2021届江苏省南京市程桥高级中学高三上学期第一次月考数学试题Word版含答案

2021届江苏省南京市程桥高级中学高三上学期第一次月考
数学试题
时间：120分钟 分值：160分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．已知集合{}1,6,9A =，{}1,2B =，则A B = ▲ ．
2．复数(1i +2
)a bi =+（,a b 是实数，i 是虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 3．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲ ．
4．为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800，则从初中抽取的学生人数为 ▲ ．
5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S 的值是 ▲ ． 6．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是
▲ ．
7．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点．若
14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -的体积为 ▲ ．
8. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则
S 7 = ▲ ．
9. 设α为锐角，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭ ▲ .
第5题
开始 是 输出S 否 n ←1，S ←0
n ≤3
S ←2S +1 n ←n +1
结束
10. 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a
（1 t ）b ．若b ·c = 0，则实数t
的值为 ▲ ．
11. 已知22(0),
()(0)
x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲ ．
12. 在直角坐标系xOy 中，已知A （
1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224
x y +=上的点P 的个数为 ▲ ．
13. 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x
y 的最小值为 ▲ ．
14. 若21
01
m x mx -<+（m
0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）
在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2
a C c
b +=． （1）求角A 的大小；
（2）若15a =，4b =，求边c 的大小．
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：
（1）PA ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．
17.（本题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，
上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为25
5
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.
18.（本题满分16分）
如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2
MON π
∠=
，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD
作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN . （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ；
（2）设AOB θ∠=，求A 在MN 上何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？
O
A B
C
D
M
N
19．（本小题满分16分）
设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；
（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，
k ≥－1
2
恒成立，求t 的最大值；
（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．
20．（本小题满分16分）
已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：
222*
13,0,2.n n n n S n a S a n n N -=+≠≥∈，
（1）若数列{a n }是等差数列，求a 的值；
（2）确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．
2021届江苏省南京市程桥高级中学高三上学期第一次月考
数学试题参考答案
1.{1}
2.2
3.∞（3,+）
4.100
5.7
6.16
7.23 8.149.
2
1010.211.（-1，2） 12.213.26-3 14.1-2
∞（，-）
17.解：（1）由题意知，直线l 的方程为2()y x a =-，即220x y a --=，
∴右焦点F 到直线l 的距离为
2225
5
c a -=
，1a c ∴-=， ……………………2分 又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以2
4
a c =
，将此代入上式解得2,1a c ==，23b ∴=， ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +
=； ……………………6分 （2）由（1）知3)B ，(1,0)F ，……………………8分
∴直线BF 的方程为3(1)y x =-， ……………………10分
联立方程组223(1)143y x x y ⎧=--⎪⎨+
=⎪⎩，解得8533x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或03x y =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍），即833(,5P ， …………12分 ∴直线l 的斜率33
0()
3355
k --
=
=……………………14分 方法二: 由（1）知3)B ，(1,0)F ，∴直线BF 的方程为3(1)y x =--，由题(2,0)A ，显然直线l 的
斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组3(1)
(2)y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得23333k x k k
y k ⎧+=⎪
+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，代入椭圆
解得：33k =
或3k =，又由题意知，303
k y k -=<+得0k >或3k <-，所以33
k =.
方法三：由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)14
3y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
得()2
2
2
2
431616120k x k x k +-+-=，2
2
1643
A P k x x k +=+， 所以
2222
168624343P k k x k k -=-=++,21243P k
y k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，
2
4
3k =
+，解得k =或k =，又由题意知，0y =<得0k >或k <，所以k =.
18.解：（1）如图，作OH AB ⊥于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，
6AOB π
∴∠=， …………2分
2sin ,cos 1212
AB R OH R ππ
∴==，
1sin 212OE DE AB R π===cos sin 1212EH OH OE
R ππ⎛
⎫∴=-=- ⎪⎝
⎭ …………4分
222sin cos sin 2sin cos 2sin 121212121212S AB EH R R R ππππππ⎛⎫⎛
⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22sin cos 166R R π
π⎛⎫=+-= ⎪⎝
⎭ …………6分
（2）设02AOB πθθ⎛
⎫∠=<< ⎪⎝⎭ …………7分
则2sin ,cos 22AB R OH R θθ∴==，1sin 22
OE AB R θ
==
cos sin 22EH
OH OE R θθ⎛
⎫∴=-=- ⎪⎝⎭ …………9分
222sin cos sin 2sin cos 2sin 222222S AB EH R R R θθθθθθ⎛⎫⎛
⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
()22sin cos 114R R πθθθ
⎤⎛
⎫=+-=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ …………12分
0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3,444πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭42ππθ∴+=即4πθ=时，
)
2max 1S R =
-，此时A 在弧MN 的四等分点处…………15分
答：当A 在弧MN 的四等分点处时，)
2max 1S R = …………16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）f ′(x )＝3x 2
－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3
或x ＜0时，f ′(x )＞0，
所以(－∞，0)和(2t
3
，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；
当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t
3)为函数f (x )的单调减区间．………………4分
（2）因为k ＝3x 02
－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0
恒成立，…………………6分
因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋1
2x 0
≥2
3x 0×1
2x 0
＝6，
即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝6
6时取等号．
所以2t ≤6，即t 的最大值为
6
2
．…………………8分 （3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t
3
27．
因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 所以直线l 的方程为y ＝－4t
3
27
．…………………10分
令f (x )＝－4t 3
27，所以x 2
(x －t )＝－4t 3
27，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3．
所以C （2t 3，－4t 3
27），D （－t 3，－4t
3
27）．…………………12分
因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．
AD ＝
(－t 3)2
＋(－4t 3
27
)2
，且AD ＝AB ＝t ， 所以
(－t
3)2
＋(－4t 3
27)2＝t ，解得：t ＝3
2
．…………………16分 20．（本小题满分16分）
解：（1）在S 2n ＝3n 2
a n ＋S 2
n －1中分别令n ＝2，n ＝3，及a 1＝a 得
(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2
，
因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．…………………2分
因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3．……4分 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n (n ＋1)2，S n －1＝3n (n －1)2
满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2
n －1． （2）由S 2n ＝3n 2
a n ＋S 2n －1，得S 2n －S 2n －1＝3n 2
a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2
a n ，
即(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n ，因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2
，(n ≥2)，①……………6分
所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2
，②
②－①，得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3，(n ≥2)．③………………8分 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9，④
④－③，得a n ＋2－a n ＝6，(n ≥2)
即数列a 2，a 4，a 6，…，及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列，………10分 因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，
3n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，
…………………12分
要使数列{a n }是递增数列，须有
a 1＜a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n ＜a n ＋1，且当n 为偶数时，a n ＜a n ＋1， 即a ＜12－2a ，
3n ＋2a －6＜3(n ＋1)－2a ＋6(n 为大于或等于3的奇数)， 3n －2a ＋6＜3(n ＋1)＋2a －6(n 为偶数)， 解得94＜a ＜154
．
所以M ＝(94，15
4)，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．………………16分。