数学必修1北师大版 3.3指数函数3 课件.
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北师大版必修一第三章第三节指数函数及其性质ppt课件
§ 指数函数（一）
经过
第一年
第二年
第三年
经过 X年
…...
人口 倍数
Y
增长
1%
增长
1%
增长
1%
表达式
引例：若从今年底开始我国的人口年平均增长率为1%,那么经过20年后我国的人口数是现在的几倍?
指数函数定义： 函数 y=ax （a>0,a≠1）叫做指数函数, 其中x是自变量，函数的定义域为R
作业: A组 7, 8
B组 1, 3, 4
例4．求下列函数的定义域、值域： ⑴ ⑵ ⑶
想一想
探究1：为什么要规定a>0,且a
1呢？
①若a=0，则当x≤0时，
③若a=1，则对于任何x
R，
=1，是一个常量，没有研究的必要性.
②若a<0，对于x的某些数值，可能使
探究2：函数
是指数函数吗？ 不是！指数函数中要求 的系数必须是1 思考:下列函数是指数函数吗,为什么?
指数函数的图象和性质：
x
(
)
=
2
x
的图象和性质：
图象在y轴左边平缓，右边陡 峭
图象在y轴左边陡峭，右边平缓
a>1
0<a<1
图 象
性 质
1.定义域：
2.值域：
3.过点 ，即x= 时，y=
4.在 R上是 函数
在R上是 函数
例2、比较下列各题中两个值的大小：
例3、(1)若 , 则m与n的大小如何? (3)已知a＞0，且a≠1，若当x≠1时恒有： 成立，求a的取值范围.
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
列表如下：
x
-3
北师大版高中数学必修1课件3指数函数y=2x和y=12x的图像和性质课件
图像自左至右是上升的，说明是增函数，图像位于x轴上方，说明
值域大于0。图像经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，0
＜y＜1；x＞0时，y＞1。图像不关于x轴对称，也不关于y轴对称，
说明函数既不是奇函数也不是偶函数。
通过观察图2，可知图像左右延伸无止境，说明定义域是实 数。图像自左至右是下降的，说明是减函数，图像位于x轴上 方，说明值域大于 0 。图像经过点 (0,1) ，且 y 值分布有以下特 点：x＜0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1。图像不关于x轴对称，
答案：b＜a＜c (a，b 可利用指数函数的性质比较，而 c 是大于 1 的)。
2．比较 a 与 a 的大小(a＞0 且 a≠0)。
1 3
1 2
答案：分 a＞1 和 0＜a＜1 两种情况讨论： 当 0＜a＜1 时， a ＞ a ； 当 a＞1 时， a ＜ a 。
1 3 1 2 1 3 1 2
例题解析
2x 1 x 1
故函数 y＝10
的值域是{y|y≥1，y≠10}。
变式训练
3、求下列函数的定义域和值域： (1)y＝ 2
1
2 x x2
；(2)y＝ 32 x 1 ；(3)y＝ ax 1 (a＞0，a≠1)。
1
2 x x2
1 9
答案：(1)函数 y＝ 2
自左向右，图像逐渐 自左向右，图像逐 上升 在第一象限内的图 像纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都小于 1 渐下降 在第一象限内的图 像纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都大于 1
x＞0， ax＞1 x＜0， ax＜1
x＞0， ax＜1ห้องสมุดไป่ตู้x＜0， ax＞1
值域大于0。图像经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，0
＜y＜1；x＞0时，y＞1。图像不关于x轴对称，也不关于y轴对称，
说明函数既不是奇函数也不是偶函数。
通过观察图2，可知图像左右延伸无止境，说明定义域是实 数。图像自左至右是下降的，说明是减函数，图像位于x轴上 方，说明值域大于 0 。图像经过点 (0,1) ，且 y 值分布有以下特 点：x＜0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1。图像不关于x轴对称，
答案：b＜a＜c (a，b 可利用指数函数的性质比较，而 c 是大于 1 的)。
2．比较 a 与 a 的大小(a＞0 且 a≠0)。
1 3
1 2
答案：分 a＞1 和 0＜a＜1 两种情况讨论： 当 0＜a＜1 时， a ＞ a ； 当 a＞1 时， a ＜ a 。
1 3 1 2 1 3 1 2
例题解析
2x 1 x 1
故函数 y＝10
的值域是{y|y≥1，y≠10}。
变式训练
3、求下列函数的定义域和值域： (1)y＝ 2
1
2 x x2
；(2)y＝ 32 x 1 ；(3)y＝ ax 1 (a＞0，a≠1)。
1
2 x x2
1 9
答案：(1)函数 y＝ 2
自左向右，图像逐渐 自左向右，图像逐 上升 在第一象限内的图 像纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都小于 1 渐下降 在第一象限内的图 像纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都大于 1
x＞0， ax＞1 x＜0， ax＜1
x＞0， ax＜1ห้องสมุดไป่ตู้x＜0， ax＞1
高中数学北师大版必修1课件第三章指数函数和对数函数本章整合2
单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(- 2 ),则a的取值范围是(
)
A. -∞,
C.
