤，11b -≤≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是 （ ）A.12B.14C.18D.110 8.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（六个面均标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛 掷骰子朝上的面的点数分别为,x y ，则满足复数x yi +的实部大于虚部的概率是（ ） A.16 B.512 C.712 D. 13 9.在ABC ∆中，3AB =，2BC =，2A π∠=，如果不等式||||BA tBC AC -≥恒成立，则实数t 的取值范围是 （ ）A.[1,)+∞B. 1[,1]2C. 1(,][1,)2-∞+∞ D. (,0][1,)-∞+∞10．非零向量AB 和AC 满足()0AB AC BC AB AC +⋅=，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC ∆为（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分,把答案填在答题卷中的相应位置上）11. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是 ；优秀率为 .12．已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为 .13．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)x i y -⋅-1i =+，则(1)x y i ++= . 14．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= .15．将正整数排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则数表中的300应出现在第 行.16．右面是计算3331210+++的程序框图，图中的①、②分别是 和 .17．已知平面向量,,,a b c 满足||1=a ，||2=b ，||2=c ，||||+=-a b a b ，则||++a b c的最大值是 .三、解答题（本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中的相应位置） 18.(本小题满分14分）在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且32sin a c A =. ⑴ 确定角C 的大小；频率组距分数0.040.0350.030.0250.020.0150.010005100908070605040第11题图第14题图 第16题图⑵ 若7c =，且ABC ∆的面积为332，求a b +的值.19.(本小题满分12分）如图，以Ox 为始边作角α与β(0)βαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于点,P Q ，已知点P 的坐标为34(,)55-.⑴ 求sin 2cos211tan ααα+++的值；⑵ 若0OP OQ ⋅=，求sin()αβ+.20．（本小题满分14分）已知向量(sin ,1cos )B B =-m ，向量(2,0)=n ，且m 与n 的夹角为3π，其中,,A B C 是 ABC ∆的内角．⑴ 求角B 的大小；⑵ 求sin sin A C +的取值范围．21.(本小题满分16分） 已知向量(3,sin())12x π=-a ，(sin(2),2sin())612x x ππ=--b ，(,0)4π=-c . 定义函数()f x =⋅a b .⑴ 求函数()f x 的表达式；⑵ 将函数()f x 的图象沿c 方向移动后，再将其各点横坐标变为原来的2倍得到()y g x =的图象，求()y g x =的单调递减区间及()g x 取得最大值时所有x的集合.22．（本小题满分16分）已知函数2()2f x ax bx c =++(0)a ≠，且(1)f b =. ⑴ 求证：存在12,x x R ∈，使得12()()0f x f x ==； ⑵ 对⑴中的12,x x ，若()()0a b a c -->， (I) 求ca的取值范围； (II)求12||x x -的取值范围.αxOy PQβ三山高级中学2010学年第一学期高三第一次月考数学答案(文科)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中的相应位置）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分,把答案填在答题卷中的相应位置上）11. 800；20% 12.72513.2i 14.6 15.18 16.3s s i =+；1i i =+ 17.52+三、解答题（本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中的相应位置） 18.(本小题满分14分）解：⑴ 由32sin a c A =及正弦定理得：2sin sin sin 3a A Ac C ==， ∵ sin 0A ≠,∴3sin 2C =在锐角ABC ∆中，3C π=.⑵ ∵7c =，3C π=，由面积公式得133sin 232ab π=，即6ab = ①由余弦定理得222cos73a b ab π+-=，即227a b ab +-= ②由②变形得2()25a b +=，故5a b +=. 19.(本小题满分12分） 解：⑴由三角函数定义得3cos 5α=-，4sin 5α=，∴原式2222sin cos 2cos 2cos (sin cos )3182cos 2()sin sin cos 5251cos cos αααααααααααα++====⨯-=++⑵ ∵0OP OQ ⋅=，∴2παβ-=∴2πβα=-，∴3sin sin()cos 25πβαα=-=-= 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACADABBBCDαxOyPQβ4c o s c o s ()s i n 25πβαα=-== ∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+44337()555525=⋅+-⋅=.20．