2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第20讲三角函数的图象与性质课件理

【例 2】 (1)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则 ω，φ
的值分别是( A )
A．2，－π3
B．2，－π6
C．4，－π6
D．4，π3
(2)如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、 初相各是( C )
(2)五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，具体
如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的
“峰点”)时 ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ωx＋φ＝π；“第
四点”(即图象的“谷点”)时 ωx＋φ＝32π；“第五点”时 ωx＋φ＝2π.
3.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画 2016，天津卷，15T 3.高考中常以选择、填空题的形式考查三角
出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω， 2015，湖北卷，17T 函数关系式、三角函数诱导公式、三角函数
φ 对函数图象变化的影响．
4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型，会用三角函数解决一些简单实际 问题.
分值：5～12 分
的奇偶性及对称性，属于中低档题．
4.以解答题的形式考查三角函数的单调性、 最值，常与平面向量、解三角形及三角恒等 变换相结合.
栏目导 航
板块一 板块二 板块三 板块四
• 1．“五点法”作图的原理
•(0在_,_0确_)_定__正、π2，弦_1_函__数__y_(＝_π、，si_n_0x_)在__[_0_,232_π、π，]_上－__的1__图__象_(2_形_π．状，时0，) 起关键作用的五个点是______、
• (3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后 平移”中平移的长度一致．( ×)
• (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象 中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )
解析：(1)错误．横坐标缩短，周期变小，ω 变大，故变换后，所得图象的解析式为 y＝sin 2x.
(2)正确．由正弦函数 y＝sin x 的图象易知． (3)错误．“先平移，后伸缩”的平移单位长度为 |φ|，而“先伸缩，后平移”的平 移单位长度为|ωφ|(ω>0)．故当 ω≠1 时平移的长度不相等． (4)正确．振幅 A 的值是由最大值 M 与最小值 m 确定的， 其中 A＝M－2 m.
2．y＝2sin2x－π4的振幅、频率和初相分别为( A )
性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴
2016，全国卷Ⅱ，7T 2016，四川卷，3T
2.三角函数的性质是高考的必考内容，常与
的交点等)，理解正切函数在区间－2π，π2内 的单调性．
2016，北京卷，7T 2016，全国卷Ⅲ，14T 2016，山东卷，7T
三角函数的图象结合，主要考查三角函数的 周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性．
( B)
A．x＝k2π＋56π，k∈Z
B．x＝k2π＋51π2，k∈Z
C．x＝k2π－π6，k∈Z
D．x＝kπ－1π2，k∈Z
解析：y＝sin2x＋π6的图象向右平移π4个单位长度，得 y＝sin2x－π4＋π6＝sin2x－π3.
令 2x－π3＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝51π2＋k2π，k∈Z.
sin12x＋π6的图象，所以
fπ6＝sin12×π6＋π6＝sinπ4＝
2 2.
•二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析
式
求 φ 常用的方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω 已知)或代入图象与直线 y＝b
的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
D．0，2
解析：由π2<x<π，ω>0 得，ω2π＋π4<ωx＋π4<ωπ＋π4.又 y＝sin x 在π2，32π上递减，
所以ωω2ππ＋＋π4π4≥≤π232π，，
解得12≤ω≤54，故选 A．
【例 4】 已知函数 f(x)＝4cos ωx·sinωx＋π4(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值； (2)讨论 f(x)在区间0，π2上的单调性． 解析：(1)f(x)＝4cos ωxsinωx＋π4 ＝2 2sin ωxcos ωx＋2 2cos2ωx＝ 2(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2 ＝2sin2ωx＋π4＋ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π，且 ω>0，所以22ωπ＝π，故 ω＝1.
第三章 三角函数、解三角形
第20讲 三角函数的图象与性质
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，
1.三角函数的图象，主要考查三角函数的图
了解三角函数的周期性．
象变换、三角函数解析式的求法及三角函数
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的
图象的应用．
单调减区间： 单调减区间：
单调增区间：
π2＋2kπ，32π＋
(2kπ，π＋2kπ)
_____2_k_π_(_k_∈__Z_)___ __(_k_∈___Z_)__________
－π2＋kπ，π2
＋kπ
__(_k_∈__Z_)__________________
奇偶性
_奇___函__数
则 g(x)的解析式应为 g(x)＝( A )
A．－sin x
B．sin x
C．－cos x
D．cos x
解析：y＝cos x―向单―左位―平长移度―π2个→y＝cosx＋π2＝－sin x.
4．将函数 y＝sin2x＋π6的图象向右平移π4个单位长度后得到的函数图象的对称轴是
___R_____
对称轴：
对称轴：
x_＝__k_π_＋__π2_(_k_∈__Z_)_； _x_＝___k_π_(_k__∈__Z__)__；
对称性
对称中心：
对称中心：
_(_k_π_，___0_)_(_k_∈___Z__) __k_π_＋__π2_，__0_(_k_∈__Z_)__
周期
__2_π_____
__2_π___
对称中心：_k2_π_，__0_(_k_∈__Z_)___ ___π___
函数 性质
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
单调增区间： 单调增区间：
－π2＋2kπ，π2
(－π＋2kπ，2kπ)
单调性 ____＋__2_k_π_(_k_∈__Z_)_； _(_k__∈__Z__)_________ ；
3
• 5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)பைடு நூலகம்图象如2图所示， 则ω＝___________.
解析：由图知，T4＝23π－π3＝π3，T＝43π.即2ωπ＝43π，故 ω＝32.
•一 三角函数图象的变换
• 三角函数图象的几种变换 • (1)平移变换： • ①沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右
减”，即φ>0，左移；φ<0，右移． • ②沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下
减”，即k>0，上移；k<0，下移．
(2)伸缩变换： ①沿 x 轴伸缩：由 y＝f(x)变为 y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的|ω1| 倍． ②沿 y 轴伸缩：由 y＝f(x)变为 y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A| 倍．
•三 三角函数的单调性
• 三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
• (1)已知三角函数的解析式求单调区间：
• ①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简， 并注意复合函数单调性“同增异减”的规律；
• ②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调 区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求 解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数， 防止把单调性弄错．
(2)将函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一 半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到 y＝sin x 的图象，则 fπ6＝____2_2____.
解析：(1)该函数的周期为 π，将其图象向右平移π4个单位后，得到的图象对应的函
A．2，1π，－π4
B．2，21π，－π4
C．2，1π，－π8
D．2，21π，－π8
解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数 y＝2sin2x－π4的振幅为 2，周期为 π，
频率为1π，初相为－π4.
3．函数 y＝cos x(x∈R)的图象向左平移π2个单位长度后，得到函数 y＝g(x)的图象，
(A>0，ω>0)，x∈[0， ＋∞)
表示一个振动量时)
A
_____
周期
2π ω
T＝______
频率
ω 2π
f＝______
相位
ωx＋φ
______
初相
Φ
______
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)把 y＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的 函数解析式为 y＝sin12x.( × ) (2)正弦函数 y＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点是(0,0)，π2，1，(π，0)， 32π，－1，(2π，0)．( √ )
数为 y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选 D．
(2)把函数 y＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到 y＝sinx＋π6的图象，再把函数