1 3
,
2 2
1
2
B. -∞,
D.
1
2
∪
3
,+∞
2
3
,+∞
2
解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
∴由 f(2 )>f(- 2)=f( 2)可得 2 < 2 =
对数计算、化简、证明常用的技巧.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用(1)若log34·log48·log8m=log42(m>0),求m的值;
1
(2)计算:
1 -2
4
·
( 4-1 )3
1(a>0,b>0).
0.1-2 (3 -3 )2
提示:(1)中对数的底数不同,应先利用换底公式化为同底的对数
再求解;(2)是关于指数的运算,要把握指数幂的运算性质.
∴f(6-a)=f(-1)=2
1
7
-2= -2=- .
4
4
-1-1
答案:A
1
2
3
4
5
பைடு நூலகம்
6
7
5
2
7(2016 浙江高考)已知 a>b>1,若 logab+logba= ,ab=ba,则
a=
,b=
.
解析:设logba=t,由a>b>1,知t>1.
1
5
2
由题意,得 t+ = ,解得 t=2,则 a=b2.
)
A. -∞,
C.
1 3
,
2 2
1
2
B. -∞,
D.
1
2
∪
3
,+∞
2
3
,+∞
2
解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
∴由 f(2 )>f(- 2)=f( 2)可得 2 < 2 =
对数计算、化简、证明常用的技巧.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用(1)若log34·log48·log8m=log42(m>0),求m的值;
1
(2)计算:
1 -2
4
·
( 4-1 )3
1(a>0,b>0).
0.1-2 (3 -3 )2
提示:(1)中对数的底数不同,应先利用换底公式化为同底的对数
再求解;(2)是关于指数的运算,要把握指数幂的运算性质.
∴f(6-a)=f(-1)=2
1
7
-2= -2=- .
4
4
-1-1
答案:A
1
2
3
4
5
பைடு நூலகம்
6
7
5
2
7(2016 浙江高考)已知 a>b>1,若 logab+logba= ,ab=ba,则
a=
,b=
.
解析:设logba=t,由a>b>1,知t>1.
1
5
2
由题意,得 t+ = ,解得 t=2,则 a=b2.
北师大版高中数学课件必修第1册第三章 指数运算与指数函数
2.
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
3．[江苏镇江 2021 高一期中]已知指数函数 f(x)的图象过点(－2，4)，则 f(6)＝( B )
3
1
4
A.
B.
C.
4
64
3
1 D.
12
解析
1
设
f(x)＝ax(a>0
且
a≠1)，∴f(－2)＝a－2＝4，解得
1 a＝ ，∴f(6)＝
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
6．[宁夏大学附属中学 2021 高一期中]已知 f(x)＝ka－x(k，a 为常数，a>0 且 a≠1)的图象过点 A(0，1)，B(－ 3，8)． (1)求 f(x)的解析式；
f（x）－1
(2)若函数 g(x)＝
，试判断 g(x)的奇偶性并给出证明．
10
解析
103x－2y＝103x＝（10x）3＝33＝27，故选 C. 102y （10y）2 42 16
§2 指数幂的运算性质
刷能力
5．已知 ab＝－5，则 a
A．2 5 C．－2 5
解析
b － ＋b
a
a － 的值是( B )
b
B．0
D．±2 5
由题意知 ab<0，a 故选 B.
b － ＋b
a
a － ＝a
2
6＝
1
.故选
B.
