2019-2020年高考数学二轮复习专题六应用题教学案

合集下载

2020版高考数学二轮复习专题教案汇编全集理

第1讲三角函数的图象与性质[做小题——激活思维]1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．πD ．π2C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π.故选C.] 2．函数y ＝cos 2x 图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2D [由题意易知其一条对称轴的方程为x ＝π2，故选D.]3．函数g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值为________．－32 [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.]4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) [由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．]5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该函数的解析式为________．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3[由题图易知A ＝2，由T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，可知ω＝2πT ＝2ππ＝2.于是y ＝2sin(2x＋φ)，把⎝⎛⎭⎪⎫π6，0代入y ＝2sin(2x ＋φ)得，0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ，故π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|＜π2，故φ＝－π3，综上可知，该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.]6．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为________．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12 [将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6――――――――――――→函数图象上所有的点向左平移π4个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12―――――――――――→横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin 12x ＋5π12.][扣要点——查缺补漏]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)表达式的确定A 由最值确定；ω由周期确定T ＝2πω；φ由五点中的零点或最值点作为解题突破口，列方程确定即ωx i ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，如T 5.2．三种图象变换：平移、伸缩、对称注意：由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需向左或向右平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位，如T 6.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的性质研究三角函数的性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正、余弦函数与复合函数的性质求解．(1)T ＝2πω，如T 1.(2)类比y ＝sin x 的性质，将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看作一个整体t ，可求得函数的对称轴、对称中心、单调性、最值．①y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得，对称中心可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．②y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得，对称中心可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．注意对称中心必须写成点坐标．如T 2.③y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数，对称中心可由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )求得．④单调性、最值，如T 3，T4.三角函数的值域、最值问题(5年3考)[高考解读] 高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，求最值时，一般化为f x ＝A sin ωx ＋φ＋B 的形式或化f x 为二次函数形式，难度中等.预测2020年会依旧延续该命题风格.1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．－4 [∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (x )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (x )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (x )有最小值－4.]2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．1 [f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.] 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．－332[因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，2k π＋π3≤x ≤2k π＋π或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332.] [教师备选题]1．(2013·全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.－255 [y ＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，设15＝cos α，25＝sin α，则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)． ∵x ∈R ∴x －α∈R ，∴y max ＝ 5. 又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.]2．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φ·cos(x ＋φ)的最大值为________．1 [∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.]三角函数值域(最值)的3种求法(1)直接法：利用sin x ，cos x 的有界性直接求．(2)单调性法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，采用整体思想，求出ωx ＋φ的范围，根据y ＝sin x 的单调性求出函数的值域(最值)．(3)换元法：对于y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 和y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x cos x ＋c 型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．1．(求取得最值时的变量x )当函数y ＝3sin x －cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.2π3 [∵y ＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∵0≤x ＜2π，∴－π6≤x －π6＜11π6.∴当x －π6＝π2，即x ＝2π3时，函数取得最大值．]2．(求参数的范围)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π3上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3 [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π3上有最大值，但没有最小值，所以ω·π12＋π4＜π2＜ω·π3＋π4≤3π2⇒ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3.] 3．(与导数交汇求最值)已知函数f (x )＝2cos x ＋sin 2x ，则f (x )的最大值为________． 332 [∵f ′(x )＝－2sin x ＋2cos 2x ＝2－4sin 2x －2sin x ＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，由f ′(x )＝0得sin x ＝12或sin x ＝－1.∴当－1＜sin x ＜12时，f ′(x )＞0，当12＜sin x ＜1时，f ′(x )＜0.∴当sin x ＝12时，f (x )取得极大值．此时cos x ＝－32或cos x ＝32. 经验证可知，当cos x ＝32时，f (x )有最大值，又f (x )＝2cos x (sin x ＋1)， ∴f (x )max ＝2×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝332.]三角函数的图象(5年5考)[高考解读] 高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换.前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力.估计2020年高考会侧重考查三角函数图象变换的应用.1.(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 A [根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A ，ω与φ的值．由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D.] [教师备选题](2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．2π3 [因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法字母确定途径说明A 、B 由最值确定 A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2ω由函数的周期确定利用图象中最高点、最低点与x 轴交点的横坐标确定周期φ由图象上的特殊点确定代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ提醒：三角函数图象的平移问题(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，如T 2. (2)将y ＝sin ωx (ω＞0)的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应把ωx ＋φ变换成ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω，根据⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω确定平移量的大小，根据φω的符号确定平移的方向．1.(知图求值)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f (2 019)的值为________．－1 [由题图易知，函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－1＝6，所以ω＝2πT ＝π3，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，将(0,1)代入，可得A sin φ＝1，所以f (2 019)＝f (6×336＋3)＝f (3)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝－A sin φ＝－1.]2．(平移变换的应用)将偶函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π12，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋π6，0(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋7π36，0(k ∈Z )A [因为函数f (x )＝sin(3x ＋φ)为偶函数且0＜φ＜π，所以φ＝π2，f (x )的图象向右平移π12个单位长度后可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，分析选项知⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )为曲线y ＝g (x )的对称中心．故选A.]3．(与函数的零点交汇)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[1,2]C ．(0,1]D ．(1,2)A [画出函数f (x )在[0,2π]上的图象，如图所示：若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，即y ＝f (x )和y ＝m 在[0,2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，知0＜m ＜1.]三角函数的性质及应用(5年7考)[高考解读] 高考对该点的考查主要立足两点，一是函数性质的判断或求解，二是利用性质求参数的范围值，准确理解y ＝sin x y ＝cos x 的有关性质是求解此类问题的关键.预测2020年以考查函数性质的应用为主.1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 D [A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，由f ⎝⎛⎭⎪⎫8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋π3＝cos 3π＝－1，可知B 正确；C 项，由f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π＝－cos π2＝0，故C正确．D 项，由f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝cos π＝－1可知，D 不正确．]2．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．πA [法一：(直接法)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0＜a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.法二：(单调性法)因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象(图略)，可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4，所以0＜a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.]3．[重视题][一题多解](2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③C [法一：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确；当π2＜x ＜π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.法二：∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2＜x ＜π时，f (x )＝sin x ＋sin x＝2sin x ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；∵y ＝sin |x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.法三：画出函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的图象，由图象可得①④正确，故选C.][教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D [由图象知，最小正周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.]2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5B [先根据函数的零点及图象、对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36的区间长度不大于函数f (x )周期的12，然后结合|φ|≤π2计算ω的最大值．因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件．故选B.]1．求三角函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线(余弦曲线)相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．1．(求单调区间)(2019·武昌调研)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) B [因为f (x )＝232sin ωx －12cos ωx ＝2sin ωx －π6，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B.]2．(求参数的值)已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92D ．6A [依题意，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＝0，∴2π3ω＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝3k2(k ∈Z )．又f (x )＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，∴0＜ω·π4≤π2，即0＜ω≤2.∴k ＝1，ω＝32，故选A.]3．(求参数的范围)(2019·攀枝花模拟)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3(ω＞0)同时满足下列三个条件：①|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π2；②y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3是奇函数；③f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.若f (x )在[0，t )上没有最小值，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，5π12B.⎝⎛⎦⎥⎤0，5π6C.⎝⎛⎦⎥⎤5π12，11π12D.⎝⎛⎦⎥⎤5π6，11π12D [由①得周期为π，ω＝2.由y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3是奇函数且f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，可得其中一个φ＝－2π3，那么f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵x ∈[0，t )，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，2t －π3.因为f (x )在[0，t )上没有最小值，可得t ＞0，且f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－32，4π3＜2t －π3≤3π2，解得5π6＜t ≤11π12，故选D.]第2讲恒等变换与解三角形[做小题——激活思维]1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B.59 C.53D ．1B [根据a sin A ＝bsin B，有313＝5sin B ，得sin B ＝59.故选B.] 2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.π3或2π3C [由a 2＝b 2＋bc ＋c 2，得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理的推论得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝2π3.]3．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．17C ．－7D ．－17B [sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝－[cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β]＝－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.] 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，C ＝π3，△ABC 的面积为334，则c ＝( )A ．13B ．3 3C ．7D ．13C [∵△ABC 的面积为334，∴12ab sin C ＝12×3×b ×32＝334，∴b ＝1，∴由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝32＋12－2×3×1×12＝7.故选C.]5．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.－56 [sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1 ＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.] 6．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． π [∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.][扣要点——查缺补漏]1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，如T 1. 2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，如T 2.3．如图所示，在△ABC 中，AD 平分角A ，则AB AC ＝BDDC.4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan α1∓tan αtan β，如T 3.5．面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )·r (其中r 为△ABC 内切圆的半径)，如T 4.6．二倍角公式及其变形 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.如T5. 7．辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2，如T6.三角恒等变换(5年3考)[高考解读] 高考对该点的考查突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”.从“角”入手，用活三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.预测2020年高考还是以给值求值为主.1．[一题多解](2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α ＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－725D [法一：(公式法)cos π4－α＝35，sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－725，故选D.法二：(整体代入法)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(sin α＋cos α)＝35，得sin α＋cos α＝352，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1825，即sin 2α＝2sin αcos α＝－725.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.－12 [∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.][教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]2．[一题多解](2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2B [法一：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ，∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z . 当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.]三角函数式化简求值的“三看”原则(1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分； (2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；(3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一．1．(给值求值)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255 C.2525或255D.55或525A [因为α，β都是锐角，且cos α＝55＜12，所以π3＜α＜π2，又sin(α＋β)＝35＞12，所以π2＜α＋β＜5π6，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255，cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525，故选A.]2．(给角求值)(2019·安阳模拟)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1C [sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－cos 70°sin 20°＝－1.]3.(给值求角)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255，则α＋2β的值为________．3π4 [∵cos α＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝7210，∴tan α＝7；cos β＝255，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝55， ∴tan β＝12，∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝43， ∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋2β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2，∴α＋2β＝3π4.]利用正、余弦定理解三角形(5年11考)[高考解读] 高考对该点的考查常以平面几何图形为载体，借助三角恒等变换公式及正余弦定理实现边角的相互转化，从而达到求值的目的，预测2020年高考依旧这样考查. 1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6C [根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab＝cosC ，所以在△ABC 中，C ＝π4.]2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．切入点：△ABC 面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .关键点：余弦定理公式的变形：a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A. [解](1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A.故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33. [教师备选题]1．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为____________．63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.]2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解](1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin∠ADB .由题设知，5sin 45°＝2sin∠ADB ，所以sin∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB ＜90°，所以cos∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos∠BDC ＝sin∠ADB ＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×2 5＝25.即BC＝5.用正、余弦定理求解三角形注意2点,1分析已知的边角关系，选择恰当的公式、定理.,结合三角形固有的性质三角形内角和，大边对大角等求解三角形.2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A中，有b2＋c2和bc两项，二者的关系b2＋c2＝b＋c2－2bc经常用到.提醒：解三角形时忽视对三角形解的个数讨论而出错.1．(以平面图形为载体)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B. 6C.7D ．2 2C [如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.]2．(知识间的内在联系)已知△ABC 的面积为S ，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4S ＝a 2－(b －c )2，bc ＝4，则S ＝( )A ．2B ．4 C. 3D ．2 3A [由4S ＝a 2－(b －c )2可得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，∴2bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，即sin A ＋cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝22，又0＜A ＜π，所以π4＜A ＋π4＜5π4，即A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4＝2.故选A.]3．(以空间图形为载体)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.1039 [设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h .在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，则由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m ．]4．(恒等变换与解三角形)(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．[解](1)∵a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.∴由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝9＋(b －2)2－2×3×(b －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∴b ＝7，∴c ＝b －2＝5.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－12，∴s in B ＝32，由正弦定理：c sin C ＝bsin B ，∴sin C ＝c sin Bb ＝5×327＝5314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C ＝1114，∴sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝32×1114－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×5314＝437. 与三角形有关的最值(范围)问题(5年1考)[高考解读] 与三角形有关的最值范围问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题，借助三角函数的有界性及均值不等式建立不等关系是解答此类问题的关键所在.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A.(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．切入点：(1)借助正弦定理及三角形内角和定理求解；(2)由△ABC 为锐角三角形求得C 的范围，借助正弦定理及三角函数的有界性求面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A.因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin 120°－C sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32. [教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．(6－2，6＋2) [如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，B Esin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.]2．(2013·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．[解](1)由题意及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ②由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解．策略二：借助正、余弦定理，化角为边，然后借助均值不等式对含有a 2＋b 2，a ＋b ，ab 的等式求最值．1．(角度的最值范围问题)(2019·武汉模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，则角B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC [∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，故选C.] 2．(长度的最值范围问题)在△ABC 中，若C 是钝角，且B ＝π3，则ca 的取值范围是________．(2，＋∞) [∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理，得c a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即ca＞2.] 3．(综合应用)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(sin C ，sin A )，且m ∥n .(1)若cos A ＝12，b ＋c ＝6，求△ABC 的面积；(2)求absin B 的取值范围．[解] 因为m ∥n ，所以sin 2A ＝sinB sinC ，结合正弦定理可得a 2＝bc . (1)因为cos A ＝12，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即b ＋c 2－3bc 2bc ＝12，解得bc ＝9.从而△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝12×9×32＝934，故△ABC 的面积为934.(2)因为a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时，取等号)．因为0<A <π，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.由正弦定理，知0<absin B ＝sin A ≤32，所以a b sin B 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，32.解密高考① 三角函数问题重在“变”——变式、变角————[思维导图]————————[技法指津]————1．常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换，如：75°＝30°＋45°； (2)已知角与目标角的变换，如：π3＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α； (3)角与其倍角的变换，如：α＋β＝2·α＋β2；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等．2．常用的变式技巧(1)解决与三角函数性质有关的问题，常先将它的表达式统一化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；(2)涉及sin x ±cos x 、sin x ·cos x 的问题，常做换元处理，如令t ＝sin x ±cos x ∈[－2，2]，将原问题转化为关于t 的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sin C. 本题考查：三角恒等变换、正(余)弦定理等知识，等价转化、转化化归的能力，数学运算、逻辑推理等核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到sin A、sin B、sin C的等量关系，想到利用正(余)弦定理求A；(2)看到边a，b，c的等量关系想到利用正弦定理化边为角，看到求sin C想到B＝180°－A－C；缺与角C的相关的三角函数值，借助同角三角函数的关系补找该条件．[构建模板·四步解法] 三角函数类问题的求解策略第一步找条件第二步巧转化第三步得结论第四步再反思分析寻找三角形中的边角关系根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化利用三角恒等变换进行变形，得出结论审视转化过程的等价性与合理性母题突破：2019年天津高考，本小题满分12分在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C . (1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． [解](1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sinC ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a . 1分又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a . 2分由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.4分(2)由(1)得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 5分从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158， 6分 cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，8分故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6 10分＝－158×32－78×12＝－35＋716. 12分第1讲等差数列、等比数列[做小题——激活思维]1．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( ) A ．9 B ．22 C ．24D ．32C [依题意得，数列{a n }是公差为2的等差数列，a 1＝a 2－2＝3，因此数列{a n }的前4项和等于4×3＋4×32×2＝24，选C.]2．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2nA [设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n n －12d ＝n 2－4n .故选A.]3．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28D ．35C [∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.]4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－13，则{a n }的前10项和等于________．34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1310 [由3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－13得{a n }成首项为1，公比q ＝－13的等比数列，∴S 10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1310.] 5．在等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 4a 6等于________．32 [因为a 2a 8＝a 4a 6＝6 ①，又a 4＋a 6＝5 ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 6＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 6＝3(舍)，所以a 4a 6＝32.][扣要点——查缺补漏]1．判断等差(比)数列的常用方法 (1)定义法：若a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＝q ，q 为常数，q ≠0，则{a n }为等差(比)数列，如T 1，T 4.(2)中项公式法． (3)通项公式法．2．等差数列的通项公式及前n 项和公式 (1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ； (2)S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d .如T 2.3．等比数列的通项公式及前n 项和公式 (1)a n ＝a 1qn －1＝a m ·qn －m(q ≠0)；(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.如T 4.4．等差数列与等比数列的性质(1)在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .如T 3.(2)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．(3)在等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等差数列．(4)在等比数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .如T 5. (5)在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外).等差(比)数列的基本运算(5年9考) [高考解读] 高考对该点的考查以等差数列、等比数列的通项公式与求和公式为考查目。

2019-2020年高三数学第二轮复习教案数列问题的题型与方法二人教版

一、考试内容数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

二、考试要求1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

三、复习目标1．能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．四、双基透视1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

(2)通项公式法：①若 = +（n-1）d= +（n-k）d，则为等差数列；②若，则为等比数列。

(3)中项公式法：验证都成立。

3. 在等差数列中,有关S n的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

2019届二轮复习专题六实验第Ⅲ课时实验大题分类例析——系统高考课件(适用全国)

