第2章立体上点的投影
第二章 投影的基本知识
Z W a'' O b'' Y
a ( b) YH
68
b' X O
b'' YW
X
A在B的正上方
H面重影，被挡 住的投影加( )
结论： ●X、Y分别相等，H面重影(H面投射线上)，Z大可见。 正上（下）方 ●X、Z分别相等，V面重影(V面投射线上)，Y大可见。 正前（后）方 ●Y、Z分别相等，W面重影(W面投射线上)，X大可见。 正左（右）方
间点重合，另两个投影分别在投影轴上。
60
例3、根据点的坐标，作出点的三面投影， 并想像该点的空间位置。 A(15,10,20)
a'
Z aZ
a''
aX
X a
15
a YW
O a YH
YW
YH
61
B(20,15,0)
Z
X
b'
O
b''
YW
b Y
H
62
C(20,0,20)
c'
Z
c''
X
c
b' a' X b
b"
O
YW
a
YH
因此 点A位于点B左、前、下方。
67
两点重影
▲重影点要判别其可见性，不可见的投影用括号括起来，以示 ▲当空间两点的两对坐标相等时，两点处于同一投射线上，在 区别。 该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影 a'' 点。 a'
V
a' b' A B
H a(b)
X a′ A aX H a aZ
机械制图第二章 点
Z
V a′
A a″ W
X
O
H
a
直观图
Y
23
24
不动
V
a′ A
X
a
向下翻
H
Z
向后翻
a″ W
O
Y
25
26
27
Z
V a′
a″ W
H
X O
a YH
YW
28
Z
V a′
a″ W
H
X O
a YY HYW源自29Za′a″
X O
a YY H
YW
投影图
30
为了确定点在空间的具体位置，在 投影图中引入坐标系。
O
a
ay
H
Y
51
直观图7
Z
V a′ az
A
a″
W
X
ax
O
a
ay
H
Y
52
例3：已知点A、点B的两面投影，求第三面投影，再
以点A为基准点，标出两点的相对位置,并画出它们的 直观图。
53
54
二、特殊位置的点
1、落在投影面上的点
Z
a′
VA X
W O
b′
X
a
H
b B
Y
Z
a″
b″
O
Y
Y
55
2、落在投影轴上的点
有点 A（x、y、z），就有唯一确定 的投影图（a a′a″）。
画出A的投影图（a a′a″），也就 有唯一地确定该点 A（x、y、z）坐标值。
31
32
33
三面投影图点的投影规律
1、点的正面投影与水平投影连线垂直 于OX轴（a′a⊥OX），反映该点的X坐标值。
《建筑识图与构造》教学课件 第2章 投影的基本知识
平面的投影-平面内的点和直线
根据平面内点和直线的判 定，可以解决下面三类问题。
① 判别已知点、直线是否 属于已知平面。 ② 完成已知平面上的 点和直线的投影。 ③ 完成多边形的投影。
点在平面内的几何 条件：若点属于一直线， 直线属于一平面，则该 点必属于该平面
直线在平面内的几何条 件：若一直线通过平面 上的两点，或通过平面 内的一点，并且平行于 平面上的另一直线，则 此直线必在该平面内。
直线上的点-点在线上
点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线 的两线段长度之比等于其投影长度之比；反之亦然，此即为定比关系。
两直线的相对位置-平行
空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种。
（a）立体图
（b）投影图
两直线的相对位置-相交
其同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律，如图所示。
点的投影-两点相对位置的识读
➢ 通过方位的判断，可以确定出两点在空间的相对位置。此外，由于 X轴、Y轴、Z轴的正方向表示空间点左、前、上方，因此也可直接 根据空间点的坐标来确定两点的相对位置。
空间点的六个方位
直线的投影
➢ 作直线投影图时，只需作出直线上任意两点的投影，并连接 该两点在同一投影面上的投影即可，如图所示
三面投影体系
三面投影图-三面投影图的形成与展开
➢ 将物体置于三面投影体系中，并使其主要表面与投影面 平行或垂直，然后按正投影法分别向V面、H面和W面进 行投影，即可得到该物体的三面投影，如图所示。
三面投影图-三面投影图的对应关系
三面投影图的投影对应关系
➢ 如图所示，三面投影图不仅反映了物体的长、宽、高，同时也 反映了物体的上、下、左、右、前、后六个方向的位置关系。
第二章 投影的基本知识
第二篇投影制图第二章投影的基本知识【学习目的】掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。
【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。
第一节投影方法一、投影的概念（一）投影法的概念在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。
投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。
图2-1 投影的产生产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。
