13.第13课时 反比例函数的图象、性质及应用(word版习题)

第三章函数第13课时反比例函数的图象、性质及应用江苏近4年中考真题精选(2013~2016)命题点1反比例函数的图象及性质(2016年4次，2015年5次，2014年4次，2013年5次)1. (2016连云港6题3分)姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的叙述，姜老师给出的这个函数表达式可能是()A. y＝3xB. y＝3x C. y＝－1x D. y＝x22. (2015苏州6题3分)若点A(a，b)在反比例函数y＝2x的图象上，则代数式ab－4的值为()A. 0B. －2C. 2D. －63. (2016苏州6题3分)已知点A(2，y1)，B(4，y2)都在反比例函数y＝kx(k＜0)的图象上，则y1、y2的大小关系为()A. y1>y2B. y1<y2C. y1＝y2D. 无法确定4. (2016淮安15题3分)若点A(－2，3)，B(m，－6)都在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，则m的值是________．5. (2015泰州15题3分)点(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函数y＝kx(k>0)的图象上，若y1<y2，则a的取值范围是________．命题点2反比例函数解析式的确定(2016年2次，2015年5次，2014年3次，2013年6次)6. (2015连云港7题3分)如图，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(－3，4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝kx(x<0)的图象经过顶点B，则k的值为()A. －12B. －27C. －32D. －36第7题图 第8题图7. (2016徐州11题3分)若反比例函数的图象过点(3，－2)，则其函数表达式为________．8. (2015南京16题2分)如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1、y 2的图象在第一象限内分别交于点A 、B ，且A 点为OB 的中点．若函数y 1＝1x ，则y 2与x 的函数表达式是________．命题点3 反比例函数综合题(2016年7次，2015年10次，2014年9次，2013年9次)9. (2014盐城8题3分)如图，反比例函数y ＝kx (x ＜0)的图象经过点A(－1，1)，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P(0，t )，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t 的值是( )A. 1＋52B. 32C. 43 D. －1＋52第9题图 第10题图10. (2014连云港8题3分)如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(2，5)，C(6，1)．若函数y ＝kx 在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( )A. 2≤k ≤494B. 6≤k ≤10C. 2≤k ≤6D. 2≤k ≤25211. (2016扬州17题3分)如图，点A 在函数y ＝4x (x >0)的图象上，且OA ＝4，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则△ABO 的周长为________．第11题图 第12题图12. (2013盐城18题3分)如图，在以点O 为原点的平面直角坐标系中，一次函数y ＝－12x ＋1的图象与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，且OC ＝12AB ，反比例函数y ＝kx 的图象经过点C ，则所有可能的k 值为________．第13题图13. (2016宿迁15题3分)如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y ＝8x (x ＞0)的图象交于两点A 、B ，与x 轴交于点C ，且点B 是AC 的中点，分别过两点A 、B 作x 轴的平行线，与反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象交于两点D 、E ，连接DE ，则四边形ABED 的面积为________．第14题图14. (2014宿迁16题3分)如图，一次函数y ＝kx －1的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝3x (x >0)的图象交于点B ，BC 垂直x 轴于点C.