2
64
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
4．[福建福州第三中学 2021 高一期中]以下关于函数 f(x)＝2x 的说法正确的是( D ) A．f(mn)＝f(m)f(n) B．f(mn)＝f(m)＋f(n) C．f(m＋n)＝f(m)＋f(n) D．f(m)f(n)＝f(m＋n)
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》示范课课件_0
无法直接求解的方程问题, 借“数 形结合”的思想,常用作图法求(近似)解.
指数函数
应用举例
例2 填空 １ ①函数y=8 ２x-1 的定义域 x| x≠½ ；
②函数y=0.1 2x-3 的定义域
x| x≥ 2 。
3
指数函数
练习
1.方程2 x= 2-x的解的个数为______
2.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的¾, 写 出存留污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式,若要 使存留的污垢不超过原有的1%,则至少要漂洗几次? (提示：设最初的污垢量为1)
t
y =(½) 5730
=[(½ )
1
] 5730
t
(t≥0)，
由上面几个问题得到的函数
① y=2 x
(x∈N)；
② y=(1+7.3%)x =1.073x
③
t
y =(½) 5730
=[(½
)
1
] 5730
t
(x∈N+,x≤20)； (t≥0)，
有什么共同特征？
由上面几个问题得到的函数
① y=2 x
y=(½ )x
y=2x
思考？
函数y=2x的图象与函数y= (½)x
的图象有什么关系？可否利用
y=2x的图象直接画出y=(½)x 的
图象?
指数函数
思考？ 函数y=2x的图象与函数y= (½)x的图象有什么关系？ 可否利用y=2x的图象直接画出y=(½ )x的图象?
结论: 函数y=2x的图象与函数y= (½)x的图象关于y轴 对称,可以利用y=2x的图象直接画出y=(½ )x的图象.
3 2 1
(0,1)
函数y=(1/5)x和 y=5x的 -2
指数函数
应用举例
例2 填空 １ ①函数y=8 ２x-1 的定义域 x| x≠½ ；
②函数y=0.1 2x-3 的定义域
x| x≥ 2 。
3
指数函数
练习
1.方程2 x= 2-x的解的个数为______
2.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的¾, 写 出存留污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式,若要 使存留的污垢不超过原有的1%,则至少要漂洗几次? (提示：设最初的污垢量为1)
t
y =(½) 5730
=[(½ )
1
] 5730
t
(t≥0)，
由上面几个问题得到的函数
① y=2 x
(x∈N)；
② y=(1+7.3%)x =1.073x
③
t
y =(½) 5730
=[(½
)
1
] 5730
t
(x∈N+,x≤20)； (t≥0)，
有什么共同特征？
由上面几个问题得到的函数
① y=2 x
y=(½ )x
y=2x
思考？
函数y=2x的图象与函数y= (½)x
的图象有什么关系？可否利用
y=2x的图象直接画出y=(½)x 的
图象?
指数函数
思考？ 函数y=2x的图象与函数y= (½)x的图象有什么关系？ 可否利用y=2x的图象直接画出y=(½ )x的图象?
结论: 函数y=2x的图象与函数y= (½)x的图象关于y轴 对称,可以利用y=2x的图象直接画出y=(½ )x的图象.
3 2 1
(0,1)
函数y=(1/5)x和 y=5x的 -2
北师大版高中数学课件必修第1册第三章 §3 第1课时 指数函数的概念、图象与性质
答案(1)(3,+∞)
(2)B
课堂篇 探究学习
探究一
指数函数的概念
例1(1)若指数函数f(x),满足f(2)-f(1)=6,则f(3)=
.
(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
(1)解析设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是
D.a<b<1<d<c
)
解析(方法一)①②中函数的底数大于0且小于1,在y轴右边,底数越小,图象
向下越靠近x轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,图
象向上越靠近y轴,故有d<c.故选B.
(方法二)作直线x=1,与函数①②③④的图象分别交于
A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数
值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.由
图可知b<a<1<d<c.故选B.
