函数的概念及其表示最新衡水中学精品自用资料
第4讲 函数的概念及其表示最新衡水中学校内自用精品电子课件
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真题在线
3．[2015· 陕西卷] 设 f(f(－2))＝( A．－1 1 B.4 ) 1 C.2 3 D.2
lt;0，
[解析] C f(f(－2))＝f(2 ) 1 1 1 ＝f( )＝1－ ＝ . 4 4 2
2
[解析] 令 3－2x－x ≥0 可 2 得 x ＋2x－3≤0，解得－ 3≤x≤1， 故所求函数的定 义域为[－3，1]．
2
[答案] －2
1
真题在线
2．[2016· 浙江卷] 设函数 f(x)＝x ＋3x ＋1.已 2 知 a≠0，且 f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a) ，x∈R， 则实数 a＝________，b＝________．
北师大版
函数的概念及其表示
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第4讲 PART 02
考试说明 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示 函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
[解析] D y＝10 ＝x， 定义域与值域均为(0， ＋ ∞)，只有选项 D 满足题 意．
lg x
真题在线
2 ． [2015·全 国 卷 Ⅰ] 已 知 函 数 f(x) ＝
x－1 2 －2，x≤1， 且 －log2（x＋1），x>1，
f(a)＝－3，则 f(6－a) 1 D．－ 4
课前双基巩固
2．函数的三要素 值域 和对应关系三个要素构成，在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫作 函数由________ 定义域 、________ 自变量，x 的取值范围 A 叫作函数的________ 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值，函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的________ 值域 ． 3. 函数的表示法 解析法 、________ 图像法 、________ 列表法 ． 函数的常用表示方法有：________ 4．分段函数 对应关系 ，这样 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的____________ 的函数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
函数知识点高中总结简单
函数知识点高中总结简单一、函数的定义1. 函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
函数通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
如果对于任意一个x，都存在唯一的f(x)与之对应，则称f是一个函数。
2. 定义域和值域对于函数f(x)，x的取值范围称为函数的定义域，记作D(f)；而f(x)的取值范围称为函数的值域，记作R(f)。
函数的定义域和值域是函数的重要性质，它们决定了函数的取值范围和定义范围。
3. 函数的表示函数可以用不同的方式表示，其中常见的有解析式表示、图像表示和数据表格表示。
解析式表示是指用公式或方程式来表示函数；图像表示是指通过绘制函数的图像来表示函数；数据表格表示是指通过元素对的形式来表示函数。
二、函数的性质1. 奇函数与偶函数对于任意实数x，如果f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数；如果f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。
2. 单调性函数在定义域上的变化趋势称为函数的单调性。
如果对于任意x1 < x2，都有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是递增的；如果对于任意x1 < x2，都有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是递减的。
3. 周期性如果存在一个正数T，使得对于任意x，都有f(x + T) = f(x)，则称函数f(x)具有周期性，其中T称为函数的周期。
4. 有界性如果存在正数M，使得对于任意x，都有|f(x)| ≤ M，那么称函数f(x)在定义域上是有界的。
如果存在正数M1和M2，使得对于任意x，都有M1 ≤ f(x) ≤ M2，那么称函数f(x)在定义域上是有界的。
5. 复合函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入所得到的函数。
复合函数通常表示为(g∘f)(x)，其中f为内函数，g为外函数。
03 衡水中学高一数学预习知识点——函数的概念
衡水中学高一数学预习知识点——函数的概念一、 知识点讲解1.函数的定义：一般地，设A ，B 两个非空数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每个元x ，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫从A 到B 的一个函数。
2.定义域：x 的值构成的集合A 叫函数y=f(x)的定义域。
3.值域：集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
4.函数的三要素：定义域，值域，对应关系5.两个函数的三要素相同，则这两个函数相等。
6.映射：一般地，设A,B 是两个非空集合，如果按照某一确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中存在唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
7.函数一定是映射，但是映射不一定是函数。
8.在函数中，A,B 是两个数集，即A,B 中的元素都是实数，但是在映射中，A ，B 中的元素不一定是实数。
9.区间的定义及表示：设a ，b 是两个实数，且a<b二、 经典例题1.有以下判断：①f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x<0)表示同一函数； ②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则12f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝0.其中正确判断的序号是________．【解析】对于①，由于函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x≥0)－1 (x<0)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于12f⎛⎫⎪⎝⎭＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以12f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝f(0)＝1.【答案】②③.2.下列对应不是映射的是( )【解析】结合映射的定义可知A ，B ，C 均满足M 中任意一个数x ，在N 中有唯一确定的y 与之对应，而D 中元素1在N 中有a ，b 两个元素与之对应，故不是映射．【答案】D3.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，1≤x ＜2，3，x ≥2的定义域为________． 【解析】分段函数的定义域是各定义域的并集.【答案】[1，＋∞)。
函数的概念及其表示-高考数学复习
求函数的定义域、值域
考点2
【例2】 (1)(2020福建厦门期末,理3)函数f(x)=log2(1-x)+ √ + 1 的定义域
为(
)
A.(-∞,1)
B.[-1,1)
C.(-1,1]
D.[-1,+∞)
(2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的
是(
)
A.y=x B.y=lg x
时,函数的值域都为[-1,1],故函数y=f(3x+2)的值域为[-1,1].故选A.
考点3
求函数的解析式
【例 3】(1)已知 f
2
+ 1 =lg x,求 f(x).
(2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x)的解析式;
(3)已知 f(x)+2f
一个函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可以用其他字母表示,如
f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一个函数.