若△ABC 的面积为1，则k 的值是________．15. (2013宿迁18题3分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝13x＋2与反比例函数y＝5x(x>0)的图象交点的横坐标为x0.若k<x0<k＋1，则整数k的值是______．16. (2015苏州25题8分)如图，已知函数y＝kx(x＞0)的图象经过点A、B，点B的坐标为(2，2)．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F，一次函数y＝ax＋b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E.(1)若AC＝32OD，求a、b的值；(2)若BC∥AE，求BC的长．第16题图17. (2016泰州24题10分)如图，点A(m，4)、B(－4，n)在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D.(1)若m＝2，求n的值；(2)求m＋n的值；(3)连接OA、OB，若tan∠AOD＋tan∠BOC＝1，求直线AB的函数关系式．第17题图18. (2014徐州27题10分)如图，将透明三角形纸片P AB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝kx图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，P A⊥y轴于点D，AB分别与x轴、y轴相交于点E、F，已知B(1，3)．(1)k＝________；(2)试说明AE＝BF；(3)当四边形ABCD的面积为214时，求点P的坐标．第18题图19. (2015宿迁24题8分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)、B(0，－3)．反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过点A，动直线x＝t(0＜t＜8)与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N.(1)求k的值；(2)求△BMN面积的最大值；(3)若MA⊥AB，求t的值．第19题图命题点4反比例函数的实际应用(2016年2次，2014年镇江25题，2013年扬州11题)20. (2013扬州11题3分)在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强P与它的体积V成反比例．当V＝200时，P＝50，则当P＝25时，V＝________．21. (2016盐城24题10分)我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20 ℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝kx的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)求k的值；(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15 ℃及15 ℃以上的时间有多少小时？第21题图22. (2016连云港24题10分)环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示．其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的 1.0 mg/L？为什么？第22题图23. (2014镇江25题6分)六一·儿童节，小文到公园游玩，看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度)，如图，它与两面垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP，NQ⊥OQ)，他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A、B、C是弯道MN上三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2＝6(单位：平方米)，OG ＝GH＝HI.(1)求S1和S3的值；(2)设T(x，y)是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式；(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP＝2米，NQ＝3米，问一共能种植多少棵花木？