答案B
反思感悟 指数函数图象的特点
指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:
在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下
相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线
是
.
解析∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象
恒过点(-1,4).
答案(-1,4)
反思感悟 指数型函数图象过定点问题的解法
因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数
(2)B
课堂篇 探究学习
探究一
指数函数的概念
例1(1)若指数函数f(x),满足f(2)-f(1)=6,则f(3)=
.
(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
(1)解析设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是
D.a<b<1<d<c
)
解析(方法一)①②中函数的底数大于0且小于1,在y轴右边,底数越小,图象
向下越靠近x轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,图
象向上越靠近y轴,故有d<c.故选B.
(方法二)作直线x=1,与函数①②③④的图象分别交于
A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数
值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.由
图可知b<a<1<d<c.故选B.
答案B
反思感悟 指数函数图象的特点
指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:
在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下
相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线
是
.
解析∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象
恒过点(-1,4).
答案(-1,4)
反思感悟 指数型函数图象过定点问题的解法
因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数
第三章-§3-指数函数高中数学必修第一册北师大版
> 1；①②的图象是下降的，因此底数大于0且小于1，即0 < < 1,0 < < 1.
根据在轴右侧③的图象在④的图象上方可知 > ；根据在轴左侧①的图象在②的
图象下方可知 > .
综上可知 < < 1 < < .
方法2 作直线 = 1（如图3-3-3），则直线 = 1与题中四个函数图象
例12 若方程 3 − 1 = 有一解，则的取值范围为_____________.
【解析】函数 = 3 − 1 的图象是由函数 = 3 的图象向下平
移一个单位长度后，再把位于轴下方的图象沿轴翻折到轴上
方得到的，函数图象如图3-3-6所示.
当 = 0或 ≥ 1时,直线 = 与函数 = 3 − 1 的图象有唯一的
所以2 − 3 + 3 = 1，解得 = 2或 = 1，又 > 0且 ≠ 1，所以 = 2.
题型2 求指数型函数的定义域或值域
例7 ［教材改编P91 A组T1］求下列函数的定义域和值域：
（1） = 1 − 3 ；
【解析】要使函数式有意义，则1 − 3 ≥ 0，即3 ≤ 1 = 30 .
1 −4
2
2
− 4 ≥ −4,
= 16.
0,所以函数 =
2
1 −2−3
的值域为(0,16].
2
题型3 指数函数的图象及应用
例8 利用函数 = = 2 的图象，作出下列各函数的图象：
（1） − 1 ；（2） ；（3） − 1；
（4）− ；（5） − 1 ．
【解析】作出函数 = |3 − 1| − 1的图象如图3-3-8所示.
由图象知 ≤ −1,
根据在轴右侧③的图象在④的图象上方可知 > ；根据在轴左侧①的图象在②的
图象下方可知 > .
综上可知 < < 1 < < .
方法2 作直线 = 1（如图3-3-3），则直线 = 1与题中四个函数图象
例12 若方程 3 − 1 = 有一解，则的取值范围为_____________.
【解析】函数 = 3 − 1 的图象是由函数 = 3 的图象向下平
移一个单位长度后，再把位于轴下方的图象沿轴翻折到轴上
方得到的，函数图象如图3-3-6所示.
当 = 0或 ≥ 1时,直线 = 与函数 = 3 − 1 的图象有唯一的
所以2 − 3 + 3 = 1，解得 = 2或 = 1，又 > 0且 ≠ 1，所以 = 2.
题型2 求指数型函数的定义域或值域
例7 ［教材改编P91 A组T1］求下列函数的定义域和值域：
（1） = 1 − 3 ；
【解析】要使函数式有意义，则1 − 3 ≥ 0，即3 ≤ 1 = 30 .
1 −4
2
2
− 4 ≥ −4,
= 16.
0,所以函数 =
2
1 −2−3
的值域为(0,16].
2
题型3 指数函数的图象及应用
例8 利用函数 = = 2 的图象，作出下列各函数的图象：
（1） − 1 ；（2） ；（3） − 1；
（4）− ；（5） − 1 ．
【解析】作出函数 = |3 − 1| − 1的图象如图3-3-8所示.
