磁场对运动电荷及电流的作用

I1dl1 r132
dl2
r12
处产生的磁场为
r
r
r I1dl1
I1
dF12
r12
r
I2dl2×dB1
I2
电流元
dF12
F12
I1dl1
对电流元
I
2
dl2
的安培力为
I（2 dl2
dF12
dB1） 0 I1I 2
0 I1I2 dl2 （dl1
4
dl2
（dl1
r132 r12）
I
dFx
Idl
IBdl sin A
Cx
IBdy
同理有 dFy dF sin IBdx
积分
Fx
l dFx IB
yC dy 0
yA
Fy
l dFy IB
xC dx IBL
xA
矢量形式
r
r
F IBLj
考察载流直导线AC所受安培力
r rr
r
FAC Il B IBLj
F3 F4 ,
两力大小相等、方向
相反, 且作用在同一直线上, 其
F1 3
F3
F4
4
F2
合外力及合外力矩均为零, 故
不会使线圈产生运动.
F1
F2,
两力大小相等、方向
相反, 不会引起线圈平动; 因两
力不在同一直线上, 故会引起
线圈转动.
设线圈1、2两边受力对转轴力矩为Mr , 线圈1、2两
增加, 相应地回旋频率v减小, 最终将无法保证粒
子有效加速.
在磁场中偏转弧线ab的曲率半径为 r = mv
aºb l
eB
D Ltg L
rr
D = Ll = elL B
r mv
在磁偏转机构中: 带电粒子的偏移量与磁感应强
度有关, 故可利用线圈信号电流来调节B的大小,
从而实现屏幕光点位置的控制.
带电粒子所受的合力为
r f
r fe
r fm
r qE
qvr
r B
洛伦兹力: 运动的带电粒子所受电场力和磁场力
之和.
(2) 霍耳效应 霍耳效应: 置于磁场中的通电导体或半导体薄片, 在垂直于磁场和电流方向的两侧会出现电势差 —霍耳电压. 美国物理学家霍耳(E.C.Hall)1879年 发现该效应, 故称Hall effect.
“–” 指力的方向与回旋半
径方向相反.
arn art
v2
r
ern
dv dt
r et
0
qv B m
ern
可见, 带电粒子做匀速圆周运动
qv B v 2 mr
r 为带电粒子的回旋半径
f f
f
f
r mv p qB qB
v
8.5-2
带电粒子的回旋方向由右手法
则
q
(vr
r B)
确定.
在均匀磁场中: 自由带电粒子仅受磁场力的作用,
qvr
r B
由牛顿第二定律有
m dvr
q(vr
r B)
mvrdtdvr
qvr
(vr
r B)
dt
拇指r 指向 f
q
四指 指向 v //
r B
v
v
由 可得
mvr dvr
qvr
(vr
r B)
vr
dt (vr
r B)
0
mvr dvr = d (1 mv 2 ) 0
dt dt 2
1 mv 2 常数 2
任取电流元
r Idl
所受安培力大小为
dF IBdl
r
B
R
I
y
dFy
dF
Idl
dFx
方向沿半径向外 rrr
dF dFxi dFy j
A o C x
r
r
dF cosi dF sin j
r
r
r
dF IBdl cosi IBdl sin j
dlr Rd
r
r
dF IBRcosdi IBRsind j
l' 0R
d
x
例4. 在一圆柱形磁铁N极正上方水平放置半径为
RR 的载流圆环. 已知电流I沿顺时针方向(俯视), 导
线所在处磁场方向与竖直方向成 角 .
求: 载流圆环所受的安培力.
解:
在载流圆环上任意选 r
取电流元
力为
r dF
Idlr Idl
, 它所受安培 r
B
dFz
r
dF
Z
Idl
dF//
霍耳电压的大小如何？
磁场力与电场力平衡时
rr fe fm 0
× × B
I× ×
l
a
××
qvB
××
××
×vr d×
I
qE qv B
× ×× × × ×
qE
E vB
× ×××× ×
由 El Uab
b
及
I = nqv S
可得
v= I = I nqS nqld
则有 Uab
I nqld
lB
(1) nq
金属的n 1028/m3, 故RH很小, 霍耳效应不明显. 但半导体的n却小的多. 因此, 常见的霍耳元件均
由半导体材料制成.
