立体几何专题训练(附答案)
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立体几何
G5 空间中的垂直关系
18．、[2014·广东卷] 如图14，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF；
(2)求二面角D AF E的余弦值．
图14
19．、[2014·湖南卷] 如图16所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．
19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.
因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD.
由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.
(2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1.
由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1.
又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，
因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1.
进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1OB1D的平面角．
不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7.
在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2
＝
1＋12
7
＝
197
. 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H
C 1H
＝
23
7197
＝25719.
即二面角C 1OB 1D 的余弦值为257
19
.
方法二：因为四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直．
如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)，
B 1(3，0，2)，
C 1(0，1，2)．
易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．
设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，
y ＋2z ＝0.
取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1OB 1D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是
cos θ＝|cos 〈，〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719.
故二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719
.
19．
、、[2014·江西卷] 如图16，四棱锥P ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD .
图16
(1)求证：AB ⊥PD .
(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．
19．解：(1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD . 又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PD .
(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG . 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG .
在Rt △BPC 中，PG ＝2 33，GC ＝2 63，BG ＝6
3.
设AB ＝m ，则OP ＝PG 2
－OG 2
＝
43
－m 2
，故四棱锥P ABCD 的体积为 V ＝13×6·m ·
43－m 2＝m 3
8－6m 2. 因为m 8－6m 2
＝8m 2
－6m 4
＝
－6⎝
⎛⎭⎪⎫m 2－232
＋8
3，
所以当m ＝
63，即AB ＝6
3
时，四棱锥P ABCD 的体积最大．
此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O (0，0，0)，B ⎝
⎛⎭⎪⎫63，－63，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，263，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，263，0，P ⎝
⎛⎭⎪⎫0，0，63，故PC →
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫63，263，－63，BC →＝(0，6，0)，CD ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－63，0，0.
设平面BPC 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，1)，
则由n 1⊥PC →，n 1⊥BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧63x ＋2 6
3y －63＝0，6y ＝0，
解得x ＝1，y ＝0，则n 1＝(1，0，1)． 同理可求出平面DPC 的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，1.
设平面BPC 与平面DPC 的夹角为θ，则cos θ＝|n 1·n 2|
|n 1||n 2|
＝
1
2·
14
＋1＝
105
. 19．、[2014·辽宁卷] 如图15所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．
(1)求证：EF ⊥BC ；