第23题图答案1. B 【解析】图象经过一，三象限，则它可能是正比例函数或反比例函数；在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则它是反比例函数，并且反比例函数中的比例系数大于0.2. B 【解析】将A 点的坐标代入解析式，得ab ＝2，则ab －4＝－2.3. B 【解析】根据反比例函数的图象性质可知，当k <0时，图象在二、四象限，y 随x 的增大而增大，可得y 1＜y 2.4. 1 【解析】∵点A (－2，3)，B (m ，－6)都在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上，∴3＝k－2，－6＝km .∴k ＝－6，m ＝1.5. －1＜a ＜1 【解析】当k ＞0时，在同一个象限内，函数值y 随x 的增大而减小，因为a －1＜a ＋1，而y 1＜y 2，所以这两个点不在同一个象限内，∴第一个点在第三象限，第二个点在第一象限，则⎩⎨⎧a －1＜0a ＋1＞0，解得－1＜a ＜1.6. C 【解析】由点A 的坐标为(－3，4)，得OA ＝32＋42＝5，又由菱形的性质知AB ∥OC ，AB ＝OA ＝5，得点B 的坐标为(－8，4)．又∵点B 在反比例函数y ＝kx (x <0)的图象上，∴k ＝－8×4＝－32.7. y ＝－6x 【解析】设反比例函数的表达式为y ＝kx ，将点(3，－2)代入解析式得，k ＝(－2)×3＝－6，∴反比例函数的表达式为y ＝－6x .8. y 2＝4x 【解析】设y 2与x 的函数解析式为y 2＝kx ,.A 点坐标为(a ，b )，则ab ＝1，又∵A 点为OB 的中点，∴点B 的坐标为(2a ，2b )，∴k ＝2a ·2b ＝4ab ＝4，∴y 2与x 的函数解析式为：y 2＝4x .第9题解图9. A 【解析】如解图，∵A 点坐标为(－1，1)，∴k ＝－1×1＝－1，∴反比例函数解析式为y ＝－1x ，∵OB ＝AB ＝1，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴∠AOB ＝45°，∵PQ ⊥OA ，∴∠OPQ ＝45°，∵点B 和点B ′关于直线l 对称，∴PB ＝PB ′，BB ′⊥PQ ，∴∠BPQ ＝∠B ′PQ ＝45°，即∠B ′PB ＝90°，∴B ′P ⊥y 轴，∴B ′点的坐标为(t ，－1t )，∵PB ＝PB ′，∴|－1t －1|＝t ，整理得t 2－t －1＝0，解得t 1＝1＋52，t 2＝1－52(舍去)，∴t 的值为1＋52.第10题解图10. A 【解析】△ABC 的三个顶点坐标为A (1，2)，B (2，5)，C (6，1)，把双曲线沿着第一象限的角平分线移动，当图象分别移动到经过点A 时和与线段BC 相切时，双曲线与△ABC 有交点，∴当双曲线y ＝k x 经过点A (1，2)时，2＝k1，∴k ＝2.设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n ，将B 、C 两点坐标代入直线BC 的解析式，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝56m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－1n ＝7，∴y ＝－x ＋7，∵双曲线y ＝kx 与直线BC ：y ＝－x ＋7相切，∴kx ＝－x ＋7.即x 2－7x ＋k ＝0有两个相等的实数根，∴(－7)2－4×1×k ＝0，∴k ＝494，∴k 的取值范围是2≤k ≤494.11. 26＋4 【解析】设点A 的坐标为(x ，y )，根据反比例函数的性质得，xy ＝4，在Rt △ABO 中，由勾股定理得，OB 2＋AB 2＝OA 2，∴x 2＋y 2＝16，∵(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝16＋8＝24，又∵x ＋y >0，∴x ＋y ＝26，∴△ABO 的周长＝OA ＋AB ＋OB ＝4＋x ＋y ＝26＋4.12. 12或－1150 【解析】在y ＝－12x ＋1中，令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，得y ＝1，∴A (2，0)，B (0，1)．在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB ＝ 5.设C (m ，－12m ＋1)，由OC ＝12AB ，根据勾股定理得，m 2＋(－12m ＋1)2＝(125)2，解得m ＝－15或1，∴C 点坐标为(1，12)或(－15，1110)，∴k ＝12或－1150.13. 92 【解析】设A (82a ，2a )，B (8a ，a )，D (22a ，2a )，E (2a ，a )∴AD ＝82a －22a ＝3a ，BE ＝8a －2a ＝6a ，梯形的高为2a －a ＝a ，∴S 四边形ABED ＝12(3a ＋6a )·a ＝92.14. 