福建省师大附中2014届高三考前模拟考试数学(理)试卷 扫描版 有答案
福建师大附中高三模拟考试数学试卷(理)参考答案
2013届福建师大附中高三模拟考试数学试卷（理）参考答案1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11．32 12．3 13．216 14．10315．π32 16．解：（Ⅰ）∵()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-2sin cos x x =+， ………2分 ∴(2,1)OM =． ………………………… 4分故22OM ==……………………… 5分（Ⅱ）由已知可得()sin h x x x =+2sin()3x π=+，………………7分∵02x π≤≤， ∴336x ππ5π≤+≤，故[]()1,2h x ∈． ……………………… 9分 ∵当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()h x 单调递增，且()h x ⎤∈⎦； 当,62x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，函数()h x 单调递减，且[)()1,2h x ∈． ∴使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围为)2t ∈． …………… 13分17．（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===， 222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===，3344A 1(20)A 4P X ===．………………10分 所以，随机变量X 的分布列为：X 0 5 10 15 20P14 16 16 16 14………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分18．（Ⅰ）证明：因为AB 是直径，所以AC BC ⊥ ………………1分 因为⊥CD 平面ABC ，所以BC CD ⊥ ………………2分 因为C AC CD = ，所以⊥BC 平面ACD ………………3分 因为BE CD //，BE CD =，所以BCDE 是平行四边形，DE BC //，所以⊥DE 平面ACD ………………4分 因为⊂DE 平面ADE ，所以平面⊥ADE 平面ACD ………………5分（Ⅱ）依题意，1414tan =⨯=∠⨯=EAB AB EB ………………6分， 由（Ⅰ）知DE S V V ACD ACD E ADE C ⨯⨯==∆--31DE CD AC ⨯⨯⨯⨯=2131BC AC ⨯⨯=6134121)(121222=⨯=+⨯≤AB BC AC ，当且仅当22==BC AC 时等号成立 ………………8分如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D ，(0,22,1)E ，(22,0,0)A (0,22,0)B ，则(22,22,0)AB =-，(0,0,1)BE =，(0,22,0)DE =，(22,0,1,)DA =-…9分设面DAE 的法向量为1(,,)n x y z =，110n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y x z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩∴1(1,0,22)n=， ……………………10分 设面ABE 的法向量为2(,,)n x y z =， 2200n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即022220z x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩∴2(1,1,0)n =， 62921,cos 212121=⋅==∴n n n n n n ……………12分 可以判断12,n n 与二面角D AE B --的平面角互补∴二面角D AE B --的余弦值为2-。
福建省福州市2014届高三上学期期末质量检测数学理试题扫描版含答案
数学(理科)试卷参考答案与评分标准第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1. C2. B3. B 4．A 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10．C 11. B 12. B第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．）13．1 14． 15．222n n -+ 16.．②③④三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)x b x g 2sin 1)(22=-=→-··········································· 2分由0)(=x g 得()Z k k x x ∈=∴=π202sin 即 ()Z k k x ∈=2π····························· 5分 故方程)(x g ＝0的解集为{()}Z k k x x ∈=2π······················································· 6分 (Ⅱ)12sin 3cos 21)2sin ,1()3,cos 2(1)(22-+=-⋅=-⋅=→-→-x x x x b a x f ······ 7分 )62sin(22sin 32cos π+=+=x x x ···················································· 9分 ∴函数)(x f 的最小周期ππ==22T ······································································· 10分 由()Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ226222得()Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ63故函数)(x f 的单调增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤+⎢⎣⎡+-ππππ6,3. （ 开区间也可以）··································································································································· 12分18. （本小题满分12分） 解:(Ⅰ)1111,033n n n n a a a a n ++==∴>1111==n 13n 13n na a a +∴+，又 ········································································ 2分 n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭11为首项为，公比为的等比数列33 ·············································· 4分n 1n11n==n 333n n a a -⎛⎫∴⨯∴ ⎪⎝⎭， ··············································································· 6分 (Ⅱ) 1231233333n nnS =++++……① ····································································· 7分 231112133333n n n n nS +-∴=++++……② ··················································· 8分 ①-② 得：123121111333333n n n nS +=++++- ··································· 9分1111331313n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=-- ··················································· 10分 3114323n nnn S ⎛⎫∴=-- ⎪⨯⎝⎭ 133243n n nnS +--∴=⨯ ················································································· 12分19. （本小题满分12分） .解：(Ⅰ)根据题意，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件123,,A A A ，它们彼此互斥， 且123()0.4,()0.5,()10.40.50.1P A P A P A ==∴=--=分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件123,,B B B ，它们彼此互斥， 且123()0.5,()0.3,()10.50.30.2P B P B P B ==∴=--= ····················· 2分 由题知，123,,A A A 与123,,B B B 相互独立， ········································· ３分 记甲、乙两人所扣积分相同为事件M ，则112233M A B A B A B =++ 所以112233()()()()()()()P M P A P B P A P B P A P B =++0.40.50.50.30.10.20.20.150.020.37=⨯+⨯+⨯=++= ······ ６分 (Ⅱ) 据题意ξ的可能取值为：0,1,2,3,4 ·········································· 7分 11(0)()()0.2P P A P B ξ===1221(1)()()()()0.40.30.50.50.37P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=132231(2)()()()()()()0.40.20.50.30.10.50.28P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯= 2332(3)()()()()0.50.20.10.30.13P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯= 33(4)()()0.10.20.02P P A P B ξ===⨯= ············································· 10分的数学期望 ···· 11分 答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.37，ξ的数学期望 1.4E ξ= ··············· 12分20．（本小题满分12分）解：依题意得g(x)3x =+，设利润函数为f(x)，则f(x)(x)g(x)r =-，所以20.5613.5(0x 7)f(x),10.5(x 7)x x x⎧-+-≤≤=⎨->⎩ ································· 2分（I ）要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，因为f (x )＞0⇔20x 770.5613.5010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+->->⎩⎩或， ···························· 4分 ⇒20x 771227010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+<->⎩⎩或⇒0x 7710.539x x ≤≤⎧<<⎨<<⎩或⇒3x 7<≤或7x 10.5<， ················································ 6分即3x10.5<. ···································································· 7分所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． ···· 8分 （II ）当3x 7<≤时， 2f(x)0.5(6) 4.5x =--+故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. ···················································· 10分 而当x ＞7时，f(x)10.57 3.5<-=.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． ········································· 12分21. （本小题满分12分）s 解：（I ）设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，， ····························· 1分由题设得229a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，·················································································· 2分解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，····································································································· 3分所以双曲线C 的方程为22145x y -=； ····························································· 4分 （II ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩， ① ②，将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=， ·················································· 6分 此方程有两个不等实根，于是2540k -≠， 且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，整理得22540m k +->.③ ··········································································· 7分 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足：12024254x x km x k +==-，002554my kx m k=+=-， ································ 8分 从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，···· 9分 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，， 由题设可得22199********kmm k k =--，整理得222(54)k m k -=，0k ≠， ································································································································· 10分将上式代入③式得222(54)540k k k-+->， ············································ 11分整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠，解得0k <<或54k >， 所以k 的取值范围是55550044⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝∞，，，，∞． ······· 12分 22. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1xf x x x =+++， ∴22123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ······································································ 1分 ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3. ··························································· 2分 又∵()00f =，所以切点为()0,0. ····································································· 3分 故所求的切线方程为：3y x =. ··········································································· 4分 （Ⅱ）∵()ln(1)1axf x x x =+++(1)x >-，∴221(1)1()1(1)(1)a x ax x af x x x x +-++'=+=+++． ··························································· ６分 ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ······························································ ７分 ②当0a <时，由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--； ····················· ８分 综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． ····· ９分 （Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时， ()()ln 11xf x x x =+-+在()0,+∞上单调递增． ·················································· 10分 ∴ 当0x >时，()()00f x f >=，即()ln 11xx x +>+． ································· 11分 令1x n =（*n ∈N ），则111ln 1111nn n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+． ············································· 12分另一方面，∵()2111n n n<+，即21111n n n -<+, ∴21111n n n>-+．······························································································ 13分 ∴ 2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n ∈N ）． ····································································· 14分方法二：构造函数2()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ································· 10分 ∴1(21)'()1211x x F x x x x +=-+=++， ······························································ 11分 ∴当01x <≤时,'()0F x >；∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ·········································································· 12分 ∴函数()(0)F x F > ，即()0F x >∴(0,1]x ∀∈，2ln(1)0x x x +-+>，即2ln(1)x x x +>- ···························· 13分 令1x n =（*n ∈N ），则有2111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． ·················································· 14分。
数学(理)卷·2014届福建省师大附中高二下学期期末考试
福建师大附中2012—2013学年度下学期期末考试高二数学理试题本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出2个都是白球的概率是A ．35B ．21C ．52D ．1012．右表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出y关于x 的线性回归方程ˆy0.70.35x =+，则表中m 的值为 A ．3 B ．3.15 C ．4 D ．4.53．直线12+=x y 的参数方程可以是A ．⎩⎨⎧+==1222t y t x B ．⎩⎨⎧+=-=1412t y t x C ．121x t y t =-⎧⎨=-⎩ D ．⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x 4．已知随机变量~(3,1)X N ，且(24)0.6826P X ≤≤=，则(4)P X > 等于A ．0.1585B ．0.1586C ．0.1587D ．0.15885．从1,2,3,45，中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A 等于 A ．18B ．14C ．25 D ．126．2013年第12届全国运动会将在沈阳举行,某校4名大学生申请当,,A B C 三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务A 比赛项目,则不同的安排方案共有 A ．20种 B ．24种 C ．30种 D ．36种x3 4 5 6 y2.5m44.57．设1141A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则矩阵A 的一个特征值λ和对应的一个特征向量α 为A ．3=λ，12α⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．1-=λ，21α⎛⎫= ⎪-⎝⎭C ．3=λ，12α-⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1-=λ，12α⎛⎫= ⎪⎝⎭8．若()()()()()()923112012311132222x x a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-,则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为A ．0B ．5-C ．5D ．2559．二项式1(n x-的展开式中含有4x 的项，则正整数n 的最小值是A ．4B ．6C ．8D ． 1210．已知等式443212(1)(1)(1)x x b x b x =++++++43)1(b x b ++，则1234,,,b b b b 的值分别为A ．0,0,0,0B ．4,6,3,0--C ．4,6,4,1--D ．4,6,4,1--11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第n 行中从左至右第14与第15个数的比为3:2， 则n 的值为A . 32B . 33C . 34D . 3512．在右图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是 A ．3629 B ．720551C ．7229D ．14429第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，共5个空格，每个空格4分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．随机变量1~(3,)2B ξ，则(31)E ξ+的值为 ***** .14．函数216()4(0)f x x x x=+>的最小值为***** .第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1…… …… ……15．设,,a b c 均为正数，且12a b c ++=，则1925a b c++的最小值为***** .16．给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的所有着 色方案如图所示. 由此推断，当6n =时，黑色正方形互 不相邻的着色方案共有***** 种，至少有两个黑色正方 形相邻的着色方案共有***** 种. （直接用数字作答）三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数()|3|2f x x =--，()|1|4g x x =-++． （Ⅰ）若不等式()()3f x g x +>，求x 的取值范围；（Ⅱ）若不等式()()1f x g x m -≥+的解集为R ，求m 的取值范围．18．（本小题满分10分）若圆22:1C x y +=在矩阵0,(0,0)0a A a b b ⎛⎫=>> ⎪⎝⎭对应的变换下变成椭圆22:1,43x y E +=求矩阵A 的逆矩阵1A -. 19．（本小题满分12分）“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是158. (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路 ”与性别有关？ (Ⅱ）若从这30人中的女性路人．．．．中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列.d c b a n +++=男性 女性 合计 反感 10 不反感 8 合计 3020．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程为1ρ=,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,直线l 的参数方程62().12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 (Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换''3x xy y⎧=⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ,在曲线'C 上求一点M ,使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离.21．(本小题满分12分)甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下: ①连续竞猜3次,每次相互独立；②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为a ,再由乙猜测甲写的数字,记为b ,已知{},0,1,2,3,4,5a b ∈,若1a b -≤,则本次竞猜成功；③在3次竞猜中,至少有2次竞猜成功,则两人获奖. (Ⅰ) 求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；(Ⅱ）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏,这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X ,求X 的分布列和期望.22．（本小题满分14分）规定),1()1(+--=m x x x A mx 其中x R ∈，m 为正整数，且0x A =1，这是排列数mnA (,n m 是正整数，n m ≤)的一种推广． (Ⅰ) 求39A -的值；(Ⅱ）排列数的两个性质：①m n A =11m n nA --，②m n A 1m n mA -+1m n A +=(其中m ，n 是正整数)．是否都能推广到mx A (x R ∈，m 是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；(Ⅲ）已知函数3()4ln x f x A x m =--，试讨论函数()f x 的零点个数．参考答案一、选择题：1－12：DACCBB ACBACD 二、填空题： 13．112 14．12 15. 27416．21；43 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）不等式()()3f x g x +>等价于|3||1|1x x --+>∴1311x x x ≤-⎧⎨-++>⎩或13311x x x -<<⎧⎨--->⎩或3311x x x ≥⎧⎨--->⎩∴1x ≤-或112x -<<，即12x < ∴x 的取值范围是1(,)2-∞.（Ⅱ）()()|3||1|6f x g x x x -=-++-，因为对于x ∀∈R ， ()()|3||1|6|3||1|6f x g x x x x x -=-++-=-++-|(3)(1)|6462x x ≥-++-=-=-. 当且仅当(3)(1)0x x -+≥即13x -≤≤时等号成立∴12m +≤-，得3m ≤-，即m 的取值范围是(3]-∞-,18．解：设点(,)P x y 为圆C :221x y +=上任意一点,经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y ''',则00a x ax x b y by y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩． 因为点(,)P x y '''在椭圆E :22143x y =+上,所以2222143a xb y =+,又圆方程为221x y +=,故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,又0a >,0b >,所以2a =,b所以200⎛⎫=⎝A, 20==|A|所以11020-⎛⎫ ⎪= ⎝A 19． 解：（Ⅰ）设0H ：反感“中国式过马路 ”与性别与否无关由已知数据得：2230(10866) 1.158 3.84116141614K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以，没有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关. （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.282144(0),13C C P X === 116821448(1),91C C C P X ===2621415(2),91C C P X ===所以X20．解：（Ⅰ）由62().12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数得，:60-=l x ， 由1ρ=得，圆22:1C x y +=.(Ⅱ)设点(,)P x y 是圆C 上的任意一点，经过伸缩变换''3x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得到点'''(,)P x y由''3x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得''3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，把''3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入圆22:1C x y +=得，22''19x y += 所以曲线22':19x C y +=令(3cos ,sin ),[0,2)M ϕϕϕπ∈，则点M 到直线l 的距离1|sin )6|222d ϕϕ+⋅-==|)6|62πϕ--=∴当06πϕ-=即6πϕ=时，m i n6332d -==-，此时，13cos 2ϕϕ==∴当1)2M 时，点M 到直线l的距离的最小值为3- 21．解：（Ⅰ）记事件A 为甲乙两人一次竞猜成功，则11666524()9p A C C +⨯==⋅ 则甲乙两人获奖的概率为223333454304()()()999729C C ⋅+=（Ⅱ）由题意可知6人中选取4人，双胞胎的对数X 取值为0,1,2 则1121112222222222444666()421(0),(1),(0)15315C C C C C C C C p X p X p X C C C ⋅⋅⋅+======， ∴分布列为∴4214()012153155E x =⨯+⨯+⨯= 22.解：（Ⅰ）399(10)(11)990A -=-⨯-⨯-=-X 0 1 2 p415 23 115（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是①mx A =11m x xA --，②m x A 1m x mA -+1m x A +=(*,x R m N ∈∈) 证明：①当1m =时，左边1x A x ==，右边0x xA x ==，等式成立；当2m ≥时，左边11(1)(1){(1)(2)[(1)(1)1]},m x x x x m x x x x m xA --=--+=-----+= 因此，m x A =11m x xA --(*,x R m N ∈∈)成立. ②当1m =时，左边10111x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；当2m ≥时，左边(1)(1)(1)(2)x x x m mx x x m =--++--+ (1)(2)(1)x x x m x m m =--+-++ (1)(1)(2)x x x x m =+--+ (1)(1)[(1)1)]x x x x m =+-+-+1m x A +==右边因此，m x A 1m x mA -+1m x A +=(*,x R m N ∈∈)成立.(Ⅲ）332()4ln (1)(2)4ln 324ln x f x A x m x x x x m x x x x m =--=----=-+--设函数32()324ln g x x x x x =-+-，则函数()f x 零点的个数等价于函数()g x 与y m =公共点的个数.()f x 的定义域为(0,)+∞3222'2436243(2)2(2)(2)(32)()362x x x x x x x x g x x x x x x x-+--+--+=-+-===令'()0g x =，得2x =x (0,2)2(2,)+∞'()g x- 0+ ()g x减4ln 2-增∴当4ln 2m <-时，函数()g x 与y m =没有公共点，即函数()f x 不存在零点， 当4ln 2m =-时，函数()g x 与y m =有一个公共点，即函数()f x 有且只有一个零点， 当4ln 2m >-时，函数()g x 与y m =有两个公共点，即函数()f x 有且只有两个零点.。