由图象知 ≤ −1,
北师大版高一数学必修第一册3.3.2指数函数的图象和性质课件
归纳小结
问题4 本节课研究指数函数的图象和性质的方法是什么？
从哪几方面概括了指数函数的性质？分别是什么？
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）0.
73可看作函数y＝1.
解： （2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，
本节课选取了大量不同的底数a，在同一直角坐标系中画出相应的指 答案：图象已在前面问题3中给出，此处略去．函数
有哪些共性？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写
出指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇
偶性，等等．
新知探究
选取底数a的若干值，例如a＝3，a＝4，
a＝1 ， 3
a＝ 14
，利用信息技术
画出图象，如图．
发现指数函数y＝ax的图 象按底数a的取值，可分 为0＜a＜1和a＞1两种类 型．因此指数函数的性 质也可以分0＜a＜1和a ＞1两种情况进行研究， 设计的表格如右表．
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
73可看作函数y＝1.
例1 比较下列各题中两个值的大小：
在同一直角坐标系中画出函数
和
的图象，并说明它们的关系．
根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y＝2x的图象，画出
的图象．如右图所示．
73可看作函数y＝1.
（（21））根据解图，象：，估；计（该城3市）人口由每翻一指番所数需的函时间（数倍增的期）特； 性知1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
例1 比较下列各题中两个值的大小：
体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图．
北师大版高一数学必修1第三章《指数函数》
第三章 指数函数第1节 正整数指数函数知识点1：正整数指数函数的概念函数y=a x （a>0,1≠a +∈N x ）叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N +。
知识点2：正整数指数函数的图像特征及其单调性 1、正整数指数函数的图像是散点图；2、当1>a 时，在定义域上递增；当10<<a 时，在定义域上递减。
知识点3：指数型函数我们把形如xka y =（1,0≠>∈a a R x k ，、）的函数叫作指数型函数。
例：已知正整数指数函数f(x)的图像经过点（3,27）. （1）求函数f(x)的解析式； （2）求f （5）的值；（3）函数f(x)有最值吗？如有，试求出；若无，请说明理由。
第2节 指数扩充及其运算性质 知识点1：分数指数幂1、定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n （m ，n 互素），存在唯一的正实数b ，使得mna b =，我们把b 叫作a 的nm次幂，记作n ma b =。
2、意义知识点2：无理数指数幂无理数指数幂αa （a>0，α是无理数）是一个确定的实数。
知识点3：实数指数幂及其运算性质1、当a>0时，对任意的R ∈α，αa 都有意义，且是唯一确定的实数。
2、实数指数幂的运算性质：对任意实数m 、n ，当a>0，b>0时，nm nma a a +=•；()mn nma a =；()n n nb a ab =。
知识点4：根式及其分数指数幂的运算 1、指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算； （2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式； （2）利用分数指数幂的运算性质求解. 3.根式的性质（其中n ∈N +，且n>1）； （1）当n 为奇数时，a a n n =；（2）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,||a a a a a a nn；（3）00=n ；（4）负数没有偶次方根。
3-3指数函数
1 1 3 (1)y＝ x；(2)y＝x ；(3)y＝－3x； 3 1 (4)y＝－3x；(5)y＝(π－1)x；(6)y＝3x2；
(7)y＝(2a＋1)
x
1 a>－ ，且a≠0. 2
第三章 ·§3
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[解析]
且 a≠1)的函数才叫指数函数．
第三章 ·§3
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[解析]
①y＝10x 符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1 是
由 y＝10x 和 y＝10 这两个函数相乘得到的函数，不是指数函 数；③y＝10x＋1 是由 y＝10x 和 y＝1 这两个函数相加得到的 函数；④y＝2· x 是由 y＝2 和 y＝10x 这两个函数相乘得到的 10 函数；⑤y＝(－10)x 的底数是负数，不符合指数函数的定义； ⑥由于 10＋a>0，且 10＋a≠1，即底数是符合要求的常数， 故 y＝(10＋a)x(a>－10，且 a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10 的底 数不是常数，故不是指数函数．
第三章 ·§3
y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
1x 3.y＝a 与 y＝( ) 的关系 a
x
一般地， 当函数 y＝a 与函数
x
1 y＝ax 的自变量的取值互为
