Gronwall不等式的一个证法讨论
毕业设计（论文）gronwall不等式在微分方程中的应用
摘要Gronwall的不等式又称为Gronwall -贝尔曼不等式。
由Gronwall在1919年发现其微分形式并证明，是在数学中一种十分重要的不等式。
其有各种不同的性质。
Gronwall不等式通常可以运用来估测函数矩阵中解的应用与分析。
例如,运用Gronwall不等式来证函数矩阵的唯一性的解。
且同样其还在微分方程中有着许多其他方面的运用。
例如在常微分方程及积分方程的求解与运用中,都占有不可或缺的作用。
所以本文将主要对Gronwall不等式的若干性质进行阐述并推广以及应用。
并且用Gronwall 不等式的相关性质及推广来解决在微分方程中的问题及其相关证明，以及阐明Gronwall的重要意义。
关键词：Gronwall不等式；微分方程；范数AbstractGronwall's inequality is also known as the Gronwall Behrman inequalities. By Gronwall in 1919 found that the differential form and proof in mathematics is a very important inequality. The properties of different kinds of.Gronwall inequality can usually be employed to estimate the application and analysis of the functions of the solution matrix. For example, the uniqueness of solution by Gronwall to prove the inequality function matrix. And also it also has a differential equation with many other aspects. For example in the solution and application of ordinary differential equations and integral equations, plays an indispensable role So this paper will mainly on some properties of Gronwall inequality is expounded and promotion and application. And related properties of Gronwall inequality and generalized to solve the differential equations of the problem and relevant evidence, and to clarify the significance of Gronwall.Keywords: Gronwall inequality ; differential equation; norm目录摘要 (I)Abstract (II)目录.................................................................................................................... I II 第一章绪论. (1)1.1课题研究目的与意义 (1)1.2 Gronwall基本不等式及证明 (1)1.2.1 Gronwall不等式的基本思想 (1)1.2.2 Gronwall不等式证明 (2)第二章Gronwall不等式在常微分方程的数值解法 (5)2.1常微分方程初值问题的一般算法 (5)2.2微分方程数值解法的一般步骤 (7)2.3Gronwall不等式 (7)2.3.1 解初值问题的Gronwall不等式 (7)2.3.2 Gronwall不等式的局部截断误差估计 (8)2.3.3梯形法 (9)第三章Gronwall不等式的相关推广 (14)3.1非负变量下的Gronwall不等式 (14)3.2函数矩阵范数的Gronwall积分不等式 (14)3.3 Gronwall不等式二重积分推广 (16)第四章Gronwall不等式在微分方程中的应用 (19)4.1 Gronwall不等式在一阶微分方程中唯一性问题的应用 (19)4.2 Gronwall不等式在函数矩阵微分方程解的唯一性的应用 (20)4.3 Gronwall不等式在抽象微分方程中解的应用 (21)4.4 Gronwall不等式在常微分方程中的应用 (22)4.4.1Gronwall不等式在常微分方程中解的不等式性质应用 (22)4.4.2Gronwall不等式在常微分方程中解的整体存在性应用 (22)4.5 Gronwall不等式在线性微分方程中的应用 (24)第五章总结 (25)参考文献 (26)致谢 (27)第一章 绪论1.1课题研究目的与意义 Gronwall 在数学运用中占有十分重要的作用，尤其是在微分方程的领域,其具各种不同的性质及作用。
一类Gronwall-Bellman型不等式的统一证明及其推广
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一类 / A $ C ^ B % % I T = % % \ B C 型不等式的 统一证明及其推广
周英告
# 中南大学 数学科学与计算技术学院 % 长沙 F $ * ( ( 8 9 摘 ! 要 " 借助一个极普通的比较定理 % 通过解普通的常微分方程 % 对一类 / A $ C ^ B % % I T = % % \ B C 型不等式及 !! ! 并将其进一步推广 & 研究表明 % 这种方法极具实用性% 利用这种方法我们可以构建几 其推广进行了统一证明 % 从而为解决一类实际问题提供便捷的途径 & 乎所有这种类型的不等式 % ! 关键词 " 比较定理 & 常微分方程 / A $ C ^ B % % I T = % % \ B C 不等式 & ! 中图分类号 ", 文献标识码 "1!! ! 文章编号 "* # $ * G *!! ! ) G ! I * F " F ! ( ( ) ( " I ( ( 9 * I ( "
Gronwall_Bellman不等式的一种新证法
Α
Α
ΘA ( r) ・∑
t
∞
Α
n= 0
1 ( n!
t
ΘA (s) ds) d r≤∑ n1! ( Θ A ( r) d r)
r n t
∞
n
Α
n= 0
Α
即
E+
ΘA (s) e∫
s
Α
A ( r) d r Α
A Α ∫ d s≤e
t
( s ) ds
又因为 k ( t) 为非负单调增, 所以
k ( t) +
t
( 6)
u ( t) ≤
由引理 212 类似定理 211 可证 u ( t) ≤0, 即
ΘA (s) u (s) ds
t
Α
A ( s ) ds Α ∫ ・K ( t) x ( t ) ≤e
t
定理 214 若 n 维非正单调增列向量函数 K ( t) , n 维列向量函数 x ( t) 和 n 阶三角形非负方阵 , Β〕 连续, 且Π t∈〔 , Β〕 满足 A ( t) 的所有分量在区间〔 Α Α
A new m ethod of prov ing gronwa ll- bellman inequa l ities
ZEN G Zh i2gang, TAN G Yang 2jun
(D ep a rtm en t of M a them a t ice, H ubei N o rm a l U n iversity, H uang sh i 435002)
B ellm an Inequa lities by ana lytic techn ique. Abstract: W e ob ta in a new m ethod fo r p roving gronw a ll2 Key words: inequa lity; con tinua tion; nonnega tive function
关于Gronwall-Bellman不等式
R
.