需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。
(a)影子 (b)投影图2-2 投影与影子的区别二、 投影法分类根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。
（一） 中心投影法投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。
图2-3 中心投影法缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。
优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。
（二） 平行投影法投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。
平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。
（a ）为斜投影法，（b ）为正投影法。
(b)(a)图2-4 平行投影法优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。
正投影法斜投影法在以后的章节中，我们所讲述的投影都是指的正投影。
三、投影的特性（一）真实性平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映了该直线段或者平面图形的实长或实形，这种投影特性称为真实性，如图2-5所示。
第二章 点的投影
例【1-2-3】：已知点A的坐标x=20，y=15，z=10，即： 已知点A的坐标x=20，y=15，z=10， x=20 20，15，10），求作点A的三面投影图。 ），求作点 A（20，15，10），求作点A的三面投影图。 • 【解】：如图1-2-24所示 如图1 24所示
(a)画出投影轴； 画出投影轴； 画出投影轴
（ b）过b作OX轴的 ） 作 轴的 垂线 bbx并延长之 并延长之
（c）过b〞作OZ轴的垂 ） 〞 轴的垂 并延长之， 线b〞bz并延长之，与bbx 〞 并延长之 延长线相交于b′点即为所求 延长线相交于 点即为所求
例【1-2-2】：已知空间点C的H面投影c和V面投影c′， 已知空间点C 面投影c 面投影c′， c′ 求作点C 面投影c 求作点C的W面投影c〞。 • 【解】：如图1-2-22所示， 如图1 22所示 所示，
4
点的投影
1 ．点的三面投影及其规律 1 ） 点的三面投影及其投影标注
如图1-2-19(a)是空间点 三面投影的直观图。图1-2是空间点A三面投影的直观图 如图 是空间点 三面投影的直观图。 19 (b)是三个投影面回转展平后所得点 的投影图。 是三个投影面回转展平后所得点A的投影图 是三个投影面回转展平后所得点 的投影图。
空间点到W面的距离为x坐标； 空间点到W面的距离为x坐标；即：Aa〞=a′az=aaYH=x坐标 空间点到V面的距离为y坐标； 空间点到V面的距离为y坐标；即：Aa′=aax=a〞az=y坐标 空间点到H面的距离为Z坐标； 空间点到H面的距离为Z坐标；即：Aa=a′ax=a〞aYW=Z坐标
• 空间点及投影位置即可用坐标方法表示，如点A的空 空间点及投影位置即可用坐标方法表示， 间位置是： ）；点 间位置是：A（x，y，z）；点A的H面投影是a（x，y， ），点 ，），点 0），点A的V面投影a′（x，0，z，），点A的W面投 ，）。应用坐标能较容易地求作点 影a〞（0，y，z，）。应用坐标能较容易地求作点 的投影和指出点的空间位置。 的投影和指出点的空间位置。
第二章 投影的基础知识
第二章 投影的基本知识
图2-16 两点间的相对位置
第二章 投影的基本知识
图2-5 类似性
第二章 投影的基本知识
2.2 物体的三面视图
图2-6 一个视图不能反映物体的形状
第二章 投影的基本知识 2.2.1 三视图的形成 1． 三投影面体系
互相垂直相交的三个投影面，称为三投影面体系，如图27所示。 它们分别是：
正立投影面：直立在观察者正对面的投影面，简称正面， 用字母V表示； 水平投影面：水平位置的投影面，简称水平面，用字母 H 表示； 侧立投影面：直立在右侧面的投影面，简称侧面，用字母 W表示。
上不画投影面的边框线和投影轴，如图2-8(d)所示。
第二章 投影的基本知识
2.2.2 三视图之间的对应关系
将投影面展开到一个平面上后，各视图必须有规则的配置， 并相互之间形成一定的对应关系，如图2-9 所示。
第二章 投影的基本知识 1．位置关系 以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视 图的正右方。 画三视图时必须按以上的投影关系配置。
图2-10 保持宽相等的三种画法
第二章 投影的基本知识
例2-1
以图2-11 所示物体为例，说明画三视图的方法和
步骤， 如图2-12所示。
图2-11 轴测图
第二章 投影的基本知识
图2-12 三视图的画图步骤 (a) 选主视图， 画基准线; (b) 先从主视图画起; (c) 根据尺寸关系， 逐一画全三个视图; (d) 加深、 擦去作图线， 完成三视图
《机械制图》第二章 点的投影
β γ
YH
投影特性: • 在平面垂直的投影面上，投影积聚为一直线。该