题型(二) “实验目的”题——变量法寻找实验目的
1．实验目的的书写与表达实验目的的内容包含研究对象、研究现象 (因变量 ) 和作用于对象的因素(自变量)，格式为“探究(验证)自变量对因变量的影响”或“探究 (验证 )自变量与因变量的关系”等。
2．实验目的的确认方法 (1)根据题目信息，直接写出实验目的。
C
D E
观察植物细胞的质壁分离和复原
绿叶中色素的提取和分离观察植物细胞的有丝分裂
紫色洋葱鳞片叶、KNO3溶液
新鲜菠菜叶、试剂甲、层析液大蒜根尖、试剂乙
F 观察细胞中DNA分布健那绿 (1)从表中主要实验材料或试剂看，不能达到实验目的的是_________。必须使用显微镜观察的实验是 ___________。正确实验过程必须加热的实验是______________。(均填序号) (2)B 实验中，若要探究温度对酶活性的影响，老师建议不要选择过氧化氢作为实验底物，这样建议的理由是_____________。D 实验中，若提取和分离色素的过程操作规范，但得到的色素带中上面两条颜色清晰，下面两条颜色却非常淡，可能的原因是___________。解析
第Ⅲ课时实验大题分类例析
——系统高考
[编者按]
纵观近几年生物高考实验题型变化，可以发现
高考实验命题的趋向，即借助实验方法创设新情境，侧重考查学生的实验思维能力、探究能力，其中实验设计题是一个热点。因此对常见实验题型进行分类，并逐一掌握其应考策略，是高考备考中的重要一环。这就要求学生能根据已有知识，对实验目的、实验原理、实验器材、实验步骤、实验数据处理的方法及实验现象分析等做到熟练运用。
(2)用到有色材料的实验有：①观察植物细胞的质壁分离和复原；②观察叶绿体；③绿叶中色素的提取和分离。

2019-2020年高考数学复习第二轮解三角形专题复习教案

∴ a2+c 2-ac=1,
∴(a+c) 2 +3(a-c) 2=4,
∴ (a+c) 2 =4-3(a-c) 2 .
∵ 0≤ a-c<1 ∴ 0≤ 3(a-c) 2<3, ∴4-3(a-c) 2 ≤ 4,
2
即 (a+c) ≤ 4, a+c ≤ 2a+c>1,
1<a+c
≤ 2．
思维点拨：边角互化是解三角形问题常用的手段．
例４．已知⊙ O 的半径为 R，，在它的内接三角形 ABC 中，有
2R sin 2 A sin 2 C
2a b sin B 成立，求△ ABC 面积 S 的最大值．
解：由已知条件得
2
2R
sin 2 A
sin 2 B
2R sin B
2a b ．即有，
又
∴．
∴S
1 ab sin C
2
2 ab 4
由正弦定理 :,得 a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= [sinA+sin(120 °－ A)]=2sin(A+30 ° )，因为
0° <A<120 °，所以 30° <A+30 °<150 ° ,故 1<2sin(A+30 ° )≤ 2.
法二．∵ B=60° ,b=1 ，∴ a2+c2-b 2=2accos60 ° , ∴ a2+c2-1=ac,
S= pr = ( 其中 p=, r 为内切圆半径 ) 射影定理： a = bcosC + ccosB； b = acosC + ccosA； c = acosB + bcosA （二）例题分析：例 1．在Δ ABC 中，已知 a=,b=,B=45 °，求 A,C 及边 c．

2019-2020学年度高三理科数学二轮复习：专题六第三讲正态分布、统计与统计案例-含解析

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习：专题六第三讲正态分布、统计与统计案例-含解析______年______月______日____________________部门20xx最新高三理科数学二轮复习：专题六第三讲正态分布、统计与统计案例-含解析第三讲正态分布、统计与统计案例高考导航1．考查正态曲线的性质及正态分布的概率计算．2．考查系统抽样和分层抽样、样本的频率分布与数字特征、线性回归分析、独立性检验．3．与概率知识交汇进行综合考查.1．(20xx·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了20xx年1月至20xx年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析] 折线图呈现出的是一个逐渐上升的趋势，但是并不是每个月都在增加，故A说法错误；折线图中按照年份进行划分，可以看出每年的游客量都在逐年增加，故B说法正确；折线图中每年的高峰出现在每年的7,8月，故C说法正确；每年的1月至6月相对于7月至12月的波动性更小，变化的幅度较小，说明变化比较平稳，故D说法正确．[答案] A2．(20xx·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋，已知i＝225，i＝1600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A．160 B．163C．166 D．170[解析] 由题意可得＝22.5，＝160，∴＝160－4×22.5＝70，即＝4x＋70.当x＝24时，＝4×24＋70＝166，故选C.[答案] C3．(20xx·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．[解析] 从丙种型号的产品中抽取的件数为60×＝18.[答案] 184．(20xx·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量<50 kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2＝.[解] (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg旧养殖法62 38新养殖法34 66K2＝≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35(kg)．考点一正态分布1．正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线关于直线x＝μ对称，且在x＝μ处达到峰值．(2)曲线与x轴之间的面积为1.(3)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布X～N(μ，σ2)的三个常用数据(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；(2)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.[思维流程][解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X 的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(ⅱ)由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 115×(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.i ＝116x2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09.正态分布应关注的两点(1)利用P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值直接求解．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1来求解．[对点训练]1．(20xx·兰州检测)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)[解析] 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错．[答案] C 2．某校组织了“20xx年第15届希望杯数学竞赛(第一试)”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(72,121)(单位：分)，此次考生共有500人，估计数学成绩在72分到83分之间的人数约为(参数数据：P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.)( )B．170A．238D．477C．340 [解析] 因为X～N(72,121)，所以μ＝72，σ＝11，又P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，所以P(61<X<83)＝0.6826，因为该正态曲线关于直线x＝72对称，所以P(72<X<83)＝P(61<X<83)＝×0.6826＝0.3413，所以0.3413×500＝170.65，从而可得在72分到83分之间的人数约为170，故选B.[答案] B考点二抽样方法、用样本估计总体1．抽样方法抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样．2．频率分布直方图(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3．方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2][对点训练]1．(20xx·怀化二模)某校高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为( )B．26A．27D．24C．25 [解析] 根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，则抽取的号码差相等，易知相邻两个学号之间的差为11－3＝8，所以在19与35之间还有27，故选A.[答案] A 2．(20xx·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )B．60A．56D．140C．120 [解析] 由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D.[答案] D 3．(20xx·山东临沂一模)传承传统文化再掀热潮，在刚刚过去的新春假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是( )A ．甲的平均数大于乙的平均数B ．甲的中位数大于乙的中位数C ．甲的方差大于乙的方差D ．甲的平均数等于乙的中位数[解析] 由茎叶图，知：甲＝(59＋45＋32＋38＋24＋26＋11＋12＋14)＝29，x －乙＝(51＋43＋30＋34＋20＋25＋27＋28＋12)＝30，s ＝[302＋162＋32＋92＋(－5)2＋(－3)2＋(－18)2＋(－17)2＋(－15)2]≈235.3，s ＝[212＋132＋02＋42＋(－10)2＋(－5)2＋(－3)2＋(－2)2＋(－18)2]≈120.9，甲的中位数为：26，乙的中位数为：28，∴甲的方差大于乙的方差．故选C.[答案] C4．(20xx·正定中学抽测)从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数为________，中位数为________．[解析] 由图可知，平均数＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x ，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x－120)＝0.5，解得x ＝124.[答案] 125 124统计问题应关注的3点(1)分层抽样的关键是确定抽样比例，系统抽样主要是确定分段间隔，应用等差数列计算个体号码数．(2)在频率分布直方图中，众数为最高矩形的底边中点的横坐标，中位数为垂直横轴且平分直方图面积的直线与横轴交点的横坐标，平均数为每个小矩形的面积乘以相应小矩形底边中点的横坐标之积的和．(3)计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算．方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．考点三线性回归分析、独立性检验1．线性回归方程方程＝x ＋称为线性回归方程，其中＝，＝－；(，)称为样本中心点．2．独立性检验K2＝(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．角度1：线性回归方程的求解及应用【例2－1】 (20xx·全国卷Ⅲ)下图是我国20xx 年至20xx 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份20xx ～20xx. [解] (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，(ti －)2＝28，＝0.55，i ＝17 (ti －)(yi －)＝iyi －i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103，a ^＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y 关于t 的回归方程为＝0.92＋0.10t.将20xx 年对应的t ＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测20xx 年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．角度2：独立性检验的应用[解] (1)优秀非优秀合计甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计3080110(2)根据列联表中的数据，得到K2＝≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩是否优秀与班级有关系”．(1)求回归直线方程的关键①正确理解计算，的公式和准确的计算，其中线性回归方程必过样本中心点(，)．②在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(2)独立性检验的关键根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．[对点训练]1．[角度1]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)如下表：年份x20xx20xx20xx20xx20xx储蓄存款y/千亿元567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－20xx，z＝y－5得到下表：时间代号t12345z01235(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程＝x ＋，其中＝，＝－) [解] (1)令z 关于t 的线性回归方程为＝t ＋，∵＝3，＝2.2，izi ＝45，＝55，b ^＝＝1.2，＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，∴＝1.2t －1.4.(2)将t ＝x －20xx ，z ＝y －5，代入＝1.2t －1.4，得－5＝1.2(x －20xx)－1.4，即＝1.2x －2408.4.(3)∵＝1.2×2020－2408.4＝15.6(千亿元)，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．2．[角度2](20xx·××市高三第一次调研)近年来，随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来．如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方法从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如表：愿意被外派不愿意被外派合计 70后 20 20 40 80后402060合计6040100(1)根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；(2)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y.求x<y的概率．参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. [解] (1)有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，理由如下：K2＝错误!＝错误!＝≈2.778>2.706，所以有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”．(2)“x<y”包含“x＝0，y＝1”、“x＝0，y＝2”、“x＝0，y＝3”、“x＝1，y＝2”、“x＝1，y＝3”、“x＝2，y＝3”六个事件，且P(x＝0，y＝1)＝×＝，P(x＝0，y＝2)＝×＝，P(x＝0，y＝3)＝×＝，P(x＝1，y＝2)＝×＝，P(x＝1，y＝3)＝×＝，P(x＝2，y＝3)＝×＝，所以P(x<y)＝＝＝.即x<y的概率为.热点课题23 统计知识的实际应用[感悟体验](20xx·山西吕梁二模)某校某次N名学生的学科能力测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．(1)求总人数N和分数在110～115分的人数n；(2)现准备从分数在110～115的n名学生(女生占)中选3位分配给A老师进行指导，求选出的3位学生中有1位女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析，该生7次考试成绩如表数学(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程＝x＋.若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.[解] (1)分数在100～110内的学生的频率为P1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以该班总人数为N ＝＝60，分数在110～115内的学生的频率为P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1，分数在110～115内的人数为n ＝60×0.1＝6.(2)由题意分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，从6名学生中选出3人，有1位女生的概率为P ＝＝.(3)计算＝×(88＋83＋117＋92＋108＋100＋112)＝100，y －＝×(94＋91＋108＋96＋104＋101＋106)＝100；由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到＝＝＝0.5，a ^＝－＝100－0.5×100＝50， ∴线性回归方程为＝0.5x ＋50，∴当x ＝130时，＝0.5×130＋50＝115.。