’
中 的 有 界可 测 集
*
,
I Q 贝 J
,
x
Q是 R
.
x
R
.
中 的
有 界可 测 集
引理
2`
6 ’
且
u
m
,
x
Q )
s
x 二
Q
如果
Q
*
(
x
) 和f (
x
) 是 可 测 集合 口
。
x
Q 中 的 非 负可 测 函 数
,
则
u
(s
,
x
)f(s
,
x
)
也 是 集合
` 引理 3
“ ’
x
Q 中 的 非 负可 测 函 数
+
,
…
+
S
”
2
(
。
,
r
>
o
)
。
m t
维 欧 氏空间 R 〔R
” ,
’
中 的 有 界 可 测集合
〔R
:
,
。
并且 m Q 今
这 里 m Q 表 示 集 合 Q 的 测度
以下 总
x
、
g
、
z
先 引 入下 面 的 引 理
引 理 1`
“
’
如果 9
,
*
亡R > ( Q
s
,
r
)
、
Q 分别 是 R
= m Q
, ;
” 、
,
证 明 与此 类 似 )
。
) 我们 有
u
M+
Gronwall不等式的证明及有关应用
调 不 增 ，故
ｕ（ｔ）·ｅｘｐ［一Ｊ ｇ（ｓ）ｄｓ］≤
（ ）－ｅｘｐ［一ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］＝ （ ）＝
ｋ＋ｆ ）ｇ（ｓ） ＝ｋ，
’
￡）≤ｋ＋Ｉ ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ， ≤￡≤
（ ）， （ ）为在 ≤ ≤ 。＋ｈ上初值问题
Ｊ『 ＝ ” ）
Ｉ （ ）一 （ ）Ｉ≤ｌ （‰）一 （‰）１．ｅｘｐ（Ｌ ｌ 一‰Ｉ）。 例 ２（解 的整体存 在性 ） 设 函数 ，Ｙ）在 区
域 Ｊ Ｘ Ｒ内连续 ，Ｊ＝（０，ｂ）且满足 ｌ ｆ（ｘ，Ｙ）ｆ≤ｐ（ｘ）＋ｑ（ｘ）·ｆ Ｙ Ｉ，
ｘｏ
Ｊ ， （ ）］ Ｉ≤
ｘｏ
ｌ ｌ ， （ ）］一 ， （ ）］Ｉ ≤
Ｊ ｘ０
Ｊ ）
（３）
ｔｙ（ｘ０）＝Ｙｏ
的解在整个 ＇，上存在 。
证 明 由题知初值 问题（３）的解 Ｙ＝ （ ， 。，
）是局部存 在 的，设 垒 （ ， ，Ｙｏ）是初 值 问题
（３）在某一区间 。≤ ≤卢（卢∈Ｊ）上的解 。令 为
（１） 或 （ ）≤ｋ·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］， ≤ｆ≤卢
则有 ｔ）≤ｋ·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］， ≤ ≤卢。
由（１）式知， ￡）≤“（￡）≤南·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］。
证明（方法一） 令ｕ（ｆ）＝ｋ＋ｆ ｓ）ｇ（ｓ） ，
由 （１） 式 知 ｔ） ≤ ｕ（ｔ），在 ≤ ｔ≤ 上 ， ＝ ￡）ｇ（￡），由 ）≤ （ ）及 ｇ（￡）≥ ０知 ，
解 的存在唯一性定理 中的唯一 陛。
由此可知Ｍ（ｔ）·ｅｘｐ［一Ｉ ｇ（ｓ）ｄｓ］在 ≤ ≤卢上单
Gronwall不等式在微分方程中的应用
目录
• Grönwall不等式的简介 • Grönwall不等式在微分方程中的应
用 • Grönwall不等式的证明 • Grönwall不等式的实际应用 • Grönwall不等式的局限性和未来发
展 • 结论
01 Grönwall不等式的简介
Grönwall不等式的定义
VS
详细描述
首先，根据实际问题建立数学模型，将问 题转化为不等式形式；然后，利用 Grönwall不等式对不等式进行求解；最 后，将求解结果应用于实际问题中，得出 结论并进行验证。
04 Grönwall不等式的实际 应用
在物理中的应用
量子力学
Grönwall不等式在量子力学中用于描述粒子波函数的演化，特别是在处理含时薛定谔方程时，确保波函数的范数在时 间演化过程中保持不变。
的不等式。
解释
形式一是Grönwall不等式的 常见形式，用于研究函数的单 调递减性质；形式二则是研究
函数的单调递增性质。
02 Grönwall不等式在微分 方程中的应用
一阶微分方程
总结词
Grönwall不等式可以用于处理一阶微分方程，确保解的存在性和唯一性。
详细描述
对于形如 (y' = f(t, y)) 的一阶微分方程，其中 (f) 是连续函数，Grönwall不等式 可以用于证明解的存在性和唯一性。通过构造适当的辅助函数，利用Grönwall不 等式的性质，可以证明解的存在性和唯一性。
Grönwall不等式的形式
形式一
如果$u(t) leq k(t) + int_{0}^{t} f(s) u(s) ds$，其 中$k(t)$和$f(t)$是已知函数， 那么我们称$u(t)$满足形式一
Gronwall不等式
格朗沃尔不等式在数学中，格朗沃尔引理或格朗沃尔不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。
格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。
积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。
格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。
比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。
格朗沃尔不等式的名称来自多玛·哈肯·格朗沃尔。
格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。
格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明[1]。
而积分形式则是由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）在1943年证明[2]。
微分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或[a, b] 或[a, b)，其中a < b。
又设β和u为定义在I上的实数值的连续函数。
假设u 是一个在I的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：那么对于所有的，函数u都小于等于以下微分方程的解：注意：不等式对函数β和u的符号没有任何要求。