福建省福州市2014届高三毕业班质检数学理试题含答案
2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={(x ,y )|y =lg x },B ={(x ,y )|x=a },若A ∩B =∅,则实数a 的取值范围是( ). A. a <1 B. a ≤1 C. a <0 D. a ≤02.“实数a =1”是“复数(1)ai i +( a ∈R ,i 为虚数单位)的模为2”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件 3. 执行如图所示的程序框图,输出的M 的值是（ ）A ．2B ．1-C ．12D ．2- 4. 命题”x R ∃∈,使得()f x x =”的否定是( )A.x R ∀∈,都有()f x x =B.不存在x R ∈,使()f x x ≠C.x R ∀∈,都有()f x x ≠D.x R ∃∈,使 ()f x x ≠5. 已知等比数列{a n }的前n 项积为∏n ,若8843=⋅⋅a a a ,则∏9=( ). A.512 B.256 C.81 D.166. 如图,设向量(3,1)OA =,(1,3)OB =,若OC ＝λOA ＋μOB ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是( )7. 函数f (x )的部分图象如图所示,则f (x )的解析式可以是( ).A.f (x )=x +sin xB.x x x f cos )(=C.f (x )=x cos xD.)23)(2()(ππ--=x x x x f 8. 已知F 1、F 2是双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线abxy =对称,,则该双曲线的离心为 ( ).A.2B.5C.2D.2 9.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ), 且当x ∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数H (x )= |x e x |－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3 10.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx+d (b 、c 、d 为常数),当x ∈(0,1)值,则22)3()21(-++c b 的取值范围是( ). A.()5,237 B.)5,5( C.)25,437( D.(5,25) 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).12.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ,则点M 恰好取自 阴影部分的概率为 .13. 若直线20x y -+=与圆22C :(3)(3)4x y -+-=相交于A 、B 两点,则CA CB ⋅的值为 .14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 .15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩, 若数列{a m }满足))(2(+∈=N m mf a m ,且{}m a 的前m 项和为m S ,则20142006S S -= .三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:规定:当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);(Ⅱ)从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.17. （本小题满分13分）已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈.（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.18. （本小题满分13分）如图，直角梯形ABCD 中，090ABC ∠=2===AD BC AB =4，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． （Ⅰ）当AG GC +最小时，求证：BD ⊥CG ； （Ⅱ）当B ADGED GBCF V V --=2时，求二面角D BG C --平面角的余弦值.19.（本小题满分13分）已知动圆C 过定点(1,0),且与直线x =－1相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程;（Ⅱ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β, ①当βα+=2π时,求证直线AB 恒过一定点M ;②若αβ+为定值(0)θθπ<<,直线AB 是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数1()ln +)f x x ax a=-（，其中a R ∈且0a ≠ （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围; （Ⅲ）若存在110x a-<<，20x >，使得()()f x f x ==120，求证：120x x +>. 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c A 33,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α,属于特征值1的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=232α.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵; （Ⅱ）计算A 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛-41的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中,以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=,直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222(t 为参数),两曲线相交于M ,N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （Ⅱ）若P (－2,－4),求|PM |+|PN|的值． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设函数f (x )=|x －4|+|x －3|, （Ⅰ）求f (x )的最小值m（Ⅱ）当a +2b +3c=m (a ,b ,c ∈R)时,求a 2+b 2+c 2的最小值.2014年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准1—10 DABCA DCBBD11.96 12.1/3 13.0 14.18+32 cm 2 15.804216. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为7.10 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为84.105=………………4分(II)ξ的取值为1，2，3. ………………5分12823101(1),15C C P C ξ⋅===………………7分21823107(2),15C C P C ξ⋅===………………9分 157)3(3100238=⋅==C C C P ξ………………11分 所以ξ的分布列为………………12分故17712123.1515155E ξξ=⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）………………13分 17. 解:(I)2()2cos 2f x x x =+=cos 221x x ++=2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭……………2分 令-222,262k xk k Z πππππ+≤+≤+∈，解得322322ππππ+≤≤-k x k 即63ππππ+≤≤-k x k …………4分[0,]2x π∈,∴f (x )的递增区间为]6,0[π………………6分(Ⅱ)由21)62sin(2)(=++=πC C f ,得21)62sin(=+πC而()0,C π∈,所以132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以5266C ππ+=得3C π=8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 因为向量)sin ,1(A =与向量)sin ,2(B =共线，所以sin 1sin 2A B =， 由正弦定理得:21=b a ①……………10分 由余弦定理得:3cos2222πab b a c -+=,即a 2+b 2－ab =9 ②………12分由①②解得32,3==b a ……………13分18. 解:(Ⅰ)证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点,∴EF //BC 又∠ABC =90°∴AE ⊥EF ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ， ∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE⊥BE ，又BE ⊥EF ， 如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．……………2分 翻折前,连结AC 交EF 于点G,此时点G 使得AG+GC 最小. EG =12BC =2,又∵EA=EB =2．则A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0), D (0,2,2),E (0,0,0),G (0,2,0), ∴=(﹣2,2,2),CG =(-2,-2,0)∴BD CG ⋅=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0， ∴BD ⊥CG ………………5分 (Ⅱ)解法一：设EG=k ,AD ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离.S 四形GBCF =12[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2(7)3k -又B ADGE ADGE V S BE 四形-=?13=2(2)3k +,B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2(7)3k -,1k ∴=即EG =1…………………8分设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =,∵G (0,1,0), ∴(2,1,0),BG =-BD =(－2,2,2),则 1100n BD n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222020 x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩取x ＝1,则y ＝2,z ＝－1,∴(1,2,1)n =- …………………10分 面BCG 的一个法向量为2(0,0,1)n = 则cos<12,n n>=1212||||n n n n =-…………………12分由于所求二面角D-BF-C 的平面角为锐角, ……………………13分 (Ⅱ)解法二:由解法一得EG =1,过点D 作DH ⊥EF ,垂足H ,过点H 作BG 延长线的垂线垂足O ，连接OD. ∵平面AEFD ⊥平面EBCF,∴ DH ⊥平面EBCF ，∴OD ⊥OB,所以DOH ∠就是所求的二面角D BG C --的平面角. …………9分由于HG =1,在∆OHG 中OH =,又DH=2，在∆DOH 中tan DHDOH OH∠==分分 19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M (x ,y ),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x =－1为准线的抛物线………2分 其方程为y 2=4x .- …………3分(Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意得x 1≠x 2(否则αβπ+=)且x 1x 2≠0,则4,4222211y x y x == 所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx+b , 则将y=kx+b 与y 2=4x 联立消去x ,得ky 2－4y +4b =0 由韦达定理得kby y k y y 4,42121==+-------※…………6分 ①当βα+=2π时,tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=,…………7分所以y 1y 2=16,又由※知:y 1y 2=kb4所以b =4k ;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+4k ,所以直线AB 恒过定点(－4,0). …………8分②当αβ+为定值(0)θθπ<<时.若βα+=2π,由①知, 直线AB 恒过定点M (－4,0) …………9分 当2πθ≠时,由αβθ+=,得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=16)(42121-+y y y y将※式代入上式整理化简可得:k b 44tan -=θ,所以θtan 44+=k b ,…………11分此时,直线AB 的方程可表示为y=kx +θtan 44+k ,所以直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-…………12分所以当2πθ=时,直线AB 恒过定点(－4,0).,当2πθ≠时直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-.…………13分 20. 解:(I)f (x )的定义域为),1(+∞-a. 其导数'()a xf x a ax x a=-=-++2111………1分①当0a <时,'()0f x >,函数在),1(+∞-a上是增函数;…………2分 ②当0a >时,在区间(,)a-10上,'()0f x >;在区间(0,+∞)上,'()0f x <． 所以()f x 在(,)a-10是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 (II)当0a <时, 取1x e a=-，则11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 不合题意.当0a >时令()()h x ax f x =-,则1()2ln()h x ax x a=-+………6分问题化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.由于'12()12()211a x a h x a x x a a+=-=++ ………7分 ∴在区间(,)a a--112上,0)('<x h ;在区间),21(+∞-a 上,0)('>x h .()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a->即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>………9分(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a上是增函数,不满足题意,所以0a >构造函数:()()()g x f x f x =--(10x a-<<)11()ln()ln()2g x x x ax a a∴=--++………11分则2'22112()20111ax g x a x x x a a a=-+=<-+-所以函数)(x g 在区间1(,0)a-上为减函数. 