函数y=Asin(wx+φ)的图像 第1时
【课件】第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
巩固与练习 例 1 为了得到函数 y＝sinx－π5的图象，只需要将正弦曲线上的所
有点( )
（A）向左平行移动π5个单位长度 （B）向右平行移动π5个单位长度 （C）向左平行移动15个单位长度 （D）向右平行移动15个单位长度 分析 由 sinx1＝sinx2－π5＝0 x1＝x2－π5 x2＝x1＋π5＝π5 故选答案 B
数 新教材人教版·高中必修第一册 学
第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
要求
掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换 关系，并能正确地指出其变换步骤．
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观 想象、逻辑推理和数学抽象素养．
复习引入
5.6 函数y=Asin(ωx +φ)
我们知道，单位圆上的点，以（1，0） 为起点，以单位速度按逆时针方向运 动，其运动规律可用三角函数加以刻 画，对于一个一般的匀速圆周运动可 以用怎样的数学模型刻画呢？下面先 看一个实际问题.
情景引入
问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉 工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作 原理（图5.6-2. ）
一般地，当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是 y=sin(x＋φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当 ω>0 时）或向右 （当 φ<0 时）平移|φ|个单位长度，就得到函数 y=sin(x＋φ)的图象.
必修三函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第一课时)
1.3.3函数()ϕω+=x sin A y 的图象（第一课时）教学目的：本节课是苏教版必修4第1章第3节第3课时；它是函数图象伸缩平移变换的典型例子，是初等数学一般函数图象变换的基础，是高考的热点、难点；它是在完成了本节的“正弦函数、余弦函数的图象和性质，五点作图法，图象的三种基本变换”等内容的教学之后进行的，主要揭示了由正弦曲线得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的一种思维过程。
为了更好的解决这一问题，掌握每一种变换方式，我要求学生手绘四条函数图象，看似耗费时间，实则加深印象，从静态的图象中去体会伸长和缩短、平移等形变过程。
当然我也设计制作了教学课件，直观形象地展示形变过程作为总结。
化抽象为具体，由静到动，使学生真实体验“变”的过程。
同时结合我校数学活动室的多媒体网络教学环境，为学生构建自主探究与合作交流的平台。
最终利用由特殊到一般的化归思想，借助具体函数的结论归纳出一般函数的结论。
教学目的：1．分别通过对三角函数图象的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律．２．通过对函数()ϕω+=x sin A y(A>0，ω>0)的图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数的图象各种变换的内在联系３．培养学生观察问题和探索问题的能力. 教学重点：函数()ϕω+=x si n A y的图象的画法，该图象与函数y=sinx图象的关系，以及对各种变换内在联系的揭示．教学难点：各种变换内在联系的揭示，函数图象变换的本质，函数图象变换的一般方法． 教学过程： 一、情境创设：1．物理实例：简谐振动中，位移与时间的关系y = Asin(ωt+ϕ)( A>0，ω>0) 2．介绍其中几个量的物理意义A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；ωπ=2T 是往复振动一次所需的时间，称为振动的周期；πω==2T1f 是单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；ωt+ϕ称为相位，t=0时的相位ϕ称为初相.3.五点作图法 二、学生活动：用五点法作出下列每组函数的图象，并观察它们之间的关系： 三．建构数学： 一、平移变换：由y=cosx=sin(x+2π)知可以看作将y=sinx 的图象上各点向左平移2π个单位得到例1．画出函数y=sin(x+3π) (x ∈R)；y=sin(x -4π) (x ∈R)的简图x+3π2ππ23π 2πy1︒用平移法 注意讲清方向：“左加右减” 2︒也可用列表法, 然后用五点法作图 以y=sin(x+3π)为例规律:一般地，函数y ＝sin （x +φ）的图象，可以看做是将函数y ＝sin x 图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移∣φ∣个单位而得到的．注意．．:．先调整．．．x ．的系数为．．．．1． 思考:将函数y=sin(2x+3π)的图象向 平移个单位,可以得到函数y=sinx 的图象? 二. 周期变换：例2．画出函数y=sin2x ，x ∈R ；y=sin 21x ，x ∈R 的图象（简图）．