证明如果设是以下微分方程其中v(a) = 1 的解，那么对所有的t都有v(t) > 0，因此根据复合函数求导法则中的除法定则：对所有的t > a成立，因此于是格朗沃尔不等式得证。
积分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或[a, b] 或[a, b)，其中a < b。
又设α、β和u为定义在I上的实数值的函数。
假设β和u是连续的，则有：∙(a) 如果β是非负函数并且u满足如下的积分不等式：，那么(b) 如果在之前的条件下，α还是一个常数，那么注意：∙不等式的成立条件里并没有限制α和u的符号；∙相比于微分形式，积分形式中对函数u的可微性没有做要求；证明(a) 定义则运用复合函数求导法则中的乘法法则、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：由于注意到括号中的部分小于α，可以得到相应的不等式，并进行积分。
证明gronwall不等式
证明gronwall不等式首先，我们需要明确Gronwall不等式的定义。
Gronwall不等式是一种重要的微分不等式，它可用于估计函数在某个区间上的最大值。
该不等式以E.T. Gronwall的名字命名，他在1915年首次发表了这个不等式。
Gronwall不等式的形式如下：如果$y$是一个非负函数，并且在$[a, b]$区间上可微，那么对于所有在$[a, b]$区间的$t$，我们有：$y(t) \leq y(a) + \int_{a}^{t}f(s)y(s)ds$其中，$f(s)$是一个非负函数。
现在，我们将通过一个例子来证明Gronwall不等式。
假设我们有一个函数$y(t)$，它在$[a, b]$区间上可微，并且满足以下条件：$\frac{dy}{dt} \leq f(t)y(t)$其中，$f(t)$是一个非负函数。
我们将上述不等式两边同时乘以$e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds}$，得到：$\frac{dy}{dt}e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds} \leq f(t)y(t)e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds}$将上述不等式的两边从$a$到$t$进行积分，我们得到：$y(t)e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds} - y(a) \leq \int_{a}^{t}f(s)y(s)e^{- \int_{a}^{s}f(u)du}ds$由于$e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds}$始终大于等于0，所以上述不等式的左边部分可以进一步简化：$y(t)e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds} \leq y(a) + \int_{a}^{t}f(s)y(s)e^{- \int_{a}^{s}f(u)du}ds$然后对上述不等式两边取对数：$\ln y(t) - \int_{a}^{t}f(s)ds \leq \ln y(a) + \int_{a}^{t}\frac{f(s)}{y(s)}y(s)e^{-\int_{a}^{s}f(u)du}ds$然后我们可以利用对数的性质进一步简化上述不等式：$\ln y(t) - \int_{a}^{t}f(s)ds \leq \ln y(a) + \int_{a}^{t}\frac{f(s)}{y(s)}y(s)\left(\frac{1}{y(s)}e^{-\int_{a}^{s}f(u)du}\right)ds$即：$\ln y(t) - \int_{a}^{t}f(s)ds \leq \ln y(a) + \int_{a}^{t}\frac{f(s)}{y(s)}dy(s)$然后利用微积分的基本定理，我们可以得到：$\ln y(t) - \int_{a}^{t}f(s)ds \leq \ln y(a) + [y(t)-y(a)]\frac{f(t)}{y(t)}$即：$\ln y(t) - y(t)\frac{f(t)}{y(t)} \leq \ln y。
gronwall不等式的证明
Gronwall不等式的证明1. 引言Gronwall不等式是数学中的一种重要不等式，它在分析、微分方程和控制理论等领域有广泛的应用。
Gronwall不等式的证明过程相对复杂，但是它的重要性不言而喻。
本文将从数学原理出发，详细介绍Gronwall不等式的证明过程，希望能对读者有所帮助。
2. Gronwall不等式的表述我们来看一下Gronwall不等式的具体表述：设$0 \leq f(t) \leq\alpha + \int_{a}^{t} [k(s)f(s) + g(s)]ds$, 其中$\alpha$, $k(t)$和$g(t)$是已知的非负常数，$a\leq t \leq b$，则有$f(t) \leq \alphae^{K(b - a)} + \int_{a}^{t} g(s)e^{k(t-s)} ds$。
3. 证明为了证明Gronwall不等式，我们首先引入一个引理。
引理：设$u(t) \geq 0$为区间$[a,b]$上的连续函数，并且满足$u(t)\leq \alpha + \int_{a}^{t} g(s)u(s) ds$，其中$\alpha$和$g(t)$为已知的非负常数，则有$u(t) \leq \alpha e^{K(b - a)}$。
证明：我们构造一个函数$v(t) = \alpha + \int_{a}^{t} g(s)u(s)ds$，则$v'(t) = g(t)u(t)$。
根据积分第一定理，我们有$v'(t) = \alpha +\int_{a}^{t} g(s)u(s)ds - v(a)$。
由于$u(t) \geq 0$，则$v'(t) \geq \alpha$。
$v(t) \geq \alpha(t - a)$。
又因为$v(t) = \alpha +\int_{a}^{t} g(s)u(s)ds \leq \alpha + \int_{a}^{t} g(s)v(s)ds$，由Gronwall引理可知$v(t) \leq \alpha e^{K(b - a)}$。
gronwall 不等式的三种证明及其应用
gronwall 不等式的三种证明及其应用