高考数学二轮复习专题六函数与导数第3讲导数的简单应用学案理新人教A版2

第3讲导数的简单应用[做真题]题型一导数的几何意义1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D ．法一：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D ．法二：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D ．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1解析：选D ．因为y ′＝a e x＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1. 3．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y ＝2ln(x ＋1)，所以y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，所以曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .答案：y ＝2x4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1x1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2题型二导数与函数的单调性、极值与最值1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A ．因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)ex －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]ex －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)ex －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A ．2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：法一：因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，即2k π＋π≥x ≥2k π＋π3或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332. 法二：因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )＝4sin x 2cos x2·2cos 2x2＝8sin x 2cos 3 x 2＝833sin 2x2cos 6x2，所以[f (x )]2＝643×3sin 2x 2cos 6 x 2≤643· ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3sin 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x 244＝274，当且仅当3sin 2x 2＝cos 2x 2，即sin 2x 2＝14时取等号，所以0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332，所以f (x )的最小值为－332.答案：－332[明考情]1．此部分内容是高考命题的热点内容，在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．有时也常在解答题的第一问中考查，难度一般．导数的几何意义 [典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0(2)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则点P 的坐标为________． (3)(2019·广州市调研测试)若过点A (a ，0)作曲线C ：y ＝x e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)依题意得y ′＝2cos x －sin x ，y ′|x ＝π＝(2cos x －sin x )|x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0，故选C ．(2)f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故点P 的坐标为(1，3)或(－1，3)．(3)设切点坐标为(x 0，x 0e x 0)，y ′＝(x ＋1)e x，y ′|x ＝x 0＝(x 0＋1)e x 0，所以切线方程为y －x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(x －x 0)，将点A (a ，0)代入可得－x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(a －x 0)，化简，得x 20－ax 0－a ＝0，过点A (a ，0)作曲线C 的切线有且仅有两条，即方程x 20－ax 0－a ＝0有两个解，则有Δ＝a 2＋4a >0，解得a >0或a <－4，故实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．【答案】 (1)C (2)(1，3)或(－1，3) (3)(－∞，－4)∪(0，＋∞)(1)求曲线y ＝f (x )的切线方程的3种类型及方法1．(2019·武汉调研)设曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，在曲线C 上一点M (1，－4)处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12，所以切线l 的方程为12x ＋y －8＝0.联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，消去y ，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，所以(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1，所以切线l 与曲线C 有3个公共点．故选C ．2．(2019·成都第二次诊断性检测)已知直线l 既是曲线C 1：y ＝e x的切线，又是曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切线，则直线l 在x 轴上的截距为( )A ．2B ．1C ．e 2D ．－e 2解析：选B ．设直线l 与曲线C 1：y ＝e x的切点为A (x 1，e x 1)，与曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14e 2x 22.由y ＝e x ，得y ′＝e x，所以曲线C 1在点A 处的切线方程为y －e x 1＝e x 1(x －x 1)，即y ＝e x 1x －e x 1(x 1－1) ①.由y ＝14e 2x 2，得y ′＝12e 2x ，所以曲线C 2在点B 处的切线方程为y －14e 2x 22＝12e 2x 2(x －x 2)，即y ＝12e 2x 2x －14e 2x 22 ②.因为①②表示的切线为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x 1＝12e 2x 2，e x 1(x 1－1)＝14e 2x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝2，所以直线l 的方程为y ＝e 2x －e 2，令y ＝0，可得直线l 在x 上的截距为1，故选B ．3．(2019·广州市综合检测(一))若函数f (x )＝ax －3x的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．解析：f ′(x )＝a ＋3x2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y －(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2.答案：2利用导数研究函数的单调性[典型例题]命题角度一求函数的单调区间或判断函数的单调性已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．【解】函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1. ①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增．当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．利用导数求函数的单调区间的三种方法(1)当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导数并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．命题角度二已知函数的单调性求参数已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x，令f ′(x )＝0，则x ＝1(负值舍去)．当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)法一：f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－(2ax ＋1)(ax －1)x.①当a ＝0时，f ′(x )＝1x>0，所以f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意；②当a >0时，由f ′(x )<0，得x >1a.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，a >0，解得a ≥1；③当a <0时，由f ′(x )<0，得x >－12a.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12a ≤1，a <0，解得a ≤－12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．法二：f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x.由f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，可得g (x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1≤0在区间(1，＋∞)上恒成立．①当a ＝0时，1≤0不合题意；②当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧14a <1，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >14或a <0，－2a 2＋a ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >14或a <0，a ≥1或a ≤－12，所以a ≥1或a ≤－12.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解．[对点训练]1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x在区间(0，＋∞)上不单调，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝e x (x ＋a ＋1)，由题意，知方程e x(x ＋a ＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x ＝－a －1>0，解得a <－1.答案：(－∞，－1)2．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x－a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．利用导数研究函数的极值(最值)问题[典型例题]命题角度一求已知函数的极值(最值) 已知函数f (x )＝ln x x－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．【解】 (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x2，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >0得0<x <e ；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >0，得x >e.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m >0，即0<m ≤e2时，(m ，2m )⊆(0，e)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m2m－1；②当m <e<2m ，即e2<m <e 时，(m ，e)⊆(0，e)，(e ，2m )⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e ，2m )上单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1；③当m ≥e 时，(m ，2m )⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递减，所以f (x )max＝f (m )＝ln mm－1.综上所述，当0<m ≤e 2时，f (x )max ＝ln 2m 2m －1；当e 2<m <e 时，f (x )max ＝1e－1；当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm－1.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在求得极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．命题角度二已知函数的极值或最值求参数 (2019·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【解】 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a3单调递减；若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增；若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0单调递减．(2)满足题设条件的a ，b 存在．(i)当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.(ii)当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.(iii)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0<a <3矛盾．若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1.已知函数极值点或极值求参数的方法(2019·长春质量检测(一))已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x (其中常数a ≠0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且在(0，e]上的最大值为1，求实数a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，x >0， f ′(x )＝1x ＋2x －3＝2x 2－3x ＋1x，令f ′(x )＝0，解得x 1＝12，x 2＝1，当0<x <12时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增；当12<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x，令f ′(x )＝0，得x ′1＝1，x ′2＝12a，因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ′2＝12a ≠x ′1＝1，当12a<0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2.当0<12a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，所以最大值1可能在x ＝12a或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)×12a ＝ln 12a －14a －1<0，所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2. 当1<12a <e 时，f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0，所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2，与1<12a <e 矛盾．当12a≥e 时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值1在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0，不符合题意．综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.一、选择题1．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A ．12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B ．由题意知y ′＝a e x＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( ) A ．(－3，3) B ．(－11，4)C ．(4，－11)D ．(－3，3)或(4，－11)解析：选C ．f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C ．3．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知f (x )在R 上连续可导，f ′(x )为其导函数，且f (x )＝e x ＋e －x －f ′(1)x ·(e x －e －x )，则f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝( )A ．4e 2＋4e －2B ．4e 2－4e －2C ．0D ．4e 2解析：选C ．由题意，得f ′(x )＝e x－e －x－f ′(1) [e x－e －x＋x (e x ＋e －x)]，所以f ′(0)＝e 0－e 0－f ′(1)[e 0－e 0＋0·(e 0＋e 0)]＝0，f ′(2)＋f ′(－2)＝0，所以f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝0，故选C ．4．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C ．由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g (1)≥0⇔－26≤a ≤26或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，a ≥－5⇔a ≥－26，故选C ． 5．函数f (x )(x >0)的导函数为f ′(x )，若xf ′(x )＋f (x )＝e x，且f (1)＝e ，则( ) A ．f (x )的最小值为e B ．f (x )的最大值为e C ．f (x )的最小值为1eD ．f (x )的最大值为1e解析：选A ．设g (x )＝xf (x )－e x，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－e x ＝0，所以g (x )＝xf (x )－e x为常数函数．因为g (1)＝1×f (1)－e ＝0，所以g (x )＝xf (x )－e x ＝g (1)＝0，所以f (x )＝e xx ，f ′(x )＝e x(x －1)x2，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f (1)＝e.6．若函数f (x )＝e x－(m ＋1)ln x ＋2(m ＋1)x －1恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－e 2，－e) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 D ．(－∞，－e －1)解析：选D ．由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝e x－(m ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x－2＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，所以m ＋1＝x e x1－2x在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，令g (x )＝x e x1－2x ，则g ′(x )＝－e x(x －1)(2x ＋1)(1－2x )2，所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，其图象如图所示，要使m ＋1＝x e x1－2x 在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则m ＋1<g (1)，即m ＋1<－e ，m <－e －1，所以实数m 的取值范围是(－∞，－e －1)．故选D ．二、填空题7．(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝3(2x ＋1)e x＋3(x 2＋x )e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，所以所求的切线方程为y ＝3x .答案：y ＝3x8．函数f (x )＝x 2－ln x 的最小值为________．解析：因为f (x )＝x 2－ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －1x ，令2x －1x ＝0得x ＝22，令f ′(x )>0，则x >22；令f ′(x )<0，则0<x <22.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，所以f (x )的极小值(也是最小值)为⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＝1＋ln 22.答案：1＋ ln 229．若函数f (x )＝x 2－4e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x 2－4e x －ax ，所以f ′(x )＝2x －4e x －a .由题意，f ′(x )＝2x －4e x－a >0，即a <2x －4e x 有解，即a <(2x －4e x )max 即可．令g (x )＝2x －4e x ，则g ′(x )＝2－4e x.令g ′(x )＝0，解得x ＝－ln 2.当x ∈(－∞，－ln 2)时，函数g (x )＝2x －4e x单调递增；当x ∈(－ln 2，＋∞)时，函数g (x )＝2x －4e x 单调递减．所以当x ＝－ln 2时，g (x )＝2x －4e x取得最大值－2－2ln 2，所以a <－2－2ln 2.答案：(－∞，－2－2ln 2) 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x, f (e)＝e ＋1，f ′(x )＝1x ＋1，f ′(e)＝1＋1e，所以曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y －(e ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e (x －e)，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1x .(2)f ′(x )＝1x －2ax ＋1＝－2ax 2＋x ＋1x，x >0，①当a ≤0时，显然f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x＝0，则－2ax 2＋x ＋1＝0，易知其判别式为正，设方程的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则x 1x 2＝－12a<0，所以x 1<0<x 2，所以f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x ＝－2a (x －x 1)(x －x 2)x，x >0.令f ′(x )>0，得x ∈(0，x 2)，令f ′(x )<0得x ∈(x 2，＋∞)，其中x 2＝1＋8a ＋14a.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋8a ＋14a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫1＋8a ＋14a ，＋∞上单调递减． 11．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2xx.当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x.所以当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. 所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx，所以当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞上单调递增；由f ′(x )<0得，x <－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减．所以当a <0时，f (x )的最小值为极小值，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a .根据题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a ≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0.因为a <0，所以ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2，综上实数a 的取值范围是[－2，0)．12．(2019·广州市调研测试)已知函数f (x )＝x e x＋a (ln x ＋x )．(1)若a ＝－e ，求f (x )的单调区间；(2)当a <0时，记f (x )的最小值为m ，求证：m ≤1.解：(1)当a ＝－e 时，f (x )＝x e x－e(ln x ＋x )，f (x )的定义域是(0，＋∞)．f ′(x )＝(x ＋1)e x －e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝x ＋1x (x e x －e)．当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时．f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)证明：f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )，令g (x )＝x e x＋a ，则g ′(x )＝(x ＋1)e x>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为a <0，所以g (0)＝a <0，g (－a )＝－a e －a＋a >－a ＋a ＝0，故存在x 0∈(0，－a )，使得g (x 0)＝x 0e x 0＋a ＝0. 当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )<0，f (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )>0，f (x )单调递增．故x ＝x 0时，f (x )取得最小值，即m ＝f (x 0)＝x 0e x 0＋a (ln x 0＋x 0)．由x 0e x 0＋a ＝0得m ＝x 0e x 0＋a ln(x 0e x 0)＝－a ＋a ln(－a )，令x ＝－a >0，h (x )＝x －x ln x ，则h ′(x )＝1－(1＋ln x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，h ′(x )＝－ln x >0，h (x )＝x －x ln x 单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＝－ln x <0，h (x )＝x －x ln x 单调递减，故x ＝1，即a ＝－1时，h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，故m ≤1.。

2020新高考数学二轮复习全套教案精品

B．【评析】当条件 p 和 q 以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设
满足条件 p 的元素构成集合 A，满足条件 q 的元素构成集合 B，若 A B 且 B A，则 p 是 q
的充分非必要条件；若 A B 且 B A，则 p 是 q 的必要非充分条件；若 A＝B，则 p 与 q 互
数为 ______． 7．设全集 U ＝R ， A＝ { x｜x≤－ 3 或 x≥ 2，} B＝ { x｜－ 1＜ x＜ 5} ，则 ( UA) ∩B＝ ______. 8．设集合 S＝ { a0， a1， a2， a3} ，在 S 上定义运算为： ai aj＝ ak，其中 k 为 i ＋ j 被 4 除
中的补集．记作 UA．
2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的
“且 ”、 “或 ”、 “非”的逻辑关系运算，而
韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯
2
使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例 3 设集合 M＝ { x｜－ 1≤x＜ 2} ，N＝ { x｜ x＜ a} ．若 M ∩N＝，则实数 a 的取值范围
1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．
2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．
3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．
4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】
例 1 给出下列六个关系：
(2)若 A∩B＝A，则 A B．
【解析】 (1)逆命题：若 ab＝0，则 a2＋b2＝ 0；是假命题．否命题：若 a2＋b2≠０，则 ab≠０；是假命题．逆否命题：若 ab≠０，则 a2＋ b2≠０；是真命题．

2019-2020年高考数学二轮复习第一部分专题六函数、不等式、导数教学案文