对点训练1(1)集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函
数的是(
)
1
A.y=2x
1
B.y=3x
2
C.y= x
3
D.y=√
2.1 函数的概念及其表示
内
容
索
引
01
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
03
素养提升微专题2
抽象函数的定义域的类型及求法
必备知识 预案自诊
【知识梳理】
1.函数及其相关的概念
一般地,给定两个 非空实数集
3.1 函数的概念及其表示(学生版)
第三章《函数概念与性质》3.1函数的概念及其表示【知识梳理】知识点一函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间概念(a ，b 为实数，且a<b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ]2．其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )知识点四函数的表示方法知识点五分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【基础自测】1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A．1B．0C．－1D．22．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x＋2B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1D．f(x)＝3x＋43．函数y＝x1＋x的大致图象是()4．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为________．5．已知f (n )－3，n ≥10，n ＋5)，n <10，则f (8)＝________.【例题详解】一、函数关系的判断例1(1)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（）①()3y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -≤⎧=⎨+≥⎩；④1,0,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)设{|04}M x x =≤≤，{|40}N y y =-≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练1下列对应中：（1）x y →，其中{}21,1,2,3,4y x x =+∈，{}10,y x x x N ∈<∈；（2）x y →，其中2y x =，[)0,x ∈+∞，R y ∈；（3）x y →，其中y 为不大于x 的最大整数，x R ∈，y Z ∈；（4）x y →，其中1y x =-，*x ∈N ，*y N ∈.其中，是函数的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（3）（4）二、求函数的定义域、函数值命题角度1求函数的定义域例2(1)函数y =）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．][(),31,-∞-⋃+∞D ．][(),13,∞∞--⋃+(2)已知函数()1f x +的定义域为[1,7]，则函数()(2)h x f x =）A ．[4,16]B ．(,1][3,)-∞⋃+∞C ．[1,3]D ．[3,4]跟踪训练2(1)函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞B ．(,3)(3,3)-∞--C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞(2)已知函数()f x ，则函数()()13y f x f x =--的定义域为（）A ．()2,11B ．()2,13C ．()2,15D ．()4,11命题角度2求函数值例3(1)已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20(2)已知2211x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则(3)f =_________．跟踪训练3(1)已知定义域为R 的函数()23f x x =-，()3g x x =，则()()1f g -=________.(2)已知函数3()3=+++cf x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．0三、同一个函数的判定例4(1)下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩B ．()f x =()g x x=C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()f x =，()g x 跟踪训练4和函数2()f x x =是同一函数的是（）A ．2()(1)f x x =+B ．()f x x =C ．3()x f x x=D ．(){,0,(0)()x x x x x x f x -≤>=四、求函数解析式命题角度1换元法例5(1)已知1111f x x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x =________________．(2)若函数11x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x =____________．跟踪训练5(1)已知21,1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求()f x =____________．(2)已知()21232f x x x +=++，求()f x 的解析式．命题角度2配凑法例6(1)若1)f x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()f x x x =-B ．2()1(0)f x x x =-≥C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()f x x x=+(2)已知3311()f x x x x+=+，则()f x =_____.(3)已知f (x －1x )＝x 2＋21x ，则f （x +1x）＝________.跟踪训练6(1)已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x .(2)已知22111(x x f x x x++=+，求()f x 的解析式.命题角度3待定系数法例7(1)已知f （x ）是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，求f （x ）.(2)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 解析式.跟踪训练7(1)已知()f x 是一次函数，且()332f x x -=-，求()f x ．(2)已知一次函数()f x 满足()()312237f x f x x =+--+，求函数()f x 的解析式．(3)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+=+，求函数()f x 的解析式．命题角度4构造方程组法例8(1)若函数()f x 满足()1221f x f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()2f =（）A ．13-B ．23C ．83D ．12(2)已知()f x 满足()()23f x f x x +-=，求()f x 的解析式.跟踪训练8(1)已知()1221f x f x x ⎛⎫⎪⎝=⎭+-+，求函数()f x 的解析式．(2)已知2()2()f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式.五、函数的图象例9作出下列函数的图象.(1)1({21012})y x x =-∈--,,,,；(2)211x y x +=-；(3)2|2|1y x x =-+．(4)已知函数()22,23,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩.(i)在所给坐标系中作出()y f x =的简图；(ii)解不等式()12f x <.跟踪训练9作出函数()|2||5|f x x x =+--的图像．六、分段函数求值例10(1)已知函数()21,0x x f x x ⎧-≤⎪=>，若()3f a =，则a 的值为（）AB ．2C ．9D ．-2或9(2)已知函数()f x 的解析式22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，(i)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(ii)若()2f a =，求a 的值；跟踪训练10(1)已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．