4. 磁场对电流的作用
(1) 磁场对载流导线的作用—安培力
电流元 Idlr中每一载流子受力为
r f
qvr
r B
其中的载流子数为
dN dl S n
电流元受力为
r dF
磁场力的特征: 电荷在磁场中运动时, 虽受到洛 沦兹力作用, 但该力不做功, 因而电荷动能守恒; 洛沦兹力仅使电荷运动方向发生变化.
2. 带电粒子在磁场中的运动
电荷在磁场中的运动取决于磁感应强度的
分布, 下面讨论几种典型情形及应用:
(1若)fr 均Br 匀q(常v磁r 数场Br 中) 电且荷qvvr的Ber圆nBrei周 运动
此时 f 2 107 N/m
安培的定义: 两无限长平行载流直导线相距1米 且单位长度受力2×10-7 N时, 它们各自通过的电 流强度为1安培.
任意两载流导线间的相互作用
导线L1 导线L2
r
在导线1上取电流元 在导线2上取电流元
I1dlr1 I2dl2
r
r
电流元
I1dl1
dB1
在电流元
I
2
0 4
解: 添加da直导线构成闭合回路abcda
建立如图坐标系
r arr
rrrr Fab Fbc Fcd Fda 0
Fda
Idl B
d
y
ar
IB dl j d
I b
r IB(l 2R) j
rrr r Fab Fbc Fcd Fda
r IB(l 2R) j
a
l
c
且速度垂直于磁场方向而做匀速圆周运动, 其回
旋半径与动量成正比、与所带电量和磁感应强度
成反比.
回旋周期: 带电粒子在磁场中旋转一周所用时间.
T 2 r
v T 2 m
qB
r = mv qB
回旋频率:单位时间内粒子在磁场中的回旋次数.
1 qB T 2 m
在均匀磁场中:自由带电粒子做匀速圆周运动的
§8.5 磁场对运动电荷及电流的作用
本节讨论磁场对运动电荷及电流作用的一 般规律和特点, 并介绍其重要应用.
➢ 磁场对带电粒子的作用——洛伦兹力 ➢ 带电粒子在磁场中的运动 ➢ 带电粒子在电磁场中的运动
1. 磁场对带电粒子的作用
运动电荷带电量q、质量m、速度 vr, 在磁场 Br中受
到的磁场力为
r f
边边长为 l, 3、4两边边长为 h, 面积 S=lh; 线圈平
面法线与磁场方向夹角为φ .
F1 F2 F
M F h sin F h sin
2
2
h
2
Fh sin IlhB sin
M ISBsin
方向垂直投影面向里
en
r 定义面积矢量r为S
r
Serrn
则有
M (IS) B
r rr 载流线圈受到的磁力矩 M (IS) B 磁矩: 任意载流线圈的磁矩与线圈中的电流强度 和线圈面积成正比, 其方向符合右手螺旋法则.
周期与其速度无关, 且回旋半径与带电量有关.
(2)
均匀磁场中电荷的螺旋运动
若
r B
=常数,
vr与
Br 不垂直且夹角为
z
r v
v
q vr// y
r
B
v q
r
x
在在垂平直行于于BBrr的的v平平面面v：：回匀旋速v半直//径线为运动r 速mq度vB为vmvqvsBi//nv cos
在均匀磁场中:自由带电粒子仅受磁场力作用且速
匀外磁场中所受安培力相等.
例2. 一弯曲的平面导线通有电流 I, 端点A、C相距
L, 均匀磁场 B 与导线所在平面垂直.
求: 导线所受安培力.
解:
建立r 如图坐r 标r系,
任取电流元
r Idl
dFr Irdl Br
dF dFx dFy
y
dFy
dF
dFx dF cos dF sin
fm
fm
I
R.H
霍耳效应的机理是薄 片中的载流子在磁场 中受洛伦兹力所致
× B
×
× a× ×
×
fm
vr×
×
×I
× ×fe×× ×
b
×× ×
××
载流子为P型半导体
× B
× a× ×
×
× vr×
f
m
×
×I
×
×
f e×
×
×
× × b×
×
×
载流子为N型半导体
r fm
qvr
r B
I
R.H
霍尔电压Vab>0
r
I1dl1 B2
•
r
I
2
dl2ו
dF12 B1 B1 dF12
dF21
单位长度导线间的相互作用力为
f dF12 dF21 0 I1I2 dl2 dl1 2 a
电流同向时相吸, 异向时相斥.
由 f 0 I1I2 2 a
可得 I1 I2 I 时有
I = 2πaf μ0
a 1m时 I 1A(安培）
度与磁场方向存在夹角时, 其运动轨迹为螺旋线.