110x a-<<,则1()(0)0g x g >=,于是()()f x f x -->110,又1()0f x =,()()f x f x ->=120,由()f x 在,)+∞（0上为减函数可知21x x >-.即120x x +>…………………14分21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解: (Ⅰ)法一:依题意,⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+42,2236d c d c d c .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4233A . ………… 2分 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A …………4分 法二:033)3(0332=-++-=----c d d d c λλλλ即的两个根为6和1,故d =4,c =2. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴4233A …………2分 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A -…………4分 (Ⅱ)法一:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23…………5分 A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2×63⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－13⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429…………7分 法二:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1308612987423322142115;221421154233423332A A A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429411308612987…………7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.解:(Ⅰ)(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x , 直线l 的普通方程x －y －2=0. ………..4分(Ⅱ)直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222(t 为参数), 代入y 2=4x , 得到0482122=+-t t ,设M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2则048,2122121>==+t t t t所以|PM |+|PN|=|t 1+t 2|=212…………7分(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲解:(Ⅰ)法1: f (x )=|x －4|+|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|=1, 故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分法2:⎪⎩⎪⎨⎧<-<≤≥-=3,2743,14,72)(x x x x x x f .------------------1分x ≥4时,f (x )≥1;x <3时,f (x )>1,3≤x <4时,f (x )=1,----------------3分 故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分(Ⅱ)由柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a +2b +3c )2=1----------5分故a 2+b 2+c 2≥141-…………6分 当且仅当143,71,141===c b a 时取等号…………7分。
数学高考真题-2014福建卷理科
2014年普通高等学校招生考试福建卷(理科数学)第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8 B．10 C．12 D．144．若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是()图1-1A BC D 图1-2图1-35．阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．18B ．20C ．21D ．406．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)8．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)9．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 210．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）11．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．12．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．14．如图1-4，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1-415．若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分13分）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．17．（本小题满分13分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．图1-518．（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．19．（本小题满分13分）已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图1-6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．图1-620．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分.请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，按所做的前两题计分.(Ⅰ)选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝2112⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．(Ⅱ)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．(Ⅲ)选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.。
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试题(含答案)
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试时间：120分钟满分：150分命题：高三集备组审核：高三集备组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合，则等于A ．B ．C ．D ．或2．已知等差数列满足，则A ．B ．C ．D ．3．若函数是奇函数，则的值为A ．1B ．-1C ．D ．04．将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是A．B ．C ．D ．5．没为单位向量，在方向上的投影向量为，则ABCD ．6．已知，则A ．B ．C ．D ．7．如图，设拋物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是{}{}2210,log 0A x x B x x =->=>∣∣A B ⋂{0}x x >∣{1}x x >∣{1}x x <-∣{1xx <-∣1}x >{}n a 12j 1010a a a a ++++= 11010a a +>11010a a +<3990a a +=5151a =(()ln f x ax =a 1±13122356,a b a b 12b -|2|a b -=311(),(),()552P A P AB P A B === ∣()P B =1525354524y x =F C y BCF ACFA．B ．C ．D ．8．在中，为内一点，，则A ．BCD ．二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，下列结论正确的是A ．若，则B ．C ．若，则或D ．若且，则10．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为A ．中位数是3，众数为2；B．均值小于1，中位数为1；C ．均值为3，众数为4；D ．均值为2．11．已知，则A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为______.||1||1BF AF ++||1||1BF AF --22||1||1BF AF ++22||1||1BF AF --ABC 120,2,ACB BC AC D ︒∠==ABC ,120AD CD BDC ︒⊥∠=tan ACD ∠=12,z z 12z z =2212z z =1212z z z z -=-120z z =10z =20z =10z ≠12z z =2121z z =37.3C ︒37.3C ︒12212log ,log 2baa b ⎛⎫== ⎪⎝⎭22a ba b -+=+22b aa b -+=+121eba+>112eab->4π,36π64π13．的展开式中常数项为______．14．已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是______；若的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码123456.45.55.04.83.8（1）求2017-2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；（2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：,②样本相关系：③参考数据：16．（15分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求的值：17．（15分）如图，在三棱柱中，，E ，F 分别为的中点，且421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()sin()f x x ωϕ=+π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭ωπ||2ϕ<ππ32f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭ϕix iy i x i y y x y x ()()()121ˆˆ,niii n i i x x yy bay bx x x ==--==--∑∑ nx y r =5521170.6,6ii i i i x yy ====≈∑∑()ln(1)()f x ax x a =--∈R ()y f x =(0,(0))f ()0f x ≥a 111ABC A B C -1AC AB ==11,AC BB平面．（1）求棱BC 的长度；（2）若，且的面积，求二面角的正弦值．18．（17分）设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于M ，N 两点.（1）若M ，N 都在双曲线的左支上，求面积的最小值．（2）是否存在轴上一点，使得为定值?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．19．（17分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“—数列”．（1）已知等比数列满足：，求证：数列为“—数列"'；（2）已知数列满足：，其中为数列的前项和．①求数列的通项公式；②设为正整数，若存在“—数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．EF ⊥11AA C C 111BB A B ⊥1A FC 1A FC S =11B A F C --F 221x y Γ-=：F ΓOMN x P PM PN P M {}()*N n a n ∈245321,440a a a a a a =-+={}n a M {}n b 111221,n n n b S b b +==-n S {}n b n {}n b m M {}()*n c n ∈N k k m ≤1k k k c b c +≤≤m2023-2024年高三数学校模拟考参考答案1-8BCCDADBB9．BCD10．BD11．AD12．13．4914．15．【详解】（1）由已知可得，，，（2）由小问1知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述．由小问1知，，，所求经验回归方程为．（3）令，则，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为．16．【详解】（1）由，得，因为，所以曲线在点处的切线方程为；（2），①当时，，不符合题意．5π,012⎛⎫⎪⎝⎭π61234535x ++++==522222216.4 5.5 5.0 4.8 3.8 5.112345555ii y x=++++===++++=∑555 5.90.986x x y y x y xyr ----===≈≈y x 0.98,r r ≈-y x ()()()551155222115 5.9ˆ0.59105iii ii i i ii i x x y y x y xybx x xx ====----====---∑∑∑∑ˆˆ 5.1(0.59)3 6.87ay bx =-=--⨯=ˆ0.59 6.87yx =-+8x =ˆ0.598 6.87 2.15y=-⨯+=2.15%()ln(1)f x ax x =--1()(1)1f x a x x'=+<-(0)0,(0)1f f a '==+()y f x =(0,(0))f (1)y a x =+11()(1)11ax a f x a x x x'-++=+=<--0a ≥(1)ln 20f a -=--<②当时，令，解得，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值；若恒成立，则，设，则，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减，所以，即的解为．所以；17．【详解】（1）取中点，连接，分别为的中点，则且，又为三棱柱，且分别为的中点，则且，可得且，即四边形DEFB 为平行四边形，故，又平面，则平面，平面，可得，又为AC 的中点，则为等腰三角形，．（2）由（1）可知：，且，即，0a <()0f x '=11x a=+1,1x a ⎛⎫∈-∞+⎪⎝⎭()0,()f x f x '<1,1a ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭11,1x a ⎛⎫∈+⎪⎝⎭()0,()f x f x '>11,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11x a=+()f x 111ln()f a a a ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭()0f x ≥1ln()0a a ++-≥()1ln()(0)x x x x ϕ=++-<11()1x x x xϕ'+=+=(,1)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(,1)-∞-(1,0)x ∈-()0,()x x ϕϕ'<(1,0)-()(1)0x ϕϕ≤-=1ln()0a a ++-≥1a =-1a =-AC D ,ED BD ,D E 1,AC AC 1//DE AA 112DE AA =111ABC A B C - F 1BB 1//BF AA 112BF AA =//DE BF DE BF =//EF DB EF ⊥ 11AA C C DB ⊥11AA C C AC ⊂11AA C C DB AC ⊥D ABC 1BC AB ∴==1BC AB ==AC =222AB BC AC +=，则可得，且，平面平面，则，，由（1）知平面平面，则，又，则又，则，平面，平面，平面，则，且，可得，为直角三角形，则以为坐标原点，向量方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则，可得，AB BC ∴⊥EF DB ==1111A B B C⊥EF ⊥ 111,AAC C AC⊂11AA C C 1EF A C ⊥1111122A FCS AC EF AC ∴=⋅== 12A C =DB ⊥111,AAC C AA ⊂11AA C C 1DB AA ⊥11//AA BB 1DB BB ⊥11111,//BB A B AB A B ⊥ 1BB AB ⊥,,AB DB B AB DB ⋂=⊂ABC 1BB ∴⊥ABC AC ⊂ABC 1BB AC ⊥11//AA BB 1AA AC ⊥1AA C ∴ 1AA ==1B 11111,,B C B A B B 1B xyz -111(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),B A C C B F ⎛ ⎝110,,(1,A F A C ⎛=-=- ⎝设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，可得，，故二面角18．