2009年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

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2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若2log 0a <，1()12

b >，则【 D 】

A ．1a >,0b >

B ．1a >,0b < C. 01a <<, 0b > D. 01a <<, 0b <

2．对于非零向量,,a b “0a b +=”是“//a b ”的【 A 】A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3．将函数sin y x =的图象向左．．平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6

y x π=-的图象，则ϕ等于【 D 】

A ．6

π B ．56

π C. 76

π D.116

π

4．如图1，当参数12,λλλ=时，连续函数

0)1y x x

λ=

≥+ 的图像分别对应曲线1C 和图1

c 2c 1

o

y

x

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C

1

D B 1

A 1

D

C

A

2C , 则【 B 】A ．120λλ<< B ．210λλ<< C ．120λλ<< D ．210λλ<<5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】A ． 85 B ． 56 C ．49 D ．286．已知D 是由不等式组20,

30

x y x y -≥⎧⎨

+≥⎩所确定的平面区域，则圆

224x y +=在区域

D 内的弧长为【 B 】

A ．4

π B ．2

π C ．

34

π

D ．32

π

7．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到异面直线AB ，C 1C 的距离相等的点的个数为【 C 】

A ．2

B ．3

C ． 4

D ．58．设函数()y f x =

在(,)-∞+∞内有定义.对于给定

的正数K ，定义函数(),(),

(),

().

K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨

>⎩取函数()f x =2x x e ---。

若对任意的(,)x ∈-∞+∞，恒有()K f x =()f x ，则【 D 】

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A ．K 的最大值为2

B ．K 的最小值为2

C ．K 的最大值为1

D ．K 的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．

中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _.10．在3333(1)(1)(1)x x x ++++的展开式中，

x 的系数为__7__(用数字作答).11．若(0,)2

x π∈，则2tan tan()2

x x π+-的最小值为 2

2 .12．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的

四边形中有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为

6

13．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分

层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为

1

28

，则总体中的个体数为

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40 。14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则

（1）球心到平面ABC 的距离为 12 ；

（2）过Ａ，B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值为 3 .15．将正ABC ∆分割成2*(2,)n n n N ≥∈个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为()f n ，则有(2)2f =，(3)f =

103

，… ，()f n = 1(1)(2)6

n n ++ .A

C A

图3

图2

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知2

233AB AC AB AC BC

⋅=⋅=，求角A ，B ，C

的大小解： 设,,BC a AC b AB c ===由23AB AC AB AC

⋅=

⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos A =

. 又(0,),A π∈因此6

A π=

由

2

33AB AC BC

⋅=得

2

3bc a =，于是

23sin sin 34

C B A ⋅==

. 所以53

sin sin()6C C π⋅-=

，133sin (cos )2C C C ⋅+=， 因此

22sin cos 233,sin 2320

C C C C C ⋅+=-=，既

sin(2)03

C π

-=.

由6

A π=知506

C π<<，所以423

3

3

C π

π

π-<-

<

，

从而20,3

C π

-=或2,3

C π

π-

=，既,6

C π

=

或2,3C π=

故2,,,6

3

6

A B C πππ===或2,,6

6

3

A B C πππ===。17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程