2(2)已知函数()223,11,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+<-⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩.(i)求((2))f f -的值；(ii)若()032f x =，求0x 的值.七、解分段函数不等式例11(1)已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞ (2)设函数()22,,,.x x a f x x x a ⎧<=⎨≥⎩若()11>f ，则a 的取值范围为______．跟踪训练11(1)已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,则使得()1f x ≥的x 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞(2)已知函数242,1()23,1x x x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则满足不等式()()21f a f a <+的a 的取值范围是___________.八、分段函数的实际应用例12某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产()*Nx x ∈百台，需另投入生产成本()R x 万元．当年产量不足46百台时，()23260R x x x =+；当年产量不小于46百台时，()4900501483020R x x x =+-+．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．跟踪训练12电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x 万件该电子元件，需另投入成本()f x 万元，且2132,04,4()64938,420.x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．(1)求该电子厂这种电子元件的利润y （万元）与生产量x （万件）的函数关系式；(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．【课堂巩固】1．（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．（多选）下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（）A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数3．若函数()f x =()21f x -的定义域为（）A ．()0,2B ．[)(]2,00,2-U C ．[]22-,D ．[]0,24．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与()211x g x x -=-C ．()xfx x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()1f t t =-与()1g x x =-5．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞ D ．()(),31,3-∞- 6．（多选）下列选项中正确的有（）A ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数B ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩表示同一函数C ．函数()y f x =的图象与直线2x =的交点最多有1个D ．若()|||1|f x x x =--，则102f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7．（多选）已知函数25,1(),12x x f x x x +<-⎧=⎨-<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．()11f -=D ．若()3f x =，则x8．（多选）已知函数()35,0,1,0,x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若()()2f f a =，则实数a 的值为（）A ．2-B ．43-C ．-1D ．19．求函数()f x +=______________________10．已知函数()f x 是一次函数且(())2()2f f x f x x +=--，则函数()f x 的解析式为_________．11．若()211f x x -=+，则()0f =____________，()f x =_____________.12．已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩，则(3)f -=________.14．已知函数()(4),f x x x x R =-∈.（1）把函数()f x 写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数()f x 的图象.15．已知函数()2,0,2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩解不等式2()f x x ≤16．已知函数f (x )＝222x x x +⎧⎪⎨⎪⎩(1)(12)(2)x x x ≤--<<≥(1)求{}f f f ⎡⎤⎣⎦的值；(2)求()3f a =，求a 的值；(3)画出函数的图像．【课时作业】1．下列函数中，相同的一组是（）A．y =2y =B．y =，y =C ．21y x =+，4211x y x -=-D ．21y x =-，4211x y x -=+2．已知函数)22f x +=+，则()f x 的最小值是（）A ．1-B ．2C ．1D ．03．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+4．已知一次函数()f x 满足(2)2(21)94f x f x x +-+=--，则()f x 解折式为（）A ．()24f x x =--B ．()23f x x =-+C ．()34=+f x x D ．()32f x x =-+5．一次函数()f x 满足：()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=，则()1f =()A ．1B ．2C ．3D ．56．设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.若()3f x =，则x 的值为（）.A ．1BC．D ．327．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（）A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋38．已知函数2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>，则不等式2()f x x ≥的解集是（）A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]-9．（多选）若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()()2411f x x x =≠-D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠）10．（多选）已知函数2+2,<1()=+3,1x x f x x x -≥⎧⎨⎩，则（）A ．3f f ⎡⎤=⎣⎦B ．若()1f x =-，则=2x 或3x =-C ．()2f x <的解集为()(),01,-∞⋃+∞D ．x ∀∈R ，()a f x >，则3a ≥11．若函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则函数()()g x f x =______．12．已知集合0|A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，2|0,1x B x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，则A B = ________.13．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________14．若一次函数()f x 满足：对任意x 都有()()221221xf x f x x x ++=++，则()f x 的解析式为______________．15．已知函数24,0(),0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，若()4f m =，则m =___________．16．设1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________．17．设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x =___________.18．已知()1,11x x f xx +≤⎧⎪=>，若()()1f x f x >+，则x 的取值范围是___________.19．求下列函数的定义域(1)y ；(2)y =(3)y x x=-（0a >）.20．根据下列条件，求()f x 的解析式.(1)已知)225fx =+(2)已知()()2232f x f x x x+-=-(3)已知()f x 是二次函数，且满足()()()01,12f f x f x x=+-=21．已知函数()()211x x f x x -=-；(1)作出该函数的图象；(2)写出该函数的值域．22．已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩(1)求()()1f f 的值；(2)若()2f a =，求a 的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数()f x 的定义域和值域．。