解：∵函数y=sin2x 周期T=π ∴在[0, π]上作图令X=2x 则x=2X 从而sinX=sin2x列表：x-3π6π32π67π35πSin(x+3π) 01 0 -10 X=2x0 2ππ23π 2π x4π2π43ππO3π y=sin(x-π/4)y=sin(x+3π)函数y=sin 2x周期T=4π ∴在[0, 4π]上作图列表引导, 观察启发 与y=sinx 的图象作比较规律:般地，函数y ＝sin ωx （ω>0且ω≠1）的图象，可以看做是将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的．注意．．:． A ．和．φ．的值不影响周期．．．．．．．,．周期变换不改变．．．．．．．A ．和．φ．的值．．.． 思考:将函数y=sin(2x+3π)的图象上的每一个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可以得到函数 的图象. 三. 振幅变换：例3 画出函数y=2sinx x ∈R ；y=21sinx x ∈R 的图象（简图）．sin2x 0 1 0 -1 0X=2x2ππ23π2π x0 π 2π 3π 4π sin 2x1-1xy O π 21 -34y=sinxy=sin 21xy=sin2xπ 2π4π解：由于周期T=2π ∴不妨在[0,2π]上作图， 列表：作图：引导,观察,启发：与y=sinx 的图象作比较，规律:一般地，函数y ＝Asin x （A>0且A ≠1）的图象，可以看做是将函数y ＝sin x 图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．易知，函数函数y ＝Asin x 的值域为［－Ａ，Ａ］．注意: ω和φ的值不影响振幅,振幅变换不改变ω和φ的值. 四、y=Asin(ωx+φ)的图象的作法 例4（课本37页）若函数y=3sin(2x -3π) ,x ∈R 表示一个振动量:(1) 求这个振动的振幅,周期,初相;(2) 不用计算机和图形计算器,画出该函数的图象．x2ππ 23π2π sinx 0 1 0 -1 02sinx 020 -2 0 21sinx 021-21xy Oπ 212 --1 2-2 -1 2ππ y=2sinx y=sinxy=21sinx解：（五点法） 周期T=π,令X=2x -3π则x=6223ππ+=+x X列表作图3π2 6π71． “五点法”作图2． 利用正弦曲线作y=3sin(2x-3π)的图象3．小结图形变换过程（步骤）略两种方法殊途同归总结参数A ，ω，φ函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的影响．x 6π12π53π212π116π72x -3π2ππ 23π 2π 3sin(2x -3π) 03 0-3作y=sinx （长度为2π的某闭区间） 得y=sin(x+φ) 得y=sin ωx 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ) 得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短 沿x 轴平 移|ωϕ个单位纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短xy O π 34-1 y=sin(x -3π)y=sin(2x -3π)y=3sin(2x -3π)6π（1）振幅变化，由A 的变化引起 （2）周期变化，由ω的变化引起 （3）相位变化，由ωϕ的变化引起（4）上下平行移动，由k 的变化引起 四.学生练习：课本第41页练习 1，2，3，4，5，6 备用:把函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32x cos yπ的图象向右平移3π个单位,所得到的图象的函数解析式为 ,再将图像上的所有点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象解析式为 . 五.课时小结本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数y = Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0)的图象的画法．并通过改变各种变换的顺序而发现：平移变换应在周期变换之前，否则得到的函数图象不是函数y =Asin(wx+ϕ)的图象由y = sinx 图象的得到． 六.作业:课本45页7,8 同步导学练 第13课时。
《函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(1)》
类似地，对于同一个x值，y= sin1x的函数值是 2
y=sinx的函数值的 ，1 反映在图像上，是y=sinx图像上每
2
个点的横坐标不变，而纵坐标缩短为原来的 ，就得1到
2
y= sinx的1图像.
2
第六页，编辑于星期五：七点 三十八分。
（3）确定周期
函数y sin 2x的值域是1,1，最大值是1，最小值是 1.
Байду номын сангаас
第二十六页，编辑于星期五：七点 三十八分。
类似地，在区间0, 4上，函数y sin 1 x在
2
0, 和3, 4上是增加的，在,3上是减少的；
函数y sin 1 x与x轴交点的横坐标是0, 2, 4; 2
函数y sin 1 x的值域是1,1，最大值是1，最小值是 1.
在函数y=sin(x+φ)中，φ决定了x=0时的函数值 ，通常称φ为初相，x+φ为相位.
第十八页，编辑于星期五：七点 三十八分。
变式练习：
描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到
( 1 )y s in (x ). (2 )y s in (x ).