2019-2020年高考数学二轮复习第一部分专题六函数、不等式、导数教学案文主要考查函数的定义域、分段函数求值或已知函数值取值范围求字母的值取值范围等. C ．9D ．12(2)(xx·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．[解析] (1)∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.(2)由题意知，当x ≤0时，原不等式可化为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0；当0<x ≤12时，原不等式可化为2x＋x ＋12>1，显然成立；当x >12时，原不等式可化为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.[答案] (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[方法技巧]1．函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略[演练冲关]1．(xx·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0，f x －＋1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1 C.32D.52解析：选B 依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1，故选B.2．(xx·山东高考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，x －，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1≥1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：选B 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.[典例感悟][典例] (1)(xx·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )(2)(xx·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )[解析] (1)令函数f (x )＝sin 2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝－2x 1－－x ＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2. ∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.[答案] (1)C (2)B[方法技巧]由函数解析式识别函数图象的策略[演练冲关]1．(xx·惠州调研)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x，则当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：选D 法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2＞0，故排除选项A 、C.故选D.3.如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B 如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α.在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1.又0≤t ≤1，故选B.[典例感悟][典例] (1)(xx·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m(2)(xx·成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258(3)(xx·四川模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足下列三个条件： ①对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )； ②对任意的0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)<f (x 2)； ③f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系是________．(用“<”连接) [解析] (1)因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i＋y i )＝m .(2)由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.(3)由①可知，f (x )是一个周期为4的函数；由②可知，f (x )在[0,2]上是增函数；由③可知，f (x )的图象关于直线x ＝2对称．故f (4.5)＝f (0.5)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)，f (0.5)<f (1)<f (1.5)，即f (4.5)<f (7)<f (6.5)．[答案] (1)B (2)B (3)f (4.5)<f (7)<f (6.5)[方法技巧] 函数3个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[演练冲关]1．(xx 届高三·湖北七市(州)联考)函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，函数y ＝g (x )为 R 上的奇函数，f (x )＝g (x ＋2)，f (0)＝－4，则g (x )可以是( )A ．4tan πx8B ．－4sin πx2C ．4sin πx4D ．－4sin πx4解析：选D ∵f (x )＝g (x ＋2)，f (0)＝－4，∴g (2)＝－4.而4tan 2π8＝4tan π4＝4，－4sin 2π2＝－4sin π＝0,4sin 2π4＝4sin π2＝4，－4sin 2π4＝－4，∴y ＝g (x )可以是g (x )＝－4sin πx4，经检验，选项D 符合题干条件．故选D.2．(xx·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ，x ≠12，0，x ＝12，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( )A ．增函数且f (x )>0B ．增函数且f (x )<0C ．减函数且f (x )>0D ．减函数且f (x )<0解析：选D 由f (x )为奇函数，f (x ＋1)＝f (－x )得，f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数．根据条件，当x ∈12，1时，f (x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x －2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，－(x －2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴f (x )＝f (x －2)＝－f (2－x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.设2－x ＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，x ＝2－t ，∴－f (t )＝log 1232－t ，∴f (t )＝－log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－t ，∴f (x )＝－log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，可以看出当x 增大时，32－x 减小，log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 增大，f (x )减小，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，f (x )是减函数．而由1<x <32得0<32－x <12.∴log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x >1，∴f (x )<0.故选D.[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．(二) 二级结论要用好1．函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )为增(减)函数．(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(3)f (x )为奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称．(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f (0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f (x )＝0.(6)f (x )＋f (－x )＝0⇔f (x )为奇函数；f (x )－f (－x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．抽象函数的周期性与对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ②若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ③若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x )是周期函数，T ＝2a .(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．3．函数图象平移变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)．(2)把y ＝f (x )的图象沿y 轴上下平移|b |个单位(b ＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数y ＝f (x )＋b 的图象(b 为常数)．(三) 易错易混要明了1．求函数的定义域时，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏．2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．3．判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．4．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [针对练1] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝cos x ，且t ∈[－1,1]，则f (t )＝1－t 2，t ∈[－1，1]，即f (x )＝1－x 2，x ∈[－1,1]．答案：1－x 2，x ∈[－1,1]5．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[针对练2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .答案：1e[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题 1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，π＋x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )是减函数C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.3．(xx·合肥模拟)函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图象可能是( )解析：选A 令f (x )＝4cos x －e |x |，因为f (－x )＝4cos(－x )－e|－x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B ，D.又f (0)＝4cos 0－e 0＝3>0，所以选项A 满足条件．故选A.4．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象．因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，故选B.5．(xx·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选D 选项A ，B 是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．故选D.6．(xx·陕西质检)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，则f (8)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2解析：选B 由奇函数f (x )的定义域为R ，可得f (0)＝0，由f (x ＋2)为偶函数，可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，故f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f [－(x ＋2)＋2]＝f (－x )＝－f (x )，则f (x ＋8)＝f [(x ＋4)＋4]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以f (8)＝f (0)＝0，故选B.7．(xx 届高三·湖南五市十校联考)函数y ＝－xx x －2的图象大致为( )选A 当x >2时，2－x <0，e x >0，(x －1)2>0，∴y <0，此时函数的图象在x 轴的下方，排除B ；当x <2且x ≠1时，2－x >0，e x>0，(x －1)2>0，∴y >0，此时函数的图象在x 轴的上方，故选A.8．(xx·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .9．已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x－1,0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故当x >0时，f (x )是周期函数，f (x )的图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．11．(xx 届高三·广西三市联考)已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤4，4e 5－x，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，则m 的取值范围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2解析：选D 作出函数y 1＝e|x －2|和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e5－x，得e2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.12．(xx·洛阳统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－a ＋3≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，故选A.二、填空题13．(xx·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：614．(xx·陕西质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的结论： ①y ＝f (x )的值域为R ；②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；④y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点．其中正确结论的序号是________．解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≥0，1－x －1，x <0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；f (x )在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，而在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y 轴对称，故③正确；由于f (x )在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④15．(xx·惠州调研)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件fx ＋32＝－f (x )，且函数y＝fx －34为奇函数，给出以下四个结论：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数．其中正确结论的序号为________．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－fx ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数fx －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f －32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f －32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.答案：①②③16．(xx·云南统考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2＋1＋x 2＋x ，x ≥0，3x 2＋1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1)<f (2x ＋1)，则x 的取值范围为________．解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＝3(－x )2＋ln(1＋－x2＋x )＝3x 2＋ln(1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，当x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数．因为当x >0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)<f (2x ＋1)等价于|x －1|<|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)B 组——能力小题保分练1．(xx·郑州质检)函数f (x )＝1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )解析：选C 依题意，f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x－2－x 2x＋2－xcos x ＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0<x <1时，1－2x1＋2x <0，cos x >0，f (x )<0，结合选项知，C 正确，故选C.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．3．(xx·成都模拟)已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (π)<g (2)<g (3)C ．g (2)<g (3)<g (π)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选C 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以a 12＝22，即a ＝12，函数f (x )在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且g (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知在[－2,6]上距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选C.4．(xx·广州模拟)已知函数f (x )＝x 2x －1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12，则∑k ＝12 016f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2 017的值为( )A ．2 016B ．1 008C ．504D ．0解析：选B 因为f (x )＝x －12＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，所以f (x )的图象是由y ＝14x ＋sin x ＋12的图象向右平移12个单位长度得到的，因为曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12是由曲线y ＝sin x 向右平移12个单位长度得到的，所以曲线y ＝sin x －12关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称，又曲线y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称，所以f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12对称，所以f (x )＋f (1－x )＝ 1.所以∑k ＝12 016f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2 017＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝ 1008×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝1 008，故选B.5．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝________.解析：依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.答案：236．已知函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，函数g (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有g (xy )＝g (x )－g (y )成立，且f (3)＝2，g (－2)＝3，则f (－3)＋g (2)＝________.解析：根据题意，函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，即f (1)＝0；令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，则f (－1)＝0；令y ＝－1，则f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，f (－3)＝f (3)＝2.函数g (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有g (xy )＝g (x )－g (y )成立，令x ＝y＝－1，则g (1)＝g (－1)－g (－1)＝0；令x ＝1，y ＝－1，则g (－1)＝g (1)－g (－1)，即g (－1)＝0；令y ＝－1，则g (－x )＝g (x )－g (－1)，∴g (－x )＝g (x )，即函数g (x )为偶函数，∴g (2)＝g (－2)＝3.∴f (－3)＋g (2)＝2＋3＝5.答案：5第二讲小题考法——基本初等函数、函数与方程[典例感悟][典例] (1)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |(a >0且a ≠1)满足f (x )≤1，则函数y ＝log a (x ＋1)的图象大致为( )(2)(xx·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z[解析] (1)由a |x |≤1(x ∈R)，知0<a <1，又函数y ＝log a (x ＋1)的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)设2x ＝3y ＝5z＝k >1，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k . ∵2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0， ∴2x >3y ；∵3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5 ＝log k125243log k 3·log k 5<0， ∴3y <5z ；∵2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5 ＝log k2532log k 2·log k 5<0， ∴5z >2x .∴5z >2x >3y . [答案] (1)C (2)D[方法技巧]3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较． (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．[演练冲关]1．(xx·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．2．(xx·洛阳统考)已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：选C 依题意，注意到21.2>20.8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8>1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，故选C.3.(xx 届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x－log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 24(x 0＋3)＝3＋log 2x 0＝log 28x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3.答案： 3主要考查利用函数零点存在性定理或数形结合法确定函数零点的个数或其存在范围，以及应用零点求参数的值或范围[典例感悟][典例] (1)(xx·南昌模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(xx·成都模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1(3)(xx·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12 B.13C.12D ．1[解析] (1)当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x－1＝1－xx，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象，如图，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)有2个零点．故选C.(2)因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，如图所示．由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. (3)由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时等号成立．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时等号成立．若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．综上所述，a ＝12.[答案] (1)C (2)A (3)C[方法技巧]1．判断函数零点个数的方法2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[演练冲关]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 由已知条件得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0，函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的个数，分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的草图，观察发现有2个交点．故选A.2．(xx·洛阳统考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋e e 2解析：选B 依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x有两个不等的正实数根．记g (x )＝ln xx，则g ′(x )＝1－ln x x2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1－ln x 0x 2，a 1x 0－1＝ln x 0x，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在坐标平面内画出直线y ＝ax －1与函数g (x )的大致图象，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)，故选B.3．(xx·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)解析：选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．指数函数与对数函数的对比表2.方程的根与函数的零点 (1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(2)函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )·f (b )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的实数根．[针对练1] 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析：选 C 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.(二) 易错易混要明了1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的单调性时忽视字母a 的取值范围，忽视a x>0；研究对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)时忽视真数与底数的限制条件．2．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有且只有一个零点，要注意讨论a 是否为零．[针对练2] 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围为________．解析：当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，则x ＝12为函数的零点．当m ≠0时，若Δ＝4－4m ＝0，即当m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点．若Δ＝4－4m ≠0，即m ≠1时，显然x ＝0不是函数的零点．这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1有一个正根一个负根．因此1m<0.则m <0.综上知实数m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}．答案：(－∞，0]∪{1}[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(xx·沈阳质检)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D.故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)已知a ＝2，b ＝3，c ＝25，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝2＝4，b ＝3，c ＝25＝5.∵y ＝x 在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .3．(xx·福州质检)已知a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B 因为a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，所以a ＝ln 2，b ＝ln 5，c ＝ln62＝ln 3.又对数函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上为单调递增函数，由2<3<5，得ln2<ln 3<ln 5，所以a <c <b ，故选B.4．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，∴f (0)·f (1)<0，故函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，故选C.5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司xx 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年D ．2023年解析：选B 设xx 年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，f ′(x )＝2＋1x，由x >0知f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4<0，f (e)＝2e －5>0，f (1)·f (e)<0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．故函数f (x )的零点个数是2.7．(xx·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：选 C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C. 8．(xx·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.9．(xx 届高三·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52D ．92解析：选D 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2n m ·m n ＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.10．(xx·长春质检)已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x－1|的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－∞，1)解析：选A 令F (x )＝f (x )＋2x ，由对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，可得f (x 1)＋2x 1<f (x 2)＋2x 2，即F (x 1)<F (x 2)，所以F (x )在定义域内单调递增，由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)＋2＝3，f (log 2|3x－1|)<3－log 2|3x－1|等价于f (log 2|3x－1|)＋2log 2|3x－1|<3，令t ＝log 2|3x －1|，则f (t )＋2t <3，即F (t )<3，所以t <1，即log 2|3x －1|<1，从而0<|3x －1|<2，解得x <1，且x ≠0.故选A.11．(xx·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ＋x 2，x ≥0，－x－x ＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：选D 若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D.12．(x x·合肥质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2＋e ，x ≤2，xln x＋a ＋10，x >2，(e 是自然对数的底数)，若f (2)是函数f (x )的最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－1,6]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,6]解析：选D 当x >2时，f (x )＝x ln x＋a ＋10，f ′(x )＝ln x －1x2，令f ′(x )>0，解得x >e ，令f ′(x )<0，解得x <e ，所以f (x )在(2，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，即函数f (x )在x >2时的最小值为f (e)；当x ≤2时，f (x )＝(x －a )2＋e 是对称轴方程为x ＝a 的二次函数，欲使f (2)是函数的最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，f f ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，－a 2＋e≤e＋a ＋10，解得2≤a ≤6，故选D.二、填空题13．(xx·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤0，1－log 2x ，x >0，若|f (a )|≥2，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，1－a ≥1，所以21－a≥2，即|f (a )|≥2恒成立；当a >0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得a ≥8或0<a ≤12.综上，实数a的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞)．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞)。