衡水内部资料-高中数学- 函数的概念及表示(精练)(解析版)
3.1 函数的概念【题组一 区间】1．（2020·三亚华侨学校高一月考）不等式0213x <-≤的解集用区间可表示为（ ） A ．1(,2)2B ．(0,2]C ．1[,2)2D ．1(,2]2【答案】D【解析】由0213x <-≤解得122x <≤，用区间表示为1,22⎛⎤⎥⎝⎦，故选D. 2．（2020·全国高一课时练习）集合{|342}x x -<可以表示为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】3422x x -<⇒<，∴集合{|342}x x -<可以表示为(,2)-∞.故选：B3．（2020·全国高一课时练习）不等式20x -≥的所有解组成的集合表示成区间是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】B【解析】不等式20x -≥的所有解组成的集合为{|2}x x ≥，表示成区间为[2,)+∞.答案：B 4．（2019·贵州省铜仁第一中学高一期中）集合{0x x >且}2x ≠用区间表示出来（ ） A ．()0,2 B ．()0,∞+C ．()()0,22,+∞ D ．()2,+∞【答案】C【解析】由集合{0x x >且}{202x x x ≠=<<或}()()20,22,x >=⋃+∞, 故选:C.5．（2019·吉林辽源高一期中（理））下列四个区间能表示数集{|05A x x =≤<或}10x >的是（ ） A ．((0,5)1)0,∞＋B ．[)0,51()0,∞＋C ．(]0,51[)0,∞＋D ．[]0,51()0,∞＋【答案】B【解析】根据区间的定义可知数集{|05A x x =≤<或}10x >可以用区间[)0,51()0,∞＋表示. 故选B.6．（2020·全国高一课时练习）若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】由题意3a －1>a ，得a>12,故填1,.2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．（2020·全国高一课时练习）已知(]2,31a a -为一个确定的区间，则a 的取值范围是________. 【答案】()1,+∞.【解析】解析由(]2,31a a -为一个确定的区间知231a a <-，解得1a >， 因此a 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞ 【题组二 函数的判断】1．（2020·三亚华侨学校高一月考）下列图象表示函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A 、B 、D 都不满足函数定义中一个与唯一的一个对应的关系，所以选C2．（2020·全国高一）在下列图象中，函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于A ，存在一个自变量x 对应两个值，错误；对于B ，存在自变量x 对应两个值，错误；对于C ，存在自变量x 对应两个值，错误；对于D ，定义域内每个自变量都有唯一实数与之对应，正确，故选D. 3．（2020·全国高一课时练习）设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是________.【答案】②【解析】对于①，当12x <≤时，集合N 中没有y 值与之对应，故①错误；对于②，集合{|02}M x x =≤≤中的每一个x 值，在{|02}N y y =≤≤中都有唯一确定的一个y 值与之对应，故②正确；对于③，对于集合{|02}M x x =≤≤中的元素2，在集合N 中没有y 值与之对应，故③错误； 对于④，对于集合{|02}M x x =<≤中的元素2，在集合N 中有两个y 值与之对应，故④错误. 故答案为：②. 【题组三 定义域】1．（2020·浙江高一课时练习）函数()f x =的定义域是（ ）A ．[2,2]-B ．{2,2}-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-【答案】B【解析】由题意2240,40x x ⎧-⎨-≥⎩，得240x -=，解得2x =±．∴定义域为{2,2}-． 故选：B ．2．（2020·贵州高二学业考试）函数()f x =的定义域是（ ）A ．{}|1x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{}|1x x >D ．{}|1x x <【答案】A【解析】要使函数()f x 有意义，则：10x -≥，解得1x ≥，所有()f x 的定义域为：{}|1x x ≥，故选：A3．（2020·朝阳.吉林省实验高二期末（文））函数()f x =的定义域是 （ ） A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．(),-∞+∞【答案】A【解析】120x -≥，解得0x ≤，∴函数的定义域(],0-∞，故选A.4．（2020·汪清县汪清第六中学高二月考（文））函数()f x=A ．(,2]-∞B ．[0,2]C ．(0,2]D ．[2,)+∞【答案】C【解析】由题意得：4200x x ⎧-≥⎨>⎩，解得：02x <≤ ()f x ∴定义域为：(]0,2本题正确选项：C5．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．6．（2020·嫩江市高级中学高一月考）已知(1)f x +的定义域为[2,3)-，(2)f x -的定义域是（ ） A ．[2,3)- B ．[1,4)-C ．[0,5)D ．[1,6)【答案】D 【解析】)1(f x +的定义域为[2,3)-；23x ∴-≤<；114x ∴-≤+<；()f x ∴的定义域为[1,4)-；124x ∴-≤-<；16x ∴≤<； 2()f x ∴-的定义域为[1,6)．故选：D ．7．（2020·全国高一）若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()22f x g x x=的定义域是（ ） A ．[]0,4 B ．](0,4C ．](0,1D ．](0,2【答案】C 【解析】函数()y f x =的定义域是[]0,2，()()22f x g x x∴=的定义域须满足，022x x ≤≤⎧⎨≠⎩，解得01x <≤，所以函数()g x 的定义域为(0,1].故选：C. 8（2020·广西兴宁.南宁三中高二月考（文））已知函数(1)f x +的定义域为[－2，1]，则函数()(2)g x f x =-的定义域为（ ） A ．[－2，1] B ．[0，3]C ．[1，4]D ．[1，3]【答案】C 【解析】∵()1f x +定义域为[]2,1-，∴112-≤+≤x ，即()f x 定义域为[]1,2-， 由题意得：122-≤-≤x ，解得：14x ≤≤， ∴()g x 定义域为[]1,4， 故选：C.9．（2019·内蒙古集宁一中高一期中（文））已知函数()y f x =定义域是[]2,3-，则()21y f x =-的定义域是（ ）A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．[]2,3-D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由题意2213x -≤-≤，解得122x -≤≤．故选：A ． 【题组四 解析式】1．（2020·云南会泽。
函数的基础知识大全
函数的基础知识大全在数学的广阔天地中，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数学概念和实际问题。
函数的概念虽然看似抽象，但它却在我们的日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起走进函数的世界，探索它的基础知识。
一、函数的定义简单来说，函数是一种对应关系。
给定一个输入值（通常称为自变量），通过这种对应关系，能唯一确定一个输出值（通常称为因变量）。
比如说，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x ，当 x ＝ 3 时，通过这个对应关系，就能确定 f(3) ＝ 6 。