直线与相邻投影轴的夹角反映该平面对另两个投 影面的倾角。 • 在另外两个投影面上的投影均为类似形
回节目录
各种投影面垂直面
名称
铅垂面
直 观 图
正垂面
侧垂面
投
γ
α
影
图
β
γ
β α
投
1.水平投影积聚成与X轴倾斜的直 1.正面投影积聚成与X轴倾斜的直 1.侧面投影积聚成与Z轴倾斜的直
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。 该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
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二、特殊位置直线及特性
1.投影面平行线
由两点到一个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线平行于某一投影 面，对另外两个投影面都倾斜。
目前国际上使用着两种投影面体系，即第一分角和第三分角。我 国采用的是第一分角画法。
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1.三投影面体系 ⑴ 三个投影面
●正立投影面 —— 简称正面，用字母V表示。 物体在V面上的正投影图称为主视图。 ●水平投影面 —— 简称水平面，用字母H表示。 物体在H面上的正投影图称为俯视图。 ●侧立投影面 —— 简称侧面，用字母W表示。 物体在W面上的正投影图称为左视图。
第二章 点的投影
§2-1 投影法概述 §2-2 点的投影
回节目录
§2-1 投影法概述
一、投影法
投影面
P
a
A
S
投影 投射线
投射中心
第2章 投影的基本知识
实长或实形。 已知 DE∥P 面 必有 DE = de； 已知△ABC∥P 面 必有△ABC ≌ △abc
1.2 正投影的基本特征
5、积聚性
若线段或平面图形垂直于
投影面，其投影积聚为一
点或一直线段。
已知ＤＥ⊥Ｐ面
直线DE投影积聚为一点。
已知△ＡＢＣ⊥Ｐ面
则△ＡＢＣ积聚为直线 段。
正投影法
平行投影法投影特性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
轴测图
轴测图
轴测图
正投影的基本特征
正投影的基本特征
1、同素性不变
2、从属性与定比性不变
3、平行性不变
1.2 正投影的基本特征
4、全等性（实形性）
若线段或平面图形平行于投影面，则其投影反映
立体的三面投影图
三面投影图是采用正投影法将空间几何 元素或几何形体分别投影到相互垂直的三个 投影面上，并按一定的规律将投影面展开成 一个平面，把获得的投影排列在一起，使多
个投影互相补充，以便确切地、唯一地反映
表达对象的空间位置或形状。这种图又称正
投影图。
三面投影体系的建立
Z
正立投影面 （V面） V 侧立投影面 （W面）
1.1投影的概念和分类
投影的三要素
投射中心
投射线
物体
投影 投影面
投影的分类
中心投影
投影
平行投影
斜投影
正投影
中心投影
投射中心
投射线
物体
物体位置改 变，投影大 小也改变
投影
投影面
中心投影法投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间 的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差
土木工程制图与识图-第2章 点的投影-2
a YH
ao
点的三面投影
点的投影与坐标的关系
Z V a’ X aX a H az
X
x
Z y az O aY HY H a”
z
A
Z
a” O W
X ay
a’
z y
aX a
x
aY
W
YW
Y
A点到W面的距离(Aa”)=A点的x坐标（Oax) A点到V面的距离(Aa’)=A点的y坐标（Oay) A点到H面的距离(Aa)=A点的z坐标（Oaz)
两点的投影
两点的相对位置
两点的相对距离，是指平行 X、Y、Z轴的距离，即到W、V 和H面的坐标差,即： 坐标差： △X（长度差）
△Y（宽度差） △Z（高度差）
两点的投影
重影点及可见性
两点位于某一投影面的同一条 投射线上，则它们在这一个投影面 上的投影互相重叠，该两点称为对 该投影面的一对重影点。
A B a(b) H
规定 重合投影标记为：可见点字母写在前面，不可见点的字母
写于后面，并将不可见点字母加上圆括号。
本章总结
投影法概述
投影的形成原理，投影分类，平行投影的特性以及工程中常用的投影。
点的两面投影
研究点的单面投影和两面投影规律。
点的三面投影
三投影面体系的建立，点在三投影面体系中的投影，点的三面投影规律。
az
O
Z
a”
a”
aYW YW
X aX
a
aY
H
YH
点的三面投影
点的三面投影规律
az Z a” aYW YW
45°
点的三面投影规律
（1）点的每两个投影之间的连线垂直于相应的投影 轴，即正面投影和水平投影的连系线垂直于OX轴 （a'a⊥OX，a'a"⊥OZ) （2）各投影到投影轴的距离，等于该点到通过该轴 的相邻投影面的距离。如下所示： aax= aaYW =A 到H 面的距离 aax = aaz =A 到V 面的距离 aaz = aaYH =A 到W 面的距离
第2章投影的基本知识
第2章投影的基本知识2.1 投影法各种建筑物和机械都是根据工程图样施工、制造的。