一、证明：
1、反证法：假设存在$t_0$使得$u(t_0) > \varphi(t_0)$，则有
$$u(t) \geq u(t_0) > \varphi(t_0) \geq \varphi(t)$$
反之，则有$u(t) \leq \varphi(t)$，从而得证。
2、数学归纳法：设$u(t_0) \leq \varphi(t_0)$，则有
$$u(t_0+h) \leq u(t_0) + \lambda h \leq \varphi(t_0) + \lambda h \leq \varphi(t_0+h)$$ 令$h \rightarrow 0$，则有$u(t) \leq \varphi(t)$，从而得证。
3、函数分析法：假设$u(t)$和$\varphi(t)$都是连续函数，则有
$$\frac{d}{dt}(u(t)-\varphi(t))=u'(t)-\varphi'(t) \leq \lambda (u(t)-\varphi(t))$$
从而有$u(t) \leq \varphi(t)$，从而得证。
二、应用：
1、可以用来证明解的存在性和唯一性；
2、可以用来证明一些积分不等式；
3、可以用来证明一些微分不等式；
4、可以用来证明一些动力系统的稳定性；
5、可以用来证明一些最优化问题的最优性；
6、可以用来证明一些经济学模型的稳定性。
gronwall-bellman积分不等式
标题：探究gronwall-bellman积分不等式在数学分析领域中，gronwall-bellman积分不等式是一种重要的不等式，它在许多领域的研究和应用中都起着重要作用。
本篇文章将从简单的概念开始，逐步深入探讨gronwall-bellman积分不等式，以帮助读者更全面地理解这一概念。
1. 什么是gronwall-bellman积分不等式？gronwall-bellman积分不等式是一种关于函数在积分方程中的性质的不等式。
简单来说，它描述了一个函数与其在积分方程中的积分之间的关系，通常被用来研究微分方程、泛函分析等领域的问题。
2. gronwall-bellman积分不等式的数学表达gronwall-bellman积分不等式通常可以用以下形式表示：设函数$u(t)$在区间$[a, b]$上满足不等式：\[u(t) \leq K + \int_a^t g(s)u(s)ds\]其中$K$为常数，$g(t)$为区间$[a, b]$上的已知函数，则有：\[u(t) \leq K \exp \left( \int_a^t g(s)ds\right)\]3. gronwall-bellman积分不等式的应用领域gronwall-bellman积分不等式在微分方程、泛函分析、控制论等领域都有广泛的应用。
在微分方程的稳定性分析中，gronwall-bellman积分不等式常常被用来证明解的存在性和唯一性，以及解的收敛性和稳定性。
在控制论中，它也被用于研究系统的稳定性和收敛性问题。
4. 个人观点与总结回顾个人观点上，gronwall-bellman积分不等式是一种非常有用的数学工具，它不仅能够帮助我们理解和分析微分方程、泛函分析等问题，还能够指导实际问题的求解和分析。
总结回顾来说，gronwall-bellman积分不等式是一种重要的数学工具，它在许多领域都有广泛的应用。
通过对该不等式的深入研究，我们可以更好地理解和掌握微分方程、泛函分析等领域的理论和方法，从而为实际问题的求解和分析提供有力的支持。
关于Gronwall不等式的一个注记
关于Gronwall不等式的一个注记
赵云
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2011(014)004
【摘要】In this note, a new proof of Gronwall inequality is given by constructing an auxiliary function, and a new inequality is obtained. Using Gronwall inequality, a proof of the uniqueness of solutions for first order differential equations is provided.%通过构造辅助函数的方法,给出Gronwall不等式的一个新证明,并由此得到一个新不等式,最后利用Gronwall不等式证明一阶微分方程解的唯一性.
【总页数】2页(P17-18)
【作者】赵云
【作者单位】苏州大学数学科学学院．江苏苏州215006
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1;O178
【相关文献】
1.关于Gronwall不等式的注记 [J], 梁绍君
2.关于Gronwall不等式证明的注记 [J], 孙莉
3.关于随机Gronwall不等式的一点注记 [J], 李杰民
4.广义Gronwall不等式及相关注记 [J], 孔志宏;
5.关于Gronwall不等式的一个注记 [J], 王世祥;杨丽贤
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Gronwall不等式的推广
根据归纳法不难证明 un (t) ≤ cn + cn−1 w(t) c1 wn−1 (t) c0 wn (t) + ··· + + . 1! (n − 1)! n! (5)
于是为证不等式 (4)， 我们只要证
n ∑ cn−k wk k=0
k!
≤
c′0 + c′1 + · · · + c′n 2w e , n+1
∫t
t0
∫
t t0
v (s)u0 (s)ds ≤ c1 + c0 w(t),
v (s)ds. 显然 w′ (t) = v (t), w(t) ≥ 0, t ∈ [t0 , t0 + h]. 再考虑 u2 . u2 (t) ≤ c2 +
∫
t t0
v (s)u1 (s)ds ≤ c2 +
c1 w(t) c0 w2 (t) + . 1! 2!
这就证明了函数列 un (t) 在 Ih 上一致收敛. 证毕.
注：上述定理可应用于证明解关于参数的可微性.
∫
t
t0
v (s)un−1 (s)ds t ∈ [t0 , t0 + h],
∫t
t0
n = 1, 2, · · · ,
(3)
c′0 + c′1 + · · · + c′n 2 e n+1
v (s)ds
,
∀t ∈ [t0 , t0 + h],
n = 0, 1, 2, · · · .