（本小题满分14分） 解：⑴∵(sin ,1cos )B B =-m 与向量(2,0)=n 所成角为3π， ∴222sin sin (1cos )2cos3B B B π⋅==+-⨯⨯m n ，∴3sin cos 1B B +=，即1sin()62B π+=又 0B π<<，∴7666B πππ<+<∴566B ππ+=∴23B π=． ⑵ 由⑴知，23B π=， ∴3A C π+=∴13sin sin sin sin()sin cos sin()3223A C A A A A A ππ+=+-=+=+ 03A π<<，∴2333A πππ<+<， ∴ 3sin()123A π<+≤， ∴3sin sin (,1]2A C +∈． 21.(本小题满分16分） 解：⑴(3,sin())(sin(2),2sin())12612x x x πππ⋅=-⋅--a b 23sin(2)2sin ()612x x ππ=-+- 3sin(2)1cos(2)66x x ππ=-+-- 2sin(2)13x π=-+ ∴()2sin(2)13f x x π=-+⑵ 将()f x 的图象沿c 方向移动，即向左平移4π个单位，其表达式为2sin[2()]143y x ππ=+-+，即2sin(2)16y x π=++，再将各点横坐标伸长为原来的2倍，得2sin(2)126x y π=⨯++，即()2sin()16g x x π=++.其单调递减区间为4[2,2]33k k ππππ++，k Z ∈ 当262x k πππ+=+，即2,,()3x k k Z g x ππ=+∈时的最大值为3，此时x 的集合为{|2,}3x x k k Z ππ=+∈.22．（本小题满分16分）解：由于(1)2f a b c b =++=，所以0a b c ++=，b a c =--. ⑴因为222(2)44()4[()]b ac b ac a c ac ∆=-=-=---2222134()4[()]024c ca a c a a =++=++>所以二次函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点， 故存在12,x x R ∈，使得12()()0f x f x ==. ⑵(I)由于()()0a b a c -->，且b a c =--，得(2)()0a c a c +->，两边同除以2a ，有(2)(1)0c c a a +-<，所以21ca -<<. (II)由 (I)知，122b x x a +=-，12cx x a= 由于22212121222||()4()42b c b acx x x x x x a a a --=+-=--=222221322()()12()24a c ac c c c a a a a ++==++=++ 因为21c a -<<，则313222c a -<+<， 所以234≤12x x -＜2233()24±+ 即123||23x x ≤-<.。
广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标训练(5)
广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标训练（5）班级： 姓名： 计分：1. 已知21{|log ,1},{|(),1}2x A y y x x B y y x ==<==>，则A B = （ ）. A ．φ B ．（,0-∞） C ．1(0,)2 D ．（1,2-∞）2. 3(1)(2)i i i --+=（ ）.A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -3. 已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是（ ）. A ．15B ．30C ．31D ．644. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）.A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°5. 已知平面上三点A 、B 、C 满足3AB = ，4BC = ，5CA = ，则A B B C B C C A C A A B ⋅+⋅+⋅的值等于（ ）.A ．25B ．24C ．－25D ．－246．点P 在曲线323y x x =-+上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）. A ．[0,)2π B ．3[0,)[,)24πππ C ．3[,)4ππ D ．3[0,)(,]224πππ7．在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8．若函数f(x)=x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）.A. B. C. D.9．（文）已知函数y =f (x )，x ∈｛1,2,3｝，y ∈｛－1,0,1｝，满足条件f (3)=f (1)+f (2)的映射的个数是（ ）. A. 2 B. 4 C. 6 D. 7（理）已知随机变量ξ服从二项分布，且E ξ＝2.4，D ξ＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）. A ．n =4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3 D ．n ＝24，p =0.110．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB a b值为（ ）.ABCD11. A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜=｜PB ｜，若直线PA 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程为 12．（文）调查某单位职工健康状况，其青年人数为300，中年人数为150，老年人数为100，现考虑采用分层抽样，抽取容量为22的样本，则青年、中年、老年各层中应抽取的个体数分别为_____________（理）5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数有 .13．在条件02021x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩下, 22(1)(1)Z x y =-+-的取值范围是 .14．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0,nπ]上的面积为2n （n ∈N * ），（i ）y ＝sin3x 在[0,23π]上的面积为 ；（ii ）（理）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π,43π]上的面积为 .15. 小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）若小明恰好抽到黑桃4；①请绘制出这种情况的树状图；②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率.（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由.16．已知函数f x x x ()=-+33（I ）证明：函数f x ()是奇函数；（II ）求f x ()的单调区间。