工程图样必须准确地表达它们的形状、大小、材料和技术要求2.1.1 投影概念光线（阳光活灯光）照射物体，在墙面或地面上就会产生影子，影子只能反映物体的外形轮廓，而能表达出物体的形状和内部结构，这就是日常生活中经常看到的影子现象。
人们对这种自然现象进行科学地抽象总结，逐步形成了用投影来表示物体形状和大小地方法，即投影法。
投影法就是投射线通过物体，向选定的平面投影，并在该平面上得到图形的方法。
如图2-1所示。
图中光源S称为投影中心，从光源发出的光线称为投射线，落影的平面H称为投影面，平面H上产生的图形称为投影。
投影线、被投射物体和投影面是形成投影的三个必要条件，缺一不可，称为投影三要素。
制图标准规定空间几何元素用大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示。
投影和影子是有区别的，影子是漆黑一团的，只能反映物体的外形轮廓，而投影可以将组成物体的各个表面和各棱线进行完整清晰的表达。
如图2-2所示：2.1.2 投影法的分类根据投射线之间的相互位置关系不同，投影法可分为中心投影法和平行投影法两大类。
1.中心投影法所有的投射线均汇交于一点的投影法称为中心投影法。
如图2-1所示。
中心投影法主要用来画透视图。
如图2.4（a）所示。
2.平行投影法如果将投影中心移到无穷远处，从投影中心发射出的投影线可看作是相互平行的，投射线相互平行的投影法称为平行投影法。
如图2-3所示。
平行投影法主要用来画轴测图。
如图2-4（b）所示。
在平行投影法中，根据投影射线与投影面的相对位置不同，又分为正投影法和斜投影法两种。
（1）正投影法：相互平行的投射线与投影面垂直的投影法称为正投影法。
根据正投影法所画出的图形称为正投影图，简称正投影。
如图2-3（a）所示。
（2）斜投影法：相互平行的投影线与投影面倾斜的投影法称为斜投影法。
根据投影法所画出的图形称为斜投影图，简称斜投影。
第2章 投影基础
2．投影法分类
1.中心投影法
投射线汇交于一点的投影法称为中心投影法。 2.平行投影法 投射线相互平行的投影法，称为平行投影法。平行投 影法又分为斜投影法和正投影法。 ①斜投影法 投射线倾斜于投影面的平行投影法。 ②正投影法 投射方向垂直于投影面的平行投影法。
图2-2平行投影法
第2章 投影基础
2.1.2正投影的基本性质
图2-22属于平面的直线
第2章 投影基础
2．平面上的点
点在平面上的几何条件是： 若点在平面的一条直线上，则该点必在此平面上。
图2-23在平面上取点
第2章 投影基础 【例2-4】已知ΔABC平面上点E的正面投影e′，试求它的另一面投影。
作法1 如图2-24（b）所示： （1）过点Ｅ和定点Ｂ作直线，即过e′作直线的正面投影e′b′，交a′c′线于d′点； （2）求出D点的水平投影d，连接bd并延长； （3）然后过e′作ＯＸ轴的垂线与bd的延长线相交，交点即为Ｅ的水平投影e。 作法２：（图２-24（c））： （1）点E作直线EF平行AB，即过e′作e′f′∥a′b′，交b′c′于f′； （2）求出水平投影f，过f作直线平行于ab，与过e′作OX轴的垂线交于e，即为点E的水平 投影。
水平投影ab积聚成一点 ，a′b′＝ＡＢ＝a″b″，且a′b′⊥ＯＸ， a″b″⊥ＯＹＷ。
图2-16 铅垂线投影特性
第2章 投影基础
表2-2 名称
立
正垂线（⊥V，∥H，∥W）
投影面垂直线的投影特性
铅垂线（⊥H，∥V，∥W） 铡垂线（⊥W，∥H，∥V）
体
图
投 影 图
投 影 特 性
1.正面投影积聚为一点； 2. ab⊥ＯＸ，a″b″⊥ＯZ， ab，a″b″反映实长。
画法几何及机械制图 第二章 点、直线和平面的投影
a
定比作图方法
c
b
§2－2 直线的投影
例2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b Z
b
V
b
c a C B
X
A
O
a
X
a
a
O
a
c YW
a
c Hb
c b
YH
§2－2 直线的投影
例3. 在直线AB上取一点C, 使AC = L，求点C的两投影。
b c
a
L
b c
a
a
X
a
b
L
c
ZAB
O
b
c
ZAB
b0
L
c0
平面对 投影面的倾 角、、
二、各种位置平面的投影特性
§2－3 平面的投影
投影面垂直面： 垂直于一个、倾斜 于另两个投影面的 平面
V面—正垂面 H面—铅垂面 W面—侧垂面
特殊位 置平面
投影面平行面： 平行于一个、同时 垂直于另两个投影 面的平面
V面—正平面 H面—水平面 W面—侧平面
投影面倾斜面： 对三个投影面都倾 斜的平面
c b
X
b O c
YW
当两直线均为
b
一般位置直线时， c
若有两个同面投影 满足上述条件，则 空间两直线相交。
d
a
YH
§2－2 直线的投影
3. 交叉两直线
既不平行又不相交的两直线
b
1(2 )
d
c
a
Ⅱ
2 Ⅰd
c
b
a1
b d
1(2 )
c
X a
O
d
c
a
机械制图第二章 正投影法基础(立体的投影及相贯线截交线)
一、 棱柱
直棱柱---顶面和底面是两个全等且相互平行的多边形 （特征面），各侧面为矩形。 正棱柱----顶面和底面为正多边形的直棱柱。
1. 棱柱的投影
1. 棱柱的投影
分析:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱
柱的顶面、底面为水平面，在俯视图中反映实形。 作图:
(a) 直观图 图2-2 正六棱柱的投影
s'
m
Z
作图方法2
注意： 分清直线所在表面， 求出与所有棱线的交点。
s' c' S s"
m m
s"
m
a'
b'
M
A X B a
m
C O
a" (c")
a'
a
m
b'
c'
c
a" (c")
b"
b"
s
s b
c
b
(b) 投影图
(a) 直观图
3. 棱锥台
棱锥台---由平行于棱底的平面截去锥顶一部分形成 的立体,顶面与底面是相互平行的相似多边形,各侧面 为等腰梯形。 正棱锥台----由正棱锥截得的棱台。 四棱锥台的投影图
回 目 录
概述:
立体包含基本立体和组合体。柱、锥、球、圆环等 几何体是组成机件的基本体，基本体的组合称组合体，本 章着重研究基本体、切割体和相贯体的形体特征，立体的 投影与作图方法，在立体表面上作点、作线的方法与三视 图的画法。
§2-3
平面立体
§2-3 切割体的投影 §2-5 回转体 §2-5 相贯体的投影
截平面
截断面
截交线
第二章：点、直线、平面的投影
H——俯视图
W——左视图
（3）三面投影体系的展开
为了画图和看图的 方便，假想地将三 个投影面展开、摊 平在同一平面（纸 面）上，并且规定：
正面V不动；水平面 H绕OX轴向下旋转 90°；侧面W绕OZ轴
向右旋转90°，如 图所示。
俯视图在主视图的正下方，左视图在 主视图的正右方。
画图时，投影 面的边框线和 投影轴均不必 画出，同时按 上述方法展开， 即按投影关系 配置视图时， 也不需要标明 视图名称，最 后得到的三视 图如图所示。
2.3.2 直线对投影面的相对位置
1.投影面平行线
平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线
3. 类似性 当线段或平面倾斜于投影面时， 其投影变短或变小。
1. 实形性
A
C
D
B
E
a
c
b
d
H
e
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
2. 积聚性
A
C
D
B
E
c
a（b）
e
d
H
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
3. 类似性
C A
D B
E
a
b
c
d
e H
当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
1. 中心投影法 S
H
2.平行投影法----斜投影
机械制图讲义之第二章_立体的投影
第2章立体的投影2.1 立体及其表面上的点与线立体由其表面所围成，可分为两类：表面都是平面的平面立体和表面是曲面或曲面与平面的曲面立体。
一、平面立体平面立体由若干多边形所围成，因此，绘制平面立体的投影，可归结为绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影。
多边形的边是平面立体的轮廓线，分别是平面立体的每两个多边形表面的交线。
当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线相重合时，应画粗实线。
常见的平面立体有棱柱和棱锥。
1、棱柱2、棱锥平面立体的投影的外围轮廓总是可见的，应画粗实线；而在投影的外围轮廓内部的图线，则应根据线、面的投影分析，按前遮后、上遮下、左遮右直接判断投影的可见性，决定画粗实线或虚线，必要时还可利用交叉两直线的重影点的可见性进行判断。
二、曲面立体曲面立体由曲面或曲面与平面所围成。
有的曲面立体有轮廓线，即表面之间的交线，如圆柱；有的曲面立体有尖点，如圆锥；有的曲面立体全部由光滑的曲面所围成，如圆球。
在画曲面立体的投影时，除了画出轮廓线和尖点外，还要画出曲面投影的转向轮廓线。
曲面立体的转向轮廓线是切于曲面的诸投射线与投影面的交点的集合，也就是这些投射线所组成的平面或柱面与曲面的切线的投影，常常是曲面的可见投影和不可见投影的分界线。
曲面立体的投影就是它的所有曲面表面或曲面表面与平面表面的投影，也就是曲面立体的轮廓线、尖点的投影和曲面投影的转向轮廓线。
常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球，圆环。
1、圆柱圆柱由圆柱面、顶面和底面所围成。
圆柱面由直线绕与它平行的轴线旋转而成。
因此，画圆柱的投影就是画顶面和底面及轮廓线、圆柱面投影的转向轮廓线、轴线。
当圆柱的轴线与投影面垂直时，圆柱面在轴线垂直的投影面上的投影具有积聚性。
因此，作圆柱表面2、 圆锥圆锥由圆锥面和底面所围成。
圆锥面由直线绕与它相交的轴线旋转而成。
因此，画圆锥的投影就是画尖点（即锥顶）、底面及轮廓线、圆锥面投影的转向轮廓线、轴线。
画法几何 第2章 点的投影
az
ayW
H
ax
A
O
●
a″ ″
W
a
●
YH
ay
a● H
ay Y
5.点的投影规律 点的投影规律: 点的投影规律
′ ″ OZ轴 （1）a′a⊥OX轴 a′a″⊥OZ轴 ） ′ ⊥OX轴 ″ 面的距离） A ′ （2）a ax= a″az =y =Aa′ （A到V面的距离） ） a ay= a′az =x =Aa″ （A到W面的距离） ′ 面的距离） A ″ a′ax= a″ay =z =Aa （A到H面的距离） ′ ″ 面的距离） A
P
●
A
a′ ′
●
P B1 B2
●
B3
●