(4)
显然上述不等式对 n = 0 成立。以下考虑 n ≥ 1 的情形。 先考察函数列 {un (t)} 的前几项. 根据假设我们容易得到 u1 (t) ≤ c1 + 其中 w(t) :=
Gronwall不等式的推广及其应用
Gronwall不等式的推广及其应用摘要：本文主要研究了Gronwall不等式的性质,将Gronwall积分不等式中的非负常数K推广为非负变量函数)f;利用Gronwall积分不等式建立了函数矩阵中的一个Gronwall型积分不等式,(t并由此证明了一阶微分方程及一类函数矩阵微分方程解的唯一性.关键词：Gronwall不等式;一阶微分方程;函数矩阵微分方程.The Promotion and Application of Gronwall Inequality Abstract：In this paper，we study the property of Gronwall inequality, and get a new inequality about Gronwall inequality instead K with )f. Furth more, we get another(tGronwall inequality in functional matrix. Finally, we get the uniqueness of solution in some First order differential equation and Function matrix differential equation. Key word: Gronwall inequality; First order differential equation; Function matrix differential equation目录1.前言 (1)2.Gronwall不等式证明 (1)3.Gronwall不等式的推广 (2)3.1非负变量下的Gronwall不等式 (2)3.2函数矩阵范数的Gronwall不等式 (3)4.Gronwall不等式的应用 (4)4.1一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性问题 (5)4.2函数矩阵微分方程解的唯一性 (6)Gronwall 不等式的推广及其应用1. 前言在数学中,Gronwall 不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数,有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式.Gronwall 不等式常常被用来估计常微分方程解的取值范围.比如,它可以用来证明初值问题的解的唯一性. Gronwall 不等式的微分形式首先由Gronwall 在1919年证明.而积分形式则是由Richard Bellman 在1943年证明.Gronwall 是一位瑞典的数学家,后来移居美国.由于本文只介绍Gronwall 不等式的积分形式,故其微分形式再不做介绍.本文用两种不同的方法证明了Gronwall 不等式,并给出两个相关的结论.最后给出Gronwall 不等式在常微分方程中的应用.2．Gronwall 不等式的证明定理 2.1(Gronwall 不等式) 设K 为非负常数,)(s f 和)(s g 为在βα≤≤t 上的连续非负函数,且满足不等式)(t f K ≤+⎰t)()(εds s g s f ,则有 )(t f ))(ex p(⎰≤tds s g K α,.βα≤≤t 证明 方法一:设⎰=tds s g s f t R α)()()(,则)()(t R K t f +≤.用)(t g 乘不等式的两边得 )()()()()(t g t R t Kg t g t f +≤,即)()()()(t g t R t Kg t R +≤',再用))(ex p(ds s g t⎰-α乘上式两边,得 ))(ex p(ds s g t ⎰-α))(ex p()()())(ex p()()(⎰⎰-+-≤'t t ds s g t g t R ds s g t Kg t R αα, ))(ex p(ds s g t ⎰-α))(ex p()())(ex p()()()(⎰⎰-≤--'t tds s g t Kg ds s g t g t R t R αα,'⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤'⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰))(ex p())(ex p()(t t ds s g K ds s g t R αα, 两边从α到t 积分,)])(ex p(1[))(ex p()(⎰⎰--≤-tt ds s g K ds s g t R αα, 并由)()(t R K t f +≤,得 )])(ex p(1[))(ex p(])([⎰⎰--≤--tt ds s g K ds s g K t f αα, 所以 βαα≤≤≤⎰t ds s g K t f t),)(ex p()(. 方法二:)(a 当0>K 时,由条件不等式得)()()()()(t t g ds s g s f K t g t f ≤+⎰α,两边从α到t 积分, 得 ⎰⎰≤-+t tdt t g K ds s g s f K αα)(ln ))()((ln . 由上式和条件不等式知 .),)(ex p()(βαα≤≤≤⎰t ds s g K t f t)(b 当0=K 时,这时条件不等式变为⎰≤tds s g s f t f α)()()(,结论变为βα≤≤≤t t f ,0)(. 事实上,对0>∀ε,成立⎰+<tds s g s f t f αε)()()(,从而由)(a 可知, 而由ε得任意性可知 βα≤≤≤t t f ,0)(.综合)(a 、)(b 可知 .),)(ex p()(βαα≤≤≤⎰t ds s g K t f t推论 若0=K ,)(s f 和)(s g 为在βα≤≤t 上的连续非负函数,且满足不等式⎰≤t)()()(εds s g s f t f ,则有 βα≤≤=t t f ,0)(.3．Gronwall 不等式的推广3.1 非负变量下的Gronwall 不等式在上述讨论中,“非负常数K ”这个条件可以放宽,下将K 改为非负函数)(t f ,可得如下结果：定理3.1 设)(),(t h t f 为),0[∞上的连续非负函数,满足⎰⎰∞=≥'≥+≤t A dt t h t f t ds s h s g t f t g 00,)(:0)(:0,)()()()(且小于无穷. 