广州市第一一三中学2008届高三数学基础达标训练(9)
广州市第一一三中学2008届高三数学基础达标训练（9）班级： 姓名： 计分：1． 设全集为 R ，A =1{|0}x x<，则R C A =（ ）. A. 1{|0}x x > B. ｛x | x ＞0｝ C. ｛x | x 0≥｝ D. 1{|0}x x≥ 2． 2(1)i i ⋅-等于（ ）.A. 2-2iB. 2+2iC. -2D. 23． 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是（ ）.A. （a , 0）B. (-a , 0)C. （0, a ）D. （0, - a ）4．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）. A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.55．已知m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列4个命题：① 若//,m n n α⊂，则m ∥α； ② 若,,m n m n αα⊥⊥⊄，则//n α； ③ 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥；④ 若m n 、是异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α. 其中正确的命题有（ ）.A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④6． 若框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（ ）.A. 8k ≤B. 7k ≤C. 8k ≥D. 7k ≥7． 如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE =x (0x a ≤≤)，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数()y f x =的图象大致是（ ）.8． ABC ∆的内角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）.A.14B. 34C. D. 9．（文）已知函数2(4),()(1)(4)x x f xf x x ⎧<=⎨-≥⎩，那么(5)f 的值为（ ）.第7题图俯视图A. 32B. 16C. 8D. 64（理）函数2()276f x x x =-+-与()g x x =-的图象所围成封闭图形的面积为（ ）. A. 43 B. 83C. 53D. 10310．已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）.A. 12B. C. 13D.11. 如果实数,a b R +∈,且a b >,那么b 1()2a b + 由大到小的顺序是 .12．（文）用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为 .（理）61()x x-的展开式中的常数项是 （用数字作答）.13．已知点(1,0)A ，P 是曲线2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩()R θ∈上任一点，设P 到直线l ：12y =-的距离为d ，则||PA d +的最小值是 .14．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 . 15. 已知，圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A、B 两点，且AB =时，求直线l 的方程.16．（天津卷）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.(I)求取出的4个球均为黑色球的概率； (II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(III)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小的余弦．18.已知函数x x x f ln 21)(2+=A E BC F S D（1）求函数)(x f 在区间[1，e ]上的最大值、最小值；（2）求证：在区间（1，∞+）上，函数)(x f 图象在函数332)(x x g =图象的下方； （3）（理科）设函数)()(x f x h '=，求证：2)]([+n x h ≥n n x h 2)(+．达标训练（9）参考答案1～5 CDACB 6～10 AABC(B)D11. b1()2a b + 12. 3m 与1.5m （20-）13.14. . 15. 解：将圆C 的方程228120x y y +-+=配方得标准方程为22(4)4x y +-=，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.（1）若直线l 与圆C2=. 解得34a =-. （2）解法一：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得22222,12CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪=⎪⎩解得7,1a =--. （解法二：联立方程2220,8120ax y a x y y ++=⎧⎨+-+=⎩并消去y ，得 22222(1)4(2)4(43)0a x a x a a ++++++=.