2020届数学(理)高考二轮专题复习课件：第二部分专题六第2讲基本初等函数、函数与方程 (数理化网)

于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：(1)当 x＞1 时，f(x)＝ln(x－1)＝0，得 x＝2. 当 x≤1 时，2x－1－1＝0，得 x＝1. 所以 f(x)有两个零点 x＝1 与 x＝2. (2)因为 f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－23＞0，又 f(x)＝ln x－2x在(0，＋∞)上是增函数，所以 x0∈(2，3)，从而 g(x0)＝2. 答案：(1)C (2)B
答案：①130 ②15
从近年高考命题看，基本初等函数着重于分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；以基本初等函数为载体考查函数与方程，以及函数简单的实际应用，突出数形结合与转化思想方法的考查．题目以中档难度为主，大多以选择题、填空题的形式呈现．考查的数学核心素养主要有数学运算、直观想象、数学建模．
（RM＋1r）2＋Mr22＝(R＋r)MR31.
设
α
＝
r R
.
由
于
α
的值很小，因此在近似计算中
3α（3＋1＋3αα4）＋2α5≈3α3，则 r 的近似值为(
)
A. MM21R
B. 2MM21R
3 C.R
解析：由 α＝Rr 得 r＝αR，代入（RM＋1r）2＋Mr22＝(R＋r)MR31，整理得3α（3＋1＋3αα4）＋2α5＝MM21. 又因为3α（3＋1＋3αα4）＋2α5≈3α3，所以 3α3≈MM21，所以 α≈
热点 1 基本初等函数的图象与性质(自主演练) 1．指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a ＞0，a≠1)的图象和性质，分 0＜a＜1，a＞1 两种情况，当 a＞1 时，两函数在定义域内都为增函数，当 0＜a＜1 时，两函数在定义域内都为减函数． 2．同底的指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的图象关于直线 y＝x 对称．

高考数学二轮课时作业：专题六第2讲(理) 计数原理二项式定理含解析

层级二专题六第2讲(理)限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·济宁模拟)从4台甲型装载机和5台乙型装载机中任意取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型装载机各一台，则不同的取法共有()A．84种B．80种C．70种D．35种解析：C[根据题意可分为以下2种情况进行考虑：(1)甲型装载机2台和乙型装载机1台，取法有C24C15＝30种；(2)甲型装载机1台和乙型装载机2台，取法有C14C25＝40种．所以不同的取法共有30＋40＝70种．]2．(2019·唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是()A．18 B．16C．12 D．9解析：D[若把两个1看作不同的数，先安排0有3种情况，安排第2个数有3种情况，安排第3个数有2种情况，安排第4个数有1种情况，一共有3×3×2×1＝18种情况，由于有两个1，所以其中一半重复，故有9个四位数．]3．(全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80 B．－40C．40 D．80解析：C[由(2x－y)5展开式的通项公式：T r＋1＝C r5(2x)5－r(－y)r可得：当r＝3时，x(2x－y)5展开式中x3y3的系数为C35×22×(－1)3＝－40当r＝2时，y(2x－y)5展开式中x3y3的系数为C25×23×(－1)2＝80，则x3y3的系数为80－40＝40.本题选择C选项．]4．(2020·合肥调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个解析：C [①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.]5．(2020·龙岩模拟)若⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是( )A ．－462B ．462C ．792D ．－792解析：D [∵⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大， ∴n 为偶数，展开式共有13项，则n ＝12.⎝⎛⎭⎫x －1x 12的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k C k12·x 12－2k ，令12－2k ＝2，即k ＝5. ∴展开式中含x 2项的系数是(－1)5C 512＝－792.]6．(2019·渭南二模)已知⎝⎛⎭⎫4－1x n (n ∈N *)展开式中所有项的系数的和为243，则该展开式中含1x2项的系数为( )A ．20B ．－20C ．640D ．－640解析：A [∵⎝⎛⎭⎫4－1x n (n ∈N *)展开式中所有项的系数的和为3n ＝243，∴n ＝5，故⎝⎛⎭⎫4－1x n＝⎝⎛⎭⎫4－1x 5，它的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(－1)r ·45－r·x －r 2.令－r 2＝－2，得r ＝4，∴展开式中含1x2项的系数为C 45×4＝20.] 7．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数是( )A ．135B ．172C ．189D ．162解析：C [由题意，不考虑特殊情况有C 312种取法，其中每一种卡片各取3张有4种取法，两张红色卡片共有C 23C 19种取法，故所求的取法种数为C 312－4－C 23C 19＝189，选C.]8．(2020·惠州二调)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )A ．6B ．12C ．18D ．19解析：D [在物理、政治、历史中选一科的选法有C 13C 23＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有C 23C 13＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.]9．(2020·成都诊断)已知x 5(x ＋3)3＝a 8(x ＋1)8＋a 7(x ＋1)7＋…＋a 1(x ＋1)＋a 0，则7a 7＋5a 5＋3a 3＋a 1＝( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：B [对x 5(x ＋3)3＝a 8(x ＋1)8＋a 7(x ＋1)7＋…＋a 1(x ＋1)＋a 0两边求导，得5x 4(x ＋3)3＋3x 5(x ＋3)2＝8a 8(x ＋1)7＋7a 7(x ＋1)6＋…＋a 1，令x ＝0，得0＝8a 8＋7a 7＋…＋a 1，令x ＝－2，得5×(－2)4×(－2＋3)3＋3×(－2)5×(－2＋3)2＝－8a 8＋7a 7＋…－2a 2＋a 1，两式左右分别相加，得－16＝2(7a 7＋5a 5＋3a 3＋a 1)，即7a 7＋5a 5＋3a 3＋a 1＝－8，选B.]10．(2020·郑州模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( )A ．25种B ．60种C ．90种D ．150种解析：D [因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有C 15C 24A 22×A 33＝90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有C 35×A 33＝60(种)分配方法，共有90＋60＝150(种)分法，故选D.]11．(2019·江西上饶三模)已知m ＝⎠⎛0π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π2d x ，则(x －2y ＋3z )m 的展开式中含x m －2yz 项的系数等于( )A ．180B ．－180C ．－90D ．15解析：B [由于m ＝⎠⎛0π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π2d x ＝⎠⎛0π3sin x d x＝(－3cos x)＝6，所以(x－2y＋3z)m＝(x－2y＋3z)6＝[(x－2y)＋3z]6，其展开式的通项为C k6(x－2y)6－k(3z)k，当k＝1时，展开式中才能含有x4yz项，这时(x－2y)5的展开式的通项为C S5·x5－S(－2y)S，当S＝1时，含有x4y项，系数为－10，故(x－2y＋3z)6的展开式中含x4yz项的系数为C16·(－10)×3＝－180.]12．(2019·潍坊三模)为迎接建国七十周年，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为()A．720 B．768C．810 D．816解析：B[由题意知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有C14A44＝96(种)情况，其中甲、乙相邻的有C14A22A33＝48(种)情况，所有当甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96－48＝48(种)情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C34C13A44＝288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有C24C23A44＝432(种)情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288＋432＋48＝768(种)情况，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．从1,3,5,8,9中任取3个数字，从0,2,7,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的五位数．(用数字作答)解析：C35C23A55＋C13C35C13A44＝3 600＋2 160＝5 760.答案：5 76014．(2019·天水二模)(1＋x)(1－x)6的展开式中，x3的系数是________．(用数字作答) 解析：由题意可知，(1－x)6展开式的通项为T r＋1＝C r6·16－r·(－x)r＝(－1)r C r6·x r，则(1＋x)(1－x)6的展开式中，含x3的项为(－1)3C36x3＋x·(－1)2C26x2＝－20x3＋15x3＝－5x3，所以x3的系数是－5.答案：－515．(2019·浙江卷)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．(2＋x)9的通项为T r＋1＝C r9(2)9－r x r(r＝0,1,2…9)可得常数项为T1＝C09(2)9＝162，因系数为有理数，r＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个项．答案：162 516．(2020·甘肃模拟)根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为________(用数字作答)．解析：由题意可知，可分为两类：一类：甲乙在一个地区时，剩余的三位分为两组，再三组派遣到三个地区，共有C23A33＝18种不同的派遣方式；另一类：甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区，另外两人分别在两个地区，共有C13A33＝18种不同的派遣方式；由分类加法计数原理可得，不用的派遣方式共有18＋18＝36种不同的派遣方式．答案：36。

2019-2020年高考数学第二轮复习不等式教学案

2019-2020年高考数学第二轮复习不等式教学案考纲指要：利用基本不等式解决像函数的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主.考点扫描：1．不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2．基本不等式：（a ,b ≥0）①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。

3．常用的证明不等式的方法:（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法。

4．不等式及它的解法：（1）一元一次不等式；（2）一元二次不等式；（3）分式不等式；（4）简单的绝对值不等式；（5）指数不等式；（6）对数不等式；（7）二元一次不等式（线性规划）。

考题先知：例1．设函数，其中。

（1）解不等式；（2）当时，求函数的最小值。

分析：（1）所解不等式即为，从知，实施等价变形后对a 分类讨论可得解；（2）求函数的最小值，可从单调性入手，因此，细化函数表达（即去绝对值符号）成为解决问题的第一步。

解：（1）由得，，原不等式可化为，当时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>->>a a x a a x x 110，而，故；当时，有；当时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>-<>a a x a a x x 110，而，故；综上所述，当时，解集为；当时，解集为。

（2）由⎩⎨⎧<++-≥--=--=)(,)1()(,)1()(a x a x a a x a x a ax a x x f 得当时，在为增函数，在为减函数，所以；当时，，所以，综上所述，。

点评：本题第（1）题也可作出函数与的图象，利用数形结合的数学思想求之。

例2．已知：且，求证：。

分析：观察条件不等式的特征，存在不少证法，若从消元角度入手，可构造一元二次方程，用判别式法证之；若从基本不等式出发，可用放缩法证之；若着眼，则可用均值换元法证之；若无从下手，则可用分析法或反证法证之；若从不等式的几何意义出发，又可用几何法证之。