函数通常用字母 f 、g 等表示，自变量常用 x 、y 等表示。
函数的表达式可以是多种多样的，比如常见的整式、分式、根式等等。
二、函数的三要素1、定义域定义域是自变量 x 的取值范围。
例如，对于函数 f(x) ＝ 1 ／ x ，由于分母不能为 0 ，所以其定义域就是x ≠ 0 。
确定定义域时，需要考虑函数的表达式、实际问题的背景等因素。
2、值域值域是因变量 y 的取值范围。
它是由定义域和函数的对应关系共同决定的。
比如对于函数 f(x) ＝ x²，因为 x²总是大于等于 0 的，所以其值域就是y ≥ 0 。
3、对应法则对应法则是函数的核心，它规定了自变量和因变量之间的具体关系。
不同的对应法则会产生不同的函数。
三、函数的表示方法1、解析法用数学表达式来表示函数，如前面提到的 f(x) ＝ 2x 、f(x) ＝ 1 ／ x 等。
2、列表法通过列出自变量和对应的因变量的值来表示函数。
例如，在一个表格中列出不同时刻的温度值，就可以看作是一个函数。
3、图像法将函数用图像的形式表示出来。
图像能够直观地反映函数的性质，比如单调性、奇偶性等。
四、常见的函数类型1、一次函数形如 f(x) ＝ kx ＋ b （k、b 为常数，k ≠ 0 ）的函数称为一次函数。
它的图像是一条直线。
2、二次函数形如 f(x) ＝ ax²＋ bx ＋ c （a ≠ 0 ）的函数称为二次函数。
函数总结知识点初中
函数总结知识点初中初中阶段学习函数是数学学习的一个重要部分，对于学生的数学能力和思维能力的培养有着重要作用。
下面我们来总结一下初中函数的相关知识点。
一、函数的概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种对应关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
通俗的讲，函数就是一种“工厂”，它接受输入，进行运算，然后产生输出。
函数通常用f(x)、y=f(x)或者y来表示，其中x为自变量，y为因变量。
1.2 函数的图像当我们将函数的自变量和因变量分别绘制在坐标轴上时，就得到了函数的图像。
函数的图像能够直观地表现函数的性质和特点。
1.3 函数的定义域和值域函数的定义域是所有自变量可以取的值的集合，而函数的值域是所有因变量的取值范围的集合。
1.4 函数的分类在初中阶段，我们主要学习了一次函数、二次函数、绝对值函数和分段函数等基本的函数类型。
二、一次函数2.1 一次函数的定义一次函数的一般表示形式为y=kx+b，其中k和b分别为函数的斜率和截距。
2.2 一次函数的图像一次函数的图像是一条直线，通过图像我们能够看出函数的斜率和截距的影响。
2.3 一次函数的性质一次函数经过点(0,b)，斜率为k，随着x的增大，y的增大或减小。
2.4 一次函数的应用在初中的物理、化学、经济等领域都涉及到了一次函数的应用。
学生可以通过学习一次函数，掌握一些基本的函数应用技巧。
三、二次函数3.1 二次函数的定义二次函数的一般表示形式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c分别为函数的系数。
3.2 二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，通过图像我们能够看出函数的开口方向、开口大小和顶点坐标等信息。
3.3 二次函数的性质二次函数的顶点坐标是通过-b/2a得到的，开口方向由a的正负决定，a的绝对值大小决定开口的大小。
3.4 二次函数的应用二次函数在初中阶段的数学中主要涉及到二次函数的图像和性质，对于函数的应用还比较简单。
四、绝对值函数4.1 绝对值函数的定义绝对值函数的一般表示形式为y=|x|，即对于x的取值是取绝对值后的结果。
最全函数知识点总结高中
最全函数知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个非常基本的数学概念。
在数学上，函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
用数学符号表示就是：对于两个集合A和B，如果存在一个规则f，它使得对于A中的每个元素x，都有一个唯一的y属于B与之对应，那么我们说f是从A到B的一个函数，记作f:A→B。
其中A称为定义域，B称为值域。
1.2 函数的概念在我们的日常生活中，我们可以看到很多函数的例子。
比如，将一个数字加上3，或者乘以2，这就是两个函数的例子。
我们可以看到，函数本质上就是一种输入与输出的关系。
1.3 函数的符号表示函数一般用字母f,g,h等表示，其定义为：y=f(x)，表示x是自变量，y是因变量。
1.4 函数的自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，它在定义域中取值；而因变量是输出的值，它在值域中取值。
1.5 函数的图象函数的图象是函数在一个坐标系中的表示，它可以帮助我们更直观地了解函数的性质和规律。
1.6 函数的性质函数有很多的性质，比如奇偶性、单调性、周期性等等。
1.7 函数的分类函数可以分为初等函数和非初等函数。
初等函数包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
非初等函数包括无穷级数、常微分方程等。
1.8 逆函数如果函数f有定义域A和值域B，对于B中的每一个y，存在一个唯一的x属于A与之对应，那么我们称这个函数有逆函数，记作f^(-1)。
1.9 复合函数如果有两个函数f和g，使得f的值域是g的定义域，那么我们可以定义一个新的函数h(x)=f(g(x))，这就是复合函数。
1.10 函数的性质与变化函数有很多的性质和变化规律，比如极值、单调性、周期性、奇偶性等等。
对于这些性质和变化，我们可以通过函数的图象和导数来进行分析。
1.11 函数的运算函数之间可以进行加减乘除的运算，还可以进行求泛函、求复合函数、求逆函数等。
二、函数的表示与运用2.1 函数的表示方法函数可以用方程的形式、图象的形式、表格的形式、文字的形式等来表示。
函数概念和知识点总结
函数概念和知识点总结一、函数概念1. 函数是数学中的一个重要概念，是指对于一个集合中的每一个元素，都有唯一确定的输出元素与之对应的关系。
2. 在数学中，函数通常用f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量，表示x经过函数f的映射得到的结果。
3. 函数可以看作是一种特殊的关系，它描述了输入和输出之间的对应关系，是研究自然界和社会现象中变量之间相互依存关系的重要工具。
4. 函数的图像通常用坐标系中的曲线来表示，通过观察函数的图像可以了解函数的变化规律和性质。
5. 函数在现实生活中有着广泛的应用，例如物理学、经济学、工程学等领域都需要使用函数来描述和分析问题。
二、函数的定义与性质1. 函数的定义：对于集合A和集合B，如果存在一种规律，使得集合A中的每一个元素a都与集合B中唯一确定的元素b相对应，那么我们称这种规律为函数。
2. 函数的自变量和因变量：函数中自变量是指输入的变量，通常用x来表示；因变量是指输出的变量，通常用f(x)来表示。
3. 定义域和值域：函数的定义域是指能够取值的自变量的范围；值域是指因变量的取值范围。
在定义和使用函数时，需要注意其定义域和值域的范围。
4. 函数的性质：函数有着一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性、极值点、渐近线等，这些性质可以通过函数的分析和图像来进行确定。
5. 函数的分段定义：有些函数在不同的定义域上有不同的表达式，这种函数称为分段函数，需要根据具体的定义域来确定函数的表达式。
三、函数的表示和求解1. 函数的表示：函数可以通过不同的方法来表示，如用表达式形式、图像形式、数据表形式、文字描述等方式来表示函数。
2. 函数的求解：对于给定的函数，我们通常需要求解其零点、极值、最值、导数等问题，这些问题都涉及到函数的求解。
3. 函数的复合与逆函数：函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，逆函数是指可以将原函数的输入和输出进行对调得到的函数。
4. 函数的图像与性质：函数的图像可以通过绘制坐标系中的曲线来表示，通过观察函数的图像可以了解函数的性质和特点。
3.1-函数的概念及表示方法
(1)当两个变量之间的函数关系能用一个等式来表示时,
这个等式叫做函数解析式.求函数的解析式,一般要求出函数
的定义域;
(2)求函数解析式的常用方法有:待定系数法、换元法等;
(3)常见函数图象举例(见下面图组).
【小结】 在解决问题时,数形结合,常见函数图象是有
(2)已知 f(2x)=(2x)2-2,则 f(a)= a2-2
.
5.(1)函数
f(x)=+的定义域是 {x|x≠-1,x∈R}
.
(2)函数 f(x)=x0 的定义域是 {x|x≠0,x∈R}.
(3)函数 f(x)= 的定义域是 {x|x≥0}
.
(4)函数 f(x)= 的定义域是 R
.
.
−>
(2)依题意
,解得-<x<1,∴函数的定义域是(-,1).
+ >
【小结】 根据函数的解析式求定义域,先要找出自变量的所有限制条
件,再求相应解集的交集,最后结果一般用区间表示.
【例 7】
求函数 f(x)=
+ , < ≤
的定义域.
, < ≤
∵-(x-1)2≤0
∴y≤-1
所以函数的值域为:(-∞,-1].
二、探究提高
【例1】 已知f(x)=2x2+3x+4,g(x)=x+4,且F(x)=f(x)-3g(x).
(1) 求F(x); (2)求F(2)的值.