【详解】（1）设直线的方程为．由,由根与系数的关系可知①．此时．原点到直线的距离为，此时．由都在双曲线的左支上知，得，令，则，由于，所以当，即时，此时取最小值，则，当，即时，等号成立．1A FC 1(,,)n x y z = 111100n A F y z n A C x y ⎧=-=⎪⎨⎪=-+=⎩ 1y =1,x z =-=1(n =-11B A F 2(1,0,0)n =11B A F C --(0,π)θ∈121211|cos |212n n n n θ===⨯ sin θ∴==11B A F C --MN ()()1122,,,x my M x y N x y =-221x my x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩()22110(1)m y m --+=≠±1212211y y y y m +==-()2221||1m MN m +===-O MN d =()222111||221OMNm S d MN m +===- ,M N ()121212220,01x x m y y x x m -+=+-=<=>-11m -<<21(10)m t t -=-≤<2221111144244OMNS t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1(,1]t ∈-∞-11t=-1t =-OMN S ≥ 1t =-0m =（2）假设存在这样的定点．当直线的斜率不为0时，由（1）知②将①代入②可得,此时要想，得．即存在这样的定点满足题意．当直线的斜率为0时，易知，若，则，满足题意．综上，存在满足题意．19．【详解】（1）设等比数列的公比为，所以由，得，解得，因此数列为“—数列”；（2）①因为，所以，(,0)P n ()()()()()()112212121212,,PM PN x n y x n y x n x n y y my n my n y y =--=--+=----+()()2212121))m y y m n y y n =+-++++ 2)PM PN n =++ PM PN 11=-n =12PM PN =- P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2(1)(1)1PM PN n n n =+-=- P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12PM PN =- P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭{}n a q 10,0a q ≠≠245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩112a q =⎧⎨=⎩{}n a M 1122n n n S b b +=-0n b ≠由得，则，由，得，当时，由，得，整理得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，因此，数列的通项公式为；②由①知，，因为数列为“—数列”，设公比为，所以，因为，所以，其中，当时，有；当时，有，设，则，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，取时，，即，令，则，令，则，1111,b S b ==212211b =-22b =1122n n n S b b +=-()112n n n n n b b S b b ++=-2n ≥1n n n b S S -=-()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---112n n n b b b +-+={}n b {}n b ()*n b n n =∈N *,k b k k =∈N {}n c M q 11,0c q =>1k k k c b c +≤≤1k k q k q -≤≤1,2,3,,k m = 1k =1q ≥2,3,,k m = ln ln ln 1k kq k k ≤≤-ln ()(1)x f x x x =>21ln ()xf x x '-=(1,e)x ∈()0f x '>(e,)x ∈+∞()0f x '<()f x (1,e)(e,)+∞ln 2ln 8ln 9ln 32663=<=max ln 3()(3)3f k f ==q =1,2,3,4,5k =ln ln kq k…k k q ≤ln ()(1)1x g x x x =>-2211(1)ln 1ln ()(1)(1)x x xx x g x x x '----==--1()1ln h x x x =--22111()0xh x x x x'-=-=<故在上单调递减，则，即在上恒成立，即在上单调递减，则，即，因此所求的最大值不小于5，若，分别取，得，且，从而，且，所以不存在，因此所求的最大值小于6，故的最大值为5．()h x (1,)+∞()(1)1100h x h ≤=--=()0g x '<(1,)+∞()g x (1,)+∞min ln 5ln125ln 81ln 3()(5)412123g k g ===<=1ln ln 1k k q q k k -≤≤-m 6m ≥3,6k =33q ≤56q ≤15243q …15216q …q m m。
2014年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．4．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）．B．．．=5．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）6．（5分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（），d=的面积为×=的面积为，则S=××==的面积为7．（5分）（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）8．（5分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）．=（0，0），=（1，2）=（﹣1，2），=（5，﹣2）=（3，5），=（6，10）=（2，﹣3），=（﹣2，3），计算判别即可．解：根据列出方程解方程是关键，9．（5分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，5+，半径为=≤，5=610．（5分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的1+c c+二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）（2014•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．12．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2．BC=2，=故答案为：13．（4分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）214．（4分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．（）．故答案为：15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．＜=，，（）﹣．）﹣sin2x+2x+T=﹣2x+≤+≤，﹣]17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．即可得出．M．=，，．的法向量，则=|==．|=18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．，元的概率为=P×+60×=40，=19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．）依题意，可知c=的方程为=1的方程为﹣=1|OC|的方程为﹣=1=2ae==的方程为﹣|OC|a的方程为﹣=1的方程为﹣（﹣，，同理得，|OC||﹣|=8的方程为﹣=1在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．x）时，恒有xx，当时，有21．（7分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．A==，﹣，，所以=对应的一个特征向量为．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．的参数方程为．，即22六、选修4-5：不等式选讲23．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．。
14年高考真题——理科数学(福建卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数()32z i i =-的共轭复数z 等于（ ）（A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i +2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）（A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）四面体 （D ）三棱柱3．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =（ ）（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）144．若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）5．阅读右图所示程序框图，运行相应程序，输出S 的值等于（ ）（A ）18 （B ）20 （C ）21 （D ）406．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f ，则下列结论正确的是（ ）（A ）()x f 是偶函数 （B ）()x f 是增函数 （C ）()x f 是周期函数 （D ）()x f 的值域为[)+∞-,18．在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ）（A ）()()120,0,1,2e e == （B ）()()121,2,5,2e e =-=-（C ）()()123,5,6,10e e == （D ）()()122,3,2,3e e =-=-9．设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） （A ）25 （B ）246+ （C ）27+ （D ）2610．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，“ab ”表示把红球和篮球都取出来。
福建师大附中高三模拟考试数学试卷(理)
2013届福建师大附中高三模拟考试数学试卷（理）（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R =π，343V R =π 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．复数1iz i+=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点是位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设a R ∈，则“4a =”是“直线1230l ax y +-=:与直线220l x y a +-=:平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知集合{}2log(1)2M x x =-<，{}6N x a x =<<，且()2,M N b =,则a b +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．设z=x+y ，其中x ，y 满足20,0,0,x y x y x k +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩当Z 的最大值为6时，k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．阅读如下图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入72,30m n ==，则输出n 的值为（ ）A ．12B ．6C ．3D ．06．ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边分别,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则角B 等于（ ）A ．030B ．060C ．090D ．01207．设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的3x 项的系数为（ ）A ．20-B ．20C ．160-D ．1608．如下图所示，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅AM AA 的概率=p （ ）A ．34B ．12C ．14D ．189．已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l ．设l 是长为2的线段，点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积为（ ）A ．πB ．2πC ．2π+D ．4π+10．如下图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试题(解析版)
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试时间：120分钟满分：150分命题：高三集备组审核：高三集备组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合2{10}A x x =->，2{log 0}B x x =>，则A B ⋂等于（）A .{1}x x > B.{0}x x > C.{1}x x <- D.{1x x <-或1}x >【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式210x ->和对数不等式2log 0x >化简集合，再求交集.【详解】不等式210x ->解得1x <-或1x >，集合{1A x x =<-或1}x >，不等式22log 0log 1x >=，解得1x >，集合{1}B x x =>{1}A B x x ∴⋂=>．故选：A ．2.已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=，则（）A.11010a a +>B.11010a a +< C.3990a a += D.5151a =【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的性质可得110121005052512a a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=，进而可得到答案.【详解】根据等差数列的性质，得110121005052512a a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=，因为1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以510a =，所以11013995120a a a a a +=+==，故选：C ．3.若函数()(ln f x ax =+是奇函数，则a 的值为（）A.1B.－1C.±1D.0【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇函数的概念可得((ln ln 0ax ax -++=，进而结合对数的运算即可求出结果.【详解】因为()(ln f x ax =+是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即((ln ln 0ax ax -+++=恒成立，所以()22ln 110a x ⎡⎤-+=⎣⎦，即()2210a x -=恒成立，所以210a -=，即1a =±．当1a =时，()(ln f x x =+，定义域为R ，且()()0f x f x -+=，故符合题意；当1a =-时，()(ln f x x =-+，定义域为R ，且()()0f x f x -+=，故符合题意；故选：C.4.