则：0),()(≥≤t t f e t g A .证明：由题意可知：ds s h s g t f t g t ⎰+≤0)()()()(, (1) 令⎰=tds s h s g t F 0)()()(,给(1)两边乘以)(t h 可得 )()()()()()(t F t h t h t f t h t g +≤ ,所以有 ⎰⎰⎰-≤-t o st ds dt t h s h s f ds s h t F ))(ex p()()())(ex p()(00 )exp()(A t f =. 从而上述命题得证 .3.2 函数矩阵范数的Gronwall 积分不等式设 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(212222111211t b t b t b t b t b t b t b t b t b t B nn n n n n , 定义3.2.1 矩阵b t a t B ≤≤在)(上称为连续的,如果的每一个元)(t B )(t b ij 都是在区间],[b a 上的连续函数.定义3.2.2 矩阵b t a t B ≤≤在)(上称为可微的,如果的每一个元)(t B )(t b ij 都是在区间],[b a 上是可微的.定义3.2.3 矩阵b t a t B ≤≤在)(上称为可积的,如果的每一个元)(t B )(t b ij 都是在区间],[b a 上可积的.定义3.2.4 对于n n ij a A n n ⨯=⨯][矩阵和n 维向量T n x x x x ),(21 =,我们定义范数:∑==n j i ij aA 1,||||||;∑==n i i x x 1||||, .,2,1,n j i =设范数的如下性质：维向量，则可得到关于是矩阵，是n ,n n ,y x B A ⨯||||||||||||.1B A AB ⨯≤ ;||||||||||||x A Ax ⨯≤.||||||||||||.2B A B A +≤+ ;||||||||||||y x y x +≤+.由上面不难可以得到函数矩阵范数的Gronwall 型不等式.定理3.2 设K 为非负常数,mn ij mn ij y t B x t A ))(()(,))(()(==是闭区间],[b a 上的连续、可微、可积函数矩阵,且满足不等式⎰≤≤+≤ta b t a ds s B s A K t A ,)()(||)(||, 则 .),||)(||ex p(||)(||b t a ds s B K t A ta ≤≤≤⎰ 特别当0=K 时,有 ⎰≤≤≤ab t a ds s B s A t A 0||,)()(||||)(||, 推出0)(≤t A ,推出.,0)(b t a t A ≤≤=证明: 因 )(||)(||,t x t A nj i ij ∑=,由已知和范数的性质有⎰⎰+≤+≤+≤t a t a K ds s B s A K ds s B s A K t A ||)()(||||)()(||||)(||ds s B s A ta ||)(||||)(||⎰, 由定理2.1推出：b t a ds s B K t A ta ≤≤≤⎰),||)(||ex p(||)(||. 当0=K 时,有 ⎰≤≤≤ta b t a ds s B s A t A ,||)(||||)(||||)(||, 推出 ,0||)(||≤t A 推出0||)(||=s A ,推出b t a t A ≤≤=,0)(.4.Gronwall 不等式在常微分方程中的应用4.1 利用定理2.1证明一阶微分方程Lipschitz 存在唯一性定理中的唯一性问题定义4.1 函数y R y x f 上关于称为在),(满足Lipschitz 条件,如果存在常数0>L ,使得不等式|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≥-,对于所有R y x y x ∈),(),,(21都成立.L 称为Lipschitz 常数.定理4.1已知初值问题00)(),,()(x x t x x t f t =='有解,则其解是唯一的.证明：初值问题的等价积分方程是ds x s f x t t⎰+=00),()(x . 设)(t ϕ是初值问题的解,假若还另有一解为)(t φ,则因为=)(t ϕds s s f x t ⎰+00))(,(ϕ, ds s s f x t t ⎰+=00))(,()(φφ. 有 | ds s s f s s f t t t|))(,())(,(||)()(0φϕφϕ-≤-⎰⎰-≤tds s s L 0|)()(|φϕ. 其中0>L 为Lipschitz 常数.由定理2.1和推论2.1有 |))(ex p(0|)()(0⎰≤-tLds t t φϕ, 即 ||)()(t t φϕ-0≤,则 h t t t t t +≤≤=00),()(φϕ.同理可证 00),()(t t h t t t ≤≤-=φϕ.4.2 用定理2.1证明函数矩阵微分方程解的唯一性定理4.2 已知函数矩阵微分方程初值问题η=+=')(),()()()(x 0t x t f t x t A t 有解,则其解唯一.其中=)(t A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()()()()()()(a 212221212111t a t a t a t a t a t a t a t a t nn n n n n =n n ij t a ⨯))((, ;)()()()(21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t x t x t x t x n ;)()()()(x 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡''='t x t x t x t n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t f t f t f t f n ; ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t t t t n ηηηη ; 证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t t t t n φφφφ 与⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t t t t n ϕϕϕϕ 都是初值问题的解. 初值问题的等价积分方程是[]⎰++=tds s f s x s A t x 0)()()()(η; []⎰++=tds s f s s A t 0)()()()(φηφ; []⎰++=tds s f s s A t 0)()()()(ϕηϕ.⎰-≤tds t s s A 0||)()(||||)(||ϕφ, 由定理2.1有 ||)()(||t t ϕφ-)||)(||ex p(00⎰≤tds s A , 即 ||)()(||t t ϕφ-0≤.则 .),()(b t a t t ≤≤=ϕφ。
