求函数解析式及值域的基本方法

求函数解析式的基本方法

求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。

一、定义法

根据函数的定义求其解析式的方法。

例1. 已知x 2x )1x (f +=+，求)x (f 。

解：因为

)

1x (1x )x (f ,

11x ,

1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以

二、换元法

已知)x (g ),x (f )]x (g [f 把求看成一个整体t ，进行换元，从而求出)x (f 的方法。

例2. 同例1。 解：令2)1t (x ,1t x ,1t ,t 1x -=-=≥=+则，

所以)1t (1t )1t (2)1t ()t (f 22≥-=-+-=，

所以)1x (1x )x (f 2≥-=。 评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x (f 的定义域。

三、方程组法

根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。

例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-，求)x (f 的解析式。 解：1x )x (f 2)x (f +=+- ， ①

1x )x (f 2)x (f +-=-+∴

② ②①-⨯2得1x 3)x (f 3+=， 所以31x )x (f +=。

评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。

四、特殊化法

通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。

例 4. 已知函数)x (f 的定义域为R ，并对一切实数x ，y 都有)1y 2x (x )y (f 3)x (f )y x (f 2++++=-，求)x (f 的解析式。

解：令

x x )0(f 3)x (f )x (f 20y 2+++==得， 令)0(f 3)0(f )0(f 20y x +===得，

所以0)0(f =，

所以

)R x (x x )x (f 2∈+=

五、待定系数法

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。

例5. 已知二次函数)x (f 的二次项系数为a ，且不等式x 2)x (f ->的解集为（1，3），方程0a 6)x (f =+有两个相等的实根，求)x (f 的解析式。

解：因为的0x 2)x (f >+解集为（1，3），

设0a ),3x )(1x (a x 2)x (f <--=+且，

所以x 2)3x )(1x (a )x (f ---=

a 3x )a 42(ax 2++-=

①

由方程0a 6)x (f =+ 得0a 9x )a 42(ax 2=++- ②

因为方程②有两个相等的实根，

所以0a 9a 4)]a 42([2=⋅-+-=∆，

即,01a 4a 52=-- 解得51a 1a -==或 又51

a ,0a -

=<所以，

将51

a -=①得

53x 56x 51)x (f 2---=。

六、函数性质法

利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。

例6. 已知函数)x (f y =是R 上的奇函数，当

)x (f ,13)x (f ,0x x 求时-=≥的解析式。 解析：因为)x (f 是R 上的奇函数，

所以)x (f )x (f ),x (f )x (f --=-=-即，

当0x ,0x >-<时，

13)13()x (f )x (f x x +-=--=--=--

所以

⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=-0x ,130x ,13)x (f x x

函数值域的八大求法

方法一：观察法

例1. 求函数2x 4y -=的值域。 解析：由]2,0[x 4,0x 40x 222∈-≥-≥知及。 故此函数值域为]2,0[。

评注：此方法适用于解答选择题和填空题。

方法三：反函数法

例3. 求函数)4x (2x 1x y -≥+-=的值域。 解析：由2x 1x y +-=得

y 11y 2x -+=。 由4x -≥，得4y 11y 2-≥-+，解得1y 25y <≥或。

∴此函数值域为),25[)1,(+∞⋃-∞。

评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于x 为一次的情形。

方法四：分离常数法 注意形如)ad bc ,0a (b ax d cx y ≠≠++=的值域为),a c ()a c ,(+∞⋃-∞。

方法五：判别式法

例5. 求函数

1x x 1x y 22--+=的值域。 解析：原式整理可得0)1y (yx x )1y (2=+---。

当01y =-即1y =时，2x -=原式成立。

当01y ≠-即1y ≠时，0)]1y ()[1y (4y 2≥+---=∆，解得552y 552y -≤≥或。 综上可得原函数值域为),552[]552,(+∞⋃--∞。

评注：此方法适用于x 为二次的情形，但应注意01y =-时的情况。

方法六：图象法

例6. 求函数1x 1

y -=)0x (1≥-的值域。

解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为),1(]2,(+∞-⋃--∞。 评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。

方法七：中间变量法

例7. 求函数

5x 3x y 22-+=的值域。