6
3
解 ： (1)函 数 y=sin（ x+π )的 图 像 可 以 看 作 是 将 y=sinx的 图 像 上 所
4
2
C.y sin(x ) Ｄ.y sin(x )
4
44
第三十页，编辑于星期五：七点 三十八分。
2.函数y 3sin(2x )的图像可由y sin x的图像经过下述哪种变换 3
而得到( Ｂ)
A.向右平移３ 个单位，横坐标缩小到原来的２１,纵坐标扩大到原来的３倍 Ｂ.向左平移３ 个单位，横坐标缩小到原来的２１,纵坐标扩大到原来的３倍 Ｃ.向右平移６ 个单位，横坐标扩大到原来的２倍，纵坐标缩小到原来的３１ Ｄ.向左平移６ 个单位，横坐标缩小到原来的２１,纵坐标缩小到原来的３１
函数y=Asin(wx φ)的图象(第一课时)课件——数学人教A版(2019)必修第一册
变换方法2.先伸缩后平移
函数 y=Sinx
横坐标变为
原来
的1
y=Sin
倍，（纵坐标不变）
x
的图象
向左( >0)或向右( <0)
平移| |/ 个单位
y=Sin (x+ /) =sin(x+ ) 的图象
纵坐标变为 原来的A倍（横坐标不变）
y=ASin(x+ )的图象
例4.画出
如何将函数y=sinx的图象变换得到函数y=Asin(ωx+φ)图象？
变换方法1.先平移后伸缩
函数 y=Sinx
向左( >0)或向右( <0) 平移| |个单位
y=Sin(x+ ) 的图象
横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1) y=Sin( x+ ) 的图象
1
到原来 倍，（纵坐标不变）
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) y=ASin(x+ )的图象
(各点)沿x轴方向 向右 平移π/4 个单位
φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
一般地,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上 所有的点左右平移|φ|个单位长度而得到
向左(当φ>0时) 向右(当φ<0时)
注意：这里平移的对象都是相对于x平移
探究2 ω(ω＞0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
2 O 3
-1
A
7 3 7
9 X
624
4
64
2 3
234
y sin( x ) 3
5
4
(201907)函数y=Asin(wx+φ)的图象(1)
学习版三角函数f(x)=Asin(wx φ)图像性质精品.pptx
例2:图是某简谐运动的图象。
(1)这个简谐运动y/cm 的振幅、周期与 2-
频率各是多少？ O
A
E
0.4 0.8
B
D
C
1.2 F x/s
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示
完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)求这个简谐运动的函数表达式.
例3：已知函数y Asin( x )( 0, 0)的图像
y=sinx
纵坐标不变
y=sinx
向左>0 (向右<0)
y
平移||/个单位
sin
(x
)
sin(
x
)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
例2：为了得到y sin x的图像，可由
函数y 3sin(2x )如何变换得到？
5
变式：函数y sin x可由y cos x如何变换得到
2
4
然后将图像上各点的纵坐标伸长到原来的6倍(横坐标不变)
得到函数y f ( x)的图像，求函数f ( x)的值域和单调区间
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:(按 ,ω, A顺序变换)
向左>0 (向右<0)
y=sinx
y=sin(x+)
平移||个单位
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
1.5 函数y=asin(wx+φ)的图象(1)
1
y o
2
步骤1
-1
3 2
2
x
(沿x轴平行移动)
y
步骤2
1
o
-1
3 2
2
2
x (横坐标伸长或缩短)
1
y o
2
步骤3
-1
3 2
2
x
(纵坐标伸长或缩短)
1
y o
2
步骤4
-1
3 2
2
x
用两种方法画出函数y 2 sin(2 x )在长度 4 为一个周期的闭区间上 的简图.
结论 : 函数y A sin( x )的图象, 可以看作是把 y sin( x )上所有点的纵坐标伸长 (当A 1时) 或缩短 (当0 A 1时)到原来的 A倍(横坐标不变 ) 而得到.从而,函数y A sin( x )的值域是 A, A, 最大值是 A, 最小值是 A.
y
3
2
1
y=sin(x- )① 6
y=sinx
1 y 2 sin( x ) ③ 3 6
1 y sin( x ) ② 3 6
2
7 2
o
-１
6
2
13 2
x
-2
-3
1 (画法二)利用"五点法"画函数 y 2 sin( x )在 3 6 2 一个周期 (T 1 6 )内的图象. 3
5
个单位长度. 个单位长度.