设此方程的两根分别为1x 、2x，则用AB ==a .） ∴直线l 的方程是7140x y -+=和20x y -+=.16.解：(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.由于事件A ，B 相互独立，且2234224612(),()25C C P A P B C C ====.故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯= . (II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C ，D 互斥，且211123324422224646.41().,().155C C C C C P C P D C C C C ====.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. (III)解：ξ可能的取值为0,1,2,3.由(I)，(II)得17(0),(1),515P P ξξ====又13224611(3).,30C P C C ξ=== 从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==.ξ的分布列为ξ的数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.17.解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等腰直角三角形． 取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A = ，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠===所以二面角A EF D --的大小为的余弦为33． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(0B a aC ，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ， 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．AEBCFSD H G MEF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥，所以向量MD 和EA的夹角等于二面角A EF D --的平面角．cos 3MD EA MD EA MD EA<>==，． 所以二面角A EF D --的大小的余弦为33． 18. （1）x x x f 1)(+='=xx 12+，当∈x [1，e ]时，0)(>'x f ，则)(x f 在区间[1，e ]上是增函数∴ 当1=x 时，)(x f 有最小值21；当e x =时，)(x f 有最大值122+e （2）设)(x F =3232ln 21x x x -+，则xx x x x x x x F )21)(1(21)(22++-=-+='∵ 1>x ， 0)(<'x F ∴ )(x F 在区间（1，∞+）上是减函数又∵ 061)1(<-=F ∴ 3232ln 21x x x -+0<，即3232ln 21x x x <+，),1(∞+∈x∴在区间（1，∞+）上，函数)(x f 图象在函数332)(x x g =图象的下方（3）当1=n 时，左边=21++x x ，右边=21++xx ，不等式成立；当2=n 时，)1()1()()]([n n n n n x x x x x h x h +-+=-=)]1()1()1([21221442221-------++++++n n n n n n n n n n x xC x x C x xC 由已知，0>x∴ )()]([nn x h x h -≥22121-=+++-n n n n n C C C∴ 2)]([+n x h ≥n n x h 2)(+．。
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广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标训练（7）
班级： 姓名： 计分：
1．设集合A={x | x
}，a =3，那么（ ）. A. a A B. a ∉A C. {a }∈A D. {a } A 2．向量a = (1,2)，b = (x ,1)，c = a + b ，d = a - b ，若c //d ，则实数x 的值等于（ ）.
A.
12 B. 12- C. 16 D. 16
-
3. 方程lg 30x x +-=的根所在的区间是（ ）.
A.（1，2）
B. （2，3）
C. （3，4）
D.（0，1） 4．已知2sin cos αα=，则
2cos2sin 21
cos ααα
++的值是（ ）.
A. 3
B. 6
C. 12
D. 3
2
5．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ）.
A. 810
B. 840
C. 870
D.900
x
1)<的图象的大致形状是（
）.
7. 设三棱锥的3
个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为（ ）.
A.48π
B. 36π
C. 32π
D.12π
8． 实数,x y 满足(6)(6)014
x y x y x -++-≥⎧⎨≤≤⎩，则y
x 的最大值是（ ）.
A ．
5
2
B ．7
C ．5
D ．８ 9．（文）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，标签的选取是无放回的，两张标签上的数字为相邻整数的概率（ ）.
A.
25 B. 35 C. 825 925
（理）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（ ）. A ．
103 B ．559 C ．809 D ．509
10. 设动点A , B （不重合）在椭圆2
2
916144x y +=上，椭圆的中心为O ，且0O A O B ⋅=
，则O 到弦AB 的距离OH 等于（ ）.
A ．
20
3
B ．154
C ．125
D ．415
11. 复数21i
i
-+(i 是虚数单位)的实部为 .
12. （文）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.
（理）在10(1)(1)x x -+的展开式中, 5x 的系数是 .
