初高中衔接教材(自己修订版)

第一节 数与式的运算1.1.1． 绝对值及零点分段法一、知识点1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3.两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．二、例题例1：在下列条件下去掉绝对值（1）()221>---x x x ； (2)()3131≤≤---x x x ； (3)31-+-x x例2：解绝对值不等式（1）11<-x ； （2）212<-x ； （3）3121>+x ； （4）075≥+x ；（5）012<+x ； （6）012≤+x ；练习：①5<x ； ②10>x ；③123<x ； ④015323≥++x x ；⑤0153<+-x ； ⑥053≤-x例3：解不等式（1）134x x -+->； （2）5421≤-+-x x例4：（1）求函数441222+-++-=x x x x y 的最小值 （2）求函数441222+--+-=x x x x y 的最大值例5：作出下列函数图像（1）x y =； （2）1-=x y ； （3）21-+-=x x y ；（4）)2(1+-=x x y ； （5）322--=x x y ； （6）322--=x x y例6：（1）方程m x x =--322有4个解，求m 的取值围；（2）不等式131+≥-+-m x x 的解为一切实数，求m 的围。

练习：不等式组 113x x a -≤-≤无解，求a 的围。

1.1.2. 乘法公式一、知识点我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22+-=-；a b a b a b()()（2）完全平方公式222±=±+．()2a b a ab b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．二、例题例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．练习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； （3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题： （1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 例3 （1）已知2,3==+xy y x ，求33y x +与22y x +的值；（2）已知：6,11,6==++=++xyz yz xz xy z y x ，求222z y x ++与)1)(1)(1(---z y x 的值；（3）已知：23,23+=-=b a ，求33b a +与33b a -的值；（4）已知：0132=++x x ，求值：①221x x +；②441x x +；③361x x +；练习：1．已知：2=+b a ，求336b ab a ++的值；2．已知：31=-x x ，求331xx -的值； 3．若z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值；4．设2)()1(2-=---b a a a ，求ab b a -+222的值； 5．计算：（1）)()(222y xy x y x +-+=________________； （2）2(2)2(2)y z y z y z ⎡⎤-++=⎣⎦____________________________； (3)22211111()()()42424x x x x x --+++=________________________； (4)[][]{}xy y x y x xy y x y x +-+-+-22)()()()(=__________________________； (5) =++-)413)(161439(2x x x _________________________________； (6)[]=++-2242)42)(2(a a a ________________________________； 6．已知：xy y x y x 44,622≤+=+，求33y x +的值。