5 2 (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2 ( D )向左平行移动 个单位长度. 5
高中数学_函数Y=Asin(ωx+φ)的图像(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象（一）一、教材分析本节是人教A 版数学第一册第5章第6节的内容，前一节“正弦函数的性质和图象”主要讲述了正弦函数图象的画法（五点法）、性质及应用。
本节课的主要内容是结合实例，了解)sin(φω+=x A y 的实际意义，会用五点法画出函数的图象，揭示参数φω，，A 变化时对函数)sin(φω+=x A y 图象的形状，位置的影响，讨论函数)sin(φω+=x A y 的图象与正弦函数的关系；通过引导学生对函数图象规律性的探索，让学生体会到从简单到复杂，从特殊到一般的化归思想；通过对参数的分类讨论，让学生深刻认识到图象变换与函数解析式变换的内在联系。
二、教学目标：1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的探究和动态演示让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
2. 通过对函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。
三、教学重、难点：教学重点：函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像的画法和图像与函数y=sinx 图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示。
教学难点：各种变换内在联系的揭示。
四、教法学法采取各个击破，归纳整合为主线，自主探索、合作学习为主导，教师总结点评为辅助，充分发挥学生的动手能力的教学方法；多媒体辅助教学。
五、教学过程：（一）、新课引入：那么怎么画函数12sin()34y x π=-的图象？ （二）、尝试探究探究（一）：对 sin()y x ϕϕ=+对的图象的影响问题1：sin()3y x π=+函数周期是多少？你有什么办法画出该函数在一个周期内的图象？学生：用“五点法”作出函数 问题2：比较函数 sin()3y x π=+与sin y x = 的图象的形状和位置，你有什么发现？学生：函数sin()3y x π=+的图象，可以看作是把曲线sin y x =上所有的点向左平移3π个单位长度而得到的. 那么函数sin()3y x π=-的图象？学生：函数sin()3y x π=-的图象，可以看作是把曲线sin y x =上所有的点向右平移3π个单位长度而得到的.问题3：一般地，对任意的 (0)ϕϕ≠，函数 sin()y x ϕ=+ 的图象是由函数 sin y x = 的图象经过怎样的变换而得到的？ 归纳：函数sin()y x ϕ=+的图象，可以看作是把曲线sin y x =上所有的点向左(0ϕ>时）或向右0ϕ<（时）平移ϕ个单位长度而得到的.上述变换称为平移变换探究（二）：(0)sin y x ωωω>=对的图象的影响问题1：函数sin 2y x =周期是多少？如何用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象？问题2：比较函数 sin 2y x =与sin y x = 的图象的形状和位置，你有什么发现？学生：函数 sin 2y x =的图象，可以看作是把sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）而得到的. 那么函数1sin()2y x =的图象？学生：函数 1sin()2y x =的图象，可以看作是把sin y x =的图象上所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）而得到的.问题３：一般地，对任意的 (0)ωω>，函数 sin y x ω=的图象是由函数sin y x =的图象经过怎样的变换而得到的？归纳：函数sin (0)y x ωω=>的图像可由函数y =sinx 的图像沿x 轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）．．．．．．．而得到的，称为周期变换。
函数y=Asin(wx φ)的图象变换课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
No.1 Senior Middle School of Siping
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
任务2: ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
阅读教材,观察下面的图象.
No.1 Senior Middle School of Siping
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
问题 1:函数 y=sin
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
No.1 Senior Middle School of Siping
任务1:φ(φ≠0)对函数y=sin(x+φ) ,x∈R的图象的影响
通过对筒车运动的研究,我们得到了形如 y=Asin(ωx+φ)的函数,只要清楚函数
y=Asin(ωx+φ)的性质,就可以把握筒车的运动规律.这个函数由参数 A,ω,φ 所确
将函数 y=sin(x+φ)(φ≠0)图象上的所有点向左(当φ>0 时)或向右(当φ<0 时)
平移|φ|个单位长度,就得到函数 y=sin(x+φ)的图象.
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
No.1 Senior Middle School of Siping
(1)将函数 y=sin x 的图象向左平移
B.横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变
4
1
4
π
(2)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,再把所得图象上各点的
3
横坐标扩大到原来的 3 倍,得到的函数图象的解析式为( B ).
A.y=sin
函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质
探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点2 求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式
例 2.(2011·江苏) 已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ 为常数，A>0， ω>0) 的部分 图象如图 所示，则 f(0)的值是 ______．
高考链接
[2021.四川卷]函数f(x ) 2 sin ( x )( 0 , ) 的 22
局部图象如下图，那么 , 的值分别是〔 A 〕
〔A〕2
,
3
〔C〕4
,
6
〔B〕
2,
6
〔D〕
4, 3
高考链接
(2012·天津卷)将函数 f(x)＝sinωx(其中 ω>0)的图象向右
平移π4个单位长度，所得图象经过点34π，0，则 ω 的最小值是
4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图像与性质
考情分析
• “根据图像和性质求三角型函数解析式〞是 高考常考内容.