●
b′ ′
●
投 影 方 向
物体的单面投影图
结论：利用单面投影图无法确定物体的空间形状
2.2
点在两投影面体系中的投影
V
1.两投影面体系的建立 1.两投影面体系的建立 投影面 正面投影面 简称正面或V面 （简称正面或 面） X 水平投影面 简称水平面或H面 （简称水平面或 面） 投影轴 ox轴 轴 V面与 面的交线 面与H面的交线 面与 简称x轴 （简称 轴）
V
X
O
X
O
H
分角
点的正面投影 点的水平投影
Ⅰ
OX的上方 的上方 OX的下方 的下方
Ⅱ
OX的上方 的上方 OX的上方 的上方
Ⅲ
OX的下方 的下方 OX的上方 的上方
Ⅳ
OX的下方 的下方 OX的下方 的下方
注意：位于各分角内点的两面投影其连线总是垂直 注意：位于各分角内点的两面投影其连线总是垂直OX轴，且 轴 投影点到OX轴之间的距离分别反映空间点到对应投影面的距离。 轴之间的距离分别反映空间点到对应投影面的距离。 投影点到 轴之间的距离分别反映空间点到对应投影面的距离
第2章--投影法及点、直线、平面的投影PPT课件
Y
a
投影规律：
点的空间位置与投影的关系：
H
YH
aa′OX 长对正
点距H面的距离: a′ax和a〞ayw
aa〞OZ 高平齐
点距V面的距离：a ax和 a〞az
aax=a〞az 宽相等
点距W面的距离: a′az和 a ayH
举例：投影规律的应用
已知点A的正面投影a′和水平投影a，求其侧面投影a〞。
a'
相平行，但它们的第三组同面 三组同面投影相交，但它们的
投影是不平行的。
交点不符合点的投影规律。
例1：判断空间两直线AB、CD的相对位置。
1’
1 1′d′
1′c′
结论：
直线AB、CD是 两交叉直线。
例2 判断直线的空间相对位置
a’ c’
b’ c’
b’
d’
a’
d’
X
X
a d
d b a
c
b
c
( 交叉 ) ( 相交 )
一、三投影面体系的建立
B1
A
B2
V
b
a
H
单面投影：
点不定位，
体不定形。
三投影面体系
三个投影面：
V
水平投影面（H 面）
正立投影面（V 面）
侧立投影面（W 面）
X
三个投影轴：
两投影面相交，其交线称为投影轴。
H
V ∩ H = OX 轴
H ∩ W = OY 轴
V ∩ W = OZ 轴
Z W
O Y
二、立体三面投影的形成
a’
c’
c’
b’
d’
X
X
d
b a
工程制图B ! 第二章--投影原理
一、投影的基本知识（了解）二、工程上常用的图示法（了解）三、平行投影法的基本性质（熟悉）四、三视图的形成及其投影规律（掌握）2-1 投影的基本知识投影：用光线（灯光或阳光）照射物体时，在地面上或墙面上便产生了影子，这种现象就称为投影。
象，即把光线抽象为投射线，把物体抽象为几何形体，把地面抽象为投影面，逐步形成了投影方法。
右图中，S为投影中心，A为空间点，平面P为投影面，S与A点的连线为投射线，SA的延长线与平面P的交点a，称为A点在平面P 上的投影。
这种产生图像的方法就叫做投影法。
由空间的三维形体转变为平面二维图形就是通过投影法来实现的。
因此，投影法是整个工程图学的基础。
S 投影中心a 投影A 空间点投影面P投射线投影法投影法投影法的分类中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图在有限距离内，由投射中心S 发射出投射线，在投影面P 上得到物体形状的投影方法称为中心投影法。
光源SCB bcP投影特性：具有较强的直观性、较好的立体感。
中心投影法投射线aA中心投影法无法反映物体表面的真实形状和大小，投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。
度量性较差。
光源SA CBabc光源S A C Ba bc P物体位置改变，投影大小也改变P当投影中心S移至无限远处时，投影线都相互平行，用这种投影法得到的图形称为平行投影法。
根据投射线于投影面所成角度的不同，平行投影法又分为正投影法和斜投影法。
正投影法斜投影法正投影法：投射线与投射面垂直，故又成为直角投影法。
斜投影法：投射线与投射面倾斜。
ABC ABC abcabcPP投射线投射线投影特性正投影法：得到的投影能够完整、真实地表达物体的形状和大小，度量方便，作图简便。
因此，在工程中得到广泛应用。
斜投影法：物体与投影面距离的远近不会影响其投影的大小，但当投影线与投影面夹角变化时，其投影大小也将发生变化。
2-2 工程上常用的图示法为满足工程设计对图样的各种不同要求，需要采用不同的图示法。
第2章 立体表面点的投影
直线平行于投影面 投影反映线段实长
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 投影不反映线段实长
ab=AB
ab=AB*cos
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
其投影特性取决于直线与三个投 影面间的相对位置。
正平线（平行于Ｖ面） 平行于某一投影面而 侧平线（平行于Ｗ面） 与其余两投影面倾斜 投影面平行线 水平线（平行于Ｈ面) 统称特殊位置直线 垂直于某一投影面 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
a
X Z
a b
YW
b a(b)
●
YH
投影特性:
AB⊥ H
