13.2命题和证明

(6)到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3.证明：邻补角的平分线互相垂直。
已知：
求证：
证明一个命题的步骤是什么？ (1)根据题意画出图形
(2)根据题设、结论,结合图形写出已知、求证
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出 证明过程。
4：已知：如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠B 求证： ∠C=∠D C B
A O D
5:请在下列题目证明中的括号内填入适当的理由
已知：如图AD=BC，CE∥DF，CE=DF 求证：∠E=∠F 证明：因为CE∥DF（ ∠1=∠2（ ） ）
E C
2
BБайду номын сангаас
在△AFD和△BEC中，因为 DF=CE（ ∠1=∠2 （ AD=BC （ 所以△AFD≌△BEC （ 所以∠E=∠F （ ） ） ） ） A
A 1 M N 2 D F C E
B
例4：叙述并证明三角形的内角和定理。 （要求写出定理，已知，求证，画出图形，并写出 证明过程）
▲通过上述例子，请同学们归纳证明是怎样一个
过程，证明过程中，推理的依据有哪些？同伴之 间互相交流一下。
归纳结果：证明是由条件（已知） 出发，经过
一步一步的推理,论证，最后,推出结论（求证）
1
D
F
）
6、已知：如图， ∠ADE=∠B ∠1=∠2，AB ⊥FG
求证： CD⊥AB 证明：∵ ∠ADE=∠B（ ）
∴DE∥ _________(
∴ ∠1=∠3( )
)
A
E
3
1
D G
2
∴ ∠1=∠2(
∴ ∠2=∠3( ∴GF∥ _________( 又∵ AB⊥FG( ∴ CD⊥AB(
)
)
C
)
F
B
命题与证明
▲有些命题，如：“对顶角相等”，“三角形三个
内角
的和等于180°”等，它们的正确性已经经过推理得
到证实，并被作为判断其他命题真假 的依据，这样 的真命题称为定理。推理的过程叫做证明 . ▲跟同伴交流，回顾我们学过 的命题，哪些是定理？
如:平行线判定定理；
平行线性质定理；
三角形内角和定理； 同角(等角)的余角(或补角)相等
证明并写出每一步推理的理由 例1：已知：如图,BD⊥AC，EF⊥AC， G D，F是垂足，∠1=∠2，求证： ∠ADG= ∠C 证明：∵BD⊥AC，EF ⊥ AC （已知） ∴ ∠3=∠4=90° ∴BD//EF ∴ ∠2= ∠CBD 又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠1= ∠CBD ∴GD//BC
A
1
D
3
2
F
4
（垂直的定义）
B
E
C
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠ADG= ∠C
（两直线平行，内错角相等）
例2：求证：两条平行线被第三条直线所截，内错 角的平分线相互平行。
例3：已知命题：如图，∠B= ∠D, ∠A= ∠C, 则∠1= ∠2，把命题改写为如果...那么...的形式， 并说明命题的真假。
正确的过程。证明过程中,推理的依据可以是公 理，也可以是定理，定义，已知条件 ，推论。
练习:
A
1
B D
2
1. 已知，如图，AB⊥BF， CD⊥BF，∠1=∠2 求证： ∠3=∠4 证明:∵ AB⊥BF， CD⊥BF （已知 ）
C
4
3
E
F
∴∠ B=∠CDF=90° （ 垂直的性质 ） ∴AB// CD （ 垂直于同一条直线的两直线平行） 又∵ ∠1=∠2 （已知） （内错角相等，两直线平行）
) )
7、已知：
(1)如图， DE∥BC,∠1=∠2，请说明FG ∥DC, (2)若把条件中的DE∥BC与结论FG ∥DC对调，命题还 成立吗？请推理说明。 (3)若把条件中的∠1=∠2与结论FG ∥DC对调呢，命题还 成立吗？请推理说明。 A E
3 1
D G F
2
C
B
证明命题:三角形中至多有一个角是钝角.
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证：∠A，∠B，∠C中至多有一个是钝角. 证明：假设△ABC中不止一个角是钝角，那么 ∠A，∠B，∠C之和必大于180°， 这与“三角形三个内角和等于180°”
思 考
相矛盾. 因此△ABC中至多有一个角是钝角.
A
B
C
你有哪些收获?
⑴公理和定理的概念及它们的异同. ⑵什么叫证明? ⑶如何进行推理和表达?
∴AB//EF
∴CD // EF
（平行于同一直线的两直线平行 ）
（ 两直线平行，同位角相等）
∴∠3=∠4
2、说出下列命题的题设和结论 (1)两直线平行，内错角相等。 (2)内错角相等，两直线平行。 (3)全等三角形的对应边相等
(4)三边对应相等的两个三角形全等。
(5)角平分线上的点到角两边的距离相等