一类Gronwall- Bellman型不等式的统一证明及其推广
1．Gronwall- Bellman 型不等式简介 众所周知，Gronwall 型不等式在常微分方程、偏微分方程解的存在性、唯一性、稳定性
的研究及方程解的估计中起着极其重要的作用，对它的研究和推广，一直是数学工作者关注 的热点之一。
1919 年，Gronwall在研究微分方程的解关于参数可微性质时首次提出并证明了被后人称 之为Gronwall的不等式[1]：
（2.5）
或
u′(t) ≤ Ku(t)v(t) + A ， u(t0 ) ≤ M ， t ≥ t0 ，
(2.5)’
则有
{ } { } ∫ ∫ ∫ u(t) ≤ ⎢⎣⎡M +
t
A exp
t0
s t0
−
Kv(τ )dτ
ds⎥⎦⎤ exp
t
Kv(s)ds
t0
，t ≥ t0 。
（2.6）
证：设 f (t, x) = Kv(t)x + A ，则显然有 f ∈ C(R × R, R) ，且关于 x 不减，考虑微分
若
t
∫ u(t) ≤ ϕ(t) + t0 [u(s)v(s) + w(t)]ds ， t ≥ t0 ，
（2.11）
则有
{ } { } ∫ ∫ ∫ u(t) ≤ ϕ(t) + exp
t
v(s)ds
t0
t
[ϕ(s)vபைடு நூலகம்s) + w(s)]exp
t0
s − v(τ )dτ
t0
ds ， t ≥ t0 。
（2.12）
证：设 f (t, x) = Kx + A ，则显然有 f ∈ C(R × R, R) ，且关于 x 不减，考虑微分方程
Gronwall不等式的推广及其在分数阶微分方程中的应用_许佳
( k + 1 )β － 1
将此式代入上式即得 ≤ ∫0
t
·） 与 Γ （ ·） 分别为通常的 Beta 与 其中 B （ ·， Gamma 函数，即
p －1 B（ p， q） = ∫ 1 （ 1 － x） 0x q －1 ∞ p －1 －x dx ， Γ（ p） = ∫ 0 x e dx
A Generalized Gronwall Inequality and Its Application in a Fractional Differential Equation
XU Jia，ZHONG Shouming
（ School of Mathematical Science，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731 China） Abstract： This paper presents a generalized Gronwall inequality． By using the equality， the authors study the dependence of the solution on the order and the intial conditions of a fractional differential equation． Key words： Gronwall inequality； integral inequality； differential equation； fractional order
［5 ］ 0， 定义 2 函数 y： ［ ∞ ） → R 的 α ＞ 0 阶 Rieman － Liouville 微分是指 1 t － α D0 ∫ （ t － s） α y（ s） ds + y（ t） = （ 1 Γ － α） 0 0， 其中右边是在［ ∞ ） 上逐点定义的。 ［6 ］ a， b］ 定理 1 若 x（ t） ， ψ（ t ） 和 φ （ t ） 是［ 上的 a， b］ 且对t≥0 ， φ（ t ） ≥0 ， 若在［ 上 x （ t） 连续函数， t a， b］ ， ≤ψ（ t） + ∫ a φ（ s） x（ s） ds 成立， 则对t∈［ b t 有 x（ t ） ≤ ψ （ t ） + ∫ a φ （ s ） ψ （ s ） exp ［∫ s φ （ u ） du］ ds
开题报告-gronwall不等式在微分方程中的应用
一、综述本课题的研究动态，说明选题的依据和意义Gronwall不等式是目前常用不等式之一，同时是是数学中一类非常重要的不等式, 有其良好的性质。
Gronwall不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数, 有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。
Gronwall不等式常常被用来估计常微分方程解的取值范围.并由此得出一系列的推广及应用。
比如,它可以用来证明初值问题的解的唯一性及二重积分的应用等.Gronwall不等式的微分形式首先由Gronwall在1919年证明。
而积分形式则是Richard Bellman在1943年证明。
并且对于Grownall不等式的一些定理，我们可以推导出一些相关其他定理，如其在一类二阶线性中的推广、二重积分的推广、和积分不等式中都有许多推广，为解决许多数学问题提供了方便，极大的方便了我们的应用。
二本课题研究的基本内容，拟解决的主要问题和难点问题Gronwall不等式是数学中一类非常重要的不等式, 有其良好的性质.。
明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数, 有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。
Gronwall不等式常常被用来估计常微分方程解的取值范围. 探讨并研究Gronwall不等式的一般理论和性质；利用Gronwall不等式探讨并研究常微分方程解的唯一性与存在性理论Gronwall的相关推广。