【解】 (1)F(x)=f(x)-3g(x)=2x2+3x+4-3(x+4)=2x2-8;
函数的概念及其表示
课前案基本知识梳理1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦ ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑧ .(2)函数的三要素:⑨ 、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩ 相同,且 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为 .(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为 ;当a<0时,值域为.(3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.课中案一、目标导引1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.二、牛刀小试判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数=x 0是同一个函数. ( )(2)f (x 是一个函数. ( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等. ( )(4)函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个.( )2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x 21x-( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( )A.(-1,1)B. 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.(-1,0) D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1三、例题讲解考点一 函数、映射概念的理解例1 (1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y = 11x + ,x ∈A ,y ∈B ;②A = *1|N 2a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ ,B= *1|,N nb b n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭,对应关系f :a →b ,b= 1a ;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A 到B 的映射的为 ( )A.①③B.②④C.①④D.③④(2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y 2B.y y =xx 2+1 D.y 变式练习1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根;②A =R,B =R, f :x →x 的倒数;③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2.其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③2.( )A.f (x )=|x |,g (x f (x g (x 2C.f (x )=211x x --g (x )=x +1 D.f (x g (x考点二 函数的定义域例2 (1)函数f (x x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2](2)函数f (x 2563x x x -+- 的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y = 2143mx mx mx -++ 的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)若函数f (x 2ax abx b ++的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为 角度三 抽象函数的定义域例4 已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ +f12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域是.考点三 函数的解析式例5 (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ).(2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ).变式练习(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.考点四 分段函数例6 已知函数f(x)=229,1,4,1,x ax xx a xx⎧-+≤⎪⎨++>⎪⎩ 若f(x)的最小值为f(1),则实数a的取值范围是.角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围)例7 设函数f(x)= 22,0,1,0,x x xx x⎧+<⎨+≥⎩则f(-1)= ; 若f(a)>f(a-1),则实数a的取值范围是 .变式练习(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f(x)=2,0,1,0,x xx-⎧≤⎨>⎩ 则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)课后案1.下面可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={x|0≤x≤1}为值域的函数图象的是( )2.(2020河北邢台模拟,理2)已知集合A={x|lg(x2-x-1)>0},B={x|0<x<3},则A∩B=( )A.{x|0<x<1}B.{x|x<-1}∪{x|x>0}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<1}∪{x|2<x<3}3.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.f(x)=e ln x,g(x)=xB.f(x)=,g(x)=x-2C.f(x)=,g(x)=sin xD.f(x)=|x|,g(x)=5.若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-f(x+3)的值域是( )A.[-8,-3]B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]6.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B C D7.(2020重庆模拟,理13)已知函数f(x)=ln(-x-x2),则函数f(2x+1)的定义域为 .8.(2020辽宁大连一中6月模拟,文3)设f(x)=且f(2)=4,则f(-2)= .9.设函数f(x)=若f(t+1)>f(2t-4),则实数t的取值范围是 .10.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,则f(x)= .B组11.(2020广东华师大附中月考)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]12.(2020河北衡水中学检测)已知函数f(x)=若实数a满足f(a)=f(a-1),则f=( )A.2B.4C.6D.813.(2020山东济南三模,5)“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值,其计算方法是将每一期增长量相加后,除以期数,即国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标,下表是我国2015—2019年GDP数据:年份20202020201516171819国内生产总值/万亿68.8974.6483.291.9399.09根据表中数据,2015—2019年我国GDP的平均增长量为( ) A.5.03万亿 B.6.04万亿C.7.55万亿D.10.07万亿14.已知函数f(x)=则f= .课后案答题纸A组1234567. 8.9. 10.B组1234.。
中学函数知识点高中总结
中学函数知识点高中总结一、函数基本概念函数是数学中一个非常重要的概念，也是中学数学中的一个重要内容。
函数是一种带有自变量和因变量的关系，通常可以用一个公式或者图像来表示。
在数学中，函数可以用来描述各种数量之间的关系，同时也可以用来解决各种数学问题。
函数的概念是建立在坐标系中的，通常用自变量和因变量的值对来表示。
在数学中，通常用f(x)表示函数，x为自变量，f(x)为因变量。
1. 函数的定义在数学中，函数的定义是非常重要的一部分。
如果一个集合中的每一个元素，都对应唯一的一个元素，那么这个集合就称为定义域。
对应的元素就是函数值，函数的集合就是值域。
例如，如果一个函数的定义域是X，那它的值域是Y。
如果一个函数的定义域是X，那它的值域是Y。
即f:X→Y。
其中X和Y分别是自变量和因变量的集合。
2. 函数的表示在数学中，函数可以用公式或者图像来表示。
如果一个函数可以用公式来表示，那么这个函数就称为解析函数。
例如，y=f(x)=x^2。
这个函数就可以用解析式y=x^2来表示。
另外，函数也可以用图像来表示。
通常来说，函数的图像可以用直角坐标系或者极坐标系来表示。
3. 函数的性质在数学中，函数有很多性质。
其中一个非常重要的性质就是奇偶性。
如果一个函数满足f(x)=f(-x)，那么这个函数就是偶函数。
如果一个函数满足f(x)=-f(-x)，那么这个函数就是奇函数。
另外，函数还有单调性、周期性、有界性等性质。
4. 函数的运算在数学中，函数也可以进行各种运算。