• 一般以小题和大题的第一问为主,考察时有 时只求局部参数,且往往会再结合其他性质 提出问题
• 难度一般不大.
知识梳理
知识梳理
关键: 找出与x相对应的五个点
知识梳理
知识梳理
难点正本 疑点清源
规范解答
答题模板
解 (1)由图象知 A＝ 3， 以 Mπ3，0为第一个零点，N56π，0为第二个零点．
[2 分]
列方程组ωω··π536π＋＋φφ＝＝0，π，
ω＝2， 解之得φ＝－23π.
∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.
【课件】函数y=Asin(wx φ)的图象 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
到函数 = ( + )的图像；然后把图像上个点的横坐标变为原来的倍
（纵坐标不变），得到函数 = ( + )的图像；最后把曲线上各点的
纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数
探索“”
= ( + )的图像。
操作步骤
探索“”
试一试
一般地
从解析式上看，函数 = 就是函数 = ( + )在 = ， = ， =
时的特殊情形。
那么我们是否可以通过研究三个参数， ， 对函数 = ( + )的影响来确
定这两个函数图像之间的关系？
导入：筒车模型
试一试
y=sin(x+)
的图象
y=sinx
1.（2021全国乙理）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 = ( − ) 图象，则
f(x)=(
C
)
7
B、 = sin(2 − 12 )
D、 = sin(2 + 12)
A、 = sin(2 − 12 )
7
探索“”
C、 = sin(2 + 12)
试一试
一般地
2.要得到函数 = 3sin(2 + 4 )的图像，只需将函数 = 3sin(2)的图像（ C ）
A、向左平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
探索“”
C、向左平移个单位长度
D、向右平移个单位长度
小结：本节课通过研究三个参数，，对函数
2
y=sinx 与y=sin(x+)
高中数学第1章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件北师大版
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)A 的大小决定了函数的振幅．( ) (2)ω 的大小与函数的周期有关．( ) (3)φ 的大小决定了函数与 y＝sin x 的相对位置．( ) (4)b 的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．( ) 【解析】 由 A，ω，φ，b 的几何意义知全对． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑的曲线把它们连接起来．
三角函数的图像变换
写出由 y＝sin x 的图像变化到 y＝3sin12x－π4的图像的不同方法步骤. 【导学号：66470026】
【精彩点拨】 变换过程可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩．
由 y＝sin x 的图像，通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，可以先相位变换， 后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换．两种变换的顺序不同，变换的量 也有所不同，前者平移|φ|个单位，而后者则平移|ωφ|个单位．不论哪一种变换，都是 对字母 x 而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
0
π 2
π
3π 2
2π
y 0 2 0 －2 0
描点作图，如图．
1．利用“五点法”作图像时，确定 x 的值是本题的关键．
2．用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一般步骤：
第一步：列表． ωx＋φ 0
π 2
π
3π 2
2π
x －ωφ 2πω－ωφ ωπ－ωφ 23ωπ －ωφ 2ωπ－ωφ
函数y=Asin(wx+φ)的图象
例题2 动画
1、将函数y sin x的图象何种变换， 可得到函数y 3sin 2x的图象.
例题3 动画
1、将函数y sin x的图象何种变换，
可得到函数y sin(2x )的图象.
3
例题4 动画
1、将函数y sin x的图象何种变换，
可得到函数y 3sin(2x )的图象.
函数 y Asin( x的图)象
一、平移变换 y f (x)
a0
1、y f (x a)
1）当a 0时，将y f (x)图象向左平移a个单位；
2）当a 0时，将y f (x)图象向右平移a 个单位；
2、y f (x） a 1）当a 0时，将y f (x)图象向上平移a个单位；
3
步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 步骤5
由y sin x 到y Asin( x )的图象变换步骤
画出y sin x在0，2 上的简图
沿x轴 平行移动
得到y sin( x )在某周期内的简图
横坐标 伸长或缩短
得到y sin( x )在某周期内的简图
纵坐标 伸长或缩短
得到y Asin( x )在某周期内的简图
并将在x轴下方的图象对称地翻折到x轴上方， 这两部分图象共同构成了y f (x)的图象；
三、伸缩变换 y f (x) a 0且a 1
1、y f (ax)
1）当a 1时，将y f (x)图象上每一个点的 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1 ，
a 2）当0 a 1时，将y f (x)图象上每一个点的 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1 倍，
cos
x的图象.