2019-2020年高三数学第二轮复习教案应用问题的题型与方法九人教版

一、考试内容《xx年普通高等学校招生全国统一考试数学科说明（理科、新课程版）》中指出：数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力．．．．．．．．．. 二、考试要求“考试说明”对于“解决实际问题的能力”的界定是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.并且指出：对数学应用问题，要把握好提出．．．．．．．．．．．．．．问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合中学数学教学实际．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验.2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流.3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来求解.三、复习目标数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复课时引起重视.由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在陌生的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题.四、双基透视高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色.求解应用题的一般步骤是（四步法）：1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.Ⅰ．函数模型函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.⑴根据题意，熟练地建立函数模型；⑵运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.Ⅱ．几何模型诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.Ⅲ．数列模型在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.中学数学各个章节中有关应用问题的内容分别是：1．函数：能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.2．不等式：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.3．平面向量:在立体几何与解析几何中的应用.4．三角函数：理解函数y=Asin(ωx+ψ)中 A、ω、ψ的物理意义；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题.5．数列：能运用公式解决简单的问题.6．直线和圆的方程：了解线性规划的意义，并会简单的应用.7．圆锥曲线方程：了解圆锥曲线的初步应用.8．直线、平面、简单几何体：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法.平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质.多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球等各部分都有应用.9．排列、组合、二项式定理：⑴掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；⑵理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的问题.⑶理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.⑷掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.这部分主要解决⑴不同类问题(可重复排列问题，不可重复排列问题，组合问题)的辩析；⑵多类多步排列组合问题的解决方法，主要是两个特元以上的特元法或特位法、排除法的应用．10．概率：⑴了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；⑵了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；⑶了解互斥事件相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；⑷会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.11．概率与统计：⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差；⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；⑷会用样本频率分布去估计总体分布；⑸了解正态分布的意义及主要性质；⑹了解假设检验的基本思想；⑺会根据样本的特征数估计总体；⑻了解线性回归的方法.12．极限、导数、复数：了解导数概念的某些实际背影（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；五、注意事项对应用题，要求能阅读、理解陈述的材料，能结合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题.并能用数学语言正确的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力.在解答应用问题中，最常见的是以上的几种模型，即：函数模型、不等式模型、数列模型、三角模型.此外，其它的几种应用问题模型有：与排列组合有关的应用问题，特征比较明显，属于排列组合模型，解答时一定要分清楚是分类还是分步，是排列还是组合，是否有重复和遗漏；与光学、力学、轨迹等有关方面的应用问题，可通过建立适当的坐标系，运用曲线的知识来建立数学模型来解答，且曲线研究主要是二次曲线，所以可称之为二次曲线模型.六、范例分析例1．（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产＝；人均粮食产量＝）分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策.解：1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝，主要关系是：P≥P .2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）.∴≥（1＋0.1）即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）∵（1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046∴ x≤10－995.9≈4（公顷）4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）另解：1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积；粮食总占有量＝人均占有量×总人口数；而主要关系是：粮食总产量≥粮食总占有量2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）.∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）∵（1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046∴ x≤10－995.9≈4（公顷）4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率.其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01≈1，算得结果为x ≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01的近似计算上.例2．某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？解: 引入字母，转化为递归数列模型.设第n 次去健身房的人数为a n ，去娱乐室的人数为b n ，则.3010730107)150(102109102109111111+=+=-+=+=∴------n n n n n n n n a a a a a b a a 即. ，于是即 ..故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.说明：上述解法中提炼的模型，使我们联想到了课本典型习题：已知数列的项满足（其中），证明这个数列的通项公式是：.1)(1---+=-c d c b d bc a n n n 这是一个重要的数列模型，用此模型可以解决许多实际应用题，如xx 年全国高考解答题中的应用题(下文例14)就属此类模型.例3．（1991年上海高考题）已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m ，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m ，试求到xx 年底该市人均住房面积（精确到0.01）？分析：城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出xx 年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积.解：1.读题：主要关系：人均住房面积＝2.建模：xx 年底人均住房面积为100105101010100101244410⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+()％ 3.求解：化简上式＝，∵ 1.02＝1＋C ×0.02＋C ×0.02＋C ×0.02＋…≈1.219∴ 人均住房面积为≈4.924.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到xx 年底该市人均住房面积为4.92m. 说明：一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.例4．如图，一载着重危病人的火车从O 地出发，沿射线OA 行驶，其中 AM C D B在距离O 地5a （a 为正数）公里北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中sin β= 现有110指挥部紧急征调离O 地正东p 公里的B 处的救护车赶往N 处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C 处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时，抢救最及时.（1）求S 关于p 的函数关系；（2）当p 为何值时，抢救最及时.解：（1）以O 为原点，正北方向为y 轴建立直角坐标系，则设N （x 0，y 0），05cos 4(3,4)y a a N a a β==∴又B （p ，0），∴直线BC 的方程为：由得C 的纵坐标，∴)35(,536||||212a p a p ap y OB S c >-=⋅=∆（2）由（1）得)0(35,35253622>-=-=-=t a p t a p ap a p ap S 令 ∴，∴当且仅当时，上式取等号，∴当公里时，抢救最及时.例5．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f (t )表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（f (t )越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=)4020(3807)2010(240)100(10024)(2t t t t t t t f（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？解：（1）当，244)12(10024)(22+--=++-=t t t t f 是增函数，且；，是减函数，且.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.（2），故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.当时，4,18010024)(2==++-=t t t t f 则；当，（3）令57.28,18387)(2≈=+-=t t t f 则，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.例6．（1997年全国高考题）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v （千米／时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元.① 把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域； ② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.解：（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，（建模）有y ＝(a ＋bv)（解题）所以全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是：y ＝S(＋bv)，其中函数的定义域是v ∈(0，c] .整理函数有y ＝S(＋bv)＝S(v ＋)，由函数y ＝x ＋ (k>0)的单调性而得：当<c 时，则v ＝时，y 取最小值；当≥c 时，则v ＝c 时，y 取最小值.综上所述，为使全程成本y 最小，当<c 时，行驶速度应为v ＝；当≥c 时，行驶速度应为v ＝c.说明：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v 的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.2.二次函数、指数函数以及函数（a ＞0，b ＞0）的性质要熟练掌握.3.要能熟练地处理分段函数问题.例7．某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程.经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时.但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车.问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.解: 引入字母，构建等差数列和不等式模型.由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a 1，a 2，…， a 25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且48025)(21,1480480480,2425125211≥⋅+≥+++≤a a a a a a 即则有，化简可得. 解得.可见a 1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.说明：对照此题与xx 年全国高考文科数学解答题中的应用题，一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具，这要求不断的联想，力求寻找恰当的解题方案.例8．在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h ，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h ，在水中游的速度为2km/h.，问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？解: 不妨画一个图形，将文字语言翻译为图形语言，进而想法建立数学模型.设船速为v ，显然时人是不可能追上小船，当km/h 时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v ，人追上船所用时间为t ，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.B,||,)1(2||,4||vt OB t k AB kt OA -== 由余弦是理得︒⋅⋅-+=15cos ||||2||||||222OB OA OB OA AB 即4264.2)()4()1(42222+⋅⋅-+=-vt kt vt kt t k 整理得04]8)26(2[1222=-+-+-v k v k .要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且0)4(124]8)26(2[22≥-⋅⋅--+=∆v v 解得h km v v /22,222max =≤<即.故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km /h 时，人可以追上小船.例9．（xx 年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类20)）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是其中若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯ 2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.例10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.（1）用，表示混合食物成本c 元；（2）确定x ，y ，z 的值，使成本最低.解:（1）依题意得 100,4911=++++=z y x z y x c 又 .（2）由{y x z z y x z y x --=≥++≥++100,6300050040080056000400700600及，得，,85045040057400=+≥++=∴y x c当且仅当时等号成立.，∴当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低为850元.说明：线性规划是高中数学的新增内容，涉及此类问题的求解还可利用图解法.例11．（xx 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类19））有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=13km ，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？分析：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.（Ⅰ）解：设P 的坐标为（0，），则P 至三镇距离的平方和为 .146)4(3)12()25(2)(222+-=-++=y y y y f所以，当时，函数取得最小值. 答:点P 的坐标是（Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当由解得记于是因为在[上是增函数，而上是减函数. 所以时，函数取得最小值. 答:点P 的坐标是解法二：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当由解得记于是函数的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.答:点P 的坐标是解法三：因为在△ABC 中，AB=AC=13，且，(b).,4,51222如图π=∠=>=-ACB OC OC AC所以△ABC 的外心M 在线段AO 上，其坐标为，且AM=BM=CM. 当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2，这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 和P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M重合时，P 到三镇的最远距离最小.答:点P 的坐标是例12．据气象台预报，在A 市正东方向300公里的B 处有一台风中心形成，并以每小时40公里的速度向西北方向移动，距离台风中心250公里内的地方都要受其影响。

高考数学二轮复习专题六应用题教学案

专题六应用题江苏新高考“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力的考查又是近二十年来的能力考查重点.江苏卷一直在坚持以建模为主.所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索应是复习的关键.应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题.2013年应用考题3是解不等式模型，2014年应用考题2可以理解为一次函数模型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还是有趣的，2015、2016年应用考题2都先构造函数，再利用导数求解.2016、2017年应用考题是立体几何模型，2017年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解.[常考题型突破]函数模型的构建及求解[例1] (2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ [解] (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0＜h ＜6，O 1O ＝4h .连结O 1B 1. 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0＜h ＜6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍去)．当0＜h ＜23时，V ′＞0，V 是单调增函数；当23＜h ＜6时，V ′＜0，V 是单调减函数．故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大． [方法归纳]解函数应用题的四步骤[变式训练]1．(2017·苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w (单位：百千克)与肥料费用x (单位：百元)满足如下关系：w ＝4－3x ＋1，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L (x )(单位：百元)．(1)求利润函数L (x )的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)L (x )＝16⎝⎛⎭⎪⎫4－3x ＋1－x －2x ＝64－48x ＋1－3x (0≤x ≤5)． (2)法一：L (x )＝64－48x ＋1－3x ＝67－⎣⎢⎡⎦⎥⎤48x ＋1＋3x ＋1≤67－248x ＋1·3x ＋1＝43.当且仅当48x ＋1＝3(x ＋1)时，即x ＝3时取等号．故L (x )max ＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是4 300元.法二：L ′(x )＝48x ＋12－3，由L ′(x )＝0，得x ＝3.故当x ∈(0,3)时，L ′(x )>0，L (x )在(0,3)上单调递增；当x ∈(3,5)时，L ′(x )<0，L (x )在(3,5)上单调递减．所以当x ＝3时，L (x )取得极大值，也是最大值，故L (x )max ＝L (3)＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是4 300元． 2．(2017·南通三模)如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C －D －E －F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t )万元，经测算f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<t ≤13，8－1t ，13<t <2.(1)用t 表示线段EF 的长； (2)求修建该参观线路的最低费用．解：(1)法一：设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知OQ ⊥l ，DQ ＝QE ，以OF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .由题意得，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，1，设直线EF 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 2(k <0)，即kx －y ＋1－12tk ＝0.因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12tk k 2＋1＝1，解得k ＝4tt 2－4. 代入y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 2可得，点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ，0.所以EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t －t 22＋1＝t 4＋1t ，即EF ＝t 4＋1t(0<t <2)．法二：设EF 切圆O 于点G ，连结OG ，过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H .因为EH ＝OG ，∠OFG ＝∠EFH ，∠GOF ＝∠HEF ，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ，所以HF ＝FG ＝EF －12t .由EF 2＝1＋HF 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫EF －12t 2,所以EF ＝t 4＋1t(0<t <2)．答：EF 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t 百米． (2)设修建该参观线路的费用为y 万元． ①当0<t ≤13时，y ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ＋t ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32t ＋2t ，由y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2t 2<0，得y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上单调递减．所以当t ＝13时，y 取最小值为32.5.②当13<t <2时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ＋t ＝12t ＋16t －32－2t 2，所以y ′＝12－16t 2＋4t 3＝4t －13t 2＋3t －1t 3，因为13<t <2，所以3t 2＋3t －1>0，所以当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，y ′<0；当t ∈(1,2)时，y ′>0，所以y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减；在(1,2)上单调递增．所以当t ＝1时，y 取最小值为24.5. 由①②知，y 取最小值为24.5.答：修建该参观线路的最低费用为24.5万元.基本不等式的实际应用[例2] 在一年内预计销售Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝4x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和.(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ [解] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋4.5)万元，每件销售价为32Q ＋4.5Q ×150%＋xQ×25%.∴年销售收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫32Q ＋4.5Q ×150%＋x Q ×25%·Q ＝32⎝⎛⎭⎪⎫32Q ＋92＋14x .∴年利润W ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32Q ＋92＋14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫32Q ＋92－x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32Q ＋92－34x ＝16Q ＋94－34x ＝16·4x ＋1x ＋1＋94－34x (x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则W ＝16·4t －3t＋94－34(t －1)＝64－48t ＋3－34t ＝67－3⎝ ⎛⎭⎪⎫16t ＋t 4.∵t ≥1，∴16t ＋t4≥216t ·t4＝4，即W ≤55，当且仅当16t ＝t4，即t ＝8时，W 有最大值55，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业年利润最大，最大值为55万元． [方法归纳](2017·苏州期末)某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(如图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸(图2)如下，其中，点A ，E 为x 轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD 是桥的主体，C 为桥顶，并且曲线段BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为y ＝84＋x 2(x ∈[－2，2])，曲线段AB ，DE 均为开口向上的抛物线段，且A ，E 分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B ，D )的切线的斜率相等．(1)求曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；(2)车辆从A 经B 到C 爬坡，定义车辆上桥过程中某点P 所需要的爬坡能力为：M ＝(该点P 与桥顶间的水平距离)×(设计图纸上该点P 处的切线的斜率)其中M P 的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？解：(1)由题意A 为抛物线的顶点，设A (a,0)(a ＜－2)，则可设方程为y ＝λ(x －a )2(a ≤x ≤－2，λ＞0)，y ′＝2λ(x －a )．∵曲线段BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为y ＝84＋x 2(x ∈[－2,2])，∴y ′＝－16x4＋x22，且B (－2,1)，则曲线在B 处的切线斜率为12，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－2－a 2＝1，2λ－2－a ＝12，∴a ＝－6，λ＝116，∴曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式为y ＝116(x ＋6)2(－6≤x ≤－2)．(2)设P 为曲线段AC 上任意一点．①P 在曲线段AB 上时，则通过该点所需要的爬坡能力(M P )1＝(－x )·18(x ＋6) ＝－18[(x＋3)2－9]，在[－6，－3]上为增函数，[－3，－2]上是减函数，所以爬坡能力最大为98米；②P 在曲线段BC 上时，则通过该点所需要的爬坡能力(M P )2＝(－x )·－16x4＋x22＝16x24＋x22(x ∈[－2,0])，设t ＝x 2，t ∈[0,4]，(M P )2＝y ＝16t 4＋t2.当t ＝0时，y ＝0；当0＜t ≤4时，y ＝1616t＋t ＋8≤1(t ＝4取等号)，此时最大为1米．由上可得，最大爬坡能力为98米．∵0.8＜98＜1.5＜2，∴游客踏乘不能顺利通过该桥，蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥.三角函数的实际应用[例3] (2017·江苏高考)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14 cm 和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l ，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；(2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．[解] (1)由正棱柱的定义知，CC 1⊥平面ABCD ，所以平面A 1ACC 1⊥平面ABCD ，CC 1⊥AC .如图，记玻璃棒的另一端落在CC 1上点M 处．因为AC ＝107，AM ＝40，所以MC ＝402－1072＝30，从而sin ∠MAC ＝34.记AM 与水面的交点为P 1，过P 1作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1＝12，从而AP 1＝P 1Q 1sin ∠MAC＝16.答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm) (2)如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义知，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG .同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK ＝OO 1＝32. 因为EG ＝14，E 1G 1＝62，所以KG 1＝62－142＝24，从而GG 1＝KG 21＋GK 2＝242＋322＝40. 设∠EGG 1＝α，∠ENG ＝β，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋∠KGG 1＝cos ∠KGG 1＝45.因为π2<α<π，所以cos α＝－35.在△ENG 中，由正弦定理可得40sin α＝14sin β，解得sin β＝725.因为0<β<π2，所以cos β＝2425.于是sin ∠NEG ＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×2425＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×725＝35. 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2＝12，从而EP 2＝P 2Q 2sin ∠NEG ＝20.答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm) [方法归纳]解三角形应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解.解三角形应用题常见的两种情况：1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程组，解方程组得出所要求的解.[变式训练]如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．记∠AMN ＝θ.(1)将AN ，AM 用含θ的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN ，AM 为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP 最大)?解：(1)由已知得∠MAN ＝60°，∠AMN ＝θ，MN ＝2，在△AMN 中，由正弦定理得MN sin 60°＝AN sin θ＝AMsin120°－θ，所以AN ＝433sin θ，AM ＝433sin(120°－θ)＝433sin(θ＋60°)．(2)在△AMP 中，由余弦定理可得AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos∠AMP ＝163sin 2(θ＋60°)＋4－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°) ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，0＜θ＜120°，当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN ＝AM ＝2.[课时达标训练]1．(2017·苏锡常镇一模)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数)，彩门的下底BC 固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l .(1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)；(2)当α为何值时l 最小？并求l 的最小值．解：(1)过D 作DH ⊥BC 于点H (图略)，则∠DCB ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，DH ＝h, 设AD ＝x ，则DC ＝h sin α，CH ＝h tan α，BC ＝x ＋2htan α，因为S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2h tan α·h ，则x ＝S h －htan α. 所以l ＝f (α)＝2DC ＋AD ＝S h ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2. 答：l 表示成关于α的函数为l ＝f (α)＝S h＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(2)f ′(α)＝h ·⎝⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α，令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3. 列表如下：α ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3π3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 f ′(α) －0 ＋ f (α)极小值所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝3h ＋h .答：当α＝π3时，l 有最小值为3h ＋Sh.2.如图是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OA ，OB ，OC 两两成120°，OC ＝1，AB ＝OB ＋OC ，且OA ＞OB .现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为k (k 为正常数)；在△AOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N ，且N 与△AOC 的面积成正比，比例系数为43k .设OA ＝x ，OB ＝y .(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出OA 的取值范围； (2)求N －M 的最大值及相应的x 的值．解：(1)因为OA ＝x ，OB ＝y ，AB ＝y ＋1，由余弦定理得，x 2＋y 2－2xy cos 120°＝(y ＋1)2，解得y ＝x 2－12－x.由x ＞0，y ＞0得，1＜x ＜2，又x ＞y ，得x ＞x 2－12－x，得1＜x ＜1＋32，所以OA 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋32.(2)设M ＝kOB ＝ky ，N ＝43k ·S △AOC ＝3kx ，则N －M ＝k (3x －y )＝k ⎝⎛⎭⎪⎫3x －x 2－12－x . 设2－x ＝t ∈⎝⎛⎭⎪⎫3－32，1，则N －M ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－t －2－t 2－1t＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋3t ≤k ⎝⎛⎭⎪⎫10－24t ·3t＝(10－43)k .当且仅当4t ＝3t ，即t ＝32∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1时取等号，此时x ＝2－32，所以当x ＝2－32时，N －M 的最大值是(10－43)k . 3．(2017·南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b .(1)当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．解：(1)因为矩形纸板ABCD 的面积为3 600，故当a ＝90时，b ＝40，从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0,20)．因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －16.25)2＋2 112.5，故当x ＝16.25时，纸盒侧面积最大，最大值为2 112.5平方厘米．(2)包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x )x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，b ≤60.V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3 600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3 600x ，当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f (x )＝4x 3－240x 2＋3 600x ，x ∈(0,30)．则f ′(x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0,10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(10,30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16 000，此时a ＝b ＝60，x ＝10. 答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米．4.(2017·南通、泰州一调)如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P )，再沿直线PE 裁剪．(1)当∠EFP ＝π4时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；(2)若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．解：(1)当∠EFP ＝π4时，由条件得∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ＝π4，所以∠FPE ＝π2，即FN⊥BC ，所以四边形MNPE 为矩形，且四边形MNPE 的面积S ＝PN ·MN ＝2(m 2). (2)法一：设∠EFD ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，由条件，知∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ＝θ.所以PF ＝2sin π－2θ＝2sin 2θ，NP ＝NF －PF ＝3－2sin 2θ，ME ＝3－2tan θ.由⎩⎪⎨⎪⎧3－2sin 2θ>0，3－2tan θ>0，0<θ<π2，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ>23，tan θ>23，*0<θ<π2.所以四边形MNPE 面积为S ＝12(NP ＋ME )MN＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2tan θ×2＝6－2tan θ－2sin 2θ ＝6－2tan θ－2sin 2θ＋cos 2θ2sin θcos θ＝6－⎝⎛⎭⎪⎫tan θ＋3tan θ≤6－2tan θ·3tan θ＝6－2 3.当且仅当tan θ＝3tan θ，即tan θ＝3，θ＝π3时取“＝”．此时，(*)成立．答：当∠EFD ＝π3时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为()6－23m 2.法二：设BE ＝t m,3<t <6，则ME ＝6－t . 因为∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ，所以PE ＝PF ，即3－BP2＋22＝t －BP .所以BP ＝13－t 223－t ，NP ＝3－PF ＝3－PE ＝3－(t －BP )＝3－t ＋13－t223－t.由⎩⎪⎨⎪⎧3<t <6，13－t 223－t>0，3－t ＋13－t223－t>0，得⎩⎨⎧3<t <6，t >13， *t 2－12t ＋31<0.所以四边形MNPE 面积为S ＝12(NP ＋ME )MN ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－t ＋13－t 223－t ＋6－t ×2＝3t 2－30t ＋6723－t ＝6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32t －3＋2t －3≤6－2 3.当且仅当32(t －3)＝2t －3，即t ＝3＋43＝3＋233时取“＝”. 此时，(*)成立．答：当点E 距B 点3＋233 m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为(6－23)m 2.5.(2017·南京三模)在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成(如图)．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ.(1)求BC 的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．解：(1)因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC . 在△ABC 中，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝4AC 2－23AC 2cos θ＝(4－23cosθ)800sin θ ，即BC ＝4－23cos θ·800sin θ＝402－3cos θsin θ.所以BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．(2)设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10 m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ.由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6.当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π时，f ′(θ)＞0.故f (θ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π上单调递增，从而当θ＝π6时，f (θ)取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1.所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元．6.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C .为方便游客观光，拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)模型，设PM ＝x ，修建两条道路PM ，PN 的总造价为f (x )万元．题中所涉及长度单位均为百米．(1)求f (x )的解析式；(2)当x 为多少时，总造价f (x )最低？并求出最低造价．解：(1)在题中的平面直角坐标系中，因为曲线C 的方程为y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，PM＝x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋42x 2.又直线OB 的方程为x －y ＝0，则点P 到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎪⎫x ＋42x 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42x 22＝4x2.又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米，所以两条道路的总造价为f (x )＝5x ＋40×4x2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2(1≤x ≤9)．(2)因为f (x )＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2，所以f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－64x 3＝5x 3－64x 3.令f ′(x )＝0，得x ＝4，列表如下：x (1,4) 4 (4,9) f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值所以当x ＝4且最小值为f (4)＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3242＝30.即当x ＝4时，总造价f (x )最低，且最低造价为30万元．(注：利用三次基本不等式f (x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋32x 2≥5×338＝30，当且仅当x 2＝x 2＝32x2，即x ＝4时等号成立，照样给分．)。