此课题要求学生掌握Gronwall不等式的若干性质, 会用Gronwall不等式解决微分方程中的相关问题.因此要解决的主要问题就是Grownall不等式若干性质的证明，并举例讨论其相关的应用。
三、毕业设计（论文）的要求与数据1、探讨并研究Gronwall不等式的一般理论和性质；2、利用Gronwall不等式探讨并研究常微分方程解的唯一性与存在性理论;3、按进度计划完成毕业论文（设计）的撰写（研究）；4、论文撰写应符合学术论文的格式要求；5、要求参加论文答辩并要求通过。
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高校 理科 研 究
Ｇｒ ｎ ｌ不 等 式 昀 一 个 证 法讨 论 ｏ ｗａｌ
曲靖 师 范 学院数 学与信 息科 学学 院 张雪梅
［ 摘 要 ］ 文指 出 了 Ｇｒｎ ｌ不 等 式 一 个 证 明 方 法 中 的疏 误 之 处 ， 对 其 进 行 了修 正 。 本 ｏ ｗａ ｌ 并 ［ 关键 词 ］ ｏ ｗ ｌ不 等式 Ｇｒｎ ａ ｌ 证 明 疏 误 上 述 证 明 过 程 是 不 严 密 的 ， 因在 于 （ ） 是 错 误 的 。 （ ） 是 由 原 ３式 ３式 （ 式 不 等 号 两 边 同时 求 导 再 两 边 同乘 以 ｄｔ 到 的 ， 者 也可 以认 为 ２） （得 ） 或
Ｆ） Ｉ ｇ） ＋Ｉ （ｇ） （≤ （ｄ ｓ（ｄ ｔ ｋ ｓ ｓ Ｆ）ｓ ｓ
ｄ （≤ｋ（ｄ＋ （ｇ１ ｔ Ｆｔ ｇ）ｔＦｔ （ｄ ） １ ） ）
（） ２
（） ３
［ｅ｛ ）） ［ｘ一 ｓ ） Ｆｘ 』 ｄ］ 一 ｐ』 ） ］ （ｐ ｓ ≤ ｋ （ ｄ ｔ一 ｓ ） ｅ ｓ
对 （ ） 两 端 从 ａ ｔ 分 得 ６式 到 积
由于 ｔ ＋ （且 Ｆａ＝ ， 理 即 得 ） Ｆｔ ≤ｋ ） （）Ｏ 整
［ ］ 高雄 等． １王 常微分 方程（ 第三版 ）Ｍ ］北京 ： ［ ． 高等教育 出版社 ，
２０ ８ ． ０ ６： ９
［］ ２ 邹晓范等． ｒ ｗ ｌ Ｇ ｏ ａ 积分不等式在微分方程中的应 用［］ 木斯 ｎ ｌ １佳 ．
大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）２０ ，２ ３ ：１— １． ，０ ４ ２ （ ）４７ ４ ９
ｆ≤ ｅ 【 ｇｄ 】≤ ≤ （ ｋ ｐ ｊ（ ｓ， ｔ ｈ １ ｘ ｓ ａ ） ）
（ 上接第 １ ８页） 后 台数据库存贮的以往测试数据 。 ０
Ｉ． ［］ ３ 伍歆．ｒｎ ｌ不等式的一个证 法及拓 广［］云南师范大学学报 Ｇ ｏ ｗａ ｌ （ 自然科 学版 ）１ ９ ，９ ６ ：４ ２ ． ，９９ １ （ ）２ — ７
ｄ（ｐ』 ｓ ［ｅ（ｔ 忙 ［ （ ｓ Ｆｘ一 Ｉ ） ｅ一 】 ｘ 州 ］ ｐ
对 （ ） 两 端 从 ａ到 ｔ 分 得 ４式 积
Ｆｘ一 ｓ）（ ｋ－ （ ｄＪ （ｐ ｆ） 一） ［ ｘ ｆ ｓ ｔ （ ｄ Ｆ≤ １ｐ ） ｅ ｓ ａ ｅ一 ）
【ｔｋ ｘＩ ｊ ｓｓ ≤ ＋（ Ｆ） 】ｐ— （ 】 ｋＦ） （ ｅ ＋ ） ｄ ａ
ａ ｔ ｈ。 ≤ ≤
证明： Ｆ） ｓ ｓｓ则 设 （ ｔ ：ｉ ） ） ， ｄ
ｆ） ＋ （ （≤ｋ Ｆｔ １ ） ｆ）（≤ｋ （＋ （ ） （ｇ） ｇ ）Ｆｔ ｔ ｔ ｔ ） ｔ
即
文 献 ［］ 出 了 下 列证 明方 法 ： ２给
证明： （ ｉ 设Ｆ１ Ｊ） ） ｓ ＝Ｊ
ｆ） ＋ （ （ ≤ｋ Ｆ ｔ ｔ ） ｆ）（≤ｋ（＋ （ｇ１ （ｇｃ ｇ１ Ｆｔ （ ｔ ） ） ） ）
则
（） １
ＦＯ≤ｋ ）Ｆｔ（ ’） ｔ （ｇ） ＋ ）ｔ
（） ５
对 （ ） 两 端 从 ａ ｔ 分 有 １式 到 积
ｒ１ ｒＩ
用ｅ ｛ｆ ｓｓ ５ 端 整 得 ｘ 一 ） 】 ） Ｐ ｄ 乘（式两 再 理
是由（ ） ２ 式不等号两边同时求微分得到 的。由（ ） ２ 式得到（ ） 的错误之 ３式 处有二 ： 一， 导或微分运算不具有保号性 ； 其 求 其二 ，（可正可负 ， ｄｔ ） 在不 等式两边同乘以 ｄ ） ｎ不能保证不等号的方向不改变。 上述证 明过程可做
如下修改 ：
， Ｉ
负且 足 等 ｆ ｋＪｓ ≤ ｂ 有 ｔｋ （ ｓ ） ，满 不 式 ｔ ＋ ） ｌ ｔ ， ≤ ｘ Ｊ ） ， ｉ ｇ ≤则 ） ｅ ｄ ） ￣ （ ｓ Ｐ ｓ
．
ｌ
■ ●
— —— １
ｒ—一
圈
图 ６Ｃ Ｃ型传感器频响曲线 Ｔ
图 ５历 史 数据 显示 界 面 选 中所 要 查 看 的 历 史 数 据 曲 线 后 ， 击 “ 印 数 据 ” 钮 ， 以设 定 单 打 按 可 格 式 打 印所 需 数 据 表 格 ； 击 丁 曲 线 ” 钮 ， 打 印 输 出该 传 感 器 频 单 印 按 可 响曲线 。 ４ 系统 测 试 ． 加速度传感器的数字化标 定系统开发完后 ，对远东测振公司生产
（ ６ ）
用ｅ （ Ｉ（ ｓ乘（式两端再整理得 ｘ 一 ｓ ３ ｐ ｇ） １ ） ｄ
Ｆｘ ｆ ）（ ｋ－ （。（１ （ｐ ： 一） 『ｘ～ ）） ｆ （ Ｆ≤ １ ｐ ｆ Ｉ ）一 ｅ ａ ｅ
（ ４ ）
接 下来的证 明步骤 同文献【］本文不再赘述。 ２，
参 考 文献
５结 论 ．
通过传感器文测实验对比实验 ，验证了加速度传感器数字化标定 系 统 的 准 确 性 和 实用 性 。 与原机械式标定系统相 比， 数字 化标 定系统操 作便捷 ， 避免了机械 记录仪系统响应迟缓和工作的不稳定 ， 采集数据 准确而 丰富 。 明显地提 高了测试 工作效率 参考 文献 ［］ １ 邓和莲． 加速度传 感器标定 自动数采 集 系统的设计 Ⅲ 机 电工 程技 术，０ ８ 第 ３ 卷， 《 期． ２ ０ 年， ７ 第 １ ５ ［］ ２ 刘芙蓉． 于 ８ Ｃ １ ０ ５ 片机数 据采 集 系统设计 ［ ］ 基 ０ ５Ｆ０ 单 Ｉ＿ 石油仪 器 ，０） ２（ ３年 ｌ ２月．
Ｇ ｏｗ ｌ不 等式 是 研 究 常 微 分 方 程 的 一个 重要 Ｔ 具 ， 微 分 方 程 定 ｒｎ ａｌ 在 性理论 中起着十分重要的作用Ｉ 对 Ｇ ｏｗ ｌ不等式 的研究在实际和理 ” ： ｒｎ ａ ｌ 论方 面都有着重要 的意义。该不 等式有 多种不 同的证 明方法和推广形 式 】 １。本文指出了文献【］ ２巾证 明方法 的疏误之处 ， 并进行了修正。 Ｇｏ ｗ ｌ不等式 ： ｋ为非负常数 ， ｒｎ ａ ｌ 设 函数 ｆ）ｇ） 区间 ｂ上连续非 ｆ，０在 １ 】