2、将函数y 2 sin x图象上每一个点的横 坐标不变，
纵 坐标
函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质(图文运用)
函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象【学习目标】1、理解sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>函数中,,A ωϕ的涵义;2、能根据sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分图象求出其中的参数，并能简单应用;3、渗透数形结合思想，一题多解、一题多变思想. 【学习重点】三角函数的图形变换及相关题型的求解. 【学习难点】已知图形求参数，其中参数φ的求解. 一、自主学习1、若函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>表示一个振动量，则这个振动的振幅为 ， 周期为 ，初相为 ，频率为 ，相位为 ．2、“五点法”作图“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+由z 取 ， ， ， ， 来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.2、平移变换：由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin()y x b ϕ=++的图象？ ． 3、伸缩变换：（纵向伸缩）由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin (0)y A x A =>的图象？ ． 4、伸缩变换：（横向伸缩）由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin (0)y x ωω=> 的图象？ ． 5、函数sin y x =象到函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象变换.得到sin()y x ωϕ=+的图象得到sin()y x ϕ=+的图象画出sin y x =的图象得到sin()y A x ωϕ=+的图得到sin()y x ωϕ=+的图象得到sin y x ω=的图象画出sin y x =的图象得到sin()y A x ωϕ=+的图6、如何根据条件求函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的解析式？二、课前热身 1、函数2sin(3)7y x π=+的振幅是 ，相位是 ，初相是 ，周期是 ．2、为了得到函数R x x y ∈+=),3cos(的图象，只需把余弦曲线上所有的点向 （左或右）平行移动 个单位长度. 3、要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只要sin 2y x =的图象向 （左或右）平行移动个单位长度.4、把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位后，所得图象对应函数解析式为 .5、要得到函数sin()26x y π=-+的图象，可由sin()2xy =-的图象向 （左或右）平行移动 个单位长度.6、把函数sin y x =的图象上所有的点的纵坐标变为原来的13倍（横坐标不变）所得图象的解析式为 .7、将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，再把所得图象上各点横坐标变为原来的5倍，则最后所得图象的解析式为 .三、典型例题分析例1、作出函数3sin(2),3y x x R π=+∈的简图，说明它与sin y x =图象之间的关系.变式练习：已知函数13sin()24y x π=-（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明它由sin y x =图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心坐标。
函数y=Asin(wxφ)的图象与性质PPT课件
标扩大(A>1)或缩小(0<A<1)到原来的 A
倍而得到.
15
讨论：怎样由y 途径一:
ysinx
sin x的图象得到y
所有点的横坐标 伸长为原来的2倍
所有的点向左in(x
2
y sin
π)的图
x6
象
？
y
sin(2x
2
π) 6
所有点的纵坐标 伸长为原来的2倍
y
2sin(x
2
π 6)
途径二:
ysinx
所有的点向左 平移多少个单位？
y
sin(x
π) 6
伸所长有为点原的来横的坐多标少倍？y
sin(x
2
π) 6
所有点的纵坐标 y
伸长为原来的多少倍？
2sin(x
2
π 6)
小组合作探究
• 例2 达标2 达标4 自主3
17 Zfyjbzx2008-8、12
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R 的图象可以看作是用下面的方法得到的:
及
y
sin(1 2
x
π4)的图象.
x
-π
π
2
2
3π 2
5π 2
1 2
x
+
π 4
0
2
3 2
sin(1 2
x
+
π) 4
0
1
0
-1
1y
π 4
y sin(12 x+π4)
2
O π
1 y4sinx()
4
人教A版高中数学必修四1.5函数y=Asin(wx+φ)的图像_第1时教学课件 (共18张PPT)
f(x)=sin
ω
x的最小正周期T
2 w
用函数图像研究
（1）函数 y A sin x 与 y sin x 的图像的联系
例1．观察函数 y 2 sin x 及 y 1 sinx 在0，2 大致图像
2
解： y
0
y 23sin x 2
2
2
sin x 0
1
0 y sin1x
0 3
2
2
x
2 sin x 0
4
)
解析：先向右平移 个单位，再将图
4
1 像上各点的横坐标缩小为原来的 2 ，
最后将图像上各点的纵坐标扩大为原来 的3倍。
练一练：
(2)先将 y sin x 图像向左平移 ，再将
8
图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍， 最后将图像上各点的纵坐标扩大为原来 的3倍，所得到的函数解析式
y 3sin(1 x )
________2____8
三、课堂小结
y sin x y sin(x j)
y sin(wx j) y Asin(wx j)
课后作业
1、完成练习册对应题目； 2、完成课本57页习题1.5A组第一题。
w
练习一
1.口答:如何由函数y=sinx的图象得到下列函数 的图象?