(3) 粒子同步回旋加速器
利用电磁场对带电 粒子的作用, 产生 高能带电粒子
磁场引起带电粒子 回旋运动
电场使带电粒子不 断加速
D1
B 不断加速条件
~
q
ν旋
1 T
qB
2 m
ν电源
相对论效应
D2 V
m
m0
1 (v c )2
随粒子速度v 增大, 相对论效应使粒子质量不断
rr
IF F
所以 F FAC
AI
C
直导线AC称为弯曲导线AC的等效直导线.
重要结论: (1) 任意形状的载流导线, 在均匀外磁场中所受的 安培力, 可用等效直导线来计算.
(2) 载流回路在均匀外磁场中所受安培力为零.
例3. 如图所示, 通有电流 I 的平面弯曲载流导线
abcd与外磁场方向垂直, 求此导线所受的安培力.
4
L1L2
r132
r12）
同样导线 l2 对导线 l1 的总安培力为
F21
0 I1I 2 4
dl1 （dl2
L1L2
r231
r21）
可以证明
F12 F21
(3) 磁场对载流回路的作用 考察矩形载流线圈在磁场中的受力和运动情况－
电动机的工作原理.
线圈受力等于四个边各自受安培力的矢量和.
(5) 磁约束 一中间弱两端强、且轴向对称的非均匀磁场构成 磁束.
磁束能对进入其中的带电粒子形成磁约束, 使其 在磁束中来回振荡. 用强磁束可把高温等离子体约束在有限空间— 从而实现可控热核反应.
3. 带电粒子在电磁场中的运动
(1) 洛伦兹力
运动的带电粒子在电磁场中同时受到电场力和磁
场力的作用.
B1
0 I1 2 a
方向垂直投影面向里
r
导线2上电流元I2dl2所受安培力：
dF12 方向由
Id2lrd2 l2BBr11确定2为0I1向aI2 左dl.2
I1
I2
a
r
I
dF12
2
dl2×B1
dF12
ห้องสมุดไป่ตู้
0 I1I2 2 a
dl2
I1
I2
同样有导线2对导线1上电流元
a
的安培力为 方向由dlr1dF2B1r2确定20I1为aI2 向dl1右
R
由对称性知, 安培力水平分量
I
之和为零.
N
F
l dFz
dF sin
l
2 R
方向竖直向上
0
IB dl sin 2 RIB sin
(2) 载流导线间的相互作用 载流导线间相互作用的实质是一载流导线产
生的磁场对另一载流导线施加安培力.
无限长平行载流直导线的r相互作用: 在导线2上取电流元I 2 dl2， 导线1在电流元处产生的磁场为：
en
en
90o,max ISB
0o,min 0
F2
F2
F2
ו
•
F2
× •
F2
F2
F1 F2
×
ו
F1 FFF111
B
dN dl
S
r f dN nqvr
rqvr B
r Br Idl
r B
上式称为安培定律.
一段通电导线所受安培力为
r
r
rr
F dF I(dl B)
L
L
例1. 一半径为R、载有电流 I 的半圆形导线, 置于 均匀外磁场中, 磁场与导线平面垂直. 求: 该导线所受的安培力.
解: 建立如图坐标系
r fm
qvr
r B
I
R.H
霍尔电压Vab<0
霍耳电压: 载流子受磁场力作用而运动, 结果在 金属板两侧分别积累等量的异号电荷, 并在两表 面间产生一定电压−−霍尔电压. 当磁场力与电场 力达到平衡时该电压稳定不变, 其极性不仅与磁 场方向有关, 而且取决于载流子的正负, 并可用 右手定则判断.
r
r
r
r
F
dF
0
IBR cosdi
0
IBR sind
j
r
2IBRj
合力沿 y 轴正方向.
安培力为
r
r
F = 2IBRj
考察载流直导线AC所受的安培力:
r rr
r
y
FAC Il B 2IBRj
rr
dFy
dF
F FAC
I
R
F Idl
dFx
A I o C x
结论: 载流半圆形导线AC与载流直导线AC在均
IB d
其中
RH
1 称为霍尔系数
nq
IB Uab RH d
若磁场与电流间夹角为
I (B sin )
Uab RH
d
霍耳电压Uab: 与通过霍耳片的电流强度及垂直电
流的磁场分量成正比, 而与霍耳片的厚度成反比.
霍耳系数RH: 反映材料自身特性的物理量, 仅与 载流子浓度 n 和所带电量 q 有关.