1. 在其垂直的H投影面 上， 投影有积聚性。 2. 另外两个投影，反映线 段实长，且垂直 于相应 的投影轴。
——正垂线
a(c)
●
Z
c
a
YW
X
O
c a
YH
投影特性:
AB⊥V
1. 在其垂直的V投影面 上， 投影有积聚性。 2. 另外两个投影，反映线 段实长，且垂直 于相应 的投影轴。
(1)
a
X
b
Z
d a O c
b d
YW
c c b a d
X
a
AB与CD平行。 对于一般位置直 线，只要有两组同面 投影互相平行，空间 两直线就平行。
(2) c
d Z YH c a
O
AB与CD不平行。
YW
b b
b
d
c d a
对于特殊位置直 线，只有两组同面投 影互相平行，空间直 线不一定平行。
d' d
o b
41
(1)
a' b'
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Projection of a point点的投影Relative position of two points on a solid立体上二点的相对位置Identification and labeling of coincident point重影点的判别与标注Exercises 练习题Projection of Points on a Solid立体上点的投影请点击相应标题显示其内容2WYVHxZOA Projection of a point 点的投影1. Projection of the point A 空间点A的投影请点击鼠标左键显示后面内容a —— The horizontal projection of the point A点A 在水平面 H 上的投影；a ' —— The frontal projection of the point A点A 在正平面 V 上的投影；a "—— The profile projection of the point A点A 在侧平面 W 上的投影。
a 'a " a3Z = a 'a x = a"a Yw → The distance of A to H . (A 点到水平面H 的距离)a'a"⊥OZ The height alignment , Z equal.即高平齐, Z 相等 HX O Y wY HZV WXYY Z 2. The principle of points 点的投影规律3. Relation of points projection & coordinate 点的坐标与投影的关系请点击鼠标左键显示后面内容Projection of a point 点的投影 aa' ⊥ OX The length alignment , X equal.即长对正, X 相等 aa"⊥OY The width equality , Y equal. 即宽相等, Y 相等X = a 'a z = a a Y H→ The distance of A to W . (A 点到侧平面W 的距离) Y = a a x= a"a z → The distance of A to V . (A 点到正平面V 的距离) a'aa"a x a Za Y Ha YW415105a'aa"45xzY HY wOSteps 作图步骤：（1）Drawing coordinate origin and axis. 画出坐标原点及各轴; （2）According to coordinate of point A , construct projection a',a ; 根据点A 的坐标求其V 、H 面的投影 a',a ;（3）According to rules projections of point, draw projection a". 根据点的投影规律求出第三投影 a"。
Example1. The point A (5, 10, 15) . construct three projections of A . 已知点A 的坐标为(5，10，15),求点A 的三面投影。
A请 点 击 鼠 标 左 键 显 示 后 面 内 容由于投影面的大小与视图 无关。
因此,在画三视图时, 不必画出投影面的边框。
5YZW V HVH∆Z∆Z∆Y∆Y ∆X∆XRelative position of two points 二点的相对位置Relative positions of point A & B ( A 与B 两点的相对位置)请点击鼠标左键显示后面内容Up and down → ∆Z上、下 在V 、W 面上看坐标差 ∆ZFront and back → ∆Y前、后 在H 、W 面上看坐标差 ∆YLeft and right → ∆X左、右 在V 、H 面上看坐标差 ∆Xba ' a "aBb "b 'AX6x 0 Y WY Hza'a"a下10左10后5bSteps 作图步骤：（2）Construct projection b ". 根据点的投影规律求b "。
Example2. Point B below A 10, after A 5,left A 10mm.construct projections of B . 已知B 点在A 点下面10、后面5、左面10mm 处,求B 点的三投影。
请点击鼠标左键显示后面内容AB（1）Construct projection b ',b .根据B 点的相对位置求投影b ',b 。