2 【解析】设点B 的坐标是(x ，3x )，则BC ＝3x ，OC ＝x ，∵y ＝kx －1，∴当y ＝0时，x ＝1k ，则OA ＝1k ，AC ＝x －1k ，∵△ABC 的面积为1，∴12·AC ·BC ＝1，∴12·(x －1k )·3x ＝1，32－32kx ＝1，∴kx ＝3，∵解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x y ＝kx －1得：3x ＝kx－1，∴3x ＝3－1＝2，∴x ＝32，即点B 的坐标是(32，2)，把点B 的坐标代入y ＝kx －1得k ＝2.15. 1 【解析】联立两个函数解析式：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋2y ＝5x ，消去y 得13x ＋2＝5x ，即x 2＋6x ＝15，配方得：x 2＋6x ＋9＝24，即(x ＋3)2＝24，解得：x 1＝26－3，x 2＝－26－3(x ＞0，故舍去)，∴一次函数与反比例函数图象交点的横坐标为x 0＝26－3，即k ＜26－3＜k ＋1，∵4＜26＝24＜5，∴1＜26－3＜2，即整数k ＝1.16. 解：(1)∵点B (2，2)在y ＝kx 的图象上， ∴k ＝4，y ＝4x ， ∵BD ⊥y 轴，∴D 点的坐标为(0，2)，OD ＝2， ∵AC ⊥x 轴，AC ＝32OD ， ∴AC ＝3，即A 点的纵坐标为3， ∵点A 在y ＝4x 的图象上， ∴A 点的坐标为(43，3)，∵一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点A 、D ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧43a ＋b ＝3b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝2(2)设A 点的坐标为(m ，4m )，则C 点的坐标为(m ，0)， ∵BD ∥CE ，BC ∥DE ，∴四边形BCED为平行四边形，∴CE＝BD＝2，∵BD∥CE，∴∠ADF＝∠AEC，∴在Rt△AFD中，tan∠ADF＝AFDF＝4m－2 m，在Rt△ACE中，tan∠AEC＝ACEC＝4m2，∴4m－2m＝4m2，解得m＝1，∴C点的坐标为(1，0)，BC＝（2－1）2＋22＝5, 17. 解：(1)∵m＝2，∴点A的坐标为A(2，4)，把点A(2，4)代入y＝kx得，k＝8，把点B(－4，n)代入y＝8x得，n＝－2；(2)把点A(m，4)、B(－4，n)分别代入y＝kx，可得4m＝－4n，∴m＋n＝0；(3)如解图，分别过点A 、B 作AE ⊥y 轴于点E 、BF ⊥x 轴交于点F ，第17题解图∵tan ∠AOD ＋tan ∠BOC ＝1， ∴AE OE ＋BFOF ＝1， ∴m 4＋－n4＝1， ∴m －n ＝4，又∵由(2)得m ＋n ＝0；解得m ＝2，n ＝－2，∴点A 、B 的坐标分别为(2，4)和(－4，－2)，设直线AB 的函数表达式为y ＝ax ＋b ，则可列下列方程组： ⎩⎨⎧2a ＋b ＝4－4a ＋b ＝－2，解得：⎩⎨⎧a ＝1b ＝2， ∴直线AB 的函数表达式为：y ＝x ＋2.18. (1)【思维教练】根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k ＝3. 解：由题意知，把B (1，3)代入y ＝kx 中得，k ＝1×3＝3.(2分)(2)【思维教练】设A 点坐标为(a ，3a )，易得D 点坐标为(0，3a )，P 点坐标为(1，3a )，C 点坐标为(1，0)，根据图形与坐标的关系得到PB ＝3－3a ，PC ＝－3a ，P A ＝1－a ，PD ＝1，则可计算出PC PB ＝PDP A ，加上∠CPD ＝∠BP A ，根据相似三角形的判定定理得到△PCD ∽△PBA ，则∠PCD ＝∠PBA ，于是CD ∥BA ，根据平行四边形的判定定理易得四边形BCDF 、ADCE 都是平行四边形，所以BF ＝CD ，AE ＝CD ，于是有AE ＝BF .证明：由(1)得，反比例函数解析式为y ＝3x ， 设A 点坐标为(a ，3a )，∵PB ⊥x 轴于点C ，P A ⊥y 轴于点D ，∴D 点坐标为(0，3a )，P 点坐标为(1，3a )，C 点坐标为(1，0)，(3分) ∴PB ＝3－3a ，PC ＝－3a ，P A ＝1－a ，PD ＝1，∴PCPB ＝－3a3－3a＝11－a ，PD P A ＝11－a ， ∴PC PB ＝PD P A ，又∵∠CPD＝∠BP A，∴△PCD∽△PBA，∴∠PCD＝∠PBA，∴CD∥BA，又∵BC∥DF，AD∥EC，∴四边形BCDF、ADCE都是平行四边形，∴BF＝CD，AE＝CD，∴AE＝BF;(3)【思维教练】利用四边形ABCD的面积＝S△P AB－S△PCD和三角形面积公式得到方程，然后解方程求出a的值，再写出P点坐标．