7．若56,733=-=-y x y x ，求22y xy x ++的值； 8．已知：x 、y 、z 是正实数，且33222,0x y y z y yz z -=-----=，求z x -的值；1.1.3．二次根式一、知识点0)a≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b212x++，22x y++1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例一般地，b与b互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b=≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．的意义a==,0,,0.a aa a≥⎧⎨-<⎩二、例题例1 将下列式子化为最简二次根式：（1（20)a≥；（30)x<．例2 (3÷．例3 试比较下列各组数的大小：（1和 （2和.例4 化简：20042005+⋅．例 5 化简：（1 （21)x <<例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．练习：1．填空：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若x =+=______ __． 2．选择题：= （）（A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<1.1.4．分式1．分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质：A A MB B M ⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式 像ab c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 例1 若54(2)2x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯L ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+L ．拓展练习:1． 解不等式 327x x ++-<2． 设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab +--的值．4． 设x =，求4221x x x ++-的值．5．化简或计算：(1)(2)6．（1）已知0a b c ++=， 求111111()()()a b c b c c a a b +++++的值．（2）若2x =，8.( )（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<9.计算 （ ）（A （B （C ） （D ）10．解方程22112()3()10x x x x +-+-=．11．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯L ．12．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++L ＜14 ．第二节分解因式1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4]2++=a b c()[5]33+=(立方和公式)a b[6] 33-=(立方差公式)a b由于因式分解与整式乘好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于+++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，四项以上的多项式，如ma mb na nb可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法（1）2()x p q x pq+++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵2()=+++=+++=++，x px qx pq x x p q x p x p x q +++2()()()()x p q x pq∴2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法例1 （公式法）分解因式：(1) 34381a b b -； (2) 76a ab -例2 （分组分解法）分解因式：（1）2222()()ab c d a b cd ---（2）2222428x xy y z ++-例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2524+-(2) 2215x x--x x(3) 22x x x x+-++()8()12 +-(4) 222x xy y6例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- ；(2) 22568x xy y +-例5 （拆项法）分解因式3234x x -+【巩固练习】把下列各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+-(3) 464x +(4) 3223428x xy x y y --+拓展练习:1分解因式 （1）4324--m m （2）42249374b b a a +-（3）2221b ab a -+- （4）65104422+--++y x y xy x（5）233+-x x第三节 不等式解法1．一元二次不等式解的各种情形02>++c bx ax 或02<++c bx ax （0>a ）图象解法：注：0<a 的情形由学生行讨论例1：解下列不等式：（1）02322>--x x ； （2）2632>+-x x ； （3）01442>+-x x ； （4）0322>-+-x x ；练习：（1）012732<+-x x ； （2）0262≤+--x x ；(3)01442<++x x ； （4）0532>+-x x ；2. 分式不等式例2：解不等式：（1）073<+-x x （2）0412≥+-x x练习：解下列不等式：(1)x x <+23； (2)023>--x x ； (3)121≤+-x x ； (4)121≤+x ； (5)0)2()4(3(2≤-+-x x x ； (6)062<--x x ； (7)32>+x x ； (8) 053224>--x x ； (9) 057224<+-x x例3：（1）不等式022>++bx ax 的解为3121<<-x ，求22b a +的值；(2)函数3)1(4)54(22+-+-+=x k x k k y 的图像在x 轴上方，求k 的值；(3)函数3)1()1(22+++-=x m x m y 的自变量x 取值围是全体实数R ，求m 的围；(4)不等式03)1(2≥++-mx x m 恒成立，求m 的围；3．解高次不等式：例1：解下列不等式：(1)0)12)(2(2>--+x x x ； (2)0)6)(5)(1(>-+-x x x ； (3)0)6()5)(1(32≥-+-x x x ；例2：解下列不等式：(1)0110322≤---x x x ； (2)1413353222≥+---x x x x ； (3)0)2)(32)(1(22≥+---+x x x x x4.解含参数的不等式：(1)05622<--a ax x ； (2)0)(322>++a x a a x ；(3)01)1(2<++-x a ax ； (4)01)1(2<++-x a a x ；拓展练习:1．解下列不等式：(1) 2+<(2) 23180--≤x x x x20(3) 231-+≥+(4) (9)3(3) x x x+>-x x x2．解下列不等式： (1) 101x x +≥- (2) 31221x x +<- (3) 21x>- (4) 221021x x x -+>+3．解下列不等式：(1) 22222x x x ->+ (2)21110235x x -+≥4．解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．5．已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值围．6．若不等式2231x x k k+->+的解是3x >，求k 的值．7．a 取何值时，代数式2(1)2(2)2a a ++--的值不小于0？8.已知函数 221y x ax =-+ (a 为常数)在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．9.解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．10.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．第四节 一元二次方程及韦达定理一、知识点1.根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-； （2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．注：(1)使用判别式∆时要保证二次项系数0≠a ；(2)一元二次方程有实数根0≥∆⇔；(3)二次三项式c bx ax ++2为完全平方式0=∆⇔； (4)二次三项式 c bx ax ++2恒正⇔ 00<∆>a 或 00>==c b a ； 2.根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -=，22b x a-=， 则有1222b b x x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+---====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．二、例题讲解例1.判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数）（1）012=+-x x （2）2652+=-x x （3）03522=--x x （4）x 2－2x ＋a ＝0．练习：1.当k 为何值时，直线k kx y +=与抛物线562+-=x x y ， ①有两个交点； ②有一个交点； ③无交点；2. 若关于x 的一元二次方程0122=+-x kx 有两个不相等实数根，求的围； 3.m 取何值时，多项式5)22(22+++-m x m x 是一个完全平方式；例2.若方程01422=++x x 两根分别为1x 与2x ，求下列各式的值： (1)2221x x +； (2)2111x x +； (3)21x x -； (4)3231x x +；例3. 二次函数a x a x y 2)2(2--+= (1)a ≥与x 轴交于A 、B 两点，求AB 的最小值；练习：求二次函数2(2)2y x a x a =+--与直线1+=x y 截得弦长的最小值；例4：已知：实数a 、b 、c 满足427,0==++abc c b a ，求c 的围；例5：设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实根1x 、2x ，(1)若62221=+x x ，求m 的值； (2)求121211mx mx x x +--的最大值；例6：关于的一元二次方程0452=++-a ax x ， (1)两根同号，求a 的围； (2)两根异号，求a 的围；例7：是否存在常数k ，使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根1x 、2x 满 足2321=x x ，如果存在，试求出所有满足条件的k 值，如果不存在，请说明理由。