b'b"7Identification判别When projected to the H -Plane, up covering down.投影在H 面上重合时，上遮下(Z 坐标大的可见)。
Identification and labeling of coincident point 重影点的判别与标注请点击鼠标左键显示后面内容Labeling标注Defining 定义When two points on the solid are on the same vertical line of a projection plane, the two projectedpoints will be the same point and the two points arecalled the coincident point of the projection.当两点在某一投影面上的投影重合时称为该面的重影点。
When projected to the V -Plane, front covering back. 投影在V面上重合时，前遮后(Y 坐标大的可见)。
When projected to the W -Plane, left covering right.投影在W面上重合时，左遮右(X 坐标大的可见)。
All invisible projections of points are written in brackets. 将点在某投影面上的不可见投影加括号标注以示区别。
8b'AB 5101015 105dSteps 作图步骤：2. Construct projections D, d , d ',d "; 求D 点的三面投影d 、d '、d " 。
1. Construct projections C , c , c',c"; 求C 点的三面投影 c 、c ' 、c "。
请点击鼠标左键显示后面内容CD(c )Example3. Point C from W 5mm, from V 10mm, from H 10mm. point D from W 15mm, from V 10mm, from H 5mm.construct three projections of point C.D and distinguish its visibility. 已知C 点距W 面5mm 、距V 面10mm 、距H 面10mm, D 点距W 面15mm 、距V 面10mm 、距H 面5mm ，求C 、D 二点的三面投影,并判别其可见性。
a'a"x 0 YwY Hzb" a bc'c"d"( )d'91.Draw the third-view from its two other views shown .已知各点的两个投影，求其第三投影。
请点击题目显示其内容Exercises 练习题2. Construct the three projections of points A, B, C, D . from its coordinate and distance.根据所给定点的坐标或点到投影面的距离,画出点A 、B 、 C 、D的三面投影。
3.The point A (30,15,0). according to request draw the three projections of points A, B, C .已知A 点的坐标为(30、15、0)，按要求画出点 A 、B 、C的三面投影。
4. Draw three projections of points A, B, C, D , from its coordinate.已知各点的坐标,画出点A 、B 、C 、D的三面投影。
本小节结束谢谢您的认真学习！退出前一页11b "(c ")a"a b ca" b "c "a'b 'c '1. Draw the third view from its two other views shown. 已知各点的两个投影，求其第三投影。
(1)(2)b ac a'b 'c '( )ZXY WY HZXY WY H2. Construct the three projections of points A,B,C,D. from its coordinate and distance.根据所给定的点的坐标或点到投影面的距离，画出点A、B、C、D的三面投影。
Point 点distance H距H面distance V距V面distance W距W面X Y ZA 15 10 20B 10 0 10C 15 15 0D 0 20 203. The point A (30,15,0). according to request draw the three projections of points A,B,C .已知A点的坐标为(30,15,0)，按下述要求画出点A、B、C 的三面投影。
(1) B点在A点之右20mm，之前15mm，之上20mm。
C点在A点之左5mm，之后10mm，之上25mm。
(2) B点在A点之左5mm，之后5mm，之上15mm。
C点在A点之右15mm，之前10mm，之上30mm。
4.Draw three projections of points A,B,C,D from its coordinate.已知各点的坐标，求点A、B、C、D 的三面投影。