例如，两个函数可以进行加减乘除运算。
如果两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域完全相同，那么它们可以进行加减乘除运算。
例如，(f+g)(x)=f(x)+g(x)。
此外，还可以进行复合函数和反函数的运算。
二、基本初等函数在数学中，基本初等函数是一类非常重要的函数。
它包括常数函数、一次函数、二次函数、绝对值函数、指数函数、对数函数、幂函数、反比例函数和三角函数等。
这些函数在数学中有着非常重要的作用。
函数知识点归纳
函数知识点归纳函数是数学中的一个重要概念，它在计算机科学、统计学和物理学等领域也有广泛的应用。
本文将对函数的基本概念、性质和常见的函数类型做一个全面的归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用函数知识。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个或多个自变量映射到一个因变量上。
函数通常表示为f(x)或y=f(x)，其中x是自变量，f(x)或y是因变量。
函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量的集合。
函数可以用不同的方式表示，如数学表达式、图形、表格或文字描述。
函数的图形通常用坐标系上的点表示，自变量在横轴上，因变量在纵轴上。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域确定了自变量可能取值的范围，值域确定了因变量的取值范围。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域上的增减趋势，可以是递增、递减或不变。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像的对称性质，奇函数关于原点对称，偶函数关于纵轴对称。
4. 周期性：周期函数具有一定的重复性，函数的图像在一定的区间内重复出现。
5. 极值点：函数的极值点是函数图像上的局部极大值或极小值点，可以通过导数求解。
三、常见的函数类型1. 多项式函数：多项式函数是由常数、变量和指数幂运算组成的函数，可表示为f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an为系数，n为次数。
2. 指数函数：指数函数的函数表达式为f(x) = ax，其中a为常数，x为自变量。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正数为底的幂运算的逆运算，常见的对数函数有自然对数函数ln(x)和以10为底的常用对数函数log(x)。
4. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标表示的函数，常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆运算，常见的反三角函数有反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)和反正切函数arctan(x)等。
函数的基本概念及表示(高考总复习)
函数的概念及其表示1．函数的基本概念:⑴函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f(x)，x ∈A.⑵函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫值域．值域是集合B 的子集．①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.⑶函数的三要素：定义域、值域和对应关系．⑷相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等； 例1．下列四个图形中，可以表示函数y ＝f(x)的图像的是( )例2．分别求下列函数的定义域：(1)⑴f(x)＝|x －2|－1log 2x －1； (2)⑵f(x)＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4.例3．求下列函数的值域： ⑴y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}；⑵y ＝x ＋1；⑶y ＝2x ＋1x －3； ⑷y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；⑸y ＝2x －x －1；⑹y ＝x 2－2x 2＋1. 例4．判断下列各组函数是否表示同一函数：(1)f(x)＝x ，g(x)＝(x)2；(2)f(x)＝x ，g(x)＝x 2；(3)f(x)＝x ＋2，g(x)＝x 2－4x －2； (4)f(x)＝3x 2－1，g(t)＝3t 2－1.2．函数的三种表示方法解析法、列表法、图象法．例1(1)已知f(x)＝x 2，求f(x －1)；(2)已知f(x －1)＝x 2，求f(x)；(3) 已知2f(x)＋f(－x)＝3x ＋2，求f(x)3．分段函数例1．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x|≤111＋x 2，|x|>1，则f[f(12)]＝( ) A.12 B.413 C ．－95 D.2541例2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x，x≤1，－x ，x ＞1.若f(x)＝2，则x ＝___ _____.例3．(1)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＞6，f (x ＋2)，x ≤6，求f(－3)的值． 4．复合函数例1．已知f(x)＝x 2－4，g(x)＝3x ＋2(x ∈R )．⑴求f(2)和g(a)；⑵求g[f(2)]和f[g(x)]．例2.已知一次函数y ＝f(x)满足f(f(x))＝9x ＋4，求函数f(x)的解析式；5．抽象函数注：①定义域一定是x 的取值范围②前后两个括号的范围是一致的例1．(1)已知y ＝f(x)的定义域为[0,1]，求f(x －1)的定义域．(2)已知y ＝f(x ＋1)的定义域为[0,1]．求f(x)的定义域．(3)已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域为[－2,3]，求f(x －1)的定义域．例2．定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy ，其中x ，y∈R ，若f(1)＝2，则f(－2)的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．96．模型函数（双勾函数）例1.分别求下列函数的值域 ⑴24)(-+=x x x f （3≥x ） ⑵162)(2++-=x x x x f （1-≠x ） 例2．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f(x)的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103]巩固提升1．已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅ 2．函数y ＝f(x)的定义域为[－1,1]，则在同一坐标系中，y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或13．若函数f(x)满足f(x ＋1)＝12f(x)，则f(x)的解析式在下列式子中只可能是( ) A.x 2 B ．x ＋12 C ．2－x D ．log 12x 4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x≤1，x 2＋x －2，x ＞1.则f[1f(2)]的值为( ) A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 5．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．A ．f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg xB ．f(x)＝lg x ＋1x －1，g(x)＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f(u)＝ 1＋u 1－u，g(v)＝ 1＋v 1－v D ．f(x)＝(x)2，g(x)＝x 26．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，试求f(x)的表达式．7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)8．函数g(x)＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域是 .9．已知n ∈N *，且f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2，n ≥10，f (f (n ＋5))，n ＜10，则f(4)＝________； 10．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是 ( )11．已知函数f(2x ＋1)＝3x ＋2，且f(a)＝4，则a ＝__ ______． 12．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 (x ≤0)－(x －1)2 (x>0)，使f(x)≥－1成立的x 的取值范围为________．13. ⑴已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x －1，求f(x)；⑵已知f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x ＋1)－f(x)＝2x ，求f(x)．14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：(1)y ＝2x 2＋1，x∈{－2}；(2)y ＝2x 2＋1，x∈{2}；(3)y ＝2x 2＋1，x∈{－2,2}． 那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为___ _____；若g[f(x)]＝2，则x ＝_____ ___.16．函数y ＝f(x)的值域是[－2,2]，定义域是R ，则函数y ＝f(x －2)的值域是( )A ．[－2,2]B ．[－4,0]C ．[0,4]D ．[－1,1]17．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( )A.13B. 2C.22D ．2 18．已知函数)86(log )(22++-=m mx mx x f⑴若函数f(x)的定义域为R ，求实数m 的值⑵若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的值。