相反数时，其函数值________，这两个函数的图像是关于 ________对称的． 4．函数 y＝ax 与 y＝bx 的特点(a>b>1) (1)当 x<0 时，总有 ax________bx________1. (2)都过点________．
－x
就不是指数函数，而是指数函数 y＝
(7)y＝(2a＋1)
x
1 a>－ ，且a≠0. 2
第三章 ·§3
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[解析]
且 a≠1)的函数才叫指数函数．
第三章 ·§3
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[解析]
①y＝10x 符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1 是
由 y＝10x 和 y＝10 这两个函数相乘得到的函数，不是指数函 数；③y＝10x＋1 是由 y＝10x 和 y＝1 这两个函数相加得到的 函数；④y＝2· x 是由 y＝2 和 y＝10x 这两个函数相乘得到的 10 函数；⑤y＝(－10)x 的底数是负数，不符合指数函数的定义； ⑥由于 10＋a>0，且 10＋a≠1，即底数是符合要求的常数， 故 y＝(10＋a)x(a>－10，且 a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10 的底 数不是常数，故不是指数函数．
第三章 ·§3
y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
1x 3.y＝a 与 y＝( ) 的关系 a
x
一般地， 当函数 y＝a 与函数
x
1 y＝ax 的自变量的取值互为
相反数时，其函数值________，这两个函数的图像是关于 ________对称的． 4．函数 y＝ax 与 y＝bx 的特点(a>b>1) (1)当 x<0 时，总有 ax________bx________1. (2)都过点________．
－x
就不是指数函数，而是指数函数 y＝
北师版高中数学必修第一册精品课件 复习课 第3课时 指数运算与指数函数
)
解析:∵a=40.9=(22)0.9=21.8,
b=(23)0.48=21.44,c=
-.
=(2-1)-1.5=21.5,
且指数函数y=2x在R上是增函数,
∴21.8>21.5>21.44,因此,a>c>b,故选D.
答案:D
比较指数式大小的策略:
(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;
(3)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.( √ )
(4)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域
相同.( × )
(5)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
( × )
(6)若a>1,则当f(x)有最大值时,g(x)=af(x)也有最大值.( √ )
第3课时
指数运算与指数函数
知 识 网 络
要 点 梳 理
专题归纳·核心突破
指数概念
· = + ( > )
指数运算 ( ) = ( > )
() = ( > , > )
指数函数 =
( > ,且 ≠ )
指数函数概念
指数函数图象
- -
解析:∵f(-x)= =-f(x),
∴f(x)为奇函数,排除 A,令 x=10,则
排除 C,D,故选 B.
)
-
f(10)=
>1,
答案:B
考点二
指数函数的性质及应用
f(x)=
,则对任意实数
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-课件 高一数学(北师大版2019必修第一册)
这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%.
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
（2）若1 ∈ , + 1 ，2 ∈ , + 1 ，且, ∈
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12 ，指出, 的值，并说明理由．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：
C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x；
1
2
1
解：(2)
,
4
ℎ = 2 当
1
4
即
1
2
1
4
>
1
4
1
2
,
1
2
1
4
,
1
1 2
,
可分别视为函数
2
4
1
= 时的函数值，在同一坐标系内
4
分别作出这三个函数的图象，
由图象易知
1
4
1
2
1
4
>
>
1 2
.
4
1
4
>ℎ
1
4
，
1 2
.
4
1
2
= ， =
1
2
，
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
（2）若1 ∈ , + 1 ，2 ∈ , + 1 ，且, ∈
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12 ，指出, 的值，并说明理由．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：
C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x；
1
2
1
解：(2)
,
4
ℎ = 2 当
1
4
即
1
2
1
4
>
1
4
1
2
,
1
2
1
4
,
1
1 2
,
可分别视为函数
2
4
1
= 时的函数值，在同一坐标系内
4
分别作出这三个函数的图象，
由图象易知
1
4
1
2
1
4
>
>
1 2
.