(江苏专用)2020高考数学二轮复习专题六应用题教学案

专题六应用题[江苏卷5年考情分析]“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的立意之本，而应用能力的考查又是近几年高考考查的重点．考查实际问题背景下的数学建模是江苏卷几年不变的题型．所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索是复习的关键．应用题的载体很多，前几年主要考查函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题，以往有一次函数模型(条件不等式模型)．有先构造函数再利用导数求解(2020年、2020年)，演变为立体几何模型(2020年、2020年)；近两年三角模型走红(2020年、2020年)．考查利用三角知识、导数、直线与圆等知识综合建模与求解能力，难度中等．题型(一) 函数模型的构建及求解主要考查以构建函数模型为背景的应用题，一般常见于经济问题或立体几何表面积和体积最值问题中.[典例感悟][例1] (2020·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ [解] (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0＜h ＜6，O 1O ＝4h .连结O 1B 1. 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0＜h ＜6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍去)．当0＜h ＜23时，V ′＞0，V 是单调增函数；当23＜h ＜6时，V ′＜0，V 是单调减函数．故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．[方法技巧] 解函数应用题的四步骤[演练冲关]1．(2020·常州期末)某公园要设计一个如图1所示的景观窗格(其外框可以看成在矩形的四个角处对称地截去四个全等的三角形所得)，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF ＝BE ＝1.6米，两根竖轴CH ＝DG ＝1.2米．记景观窗格的外框(如图2中的实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l 米．(1)若∠ABC＝2π3，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；(2)由于经费有限，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH 的面积)最大时，求出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 的长度．解：(1)记CH 与AF ，BE 的交点分别为M ，N ，由∠ABC ＝2π3可得∠CBN ＝π6，易知AB ＝0.6，CN ＝HM ＝12×(1.2－0.6)＝0.3，所以BC ＝CNsin ∠CBN ＝0.3sin π6＝0.6，BN ＝CN tan ∠CBN ＝0.3tanπ6＝3310，所以CD ＝BE －2BN ＝1.6－335＝8－335，则l ＝AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FG ＋GH ＋HA ＝2AB ＋2CD ＋4BC ＝1.2＋16－635＋2.4＝34－635. 答：景观窗格的外框总长度为34－635米．(2)由题意知，l ＝2AB ＋2CD ＋4BC ≤5.设∠CBN ＝α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，BC ＝r ，则CN ＝r sin α，BN ＝r cos α，所以AB ＝CH －2CN ＝1.2－2r sin α，CD ＝BE －2BN ＝1.6－2r cos α，所以2(1.2－2r sin α)＋2(1.6－2r cos α)＋4r ≤5，即4r (sin α＋cos α－1)≥35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.设景观窗格的面积为S ，则S ＝1.2×1.6－2r 2sin αcos α≤4825－9sin αcos α200（sin α＋cos α－1）2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2(当且仅当4r (sin α＋cos α－1)＝35时取等号)．令t ＝sin α＋cos α(t ∈(1，2])，则sin αcos α＝t 2－12，所以S ≤4825－9×t 2－12200（t －1）2＝4825－9400⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2t －1，其中1＋2t －1≥1＋22－1(当且仅当t ＝2，即α＝π4时取等号)．所以S ≤4825－9400⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2t －1≤4825－9400⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22－1＝4825－9400(3＋22)＝741400－92200，即S ≤741400－92200(当且仅当4r (sin α＋cos α－1)＝35且α＝π4时，取等号)，所以当且仅当r ＝3（2＋1）20且α＝π4时，S 取得最大值．答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中∠ABC ＝3π4且BC ＝3（2＋1）20米．2．(2020·盐城三模)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD 用来种植草莓，其中AB ＝99 m ，AD ＝49.5 m ．现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n (n ∈N *)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1 m 宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF ＝1 m)，这部分的建设造价为每平方米31.4元．(1)当n ＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留π) (2)试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低．(计算中π取3.14)解：(1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r . 当n ＝20时，共有19块空地，所以r ＝99－19×12×20＝2(m)，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为 πr 2＋πr ×AD ＝π×22＋2π×49.5＝103π(m 2)，即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m 2. (2)设两项费用的和为f (n )．因为r ＝99－（n －1）×12n ＝100－n2n，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为S ＝πr 2＋πr ×AD ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n 2＋π×49.5×100－n 2n ，则f (n )＝10nS ＋31.4×1×49.5(n －1)＝10n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n 2＋π×49.5×100－n 2n ＋31.4×1×49.5(n －1) ＝31.4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（100－n ）24n ＋49.5×100－n 2＋49.5（n －1）＝31.44×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（100－n ）2n ＋99（100－n ）＋198（n －1）＝31.44×⎝ ⎛⎭⎪⎫1002n ＋100n ＋9 502＝31.44×⎣⎢⎡⎦⎥⎤100×⎝ ⎛⎭⎪⎫100n ＋n ＋9 502，因为100n＋n ≥2100n·n ＝20，当且仅当n ＝10时等号成立，所以，当且仅当n ＝10时，f (n )取得最小值，即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．题型(二)与三角形、多边形有关的实际应用题主要考查与三角形有关的实际应用题，所建立函数模型多为三角函数模型.[典例感悟][例2] (2020·江苏高考)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[解] (1)如图，设PO 的延长线交MN 于点H ，则PH ⊥MN ，所以OH ＝10.过点O 作OE ⊥BC 于点E ，则OE ∥MN ，所以∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ·(40sin θ＋10) ＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)．过点N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于点G 和K ，则GK ＝KN ＝10. 连结OG ，令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1.答：矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600(cosθ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k (k >0)，乙的单位面积的年产值为3k (k ＞0)，则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ) ＝8 000k (sin θ cos θ ＋cos θ)，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2.设f (θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2，则f ′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1) ＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．令f ′(θ)＝0，得θ＝π6，当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π6时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)为增函数；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)为减函数．所以当θ＝π6时，f (θ)取到最大值．答：当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[方法技巧]三角应用题的解题策略(1)解三角应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解．(2)解三角应用题常见的两种情况：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．(3)三角函数的值域或最值的求解方法一般有化归法、换元法、导数法．[演练冲关](2020·南通等七市一模)如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部分为矩形ABCD ，AB ，AD 的长分别为2 3 m 和4 m ，上部分是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3. (1)求图1中拱门最高点到地面的距离；(2)现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ，记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．解：(1)如图1，过O 作与地面垂直的直线，分别交AB ，CD 于点O 1，O 2，交劣弧CD 于点E ，O 1E 的长即拱门最高点到地面的距离．在Rt △O 2OC 中，∠O 2OC ＝π3，CO 2＝3，所以OO 2＝1，圆的半径R ＝OC ＝2. 所以O 1E ＝R ＋O 1O 2－OO 2＝5.(2)在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线，与“拱门外框”相交于点P . 当点P 在劣弧CD 上(不含点D )时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面的距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离．连接OB ，由(1)知，在Rt △OO 1B 中，OB ＝OO 21＋O 1B 2＝2 3. 以B 为坐标原点，水平线l 为x 轴，建立平面直角坐标系． ①如图2，当点P 在劣弧CD 上(不含点D )时，π6<θ≤π2.由∠OBx ＝θ＋π6，OB ＝23，得O ⎝ ⎛⎭⎪⎫23cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则h ＝2＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6. 所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，h 取得最大值，为2＋2 3.②如图3，当点P 在线段AD 上时，0≤θ≤π6.连接BD ，设∠CBD ＝φ，在Rt △BCD 中，DB ＝BC 2＋CD 2＝27，则sin φ＝2327＝217，cos φ＝427＝277.由∠DBx ＝θ＋φ，得D (27cos(θ＋φ)，27sin(θ＋φ))．所以h ＝27sin(θ＋φ)＝4sin θ＋2 3 cos θ.又当0<θ<π6时，h ′＝4cos θ－23sin θ>4cos π6－23sin π6＝3>0，所以h ＝4sin θ＋23cos θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增．所以当θ＝π6时，h 取得最大值，为5.又2＋23>5，所以h 的最大值为2＋2 3. 答：(1)拱门最高点到地面的距离为5 m.(2)h ＝⎩⎪⎨⎪⎧4sin θ＋23cos θ，0≤θ≤π6，2＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，π6<θ≤π2.艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面的最大距离h 的最大值为(2＋23)m.题型(三) 与圆有关的实际应用题主要考查与直线和圆有关的实际应用题，在航海与建筑规划中的实际问题中常见.[典例感悟][例3] (2020·江苏高考)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ，规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于．．．圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d (单位：百米)，求当d 最小时，P ，Q 两点间的距离．[解] 法一：(1)如图①，过A 作AE ⊥BD ，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，DE ＝BE ＝AC ＝6，AE ＝CD ＝8.因为PB ⊥AB ，所以cos ∠PBD ＝sin ∠ABE ＝810＝45. 所以PB ＝BDcos ∠PBD ＝1245＝15.因此道路PB 的长为15(百米)． (2)均不能．理由如下：①若P 在D 处，由(1)可得E 在圆上，则线段BE 上的点(除B ，E )到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知AD ＝AE 2＋ED 2＝10，从而cos ∠BAD ＝AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝725>0，所以∠BAD 为锐角．所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径．因此Q 选在D 处也不满足规划要求．综上，P 和Q 均不能选在D 处． (3)先讨论点P 的位置．当∠OBP ＜90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求．当∠OBP ＝90°时，设P 1为l 上一点，且P 1B ⊥AB ，由(1)知，P 1B ＝15，此时P 1D ＝P 1B sin ∠P 1BD ＝P 1B cos ∠EBA ＝15×35＝9；当∠OBP >90°时，在△PP 1B 中，PB >P 1B ＝15. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置．由(2)知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求．当QA ＝15时，CQ ＝AQ 2－AC 2＝152－62＝321.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ ＝321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ ＝PD ＋CD ＋CQ ＝17＋321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17＋321(百米)．法二：(1)如图②，过O 作OH ⊥l ，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系．因为BD ＝12，AC ＝6，所以OH ＝9，直线l 的方程为y ＝9，点A ，B 的纵坐标分别为3，－3.因为AB 为圆O 的直径，AB ＝10，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.从而A (4，3)，B (－4，－3)，直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为－43，直线PB 的方程为y ＝－43x －253.所以P (－13，9)，PB ＝（－13＋4）2＋（9＋3）2＝15. 因此道路PB 的长为15(百米)． (2)均不能．理由如下：①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (－4，0)，则EO ＝4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知D (－4，9)，又A (4，3)，所以线段AD ：y ＝－34x ＋6(－4≤x ≤4)．在线段AD 上取点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，因为OM ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<32＋42＝5，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径．因此Q 选在D 处也不满足规划要求．综上，P 和Q 均不能选在D 处． (3)先讨论点P 的位置．当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求．当∠OBP ＝90°时，设P 1为l 上一点，且P 1B ⊥AB ，由(1)知，P 1B ＝15，此时P 1(－13，9)；当∠OBP >90°时，在△PP 1B 中，PB >P 1B ＝15. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置．由(2)知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求．当QA ＝15时，设Q (a ，9)，由AQ ＝（a －4）2＋（9－3）2＝15(a >4)，得a ＝4＋321，所以Q (4＋321，9)．此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．综上，当P (－13，9)，Q (4＋321，9)时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ ＝4＋321－(－13)＝17＋321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17＋321(百米)．[方法技巧]与圆有关应用题的求解策略(1)在与圆有关的实际应用题中，有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解，如本例，需通过条件到两个定点A ，B 的距离之比为定值3来确定动点(拦截点)的轨迹是圆．(2)与直线和圆有关的实际应用题一般都可以转化为直线与圆的位置关系或者转化为直线和圆中的最值问题．[演练冲关](2020·南京三模)如图，某摩天轮底座中心A 与附近的景观内某点B 之间的距离AB 为160 m ．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m 的圆柱体与一个半径为15 m 的半球体组成．圆柱的底面中心P 在线段AB 上，且PB 为45 m ．半球体球心Q 到地面的距离PQ 为15 m ．把摩天轮看作一个半径为72 m 的圆C ，且圆C 在平面BPQ 内，点C 到地面的距离CA 为75 m ．该摩天轮匀速旋转一周需要30 min ，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C 上一点)旋转一周，求该游客能看到点B 的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)解：以点B 为坐标原点，BP 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0，0)，Q (45，15)，C (160，75)．过点B 作直线l 与半圆Q 相切，与圆C 交于点M ，N ，连接CM ，CN ，过点C 作CH ⊥MN ，垂足为H .设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则点Q 到l 的距离为|45k －15|k 2＋1＝15，解得k ＝34或k ＝0(舍)．所以直线l 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0.所以点C (160，75)到直线l 的距离CH ＝|3×160－4×75|32＋（－4）2＝36. 因为在Rt △CHM 中，CH ＝36，CM ＝72，所以cos ∠MCH ＝3672＝12.又∠MCH ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠MCH ＝π3，所以∠MCN ＝2∠MCH ＝2π3，所以该游客能看到点B 的时长为30×2π32π＝10(min)．答：该游客能看到点B 的时长为10 min.[课时达标训练]A 组——大题保分练1.如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：法一：(1)如图(1)，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0，60)，C (170，0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43，① k AB ＝b －60a －0＝34.②联立①②解得a ＝80，b ＝120.所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d5－d ≥80，680－3d 5－（60－d ）≥80.解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．法二：(1)如图(2)，延长OA ，CB 交于点F .因为tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45，cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803，CF ＝OCcos ∠FCO＝8503，从而AF ＝OF －OA ＝5003. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003，从而BC ＝CF －BF ＝150. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO . 故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r6803－d＝35，所以r ＝680－3d5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d 5－d ≥80，680－3d 5－（60－d ）≥80.解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．2．(2020·苏锡常镇一模)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB ，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB 的垂直平分线OP 恰是该抛物线的对称轴(如图)．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD 区域种植草坪，其中A ，B ，C ，D 均在该抛物线上．经测量，直路AB 长为40米，抛物线的顶点P 到直路AB 的距离为40米．设点C 到抛物线的对称轴的距离为m 米，到直路AB 的距离为n 米．(1)求出n 关于m 的函数关系式；(2)当m 为多大时，等腰梯形草坪ABCD 的面积最大？并求出其最大值．解：(1)以路AB 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，则A (－20，0)，B (20，0)，P (0，40)． ∵曲线段APB 为抛物线的一段弧，∴可以设抛物线的解析式为y ＝a (x －20)(x ＋20)，将P (0，40)代入得40＝－400a ，解得a ＝－110，∴抛物线的解析式为y ＝110(400－x 2)．∵点C 在抛物线上，∴n ＝110(400－m 2)，0<m <20.(2)设等腰梯形ABCD 的面积为S ，则S ＝12×(2m ＋40)×110(400－m 2)，S ＝110(－m 3－20m 2＋400m ＋8 000)，S ′＝110(－3m 2－40m ＋400)＝－110(3m －20)(m ＋20)，令S ′＝0，得m ＝203.m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203 203 ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，20 S ′ ＋0 －S极大值∴当m ＝203时，等腰梯形ABCD 的面积最大，最大值为25 60027平方米．3．(2020·苏锡常镇二模)某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积； (2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为h 米，母线长为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V ＝36π.(1)由r ＝6，V ＝13πr 2h ＝36π，得h ＝3，所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝6π62＋32＝185π. 易知该容器的底面积为πr 2＝36π(平方米)，所以该容器的表面积为185π＋36π＝18(2＋5)π(平方米)．答：该容器的表面积为18(2＋5)π平方米．(2)因为V ＝13πr 2h ＝36π，所以r 2＝3×36ππh ＝108h ，其中h >0.则S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝πr 4＋r 2h 2＝π 1082h 2＋108h h 2＝π1082h 2＋108h ＝π108108h2＋h ，记f (h )＝108h 2＋h (h >0)，则f ′(h )＝－216h 3＋1＝h 3－216h3，令f ′(h )＝0，得h ＝6. 当h ∈(0，6)时，f ′(h )<0，f (h )在(0，6)上单调递减；当h ∈(6，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )在(6，＋∞)上单调递增．所以，当h ＝6时，f (h )最小，此时S 最小，最小值为183π. 答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．4．(2020·南京四校联考)如图，某生态园区P 的附近有两条相交成45°角的直路l 1，l 2，交点是O ，P 到直路l 1的距离为1 km ，到直路l 2的距离为 2 km ，现准备修建一条通过该生态园区的直路AB ，分别与直路l 1，l 2交于点A ，B .(1)当AB 的中点为P 时，求直路AB 的长度； (2)求△AOB 面积的最小值．解：以直路l 1所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．因为直路l 1，l 2相交成45°角，所以直路l 2所在直线的方程为x －y ＝0.因为P 到直路l 1的距离为1 km ，到直路l 2的距离为 2 km ，所以可设P (x 0，1)(x 0>1)，所以x 0－12＝2，解得x 0＝3，所以P (3，1)．(1)法一：设B (a ，a )，因为P (3，1)是AB 的中点，所以A (6－a ，2－a )．由于A 在x 轴上，所以2－a ＝0，即a ＝2.所以A (4，0)，B (2，2)，AB ＝（4－2）2＋（0－2）2＝2 2. 所以直路AB 的长度为2 2 km.法二：当直线AB 的斜率不存在时，不满足题意，舍去．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，由题意知k >1或k <0，则直线AB 的方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫3－1k，0.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，kx －y －3k ＋1＝0，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －1k －1，3k －1k －1.由P (3，1)是AB 的中点，得3k －1k －1＝2，解得k ＝－1，所以A (4，0)，B (2，2)，AB ＝（4－2）2＋（0－2）2＝2 2. 所以直路AB 的长度为2 2 km. (2)设B (a ，a )(a >1)，当a ＝3时，A (3，0)，所以△AOB 的面积为92 km 2.当a >1且a ≠3时，设直线AB 的方程为y －1＝a －1a －3(x －3)．令y ＝0，得x ＝2aa －1，即A ⎝⎛⎭⎪⎫2a a －1，0，所以S △AOB ＝12×2a a －1×a ＝(a －1)＋1a －1＋2≥2（a －1）×1a －1＋2＝4，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号．又92>4，所以△AOB 面积的最小值为4 km 2. B 组——大题增分练1．(2020·扬州期末) 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD (路的宽度忽略不计)，设∠BAD ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(1)当cos θ＝－55时，求小路AC 的长度； (2)当草坪ABCD 的面积最大时，求小路BD 的长度．解：(1)在△ABD 中，由BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos θ，得BD 2＝14－65cos θ，又cos θ＝－55，∴BD ＝2 5. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＝25. 在△ABD 中，由BDsin ∠BAD ＝AB sin ∠ADB ，得2525＝3sin ∠ADB ，解得sin ∠ADB ＝35.∵△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠CDB ＝π2且CD ＝BD ＝25，∴cos ∠ADC ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫∠ADB ＋π2＝－sin ∠ADB ＝－35. 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ＝(5)2＋(25)2－2×5×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝37，得AC ＝37，所以当cos θ＝－55时，小路AC 的长度为37 百米． (2)由(1)得BD 2＝14－65cos θ，S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×3×5×sin θ＋12×BD 2＝7＋352sin θ－35cos θ＝7＋352(sin θ－2cos θ)＝7＋152sin(θ－φ)，其中sin φ＝25，cos φ＝15，且φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.当θ－φ＝π2，即θ＝φ＋π2时，四边形ABCD 的面积最大，此时sin θ＝15，cos θ＝－25，∴BD 2＝14－65cos θ＝14－65×⎝⎛⎭⎪⎫－25＝26，∴BD ＝26，∴当草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 的长度为26百米． 2．(2020·南京盐城二模)某公园内有一块以O 为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB (劣弧AB ︵所对的扇形)所在的区域，其中点A ，B 均在圆O 上，观众席为梯形ABQP 以内、圆O 以外的区域，其中AP ＝AB ＝BQ ，∠PAB ＝∠QBA ＝2π3，且AB ，PQ 在点O 的同侧．为保证视听效果，要求观众席内的每一位观众到舞台O 处的距离都不超过60米(即要求PO ≤60)．设∠OAB ＝α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3.问：对于任意的α，上述设计方案是否均能符合要求？解：过点O 作OH 垂直于AB ，垂足为H . 在直角三角形OHA 中，OA ＝20，∠OAH ＝α，所以AH ＝20cos α，因此AB ＝2AH ＝40cos α，所以AB ＝AP ＝BQ ＝40cos α.由题图可知，观众席内点P ，Q 处的观众离点O 处最远．连接OP ，在△OAP 中，由余弦定理可知，OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA ·AP ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3 ＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos α－32sin α＝400(6cos 2α＋23sin αcos α＋1) ＝400(3cos 2α＋3sin 2α＋4) ＝8003sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋1 600.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以当2α＝π6，即α＝π12时，OP 2取得最大值，(OP 2)max ＝8003＋1600，即(OP )max ＝203＋20.同理，连接OQ ，在△OBQ 中，(OQ )max ＝203＋20.因为203＋20<60，所以观众席内的每一位观众到舞台O 处的距离都不超过60米．故对于任意的α，上述设计方案均能符合要求．3．(2020·无锡期末)我国坚持精准扶贫，确保至2020年农村贫困人口实现脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植工作，2020年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2020年初开始，若该村抽出5x 户(x ∈Z ，1≤x ≤9)从事水果包装、销售工作．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x 20，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1.6万)，则至少应抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2020年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售工作的户数；若不能，请说明理由．解：(1)由题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6，∵5x ＜100－5x ， ∴x ∈Z ，1≤x ＜10. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203在x ∈[1，9]上单调递增，由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，所以x 20≥0.2，得x ≥4，则5x ≥20. 答：至少抽出20户从事包装、销售工作．(2)假设该村每户年均纯收入能达到 1.35万元，由题意得，不等式1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20（100－5x ）≥1.35有正整数解，化简整理得3x 2－30x ＋70≤0，所以－153≤x －5≤153. 因为3<15<4，且x ∈Z ，所以－1≤x －5≤1，即4≤x ≤6.答：至2020年底，该村每户年均纯收入能达到1.35万元，此时从事包装、销售工作的农户数为20户，25户或30户．4．(2020·苏州期末)如图，长途车站P 与地铁站O 的直线距离为 5 千米，从地铁站O出发有两条道路l 1，l 2，经测量，l 1，l 2的夹角为π4，OP 与l 1的夹角θ满足tan θ＝12⎝⎛⎭⎪⎫其中0<θ<π2.现要经过P 修一条直路分别与道路l 1，l 2交于点A ，B ，并分别在A ，B 处设立公共自行车停放点．(1)已知修建道路PA ，PB 的价格分别为2m 元/千米和m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A ，B 之间的距离；(2)考虑环境因素，需要对OA ，OB 段道路进行翻修，OA ，OB 段的翻修价格分别为n 元/千米和22n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A ，B 点的位置．解：(1)以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，因为0<θ<π2，tan θ＝12，所以直线OP 的方程为y ＝12x ，设P (2t ，t )，由OP ＝5，得t ＝1，所以P (2，1)．法一：由题意得2m ·PA ＝m ·PB ，所以PB ＝2PA ，所以B 点的纵坐标为3，又点B 在直线y ＝x 上，所以B (3，3)，所以AB ＝32PB ＝352. 法二：由题意得2m ·PA ＝m ·PB ，所以BP ―→＝2PA ―→.设A (a ，0)(a >0)，又点B 在射线y ＝x (x >0) 上，所以可设B (b ，b )(b >0)，由BP ―→＝2PA ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝2（a －2），1－b ＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，B (3，3)，AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＋32＝352. 答：A ，B 之间的距离为352千米． (2)法一：设两段道路的翻修总价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ，设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，需y 最小．当AB ⊥x 轴时，A (2，0)，这时OA ＝2，OB ＝22，所以y ＝OA ＋22OB ＝2＋8＝10.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0且k ≠1)．令y ＝0，得点A 的横坐标为2－1k ，所以OA ＝2－1k，令x ＝y ，得点B 的横坐标为2k －1k －1，因为2－1k >0且2k －1k －1>0，所以k <0或k >1，此时y ＝OA ＋22OB ＝2－1k ＋4（2k －1）k －1， y ′＝1k 2＋－4（k －1）2＝－（k ＋1）（3k －1）k 2（k －1）2，当k <0时，y 在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，所以y min ＝y |k ＝－1＝9<10，此时A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32；当k >1时，y ＝2－1k ＋8（k －1）＋4k －1＝10＋4k －1－1k ＝10＋3k ＋1k （k －1）>10. 综上所述，要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距O 点322千米处．法二：如图，作PM ∥OA 交OB 于点M ，交y 轴于点Q ，作PN ∥OB 交OA 于点N ，因为P (2，1)，所以OQ ＝1，又∠BOQ ＝π4，所以QM ＝1，OM ＝2，所以PM ＝1，PN ＝OM ＝2，由PM ∥OA ，PN ∥OB ，得2OB ＝PA AB ，1OA ＝PB AB ，所以2OB ＋1OA ＝PA AB ＋PB AB ＝1，设两段道路的翻修总价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ，设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，需y 最小．y ＝OA ＋22OB ＝(OA ＋22OB )⎝ ⎛⎭⎪⎫2OB ＋1OA ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB ＋2OB OA ≥9，当且仅当OA ＝2OB 时取等号，此时OA ＝3，OB ＝322. 答：要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距O 点3 2 2千米处．。