将甲､乙､丙､丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲､乙二人分别去了不同岗位的概率是（）A.13B.12C.23D.56【答案】D 【解析】【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人共有的选择数，再求出甲、乙两人被分到同一个工作岗位的选择数，再利用古典概型求概率公式及对立事件求概率公式进行求解即可.【详解】甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人，则必有2人分配到同一个工作岗位，先从4人中选出2人，有24C =6种选择，再进行全排列，有33A =6种选择，故总的方法有2343C A 36=种，其中甲、乙两人被分到同一个工作岗位的情况：从3个岗位中选出一个分配给甲乙，再将剩余的丙丁和剩余的两个岗位进行全排列，有1232C A 6=种选择，所以甲､乙二人分配到同一个工作岗位的概率为61366=，故甲､乙二人分别去了不同工作岗位的概率为151=66-.故选：D5.设,a b为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为12b - ，则2a b -= （）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为a 在b方向上的投影向量为12b - ，所以()111222a b b b a a b b a b a b b⋅-=⋅⋅⇒-=⋅⋅⇒⋅=-⋅，所以有2a b -==，故选：D 6.已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】首先由()()()P A P AB P AB =+求出()P AB ，再由条件概率公式计算可得.【详解】因为()()()P A P AB P AB =+，3()5P A =，()15P AB =，所以()()()25P AB P A P AB =-=，所以()()()1|2P AB P A B P B ==，则()()()2451|52P AB P A B P B ===.故选：D7.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A 【解析】【详解】，故选A.考点：抛物线的标准方程及其性质8.在ABC 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（）A.22B.332C.6D.32【答案】B 【解析】【分析】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=，AC x =，即可表示出CB ，CD ，在BCD △中利用正弦定理2cos sin(60)32x θθ=-︒，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.【详解】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，令AC x =()0x >，则2CB x =，cos CD x θ=，在BCD △中，可得120BCD θ∠=︒-，60CBD θ∠=-︒，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，cos sin(60)x θθ==-︒1322=，可得33tan 2θ=，即33tan 2ACD ∠=．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到BCD △中利用正弦定理得到关系式.二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数12,z z ，下列结论正确的是（）A.若12z z =，则2212z z = B.1212z z z z -=-C.若120z z =，则10z =或20z = D.若10z ≠且12z z =，则2121z z =【答案】BCD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断C ；设()1i,,R z a b a b =+∈，通过复数计算即可判断D.【详解】对于A ，设11i z =+，则21i z =-，所以221(1i)2i z =+=，而221(1i)2i z =-=-，所以2212z z ≠，故A 不正确；对于B ，设12i(,),i(,)R R z a b a b z c d c d =+∈=+∈，则1212()()i (i)(i)z z a c b d a b c d z z -=---=---=-，故B 正确；对于C ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故C 正确.对于D ，设()221i,,R,0z a b a b a b =+∈+≠，则1z ()i,,R a b a b =-∈，所以21z ()()22i i a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z =，故D 正确.故选：BCD.10.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3C ︒，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于37.3C ︒人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）A.中位数为3，众数为2B.均值小于1，中位数为1C.均值为3，众数为4D.均值为2【答案】BD 【解析】【分析】先设出7天体温高于37.3C ︒人数，并按大小关系排好顺序.A ，C 可通过列举法判定；B ，D 可通过放缩法判定.【详解】设连续7天体温高于37.3C ︒人数依次为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a ，则k a N ∈，1,2,3...,7k =.将1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 按顺序从小到大依次记为1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，7b ，且k b N ∈，1,2,3...,7k =.A 选项：由中位数为3得43b =，又众数为2，所以5b ，6b ，7b 的值无法确定，故选项A 错误；B 选项：由中位数为1得41b =，由均值小于1得127 (17)b b b +++<，有71271 (177)b b b b ++++<<，76b <，故选项B 正确；C 选项：由均值为3得，127 (37)b b b +++=，127...21b b b +++=，取10b =，231b b ==，4564b b b ===，77b =，满足众数为4，但有1天有7人体温高于37.3C ︒，故选项C 错误；D 选项：由均值为2得，127 (27)b b b +++=，127...14b b b +++=，<=，所以()27214b-<，所以75b≤，故选项D正确.故选：BD.11.已知12212log,log2ba a b⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（）A.22a ba b-+=+ B.22b aa b-+=+C.121eb a+> D.112ea b->【答案】AD【解析】【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式e1x x≥+即可判断C；利用不等式ln1≤-x x即可判断D.【详解】对A，由图可知：2xy=与12logy x=交点(),2aA a，()01a<<2logy x=与12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点(),2,(1)bB b b->，根据指数函数与对数函数为一对反函数知：A，B关于y x=对称，故22baab-⎧=⎨=⎩，22a ba b-+=+，故A正确；对B，由A知22b aa b-+=+，故B错误；对C，由2ba-=知21ba=，则1211ba+=+，设()e1xf x x=--，x∈R，则()e1xf x'=-，则当(),0x∞∈-时，()0f x'<，此时()f x单调递减；当()0,x∞∈+时，()0f x'>，此时()f x单调递增；则()()00f x f≥=，则e10x x--≥恒成立，即1e xx+≤，当0x=时取等；令1xa=，则有111eaa+≤，因为10≠a，则111eaa+<，即121eb a+<，故C错误；对D，设()ln1h x x x=+-，()0,x∞∈+，则()1xh xx'-=，则当()0,1x∈时，()0f x'>，此时()f x单调递增；当()1,x ∞∈+时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；则()()10h x h ≤=，即ln 10x x +-≤在()0,∞+上恒成立，即ln 1≤-x x 在()0,∞+上恒成立，当1x =时取等，令1x b =，则11ln 1b b⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，即1ln 1b b ≥-，因为1b >，则1ln 1b b >-，则11e b b ->，故112eabb -=>，故D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题AB 选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD 选项的关键在于两个不等式e 1x x ≥+和ln 1≤-x x 的运用.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,36π，侧面积为64π，则该圆台的高为__________.【答案】【解析】【分析】根据圆台的性质和有关公式进行计算可得结果.【详解】做圆台的轴截面，如图：由题意得：圆台的上､下底面的半径分别为2，6，设圆台的母线长为l ，高为h ，则该圆台的侧面积()π2664πS l =⨯+⨯=侧，解得8l =，所以h ==故答案为：13.421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______．【答案】49【解析】【分析】利用多项式乘法法写出展开式的通项，令x 次数为0即为常数项．【详解】421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()444214444422C ()11C C 12C C mr r r rr r m r m m r m r mr r r T x x x x x -----+--⎛⎫=+⨯-=-=- ⎪⎝⎭，m r ≤，当0,4m r ==时，常数项为1；当1,2m r ==时，得常数项为()21214212C C 24-=；当2,0m r ==时，得常数项为()02024412C C 24-=；所以展开式中的常数项为1242449++=.故答案为：49.14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调，其中ω为正整数，π||2ϕ<，且ππ32f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则()y f x =图象的一个对称中心是______；若π342f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则ϕ的值为______．【答案】①.5π,012⎛⎫⎪⎝⎭答案不唯一②.π6##30︒【解析】【分析】根据单调区间，以及2π3πf f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得0π32π2f ⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，进而可得对称中心；先根据单调区间求出ω的可能取值，然后根据342f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得到ω和ϕ的关系，根据关系以及ω的可能取值对照验证计算即可.【详解】因为()f x 在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且2π3πf f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,π,ππ2π2π,36363π2⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π32π212π0f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以()y f x =图象的一个对称中心是5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；由题设，()f x 的最小正周期ππ2π2,362362ππππT ⎛⎫≥⨯-=-=< ⎪⎝⎭，故2π2Tω=≤，由N ω*∈，得1,2ω=，由5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()()sin f x x ωϕ=+的一个对称中心，所以115π12π,k k ωϕ+=∈Z ①；因为342f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2πππ243k ωϕ+=+或2332π,2π43πk k k ωϕ∈+=+Z 、.若2πππ243k ωϕ+=+②，①-②得()12122ππ,63πk k k k ω=-+-∈Z 、，即()1212262,k k k k ω+-∈=-Z 、，不存在整数12k k 、，使得1,2ω=.若332π243ππ,k k ωϕ+=+∈Z ③，①-③得()13132π2ππ,63k k k k ω=-+-∈Z 、，即()1313462,k k k k ω=-+-∈Z 、，不存在整数13k k 、使得1ω=，当1321k k =+时，2ω=.此时333π=π2πππ2232,6k k k ϕ=-++∈Z ，由π2ϕ<，得π6ϕ=.故答案为：5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；π6【点睛】思路点睛：解决本题的思路是通过ππ2π2,362362ππππT ⎛⎫≥⨯-=-=<⎪⎝⎭确定1,2ω=，联立5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭和342f π⎛⎫=⎪⎝⎭可得()12122ππ,63πk k k k ω=-+-∈Z 、或()13132π2ππ,63k k k k ω=-+-∈Z 、，分别验证是否有1,2ω=，即可求得ϕ.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比()%i y ：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码i x 12345iy 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8（1）求2017—2021年年份代码i x 与i y 的样本相关系数（精确到0.01）；（2）请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y 关于x 的经验回归方程；（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()55212111,,7ˆˆˆ0.6,133.69niii i i i ni i i i x x y y bay bx x y y x x ====--⎛⎫==-== ⎪⎝⎭-∑∑∑∑附：样本相关系数，()()6niix x y y r --=∑．【答案】（1）0.98-（2） 0.59 6.87y x =-+（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%【解析】【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数()()niix x y y r --=∑（2）由（1）知0.98r ≈-，r 接近1，即可说明线性相关关系极强；根据（1）中求出的数据，即可求出ˆ0.59b =-，ˆ 6.87a=，进而得到回归直线方程；（3）将8x =代入回归直线方程，即可预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.【小问1详解】由己知可得，1234535x ++++==，6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 5.15y ++++==，由题可列下表：i x x -2-1-012i y y- 1.30.40.1-0.3- 1.3-()()51i i i x x y y =--=-∑()()55.90.986iix x y y r ---=≈-∑．【小问2详解】由小问1知，y 与x 的相关系数0.98,r r ≈-接近1，所以y 与x 之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述．由小问1知，()()()515215.9ˆ0.5910iii i i x x y y bx x ==---===--∑∑，ˆˆ 5.1(0.59)3 6.87ay bx =-=--⨯=，所求经验回归方程为 0.59 6.87y x =-+．