4
1
4
>ℎ
1
4
，
1 2
.
4
1
2
= ， =
1
2
，
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
北师大版高中数学必修第一册3.3.1指数函数的概念及其图象课件
+1.
令2x=t, 则 t ∈[1,4], 且f(t)=(t+1)²+1, ∴f(1)≤f(t)≤f(4), 即 5 ≤f(t)≤26,
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
即函数y=4x+2x+1+2 的值域为[5,26].
方法归纳 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0, 且a≠1):
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)求函数y=af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y= a 的单调性确定函数y=af(x)的值域；
(3)求函数y=f(a) 的定义域，需先确定y=f(u) 的定义域，即u的取值 范围，亦即u=a 的值域，由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值 范围，得y=f(a) 的定义域；
解析：f(-1)=2-(-1)=2,∴f(-1)=f(2)=a ·2²=1,∴
6. (12分)设f(x)=3x,
垂
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x) 的图象；
解析：函 数f(x)与g(x)的图象如图所示.
(2)计算f(1)与g(一1),f(π) 与g(一π),f(m) 与g(-m) 的值，从中你能得 到什么结论?
例1求下列函数的定义域和值域：
(1)y=√ 1-3×;
解析：要使函数式有意义，则1-3x≥0, 即3*≤1=30,因为函数y=3×在R上是 增函数，所以x≤0, 故函数y =√1-3 ×的定义域为(一0,0).
因为x≤0, 所以0<3x≤1, 所以0≤1-3x<1, 所以 √1-3×∈[0,1],即函数y=√1-3× 的值域为[0,1].
D.[0,1]
答案：C 解析：因为指数函数y=3x 在区间[-1,1]上是增函数，所以3-¹ ≤3×≤3¹ ,于是
高中数学(北师大版)必修1 名师课件：第三章 §3 第一课时 指数函数的概念、图像和性质
有意义，只需1－x≥0，
即x≤1，所以函数的定义域为(－∞，1]． 设y＝3u，u＝ 1－x，则u≥0， 由函数y＝3u在[0，＋∞)上是增函数，得y≥30＝1， 所以函数的值域为[1，＋∞)． (2)函数y＝5－x－1对任意的x∈R都成立， 所以函数的定义域为R.因为5－x＞0， 所以5－x－1＞－1，所以函数的值域为(－1，＋∞).
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像与性质
a＞1 图像
0＜a＜1
性 质 函数值的 变化 单调性
定义域 值域 定点
R ____ (0，＋∞) _________
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 y＞1 ；x＜0 x＞0时，0＜y＜1； x＞0时，______ y＞1 时，0＜y＜1 x＜0时，____ 是R上的________ 是R上的______ 增函数 减函数
2．下列函数中是指数函数的是 A．y＝3x－2 B．y＝2· 5x C．y＝5x
＋2
(
)
D．y＝(a＋2)x(a＞－2，且a≠－1)
答案：D
3．函数y＝3x与y＝3－x的图像关于下列哪种图形对称( A．x轴 C．直线y＝x B．y轴 D．原点
)
答案：B
1 4．已知指数函数f(x)的图像过点4，16，则f(－3)＝______.
[点睛] 研究函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质时，一定要 注意 a 的取值范围．
[小试身手]
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝2x－1是指数函数． (2)指数函数y＝ax是单调函数． (3)当x＞0时，ax＞1；当x＜0时，ax＜1. (4)指数函数y＝ax既不是奇函数，也不是偶函数． ( × ) ( √ ) ( × ) (√ )
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-3 -2 -1
o
1 2
3
x
8
观察右边图象，完成下表
1x y( ) 1x 3 y( ) 2
y=3X
Y
y = 2x
Y=
函数
定义域 值域 定点 单调性
y=2x/y=3x y ( 1 ) x / y ( 1 ) x 异同 O
2 3
X
R (0,+∞)
R (0,+∞)
同
同 发生变“异” 的原因？ 同 （0，1） （0，1）
12
应用:比较大小
例1、比较下列各组数的大小：
①、 1.72.5 ,1.73
③、 a ,a
1 3 1 2
1.3 1.3 ②、 0.8 ,0.6
0.3
1.7 (a 0, 且a 1) ④、
②
,0.9
3.1
解：① 1.72.5、1.73可以看作函 数y=1.7x的两个函数值 ∵1.7>1 ∴ y=1.7x在R上是增函数
指数函数及其性质
邓紫妃
1
问题：如果让一号同学准备2粒米，二号同学准备4 粒米，三号同学准备8粒米，四号同学准备16粒米， 五号同学准备32粒米，......，按这样的规律，五 十一号同学改准备多少粒米？
分析：设x号同学所需准备y粒米，则 有 x (x * ) 当x=51,
y 2 51 y 2 1.2(亿吨)
10
再仔细观察,能发现什么新大陆吗 ? y=3
1 x y( ) 3
X
1 x y( ) 2
Y
y = 2x
Y=1 -x1 x1 O
X
(1)Y轴右侧:底大图高
(左侧呢?)