《函数的概念》 知识清单
《函数的概念》知识清单一、函数的定义在数学中，函数是一种非常重要的概念。
简单来说，如果对于一个变量 x 的每一个值，都有唯一的一个变量 y 与之对应，那么我们就称 y 是 x 的函数。
比如说，我们考虑一个简单的例子：汽车行驶的路程 s 与时间 t 之间的关系。
假设汽车以恒定的速度 v 行驶，那么路程 s 就等于速度 v乘以时间 t，即 s ＝ vt 。
在这个例子中，对于每一个给定的时间 t ，都有唯一确定的路程 s 与之对应，所以路程 s 是时间 t 的函数。
再比如，我们考虑一个购物的场景。
购买商品的总价 y 与购买的数量 x 有关，假设每件商品的单价为 p ，那么总价 y 就等于单价 p 乘以数量 x ，即 y ＝ px 。
这里，对于每一个确定的购买数量 x ，都有唯一确定的总价 y 与之对应，所以总价 y 是购买数量 x 的函数。
函数的定义可以用数学符号表示为：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于D 中的每一个x 值，按照某种确定的对应关系f ，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 y 是 x 的函数，记作 y＝ f(x) ，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为函数的定义域。
二、函数的三要素函数的三要素包括定义域、值域和对应法则。
1、定义域定义域是指自变量 x 能够取值的范围。
在确定函数的定义域时，需要考虑使函数表达式有意义的条件。
例如，对于分式函数，分母不能为零；对于根式函数，根号下的式子必须大于等于零；对于对数函数，真数必须大于零。
比如函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，由于分母不能为零，所以x 1 ≠ 0 ，即x ≠ 1 ，因此这个函数的定义域是x ≠ 1 。
2、值域值域是函数值 y 的取值范围。
值域的确定通常需要根据函数的定义域和对应法则来进行分析。
以函数 f(x) ＝ x²为例，因为任何实数的平方都大于等于零，所以其值域为y ≥ 0 。
初中函数考前知识点总结
初中函数考前知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，是一种对应关系，即对于集合A中的每一个元素x，都对应集合B中唯一的一个元素y。
通常用符号f(x)表示函数，表示A中的元素x对应B中的元素y，即f:A→B。
2. 自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，通常用x表示；因变量是输出的值，通常用y表示。
3. 定义域和值域在函数中，定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
二、函数的图像1. 函数的图像函数的图像是平面直角坐标系中表示函数对应关系的图形。
2. 线性函数线性函数的图像是一条直线，其一般形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
3. 二次函数二次函数的图像是抛物线，其一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
4. 反比例函数反比例函数的图像是一条从原点出发的双曲线，其一般形式为y=k/x，其中k为比例系数。
5. 幂函数幂函数的图像是一条与坐标轴相交的曲线，其一般形式为y=x^k，其中k为幂指数。
三、函数的性质1. 奇函数和偶函数奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
2. 单调性如果对于定义域内的任意两个不同的数x1和x2，有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在此区间上是递增的；如果对于定义域内的任意两个不同的数x1和x2，有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在此区间上是递减的。
3. 周期性如果存在正数T，使得对于定义域内的任意x都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。
4. 有界性如果存在正数M，对于定义域内的任意x都有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在此区间上有上界M；如果存在正数m，对于定义域内的任意x都有m≤f(x)≤M，则称函数f(x)在此区间上有界。
四、函数的运算1. 函数的加减两个函数f(x)和g(x)的和（差）是指两个函数对应自变量的和（差）所得到的新函数。
初中数学函数知识点归纳新
初中数学函数知识点归纳新函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学中有广泛的应用。
下面是对初中数学中关于函数的知识点的归纳总结：1、函数的概念：函数是一个映射关系，它把一个集合中的每一个元素都映射到另一个集合中的唯一元素上。
常用的表示方法是y=f(x)。
2、自变量和因变量：在函数中，x称为自变量，y称为因变量。
自变量的变化会引起因变量的变化。
3、定义域和值域：在函数中，自变量的取值范围称为定义域。
而因变量取值的范围称为值域。
4、一次函数：一次函数的函数表达式为y = kx + b。
k表示斜率，b表示截距。
5、一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线。
当斜率为正时，函数图像呈现上升趋势；当斜率为负时，函数图像呈现下降趋势。
6、一次函数的性质：一次函数的性质包括：斜率相同的一次函数平行；截距相同的一次函数重合；一次函数有且只有一个解。
7、二次函数：二次函数的函数表达式为y = ax² + bx + c。
a、b、c分别是函数的系数，其中a≠0。
8、二次函数的图像：二次函数的图像是一条开口向上或向下的曲线，称为抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
9、二次函数的顶点：二次函数的图像的最高点或最低点称为顶点。
顶点的横坐标为-x₀=(b/2a)，纵坐标为y₀=f(-x₀)。
10、对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的一条直线，与抛物线的形状相关。
11、二次函数图像的性质：二次函数的图像性质包括：抛物线的对称轴与y轴垂直；抛物线开口的方向由a的正负决定；抛物线的顶点坐标=(-x₀,y₀)。
12、幂函数：幂函数的函数表达式为y=xⁿ，其中n为非零实数。
幂函数的图像形状与n的值相关。
13、幂函数的图像性质：幂函数的图像性质包括：n为奇数时，图像关于原点对称；n为正数时，图像呈现上升趋势；n为负数时，图像呈现下降趋势。
14、反比例函数：反比例函数的函数表达式为y=k/x，其中k为非零常数。
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函数的概念及其表示
主标题：函数的概念及其表示
副标题：为学生详细的分析函数的概念及其表示的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：函数，定义域，值域
难度：2
重要程度：4
考点剖析：
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
命题方向：高考对本内容的考查主要有：①函数及其表示；②函数的基本性质；③借助基本初等函数考查函数单调性与奇偶性的应用，尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围，主要以解答题的形式考查；④求二次函数的解析式、值域与最值，考查二次函数的最值、一元二次方程与不等式的综合应用．
规律总结：1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．
2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．
知识梳理
1．函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．
(5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
2．函数定义域的求法
类型
x 满足的条件 2n f (x )，n ∈N * f (x )≥0
1f (x )与[f (x )]0 f (x )≠0
log a f (x ) f (x )＞0
四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
3．函数值域的求法
方法
示例 示例答案 配方法
y ＝x 2＋x －2 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ 性质法
y ＝e x y ∈(0，＋∞) 单调性法
y ＝x ＋x －2 y ∈[2，＋∞) 换元法 y ＝sin 2 x ＋sin x ＋1 y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3。