【小问3详解】令8x =，则 0.598 6.87 2.15y =-⨯+=，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%．16.已知函数()ln(1)()f x ax x a =--∈R ．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值【答案】（1）(1)y a x =+；（2）1a =-【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）由()ln(1)f x ax x =--，得1()(1)1f x a x x'=+<-，当0a ≥时，不符合题意；当a<0时，()f x 最小值为111ln()f a a a ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，若()0f x ≥恒成立，则1ln()0a a ++-≥，设()1ln()(0)x x x x ϕ=++-<．根据导数研究()ϕx 的最大值，即可求出a 的值.【小问1详解】定义域为(,1)-∞，由()ln(1)f x ax x =--，得1()(1)1f x a x x'=+<-，因为(0)0,(0)1f f a '==+，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)y a x =+；【小问2详解】定义域为(,1)-∞，11()11ax a f x a x x'-++=+=--，①当0a ≥时，(1)ln 20f a -=--<，不符合题意．②当a<0时，令()0f x '=，解得11x a=+，当1,1x a ⎛⎫∈-∞+⎪⎝⎭时，()0,()'<f x f x 在区间1,1a ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减，当11,1x a ⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()0,()'>f x f x 在区间11,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当11x a=+时，()f x 取得最小值111ln()f a a a ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭；若()0f x ≥恒成立，则1ln()0a a ++-≥，设()1ln()(0)x x x x ϕ=++-<，则11()1x x x xϕ'+=+=，当(,1)x ∈-∞-时，()0,()x x ϕϕ'>在区间(,1)-∞-上单调递增，当(1,0)x ∈-时，()0,()x x ϕϕ'<在区间(1,0)-上单调递减，所以()(1)0x ϕϕ≤-=，即1ln()0a a ++-≥的解为1a =-．所以1a =-.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC =，1AB =，E ，F 分别为1AC ，1BB 的中点，且EF ⊥平面11AA C C ．（1）求棱BC 的长度；（2）若111BB A B ⊥，且1△A FC 的面积12△A FC S =，求二面角11B A F C --的正弦值．【答案】（1）1（2）32【解析】【分析】（1）根据平行关系可得EF DB ，再结合垂直关系可得DB AC ⊥，即可得结果；（2）根据题意分析可得1BB ⊥平面ABC ，12AA =，建系，利用空间向量求二面角.【小问1详解】取AC 中点D ，连接ED ，BD ，∵,D E 分别为1,AC A C 的中点，则DE 1AA 且112DE AA =，又∵111ABC A B C -为三棱柱，且F 分别为1BB 的中点，则BF 1AA 且112BF AA =，可得DEBF 且DE BF =，即四边形DEFB 为平行四边形，故EF DB ，又∵EF ⊥平面11AA C C ，则DB ⊥平面11AA C C ，AC ⊂平面11AA C C ，可得DB AC ⊥，又∵D 为AC 的中点，则△ABC 为等腰三角形，∴1BC AB ==.【小问2详解】由（1）可知：1BC AB ==，且AC =，即222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，则可得2EF DB ==，且1111A B B C ⊥，∵EF ⊥平面11AA C C ，1AC ⊂平面11AA C C ，则1EF A C ⊥，∴111112222△A FC S A C EF A C =⋅=⨯=，解得12A C =，由（1）知DB ⊥平面11AA C C ，1AA ⊂平面11AA C C ，则1DB AA ⊥，又∵1AA 1BB ，则1DB BB ⊥又∵111BB A B ⊥，AB 11A B ，则1BB AB ⊥，AB DB B = ，,AB DB ⊂平面ABC ，∴1BB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，则1BB AC ⊥，且1AA 1BB ，可得1AA AC ⊥，∴1AA C △为直角三角形，则1AA ==以1B 为坐标原点，向量11B C ，11B A ，1B B方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系1B xyz -，则()10,0,0B ，()10,1,0A ，()11,0,0C，(C，(B ，20,0,2F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，可得120,2A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(11,AC =-，设平面1A FC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则11112020n A F y z n A C x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令1y =，则1,x z =-=，可得(1n =-，∵平面11B A F 的一个法向量为()21,0,0n =，设二面角11B A F C --的平面角为()0,πθ∈，可得121211cos 212n n n n θ⋅===⨯⋅u r u u r u r u u r ，∴sin 2θ==，故二面角11B A F C --的正弦值为2.18.设F 是双曲线Γ：221x y -=的左焦点，经过F 的直线与Γ相交于M ，N 两点．（1）若M ，N 都在双曲线的左支上，求OMN 面积的最小值．（2）是否存在x 轴上一点P ，使得PM PN ⋅为定值?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1（2）存在这样的定点2,20⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭P 【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，即可由弦长公式以及点到直线距离公式求解长度，利用面积公式以及二次函数的性质即可求解，（2）由向量数量积的坐标运算，即可结合韦达定理化简求解.【小问1详解】设直线MN的方程为x my =，()11,M x y ，()22,N x y ．由221x my x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩可得()()221101m y m --+=≠±，由根与系数的关系可知122221y y m +=-，12211y y m =-①．此时()222212111m MN m m +=--．原点O到直线MN的距离为d =此时()222111221OMNm S d MN m +===-△．由M ，N 都在双曲线的左支上知()1212201x x m y y m =+-+-<，122201x x m -=>-，得11m -<<，令()2110m t t -=-≤<，则2221111144244OMNS t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，由于(]1,1t ∞∈--，所以当11t=-，即1t =-时，此时取最大值，则OMN S ≥△，当1t =-，即0m =时，等号成立．【小问2详解】假设存在这样的定点(),0P n ．当直线的斜率不为0时，由（1）知()()()()()()112212121212,,PM PN x n y x n y x n x n y y my n my n y y ⋅=-⋅-=--+=--+())())2212121m y y mn y y n=+-⋅++②．将①代入②可得())222311m PM PN nm --+⋅=+- ，此时要想PM PN ⋅ 为定值，则3111--=-，得22n =-，从而12PM PN ⋅=- ．即存在这样的定点2,20⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭P 满足题意．当直线的斜率为0时，易知()()2111PM PN n n n ⋅=+-=- ，若2,20⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭P ，则12PM PN ⋅=- ，满足题意.综上，存在2,20⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭P 满足题意．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定k b 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值．【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=．令()0f 'x =，得x =e .列表如下：x (1,e)e (e ，+∞)()f 'x +–f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．。
福建省师大附中高三数学上学期期末考试试题 理
福建师大附中2014-2015学年第一学期期末考试卷高三数学 (理科)本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共50分一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知全集RU =，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=<≤-=-412|},02|1x x B x x A ｛，则*****R C A B⋂=（）（） A. (,2](1,)-∞-⋃-+∞ B ．(,2)[1,)-∞-⋃-+∞ C ．(,)-∞+∞ D ．(2,)-+∞2.设随机变量X 服从正态分布N （0， 1），P （X>1）= p,则P （X>－1）=（ ******* ） A ．1－2p B ． p C ．1－p D ．2p3． 定义：错误!未找到引用源。
.若复数错误!未找到引用源。
满足错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
等于（******* ）A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
4．已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（******* ） （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m I（2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβαI I （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）5．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（******* ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．456． 函数21,0()2,0xog x x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充要条件是（******* ）A ．01a a ≤>或B ．102a <<C ．0a >D ．0a ≤ 7．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=o，且12F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（******* ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．28．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2BF FO =u u u r u u u r ，则FD FE ⋅u u u r u u u r的值是 （*******）正视图 侧视图A ．34-B ．14-C ．89-D ．49- 9．已知抛物线22(0)y px p => 的焦点为F,准线为l ,,A B 是抛物线上的两个动点,且,3AFB π∠=设线段AB 的中点M 在l 上的射影为N ,则MN AB的最大值是（******* ） A ．12 B. 1C. 32D. 210．把曲线C ：)8cos()87sin(ππ+⋅-=x x y 的图像向右平移)0(>a a 个单位，得到曲线C '的图像，且曲线C '的图像关于直线4π=x 对称，当]823,812[ππ++∈b b x （b 为正整数）时，过曲线C '上任意两点的斜率恒大于零，则b 的值为（******* ）A ．4B ． 3C ．2D ． 1第Ⅱ卷 共100分二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置.11．2)n x的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ******* ．12． 某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的 边界为直角梯形，则该几何体的体积是 ******* ．13． 若,x y 满足 30,10,350,x y x y x y +-≥-+≥--≤则yx的最大值是*************** ．14．如图.A 1，A 2，…A m-1(m ≥2)将区间[0,l]m 等分，直线x=0，x=1, y=0和曲线y=e x所围成的区域为1Ω图中m 个矩形构成的阴影区域为2Ω,在1Ω中任取一点,则该点取自2Ω的概率等于 ******* ．15．已知函数sin ()xf x x=，下列命题正确的是******* .（写出所有正确命题的序号）①()f x 是奇函数;②对定义域内任意x ，()f x <1恒成立；` ③当32x π= 时，()f x 取得极小值； ④(2)(3)f f > ;⑤当x>0时，若方程|()f x |=k 有且仅有两个不同的实数解,()αβαββ>则·cos α=－sin β.三、解答题：本大题有6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17．（本小题满分12分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名教师，求该教师选择参加两项培训的概率;(2)任选3名教师，记ξ为3人中选择不参加培训的人数，求ξ的分布列和期望． 18．（本小题满分12分）已知(3sin cos ,1)a x x =-r ，(cos ,)b x m =r，函数()f x a b =•r r ()R m ∈的图象过点π(,0)12M .（Ⅰ）求m 的值以及函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形， 且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=o的菱形， M 为PB 的中点.(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.20．（本小题满分13分）.已知圆22:34O x y +=，椭圆22:1259x y C +=． （Ⅰ）若点P 在圆O 上，线段OP 的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P 的横坐标；（Ⅱ）现有如下真命题：“过圆222253x y +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆2222153x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”；“过圆222247x y +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆2222147x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”．据此,写出一般结论，并加以证明．21．(本小题满分14分)已知函数)1ln()(),(,12)(2+=∈+-=x x g R a x ax x f . ⑵ x x g y -=)(在]1,0[上的最小值.