解：∵四边形ABCD的面积＝S△P AB －S△PCD，由(2)得，PB＝3－3a，PC＝－3a，P A＝1－a，PD＝1，∴12·(3－3a)·(1－a)－12×1·(－3a)＝214，∴2a2＋3a＝0，解得a1＝0(舍去)，a2＝－3 2，∴P 点坐标为(1，－2)．19. (1)【思维教练】把点A (8，1)代入反比例函数解析式即可． 解：∵反比例函数的图象经过点A ， ∴把点A (8，1)代入y ＝kx ， 得k ＝8；(2)【思维教练】用含有t 的式子来表示线段MN ，求出△BMN 的面积是关于t 的二次函数，用二次函数的顶点式就可求出面积的最大值；解：设过点A (8，1)，B (0，－3)的直线的解析式为：y ＝kx ＋b ， 则⎩⎨⎧1＝8k ＋bb ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－3， ∴直线AB 的解析式为：y ＝12x －3，∴M 点的坐标为(t ，8t )，N 点的坐标为(t ，12t －3)， 则MN ＝8t －12t ＋3，∴S △BMN ＝12·(8t －12t ＋3)·t ＝－14t 2＋32t ＋4＝－14(t －3)2＋254， ∵－14＜0.∴当t ＝3时，S 有最大值，为254. (3)解：∵A (8，1)，B (0，－3)，M (t ，8t )，∴MB 2＝(8t －3)2＋t 2，MA 2＝(8t －1)2＋(8－t )2，AB 2＝(1＋3)2＋82， ∵MA ⊥AB ，∴MB 2＝MA 2＋AB 2，即(8t －3)2＋t 2＝(8t －1)2＋(8－t )2＋(1＋3)2＋82， 解得：t 1＝12，t 2＝8(舍)，∴t ＝12.20. 400 【解析】∵在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强P 与它的体积V 成反比例关系，∴设P ＝kV ，∵当V ＝200时，P ＝50，∴k ＝VP ＝200×50＝10000，∴P ＝10000V ，当P ＝25时，得V ＝1000025＝400.21. 解：(1)由图知点B (12，20)，把点B (12，20)代入y ＝kx ，得k ＝240； (2)设从0小时到2小时的直线解析式为y ＝mx ＋n ，代入点(0，10)和(2，20)，得⎩⎨⎧n ＝1020＝2m ＋n ， 解得⎩⎨⎧m ＝5n ＝10，所以直线的解析式为y ＝5x ＋10，把y ＝15代入y ＝5x ＋10得15＝5x ＋10，解得x 1＝1(小时)，把y ＝15代入y ＝240x 得15＝240x ，解得x 2＝16(小时)，16－1＝15(小时)，答：恒温系统在一天内保持大棚里的温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．22. 解：(1)当0≤x ≤3时，设线段AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入点A (0，10)，B (3，4)得：⎩⎨⎧b ＝103k ＋b ＝4， 解得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝10， ∴线段AB 的解析式为：y ＝－2x ＋10；当x >3时，设反比例函数的解析式为y ＝m x ，代入点B (3，4)，得m ＝12，∴反比例函数的解析式为：y ＝12x ，∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋10（0≤x≤3）12x（x>3）；(2)能．当x ＝15时，代入y ＝12x ，得y ＝0.8<1.0.【一题多解】令y ＝12x ＝1，则x ＝12<15.答：企业能在15天内使所排污水的硫化物浓度不超过最高允许的1.0 mg/L23. 解：(1)根据题意：S 1＋S 2＋S 3＝2S 2＋2S 3＝3S 3，又∵S 2＝6，∴S 1＝18，S 3＝12；(2)由题意得，点T(x ，y )是弯道MN 上任一点，根据弯道MN 上任一点到围墙两边的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等可知：xy ＝3S 3＝36，∴y ＝36x ；(3)根据题意，设满足条件的点的坐标为(m ，n )，则mn <36，0<m <12，0<n <18，且m 、n 均为偶数，所以符合条件的点共有17个：(2，2)、(2，4)、(2，6)、(2，8)、(2，10)、(2，12)、(2，14)、(2，16)、(4，2)、(4，4)、(4，6)、(4，8)、(6，2)、(6，4)、(8，2)、(8，4)、(10，2)．故一共能种植17棵花木．。