2019年江苏高考数学二轮练习教学案(祥解)--函数的实际应用

2019年江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--函数的实际应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1. 零点问题，在掌握二分法的解题步骤基础上，学会分析转化，能够把与之有关的问题化归为方程零点问题、2. 函数模型的实际应用问题，主要抓住常见函数模型的训练，如幂指对模型，二次函数模型，数列模型，分段函数模型等，解答的重点是在信息整理和建模上、3. 掌握解函数应用题的方法与步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2) 用相关的函数知识进行合理的设计，确定最正确的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)、1. 函数f(x)＝e x＋x －2的零点为x 0，那么不小于x 0的最小整数为________、2.关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负实根，那么实数a 的取值范围是________、3.某工厂的产值月平均增长率为p ，那么年平均增长率为________、4.某人在2017年初贷款 m 万元，年利率为x ，从次年初开始偿还，每年偿还的金额都是n 万元，到2018年初恰好还清，那么n 的值是________、【例1】直线y ＝mx(m ∈R )与函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，12x 2＋1，x>0的图象恰有3个不同的公共点，求实数m 的取值范围、【例2】某村计划建造一个室内面积为 800 m 2的矩形蔬菜温室、在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地、当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【例3】 2018年青奥会水上运动项目将在J 地举行、截至2017年底，投资集团B 在J 地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发、经调研，从2017年初到2018年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元、(1) B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2) 假设从2018年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，2018年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.假设B 集团投资成功的标准是：从2017年初到2018年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问B 集团投资是否成功？【例4】函数f(x)＝－x 2＋8x ，g(x)＝6lnx ＋m.(1) 求f(x)在区间[t ，t ＋1]上的最大值h(t)；(2) 是否存在实数m ，使得y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，说明理由、1. (2017·浙江)x 0是函数f(x)＝2x＋11－x 的一个零点、假设x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，那么f(x 1)f(x 2)________0.(填“>”或“<”)、2.(2017·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x<A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)、工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________、3.(2017·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，假设一月至十月份销售总额至少达7 000万元，那么x 的最小值为________、4.(2017·重庆)设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的实根，那么m ＋k 的最小值为________、5.(2017·山东)某企业拟建造如下图的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π3立方米，且l ≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关、圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元、设该容器的建造费用为y 千元、(1) 写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2) 求该容器的建造费用最小时的r.6.(2017·福建)某商场销售某种商品的经验说明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数，销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克、(1) 求a 的值；(2) 假设该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大、(2017·湖南)(本小题总分值12分)如图，长方形物体E 在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c(c ∈R )、E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1) P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S 成正比，比例系数为110；(2) 其他面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d ＝100，面积S ＝32时、(1) 写出y 的表达式；(2) 设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少、解析：(1) 由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c|＋12，(2分)故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c|＋12＝5v (3|v －c|＋10). (6分)(2) 由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v－15 当c<v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝510－3c v＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 53c ＋10v －15，0<v ≤c ，510－3c v ＋15，c<v ≤10.( 8分)① 当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数、故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2. (10分) ② 当103<c ≤5时，在(0，c]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数；故当v ＝c 时，y min ＝50c . (12分)第4讲函数的实际应用①假设f(－x)＝－f(2＋x)，那么f(x)的图象关于点(1,0)对称；②假设f(－x)＝f(2＋x)，那么f(x)的图象关于直线x ＝1对称；③假设y ＝f(x ＋1)是奇函数，那么y ＝f(x)关于点(1,0)对称；④假设y ＝f(x ＋1)是偶函数，那么y ＝f(x)关于直线x ＝1对称、【答案】①②③④2.二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)、设函数f(x)＝g x x .(1)假设曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值；(2)k(k ∈R )取何值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点、解：(1)设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0那么g ′(x)＝2ax ＋b ；又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴2a ＝2，∴a ＝1.又g(x)在x ＝－1时取最小值，∴－b 2＝－1，∴b ＝2.∴g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，∴c ＝m.∴f(x)＝g x x ＝x ＋m x ＋2.设P(x 0，y 0)，那么|PQ|2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m. ∴22m 2＋2m ＝2，∴m ＝2－1或m ＝－2－1.(2)由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋m x ＋2＝0，得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0.(*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝－m 2；当k ≠1时，方程(*)Δ＝4－4m(1－k)＞0.假设m ＞0，k ＞1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m 1－k 21－k＝1±1－m 1－kk －1；假设m ＜0，k ＜1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m 1－k21－k ＝1±1－m 1－kk －1；当k ≠1时，方程(*)Δ＝4－4m(1－k)＝0，k ＝1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝1k －1.基础训练1.1解析：f(0)＜0，f(1)＞0，x 0∈(0,1)、2.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，5解析：由3a ＋25－a ＞1，得34＜a ＜5.3.(1＋p)12－14.m 1＋x 3x 2＋3x ＋3解析：m(1＋x)3＝n(1＋x)2＋n(1＋x)＋n.n ＝m 1＋x 3x 2＋3x ＋3.例题选讲例1解：作出函数f(x)的图象，可见要使直线y ＝mx(m ∈R )与函数f(x)的图象恰有三个不同的公共点，只要y ＝12x 2＋1(x ＞0)与直线y ＝mx(m ∈R )有两个交点，即12x 2＋1＝mx 有两个不等的正根，x 2－2mx ＋2＝0有两个不等的正根，∴{ Δ＝4m 2－8＞0m ＞0，解得m＞ 2.变式训练(2017·北京)函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2x ，x ≥2x －13，x ＜2，假设关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是________、【答案】(0,1)解析：f(x)＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x －1)3(x ＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，f(x)＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是(0,1)、例2解：设温室的长为xm ，那么宽为800x m 、由得蔬菜的种植面积为Sm 2：S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －4＝800－4x －1 600x ＋8＝808－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋400x ≤648(当且仅当x ＝400x 即x ＝20时，取“＝”)、答：当矩形温室的边长分别为20m ，40m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648m 2. 变式训练某学校拟建一块周长为400m 的操场如下图，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间区域矩形的长、宽分别为xm 、ym ，中间的矩形区域面积为Sm 2.那么半圆的周长为πy 2m ，因为操场周长为400m ，所以2x ＋2×πy 2＝400，即2x ＋πy ＝400.∴S ＝xy ＝12π·(2x)·(πy)≤12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋πy 22＝20 000π，由{ 2x ＝πy 2x ＋πy ＝400，解得⎩⎨⎧ x ＝100y ＝200π.当⎩⎨⎧ x ＝100y ＝200π时等号成立、答：设计矩形的长为100m ，宽约为200π(≈63.7)m 时，面积最大、例3解：(1)设B 集团用于水上运动项目的投资为x 百万元，四年的总利润为y 百万元，由题意，y ＝0.2(100－x)＋x ＋10＝－0.2x ＋x ＋30，x ∈[0,100]、即y ＝－0.2(x －2.5)2＋31.25，x ∈[0,10]、所以当x ＝2.5，即x ＝6.25时，y max ＝31.25.答：B 集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元、(2)由(1)知，在上缴资源占用费前，y max ＝31.25，y min ＝20.由题意，从2018年到2018年，B 集团需上缴J 地政府资源占用费共为2(1＋1.11＋1.12)＝6.62百万元、所以B 集团这四年的预期利润中值为31.25＋202－6.62＝19.005. 由于19.005100＝19.005%＞18%，所以B 集团投资能成功、答：B 集团在J 地投资能成功、注：假设水上运动项目的利润改为该项目投资额的算术平方根的k(k ＞0)倍，如何讨论？例4解：(1)f(x)＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16.当t ＋1＜4，即t ＜3时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递增、h(t)＝f(t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1)＝－t 2＋6t ＋7；当t ≤4≤t ＋1，即3≤t ≤4时，h(t)＝f(4)＝16；当t ＞4时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t 2＋8t.综上，h(t)＝{ －t 2＋6t ＋7，t ＜316，3≤t ≤4t 2＋8t ， t ＞4. (2)函数y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点、∵φ(x)＝x 2－8x ＋6lnx ＋m ，∴φ′(x)＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x ＝2x －1x －3x (x ＞0)，当x ∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x ∈(1,3)时，φ′(x)＜0，φ(x)是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x ＝1或x ＝3时，φ′(x)＝0.∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m －7，φ(x)极小值＝φ(3)＝m ＋6ln3－15.∵当x 充分接近0时，φ(x)＜0，当x 充分大时，φ(x)＞0.∴要使φ(x)的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须{ φx 极大值＝m －7＞0φx 极小值＝m ＋6ln3－15＜0，即7＜m ＜15－6ln3. 所以存在实数m ，使得函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln3)、高考回顾1.＜解析：f(x)在(1，＋∞)单调递增，f(x 0)＝0，f(x 1)＜0，f(x 2)＞0.2.60,16解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即f(4)＝c 4＝30c ＝60，f(A)＝60A ＝15A ＝16.3.20解析：3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，x ≥20.4.13解析：设f(x)＝mx 2－kx ＋2，那么方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根等价于⎩⎨⎧f 0f 100＜k 2m ＜1k 2－8m ＞0，因为f(0)＝2，所以f(1)＝m －k ＋2＞0，故抛物线开口向上，于是m ＞0,0＜k ＜2m ，令m ＝1，那么由k 2－8m ＞0，得k ≥3，那么m ＞k 2≥32，所以m 至少为2，但k 2－8m ＞0，故k 至少为5，又m ＞k 2≥52，所以m 至少为3，又由m ＞k －2＝5－2，所以m 至少为4，…，依次类推，发现当m ＝6，k ＝7时，m ，k 首次满足所有条件，故m ＋k 的最小值为13.5.解：(1)因为容器的体积为803π立方米，所以43πr 3＋πr 2l ＝803π，解得l ＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ，由于l ≥2r ，因此0<r ≤2，所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c ，因此y ＝160πr －8r 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]、(2)y ′＝－160πr 2－16r ＋8πcr ＝8π[c －2r 3－20]r 2，由于c>3，所以c －2>0，当r 3＝20c －2时r ＝320c －2，令320c －2＝m ，那么m>0，所以y ′＝8πc －2r 2(r －m)(r 2＋mr ＋m 2)、 ①当0<m<2即c>92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m)时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点，②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减，所以r ＝2是函数y 的最小值点、综上，当3<c ≤92时，建造范围最小时r ＝2；当c>92时，建造费用最小时r ＝320c －2.6.解：(1)因为x ＝5时y ＝11，所以a 2＋10＝11a ＝2.(2)由(1)知该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润：f(x)＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6； f ′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，令f ′(x)＝0得x ＝4. 函数f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x ＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.答：当销售价格x ＝4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元、。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1 ×６2× 2＝
24(m3)
；
3
3
正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的体积 V柱＝ AB2· O1O＝ 62×8＝ 288(m3) ．所以仓库的容积 V＝ V 锥＋ V 柱＝ 24＋ 288＝ 312(m3) ． (2) 设 A1B1＝ a m， PO1＝ h m，则 0＜h＜ 6， O1O＝4h. 连结 O1B1. 因为在 Rt △ PO1B1 中， O1B21＋ PO21＝PB21，
48 x＋ 1＋
x＋
≤67－ 2
＝43.
48
当且仅当
x＋
＝3( 1
x＋
1)
时，即
x＝3 时取等号．
故 L( x) ＝ max 43.
答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是
48
x＋1
x＋
4 300 元 .
48 法二： L′（x) ＝ x＋ 2－3，由 L′（x) ＝ 0，得 x＝ 3. 故当 x∈ (0,3) 时， L′（x)>0 ， L( x) 在 (0,3) 上单调递增；当 x∈(3,5) 时， L′（x)<0 ， L( x) 在(3,5) 上单调递减．所以当 x＝ 3 时， L( x) 取得极大值，也是最大值，故 L( x) ＝ max L(3) ＝ 43. 答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是 4 300 元． 2．(2017 ·南通三模 ) 如图，半圆 AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径 OA的长为 1 百米．为了保护景点，基地管理部门从道路 l 上选取一点 C，修建参观线路 C －D－ E－ F，且 CD， DE， EF均与半圆相切，四边形 CDEF是等腰梯形．设 DE＝ t 百米，记修
所以 2a 2＋ h2＝36， 2
即 a2＝ 2(36 － h2) ．
于是仓库的容积
V＝
V
柱＋
V
锥
＝
a2
·４h＋
1 3
a2
·
h＝
13 3
a2
h＝
26 (36
3
h－
h3
)
，
0＜
h＜
6，
从而
V′＝
26 (36
－
3h2)
＝
26(12
－
h2)
．
3
令 V′＝ 0，得 h＝ 2 3 或 h＝－ 2 3( 舍去 ) ．
HF＝
FG＝
EF－
t 2
.
由 EF2＝ 1＋ HF2＝ 1＋

1 EF－ 2t
2,
t1 所以 EF＝ 4＋ t (0< t <2) ．
t1
答： EF的长为
＋ 4
t
百米．
(2) 设修建该参观线路的费用为 y 万元．
1
t1
32
①当
0<t ≤ 时， y＝ 5 3
2
4＋t
＋t
＝5
t 2
＋
t
，
32
1
由 y′＝ 5 2－ t 2 <0，得 y 在 0， 3 上单调递减．
年应用考题
是解不等式模型， 2014 年应用考题
可以理解为一次函数模型，也可
以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还是有趣的，
2015、 2016 年应用考题
都先构造函数，再利用导数求解 .2016 、 2017 年应用考题是立体几何模型， 2017 年应
用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解
(2) 当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基
本不等式求解，此时可根据变量的范围对应函数的单调性求解．
[ 变式训练 ] (2017 ·苏州期末 ) 某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥 ( 如图 1) 将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸 ( 图 2) 如下，
其中，点 A，E 为 x 轴上关于原点对称的两点，曲线段 BCD是桥的主体， C为桥顶，并
(1) 求利润函数 L( x) 的函数关系式，并写出定义域； (2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
3
48
解： (1) L( x) ＝ 16 4－ x＋ 1 － x－ 2x＝ 64－ x＋ 1－ 3x(0 ≤ x≤5) ．
48 (2) 法一： L( x) ＝ 64－ x＋ 1－ 3x＝ 67－
当 0＜h＜ 2 3时， V′＞ 0， V 是单调增函数；
当 2 3＜ h＜ 6 时， V′＜ 0， V 是单调减函数．
故当 h＝ 2 3 时， V 取得极大值，也是最大值．
因此，当 PO1＝ 2 3 m 时，仓库的容积最大． [ 方法归纳 ]
解函数应用题的四步骤
[ 变式训练 ] 1．(2017 ·苏锡常镇二模 ) 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 w( 单位：百千克 )
(1) 若 AB＝ 6 m， PO1＝ 2 m，则仓库的容积是多少？
(2) 若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？
[ 解 ] (1) 由 PO1＝2 知 O1O＝ 4PO1＝ 8.
因为 A1B1＝AB＝ 6，
所以正四棱锥 P- A1B1C1D1 的体积
V锥＝
1 ·
A1B21 ·PO1＝
93 ＋ 4－ 4x( x≥0) ．
4t － 3 9 3
48
3
(2) 令 x ＋ 1 ＝ t ( t ≥1) ，则 W＝16· t ＋ 4 － 4 ( t － 1) ＝ 64－ t ＋ 3－ 4t ＝ 67 －
16 t 3 t ＋4 .
16 t
16 t
∵ t ≥1，∴ t ＋ 4≥２ t · 4＝ 4，即 W≤55，
② P 在曲线段 BC 上时，则通过该点所需要的爬坡能力 16x 2 ＋ x2 2( x∈[ － 2,0]) ，
－ 16x
( MP) 2＝ ( － x) ·
＋ x2 2 ＝
设 t ＝x2， t ∈ [0,4] ， ( MP) 2＝ y＝
16t ＋ t 2.
当 t ＝0 时， y＝0；
16
当 0＜t ≤４时， y＝ 16
且曲线段 BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为
8 y＝ 4＋x2( x∈ [ － 2，2]) ，曲线段 AB， DE
均为开口向上的抛物线段，且 A，E 分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处 ( B，D) 的切线的斜率相等．
(1) 求曲线段 AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域； (2) 车辆从 A 经 B 到 C爬坡，定义车辆上桥过程中某点 P 所需要的爬坡能力为： M＝( 该点 P 与桥顶间的水平距离 ) ×( 设计图纸上该点 P处的切线的斜率 ) 其中 MP 的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车： ①游客踏乘； ②蓄电池动力； ③内燃机动力，它们的爬坡能
16 t 当且仅当 t ＝ 4，即 t ＝ 8 时， W有最大值 55，此时 x＝7.
即当年广告费为 7 万元时，企业年利润最大，最大值为 55 万元．
[ 方法归纳 ]
利用基本不等式求解实际应用题的注意点
(1) 此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，
转化为数学问题求解．
3 与肥料费用 x( 单位：百元 ) 满足如下关系： w＝4－ x＋ 1，且投入的肥料费用不超过 5 百元．此外，还需要投入其他成本 ( 如施肥的人工费等 )2 x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元 / 千克 ( 即 16 百元 / 百千克 ) ，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为 L( x)( 单位：百元 ) ．
∴曲线段 AB在图纸上对应函数的解析式为
y＝
1 16(
x＋6)
2(
－6≤
x≤－
2)
．
(2) 设 P 为曲线段 AC上任意一点．
① P 在曲线段 AB上时，则通过该点所需要的爬坡能力
2
＋3) － 9] ，
1
1
( MP) 1＝ ( － x) · 8( x＋ 6) ＝－ 8[( x
9 在 [ － 6，－ 3] 上为增函数， [ － 3，－ 2] 上是减函数，所以爬坡能力最大为 8米；
所以 EF＝
t 1t 4＋ t － 2
2
＋
1＝
t 4
＋
1 t
，
t1 即 EF＝ 4＋ t (0< t <2) ．
法二：设 EF 切圆 O于点 G，连结 OG，
过点 E作 EH⊥ AB，垂足为 H.
因为 EH＝ OG，∠ OFG＝∠ EFH，∠ GOF＝∠ HEF，
1
所以
Rt△ EHF≌Rt △ OGF，所以
1 所以当 t ＝时， y 取最小值为 32.5.
3
1
1 t1
16 3 2
②当
<t 3
<2
时，
y＝
8－ t
2 4＋ t ＋ t ＝ 12t ＋ t － 2－ t 2，
16 4
t－
所以 y′＝ 12－ t 2 ＋ t 3＝
t 2＋ 3t －
t3
，
1 因为 3<t <2，所以
3t 2＋ 3t －1>0，
t 由题意得，点 E的坐标为 2， 1 ，
t 设直线 EF 的方程为 y－ 1＝ k x－ 2 ( k<0) ，
1 即 kx－ y＋ 1－2tk ＝ 0.
因为直线 EF 与半圆相切，
所以圆心 O到直线 EF 的距离为
1 1－2tk
k2＋ 1 ＝1，
4t 解得 k＝ t 2－ 4.

2019-2020年高考数学二轮复习专题六应用题教学案

2020版高考数学二轮复习专题教案汇编全集 理

2019-2020年高三数学第二轮复习教案数列问题的题型与方法二人教版

2019届二轮复习 专题六 实验 第Ⅲ课时 实验大题分类例析——系统高考 课件(适用全国)