⑵若存在(0,)x ∈+∞使不等式2(1)()2xa x f x x e-->成立,求实数a 的取值范围. ⑶ 记函数)()()(x g x f x +=ϕ的图像为C ，l 为曲线C 在点)1,0(p 的切线，若存在21≥a ,使直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，求满足条件的所有a 的值.福建师大附中2014-2015学年第一学期期末考试卷解答一、选择题：BCABB ,AACBD; 二、填空题： 11． 112 12．1 13． 2 14.11(1)mm e - 15． ②④⑤三、解答题：本大题有6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）1122123222211.1,1;(1)(1)2.2,221,(2)(222...2)[1234...(21)2]222[(12)(34)...(21)2]1222n n n n n nn n n n a S n n n n n a S S nn a n a nT n n n n n -+===+---≥=-=-===∴==+++++-+-+++-+-⋅=+-++-+++-+-=+-经检验，符合21222n n T n +∴=+-17．（本小题满分12分）解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件A ，“该教师选择计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．………1分（1）任选1名，该教师选择参加两项培训的概率是1()0.60.750.45P P AB ==⨯= ……4分 （2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是0()=()()0.40.250.1P P AB P A P B ==⨯=． ……5分因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中选择不参加培训的人数ξ服从二项分布(30.1)B ，， …6分且33()0.10.9k k kP k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，， …8分即ξ的分布列是所以，ξ的期望是10.24320.02730.0010.3E ξ=⨯+⨯+⨯=．……12分 （或ξ的期望是30.10.3E ξ=⨯=．） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由()21π1cos cos 2(cos 21)sin(2)262f x x x x m x x m x m =-+=-++=--+．因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=，解得12m =.……4分 2,2T ππ==由222262k x k πππππ-≤-≤+，可得函数()f x 的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈……6分(Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……8分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……9分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分 所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…11分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……12分19. （本小题满分12分）解：(I)取DC 的中点O ，由ΔPDC 是正三角形，有PO ⊥DC ．又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O ．连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影．∴∠PAO 就是PA 与底面所成角．∵∠ADC =60°，由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形，从而求得OA =OP 3∴∠PAO =45°．∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°．……………………………4分 (II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°，DC =2，DO =1，有OA ⊥DC ．建立空间直角坐标系如图，………………………………………………………………5分则(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0)A P D -, (3,2,0),(0,1,0)B C ． 由M 为PB 中点，∴33(M ． ∴33(2,(3,0,3),DM PA ==u u u u r u u ur (0,2,0)DC =u u u r ． ∴333203)0PA DM ⋅=⨯=u u u r u u u u r ， 03200(3)0PA DC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r．∴PA ⊥DM ，PA ⊥DC ． ∴PA ⊥平面DMC ．……………………………8分(III)33(0,),(3,1,0)CM CB ==u u u u r u u ur ．令平面BMC 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n CM ⋅=u u u ur r ，从而x +z =0； ……①, 0n CB ⋅=u u u r r 30x y +=． ……②由①、②，取x =−1，则3,1y z ==． ∴可取(1,3,1)n =-r ．……………10分由(II)知平面CDM 的法向量可取(3,0,3)PA =u u u r，…………………………11分∴2310cos ,||||56n PA n PA n PA ⋅-<>===⋅u u u r r u u u r ru u u r r ．10．…………………………………………………13分法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取AP 的中点N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=o，则AO CD ⊥，又PO CD ⊥，则CD APO ⊥平面，即CD PA ⊥，又在PAB ∆中，中位线//MN 12AB ，1//2CO AB ，则//MN CO ，则四边形OCMN 为Y ，所以//MC ON ，在APO ∆中，AO PO =，则ON AP ⊥，故AP MC ⊥而MC CD C =I ，则PA MCD ⊥平面…………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知MC PAB ⊥平面，则NMB ∠为二面角D MC B --的平面角，在Rt PAB ∆中，易得6,PA =22226210PB PA AB =+=+=10cos 10AB PBA PB ∠===， 10cos cos()5NMB PBA π∠=-∠=-故，所求二面角的余弦值为105-.…………13分 20． （本小题满分13分） （Ⅰ）设点00(,)P x y ，则220034x y +=， （1） ……………………1分 设线段OP 的垂直平分线与OP 相交于点M ，则M 00(,)22x y ，……2分 椭圆22:1259x y C +=的右焦点(4,0)F ， ………………3分 MF OP ⊥Q ,∴1OP MF k k ⋅=-，∴ 000002142y y x x -⋅=--，∴2200080y x x +-=， （2）…………………………4分由（1），（2），解得0174x = ，∴点P 的横坐标为174． ……………5分（Ⅱ）一般结论为：“过圆2222x y a b +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆22221x y a b+=的两条切线，则这两条切线互相垂直．” ……………………7分证明如下：（ⅰ）当过点Q 与椭圆22221x y a b+=相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x a =±，Q 点Q 在圆2222x y a b +=+上 ，∴(,)Q a b ±±，∴直线y b =±恰好为过点Q 与椭圆22221x y a b+=相切的另一条切线∴两切线互相垂直．………………………………8分（ⅱ）当过点(,)Q m n 与椭圆22221x y a b+=相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为()y n k x m -=-，由22221,(),x y a b y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得 []222222()0b x a k x m n a b +-+-=， 整理得()222222222()2()0b a k x a k n km x a n km a b ++-+--=，……………9分 Q 直线与椭圆相切，∴42222222224()4()[()]0a k n km b a k a n km a b ∆=--+--=，整理得()()2222220m a k mnk n b --+-=，………………………10分∴221222n b k k m a-=-， ………………………11分 Q 点(,)Q m n 在圆2222x y a b +=+上，∴2222m n a b +=+， ∴2222m a b n -=-，∴121k k =-，∴两切线互相垂直，综上所述，命题成立．……………………………13分21．(本小题满分14分) 解:⑴0,10,111≤'∴≤≤-+='y x x y Θ,所以x x g y -=)(在]1,0[上单调递减，当1=x 时，12ln min -=y …………………（4分）2(1)()(2)2x a x f x e -->可化为2221212x xax a ax x a x e--+-><--()21,()22[1]0,11()0,()0+()(0),(0)1,1x x x x x h x x h x e e x e e h x h x h x h h a '=--∴=-=->>∴>>'∴<∴∞∴<=-∴<-Q 令且在(，）上是减函数，（10分）(3) 函数)(x ϕ的定义域为,1)0(,1122)(),,1(-='++-='+∞-ϕϕx ax x 所以在切点)1,0(p 处的切线l 的斜率为1-，因此，切线的方程为：1+-=x y 。
福州市师大附中届高三考前模拟考试数学试题及答案(文)
2014年师大附中高考模拟卷文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh = 其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则下图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82. 双曲线2244x y -=的离心率为（ ）C ． 3.设m R ∈，i 是虚数单位，则“1m =”是“复数2m m mi -+为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+,其中b 为7，据此模型,若广告费用为10万元，预报销售额等于（ ）A . 42.0万元B ．57.0万元C ．66.5万元D ．73.5万元5.函数()sin f x x x =在区间[0,4]上的零点个数（ ） A ．0 B ． 1 C ．2 D ．36.已知等差数列 245,4,3, (77)的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9 7.已知函数()sin(2)6f x x π=+，要得到()sin 2g x x =的图象，只需将()f x 图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位C. 向左平移12π个单位 D. 向右平移12π个单位 8.若221x y+=,则x y +的取值范围是( )A.[0,2]B. [2,0]-C.[2,)-+∞D. (,2]-∞- 9.一个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是10.下列命题中，错误．．的是（ ） A. 平行于同一平面的两个不同平面平行B. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一 个平面相交C.若直线l 与平面α相交但不垂直，则经过该直线l 有且只有一个平面β与α垂直D.若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线11.右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示 估计结果，则图中空白框内应填入 （ ）A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000MP = 12．定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和D2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得)(x f在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =,②sin ()x f x x=，③()f x =，④()xf x e -=， 其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ） A. 1 B.2 C. 3 D.4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置． 13. 曲线ln y x x =在1x =处的切线方程为 .14. 在ABC ∆中，满足222sin sin sin sin sin A B A B C +-=， 则C ∠=15. 若实数,x y 满足221x y y x y x ⎧+≤⎪≥⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最小值是 .16.设函数()122014122014f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x R ∈） ,四位同学研究得出如下四个命题，其中真命题的有_______________①()f x 是偶函数；②()f x 在(0,)+∞单调递增；③不等式()20142015f x <⨯的解集为∅；④关于实数a 的方程(23)(1)f a f a-=-可能有无数解．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km ）.经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120/x g km =乙.（Ⅰ）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km 的概率是多少？（Ⅱ）求表中x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.18. （本小题满分12分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)2a xb x ==-（Ⅰ）当a ∥b 时，求tan 2x 的值； （Ⅱ）求函数()()f x a b b =+⋅在[,0]2π-上的值域.19．（本小题满分12分）已知数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设2log (), 3,n n n b n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数， 求数列{}n c 的前21n +项和21n P +．20.(本小题满分12分）如图,菱形ABCD 的边长为6，060BAD ∠=，AC BD O =.将菱形沿对角线AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，得到三棱锥B ACD -，M 是棱BC 上的一点. （Ⅰ）若OM BC ⊥，求证：BC ⊥平面OMD ；（Ⅱ）若OM ∥平面ABD ，求三棱锥M ABD -的体积.21. (本小题满分12分）过x 轴上动点(,0)A a ，引抛物线23y x =+的两条切线AP 、AQ ，切点分别为P 、Q . （Ⅰ）若1a =-，求直线PQ 的方程；（Ⅱ）探究直线PQ 是否经过定点，若有，请求出定点的坐标否则，请说明理由；22.(本小题满分14分）A B D M C O已知函数2()()x f x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，令()'()h x f x =，求()h x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <. (ⅰ)求实数a 的取值范围； (ⅱ)证明：1()12ef x -<<-. (注：e 是自然对数的底数)2014年师大附中高考模拟卷参考答案BACDC CDDBD DC 1y x =-， 3π， 17. （本小题满分12分）解：（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）。