1 y sin 2x
2 y sin 1 x
3
探索j 对 y=sin(x+j ), x∈R的图象的影响.
y=sin(x+/3)的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左平行移动/3个单位而 得到的.
结论：一般地,函数y=sin(x+j)，(j≠0)的图
数 y 3sin(2x ）的图像。（先平移后伸缩）
函数y=Asin(wx+φ)的图象(1)
例题1
已知函数y f (x)的定义域为1，2，
求函数y f ( x )的定义域.
解：因为函数y f (x)的定义域为1，2，
即：x 1，2，
对于函数y f ( x )， 有：x 1，2，
2、y f (x） a 1）当a 0时，将y f (x)向上平移a个单位； 2）当a 0时，将y f (x)向下平移 a 个单位；
二、对称变换 y f (x)
1、y f ( x ) 例题1 将y f (x)的图象在x轴正半轴上的图象保留，
并将这部分图象对称地翻折到x轴的负半轴上，
§4.9 函数 y Asin( x ) 的图象
（一）
我们的目标
1、掌握函数图象的平移、对称和伸缩变换 的规律
2、掌握正弦函数图象的相位、周期和振幅 变换的规律
一、平移变换 y f (x)
1、y f (x a) 1）当a 0时，将y f (x)向左平移a个单位； 2）当a 0时，将y f (x)向右平移 a 个单位；
三、伸缩变换 y f (x) a 0且a 1
2、y af (x) 1）当a 1时，将y f (x)图象上每一个点的 横坐标不变，纵坐标伸长到原来的a倍，
2）当0 a 1时，将y f (x)图象上每一个点的 横坐标不变，纵坐标缩短到原来的a倍，
即得函数y af (x)的图象；
纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1 ， a
2）当0 a 1时，将y f (x)图象上每一个点的
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1 倍， a
即得函数y f (ax)的图象；
例题2
; 广州装修公司 全包装修
；
函数y=Asin(wx+φ)的图像
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φπ2π3π2 2πy ＝A sin(ωx ＋φ)0 A 0 －A3．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3+1，(1)求它的振幅、周期、初相，对称轴，对称中心，最值点，单调区间(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；考点一：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及变换1、将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π202．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位3.为把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)4.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．125．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移π6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．6.若函数y ＝f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y ＝21sin x 的图象，则有y ＝f (x )是( )A.y ＝21sin(2x ＋2π)＋1B.y ＝21sin(2x －2π)＋1C.y ＝21sin(2x －4π)＋1D.y ＝21sin(21x ＋4π)＋1考点二：求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式1. 如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像，由图中条件写出该函数的解析式．2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为( )3.函数)sin()(ϕω+=x x f （x ∈R ，ω＞0，0≤ϕ＜2)π的部分图象图， A ．ω＝4π,ϕ＝45π B ．ω＝4π,ϕ＝4π 1yC ．ω＝2π，ϕ＝4πD ．ω＝3π,ϕ＝6π4.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图像如图所示，求函数表达式．5.把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h (ω>0， 0<φ<π2)的图象如图所示，则f (x )＝( )A ．4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋2B ．－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋2C ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋47.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋28.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)上的最高点为(2，2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x ∈[－6,0]上的值域．考点三：三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像1.已知直线y ＝b (b ＜0)与曲线f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b 的值是________．2.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π83.若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于 ( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或04．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．5.如图所示函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．6.方程2cos()14x π-=的解是 ．7.函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的 ( )8.设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9。
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−
π
6
π
π
3
π
3
π
3 )
0
0
π
12
2
π
0
7π 12 3π
2
5π 6
2π
sin ( 2 x +
1
-1
0
x
x+
−
π
3
π
6 π 2
1
π
3 π
3 )
2π 3
0
0
π
0
7π 6 3π 2
5π 3
2π
0
sin( x +
(二)探索ω对 y=sin(ωx+ϕ ), x∈R的图象的影响 二 探索 的图象的影响. ∈ 的图象的影响 y=sin(2x+π/3)的图像，是把 的图像， 的图像 是把y=sin(x+π/3)的图 的图 像上所有点的横坐标缩短为原来的1/2倍 像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵 坐标不变）而得到的. 坐标不变）而得到的 函数y=sin(ωx+ϕ)的图像是把 函数 的图像是把y=sin(x+ϕ)的图像 的图像 的图像是把 上所有点的横坐标缩短 当 上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长 缩短 时 或伸长(0< ω <1时)到原来的 1/ω 倍(纵坐标不变 而得到 时 到原来的 纵坐标不变)而得到 纵坐标不变 而得到. 伸缩变换
O
0.01 0.02
0.03 0.04
x
交流电的电流y与时间 变化的图象 交流电的电流 与时间x变化的图象 与时间
与正弦曲线相似
A=1,ω =1,ϕ =0 y = sin x y = A sin(ω x +ϕ )
探索A 探索 、ω、ϕ 对y=Asin(ωx+ϕ)的图象的影响. 的图象的影响.