⊂ ≠
⊂ ≠
13. 在如下程序框图中，输入0()cos f x x =，则输出的是__________.
14.自极点O 向直线l 作垂线，垂足是(2,)3
H π
，则直线l 的极坐标方程为 .
15. 已知函数3
3()cos 2
2f x x x a ++恒过点(,1)3
π
-
．
（1）求a 的值；（2）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间．
16．设两个向量e 1、e 2满足｜e 1｜＝2，｜e 2｜＝1，e 1，e 2的夹角为60°.若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
17．如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 轴相交于点M ，且121-=y y .
（1）求证：M 点的坐标为（1，0）； （2）求证：OA ⊥OB ；
（3）求△AOB 的面积的最小值.
18.已知函数．3
()2f x x ax =+与2
()g x bx cx =+的图象都过点P(2，0)，且在点P 处有公共切线． (1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设()
()ln(1)8mg x F x x x
=+-，其中0m <，求F(x)的单调区间．
达标训练（7）参考答案 1～5 DABAB 6～10 DBBA(D)C
11.
12 12. 85（42） 13. sin x 14. cos()23
π
ρθ-=. 15. 解：（1333sin[()]cos[()]12323
a ππ
⨯-+⨯-+=
，解得1a =.
（2
）由33()cos 22f x x x a =+
+32sin()126
x π
=+++，
∴函数()y f x =的最小正周期24332
T ππ
==
. 由33222262k x k π
ππππ+
≤+≤+，得42483939
k k x ππππ
+≤≤+
()k Z ∈. ∴ 函数()y f x =的单调递减区间为4248[,]()3939
k k k Z ππππ
++∈.
16.解：e 12＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1cos60°＝1，
∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 12＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.
∴2t 2＋15t ＋7＜0，∴－7＜t ＜－
2
1.
设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0).214
,21472722=-=⇒=⇒⎩⎨
⎧==⇒λλ
λt t t t
∴t ＝－
2
14
时，2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴t 的取值范围是(－7，－
214)∪(－2
14
，－21).
17.解：(1 ) 设M 点的坐标为（x 0, 0）, 直线l 方程为 x = my + x 0 , 代入y 2
= x 得
y 2
－my －x 0 = 0 ① y 1、y 2是此方程的两根, ∴ x 0 ＝－y 1y 2 ＝1，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ y 1y 2 ＝－1
∴ x 1x 2 + y 1y 2 = y 12y 22
+y 1y 2 ＝y 1y 2 (y 1y 2 +1) = 0
∴ OA ⊥OB .
（3）由方程①，y 1＋y 2 = m , y 1y 2 ＝－1 , 且 | OM | = x 0 =1, 于是S △AOB = 2
1| OM | |y 1－y 2| =
212214)(21
y y y y -+=42
12+m ≥1， ∴ 当m = 0时，△AOB 的面积取最小值1.
18.解：(1)∵3
()2f x x ax =+过点(2,0),P ∴a=-83
()28f x x x =-,
2()68f x x x '=- ∴切线的斜率(2)16k f '==
∵2
()g x bx cx =+的图像过点(2,0),P ∴4b+2c=0,
∵()2,(2)(2)416g x bx c f g b c '''=+==+=,解得：b=8,c=-16
∴2()816g x x x =-
切线方程为16y ＝（x-2）．即16x-y-32=0
(2) ∵ ()(2)l n (1)(F x m x x x =-+-
>
11()(1)11
mx m F x m x x x -+'=+
=>-- 当m<0时，1
[(1)]
()1
m x m F x x --'=
-∵m<0 ∴111m -> 又x>1 当1(1,1)x m ∈-时()0F x '> 当1
(1,)x m ∈-+∞时()0F x '<
∴F (x)的单调减区间是1
(1,)m
-+∞
∴F(x)的单调增区间是(1，1
1m
-)
即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，11m -)，单调减区间是(1
1m -，+∞)。