(2)底数互为倒数时两函数的图象关于y轴对称
11
左右无限上冲天，
永与横轴不沾边.
大 1 增，小 1 减， 图象恒过(0,1)点.
单调增 单调减 异
9
函数
y=ax (a>1)
y=ax (0<a<1)
指 图 数 象 函 定义域 数 R 性 (0, ) 值 域 质 定 点 （0，1） 一 性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 览 质 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1 表 若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1
2
问题
问题1 问题2
思考问题：
对应关系
定义域
x
y 1.073 y 2
x
x * ，x 20
x*
（1）这两个解析式有什么共同特征？ （2）它们是否构成函数？
共同特征：
两个解析式都具有 ya
x
的形式.
3
指数函数的定义
x (a 0,且a 1) y a 一般地，函数 叫做指数函数，
y2
1
-3 -2 -1
Y=1
1 2 3
o
x
7
函 数 图 象 特 征
1 x 1 x 用描点法作函数 y ( ) 和y ( ) 的图象 . 2 3
x … -2 y=2-x … 4 y=3-x … 9 -1 2 3 0 1 1 1 2 … 1/2 1/4 … 1/3 1/9 …
1 x 1 x y( ) y( ) 3y 2
又∵2.5<3
∴ 1.72.5 < 1.73
∵当x=1.3时,x>0
0.81.3>0.61.3
13
a ,a ③、
解： ③
1 3
1 2
( a 0, 且a 1)
x
④、 1.7
0.3
,0.9
3.1
1 3 1 2
1 2
当a 1时，y a 是R上的增函数， a a
当0 a 1时，y a x是R上的减函数， a a
（2）由于a的取值不同，第二组分两小组，分别取a>1,0<a<1的具体值
画图。例如a=2,3,4…，a=
1 1 1 , , 2 3 4
…
6
用描点法作函数 y 2 和y 3 的图象.
x xx… Nhomakorabea-2
-1
0
1
2
…
y=2x y=3x
… …
1/4 1/9
1/2 1/3
1 1
x
2 3
4 9
x
… …
y
y3
x
不是 不是 不是 是
1 （ 4）y (2a 1) (a , a 1), x R 2 x （ 5）y , x R 是 （ 6）y 42 x , x R
是
5
分组活动，合作学习： （1）全班两大组，第一组从解析式角度研究指数函数，第二组从函数
图像角度研究指数函数。
其中 x 是自变量, 函数的定义域是 R.
问题: 为什么a不能小于0且不等于1呢? 注意三点： （1）底数：大于0且不等于1的常数 （2）指数：自变量x （3）幂系数：1
4
判断下列哪些函数是指 2 数函数 （） 1 y x ., x R
（ 2）y 2 4 x , x R （ 3）y (4) x ，x R
数形结合思想方法 从具体的到一般的学习方法
布置作业：
习题2.1 A组 5、7、8
15
1 3
④
∵1.70.3>1，而
1.7
0.3
0.9
3.1
比较指数幂大小的方法： ①、异指同底：构造函数法(一个), 利用函数的单调性, 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②、异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左右
0.93.1<1
两侧的特点。
14
小结：
1.通过本节课，你对指数函数有什么认识？ 2.这节课主要通过什么方法来学习指数函数 性质？