(一)探索ϕ 对 y=sin(x+ϕ ), x∈R的图象的影响 一 探索 的图象的影响. ∈ 的图象的影响 观察y=sin(x+π/3)和y=sinx的图像 观察 和 的图像 五 点 法 作 图 x
练习二 1.口答:如何由函数y=sinx的图象得到下列函数 的图象?
(1) y = sin 2 x
1 ( 2 ) y = sin x 3
过程步骤
步骤1 步骤1
y
1
y=sinx
π
2
π
2π
3π 2
O -1
x
（沿x轴 平行移动） 轴 平行移动）
y
1
y=sin(x+ϕ )
π
2
步骤2 步骤2
π
2π
3π 2
2x +
−
π
6
π
12
π
3
π
3
π
3 )
7π 12
5π 6
0
π 2
π
3π 2
2π
sin ( 2 x +
0
1
0
-1
0
观看伸缩动画
(二)探索ω对 y=sin(ωx+ϕ ), x∈R的图象的影响 二 探索 的图象的影响. ∈ 的图象的影响 观察y=sin(2x+π/3)和y=sin(x+π/3)的图像 观察 和 的图像 x
O -1
x
（沿x轴 伸缩） 轴 伸缩） y y=sin(ωx+ϕ ) x
步骤3 步骤3
O
思考：还有其他的变化方式吗？ 思考：还有其他的变化方式吗？
思考题： 思考题： 1.怎样将函数 怎样将函数y=2sin2x通过某些变换的到以下函数 怎样将函数 通过某些变换的到以下函数 的图像？ 的图像？ (1)y=3sinx (2)y=sin5x 2.你能将正弦函数通过某些变换的到函数 你能将正弦函数通过某些变换的到函数 y=3sin(x+π/3)图像吗 图像吗? 图像吗 作业： 作业： 用五点法画出 y=3sin(2x+π/3)的图像 的图像. 的图像
物理学中表示简谐运动的物理量 y=Asin(ωx+ϕ)在简谐运动中的相关概念： 在简谐运动中的相关概念： 在简谐运动中的相关概念 (1) A (2)T=2π/ω (3)f=1/T=ω/2π (4)ωx+ϕ (5)ϕ 振幅 周期 频率 相位 初相
y
5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5
放大
x+
−
π
3
0
π
6 π 2
1
π
3 π
3 )
2π 3
π
0
7π 6 3π 2
-1
5π 3
2π
0
sin( x +
0
观看平移动画过程
(一)探索ϕ 对 y=sin(x+ϕ ), x∈R的图象的影响 一 探索 的图象的影响. ∈ 的图象的影响 y=sin(x+π/3)的图象可以看作是把 π 的图象可以看作是把 的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左平行移动π/3个单位而 的图象上所有的点向左平行移动π 个单位而 向左平行移动 得到的. 得到的 结论：一般地,函数 函数y=sin(x+ϕ)，(ϕ≠0)的图 结论：一般地 函数 ， 的图 可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向 的图象上所有的点向 象，可以看作是把 的图象上所有的点 左(当ϕ>0时)或向右(当ϕ<0时)平行移动 ϕ |个单 当 时 或向右 当 时 平行移动| 个单 平行移动 位而得到的. 位而得到的 平移变换
练习一 1.口答:如何由函数y=sinx的图象得到下列函数 的图象?
2π (1) y = sin x + 5
π ( 2 ) y = sin x − 6
(二)探索ω对 y=sin(ωx+ϕ ), x∈R的图象的影响 二 探索 的图象的影响. ∈ 的图象的影响 观察y=sin(2x+π/3)和y=sin(x+π/3)的图像 观察 和 的图像 x
1.5函数 1.5函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象 函数 的图象
其中A 函数y=Asin(ωx+ϕ)( 其中 、ω、ϕ 是常 它在实践中有很多用途. 数)，它在实践中有很多用途.例如在物理学 中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移 y随 随 的关系,交流电的电流 时间 x 的关系,交流电的电流 y 随时间 x 的 图象. 关系等都是形如的函数y=Asin(ωx+ϕ)图象